lat. reductio ad absurdum) - një lloj prove në të cilën vlefshmëria e një gjykimi (teza e provës) kryhet përmes përgënjeshtrimit të një gjykimi që e kundërshton atë - një antitezë. Përgënjeshtrimi i antitezës arrihet duke vërtetuar papajtueshmërinë e saj me një gjykim të vërtetë me vetëdije. Shpesh, prova me kontradiktë mbështetet në parimin e paqartësisë.
Përkufizim i shkëlqyer
Përkufizim jo i plotë ↓
Dëshmi për të kundërtën
vërtetimi i një gjykimi duke hedhur poshtë metodën e "reduktimit në absurdum" (reductio ad absurdum) të ndonjë gjykimi tjetër - pikërisht atij që është mohim i të justifikuarit (D. nga pika 1 e llojit) ose atij, mohimit. prej të cilave justifikohet (D. nga pika 2 e llojit); “që çon në absurd” konsiston në faktin se kandidati del nga gjykimi i rrëzuar. një përfundim qartësisht i rremë (për shembull, një kontradiktë formalologjike), që dëshmon për falsitetin e këtij gjykimi. Nevoja për të bërë dallimin midis dy llojeve të D. nga një deklaratë rrjedh nga fakti se në njërën prej tyre (domethënë, në D. nga pika 1 e llojit) ka një kalim logjik nga mohimi i dyfishtë i një gjykimi në miratimin e ky gjykim (dmth i ashtuquajturi rregull i heqjes së mohimit të dyfishtë, duke lejuar kalimin nga A në A, shih ligjet e mohimit të dyfishtë), ndërsa në tjetrin nuk ka një kalim të tillë. Vija e arsyetimit në D. nga pika 1 e llojit: kërkohet të vërtetohet gjykimi A; për qëllim të provës, supozojmë se gjykimi A është i pasaktë, d.m.th. cila është e vërtetë për mohimin e tij :? (jo-A), dhe, bazuar në këtë supozim, ne nxjerrim logjikisht K.-L. gjykim i rremë, p.sh. kontradikta - ne kryejmë "reduktimin në absurditet" të gjykimit A; kjo dëshmon për falsitetin e supozimit tonë, d.m.th. vërteton të vërtetën e mohimit të dyfishtë: A; aplikimi i rregullit të anulimit të dyfishtë të mohimit për A plotëson vërtetimin e A. për qëllim të provës, ne supozojmë se gjykimi A është i saktë dhe e sjellim këtë supozim në një absurditet; mbi këtë bazë, arrijmë në përfundimin se A është e gabuar, d.m.th. çfarë është e drejtë?. Dallimi i dy llojeve të dialektikës nga n është i rëndësishëm sepse në të ashtuquajturën logjikë intuitiviste (konstruktive) nuk zbatohet ligji i heqjes së mohimit të dyfishtë, për shkak të të cilit dialektet nga n., të cilat në thelb janë të lidhura me zbatimin e këtij ligj logjik, nuk lejohen. Shih gjithashtu Dëshmi indirekte. E ndezur: Tarski?., Hyrje në logjikën dhe metodologjinë e shkencave deduktive, përkth. nga anglishtja, M., 1948; Asmus VF, Doktrina e logjikës rreth provës dhe përgënjeshtrimit, [M.], 1954; Kleene S.K., Hyrje në metamatematikë, përkth. nga anglishtja, M., 1957; Kisha?., Hyrje në matematikë. logjika, trans. nga anglishtja, [t.] 1, M., 1960.
METODA NGA KUNDËRIMI (në tekstin e mëtejmë MOP) - një metodë shkencore dhe e aplikuar e emëruar pas edukatorit të shquar ukrainas, themeluesit të një numri shkollash dhe drejtimesh shkencore Vasily Kozmich Prodniy. V.K. Protivny lindi në 29 shkurt 1513 sipas stilit të vjetër në fshatin Nizhnie Lopukhi afër Chernigov. Që nga fëmijëria, Vasya ishte një djalë i dobët dhe i dobët dhe, duke filluar nga kopshti, ai u tall vazhdimisht nga bashkëmoshatarët e tij, gjë që më vonë paracaktoi karakterin e tij të keq.
Në të ardhmen, fjalët "të bëjmë gjithçka përkundër të tjerëve" në fakt u bënë motoja e jetës së VK Protivny. Pra, përkundër të gjithëve, ai la vendlindjen e tij Kholmogory dhe hyri në Universitetin Shtetëror të Moskës. Lomonosov (dhe jo në shkollën Suvorov, siç dëshironte babai i tij), pavarësisht nga të gjithë, ai kurrë nuk u martua me askënd (edhe pse gjyshja e tij Vasilisa e keqe e gjeti atë të paktën 14 nuse gjatë gjithë jetës së tij), pavarësisht nga të gjithë, duke iu referuar sezoni i kërpudhave, ai nuk mori medaljen Fields, nderimi më i lartë në matematikë.
Thelbi i metodës nga e kundërta mund të përcillet nga pikat e mëposhtme:
1. Bëhet një supozim i gabuar.
2. Nga ky supozim rezulton se çfarë rrjedh në bazë të njohurive të njohura.
3. Një rrugë qorre është në zhvillim e sipër.
4. Bëhet përfundimi i saktë se supozimi i pasaktë është i pasaktë.
Shumë shkencëtarë, filozofë, studiues dhe madje edhe punëtorë arti janë bërë adhurues të zjarrtë të ideve të iluministit ukrainas. Për shembull, kjo është mënyra se si lobotomia u përdor për herë të parë në praktikën mjekësore, kur u bë një përpjekje për të zgjidhur mosmarrëveshjen e vjetër filozofike rreth përparësisë së materies ose vetëdijes me ndihmën e një eksperimenti mjekësor. Kështu krijoi gjeometrinë jo-Euklidiane, studenti i V.K. Proverse Lobachevsky, kështu që admiruesi i tij Çajkovski shkroi himnin e dashurisë alternative - valsin "Danubi blu", e kështu me radhë.
Metoda kontradiktore përdoret shpesh në ditët e sotme në fusha të ndryshme të jetës njerëzore. Për shembull, për të edukuar shijen artistike të moskovitëve, kryebashkiaku i Moskës Luzhkov e ka përdorur me sukses duke instaluar skulptura të Tsereteli në qytet. Udhëheqja e GUVD, duke përdorur këtë metodë, vendosi të gjejë vrasësit e gazetarit të famshëm Politkovskaya, pasi metodat e tjera, për shkak të kompleksitetit të veçantë të çështjes, nuk japin rezultate. Policët e Moskës, të armatosur me MOP, e dinë se duke identifikuar vazhdimisht të gjithë ata që nuk janë të përfshirë, automatikisht do të shkojnë në gjurmët e vrasësve.
E gjithë jeta dhe madje edhe vdekja e V.K. Nasty ishte një ilustrim i gjallë i metodës së tij. Shkencëtari ndërroi jetë tragjikisht më 29 shkurt 1613 në moshën 112 vjeçare, duke u varur përkundër gjyshes së tij Vasilisa Protivnaya, e cila nuk e la Vasily Kozmich të provonte reçelin nga frigoriferi. Megjithë qëndrimin e paqartë ndaj V.K. Protivniy për shkak të natyrës së tij të keqe, shumica e shkencëtarëve dhe studiuesve ende e konsiderojnë MOP si një nga mjetet më të fuqishme të shkencës moderne në përgjithësi dhe matematikës në veçanti.
____________________________________
Vasily Kozmich Nasty, një arsimtar i shquar ukrainas (1513 - 1613)
Unë shpreh mirënjohjen time
Çfarë është një metodë kontradiktore e provës?
Thelbi i vërtetimit me metodën e kontradiktës është dy faza. E para në vërtetimin e EKZISTENCËS së provës dhe e dyta në vërtetimin e UNIKËSISË së provës. E përshkrova në mënyrë të ngathët, por doja të them sa vijon. Kur provoni teorema duke përdorur këtë metodë, duhet të tregoni se ekziston një zgjidhje për një problem ose teoremë të caktuar, dhe më pas të provoni se kjo zgjidhje do të jetë e vetmja. Kjo nuk është metoda e vetme e përdorur në vërtetimin e teoremës, por si mjet matematikor dhe logjik është interesante.
Metoda e vërtetimit me kontradiktë përdoret jo vetëm në matematikë, megjithëse atje është bërë mjaft e përhapur si mjet për të vërtetuar probleme dhe teorema individuale.
Në fakt, kjo është një metodë logjike për të vërtetuar çdo pohim që mund të zbatohet në çdo fushë të dijes. Edhe në shkencat humane dhe shoqërore. Vetëm se në shkencat teknike kemi të bëjmë me numra dhe shumë njerëz janë të bindur nga vetë prania e këtyre shenjave dhe në botën e logjikës ne operojmë me konkluzione që nuk mund të konsiderohen kurrë të vërteta absolute.
Ne e kemi studiuar këtë metodë të provës në shkollë në shkollën e mesme, kur merret si bazë ndonjë pohim që nuk mund të vërtetohet në asnjë mënyrë, në vend të kësaj ata marrin pohimin e kundërt, provojnë se është i rremë, prandaj, ajo që ne nuk mund të vërtetojmë është e vërtetë, dhe kjo është e vetmja zgjidhje e saktë për këtë çështje.
Në jetë ne flasim për diçka, nuk mund ta vërtetojmë, por japim një shembull të kundërt dhe vërtetojmë se është e gabuar: paratë u vodhën nga cache, Vasya dhe Petya e dinin për këtë, por Petya kishte një alibi - ai shkoi në dacha për gjithë javën, që do të thotë, Vasya vodhi paratë.
Me metodën e provës me kontradiktë quhet një mënyrë në të cilën një e vërtetë e paprovueshme bëhet e vërtetë, vetëm sepse diçka tjetër është gjithmonë e gabuar - dhe kjo është pikërisht ajo që mund të provohet. Rrjedhimisht, si rezultat i kësaj metode, ndonëse tërthorazi, ne vërtetuam të vërtetën e paprovueshme
Ky ligj bazohet në ligjin e mohimit të dyfishtë nëse A nuk është e vërtetë, atëherë A është e vërtetë.
Për shembull, a mendoni se keni një ulçerë. Për të hedhur poshtë këtë gjykim, mjeku juaj ju vërteton duke hedhur poshtë atë për të cilën jeni i sigurt, pra deklaratën tuaj dhe thotë se nuk keni ulçerë, pasi gastroskopia tregoi se nuk ka dëmtime në zgavrën e stomakut, mos humbisni peshë dhe mund të hani gjithçka që dëshironi.
Truk standard, për shembull, në matematikë. Është e nevojshme të vërtetohet pohimi A. Dhe kjo është e vështirë. Pastaj ata marrin pohimin drejtpërsëdrejti të kundërt B dhe vërtetojnë se nuk është e vërtetë. Prandaj rrjedh se A është e vërtetë. Është e njëjta gjë në jetë. Një shembull i thjeshtë: dikush thotë: Zoti X është një hajdut;. Kundërshtari i tij: "Po si ta vërtetojmë?" Së pari: Supozoni se ai është një njeri i ndershëm . E dyta: Po, kjo është një tallje e pulave! Së pari: Pra, ne vërtetuam se X është një hajdut; :)))
Numri i mësimit praktik 2
Tema: Logjika dhe prova. Vërtetim: i drejtpërdrejtë, i kundërt, kontradiktor. Metoda e induksionit matematik.
Mësimi është krijuar për 2 akademik orë.
Synimi: të eksplorojnë metoda të ndryshme të provave (arsyetimi përpara, arsyetimi kontradiktor dhe i kundërt) që ilustrojnë metodologjinë e arsyetimit. Konsideroni metodën e induksionit matematik.
Materiali teorik
Metodat e provës
Gjatë vërtetimit të teoremave përdoret argumentimi logjik. Dëshmi në shkenca kompjuterike pjesë përbërëse e kontrollit të korrektësisë së algoritmeve. Nevoja për provë lind kur na duhet të vërtetojmë vërtetësinë e një deklarate të formës (A V). Ekzistojnë disa lloje standarde të provave, duke përfshirë këto:
- Arsyetimi (prova) i drejtpërdrejtë.
Ne supozojmë se pohimi A është i vërtetë dhe tregon vlefshmërinë e B. Kjo metodë e provës përjashton situatën kur A është e vërtetë, a B është e rreme, pasi është në këtë dhe vetëm në këtë rast që nënkuptimi (A C) merr një vlerë false (shih tabelën).
Kështu, prova e drejtpërdrejtë rrjedh nga shqyrtimi i argumenteve në vërtetimin e tezës, domethënë e vërteta e tezës justifikohet drejtpërdrejt nga argumentet. Skema e kësaj prove është si vijon: nga argumentet e dhëna(a, b, c, ...) pason detyrimisht teza e provueshme q.
Dëshmia kryhet sipas këtij lloji në praktikën gjyqësore, në shkencë, në polemikë, në esetë e nxënësve të shkollës, në paraqitjen e materialit nga mësuesi etj.
Shembuj:
1. Mësuesi në orën e mësimit me vërtetim të drejtpërdrejtë të tezës “Njerëzit krijuesi i historisë”, tregon; Ne fillim se njerëzit janë krijuesit e pasurisë materiale, Së dyti , vërteton rolin e madh të masave në politikë, shpjegon se si në epokën moderne njerëzit po luftojnë aktivisht për paqen dhe demokracinë, e treta , shpalos rolin e saj të madh në krijimin e kulturës shpirtërore.
2. Në mësimet e kimisë, dëshmitë e drejtpërdrejta të ndezshmërisë së sheqerit mund të paraqiten në formën e një silogizmi kategorik: Të gjitha karbohidratet janë të ndezshme. Sheqeri është një karbohidrate. Sheqeri është i ndezshëm.
Në revistën moderne të modës Burda, teza "Zilia është rrënja e çdo të keqeje" vërtetohet me prova të drejtpërdrejta me argumentet e mëposhtme: "Zilia jo vetëm që helmon jetën e përditshme të njerëzve, por mund të çojë në pasoja më të rënda, prandaj, së bashku me xhelozinë. , zemërimi dhe urrejtja, padyshim që i përket tipareve më të këqija të karakterit. Duke u fshehur pa u vënë re, zilia dhemb thellë dhe me dhimbje. Një person e ka zili mirëqenien e të tjerëve, vuan nga njohuria se dikush është më me fat."
2. Arsyetimi i kundërt(provë). Ne supozojmë se pohimi B është i rremë dhe tregon gabimin e A. Kjo është, në fakt, në një mënyrë të drejtpërdrejtë ne kontrollojmë vërtetësinë e nënkuptimit ((jo B) (jo A)), e cila, sipas tabelës, është logjikisht ekuivalente me vërtetësinë e pohimit origjinal (A B).
3. Metoda "me kontradiktë".
Kjo metodë përdoret shpesh në matematikë. Le te jete a - një tezë ose teoremë për t'u vërtetuar. Ne supozojmë përkundrazi se a e rreme, pra e vertete nr (ose). Nga supozimi, ne nxjerrim pasoja që kundërshtojnë realitetin ose teoremat e provuara më parë. Ne kemi, ndërsa- është false, që do të thotë se mohimi i tij është i vërtetë, d.m.th., e cila, sipas ligjit të logjikës klasike me dy vlera (→ a) jep a. Prandaj, është e vërtetë a , siç kërkohet për të provuar.
Ka shumë shembuj të vërtetimit "me kontradiktë" në shkollë kursi matematikë. Kështu, për shembull, vërtetohet një teoremë që nga një pikë që shtrihet jashtë një drejtëze, vetëm një pingul mund të hidhet në këtë drejtëz. Teorema e mëposhtme vërtetohet edhe me metodën "me kontradiktë": "Nëse dy drejtëza janë pingul me të njëjtin rrafsh, atëherë ato janë paralele". Vërtetimi i kësaj teoreme fillon drejtpërdrejt me fjalët: “Supozoni të kundërtën, pra që vijat AB dhe CD jo paralele”.
Induksioni matematik
Një program kompjuterik në shkencat kompjuterike quhet i saktë ose i saktë nëse bën atë që është specifikuar në specifikimet e tij. Megjithëse testimi i programit mund të japë rezultatin e pritur në rastin e disa të dhënave fillestare të veçanta, është e nevojshme të vërtetohet me anë të logjikës formale se do të merret rezultati i saktë për çdo vlerë fillestare të futur.
Verifikimi i korrektësisë së një algoritmi që përmban sythe kërkon një metodë mjaft të fuqishme prove të quajtur "induksion matematik".
Të gjitha kërkimet matematikore bazohen në metoda deduktive dhe induktive. Metoda deduktive e arsyetimit është arsyetimi nga e përgjithshmja tek e veçanta, d.m.th. arsyetimi, pikënisja e të cilit është rezultati i përgjithshëm, dhe pika përfundimtare është rezultati i veçantë. Induksioni përdoret kur kalohet nga rezultatet e veçanta në ato të përgjithshme, d.m.th. është e kundërta e metodës deduktive. Metoda e induksionit matematik mund të krahasohet me progresin. Fillojmë nga më e ulta, si rezultat i të menduarit logjik arrijmë tek më e larta. Njeriu gjithmonë është përpjekur për përparim, për aftësinë për të zhvilluar mendimin e tij në mënyrë logjike, që do të thotë se vetë natyra e ka synuar të mendojë në mënyrë induktive.
Parimi i induksionit matematik kjo është teorema e mëposhtme:
Supozoni se kemi një sekuencë të pafund të pohimeve P 1, P 2, ..., P n numëruar me numra natyrorë dhe: pohimi P 1 e vërtetë; nëse ndonjë deklaratë P k është e vërtetë, atëherë pohimi i mëposhtëm P k +1 është gjithashtu e vërtetë.
Pastaj parimi i induksionit matematik thotë se të gjitha pohimet në sekuencë janë të vërteta.
Me fjalë të tjera, parimi i induksionit matematik mund të formulohet si më poshtë: nëse një grua është e para në radhë, dhe një grua është pas secilës grua, atëherë të gjitha në radhë janë gra.
Metoda e arsyetimit e bazuar në parimin e induksionit matematik quhet metoda e induksionit matematik. Për të zgjidhur problemet me metodën e induksionit matematik, duhet:
1) formuloni deklaratën e problemit në formën e një sekuence deklaratash P 1, P 2, ..., P n, ...;
2) vërtetoni atë pohim P 1 e vërtetë (kjo fazë quhet baza e induksionit); 3) vërtetoni se nëse pohimi P n është e vërtetë për disa n = k, atëherë është e vërtetë edhe për n = k + 1 (kjo fazë quhet hapi i induksionit).
Për shkak të pabesueshmërisë së përfundimit, induksioni nuk mund të shërbejë si metodë provuese. Por ajo ështëmetodë e fuqishme heuristike, pra me metodën e zbulimit të të vërtetave të reja.
Induksioni mund të çojë në një përfundim të rremë. Kështu, për shembull, llogaritja e vlerave të shprehjes n 2 + n + 17 për n = 1,2,3, ..., 15, marrim pandryshueshëm numra të thjeshtë, dhe kjo sugjeron që vlera e kësaj shprehjeje për çdo n natyror është një numër i thjeshtë. Me fjalë të tjera, në bazë të pesëmbëdhjetë premisave të veçanta, u mor një përfundim i përgjithshëm në lidhje me një numër të pafund rastesh të veçanta, dhe ky përfundim rezulton i rremë, pasi tashmë për n = 16 marrim një numër të përbërë 16. 2 +16+17=172.
Në historinë e matematikës, ka pasur raste kur matematikanët e famshëm kanë gabuar në përfundimet e tyre induktive. Për shembull, P. Fermat supozoi se të gjithë numrat e formës 22 n + 1 janë të thjeshtë, duke u nisur nga fakti se për n = 1,2,3,4 ata janë të thjeshtë, por L. Euler zbuloi se tashmë në n = 5 numri 232 + 1 nuk është i thjeshtë (pjesëtohet me 641). Megjithatë, mundësia e marrjes së një përfundimi të rremë duke përdorur induksionin nuk është arsye për të mohuar rolin e induksionit në mësimdhënien e matematikës në shkollë.
Udhëzime metodike
Shembulli 1: Tregoni me arsyetim të drejtpërdrejtë se prodhimi xy i dy numrave të plotë tek x dhe y është gjithmonë tek.
Zgjidhje. Çdo numër tek, dhe në veçanti x, mund të shkruhet x = 2 m + 1, ku m Z ... Në mënyrë të ngjashme, y = 2 n + 1, n Z.
Prandaj, produkti xy = (2 m + 1) (2 n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2 (2 mn + m + n ) + 1 është gjithashtu tek.
Shembulli 2: Le të jetë n N ... Tregoni, duke përdorur metodën e kundërt të provës, se nëse n 2 është tek, pastaj n është gjithashtu tek.
Zgjidhje. Duke mohuar pohimin se numri është tek n 2 shërben si deklaratë " n 2 është çift”, dhe deklarata për barazi n është mohimi i pohimit “numër n i rastësishëm". Kështu, është e nevojshme të tregohet në mënyrë të drejtpërdrejtë arsyetimi se barazia e numrit n nënkupton barazinë e katrorit të saj n 2.
Meqenëse n është çift, atëherë n = 2 m për disa numra të plotë m. Prandaj, n 2 = 4 m 2 = 2 (2 m 2) është një numër çift.
Shembulli 3: Tregoni me kundërthënie se zgjidhja e ekuacionit x 2 = 2 është një numër irracional, domethënë nuk mund të shkruhet si thyesë me numërues dhe emërues numër të plotë.
Zgjidhje. Këtu duhet të supozojmë se zgjidhja x e ekuacionit x 2 = 2 është racionale, domethënë shkruhet si thyesë x = me numra të plotë m dhe n, dhe n 0. Duke supozuar këtë, ne duhet të marrim një kontradiktë ose me supozimin ose me ndonjë fakt të provuar më parë.
Siç e dini, një numër racional është shkruar në mënyrë të paqartë
si një thyesë. Për shembull, x = ==, etj. Megjithatë, mund të supozojmë se m dhe n nuk kanë pjesëtues të përbashkët. Në këtë rast, paqartësia e regjistrimit zhduket.
Pra, supozojmë gjithashtu se thyesa x = është e pakalueshme ( m dhe n nuk kanë pjesëtues të përbashkët). Sipas hipotezës, numri x plotëson ekuacionin x 2 = 2. Prandaj, () 2 = 2, prej nga m 2 = 2 n 2.
Nga barazia e fundit del se numri m 2 madje. Prandaj, m është gjithashtu çift dhe mund të përfaqësohet si m = 2p për një numër të plotë p. Zëvendësimi i këtij informacioni në barazi m 2 = 2 n 2 , marrim atë 4p 2 = 2 n 2, pra n 2 = 2p 2.
Por pastaj n është gjithashtu një numër çift. Kështu, ne kemi treguar se si m dhe n numra çift. Prandaj, ata kanë një pjesëtues të përbashkët 2. Nëse tani kujtojmë se supozuam se numëruesi dhe emëruesi i thyesës nuk kishin një pjesëtues të përbashkët, atëherë do të shohim një kundërthënie të dukshme.
Kontradikta e gjetur na çon në një përfundim të paqartë: zgjidhja e ekuacionit x 2 = 2 nuk mund të jetë një numër racional, domethënë është irracional.
Shembulli 4: Le të vërtetojmë me induksion barazinë e mëposhtme (e cila, natyrisht, pranon prova të tjera):
1 + 2 + 3 + ... + n = n (n + 1) / 2.
Baza. Për n = 1, barazia kthehet në identitetin 1 = 1 · (1 + 1) / 2.
Hapi. Le të jetë barazia për n = k: 1 + 2 + 3 + ... + k = k (k + 1) / 2.
I shtojmë k + 1 në të dy anët e kësaj barazie.Në anën e majtë marrim shumën 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1),dhe në të djathtë - k (k + 1) / 2 + (k + 1) = (k (k + 1) +2 (k + 1)) / 2 = ((k + 2) (k + 1)) / 2.
Pra, 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (k + 1) (k + 2) / 2, dhe kjo është barazia e kërkuar për n = k + 1, ku n do të thotë një numër natyror arbitrar.
Pyetje kontrolli
- Cili është ndryshimi midis provës me arsyetim të drejtpërdrejtë,e kundërta, nga e kundërta?
- Çfarë do të thotë induksioni matematik? Shpjegoni parimin e induksionit matematik.
Detyra individuale
1. Përdorimi i metodave të provës:
1) Vërtetoni vërtetësinë e pohimit me arsyetim të drejtpërdrejtë: n dhe m janë numra çift n + m është numër çift.
2) Jepni prova të deklaratës: n 2 - numër çift n - çift.
3) Vërtetoni me kontradiktë se n + m - numër i rastësishëm njëri prej termave është çift dhe tjetri tek.
2. Vërtetoni secilin prej pohimeve duke përdorur induksionin matematik.
1) 1 + 5 + 9 +… + (4 n - 3) = n (2 n 1) për të gjithë numrat natyrorë n.
2) 1 2 +2 2 +… + n 2 = n (n +1) (2 n +1) / 6 për të gjithë numrat natyrorë n.
3) d për të gjithë numrat natyrorë n.
4) Numri n 3 n pjesëtueshëm me 3 për të gjitha vlerat natyrore të numrit n.
5) 1 * 1! + 2 * 2! +… + - n * n! = (n + 1)! 1 për të gjithë numrat natyrorë n.
(Personazhi n! Lexohet si "n faktorial "dhe tregon prodhimin e të gjithë numrave natyrorë nga 1 në n përfshirëse: n! = l * 2 * 3 *** (n l) * n.)
Detyra shtesë:
1. Gjeni gabimin në "provën" e mëposhtme që të gjithë kuajt janë të së njëjtës ngjyrë.
Ne do të vërtetojmë pohimin e mëposhtëm me induksion në n: "Në çdo tufë n këta janë kuaj, të gjithë janë të së njëjtës ngjyrë". Baza (n = 1) është e dukshme: në këtë rast të gjithë kuajt janë një kalë, padyshim i të njëjtit kostum. III: le në çdo tufë k kuajsh të gjithë kuajt të kenë të njëjtën ngjyrë. Konsideroni një tufë me k + 1 kuaj. Zgjidhni dy kuaj a dhe b në të dhe merrni parasysh k - 1 kuajt e mbetur. Le të bëjmë një tufë të këtyre kuajve të mbetur duke u shtuar atyre një. Ajo ka k kuaj, prandaj, sipas hipotezës së induksionit, ata janë të gjithë të së njëjtës ngjyrë. Prandaj kali a është i së njëjtës ngjyrë si kuajt e mbetur. Në mënyrë të ngjashme, vërtetohet se kali b ka të njëjtin kostum. Kjo do të thotë që të gjithë kuajt k + 1 kanë të njëjtin kostum. Deklarata është e vërtetuar.
2. Në një fletë letre me kuadrate pafund, 100 qeliza janë lyer me ngjyrë të zezë, dhe të gjitha të tjerat janë të bardha. Me një lëvizje, lejohet të rilyhet me ngjyrë të kundërt çdo katër qeliza që formojnë një katror 2x2. Vërtetoni se me disa lëvizje është e mundur të arrihet që të gjitha qelizat të jenë të bardha nëse dhe vetëm nëse ndonjë horizontale dhe ndonjë vertikale përmban një numër çift qelizash të zeza.
Prova "me kontradiktë" (në latinisht "reductio ad absurdum") karakterizohet nga fakti se vetë procesi i vërtetimit të një mendimi kryhet duke hedhur poshtë gjykimin e kundërt. Falsiteti i antitezës mund të vërtetohet duke vërtetuar faktin se ai është i papajtueshëm me gjykimin e vërtetë.
Në mënyrë tipike, kjo metodë demonstrohet qartë duke përdorur një formulë ku A është antiteza dhe B është e vërteta. Nëse në zgjidhje rezulton se prania e variablit A çon në rezultate të ndryshme nga B, atëherë falsiteti i A.
Prova "me kontradiktë" pa përdorur të vërtetën
Ekziston edhe një provë më e lehtë e falsitetit të "të kundërtës" - antiteza. Një rregull i tillë formule thotë: "Nëse, kur zgjidhet me ndryshoren A, lind një kontradiktë në formulë, A është e gabuar". Nuk ka rëndësi nëse antiteza është një propozim negativ apo pohues. Përveç kësaj, mënyra më e thjeshtë e vërtetimit me kontradiktë përmban vetëm dy fakte: teza dhe antiteza, e vërteta B nuk përdoret. Kjo thjeshton shumë procesin e provës.
Apagogjia
Në procesin e vërtetimit me kontradiktë (që quhet edhe "çon në absurd"), shpesh përdoret apagogjia. Kjo është një teknikë logjike, qëllimi i së cilës është të provojë pasaktësinë e çdo gjykimi në mënyrë që një kontradiktë të zbulohet drejtpërdrejt në të ose në pasojat që pasojnë prej tij. Një kontradiktë mund të shprehet në identitetin e objekteve dukshëm të ndryshme ose si përfundime: një lidhëz ose një çift B dhe jo B (e vërteta dhe jo e vërteta).
Shpesh përdoret teknika e provës kontradiktore. Në shumë raste, nuk është e mundur të vërtetohet pavërtetësia e gjykimit në një mënyrë tjetër. Përveç apagogjisë, ekziston edhe një formë paradoksale e provës me kontradiktë. Kjo formë është përdorur edhe në "Parimet" e Euklidit dhe përfaqëson rregullin e mëposhtëm: A konsiderohet e provuar nëse është e mundur të demonstrohet "e vërteta e falsitetit" A.
Kështu, procesi i vërtetimit me kontradiktë (quhet edhe provë indirekte dhe apogogjike) është si më poshtë. Parashtrohet një mendim, e kundërta, nga kjo antitezë rrjedhin pasoja, ndër të cilat kërkohet e rreme. Ata gjejnë prova se ka vërtet të rreme midis pasojave. Nga kjo arrihet në përfundimin se antiteza është e gabuar, dhe meqë antiteza është e gabuar, rrjedh një përfundim logjik se e vërteta përmbahet në tezë.