Vetëm. Sipas formulave dhe rregullave të qarta, të thjeshta. Në fazën e parë
është e nevojshme të reduktohet ekuacioni i dhënë në një formë standarde, d.m.th. te shohesh:
Nëse ekuacioni ju është dhënë tashmë në këtë formë, nuk keni nevojë të bëni fazën e parë. Gjëja më e rëndësishme është e drejtë
përcaktoni të gjithë koeficientët, a, b dhe c.
Formula për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.
Një shprehje nën shenjën e rrënjës quhet diskriminuese ... Siç mund ta shihni, për të gjetur x, ne
përdorni vetëm a, b dhe c. ato. koeficientët nga ekuacioni kuadratik... Vetëm zëvendësojeni me kujdes
kuptimi a, b dhe c në këtë formulë dhe numëroni. Zëvendësoni me nga ana e tyre shenja!
për shembull, në ekuacionin:
a =1; b = 3; c = -4.
Zëvendësoni vlerat dhe shkruani:
Shembulli praktikisht zgjidhet:
Kjo është përgjigja.
Gabimet më të zakonshme janë konfuzioni me shenjat e kuptimit. a, b dhe Me... Përkundrazi, me zëvendësimin
vlerat negative në formulën për llogaritjen e rrënjëve. Këtu, një shënim i detajuar i formulës kursen
me numra të caktuar. Nëse keni probleme llogaritëse, bëjeni!
Supozoni se duhet të zgjidhim këtë shembull:
Këtu a = -6; b = -5; c = -1
Ne pikturojmë gjithçka në detaje, me kujdes, pa humbur asgjë me të gjitha shenjat dhe kllapat:
Ekuacionet kuadratike shpesh duken paksa të ndryshme. Për shembull, si kjo:
Tani për tani, mbani parasysh praktikat më të mira që do të zvogëlojnë në mënyrë drastike gabimet.
Pritja e parë... Mos u bëni dembel më parë zgjidhja e ekuacionit kuadratik silleni në formën standarde.
Çfarë do të thotë kjo?
Le të themi, pas disa transformimeve, ju merrni ekuacionin e mëposhtëm:
Mos nxitoni të shkruani formulën rrënjësore! Ju pothuajse me siguri do të ngatërroni shanset. a, b dhe c.
Ndërtoni saktë shembullin. Së pari, X është në katror, pastaj pa katror, pastaj termi i lirë. Si kjo:
Hiqni qafe minusin. Si? Ju duhet të shumëzoni të gjithë ekuacionin me -1. Ne marrim:
Por tani mund të shkruani me siguri formulën për rrënjët, të llogarisni diskriminuesin dhe të plotësoni shembullin.
Beje vete. Ju duhet të keni rrënjët 2 dhe -1.
Pritja e dyta. Kontrolloni rrënjët! Nga Teorema e Vietës.
Për të zgjidhur ekuacionet e dhëna kuadratike, d.m.th. nëse koeficienti
x 2 + bx + c = 0,
pastajx 1 x 2 = c
x 1 + x 2 = -b
Për një ekuacion të plotë kuadratik në të cilin a ≠ 1:
x 2 +bx +c=0,
pjesëtoje të gjithë ekuacionin me a:
→ 
→
ku x 1 dhe x 2 - rrënjët e ekuacionit.
Pritja e treta... Nëse keni koeficientë thyesorë në ekuacionin tuaj, hiqni qafe thyesat! shumohen
ekuacioni i emëruesit të përbashkët.
konkluzioni. Këshilla praktike:
1. Para se ta zgjidhim, e sjellim ekuacionin kuadratik në formën standarde, e ndërtojmë drejtë.
2. Nëse ka një koeficient negativ përballë x-së në katror, e eliminojmë duke shumëzuar totalin.
ekuacionet me -1.
3. Nëse koeficientët janë thyesorë, i eliminojmë thyesat duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me atë përkatës.
faktor.
4. Nëse x në katror është i pastër, koeficienti në të është i barabartë me një, zgjidhja mund të kontrollohet lehtësisht nga
Shkolla e mesme rurale Kopyevskaya
10 mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike
Drejtues: Galina Anatolyevna Patrikeyeva,
mësues matematike
fshati Kopyevo, 2007
1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike
1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë
1.2 Si Diophantus përpiloi dhe zgjidhi ekuacionet kuadratike
1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi
1.4 Ekuacionet kuadratike nga al-Khorezmi
1.5 Ekuacionet kuadratike në Evropë shekujt XIII - XVII
1.6 Rreth teoremës së Vietës
2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike
konkluzioni
Letërsia
1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike
1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë
Nevoja për të zgjidhur ekuacionet jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë edhe në antikitet u shkaktua nga nevoja për të zgjidhur problemet që lidhen me gjetjen e zonave. parcelat e tokës dhe me punime tokësore të karakterit ushtarak, si dhe me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Ata ishin në gjendje të zgjidhnin ekuacionet kuadratike rreth vitit 2000 para Krishtit. e. babilonasit.
Duke zbatuar shënimin algjebrik modern, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme, përveç atyre jo të plota, ka, për shembull, ekuacione të plota kuadratike:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, në thelb përkon me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e përcaktuara në formën e recetave, pa udhëzime se si u gjetën.
Megjithë nivelin e lartë të zhvillimit të algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.
1.2 Si përpiloi dhe zgjidh Diofanti ekuacionet kuadratike.
Në "Aritmetikën" e Diofantit nuk ka paraqitje sistematike të algjebrës, por ajo përmban një sërë problemash të sistematizuara, të shoqëruara me shpjegime dhe të zgjidhura duke hartuar ekuacione të shkallëve të ndryshme.
Gjatë hartimit të ekuacioneve, Diophantus zgjedh me mjeshtëri të panjohurat për të thjeshtuar zgjidhjen.
Këtu, për shembull, është një nga detyrat e tij.
Problemi 11. Gjeni dy numra duke e ditur se shuma e tyre është 20 dhe prodhimi është 96
Diofanti argumenton si më poshtë: nga kushti i problemit rezulton se numrat e kërkuar nuk janë të barabartë, pasi nëse do të ishin të barabartë, atëherë produkti i tyre do të ishte jo i barabartë me 96, por me 100. Kështu, njëri prej tyre do të jetë më shumë se gjysma e tyre. shuma, dmth ... 10 + x, tjetri është më pak, d.m.th. 10 - x... Dallimi mes tyre 2x .
Prandaj ekuacioni:
(10 + x) (10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Nga këtu x = 2... Një nga numrat e kërkuar është 12 , të tjera 8 ... Zgjidhje x = -2 sepse Diofanti nuk ekziston, pasi matematika greke dinte vetëm numra pozitivë.
Nëse e zgjidhim këtë problem, duke zgjedhur një nga numrat e kërkuar si të panjohur, atëherë arrijmë në zgjidhjen e ekuacionit
y (20 - y) = 96,
y 2 - 20 y + 96 = 0. (2)
Është e qartë se, duke zgjedhur gjysmë-diferencën e numrave të kërkuar si të panjohur, Diophantus thjeshton zgjidhjen; ai arrin ta reduktojë problemin në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik jo të plotë (1).
1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi
Problemet për ekuacionet kuadratike hasen tashmë në traktin astronomik "Aryabhattiam", të përpiluar në vitin 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një studiues tjetër indian, Brahmagupta (shekulli VII), përshkroi rregullin e përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, të reduktuar në një formë të vetme kanonike:
ah 2 + b x = c, a> 0. (1)
Në ekuacionin (1), koeficientët, përveç a, mund të jetë negativ. Rregulli Brahmagupta është në thelb i njëjtë me i yni.
Në Indinë e lashtë, konkurrenca publike për zgjidhjen e problemeve të vështira ishte e zakonshme. Një nga librat e lashtë indian thotë për konkurse të tilla si vijon: "Ashtu si dielli i eklipson yjet me shkëlqimin e tij, kështu një njeri i ditur do të eklipsojë lavdinë e tjetrit në asambletë popullore, duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike". Detyrat shpesh ishin të veshura në formë poetike.
Këtu është një nga detyrat e matematikanit të famshëm indian të shekullit XII. Bhaskaras.
Problemi 13.
"Tufë e zjarrtë majmunësh dhe dymbëdhjetë mbi hardhitë ...
Pas ngrënies së pushtetit, duke u argëtuar. Ata filluan të kërcejnë, duke u varur ...
Ka një pjesë të tetë të tyre në një shesh Sa majmunë ishin atje,
Po argëtohesha në kthinë. Më thua, në këtë paketë?"
Zgjidhja e Bhaskara tregon se ai dinte për rrënjët me dy vlera të ekuacioneve kuadratike (Fig. 3).
Ekuacioni që korrespondon me problemin 13:
( x /8) 2 + 12 = x
Bhaskara shkruan nën maskën:
x 2 - 64x = -768
dhe, për të plotësuar anën e majtë të këtij ekuacioni në një katror, shton në të dyja anët 32 2 , pastaj duke marrë:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Ekuacionet kuadratike për el - Khorezmi
Traktati algjebrik al - Khorezmi jep një klasifikim të ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori numëron 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:
1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpatë 2 + c = b X.
2) "Katroret janë të barabartë me një numër", d.m.th. sëpatë 2 = c.
3) “Rrënjët janë të barabarta me numrin”, d.m.th. ah = c.
4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", dmth sëpatë 2 + c = b X.
5) "Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me një numër", d.m.th. ah 2 + bx = s.
6) “Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë”, d.m.th. bx + c = sëpatë 2.
Për al - Khorezmi, i cili shmangi përdorimin e numrave negativë, termat e secilit prej këtyre ekuacioneve janë shtesa, jo zbritur. Në këtë rast sigurisht që nuk merren parasysh ekuacionet që nuk kanë zgjidhje pozitive. Autori përshkruan metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të mësipërme, duke përdorur teknikat el-xhebr dhe el-mukabal. Vendimi i tij, natyrisht, nuk përkon plotësisht me tonin. Përveç faktit që është thjesht retorik, duhet theksuar, p.sh., se kur zgjidhet një ekuacion kuadratik jo i plotë i llojit të parë.
al - Khorezmi, si të gjithë matematikanët deri në shekullin e 17-të, nuk e merr parasysh zgjidhjen zero, ndoshta sepse nuk ka rëndësi në probleme specifike praktike. Kur zgjidh ekuacione të plota kuadratike, al-Khorezmi, duke përdorur shembuj të veçantë numerikë, përcakton rregullat për zgjidhjen, dhe më pas provat gjeometrike.
Problemi 14.“Katrori dhe numri 21 janë të barabartë me 10 rrënjë. Gjeni rrënjën " (nënkupton rrënjën e ekuacionit x 2 + 21 = 10x).
Zgjidhja e autorit lexon diçka si kjo: ndani numrin e rrënjëve përgjysmë, merrni 5, shumëzoni 5 me vetveten, zbrisni 21 nga prodhimi, do të ketë 4. Nxjerrni rrënjën e 4, merrni 2. Zbrisni 2 nga 5 , ju merrni 3, kjo do të jetë rrënja e dëshiruar. Ose shtoni 2 në 5, që jep 7, kjo është gjithashtu një rrënjë.
Traktati el - Khorezmi është libri i parë që na ka ardhur, në të cilin sistematikisht është paraqitur klasifikimi i ekuacioneve kuadratike dhe jepen formulat për zgjidhjen e tyre.
1.5 Ekuacionet kuadratike në Evropë XIII - Xvii cc
Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike sipas modelit të al-Khorezmi në Evropë u prezantuan për herë të parë në "Librin e Abacus", shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Kjo vepër voluminoze, e cila pasqyron ndikimin e matematikës, si në vendet islame, ashtu edhe në Greqinë e lashtë, dallohet si për plotësinë, ashtu edhe për qartësinë e paraqitjes. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa shembuj të rinj algjebrikë të zgjidhjes së problemeve dhe ishte i pari në Evropë që iu afrua futjes së numrave negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga "Libri i Abacus" u transferuan pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 16 - 17. dhe pjesërisht XVIII.
Rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike reduktuar në një formë të vetme kanonike:
x 2 + bx = s,
me të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të gjasave b , Me u formulua në Evropë vetëm në vitin 1544 nga M. Stiefel.
Derivimi i formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në formë të përgjithshme është i disponueshëm në Viet, megjithatë, Viet njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. Konsideroni, përveç rrënjëve pozitive, dhe negative. Vetëm në shekullin e 17-të. Falë punës së Girardit, Dekartit, Njutonit dhe shkencëtarëve të tjerë, metoda për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne.
1.6 Rreth teoremës së Vietës
Një teoremë që shpreh marrëdhënien midis koeficientëve të një ekuacioni kuadratik dhe rrënjëve të tij, e quajtur Vieta, u formulua për herë të parë prej tij në 1591 si më poshtë: "Nëse B + D shumëzuar me A - A 2 , e barabartë BD, pastaj A barazohet V dhe të barabartë D ».
Për të kuptuar Vietën, duhet mbajtur mend këtë A, si çdo zanore, nënkuptonte për të të panjohurën (tonë X), zanoret V, D- koeficientët për të panjohurën. Në gjuhën e algjebrës moderne, formulimi i mësipërm i Vietës do të thotë: nëse
(a + b ) x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + b ) x + a b = 0,
x 1 = a, x 2 = b .
Duke shprehur marrëdhënien midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacioneve me formula të përgjithshme të shkruara duke përdorur simbole, Viet vendosi uniformitet në metodat e zgjidhjes së ekuacioneve. Megjithatë, simbolika e Vietës është ende larg nga forma e saj moderne. Ai nuk i njihte numrat negativë dhe për këtë arsye, gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, ai konsideronte vetëm rastet kur të gjitha rrënjët janë pozitive.
2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike
Ekuacionet kuadratike janë themeli mbi të cilin mbështetet ndërtesa madhështore e algjebrës. Ekuacionet kuadratike përdoren gjerësisht në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive trigonometrike, eksponenciale, logaritmike, irracionale dhe transcendentale. Të gjithë dimë të zgjidhim ekuacionet kuadratike që nga shkolla (klasa e 8-të), deri në diplomim.
Duke vazhduar temën “Zgjidhja e ekuacioneve”, materiali në këtë artikull do t'ju njohë me ekuacionet kuadratike.
Le të shqyrtojmë gjithçka në detaje: thelbin dhe shkrimin e ekuacionit kuadratik, do të vendosim terma të lidhur, do të analizojmë skemën për zgjidhjen e ekuacioneve jo të plota dhe të plota, do të njihemi me formulën për rrënjët dhe diskriminuesin, do të vendosim lidhjet midis rrënjëve dhe koeficientëve, dhe sigurisht do të japim një zgjidhje vizuale të shembujve praktikë.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ekuacioni kuadratik, llojet e tij
Përkufizimi 1Ekuacioni kuadratikËshtë një ekuacion i shkruar si a x 2 + b x + c = 0, ku x- ndryshorja, a, b dhe c- disa numra, ndërsa a nuk është zero.
Shpesh, ekuacionet kuadratike quhen edhe ekuacione të shkallës së dytë, pasi në thelb një ekuacion kuadratik është një ekuacion algjebrik i shkallës së dytë.
Le të japim një shembull për të ilustruar përkufizimin e dhënë: 9 · x 2 + 16 · x + 2 = 0; 7,5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etj. Janë ekuacione kuadratike.
Përkufizimi 2
Numrat a, b dhe c Janë koeficientët e ekuacionit kuadratik a x 2 + b x + c = 0, ndërsa koeficienti a quhet i pari, ose i lartë, ose koeficienti në x 2, b - koeficienti i dytë, ose koeficienti në x, a c quhet anëtar i lirë.
Për shembull, në një ekuacion kuadratik 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 koeficienti i lartë është 6, koeficienti i dytë është − 2 dhe afati i lirë është − 11 ... Le t'i kushtojmë vëmendje faktit se kur koeficientët b dhe / ose c janë negative, atëherë përdoret një shënim i shkurtër i formës 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, por jo 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.
Le të sqarojmë edhe këtë aspekt: nëse koeficientët a dhe/ose b janë të barabartë 1 ose − 1 , atëherë mund të mos marrin pjesë eksplicite në regjistrimin e ekuacionit kuadratik, gjë që shpjegohet me veçoritë e regjistrimit të koeficientëve numerikë të treguar. Për shembull, në një ekuacion kuadratik y 2 - y + 7 = 0 koeficienti më i lartë është 1, dhe koeficienti i dytë është − 1 .
Ekuacionet kuadratike të reduktuara dhe të pareduktuara
Sipas vlerës së koeficientit të parë, ekuacionet kuadratike ndahen në të reduktuara dhe jo të reduktuara.
Përkufizimi 3
Ekuacioni kuadratik i reduktuarËshtë një ekuacion kuadratik, ku koeficienti kryesor është 1. Për vlerat e tjera të koeficientit kryesor, ekuacioni kuadratik nuk zvogëlohet.
Këtu janë disa shembuj: ekuacionet kuadratike x 2 - 4 x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0 janë zvogëluar, në secilën prej të cilave koeficienti kryesor është 1.
9 x 2 - x - 2 = 0- ekuacioni kuadratik i pareduktuar, ku koeficienti i parë është i ndryshëm nga 1 .
Çdo ekuacion kuadratik i pareduktuar mund të shndërrohet në një ekuacion të reduktuar duke pjesëtuar të dyja pjesët me koeficientin e parë (transformim ekuivalent). Ekuacioni i transformuar do të ketë të njëjtat rrënjë si ekuacioni i dhënë i pareduktuar, ose gjithashtu nuk do të ketë rrënjë fare.
Shqyrtimi i një shembulli specifik do të na lejojë të demonstrojmë qartë zbatimin e kalimit nga një ekuacion kuadratik i pareduktuar në një të reduktuar.
Shembulli 1
Ekuacioni është 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . Është e nevojshme të konvertohet ekuacioni origjinal në formën e reduktuar.
Zgjidhje
Sipas skemës së mësipërme, ne ndajmë të dy anët e ekuacionit origjinal me koeficientin kryesor 6. Pastaj marrim: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3 dhe kjo është e njëjtë si: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 = 0 dhe më tej: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Prandaj: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Kështu, fitohet një ekuacion që është ekuivalent me atë të dhënë.
Përgjigje: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.
Ekuacionet kuadratike të plota dhe jo të plota
Le të kthehemi te përkufizimi i një ekuacioni kuadratik. Në të, ne sqaruam se a ≠ 0... Një kusht i ngjashëm është i nevojshëm për ekuacionin a x 2 + b x + c = 0 ishte pikërisht katror, pasi për a = 0 në thelb shndërrohet në një ekuacion linear b x + c = 0.
Në rastin kur koeficientët b dhe c baraz me zero (që është e mundur, veçmas dhe bashkërisht), ekuacioni kuadratik quhet jo i plotë.
Përkufizimi 4
Ekuacioni kuadratik jo i plotëËshtë një ekuacion i tillë kuadratik a x 2 + b x + c = 0, ku të paktën një nga koeficientët b dhe c(ose të dyja) është zero.
Ekuacioni i plotë kuadratik- një ekuacion kuadratik në të cilin të gjithë koeficientët numerikë nuk janë të barabartë me zero.
Le të diskutojmë pse llojeve të ekuacioneve kuadratike u jepen pikërisht emra të tillë.
Për b = 0, ekuacioni kuadratik merr formën a x 2 + 0 x + c = 0 e cila është e njëjtë me a x 2 + c = 0... Në c = 0 ekuacioni kuadratik shkruhet si a x 2 + b x + 0 = 0 e cila është e barabartë me a x 2 + b x = 0... Në b = 0 dhe c = 0 ekuacioni bëhet a x 2 = 0... Ekuacionet që kemi marrë ndryshojnë nga ekuacioni i plotë kuadratik në atë që anët e tyre në të majtë nuk përmbajnë as një term me ndryshore x, as një term të lirë, ose të dyja menjëherë. Në fakt, ky fakt i dha emrin këtij lloj ekuacionesh - jo të plota.
Për shembull, x 2 + 3 x + 4 = 0 dhe - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 janë ekuacione të plota kuadratike; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, - x 2 - 6 x = 0 - ekuacione kuadratike jo të plota.
Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota
Përkufizimi i mësipërm bën të mundur dallimin e llojeve të mëposhtme të ekuacioneve kuadratike jo të plota:
- a x 2 = 0, një ekuacion i tillë korrespondon me koeficientët b = 0 dhe c = 0;
- a x 2 + c = 0 në b = 0;
- a x 2 + b x = 0 në c = 0.
Le të shqyrtojmë në mënyrë sekuenciale zgjidhjen e secilit lloj ekuacioni kuadratik jo të plotë.
Zgjidhja e ekuacionit a x 2 = 0
Siç u përmend më lart, një ekuacion i tillë korrespondon me koeficientët b dhe c e barabartë me zero. Ekuacioni a x 2 = 0 mund të shndërrohet në një ekuacion ekuivalent x 2 = 0, të cilin e marrim duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit origjinal me numrin a jo e barabartë me zero. Është një fakt i qartë se rrënja e ekuacionit x 2 = 0është zero sepse 0 2 = 0 ... Ky ekuacion nuk ka rrënjë të tjera, gjë që mund të shpjegohet me vetitë e shkallës: për çdo numër p, jo e barabartë me zero, pabarazia është e vërtetë p 2> 0, nga e cila rrjedh se për p ≠ 0 barazisë p 2 = 0 nuk do të arrihet kurrë.
Përkufizimi 5
Kështu, për një ekuacion kuadratik jo të plotë a x 2 = 0, ekziston një rrënjë unike x = 0.
Shembulli 2
Për shembull, le të zgjidhim një ekuacion kuadratik jo të plotë - 3 x 2 = 0... Ekuacioni është i barabartë me të x 2 = 0, rrënja e vetme e saj është x = 0, atëherë ekuacioni origjinal ka gjithashtu një rrënjë të vetme - zero.
Shkurtimisht, zgjidhja zyrtarizohet si më poshtë:
- 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.
Zgjidhja e ekuacionit a x 2 + c = 0
Hapi tjetër është zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota, ku b = 0, c ≠ 0, pra ekuacionet e formës a x 2 + c = 0... Ne e transformojmë këtë ekuacion duke transferuar termin nga njëra anë e ekuacionit në tjetrën, duke ndryshuar shenjën në të kundërtën dhe duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit me një numër që nuk është i barabartë me zero:
- bart përsipër c djathtas, që jep ekuacionin a x 2 = - c;
- ne i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me a, marrim si rezultat x = - c a.
Transformimet tona janë ekuivalente, përkatësisht, ekuacioni që rezulton është gjithashtu i barabartë me atë origjinal dhe ky fakt bën të mundur nxjerrjen e një përfundimi për rrënjët e ekuacionit. Nga ato që janë kuptimet a dhe c vlera e shprehjes - c a varet: mund të ketë një shenjë minus (për shembull, nëse a = 1 dhe c = 2, atëherë - c a = - 2 1 = - 2) ose një shenjë plus (për shembull, nëse a = - 2 dhe c = 6, atëherë - c a = - 6 - 2 = 3); nuk është zero sepse c ≠ 0... Le të ndalemi më gjerësisht në situatat kur - c a< 0 и - c a > 0 .
Në rastin kur - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа fq barazia p 2 = - c a nuk mund të jetë e vërtetë.
Gjithçka është ndryshe kur - c a> 0: mbani mend rrënjën katrore dhe bëhet e qartë se rrënja e ekuacionit x 2 = - c a do të jetë numri - c a, pasi - c a 2 = - c a. Është e lehtë të kuptohet se numri - - c a është gjithashtu rrënja e ekuacionit x 2 = - c a: në të vërtetë, - - c a 2 = - c a.
Ekuacioni nuk do të ketë rrënjë të tjera. Këtë mund ta demonstrojmë duke përdorur metoda kontradiktore. Për të filluar, le të përcaktojmë shënimin për rrënjët e gjetura më sipër si x 1 dhe - x 1... Le të supozojmë se ekuacioni x 2 = - c a ka gjithashtu një rrënjë x 2 e cila është e ndryshme nga rrënjët x 1 dhe - x 1... Ne e dimë se duke zëvendësuar në ekuacion në vend të x rrënjët e tij, e shndërrojnë ekuacionin në një barazi të drejtë numerike.
Për x 1 dhe - x 1 shkruajmë: x 1 2 = - c a, dhe për x 2- x 2 2 = - c a. Bazuar në vetitë e barazive numerike, ne zbresim një barazi të vërtetë nga termi tjetër sipas termit, i cili do të na japë: x 1 2 - x 2 2 = 0... Ne përdorim vetitë e veprimeve në numra për të rishkruar barazinë e fundit si (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0... Dihet se prodhimi i dy numrave është zero nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri nga numrat është zero. Nga sa u tha del se x 1 - x 2 = 0 dhe/ose x 1 + x 2 = 0 e cila është e njëjtë x 2 = x 1 dhe/ose x 2 = - x 1... Lindi një kontradiktë e dukshme, sepse në fillim u ra dakord që rrënja e ekuacionit x 2 ndryshon nga x 1 dhe - x 1... Pra, vërtetuam se ekuacioni nuk ka rrënjë të tjera, përveç x = - c a dhe x = - - c a.
Ne përmbledhim të gjithë arsyetimin e mësipërm.
Përkufizimi 6
Ekuacioni kuadratik jo i plotë a x 2 + c = 0është ekuivalente me ekuacionin x 2 = - c a, i cili:
- nuk do të ketë rrënjë për - c a< 0 ;
- do të ketë dy rrënjë x = - c a dhe x = - - c a për - c a> 0.
Le të japim shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve a x 2 + c = 0.
Shembulli 3
Ekuacioni kuadratik i dhënë 9 x 2 + 7 = 0.Është e nevojshme të gjendet një zgjidhje për të.
Zgjidhje
Ne e transferojmë termin e lirë në anën e djathtë të ekuacionit, atëherë ekuacioni do të marrë formën 9 x 2 = - 7.
Ne i ndajmë të dyja anët e ekuacionit që rezulton me 9
, arrijmë në x 2 = - 7 9. Në anën e djathtë, shohim një numër me shenjën minus, që do të thotë: ekuacioni i dhënë nuk ka rrënjë. Pastaj ekuacioni origjinal jo i plotë kuadratik 9 x 2 + 7 = 0 nuk do të ketë rrënjë.
Përgjigje: ekuacionin 9 x 2 + 7 = 0 nuk ka rrënjë.
Shembulli 4
Është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni - x 2 + 36 = 0.
Zgjidhje
Lëvizni 36 në anën e djathtë: - x 2 = - 36.
Le t'i ndajmë të dyja pjesët − 1
, marrim x 2 = 36... Në anën e djathtë është një numër pozitiv, nga i cili mund të konkludojmë se
x = 36 ose
x = - 36.
Le të nxjerrim rrënjën dhe të shkruajmë rezultatin përfundimtar: një ekuacion kuadratik jo i plotë - x 2 + 36 = 0 ka dy rrënjë x = 6 ose x = - 6.
Përgjigje: x = 6 ose x = - 6.
Zgjidhja e ekuacionit a x 2 + b x = 0
Le të analizojmë llojin e tretë të ekuacioneve kuadratike jo të plota, kur c = 0... Për të gjetur një zgjidhje për një ekuacion kuadratik jo të plotë a x 2 + b x = 0, përdorni metodën e faktorizimit. Ne faktorizojmë polinomin në anën e majtë të ekuacionit, duke nxjerrë faktorin e përbashkët jashtë kllapave x... Ky hap do të bëjë të mundur konvertimin e ekuacionit kuadratik jo të plotë origjinal në ekuivalentin e tij x (a x + b) = 0... Dhe ky ekuacion, nga ana tjetër, është i barabartë me një grup ekuacionesh x = 0 dhe a x + b = 0... Ekuacioni a x + b = 0 lineare, dhe rrënja e saj është: x = - b a.
Përkufizimi 7
Kështu, ekuacioni kuadratik jo i plotë a x 2 + b x = 0 do të ketë dy rrënjë x = 0 dhe x = - b a.
Le ta rregullojmë materialin me një shembull.
Shembulli 5
Është e nevojshme të gjendet një zgjidhje për ekuacionin 2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0.
Zgjidhje
Nxirreni x kllapa dhe merrni ekuacionin x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0. Ky ekuacion është i barabartë me ekuacionet x = 0 dhe 2 3 x - 2 2 7 = 0. Tani ju duhet të zgjidhni ekuacionin linear që rezulton: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.
Ne shkruajmë shkurtimisht zgjidhjen e ekuacionit si më poshtë:
2 3 x 2 - 2 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 ose 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 ose x = 3 3 7
Përgjigje: x = 0, x = 3 3 7.
Diskriminuese, formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik
Për të gjetur një zgjidhje për ekuacionet kuadratike, ekziston një formulë rrënjësore:
Përkufizimi 8
x = - b ± D 2 a, ku D = b 2 - 4 a c- i ashtuquajturi diskriminues i ekuacionit kuadratik.
Shënimi x = - b ± D 2 · a në thelb do të thotë se x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.
Nuk do të jetë e tepërt të kuptojmë se si është nxjerrë formula e treguar dhe si ta zbatojmë atë.
Nxjerrja e formulës për rrënjët e një ekuacioni kuadratik
Le të përballemi me detyrën e zgjidhjes së një ekuacioni kuadratik a x 2 + b x + c = 0... Le të bëjmë një numër transformimesh ekuivalente:
- pjesëtoni të dyja anët e ekuacionit me numrin a jozero, marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar: x 2 + b a · x + c a = 0;
- zgjidhni katrorin e plotë në anën e majtë të ekuacionit që rezulton:
x 2 + ba x + ca = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
Pas kësaj, ekuacioni do të marrë formën: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0; - tani është e mundur të transferojmë dy termat e fundit në anën e djathtë duke ndryshuar shenjën në të kundërtën, pas së cilës marrim: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a;
- më në fund, transformojmë shprehjen e shkruar në anën e djathtë të barazisë së fundit:
b 2 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2.
Kështu, kemi ardhur te ekuacioni x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2, i cili është ekuivalent me ekuacionin origjinal a x 2 + b x + c = 0.
Zgjidhjen e ekuacioneve të tilla e kemi analizuar në paragrafët e mëparshëm (zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota). Përvoja e fituar tashmë bën të mundur nxjerrjen e një përfundimi në lidhje me rrënjët e ekuacionit x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:
- në b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- për b 2 - 4 a c 4 a 2 = 0 ekuacioni ka formën x + b 2 a 2 = 0, pastaj x + b 2 a = 0.
Prandaj, e vetmja rrënjë x = - b 2 · a është e dukshme;
- për b 2 - 4 a c 4 a 2> 0 do të jetë e vërtetë: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ose x = b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2, që është e njëjtë si x + - b 2 a = b 2 - 4 ac 4 a 2 ose x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, d.m.th. ekuacioni ka dy rrënjë.
Mund të konkludohet se prania ose mungesa e rrënjëve të ekuacionit x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (dhe si rrjedhim ekuacioni origjinal) varet nga shenja e shprehjes b 2 - 4 a c 4 · Një 2 e shkruar në anën e djathtë. Dhe shenja e kësaj shprehjeje vendoset me shenjën e numëruesit, (emëruesi 4 a 2 do të jetë gjithmonë pozitiv), domethënë me shenjën e shprehjes b 2 - 4 a c... Kjo shprehje b 2 - 4 a c jepet emri - diskriminuesi i ekuacionit kuadratik dhe si emërtim i tij përcaktohet shkronja D. Këtu mund të shkruani thelbin e diskriminuesit - sipas vlerës dhe shenjës së tij, konkludohet nëse ekuacioni kuadratik do të ketë rrënjë reale, dhe nëse po, cili është numri i rrënjëve - një ose dy.
Le të kthehemi te ekuacioni x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2. Ne e rishkruajmë atë duke përdorur shënimin për diskriminuesin: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2.
Le të formulojmë përsëri përfundimet:
Përkufizimi 9
- në D< 0 ekuacioni nuk ka rrënjë reale;
- në D = 0 ekuacioni ka një rrënjë të vetme x = - b 2 · a;
- në D> 0 ekuacioni ka dy rrënjë: x = - b 2 a + D 4 a 2 ose x = - b 2 a - D 4 a 2. Në bazë të vetive të radikaleve, këto rrënjë mund të shkruhen si: x = - b 2 a + D 2 a ose - b 2 a - D 2 a. Dhe, kur hapim modulet dhe i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët, marrim: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.
Pra, rezultati i arsyetimit tonë ishte derivimi i formulës për rrënjët e ekuacionit kuadratik:
x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminues D llogaritur me formulë D = b 2 - 4 a c.
Këto formula bëjnë të mundur, me një diskriminues më të madh se zero, përcaktimin e të dy rrënjëve reale. Kur diskriminuesi është zero, aplikimi i të dyja formulave do të japë të njëjtën rrënjë si zgjidhjen e vetme të ekuacionit kuadratik. Në rastin kur diskriminuesi është negativ, duke u përpjekur të përdorim formulën e rrënjës katrore, do të përballemi me nevojën për të nxjerrë rrënjën katrore të një numri negativ, i cili do të na çojë përtej numrave realë. Me një diskriminues negativ, ekuacioni kuadratik nuk do të ketë rrënjë reale, por është i mundur një çift rrënjësh komplekse të konjuguara, të përcaktuara nga të njëjtat formula rrënjore që kemi marrë.
Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike duke përdorur formulat rrënjë
Është e mundur të zgjidhet ekuacioni kuadratik duke përdorur menjëherë formulën e rrënjës, por në thelb kjo bëhet kur është e nevojshme të gjenden rrënjë komplekse.
Në pjesën më të madhe të rasteve, zakonisht synohet të kërkosh jo për rrënjë komplekse, por reale të një ekuacioni kuadratik. Më pas është optimale, përpara se të përdorim formulat për rrënjët e ekuacionit kuadratik, që fillimisht të përcaktohet diskriminuesi dhe të sigurohemi që ai të mos jetë negativ (në të kundërt, do të konkludojmë se ekuacioni nuk ka rrënjë reale), dhe më pas të vazhdojmë me llogaritjen. vlerat e rrënjëve.
Arsyetimi i mësipërm bën të mundur formulimin e një algoritmi për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik.
Përkufizimi 10
Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik a x 2 + b x + c = 0, e nevojshme:
- sipas formulës D = b 2 - 4 a c gjeni vlerën e diskriminuesit;
- në D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- për D = 0, gjeni rrënjën e vetme të ekuacionit me formulën x = - b 2 · a;
- për D> 0, caktoni dy rrënjë reale të ekuacionit kuadratik me formulën x = - b ± D 2 · a.
Vini re se kur diskriminuesi është zero, mund të përdorni formulën x = - b ± D 2 · a, ajo do të japë të njëjtin rezultat si formula x = - b 2 · a.
Le të shohim disa shembuj.
Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike
Le të japim një zgjidhje shembujsh për vlera të ndryshme të diskriminuesit.
Shembulli 6
Është e nevojshme të gjenden rrënjët e ekuacionit x 2 + 2 x - 6 = 0.
Zgjidhje
Shkruajmë koeficientët numerik të ekuacionit kuadratik: a = 1, b = 2 dhe c = - 6... Më pas, ne veprojmë sipas algoritmit, d.m.th. le të fillojmë të llogarisim diskriminuesin, për të cilin zëvendësojmë koeficientët a, b dhe c në formulën diskriminuese: D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28.
Pra, kemi marrë D> 0, që do të thotë se ekuacioni origjinal do të ketë dy rrënjë reale.
Për t'i gjetur ato, përdorim formulën rrënjë x = - b ± D 2 · a dhe, duke zëvendësuar vlerat përkatëse, marrim: x = - 2 ± 28 2 · 1. Le të thjeshtojmë shprehjen që rezulton duke marrë faktorin jashtë shenjës së rrënjës dhe më pas duke zvogëluar thyesën:
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 ose x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 ose x = - 1 - 7
Përgjigje: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.
Shembulli 7
Është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni kuadratik - 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.
Zgjidhje
Le të përcaktojmë diskriminuesin: D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0... Me këtë vlerë të diskriminuesit, ekuacioni origjinal do të ketë vetëm një rrënjë, e përcaktuar me formulën x = - b 2 · a.
x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5
Përgjigje: x = 3, 5.
Shembulli 8
Është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni 5 y 2 + 6 y + 2 = 0
Zgjidhje
Koeficientët numerikë të këtij ekuacioni do të jenë: a = 5, b = 6 dhe c = 2. Ne përdorim këto vlera për të gjetur diskriminuesin: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4. Diskriminuesi i llogaritur është negativ, kështu që ekuacioni kuadratik origjinal nuk ka rrënjë reale.
Në rastin kur detyra është të tregojmë rrënjë komplekse, ne zbatojmë formulën për rrënjët, duke kryer veprime me numra komplekse:
x = - 6 ± - 4 2 5,
x = - 6 + 2 i 10 ose x = - 6 - 2 i 10,
x = - 3 5 + 1 5 · i ose x = - 3 5 - 1 5 · i.
Përgjigje: nuk ka rrënjë të vlefshme; rrënjët komplekse janë si më poshtë: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.
Në kurrikulën shkollore nuk ekziston një kërkesë standarde për të kërkuar rrënjë komplekse, prandaj, nëse gjatë zgjidhjes diskriminuesi përcaktohet si negativ, menjëherë shënohet përgjigja se nuk ka rrënjë të vërteta.
Formula rrënjësore për koeficientët edhe të dytë
Formula e rrënjës x = - b ± D 2 a (D = b 2 - 4 a n, për shembull 2 3 ose 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Le të tregojmë se si rrjedh kjo formulë.
Supozoni se përballemi me detyrën për të gjetur një zgjidhje për ekuacionin kuadratik a x 2 + 2 n x + c = 0. Ne vazhdojmë sipas algoritmit: përcaktojmë diskriminuesin D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c), dhe më pas përdorim formulën për rrënjët:
x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a ca.
Shprehja n 2 - a · c le të shënohet si D 1 (nganjëherë shënohet me D "). Atëherë formula për rrënjët e ekuacionit kuadratik të konsideruar me koeficientin e dytë 2 n do të marrë formën:
x = - n ± D 1 a, ku D 1 = n 2 - a · c.
Është e lehtë të shihet se D = 4 · D 1, ose D 1 = D 4. Me fjalë të tjera, D 1 është një e katërta e diskriminuesit. Natyrisht, shenja e D 1 është e njëjtë me shenjën e D, që do të thotë se shenja e D 1 mund të shërbejë edhe si tregues i pranisë ose mungesës së rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.
Përkufizimi 11
Kështu, për të gjetur një zgjidhje për ekuacionin kuadratik me koeficientin e dytë 2 n, është e nevojshme:
- gjeni D 1 = n 2 - a · c;
- në D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- kur D 1 = 0, përcaktoni rrënjën e vetme të ekuacionit me formulën x = - n a;
- për D 1> 0 caktoni dy rrënjë reale me formulën x = - n ± D 1 a.
Shembulli 9
Është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni kuadratik 5 x 2 - 6 x - 32 = 0.
Zgjidhje
Koeficienti i dytë i ekuacionit të dhënë mund të paraqitet si 2 · (- 3). Pastaj e rishkruajmë ekuacionin e dhënë kuadratik si 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 = 0, ku a = 5, n = - 3 dhe c = - 32.
Ne llogarisim pjesën e katërt të diskriminuesit: D 1 = n 2 - a c = (- 3) 2 - 5 (- 32) = 9 + 160 = 169. Vlera që rezulton është pozitive, që do të thotë se ekuacioni ka dy rrënjë reale. Le t'i përcaktojmë ato sipas formulës përkatëse të rrënjës:
x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,
x = 3 + 13 5 ose x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 ose x = - 2
Do të ishte e mundur të kryheshin llogaritjet duke përdorur formulën e zakonshme për rrënjët e një ekuacioni kuadratik, por në këtë rast zgjidhja do të ishte më e rëndë.
Përgjigje: x = 3 1 5 ose x = - 2.
Thjeshtimi i pamjes së ekuacioneve kuadratike
Ndonjëherë është e mundur të optimizohet forma e ekuacionit origjinal, gjë që do të thjeshtojë procesin e llogaritjes së rrënjëve.
Për shembull, ekuacioni kuadratik 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 është qartësisht më i përshtatshëm për zgjidhje sesa 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0.
Më shpesh, thjeshtimi i formës së një ekuacioni kuadratik kryhet duke shumëzuar ose pjesëtuar të dy pjesët e tij me një numër të caktuar. Për shembull, më lart treguam një paraqitje të thjeshtuar të ekuacionit 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, të marrë duke pjesëtuar të dy pjesët e tij me 100.
Një transformim i tillë është i mundur kur koeficientët e ekuacionit kuadratik nuk janë numra koprim. Pastaj, zakonisht, të dy anët e ekuacionit ndahen me pjesëtuesin më të madh të përbashkët të vlerave absolute të koeficientëve të tij.
Si shembull, përdorni ekuacionin kuadratik 12 x 2 - 42 x + 48 = 0. Përcaktoni gcd-në e vlerave absolute të koeficientëve të tij: gcd (12, 42, 48) = gcd (gcd (12, 42), 48) = gcd (6, 48) = 6. Ne ndajmë të dyja anët e ekuacionit kuadratik origjinal me 6 dhe marrim ekuacionin kuadratik ekuivalent 2 x 2 - 7 x + 8 = 0.
Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit kuadratik, zakonisht shpëtoni nga koeficientët thyesorë. Në këtë rast, shumëzoni me shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve të koeficientëve të tij. Për shembull, nëse secila pjesë e ekuacionit kuadratik 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 shumëzohet me LCM (6, 3, 1) = 6, atëherë do të shkruhet në një formë më të thjeshtë x 2 + 4 x - 18 = 0.
Së fundi, vërejmë se ata pothuajse gjithmonë heqin qafe minusin në koeficientin e parë të ekuacionit kuadratik, duke ndryshuar shenjat e secilit term të ekuacionit, i cili arrihet duke shumëzuar (ose pjesëtuar) të dy pjesët me - 1. Për shembull, nga ekuacioni kuadratik - 2 x 2 - 3 x + 7 = 0, mund të shkoni në një version të thjeshtuar të tij 2 x 2 + 3 x - 7 = 0.
Marrëdhënia midis rrënjëve dhe koeficientëve
Formula e njohur tashmë për rrënjët e ekuacioneve kuadratike x = - b ± D 2 · a shpreh rrënjët e ekuacionit në terma të koeficientëve të tij numerikë. Bazuar në këtë formulë, ne jemi në gjendje të specifikojmë varësi të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve.
Më të famshmet dhe më të zbatueshmet janë formulat e teoremës Vieta:
x 1 + x 2 = - b a dhe x 2 = c a.
Në veçanti, për ekuacionin e dhënë kuadratik, shuma e rrënjëve është koeficienti i dytë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë. Për shembull, nga forma e ekuacionit kuadratik 3 x 2 - 7 x + 22 = 0, është e mundur që menjëherë të përcaktohet se shuma e rrënjëve të tij është 7 3, dhe produkti i rrënjëve është 22 3.
Ju gjithashtu mund të gjeni një sërë marrëdhëniesh të tjera midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacionit kuadratik. Për shembull, shuma e katrorëve të rrënjëve të një ekuacioni kuadratik mund të shprehet në terma të koeficientëve:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - ba 2 - 2 ca = b 2 a 2 - 2 ca = b 2 - 2 a ca 2.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi zgjidhni atë dhe shtypni Ctrl + Enter
Problemet për ekuacionin kuadratik studiohen në kurrikulën shkollore dhe në universitete. Kuptohen si ekuacione të formës a * x ^ 2 + b * x + c = 0, ku x - ndryshore, a, b, c - konstante; a<>0. Detyra është të gjesh rrënjët e ekuacionit.
Kuptimi gjeometrik i ekuacionit kuadratik
Grafiku i një funksioni që përfaqësohet nga një ekuacion kuadratik është një parabolë. Zgjidhjet (rrënjët) e ekuacionit kuadratik janë pikat e prerjes së parabolës me abshisën (x). Nga kjo rezulton se ekzistojnë tre raste të mundshme:
1) parabola nuk ka pika të prerjes me boshtin e abshisave. Kjo do të thotë se është në rrafshin e sipërm me degë lart ose poshtë me degë poshtë. Në raste të tilla, ekuacioni kuadratik nuk ka rrënjë reale (ka dy rrënjë komplekse).
2) parabola ka një pikë kryqëzimi me boshtin Ox. Një pikë e tillë quhet kulmi i parabolës dhe ekuacioni kuadratik në të fiton vlerën e tij minimale ose maksimale. Në këtë rast, ekuacioni kuadratik ka një rrënjë reale (ose dy rrënjë identike).
3) Rasti i fundit është më interesant në praktikë - ekzistojnë dy pika të kryqëzimit të parabolës me boshtin e abshisë. Kjo do të thotë se ka dy rrënjë reale të ekuacionit.
Në bazë të analizës së koeficientëve në shkallët e variablave, mund të nxirren përfundime interesante për vendosjen e parabolës.
1) Nëse koeficienti a është më i madh se zero, atëherë parabola drejtohet lart, nëse është negative, degët e parabolës drejtohen poshtë.
2) Nëse koeficienti b është më i madh se zero, atëherë kulmi i parabolës qëndron në gjysmëplanin e majtë, nëse merr një vlerë negative, atëherë në të djathtë.
Nxjerrja e një formule për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik
Zhvendos konstanten nga ekuacioni kuadratik 
për shenjën e barabartë, marrim shprehjen
Shumëzojini të dyja anët me 4a 
Për të marrë një katror të plotë në të majtë, shtoni b ^ 2 në të dy pjesët dhe kryeni transformimin
Nga këtu gjejmë
Formula për diskriminuesin dhe rrënjët e një ekuacioni kuadratik
Diskriminuesi quhet vlera e shprehjes radikale Nëse është pozitive atëherë ekuacioni ka dy rrënjë reale, të llogaritura me formulën 
Kur diskriminuesi është zero, ekuacioni kuadratik ka një zgjidhje (dy rrënjë që përputhen), e cila mund të merret lehtësisht nga formula e mësipërme kur D = 0. Kur diskriminuesi është negativ, ekuacioni nuk ka rrënjë reale. Sidoqoftë, gjenden zgjidhjet e një ekuacioni kuadratik në planin kompleks dhe vlera e tyre llogaritet me formulën 
Teorema e Vietës
Shqyrtoni dy rrënjët e një ekuacioni kuadratik dhe ndërtoni një ekuacion kuadratik mbi bazën e tyre Teorema e Vietës rrjedh lehtësisht nga shënimi: nëse kemi një ekuacion kuadratik të formës 
atëherë shuma e rrënjëve të tij është e barabartë me koeficientin p, marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve të ekuacionit është i barabartë me termin e lirë q. Shënimi zyrtar i sa më sipër do të duket si Nëse në ekuacionin klasik konstanta a është jozero, atëherë duhet të ndani të gjithë ekuacionin me të dhe më pas të zbatoni teoremën e Vietës.
Planifikoni një ekuacion kuadratik për faktorët
Le të shtrohet problemi: faktorizoni një ekuacion kuadratik. Për ta realizuar, fillimisht zgjidhim ekuacionin (gjeni rrënjët). Më pas, rrënjët e gjetura i zëvendësojmë në formulën e zgjerimit të ekuacionit kuadratik. Kjo do të zgjidhë problemin.
Problemet e ekuacionit kuadratik
Objektivi 1. Gjeni rrënjët e një ekuacioni kuadratik
x ^ 2-26x + 120 = 0.
Zgjidhje: I shkruajmë koeficientët dhe i zëvendësojmë në formulën diskriminuese
Rrënja e kësaj vlere është 14, është e lehtë ta gjesh atë me një kalkulator, ose ta kujtosh me përdorim të shpeshtë, megjithatë, për lehtësi, në fund të artikullit do t'ju jap një listë me katrorë numrash që shpesh mund të hasur në detyra të tilla.
Ne e zëvendësojmë vlerën e gjetur në formulën rrënjësore 
dhe marrim 
Objektivi 2. Zgjidhe ekuacionin
2x 2 + x-3 = 0.
Zgjidhje: Kemi një ekuacion të plotë kuadratik, shkruajmë koeficientët dhe gjejmë diskriminuesin 
Duke përdorur formulat e njohura, gjejmë rrënjët e ekuacionit kuadratik 
Objektivi 3. Zgjidhe ekuacionin
9x 2 -12x + 4 = 0.
Zgjidhja: Kemi një ekuacion të plotë kuadratik. Përcaktoni diskriminuesin
Kemi një rast kur rrënjët janë të njëjta. Vlerat e rrënjëve i gjejmë sipas formulës 
Detyra 4. Zgjidhe ekuacionin
x ^ 2 + x-6 = 0.
Zgjidhja: Në rastet kur ka koeficientë të vegjël në x, këshillohet të zbatohet teorema e Vietës. Sipas gjendjes së tij, marrim dy ekuacione
Nga kushti i dytë, marrim se produkti duhet të jetë i barabartë me -6. Kjo do të thotë që njëra prej rrënjëve është negative. Kemi çiftin e mëposhtëm të mundshëm të zgjidhjeve (-3; 2), (3; -2). Duke marrë parasysh kushtin e parë, ne refuzojmë çiftin e dytë të zgjidhjeve.
Rrënjët e ekuacionit janë të barabarta
Detyra 5. Gjeni gjatësitë e brinjëve të një drejtkëndëshi nëse perimetri i tij është 18 cm dhe sipërfaqja e tij është 77 cm 2.
Zgjidhje: Gjysma e perimetrit të drejtkëndëshit është shuma e brinjëve ngjitur. Le të shënojmë x - anën e madhe, atëherë 18-x është ana e saj më e vogël. Sipërfaqja e drejtkëndëshit është e barabartë me produktin e këtyre gjatësive:
x (18-x) = 77;
ose
x 2 -18x + 77 = 0.
Gjeni diskriminuesin e ekuacionit
Llogaritni rrënjët e ekuacionit 
Nëse x = 11, pastaj 18 = 7, përkundrazi, është gjithashtu e vërtetë (nëse x = 7, atëherë 21-x = 9).
Problema 6. Faktoroni ekuacionet katrore 10x 2 -11x + 3 = 0.
Zgjidhje: Llogaritim rrënjët e ekuacionit, për këtë gjejmë diskriminuesin 
Zëvendësoni vlerën e gjetur në formulën rrënjësore dhe llogarisni 
Zbatojmë formulën për zgjerimin e një ekuacioni kuadratik në rrënjë 
Duke zgjeruar kllapat, marrim një identitet.
Ekuacioni kuadratik me parametër
Shembulli 1. Për cilat vlera të parametrit një, a ka një rrënjë ekuacioni (a-3) x 2 + (3-a) x-1/4 = 0?
Zgjidhje: Me zëvendësim të drejtpërdrejtë të vlerës a = 3, shohim se nuk ka zgjidhje. Më pas, do të përdorim faktin që për diskriminuesin zero, ekuacioni ka një rrënjë të shumëfishimit 2. Le të shkruajmë diskriminuesin 
thjeshtoje dhe barazoje me zero
Mori një ekuacion kuadratik për parametrin a, zgjidhja e të cilit është e lehtë të merret nga teorema e Vietës. Shuma e rrënjëve është 7, dhe prodhimi i tyre është 12. Me një numërim të thjeshtë, konstatojmë se numrat 3,4 do të jenë rrënjët e ekuacionit. Meqenëse ne kemi refuzuar tashmë zgjidhjen a = 3 në fillim të llogaritjeve, e vetmja e saktë do të jetë - a = 4. Kështu, për a = 4 ekuacioni ka një rrënjë.
Shembulli 2. Për cilat vlera të parametrit një, ekuacionin a (a + 3) x ^ 2 + (2a + 6) x-3a-9 = 0 ka më shumë se një rrënjë?
Zgjidhja: Konsideroni fillimisht pikat njëjës, ato do të jenë vlerat a = 0 dhe a = -3. Kur a = 0, ekuacioni do të thjeshtohet në formën 6x-9 = 0; x = 3/2 dhe do të ketë një rrënjë. Për a = -3, marrim identitetin 0 = 0.
Ne llogarisim diskriminuesin 
dhe gjeni vlerat e a në të cilat është pozitive 
Nga kushti i parë, marrim një> 3. Për të dytën, gjejmë diskriminuesin dhe rrënjët e ekuacionit 
Le të përcaktojmë intervalet ku funksioni merr vlera pozitive. Duke zëvendësuar pikën a = 0, marrim 3>0
.
Pra, jashtë intervalit (-3; 1/3), funksioni është negativ. Mos harroni pikën a = 0, e cila duhet të përjashtohet, pasi ekuacioni origjinal në të ka një rrënjë.
Si rezultat, marrim dy intervale që plotësojnë gjendjen e problemit 
Do të ketë shumë detyra të ngjashme në praktikë, përpiquni t'i kuptoni vetë detyrat dhe mos harroni të merrni parasysh kushtet që janë reciprokisht ekskluzive. Mësoni mirë formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, ato shpesh nevojiten në llogaritjet në probleme dhe shkenca të ndryshme.
Me këtë program matematikor, mundeni zgjidhni ekuacionin kuadratik.
Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por gjithashtu shfaq procesin e zgjidhjes në dy mënyra:
- duke përdorur diskriminuesin
- duke përdorur teoremën e Vietës (nëse është e mundur).
Për më tepër, përgjigja shfaqet e saktë, jo e përafërt.
Për shembull, për ekuacionin \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \), përgjigjja shfaqet në këtë formë:
Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në përgatitjen e testeve dhe provimeve, kur kontrollojnë njohuritë para provimit, që prindërit të kontrollojnë zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju që të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi t'i kryeni detyrat e shtëpisë tuaj të matematikës ose algjebrës sa më shpejt që të jetë e mundur? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me një zgjidhje të detajuar.
Në këtë mënyrë ju mund të zhvilloni mësimin tuaj dhe/ose mësimin e vëllezërve dhe motrave më të vegjël, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e problemeve që zgjidhen.
Nëse nuk jeni të njohur me rregullat për futjen e një polinomi katror, ju rekomandojmë që të njiheni me to.
Rregullat për futjen e një polinomi katror
Çdo shkronjë latine mund të përdoret si variabël.
Për shembull: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etj.
Numrat mund të futen si numra të plotë ose të pjesshëm.
Për më tepër, numrat thyesorë mund të futen jo vetëm në formën e një dhjetore, por edhe në formën e një fraksioni të zakonshëm.
Rregullat për futjen e thyesave dhjetore.
Në thyesat dhjetore, pjesa thyesore nga e tëra mund të ndahet ose me një pikë ose me presje.
Për shembull, mund të futni thyesa dhjetore si kjo: 2.5x - 3.5x ^ 2
Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të përdoret si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.
Emëruesi nuk mund të jetë negativ.
Kur futni një thyesë numerike, numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: /
E gjithë pjesa ndahet nga fraksioni me një ampersand: &
Hyrja: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Rezultati: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)
Kur futni një shprehje mund të përdoren kllapa... Në këtë rast, kur zgjidhet një ekuacion kuadratik, shprehja e paraqitur fillimisht thjeshtohet.
Për shembull: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5v-10 & 1/2)
Vendosni
U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk ishin ngarkuar dhe programi mund të mos funksionojë.
Ndoshta e keni aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.
Që zgjidhja të shfaqet, duhet të aktivizoni JavaScript.
Këtu janë udhëzimet se si të aktivizoni JavaScript në shfletuesin tuaj.
Sepse Ka shumë njerëz që duan të zgjidhin problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Pas disa sekondash, zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Te lutem prit sekondë...
nëse ti vërejti një gabim në vendim, atëherë mund të shkruani për këtë në formularin e komenteve.
Mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni dhe çfarë futni në fusha.
Lojërat tona, enigmat, emulatorët:
Pak teori.
Ekuacioni kuadratik dhe rrënjët e tij. Ekuacionet kuadratike jo të plota
Secili prej ekuacioneve
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ katërkëndësh 8x ^ 2-7x = 0, \ katër x ^ 2- \ frak (4) (9) = 0 \)
ka formën
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë numra.
Në ekuacionin e parë a = -1, b = 6 dhe c = 1,4, në të dytin a = 8, b = -7 dhe c = 0, në të tretin a = 1, b = 0 dhe c = 4/9. Ekuacione të tilla quhen ekuacionet kuadratike.
Përkufizimi.
Ekuacioni kuadratikështë një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra dhe \ (a \ neq 0 \).
Numrat a, b dhe c janë koeficientët e ekuacionit kuadratik. Numri a quhet koeficienti i parë, numri b - koeficienti i dytë, dhe numri c - termi i lirë.
Në secilin prej ekuacioneve të formës ax 2 + bx + c = 0, ku \ (a \ neq 0 \), fuqia më e madhe e ndryshores x është katrori. Prandaj emri: ekuacion kuadratik.
Vini re se një ekuacion kuadratik quhet gjithashtu një ekuacion i shkallës së dytë, pasi ana e majtë e tij është një polinom i shkallës së dytë.
Quhet një ekuacion kuadratik në të cilin koeficienti në x 2 është 1 ekuacioni kuadratik i reduktuar... Për shembull, ekuacionet kuadratike të reduktuara janë ekuacionet
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ katër x ^ 2-6x = 0, \ katër x ^ 2-8 = 0 \)
Nëse në ekuacionin kuadratik ax 2 + bx + c = 0 të paktën njëri nga koeficientët b ose c është i barabartë me zero, atëherë një ekuacion i tillë quhet ekuacioni kuadratik jo i plotë... Pra, ekuacionet -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 janë ekuacione kuadratike jo të plota. Në të parën prej tyre b = 0, në të dytën c = 0, në të tretën b = 0 dhe c = 0.
Ekuacionet kuadratike jo të plota janë tre llojesh:
1) sëpatë 2 + c = 0, ku \ (c \ neq 0 \);
2) sëpatë 2 + bx = 0, ku \ (b \ neq 0 \);
3) sëpatë 2 = 0.
Le të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacioneve të secilit prej këtyre llojeve.
Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + c = 0 për \ (c \ neq 0 \), transferoni termin e tij të lirë në anën e djathtë dhe ndani të dy anët e ekuacionit me a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Shigjeta djathtas x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)
Meqenëse \ (c \ neq 0 \), atëherë \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)
Nëse \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.
Nëse \ (- \ frac (c) (a) Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + bx = 0 me \ (b \ neq 0 \) faktorizoni anën e majtë të tij dhe merrni ekuacionin
\ (x (sëpatë + b) = 0 \ Shigjeta djathtas \ majtas \ (\ fillojë (vargu) (l) x = 0 \\ sëpatë + b = 0 \ fund (vargu) \ djathtas. \ Shigjeta djathtas \ majtas \ (\ fillojë (vargu) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ fundi (vargu) \ djathtas. \)
Kjo do të thotë që një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës ax 2 + bx = 0 për \ (b \ neq 0 \) ka gjithmonë dy rrënjë.
Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës ax 2 = 0 është ekuivalent me ekuacionin x 2 = 0 dhe për këtë arsye ka një rrënjë unike 0.
Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik
Le të shqyrtojmë tani se si zgjidhen ekuacionet kuadratike në të cilat të dy koeficientët e të panjohurave dhe termi i lirë janë jozero.
E zgjidhim ekuacionin kuadratik në formë të përgjithshme dhe si rezultat marrim formulën për rrënjët. Atëherë kjo formulë mund të zbatohet për të zgjidhur çdo ekuacion kuadratik.
Zgjidheni ekuacionin kuadratik ax 2 + bx + c = 0
Duke i pjesëtuar të dyja pjesët e tij me a, marrim ekuacionin ekuivalent të reduktuar kuadratik
\ (x ^ 2 + \ frak (b) (a) x + \ frak (c) (a) = 0 \)
Ne e transformojmë këtë ekuacion duke zgjedhur katrorin e binomit:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ majtas (\ frac (b) (2a) \ djathtas) ^ 2- \ majtas (\ frac (b) (2a) \ djathtas) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Shigjeta djathtas \)
Shprehja radikale quhet diskriminuesi i ekuacionit kuadratik sëpatë 2 + bx + c = 0 ("diskriminues" në latinisht - diskriminues). Përcaktohet me shkronjën D, d.m.th.
\ (D = b ^ 2-4ac \)
Tani, duke përdorur shënimin e diskriminuesit, ne rishkruajmë formulën për rrënjët e ekuacionit kuadratik:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), ku \ (D = b ^ 2-4ac \)
Është e qartë se:
1) Nëse D> 0, atëherë ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë.
2) Nëse D = 0, atëherë ekuacioni kuadratik ka një rrënjë \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Nëse D Kështu, në varësi të vlerës së diskriminuesit, ekuacioni kuadratik mund të ketë dy rrënjë (për D> 0), një rrënjë (për D = 0) ose të mos ketë rrënjë (për D Kur zgjidh një ekuacion kuadratik duke përdorur këtë formulë, këshillohet të veprohet si më poshtë:
1) llogaritni diskriminuesin dhe krahasoni atë me zero;
2) nëse diskriminuesi është pozitiv ose i barabartë me zero, atëherë përdorni formulën e rrënjës, nëse diskriminuesi është negativ, atëherë shkruani se nuk ka rrënjë.
Teorema e Vietës
Ekuacioni i dhënë kuadratik ax 2 -7x + 10 = 0 ka rrënjët 2 dhe 5. Shuma e rrënjëve është 7, dhe prodhimi është 10. Shohim që shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me të kundërtën shenjë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë. Çdo ekuacion i dhënë kuadratik me rrënjë e posedon këtë veti.
Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të dhënë është e barabartë me koeficientin e dytë, marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë.
ato. Teorema e Vietës thotë se rrënjët x 1 dhe x 2 të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 + px + q = 0 kanë vetinë:
\ (\ majtas \ (\ fillojë (vargu) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ fundi (vargu) \ djathtas. \)