Vëllimi i një trupi rrotullues rreth oy. Mësimi "Llogaritja e vëllimeve të trupave të revolucionit duke përdorur një integral të caktuar

Ashtu si me problemin e gjetjes së zonës, keni nevojë për aftësi të sigurta vizatimi - kjo është pothuajse gjëja më e rëndësishme (pasi vetë integralet shpesh do të jenë të lehta). Ju mund të zotëroni një teknikë kompetente dhe të shpejtë të hartimit të grafikëve me ndihmën e materialeve metodologjike dhe transformimeve gjeometrike të grafikëve. Por, në fakt, unë kam folur tashmë në mënyrë të përsëritur për rëndësinë e vizatimeve në mësim.

Në përgjithësi, ka shumë aplikime interesante në llogaritjen integrale, me ndihmën e një integrali të caktuar mund të llogaritni sipërfaqen e një figure, vëllimin e një trupi rrotullues, gjatësinë e një harku, sipërfaqen prej revolucion, dhe shumë më tepër. Kështu që do të jetë argëtuese, ju lutemi jini optimistë!

Imagjinoni një figurë të sheshtë në planin koordinativ. A keni prezantuar? ... Pyes veten se kush prezantoi çfarë ... =))) Ne kemi gjetur tashmë zonën e saj. Por, përveç kësaj, kjo shifër gjithashtu mund të rrotullohet dhe rrotullohet në dy mënyra:

- rreth boshtit të abshisë;
- rreth boshtit të ordinatave.

Ky artikull do të mbulojë të dyja rastet. Metoda e dytë e rrotullimit është veçanërisht interesante, ajo shkakton vështirësitë më të mëdha, por në fakt zgjidhja është praktikisht e njëjtë si në rrotullimin më të zakonshëm rreth boshtit të abshisës. Si bonus, do të kthehem problemi i gjetjes së sipërfaqes së një figure, dhe unë do t'ju tregoj se si ta gjeni zonën në mënyrën e dytë - përgjatë boshtit. Nuk është edhe aq shumë bonus, pasi materiali përshtatet mirë me temën.

Le të fillojmë me llojin më të njohur të rrotullimit.

një figurë e sheshtë rreth një boshti

Shembulli 1

Llogaritni vëllimin e një trupi të ngurtë që përftohet duke rrotulluar një formë të kufizuar nga vija rreth një boshti.

Zgjidhje: Si në problemin e gjetjes së zonës, zgjidhja fillon me vizatimin e një figure të sheshtë... Kjo do të thotë, në një aeroplan është e nevojshme të ndërtohet një figurë e kufizuar nga vija, dhe mos harroni se ekuacioni përcakton boshtin. Si të bëni një vizatim në mënyrë më efikase dhe më të shpejtë, mund ta zbuloni në faqe Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare dhe Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një forme... Ky është një kujtesë kineze dhe nuk ndalem më në këtë pikë.

Vizatimi këtu është mjaft i thjeshtë:

Figura e dëshiruar e sheshtë është e hijezuar në ngjyrë blu, është ajo që rrotullohet rreth boshtit.Si rezultat i rrotullimit, fitohet një disk fluturues paksa vezak, i cili është simetrik në lidhje me boshtin. Në fakt, trupi ka një emër matematikor, por libri i referencës është shumë dembel për të sqaruar diçka, ndaj shkojmë më tej.

Si të llogarisni vëllimin e një trupi rrotullues?

Vëllimi i një trupi rrotullues mund të llogaritet me formulën:

Një numër duhet të jetë gjithmonë i pranishëm në formulë përpara integralit. Kështu ndodhi - gjithçka që rrotullohet në jetë është e lidhur me këtë konstante.

Si të vendosni kufijtë e integrimit "a" dhe "bh", mendoj se është e lehtë të merret me mend nga vizatimi i përfunduar.

Funksioni… çfarë është ky funksion? Le të hedhim një vështrim në vizatim. Një figurë e sheshtë kufizohet nga një grafik parabolë në krye. Ky është funksioni që nënkuptohet në formulë.

Në ushtrimet praktike, një figurë e sheshtë ndonjëherë mund të vendoset nën bosht. Kjo nuk ndryshon asgjë - integrani në formulë është në katror: kështu integrali është gjithmonë jo negativ, që është mjaft logjike.

Le të llogarisim vëllimin e trupit të rrotullimit duke përdorur këtë formulë:

Siç e kam vërejtur tashmë, integrali është pothuajse gjithmonë i thjeshtë, gjëja kryesore është të jesh i kujdesshëm.

Përgjigju:

Në përgjigje, është e nevojshme të tregohet dimensioni - njësi kub. Kjo do të thotë, në trupin tonë të revolucionit ka afërsisht 3.35 "kuba". Pse pikërisht kub njësi? Sepse formulimi më universal. Mund të ketë centimetra kub, mund të ketë metra kub, mund të ketë kilometra kub, etj., ja sa njerëz të vegjël të gjelbër mund të vendosë imagjinata juaj në një disk fluturues.

Shembulli 2

Gjeni vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të figurës të kufizuar me vija,

Ky është një shembull për një zgjidhje të bërë vetë. Plotësoni zgjidhjen dhe përgjigjuni në fund të tutorialit.

Konsideroni dy detyra më komplekse që janë gjithashtu të zakonshme në praktikë.

Shembulli 3

Llogaritni vëllimin e trupit të marrë duke rrotulluar figurën e kufizuar nga vijat rreth boshtit të abshisës dhe

Zgjidhje: Vizatoni në vizatim një figurë të sheshtë të kufizuar me vija,,,, pa harruar se ekuacioni përcakton boshtin:

Figura e dëshiruar është e hijezuar në ngjyrë blu. Kur e rrotulloni rreth boshtit, ju merrni një donut kaq surreal me katër qoshe.

Vëllimi i trupit të rrotullimit llogaritet si dallimi në vëllimet e trupit.

Së pari, le të shohim formën e përshkruar me të kuqe. Kur rrotullohet rreth boshtit, fitohet një kon i cunguar. Le të shënojmë vëllimin e këtij koni të cunguar.

Merrni parasysh formën e përshkruar në të gjelbër. Nëse e rrotulloni këtë figurë rreth boshtit, do të merrni gjithashtu një kon të cunguar, vetëm pak më të vogël. Le të shënojmë vëllimin e tij deri në fund.

Dhe, padyshim, ndryshimi në vëllime është pikërisht vëllimi i "donut" tonë.

Ne përdorim formulën standarde për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

1) Forma e rrethuar në të kuqe kufizohet nga lart me një vijë të drejtë, prandaj:

2) Forma e përvijuar në të gjelbër kufizohet nga lart nga një vijë e drejtë, kështu që:

3) Vëllimi i trupit të kërkuar të revolucionit:

Përgjigju:

Është kureshtare që në këtë rast zgjidhja mund të kontrollohet duke përdorur formulën e shkollës për llogaritjen e vëllimit të një koni të cunguar.

Vetë zgjidhja shpesh bëhet më e shkurtër, diçka si kjo:

Tani le të pushojmë pak dhe të flasim për iluzionet gjeometrike.

Njerëzit shpesh kanë iluzione të lidhura me vëllime, të cilat Perelman (një tjetër) i vuri në dukje në libër Gjeometri interesante... Shikoni figurën e sheshtë në problemin e zgjidhur - duket të jetë i vogël në sipërfaqe, dhe vëllimi i trupit të revolucionit është pak më shumë se 50 njësi kub, që duket shumë i madh. Nga rruga, një person mesatar gjatë gjithë jetës së tij pi një lëng me një vëllim të një dhome me një sipërfaqe prej 18 metrash katrorë, e cila, përkundrazi, duket të jetë shumë e vogël në vëllim.

Në përgjithësi, sistemi arsimor në BRSS ishte me të vërtetë më i miri. I njëjti libër i Perelman, i botuar në vitin 1950, zhvillon shumë mirë, siç tha humoristi, arsyetimin dhe na mëson të kërkojmë zgjidhje origjinale jo standarde për problemet. Kohët e fundit kam rilexuar disa kapituj me shumë interes, e rekomandoj, është i disponueshëm edhe për shkencat humane. Jo, nuk ka nevojë të buzëqeshni se ofrova një kohë të lirë, erudicioni dhe një këndvështrim i gjerë në komunikim është një gjë e shkëlqyer.

Pas digresionit lirik, është thjesht e përshtatshme të zgjidhet detyra krijuese:

Shembulli 4

Njehsoni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të një figure të sheshtë të kufizuar me vija, ku.

Ky është një shembull për një zgjidhje të bërë vetë. Ju lutemi vini re se të gjitha gjërat ndodhin në shirit, me fjalë të tjera, në fakt janë dhënë kufij të gatshëm të integrimit. Vizatoni saktë grafikët e funksioneve trigonometrike, më lejoni t'ju kujtoj materialin e mësimit rreth shndërrimet gjeometrike të grafikëve: nëse argumenti është i pjesëtueshëm me dy:, atëherë grafikët shtrihen përgjatë boshtit dy herë. Është e dëshirueshme për të gjetur të paktën 3-4 pikë sipas tabelave trigonometrike për të përfunduar më saktë vizatimin. Plotësoni zgjidhjen dhe përgjigjuni në fund të tutorialit. Nga rruga, detyra mund të zgjidhet në mënyrë racionale dhe jo shumë racionale.

Llogaritja e vëllimit të një trupi të formuar nga rrotullimi
një figurë e sheshtë rreth një boshti

Paragrafi i dytë do të jetë edhe më interesant se i pari. Detyra e llogaritjes së vëllimit të një trupi rrotullues rreth boshtit të ordinatave është gjithashtu një mysafir mjaft i shpeshtë në teste. Gjatë rrugës, do të merret parasysh problemi i gjetjes së sipërfaqes së një figure në mënyrën e dytë - integrimi përgjatë boshtit, kjo do t'ju lejojë jo vetëm të përmirësoni aftësitë tuaja, por edhe t'ju mësojë se si të gjeni zgjidhjen më fitimprurëse. Kjo ka edhe një kuptim praktik në jetë! Siç kujtonte me buzëqeshje mësuesja ime e metodave të mësimdhënies së matematikës, shumë maturantë e falënderuan me fjalët: "Lënda juaj na ndihmoi shumë, tani jemi menaxherë efektivë dhe menaxhojmë stafin në mënyrë optimale". Duke shfrytëzuar këtë rast, i shpreh edhe mirënjohjen time të thellë, veçanërisht pasi njohuritë e marra i përdor për qëllimin e synuar =).

Unë ua rekomandoj të gjithëve, madje edhe çajnikët e plotë, për lexim. Për më tepër, asimilimi i materialit në seksionin e dytë do të jetë i paçmuar në llogaritjen e integraleve të dyfishta.

Shembulli 5

Ju jepet një figurë e sheshtë e kufizuar me vija,,.

1) Gjeni sipërfaqen e një figure të sheshtë të kufizuar nga këto vija.
2) Gjeni vëllimin e një trupi të marrë duke rrotulluar një figurë të sheshtë të kufizuar nga këto vija rreth një boshti.

Kujdes! Edhe nëse dëshironi të lexoni vetëm paragrafin e dytë, së pari detyrimisht lexo të parën!

Zgjidhje: Detyra përbëhet nga dy pjesë. Le të fillojmë me sheshin.

1) Le të ekzekutojmë vizatimin:

Është e lehtë të shihet se funksioni përcakton degën e sipërme të parabolës, dhe funksioni përcakton degën e poshtme të parabolës. Para nesh është një parabolë e parëndësishme që "shtrihet në anën e saj".

Shifra e kërkuar, sipërfaqja e së cilës duhet të gjendet, është e hijezuar në ngjyrë blu.

Si mund ta gjej sipërfaqen e një forme? Mund të gjendet në mënyrën "e zakonshme", për të cilën u diskutua në mësim Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një forme... Për më tepër, sipërfaqja e figurës gjendet si shuma e sipërfaqeve:
- në segment ;
- në segment.

Kjo është arsyeja pse:

Çfarë nuk shkon me zgjidhjen e zakonshme në këtë rast? Së pari, ka dy integrale. Së dyti, rrënjët nën integrale, dhe rrënjët në integrale nuk janë dhuratë, për më tepër, mund të ngatërrohet në zëvendësimin e kufijve të integrimit. Në fakt, integralet, natyrisht, nuk janë vdekjeprurëse, por në praktikë gjithçka mund të jetë shumë më e trishtuar, thjesht zgjodha funksione më të mira për detyrën.

Ekziston një mënyrë më racionale për ta zgjidhur atë: konsiston në kalimin në funksione të anasjellta dhe integrimin përgjatë boshtit.

Si mund të shkoj te funksionet e kundërta? Përafërsisht, ju duhet të shprehni "X" përmes "Y". Së pari, le të merremi me parabolën:

Kjo është e mjaftueshme, por le të sigurohemi që i njëjti funksion mund të tërhiqet nga dega e poshtme:

Me një vijë të drejtë, gjithçka është më e lehtë:

Tani shikojmë boshtin: ju lutemi, anoni periodikisht kokën në të djathtë 90 gradë ndërsa shpjegoni (kjo nuk është shaka!). Forma që na nevojitet qëndron në segmentin e treguar nga vija e kuqe me pika. Në këtë rast, në segment, vija e drejtë ndodhet sipër parabolës, që do të thotë se zona e figurës duhet të gjendet duke përdorur formulën me të cilën jeni njohur tashmë: ... Çfarë ka ndryshuar në formulë? Vetëm një letër dhe asgjë më shumë.

! shënim: Duhet të vendosen kufijtë e integrimit përgjatë boshtit rreptësisht nga poshtë lart!

Gjeni zonën:

Prandaj, në segment:

Kushtojini vëmendje sesi e realizova integrimin, kjo është mënyra më racionale, dhe në paragrafin tjetër të detyrës do të jetë e qartë pse.

Për lexuesit që kanë dyshime për korrektësinë e integrimit, do të gjej derivatet:

Përftohet integrandi origjinal, që do të thotë se integrimi është kryer në mënyrë korrekte.

Përgjigju:

2) Le të llogarisim vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i kësaj figure rreth boshtit.

Unë do ta rivizatoj vizatimin në një dizajn paksa të ndryshëm:

Pra, forma e hijezuar në blu rrotullohet rreth boshtit. Rezultati është një "flutur pezull" që rrotullohet rreth boshtit të saj.

Për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues, ne do të integrojmë përgjatë boshtit. Së pari ju duhet të shkoni te funksionet e anasjellta. Kjo tashmë është bërë dhe është detajuar në paragrafin e mëparshëm.

Tani e përkulim kokën përsëri në të djathtë dhe studiojmë figurën tonë. Natyrisht, vëllimi i një trupi revolucioni duhet të gjendet si ndryshim në vëllime.

Rrotulloni formën e përshkruar me të kuqe rreth boshtit, duke rezultuar në një kon të cunguar. Le ta përcaktojmë këtë vëllim.

Rrotulloni formën, të rrethuar në të gjelbër, rreth boshtit dhe shënoni atë përmes vëllimit të trupit që rezulton i rrotullimit.

Vëllimi i fluturës sonë është i barabartë me ndryshimin në vëllime.

Ne përdorim formulën për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

Cili është ndryshimi nga formula në paragrafin e mëparshëm? Vetëm në letër.

Dhe këtu është përparësia e integrimit për të cilën fola kohët e fundit, shumë më e lehtë për t'u gjetur se sa për të ngritur së pari integranin në fuqinë e 4-të.

Përgjigju:

Megjithatë, një flutur e sëmurë.

Vini re se nëse rrotulloni të njëjtën figurë të sheshtë rreth boshtit, do të merrni një trup rrotullimi krejtësisht të ndryshëm, me një vëllim të ndryshëm, natyrisht.

Shembulli 6

Ju jepet një figurë e sheshtë e kufizuar nga vija dhe një bosht.

1) Shkoni te funksionet e anasjellta dhe gjeni sipërfaqen e një figure të sheshtë të kufizuar nga këto rreshta duke u integruar mbi një ndryshore.
2) Llogaritni vëllimin e një trupi që përftohet duke rrotulluar një figurë të sheshtë të kufizuar nga këto vija rreth një boshti.

Ky është një shembull për një zgjidhje të bërë vetë. Të interesuarit mund të gjejnë gjithashtu zonën e figurës në mënyrën "e zakonshme", duke kontrolluar kështu pikën 1). Por nëse, e përsëris, rrotulloni një figurë të sheshtë rreth një boshti, do të merrni një trup rrotullimi krejtësisht të ndryshëm me një vëllim të ndryshëm, nga rruga, përgjigjen e saktë (gjithashtu për ata që duan të zgjidhin).

Zgjidhja e plotë e dy pikave të propozuara të detyrës në fund të orës së mësimit.

Oh, dhe mos harroni të anoni kokën djathtas për të kuptuar trupat e revolucionit dhe brenda integrimit!

një figurë e sheshtë rreth një boshti

Shembulli 3

Ju jepet një figurë e sheshtë e kufizuar me vija,,.

1) Gjeni sipërfaqen e një figure të sheshtë të kufizuar nga këto vija.

2) Gjeni vëllimin e një trupi të marrë duke rrotulluar një figurë të sheshtë të kufizuar nga këto vija rreth një boshti.

Kujdes! Edhe nëse dëshironi të lexoni vetëm paragrafin e dytë, së pari detyrimisht lexo të parën!

Zgjidhje: Detyra përbëhet nga dy pjesë. Le të fillojmë me sheshin.

1) Le të ekzekutojmë vizatimin:

Shifra e kërkuar, sipërfaqja e së cilës duhet të gjendet, është e hijezuar në ngjyrë blu.

Si mund ta gjej sipërfaqen e një forme? Mund të gjendet në mënyrën "e zakonshme". Për më tepër, sipërfaqja e figurës gjendet si shuma e sipërfaqeve:

- në segment ;

- në segment.

Kjo është arsyeja pse:

Ekziston një mënyrë më racionale për ta zgjidhur atë: konsiston në kalimin në funksione të anasjellta dhe integrimin përgjatë boshtit.

Si mund të shkoj te funksionet e kundërta? Përafërsisht, ju duhet të shprehni "X" përmes "Y". Së pari, le të merremi me parabolën:

Kjo është e mjaftueshme, por le të sigurohemi që i njëjti funksion mund të tërhiqet nga dega e poshtme:

Me një vijë të drejtë, gjithçka është më e lehtë:

! shënim : Kufijtë e integrimit përgjatë boshtit duhet vendosurrreptësisht nga poshtë lart !

Gjeni zonën:

Prandaj, në segment:

Kushtojini vëmendje sesi e realizova integrimin, kjo është mënyra më racionale, dhe në paragrafin tjetër të detyrës do të jetë e qartë pse.

Për lexuesit që kanë dyshime për korrektësinë e integrimit, do të gjej derivatet:

Përftohet integrandi origjinal, që do të thotë se integrimi është kryer në mënyrë korrekte.

Përgjigju:

2) Le të llogarisim vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i kësaj figure rreth boshtit.

Unë do ta rivizatoj vizatimin në një dizajn paksa të ndryshëm:

Pra, forma e hijezuar në blu rrotullohet rreth boshtit. Rezultati është një "flutur pezull" që rrotullohet rreth boshtit të saj.

Tani e përkulim kokën përsëri në të djathtë dhe studiojmë figurën tonë. Natyrisht, vëllimi i një trupi revolucioni duhet të gjendet si ndryshim në vëllime.

Rrotulloni formën e përshkruar me të kuqe rreth boshtit, duke rezultuar në një kon të cunguar. Le ta përcaktojmë këtë vëllim.

Rrotulloni formën, të rrethuar në të gjelbër, rreth boshtit dhe shënoni atë përmes vëllimit të trupit që rezulton i rrotullimit.

Vëllimi i fluturës sonë është i barabartë me ndryshimin në vëllime.

Ne përdorim formulën për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

Cili është ndryshimi nga formula në paragrafin e mëparshëm? Vetëm në letër.

Dhe këtu është përparësia e integrimit për të cilën fola kohët e fundit, shumë më e lehtë për t'u gjetur se sa për të ngritur së pari integranin në fuqinë e 4-të.

Përgjigju:

Vini re se nëse rrotulloni të njëjtën figurë të sheshtë rreth boshtit, do të merrni një trup rrotullimi krejtësisht të ndryshëm, me një vëllim të ndryshëm, natyrisht.

Shembulli 7

Njehsoni vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të figurës të kufizuar nga kthesat dhe.

Zgjidhje: Le të ekzekutojmë vizatimin:

Gjatë rrugës njihemi me grafikët e disa funksioneve të tjera. Ky është një grafik interesant i një funksioni çift….

Për të gjetur vëllimin e trupit të revolucionit, mjafton të përdorni gjysmën e djathtë të formës, të cilën e kam hijezuar me blu. Të dy funksionet janë çift, grafikët e tyre janë simetrik rreth boshtit dhe figura jonë është gjithashtu simetrike. Kështu, pjesa e djathtë e hijezuar, që rrotullohet rreth boshtit, sigurisht që do të përkojë me pjesën e majtë pa hije.

Vëllimi i një trupi rrotullues mund të llogaritet me formulën:

Një numër duhet të jetë gjithmonë i pranishëm në formulë përpara integralit. Kështu ndodhi - gjithçka që rrotullohet në jetë është e lidhur me këtë konstante.

Si të vendosni kufijtë e integrimit "a" dhe "bh", mendoj se është e lehtë të merret me mend nga vizatimi i përfunduar.

Funksioni… çfarë është ky funksion? Le të hedhim një vështrim në vizatim. Një figurë e sheshtë kufizohet nga një parcelë parabole në krye. Ky është funksioni që nënkuptohet në formulë.

Le të llogarisim vëllimin e trupit të rrotullimit duke përdorur këtë formulë:

Siç e kam vërejtur tashmë, integrali është pothuajse gjithmonë i thjeshtë, gjëja kryesore është të jesh i kujdesshëm.

Përgjigju:

Shembulli 2

Gjeni vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të figurës të kufizuar me vija,

Ky është një shembull për një zgjidhje të bërë vetë. Plotësoni zgjidhjen dhe përgjigjuni në fund të tutorialit.

Konsideroni dy detyra më komplekse që janë gjithashtu të zakonshme në praktikë.

Shembulli 3

Llogaritni vëllimin e trupit të marrë duke rrotulluar figurën e kufizuar nga vijat rreth boshtit të abshisës dhe

Zgjidhje: Vizatoni një figurë të sheshtë në vizatim, të kufizuar me vija ,,, pa harruar se ekuacioni përcakton boshtin:

Figura e dëshiruar është e hijezuar në ngjyrë blu. Kur e rrotulloni rreth boshtit, ju merrni një donut kaq surreal me katër qoshe.

Vëllimi i trupit të rrotullimit llogaritet si dallimi në vëllimet e trupit.

Së pari, le të shohim formën e përshkruar me të kuqe. Kur rrotullohet rreth boshtit, fitohet një kon i cunguar. Le të shënojmë vëllimin e këtij koni të cunguar.

Dhe, padyshim, ndryshimi në vëllime është pikërisht vëllimi i "donut" tonë.

Ne përdorim formulën standarde për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues:

1) Figura e përshkruar me të kuqe kufizohet nga lart me një vijë të drejtë, prandaj:

2) Forma e rrethuar në të gjelbër kufizohet nga lart me një vijë të drejtë, kështu që:

3) Vëllimi i trupit të kërkuar të revolucionit:

Përgjigju:

Është kureshtare që në këtë rast zgjidhja mund të kontrollohet duke përdorur formulën e shkollës për llogaritjen e vëllimit të një koni të cunguar.

Vetë zgjidhja shpesh bëhet më e shkurtër, diçka si kjo:

Tani le të pushojmë pak dhe të flasim për iluzionet gjeometrike.

Pas digresionit lirik, është thjesht e përshtatshme të zgjidhet detyra krijuese:

Shembulli 4

Njehsoni vëllimin e një trupi të formuar nga rrotullimi rreth boshtit të një figure të sheshtë të kufizuar me vija, ku.

Ky është një shembull për një zgjidhje të bërë vetë. Ju lutemi vini re se të gjitha gjërat ndodhin në shirit, me fjalë të tjera, në fakt janë dhënë kufij të gatshëm të integrimit. Vizatoni saktë grafikët e funksioneve trigonometrike, më lejoni t'ju kujtoj materialin e mësimit rreth shndërrimet gjeometrike të grafikëve : nëse argumenti është i pjesëtueshëm me dy:, atëherë grafikët shtrihen përgjatë boshtit dy herë. Është e dëshirueshme për të gjetur të paktën 3-4 pikë sipas tabelave trigonometrike për të përfunduar më saktë vizatimin. Plotësoni zgjidhjen dhe përgjigjuni në fund të tutorialit. Nga rruga, detyra mund të zgjidhet në mënyrë racionale dhe jo shumë racionale.

Përkufizimi 3. Një trup rrotullues është një trup që përftohet duke rrotulluar një figurë të sheshtë rreth një boshti që nuk e pret figurën dhe shtrihet në të njëjtin rrafsh me të.

Boshti i rrotullimit mund ta presë figurën edhe nëse është boshti i simetrisë së figurës.

Teorema 2.
, boshti
dhe segmentet e vijave
dhe

rrotullohet rreth një boshti
... Pastaj vëllimi i trupit që rezulton i rrotullimit mund të llogaritet me formulë

(2)

Dëshmi. Për një trup të tillë, seksioni me abshisë Është një rreth me rreze
, do të thotë
dhe formula (1) jep rezultatin e kërkuar.

Nëse figura kufizohet nga grafikët e dy funksioneve të vazhdueshme
dhe
, dhe segmentet e linjës
dhe
, për më tepër
dhe
, atëherë kur rrotullohemi rreth boshtit të abshisës marrim një trup vëllimi i të cilit është

Shembulli 3. Llogaritni vëllimin e një torusi të marrë duke rrotulluar një rreth të kufizuar nga një rreth

rreth boshtit të abshisë.

R zgjidhje. Rrethi i treguar më poshtë është i kufizuar nga grafiku i funksionit
, dhe nga lart -
... Dallimi i katrorëve të këtyre funksioneve:

Vëllimi i dëshiruar

(grafiku i integrandit është gjysmërrethi i sipërm, kështu që integrali i shkruar më sipër është sipërfaqja e gjysmërrethit).

Shembulli 4. Segmenti parabolik me bazë
, dhe lartësia , rrotullohet rreth bazës. Llogaritni vëllimin e trupit që rezulton ("limoni" i Cavalieri).

R zgjidhje. Vendosni parabolën siç tregohet në figurë. Pastaj ekuacioni i tij
, dhe
... Gjeni vlerën e parametrit :
... Pra, vëllimi i kërkuar:

Teorema 3. Le të jetë një trapez lakor i kufizuar nga grafiku i një funksioni të vazhdueshëm jo negativ
, boshti
dhe segmentet e vijave
dhe
, për më tepër
, rrotullohet rreth boshtit
... Pastaj vëllimi i trupit që rezulton i revolucionit mund të gjendet me formulën

(3)

Ideja e provës. Ne ndajmë segmentin
pika

, në pjesë dhe vizatoni vija të drejta
... I gjithë trapezi do të zbërthehet në shirita, të cilët mund të konsiderohen afërsisht drejtkëndësha me një bazë
dhe lartësia
.

Cilindri që rezulton nga rrotullimi i një drejtkëndëshi të tillë pritet përgjatë gjeneratorit dhe zgjerohet. Ne marrim një paralelipiped "pothuajse" me dimensione:
,
dhe
... Vëllimi i saj
... Pra, për vëllimin e një trupi revolucioni do të kemi një barazi të përafërt

Për të marrë barazi të saktë, është e nevojshme të kaloni në kufirin në
... Shuma e shkruar më sipër është shuma integrale për funksionin
, pra, në kufi, marrim integralin nga formula (3). Teorema është vërtetuar.

Vërejtje 1. Në teoremat 2 dhe 3, kushti
mund të hiqet: formula (2) është përgjithësisht e pandjeshme ndaj shenjës
, dhe në formulën (3) është e mjaftueshme
zëvendësohet nga
.

Shembulli 5. Segmenti parabolik (bazë
, lartësia ) rrotullohet rreth lartësisë. Gjeni vëllimin e trupit që rezulton.

Zgjidhje. Vendosni parabolën siç tregohet në figurë. Dhe megjithëse boshti i rrotullimit përshkon figurën, ai - boshti - është boshti i simetrisë. Prandaj, duhet të merret parasysh vetëm gjysma e djathtë e segmentit. Ekuacioni i parabolës
, dhe
, do të thotë
... Kemi për vëllimin:

Vërejtje 2. Nëse kufiri lakor i një trapezi të lakuar jepet me ekuacione parametrike
,
,
dhe
,
atëherë formulat (2) dhe (3) mund të përdoren me zëvendësimin në
dhe
në
kur ndryshon t nga
përpara .

Shembulli 6. Figura kufizohet nga harku i parë i cikloidit
,
,
, dhe abshissa. Gjeni vëllimin e trupit që përftohet duke rrotulluar këtë figurë rreth: 1) boshtit
; 2) boshtet
.

Zgjidhje. 1) Formula e përgjithshme
Në rastin tonë:

2) Formula e përgjithshme
Për figurën tonë:

Ftojmë studentët të kryejnë vetë të gjitha llogaritjet.

Vërejtje 3. Lëreni sektorin e lakuar të kufizuar nga një vijë e vazhdueshme
dhe rrezet
,

, rrotullohet rreth boshtit polar. Vëllimi i trupit që rezulton mund të llogaritet duke përdorur formulën.

Shembulli 7. Një pjesë e figurës e kufizuar nga kardioidi
jashtë rrethit
, rrotullohet rreth boshtit polar. Gjeni vëllimin e trupit, i cili fitohet në këtë rast.

Zgjidhje. Të dyja vijat, dhe si rrjedhim forma që lidhin, janë simetrike rreth boshtit polar. Prandaj, është e nevojshme të merret parasysh vetëm pjesa për të cilën
... Kurbat kryqëzohen në
dhe

në
... Më tej, figura mund të konsiderohet si diferenca midis dy sektorëve, dhe për këtë arsye vëllimi mund të llogaritet si diferencë midis dy integraleve. Ne kemi:

Detyrat për një zgjidhje të pavarur.

1. Një segment rrethor, baza e të cilit
, lartësia , rrotullohet rreth bazës. Gjeni vëllimin e një trupi rrotullues.

2. Gjeni vëllimin e një paraboloidi të rrotullimit, baza e të cilit dhe lartësia është .

3. Shifra e kufizuar nga astroidi
,
rrotullohet rreth boshtit të abshisë. Gjeni vëllimin e trupit që përftohet në këtë rast.

4. Një figurë e kufizuar me vija
dhe
rrotullohet rreth boshtit të abshisë. Gjeni vëllimin e një trupi rrotullues.

Si të llogarisni vëllimin e një trupi rrotullues
duke përdorur një integral të caktuar?

- rreth boshtit të abshisë;
- rreth boshtit të ordinatave.

Le të fillojmë me llojin më të njohur të rrotullimit.

një figurë e sheshtë rreth një boshti

Llogaritni vëllimin e një trupi të ngurtë që përftohet duke rrotulluar një formë të kufizuar nga vija rreth një boshti.

Zgjidhje: Si në problemin e gjetjes së zonës, zgjidhja fillon me vizatimin e një figure të sheshtë... Kjo do të thotë, në një aeroplan është e nevojshme të ndërtohet një figurë e kufizuar nga vija, dhe mos harroni se ekuacioni përcakton boshtin. Si të bëni një vizatim në mënyrë më efikase dhe më të shpejtë, mund ta zbuloni në faqe Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare dhe . Ky është një kujtesë kineze dhe nuk ndalem më në këtë pikë.

Vizatimi këtu është mjaft i thjeshtë:

Si të llogarisni vëllimin e një trupi rrotullues?

Vëllimi i një trupi rrotullues mund të llogaritet me formulën:

Një numër duhet të jetë gjithmonë i pranishëm në formulë përpara integralit. Kështu ndodhi - gjithçka që rrotullohet në jetë është e lidhur me këtë konstante.

Si të vendosni kufijtë e integrimit "a" dhe "bh", mendoj se është e lehtë të merret me mend nga vizatimi i përfunduar.

Le të llogarisim vëllimin e trupit të rrotullimit duke përdorur këtë formulë: