Pabarazitë logaritmike
Në mësimet e mëparshme, ne u njohëm me ekuacionet logaritmike dhe tani e dimë se çfarë është dhe si t'i zgjidhim ato. Dhe mësimi i sotëm do t'i kushtohet studimit të pabarazive logaritmike. Cilat janë këto pabarazi dhe cili është ndryshimi midis zgjidhjes së një ekuacioni logaritmik dhe një pabarazie?
Pabarazitë logaritmike janë pabarazi që kanë një ndryshore nën shenjën e logaritmit ose në bazën e tij.
Ose, mund të themi gjithashtu se një pabarazi logaritmike është një pabarazi në të cilën vlera e saj e panjohur, si në ekuacionin logaritmik, do të jetë nën shenjën e logaritmit.
Pabarazitë më të thjeshta logaritmike janë si më poshtë:
ku f (x) dhe g (x) janë disa shprehje që varen nga x.
Le ta shohim këtë me një shembull: f (x) \u003d 1 + 2x + x2, g (x) \u003d 3x - 1.
Zgjidhja e pabarazive logaritmike
Para zgjidhjes së pabarazive logaritmike, vlen të përmendet se kur zgjidhen ato, ato i ngjajnë pabarazive eksponenciale, domethënë:
Së pari, kur kalojmë nga logaritmet në shprehje nën shenjën e logaritmit, ne gjithashtu duhet të krahasojmë bazën e logaritmit me një;
Së dyti, zgjidhja e pabarazisë logaritmike duke përdorur një ndryshim të ndryshoreve, ne duhet të zgjidhim pabarazinë në lidhje me ndryshimin derisa të marrim pabarazinë më të thjeshtë.
Por ishim ne që konsideruam aspekte të ngjashme të zgjidhjes së pabarazive logaritmike. Dhe tani le t'i kushtojmë vëmendje një ndryshimi mjaft të rëndësishëm. Ju dhe unë e dimë që funksioni logaritmik ka një fushë të kufizuar të përkufizimit, prandaj, duke kaluar nga logaritmet në shprehje nën shenjën e logaritmit, është e nevojshme të merret parasysh diapazoni i vlerave të lejueshme (ADV).
Kjo do të thotë, duhet të kihet parasysh se kur zgjidhim një ekuacion logaritmik, ti \u200b\u200bdhe unë së pari mund të gjejmë rrënjët e ekuacionit, dhe pastaj të kontrollojmë këtë zgjidhje. Por zgjidhja e pabarazisë logaritmike nuk do të funksionojë në atë mënyrë, pasi kalimi nga logaritmet te shprehjet nën shenjën e logaritmit, do të jetë e nevojshme të shkruhet ODL e pabarazisë.
Përveç kësaj, vlen të kujtohet se teoria e pabarazive përbëhet nga numra realë, të cilët janë numra pozitivë dhe negativë, si dhe numri 0.
Për shembull, kur numri "a" është pozitiv, atëherë duhet të përdorni rekordin e mëposhtëm: a\u003e 0. Në këtë rast, edhe shuma dhe produkti i këtyre numrave do të jenë gjithashtu pozitivë.
Parimi kryesor për zgjidhjen e një pabarazie është zëvendësimi i saj me një pabarazi më të thjeshtë, por gjëja kryesore është që ajo të jetë ekuivalente me atë të dhënë. Më tej, ne gjithashtu morëm një pabarazi dhe përsëri e zëvendësuam me një që ka një formë më të thjeshtë, etj.
Zgjidhja e pabarazive me një ndryshore, ju duhet të gjeni të gjitha zgjidhjet e saj. Nëse dy pabarazi kanë një ndryshore x, atëherë pabarazitë e tilla janë ekuivalente, me kusht që zgjidhjet e tyre të përkojnë.
Kur kryeni detyra për zgjidhjen e pabarazive logaritmike, është e nevojshme të mbani mend se kur a\u003e 1, atëherë funksioni logaritmik rritet, dhe kur 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Mënyrat për të zgjidhur pabarazitë logaritmike
Tani do të shqyrtojmë disa nga mënyrat që ndodhin gjatë zgjidhjes së pabarazive logaritmike. Për një kuptim dhe asimilim më të mirë, ne do të përpiqemi t'i kuptojmë ato me shembuj të veçantë.
Ju dhe unë e dimë që pabarazia më e thjeshtë logaritmike ka formën e mëposhtme:
Në këtë pabarazi V - është një nga shenjat e tilla të pabarazisë si:<,>, ≤ ose.
Kur baza e këtij logaritmi është më e madhe se një (a\u003e 1), duke bërë kalimin nga logaritmet në shprehje nën shenjën e logaritmit, atëherë në këtë version ruhet shenja e pabarazisë dhe pabarazia do të duket kështu:
i cili është ekuivalent me një sistem të tillë:
Në rastin kur baza e logaritmit është më e madhe se zero dhe më e vogël se një (0 Kjo është ekuivalente me këtë sistem: Le të shohim më shumë shembuj të zgjidhjes së pabarazive më të thjeshta logaritmike të paraqitura në foton më poshtë: Detyrë. Le të përpiqemi ta zgjidhim këtë pabarazi: Zgjidhja e diapazonit të vlerave të vlefshme. Tani le të përpiqemi të shumëzojmë anën e saj të djathtë me: Le të shohim se çfarë kemi: Tani, le të kalojmë në transformimin e shprehjeve nën-logaritmike. Për faktin se baza e logaritmit është 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8\u003e 16; Dhe nga kjo rrjedh që intervali që kemi marrë është në pronësi tërësisht dhe plotësisht të GDZ dhe është një zgjidhje për këtë pabarazi. Ja përgjigja jonë: Tani le të përpiqemi të analizojmë se çfarë na duhet për të zgjidhur me sukses pabarazitë logaritmike? Së pari, përqendroni të gjithë vëmendjen tuaj dhe përpiquni të mos bëni gabime kur kryeni transformimet që jepen në këtë pabarazi. Gjithashtu, duhet të mbahet mend se gjatë zgjidhjes së pabarazive të tilla, është e nevojshme të shmangen zgjatjet dhe tkurrjet e pabarazisë ODZ, të cilat mund të çojnë në humbjen ose marrjen e zgjidhjeve të huaj. Së dyti, gjatë zgjidhjes së pabarazive logaritmike, duhet të mësoni të mendoni logjikisht dhe të kuptoni ndryshimin midis koncepteve të tilla si një sistem pabarazish dhe një sërë pabarazish në mënyrë që të mund të zgjidhni me lehtësi zgjidhje për pabarazinë, ndërsa drejtoheni nga ODV e tij. Së treti, për të zgjidhur me sukses pabarazitë e tilla, secili prej jush duhet të njohë në mënyrë të përsosur të gjitha vetitë e funksioneve elementare dhe të kuptojë qartë kuptimin e tyre. Këto funksione përfshijnë jo vetëm logaritmike, por edhe racionale, fuqi, trigonometrike, etj., Me një fjalë, të gjitha ato që keni studiuar gjatë studimeve tuaja për algjebër në shkollë. Siç mund ta shihni, pasi keni studiuar temën e pabarazive logaritmike, nuk ka asgjë të vështirë në zgjidhjen e këtyre pabarazive, me kusht që të jeni të kujdesshëm dhe këmbëngulës në arritjen e qëllimeve tuaja. Për të shmangur ndonjë problem në zgjidhjen e pabarazive, duhet të trajnoheni sa më shumë që të jetë e mundur, duke zgjidhur detyra të ndryshme dhe në të njëjtën kohë të mësoni përmendësh mënyrat kryesore të zgjidhjes së pabarazive të tilla dhe sistemet e tyre. Në rast të zgjidhjeve të pasuksesshme për pabarazitë logaritmike, duhet të analizoni me kujdes gabimet tuaja në mënyrë që të mos ktheheni përsëri tek ato në të ardhmen. Për një kuptim më të mirë të temës dhe konsolidimin e materialit të kaluar, zgjidhni pabarazitë e mëposhtme: Ata janë brenda logaritmeve. Shembuj: \\ (\\ log_3\u2061x≥ \\ log_3\u20619 \\) Çdo pabarazi logaritmike duhet të reduktohet në formën \\ (\\ log_a\u2061 (f (x)) ˅ \\ log_a (\u2061g (x)) \\) (simboli \\ (˅ \\) nënkupton secilën prej tyre). Kjo formë ju lejon të heqni qafe logaritmet dhe bazat e tyre duke bërë kalimin në pabarazinë e shprehjeve nën logaritmet, domethënë në formën \\ (f (x) ˅ g (x) \\). Por ekziston një hollësi shumë e rëndësishme kur kryeni këtë tranzicion: \\ (\\ log_2\u2061 ((8-x))<1\) Vendimi: \\ (\\ log \\) \\ (_ (0,5\u2061) \\) \\ ((2x-4) \\) ≥ \\ (\\ log \\) \\ (_ (0,5) \\) \\ (((x + një)) \\) Vendimi: Shume e rendesishme! Në çdo pabarazi, kalimi nga forma \\ (\\ log_a (\u2061f (x)) ˅ \\ log_a\u2061 (g (x)) \\) në krahasimin e shprehjeve nën logaritme mund të bëhet vetëm nëse: Shembull
... Zgjidh pabarazinë: \\ (\\ log \\) \\ (≤-1 \\) Vendimi:
\\ (\\ log \\) \\ (_ (\\ frac (1) (3)) \u2061 (\\ frac (3x-2) (2x-3)) \\)\(≤-1\) Le të shkruajmë ODZ. ODZ: \\ (\\ frac (3x-2) (2x-3) \\) \\ (\u003e 0 \\) \\ (\u2061 \\ frac (3x-2-3 (2x-3)) (2x-3) \\)\(≥\) \(0\) Ne hapim kllapa, ne japim. \\ (\u2061 \\ frac (-3x + 7) (2x-3) \\) \\ (≥ \\) \\ (0 \\) Ne shumëzojmë pabarazinë me \\ (- 1 \\), duke mos harruar të kthejmë shenjën e krahasimit. \\ (\u2061 \\ frac (3x-7) (2x-3) \\) \\ (≤ \\) \\ (0 \\) \\ (\u2061 \\ frac (3 (x- \\ frac (7) (3))) (2 (x- \\ frac (3) (2))) \\)\(≤\) \(0\) Le të ndërtojmë një bosht numerik dhe të shënojmë pikat \\ (\\ frac (7) (3) \\) dhe \\ (\\ frac (3) (2) \\) mbi të. Ju lutem vini re se pika nga emëruesi është shpuar, pavarësisht nga fakti se pabarazia nuk është e rreptë. Fakti është se kjo pikë nuk do të jetë një zgjidhje, pasi që kur të zëvendësohet në një pabarazi, kjo do të na çojë në ndarjen me zero. Tani, në të njëjtin bosht numerik, ne vendosim ODZ dhe shkruajmë si përgjigje intervalin që bie në ODZ. Ne shkruajmë përgjigjen përfundimtare. Shembull
... Zgjidh pabarazinë: \\ (\\ log ^ 2_3\u2061x- \\ log_3\u2061x-2\u003e 0 \\) Vendimi:
\\ (\\ log ^ 2_3\u2061x- \\ log_3\u2061x-2\u003e 0 \\) Le të shkruajmë ODZ. ODZ: \\ (x\u003e 0 \\) Le të merremi me zgjidhjen. Zgjidhja: \\ (\\ log ^ 2_3\u2061x- \\ log_3\u2061x-2\u003e 0 \\) Para nesh është një pabarazi tipike-logaritmike katrore. Ne e bëjmë atë. \\ (t \u003d \\ log_3\u2061x \\) \\ (D \u003d 1 + 8 \u003d 9 \\) Tani duhet të ktheheni në ndryshoren origjinale - x. Për ta bërë këtë, shkoni tek ai që ka të njëjtën zgjidhje dhe bëni zëvendësimin e kundërt. \\ (\\ majtas [\\ fillo (mblodhi) t\u003e 2 \\\\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\\\ \\ log_3\u2061x<-1 \end{gathered} \right.\) Konvertoni \\ (2 \u003d \\ log_3\u20619 \\), \\ (- 1 \u003d \\ log_3\u2061 \\ frac (1) (3) \\). \\ (\\ majtas [\\ fillo (mbledhur) \\ log_3\u2061x\u003e \\ log_39 \\\\ \\ log_3\u2061x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) Ne bëjmë kalimin në krahasimin e argumenteve. Logaritmet kanë baza më të mëdha se \\ (1 \\), kështu që shenja e pabarazive nuk ndryshon. \\ (\\ majtas [\\ fillo (mbledhur) x\u003e 9 \\\\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) Le të kombinojmë zgjidhjen e pabarazisë dhe DHS në një figurë. Le të shkruajmë përgjigjen. PAVARSIT LO LOGARITMIKE N THE PERDORIM
Sechin Mikhail Alexandrovich Akademia e Vogël e Shkencave për studentët e Republikës së Kazakistanit "Kërkuesi" MBOU "Shkolla e mesme Sovetskaya Nr. 1", klasa 11, qyteti. Rrethi Sovjetik Sovetsky Gunko Lyudmila Dmitrievna, mësuese e MBOU "Shkolla Sovjetike №1" Rrethi sovjetik Objektiv: hetimi i mekanizmit për zgjidhjen e pabarazive logaritmike C3 duke përdorur metoda jo standarde, duke zbuluar fakte interesante të logaritmit. Lënda e studimit:
3) Mësoni të zgjidhni pabarazitë specifike logaritmike C3 duke përdorur metoda jo standarde. Rezultatet:
Përmbajtja
Hyrje ………………………………………………………………………… .4
Kapitulli 1. Historiku ………………………………………………… ... 5
Kapitulli 2. Mbledhja e pabarazive logaritmike ………………………… 7
2.1 Kalimet ekuivalente dhe metoda e përgjithësuar e intervaleve 7 2.2. Metoda e racionalizimit ………………………………………………… 15 2.3. Zëvendësimi jostandard ……………… ........................................ .. ..... 22 2.4. Misionet kurth 27 ………………………………………………… Përfundim 30 …………………………………………………………………
Literatura. 31
Prezantimi
Unë jam në klasën e 11-të dhe po planifikoj të hyj në një universitet ku matematika është një lëndë e specializuar. Prandaj, unë punoj shumë me problemet e pjesës C. Në detyrën C3, duhet të zgjidhni një pabarazi jo standarde ose një sistem pabarazish, zakonisht të shoqëruara me logaritme. Ndërsa po përgatitesha për provimin, u përballa me problemin e mungesës së metodave dhe teknikave për zgjidhjen e pabarazive logaritmike të provimit të ofruara në C3. Metodat që studiohen në programin shkollor mbi këtë temë nuk japin bazë për zgjidhjen e detyrave të C3. Mësuesja e matematikës më ftoi të punoja vetë me detyrat C3 nën drejtimin e saj. Për më tepër, mua më interesoi pyetja: a ka logaritme në jetën tonë? Me këtë në mendje, u zgjodh tema: "Pabarazitë logaritmike në provim"
Objektiv: hetimi i mekanizmit për zgjidhjen e problemeve C3 duke përdorur metoda jo standarde, duke zbuluar fakte interesante të logaritmit. Lënda e studimit:
1) Gjeni informacionin e nevojshëm në lidhje me metodat jo standarde për zgjidhjen e pabarazive logaritmike. 2) Gjeni më shumë informacion në lidhje me logaritmet. 3) Mësoni të zgjidhni problemet specifike C3 duke përdorur metoda jo standarde. Rezultatet:
Rëndësia praktike qëndron në zgjerimin e aparatit për zgjidhjen e problemeve C3. Ky material mund të përdoret në disa orë mësimore, për qarqe, veprimtari jashtëshkollore në matematikë. Produkti i projektit do të jetë koleksioni "Pabarazitë logaritmike C3 me zgjidhje". Kapitulli 1. Historiku
Gjatë shekullit të 16-të, numri i llogaritjeve të përafërta u rrit me shpejtësi, kryesisht në astronomi. Përmirësimi i instrumenteve, studimi i lëvizjeve planetare dhe punë të tjera kërkonin llogaritje kolosale, ndonjëherë shumë vite. Astronomia ishte në rrezik real të mbytej në llogaritjet e paplotësuara. Vështirësitë lindën në fusha të tjera, për shembull, në biznesin e sigurimeve, tabelat me interes të përbërë ishin të nevojshme për vlera të ndryshme me interes. Vështirësia kryesore përfaqësohej nga shumëzimi, pjesëtimi i numrave shumë shifror, veçanërisht i madhësive trigonometrike. Zbulimi i logaritmeve u bazua në vetitë e njohura të përparimeve deri në fund të shekullit të 16-të. Arkimedi foli për lidhjen ndërmjet anëtarëve të progresionit gjeometrik q, q2, q3, ... dhe përparimin aritmetik të eksponentëve të tyre 1, 2, 3, ... në Psalmin. Një parakusht tjetër ishte shtrirja e konceptit të gradës në treguesit negativë dhe të fraksionuar. Shumë autorë kanë theksuar se shumëzimi, pjesëtimi, eksponentimi dhe nxjerrja e një rrënje në mënyrë eksponenciale korrespondojnë në aritmetikë - në të njëjtën renditje - mbledhja, zbritja, shumëzimi dhe pjesëtimi. Kjo ishte ideja prapa logaritmit si eksponent. Disa faza kanë kaluar në historinë e zhvillimit të doktrinës së logaritmeve. Faza 1
Logaritmet u shpikën jo më vonë se 1594, në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri nga baroni skocez Napier (1550-1617) dhe dhjetë vjet më vonë nga mekaniku zviceran Burghi (1552-1632). Të dy dëshironin të jepnin një mjet të ri të përshtatshëm të llogaritjeve aritmetike, megjithëse iu qasën këtij problemi në mënyra të ndryshme. Neper shprehu kinematikisht funksionin logaritmik dhe kështu hyri në një fushë të re të teorisë së funksionit. Burghi mbeti në bazë të vlerësimit të progresioneve diskrete. Sidoqoftë, përkufizimi i logaritmit për të dy nuk i ngjan atij modern. Termi "logaritëm" (logarithmus) i përket Napierit. Ajo lindi nga një kombinim i fjalëve greke: logos - "marrëdhënie" dhe ariqmo - "numër", që do të thoshte "numri i marrëdhënieve". Fillimisht, Napier përdori një term të ndryshëm: numeri artificialiales - "numra artificialë", në krahasim me numrat natyralë - "numra natyrorë". Në 1615, në një bisedë me Henry Briggs (1561-1631), profesor i matematikës në Kolegjin Gresch në Londër, Napier propozoi të merrte zero për logaritmin e unitetit, dhe 100 për logaritmin e dhjetë, ose, që arrin në të njëjtën gjë gjë, thjesht u shtypën tabelat e para logaritmike. Më vonë, shitësi hollandez i librave dhe adhuruesi i matematikës Andrian Flakk (1600-1667) plotësoi tabelat e Briggs. Napier dhe Briggs, megjithëse erdhën në logaritme më herët se kushdo tjetër, botuan tryezat e tyre më vonë se të tjerët - në 1620. Shenjat e regjistrit dhe regjistrit u prezantuan në 1624 nga I. Kepler. Termi "logaritëm natyror" u prezantua nga Mengoli në 1659, i ndjekur nga N. Mercator në 1668, dhe mësuesi londinez John Speidel publikoi tabela të logaritmeve natyrore të numrave nga 1 në 1000 nën titullin "Logaritme të reja". Tabelat e para logaritmike në rusisht u botuan në 1703. Por në të gjitha tabelat logaritmike, gabime u bënë në llogaritjen. Tabelat e para pa gabime u botuan në 1857 në Berlin, të përpunuara nga matematikani gjerman K. Bremiker (1804-1877). Faza 2
Zhvillimi i mëtejshëm i teorisë së logaritmeve shoqërohet me një zbatim më të gjerë të gjeometrisë analitike dhe llogaritjes së infinitesimalit. Vendosja e një lidhjeje midis kuadraturës së një hiperbolë barabrinëse dhe logaritmit natyror daton që nga ajo kohë. Teoria e logaritmeve të kësaj periudhe shoqërohet me emrat e një numri matematikanësh. Matematikan, astronom dhe inxhinier gjerman Nikolaus Mercator në përbërje "Logarithmtechnics" (1668) jep një seri që zbërthehet ln (x + 1) në fuqitë e x: Kjo shprehje saktësisht korrespondon me rrjedhën e mendimit të tij, megjithëse, natyrisht, ai nuk përdori shenjat d, ..., por simbole më të vështira. Me zbulimin e serisë logaritmike, teknika e llogaritjes së logaritmeve ndryshoi: ato filluan të përcaktohen duke përdorur seri të pafund. Në leksionet e tij "Matematika elementare nga pikëpamja më e lartë", lexuar në 1907-1908, F. Klein propozoi përdorimin e formulës si pikënisje për ndërtimin e teorisë së logaritmeve. Faza 3
Përcaktimi i një funksioni logaritmik si një funksion i anasjelltë eksponencial, logaritmi si tregues i shkallës së një baze të caktuar nuk u formulua menjëherë. Përbërja nga Leonard Euler (1707-1783) Një Hyrje në Analizën e Infinitesimal (1748) shërbeu si më tej zhvillimi i teorisë së funksionit logaritmik. Kështu, kanë kaluar 134 vjet që nga fillimi i paraqitjes së logaritmeve (duke numëruar nga 1614) para se matematikanët të vinin në përkufizim koncepti i logaritmit, i cili tani është baza e kursit shkollor. Kapitulli 2. Mbledhja e pabarazive logaritmike
2.1 Kalimet ekuivalente dhe metoda e intervalit të përgjithësuar. Kalimet ekuivalente
Metoda e intervalit të përgjithësuar
Kjo metodë është më e shkathëta për zgjidhjen e pabarazive të pothuajse çdo lloji. Skema e zgjidhjes duket si kjo: 1. Sillni pabarazinë në formën ku funksioni 2. Gjeni domenin e funksionit 3. Gjeni zero të funksionit 4. Vizato në drejtëzën numerike domenin dhe zero të funksionit. 5. Përcaktoni shenjat e funksionit 6. Zgjidhni intervalet ku funksioni merr vlerat e kërkuara dhe shkruani përgjigjen. Shembulli 1.
Vendimi:
Le të zbatojmë metodën e ndarjes nga ku Për këto vlera, të gjitha shprehjet nën shenjën e logaritmeve janë pozitive. Përgjigje:
Shembulli 2.
Vendimi:
I 1-ti
mënyrë
.
ODZ përcaktohet nga pabarazia x \u003e 3. Marrja e logaritmit për të tillë x baza 10, marrim Pabarazia e fundit mund të zgjidhet duke zbatuar rregullat e zbërthimit, d.m.th. duke krahasuar faktorët me zero. Sidoqoftë, në këtë rast është e lehtë të përcaktohen intervalet e qëndrueshmërisë së funksionit prandaj mund të aplikoni metodën e intervaleve. Funksioni f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ është i vazhdueshëm në x \u003e 3 dhe zhduket në pikë x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 \u003d 4. Kështu, përcaktojmë intervalet e qëndrueshmërisë së funksionit f(x):
Përgjigje: Mënyra e 2-të
.
Le të zbatojmë idetë e metodës së intervalit direkt në pabarazinë origjinale. Për ta bërë këtë, kujto se shprehjet a b - a c dhe ( a - 1)(b - 1) kanë një shenjë. Atëherë pabarazia jonë për x \u003e 3 është ekuivalente me pabarazinë ose Pabarazia e fundit zgjidhet me metodën e intervaleve Përgjigje: Shembulli 3.
Vendimi:
Le të zbatojmë metodën e ndarjes Përgjigje: Shembulli 4
Vendimi:
Që nga 2 x 2 - 3x + 3\u003e 0 për të gjitha reale xatëherë Për të zgjidhur pabarazinë e dytë, ne përdorim metodën e intervaleve Në pabarazinë e parë, ne bëjmë zëvendësimin atëherë arrijmë në pabarazinë 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те yqë plotësojnë pabarazinë -0.5< y < 1.
Ku, qysh atëherë marrim pabarazinë e cila kryhet me ato xpër të cilën 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Tani, duke marrë parasysh zgjidhjen e pabarazisë së dytë të sistemit, më në fund marrim Përgjigje:
Shembulli 5.
Vendimi:
Pabarazia është ekuivalente me një tërësi sistemesh ose Le të zbatojmë metodën e intervaleve ose Përgjigje:
Shembulli 6.
Vendimi:
Pabarazia është ekuivalente me sistemin Le te jete atëherë y > 0,
dhe pabarazia e parë sistemi merr formën ose duke u zgjeruar trinomi katror sipas faktorëve, Zbatimi i metodës së intervaleve deri në pabarazinë e fundit, ne shohim se zgjidhjet e tij plotësojnë kushtin y \u003e 0 do të jenë të gjitha y > 4.
Kështu, pabarazia origjinale është ekuivalente me sistemin: Pra, zgjidhjet për pabarazinë janë të gjitha 2.2. Metoda e racionalizimit. Më parë, metoda e racionalizimit të pabarazisë nuk ishte zgjidhur, nuk dihej. Kjo është "një metodë e re moderne efektive për zgjidhjen e pabarazive eksponenciale dhe logaritmike" (citim nga libri i S. I. Kolesnikova) "Tryezë magjike"
Në burime të tjera
nëse a\u003e 1 dhe b\u003e 1, pastaj regjistroni a b\u003e 0 dhe (a -1) (b -1)\u003e 0; nëse a\u003e 1 dhe 0 nëse 0<a<1 и b
>1, pastaj regjistro një b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
nëse 0<a<1 и 00 dhe (a -1) (b -1)\u003e 0. Arsyetimi i mësipërm nuk është i komplikuar, por në mënyrë të konsiderueshme thjeshton zgjidhjen e pabarazive logaritmike. Shembulli 4
log x (x 2 -3)<0
Vendimi:
Shembulli 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤log 2 x (x 2 + x) Vendimi: Shembulli 6.
Për të zgjidhur këtë pabarazi, në vend të emëruesit, shkruajmë (x-1-1) (x-1), dhe në vend të numëruesit, produktin (x-1) (x-3-9 + x). Shembulli 7.
Shembulli 8.
2.3. Zëvendësimi jo standard. Shembulli 1.
Shembulli 2.
Shembulli 3.
Shembulli 4
Shembulli 5.
Shembulli 6.
Shembulli 7.
log 4 (3 x -1) log 0.25 Le të bëjmë zëvendësimin y \u003d 3 x -1; atëherë kjo pabarazi merr formën Regjistro 4 regjistër 0,25 Sepse regjistri 0,25 Ne bëjmë ndryshimin t \u003d log 4 y dhe marrim pabarazinë t 2 -2t + ≥0, zgjidhja e së cilës janë intervalet - Kështu, për të gjetur vlerat e y, kemi një grup dy pabarazish më të thjeshta Prandaj, pabarazia origjinale është e barabartë me mbledhjen e dy pabarazive eksponenciale, Zgjidhja për pabarazinë e parë të kësaj bashkësie është intervali 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Shembulli 8.
Vendimi:
Pabarazia është ekuivalente me sistemin Zgjidhja për pabarazinë e dytë, e cila përcakton DHS, është bashkësia e atyre x,
për kë x > 0.
Për të zgjidhur pabarazinë e parë, ne bëjmë ndryshimin Pastaj marrim pabarazinë ose Tërësia e zgjidhjeve për pabarazinë e fundit gjendet me metodën intervalet: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, ne marrim ose Shumë nga ato xqë plotësojnë pabarazinë e fundit i përket ODZ ( x \u003e 0), pra, është një zgjidhje për sistemin dhe prandaj pabarazia origjinale. Përgjigje: 2.4. Kërkimet e kurthit. Shembulli 1.
Vendimi. Pabarazitë ODZ janë të gjitha që përmbushin kushtin 0 Shembulli 2.
regjistri 2 (2 x + 1-x 2)\u003e regjistri 2 (2 x-1 + 1-x) +1. Përfundim
Nuk ishte e lehtë të gjesh metoda të veçanta për zgjidhjen e problemeve C3 nga bollëku i burimeve të ndryshme arsimore. Gjatë punës së bërë, unë isha në gjendje të studioja metoda jo standarde për zgjidhjen e pabarazive komplekse logaritmike. Këto janë: kalimet ekuivalente dhe metoda e përgjithësuar e intervaleve, metoda e racionalizimit ,
zevendesimi jo standard ,
detyrat me kurthe në ODZ. Këto metoda mungojnë në kurrikulën shkollore. Duke përdorur metoda të ndryshme, unë zgjidha 27 pabarazitë e propozuara në provim në pjesën C, përkatësisht C3. Këto pabarazi me zgjidhje sipas metodave formuan bazën e koleksionit "Pabarazitë logaritmike C3 me zgjidhje", i cili u bë një produkt i projektit të punës sime. Hipoteza që unë paraqita në fillim të projektit u konfirmua: detyrat C3 mund të zgjidhen në mënyrë efektive, duke ditur këto metoda. Përveç kësaj, gjeta fakte interesante rreth logaritmeve. Ishte interesante për mua ta bëja. Produktet e mia të dizajnit do të jenë të dobishme si për studentët ashtu edhe për mësuesit. Gjetjet:
Kështu, qëllimi i caktuar i projektit është arritur, problemi është zgjidhur. Dhe unë kam përvojën më të plotë dhe të gjithanshme në aktivitetet e projektit në të gjitha fazat e punës. Gjatë punës në projekt, ndikimi im kryesor zhvillimor ishte në kompetencën mendore, aktivitetet që lidhen me operacionet logjike mendore, zhvillimin e kompetencës krijuese, iniciativën personale, përgjegjësinë, këmbënguljen, aktivitetin. Një garanci e suksesit kur krijoni një projekt kërkimor për Unë u bëra: përvojë e rëndësishme shkollore, aftësia për të nxjerrë informacion nga burime të ndryshme, për të kontrolluar besueshmërinë e tij, për ta renditur sipas rëndësisë. Përveç njohurive të drejtpërdrejta të lëndës në matematikë, ai zgjeroi aftësitë e tij praktike në fushën e shkencës kompjuterike, fitoi njohuri dhe përvojë të re në fushën e psikologjisë, vendosi kontakte me shokët e klasës dhe mësoi të bashkëpunojë me të rriturit. Gjatë aktiviteteve të projektit, aftësitë dhe aftësitë e përgjithshme arsimore organizative, intelektuale dhe komunikuese u zhvilluan. Letërsi
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistemet e pabarazive me një ndryshore (detyrat tipike C3). 2. Malkova A. G. Përgatitja për provimin në matematikë. 3. Samarova SS Zgjidhja e pabarazive logaritmike. 4. Matematika. Koleksioni i punëve trajnuese të redaktuar nga A.L. Semyonov dhe I.V. Jashçenko. -M.: MTsNMO, 2009.– 72 f. -
Një pabarazi quhet logaritmike nëse përmban një funksion logaritmik. Metodat për zgjidhjen e pabarazive logaritmike nuk ndryshojnë nga, përveç dy gjërave. Së pari, kur kalon nga një pabarazi logaritmike në një pabarazi të funksioneve nën-logaritmike, rrjedh se shikoni shenjën e pabarazisë që rezulton... Ai i bindet rregullit të mëposhtëm. Nëse baza e funksionit logaritmik është më e madhe se $ 1 $, atëherë kur kalon nga pabarazia logaritmike në pabarazinë e funksioneve nën-logaritmike, shenja e pabarazisë ruhet, dhe nëse është më pak se $ 1 $, atëherë ajo ndryshon në të kundërtën. Së dyti, zgjidhja e çdo pabarazie është një interval dhe, prandaj, në fund të zgjidhjes së pabarazisë së funksioneve nën-logaritmike, është e nevojshme të hartohet një sistem i dy pabarazive: pabarazia e parë e këtij sistemi do të jetë pabarazia e funksioneve nën-logaritmike, dhe e dyta është intervali i fushës së përcaktimit të funksioneve logaritmike të përfshira në pabarazinë logaritmike. Le të zgjidhim pabarazitë: 1.
$ \\ log_ (2) ((x + 3)) \\ geq 3. $ $ D (y): \\ x + 3\u003e 0. $ $ x \\ in (-3; + \\ paftë) $ Baza e logaritmit është $ 2\u003e 1 $, kështu që shenja nuk ndryshon. Duke përdorur përkufizimin e logaritmit, ne marrim: $ x + 3 \\ geq 2 ^ (3), $ $ x \\ in)
Shembuj të zgjidhjes
3x\u003e 24;
x\u003e 8. 
Çfarë nevojitet për të zgjidhur pabarazitë logaritmike?
Detyre shtepie
\\ (\\ log_3\u2061 ((x ^ 2-3))< \log_3{(2x)}\)
\\ (\\ log_ (x + 1) \u2061 ((x ^ 2 + 3x-7))\u003e 2 \\)
\\ (\\ lg ^ 2\u2061 ((x + 1)) + 10≤11 \\ lg\u2061 ((x + 1)) \\)Si të zgjidhim pabarazitë logaritmike:
\\ (- \\) nëse është një numër dhe është më i madh se 1, shenja e pabarazisë mbetet e njëjtë gjatë tranzicionit,
\\ (- \\) nëse baza është një numër më i madh se 0, por më pak se 1 (shtrihet midis zeros dhe një), atëherë shenja e pabarazisë duhet të ndryshojë në të kundërtën, d.m.th.
ODZ: \\ (8-x\u003e 0 \\)
\\ (- x\u003e -8 \\)
\\ (x<8\)
\\ (\\ log \\) \\ (_ 2 \\) \\ ((8-x)<\log\)\(_2\)
\({2}\)
\\ (8-x \\) \\ (<\)
\(2\)
\(8-2
Përgjigje: \\ ((6; 8) \\)
ODZ: \\ (\\ filloni (rastet) 2x-4\u003e 0 \\\\ x + 1\u003e 0 \\ fund (rastet) \\)
\\ (\\ filloni (rastet) 2x\u003e 4 \\\\ x\u003e -1 \\ fund (rastet) \\) \\ (\\ Leftrightarrow \\) \\ (\\ filloni (rastet) x\u003e 2 \\\\ x\u003e -1 \\ fund (rastet) \\) \\ (\\ Leftrightarrow \\) \\ (x \\ in (2; \\ pafuqishëm) \\)
\\ (2x-4 \\) \\ (≤ \\) \\ (x + 1 \\)
\\ (2x-x≤4 + 1 \\)
\\ (x≤5 \\)
Përgjigje: \\ ((2; 5] \\)
Përgjigje:
\\ (x∈ (\\) \\ (\\ frac (3) (2) \\) \\ (; \\) \\ (\\ frac (7) (3)] \\)
\\ (x∈ (\\) \\ (\\ frac (3) (2) \\) \\ (; \\) \\ (\\ frac (7) (3)] \\)
Përgjigje:
\\ ((0; \\ frac (1) (3)) ∪ (9; ∞) \\)
\\ (t ^ 2-t-2\u003e 0 \\) Zgjero anën e majtë të pabarazisë në.
\\ (t_1 \u003d \\ frac (1 + 3) (2) \u003d 2 \\)
\\ (t_2 \u003d \\ frac (1-3) (2) \u003d - 1 \\)
\\ ((t + 1) (t-2)\u003e 0 \\)
nëse a\u003e 1
nëse 0 <
а <
1
, dhe në të djathtë 0..
, që është, për të zgjidhur ekuacionin 
(dhe zgjidhja e një ekuacioni është zakonisht më e lehtë se zgjidhja e një pabarazie). në intervalet e marra.
Dhe edhe nëse mësuesi e njihte atë, kishte frikë - a e njeh provuesi dhe pse nuk jepet në shkollë? Kishte situata kur mësuesi i tha nxënësit: "Ku e morët? Uluni - 2."
Tani metoda promovohet gjerësisht. Dhe për ekspertët ka udhëzime të shoqëruara me këtë metodë dhe në "Botimet më të plota të varianteve të modelit ..." në zgjidhjen C3 përdoret kjo metodë.
METODA E Mrekullueshme!
Përgjigje... (0; 0,5) U.
Përgjigje :
(3;6)
.
\u003d -log 4 \u003d - (log 4 y -log 4 16) \u003d 2-log 4 y, pastaj rishkruaj pabarazinë e fundit si 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Zgjidhja e kësaj bashkësie janë intervalet 0<у≤2 и 8≤у<+.
domethënë tërësia 
... Kështu, pabarazia origjinale vlen për të gjitha vlerat e x nga intervalet 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Prandaj, të gjitha x nga intervali 0 Praktikoni.