Koncepti piramidal

Përkufizimi 1

Një figurë gjeometrike e formuar nga një poligon dhe një pikë që nuk shtrihet në rrafshin që përmban këtë poligon, e lidhur me të gjitha kulmet e poligonit quhet piramidë (Fig. 1).

Poligoni nga i cili përbëhet piramida quhet baza e piramidës, trekëndëshat e përftuar nga lidhja me pikën janë faqet anësore të piramidës, anët e trekëndëshave janë anët e piramidës dhe pika e përbashkët për të gjithë trekëndëshat është maja e piramidës.

Llojet e piramidave

Në varësi të numrit të këndeve në bazën e piramidës, ajo mund të quhet trekëndësh, katërkëndësh etj. (Fig. 2).

Figura 2

Një lloj tjetër i piramidës është piramida e rregullt.

Le të prezantojmë dhe provojmë pronën e një piramide të rregullt.

Teorema 1

Të gjitha faqet anësore të një piramide të rregullt janë trekëndëshat isosceles, të cilat janë të barabarta me njëri-tjetrin.

Provat.

Merrni parasysh një piramidë të rregullt $ n- $ qymyr me majë $ S $ dhe lartësi $ h \u003d SO $. Le të përshkruajmë një rreth rreth bazës (Fig. 4).

Figura 4

Merrni parasysh trekëndëshin $ SOA $. Nga teorema e Pitagorës, marrim

Padyshim, kjo do të përcaktojë çdo avantazh anësor. Prandaj, të gjitha skajet anësore janë të barabarta me njëra-tjetrën, domethënë, të gjitha skajet anësore janë trekëndëshat isosceles. Le të provojmë se ata janë të barabartë me njëri-tjetrin. Meqenëse baza është një poligon i rregullt, bazat e të gjitha faqeve anësore janë të barabarta me njëra-tjetrën. Si pasojë, të gjitha faqet anësore janë të barabarta sipas kriterit III të barazisë së trekëndëshave.

Teorema vërtetohet.

Tani prezantojmë përkufizimin e mëposhtëm në lidhje me konceptin e një piramide të rregullt.

Përkufizimi 3

Apotema e një piramide të rregullt është lartësia e faqes anësore të saj.

Padyshim, nga Teorema Një, të gjitha apotemat janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Teorema 2

Sipërfaqja anësore e një piramide të rregullt përcaktohet si produkt i gjysmë-perimetrit bazë dhe apotemës.

Provat.

Le të shënojmë anën e bazës së piramidës së qymyrit $ n- $ me $ a $, dhe apotemën me $ d $. Prandaj, zona e fytyrës anësore është

Meqenëse, nga Teorema 1, të gjitha anët anësore janë të barabarta, atëherë

Teorema vërtetohet.

Një lloj tjetër i piramidës është një piramidë e cunguar.

Përkufizimi 4

Nëse vizatoni një plan paralel me bazën e tij përmes një piramide të zakonshme, atëherë figura e formuar midis këtij plani dhe rrafshit të bazës quhet një piramidë e cunguar (Fig. 5).

Figura 5. Piramida e cunguar

Fytyrat anësore të piramidës së cunguar janë trapezoide.

Teorema 3

Sipërfaqja anësore e një piramide të rregullt të cunguar përcaktohet si produkt i shumës së gjysmëmetrave bazë dhe apotemës.

Provat.

Le të shënojmë anët e bazave të piramidës së qymyrit $ n- $, përkatësisht me $ a \\ dhe \\ b $, dhe apotemën me $ d $. Prandaj, zona e fytyrës anësore është

Meqenëse të gjitha palët janë të barabarta, atëherë

Teorema vërtetohet.

Detyra shembull

Shembulli 1

Gjeni zonën e sipërfaqes anësore të një piramide trekëndëshe të cunguar nëse merret nga një piramidë e rregullt me \u200b\u200banën e bazës 4 dhe apotemën 5 duke u prerë me një avion që kalon nëpër vijën e mesit të faqeve anësore.

Vendimi.

Nga teorema e vijës së mesme, marrim që baza e sipërme e piramidës së cunguar është $ 4 \\ cdot \\ frac (1) (2) \u003d 2 $, dhe apotema është $ 5 \\ cdot \\ frac (1) (2) \u003d 2.5 $

Pastaj, nga Teorema 3, marrim

Këtu mund të gjeni informacione themelore rreth piramidave dhe formulave dhe koncepteve përkatëse. Të gjithë ata janë studiuar me një tutor të matematikës në përgatitje të provimit.

Konsideroni një plan, një shumëkëndësh shtrirë në të dhe një pikë S që nuk shtrihet në të. Lidhni S me të gjitha kulmet e shumëkëndëshit. Poliedri që rezulton quhet piramidë. Segmentet quhen brinjë anësore. Poligoni quhet baza, dhe pika S quhet maja e piramidës. Në varësi të numrit n, piramida quhet trekëndore (n \u003d 3), katërkëndëshe (n \u003d 4), katërkëndore (n \u003d 5), etj. Një emër alternativ për piramidën trekëndore është katërkëndësh... Lartësia e piramidës quhet pingul, e ulur nga maja e saj në planin e bazës.

Një piramidë quhet e saktë nëse një poligon i rregullt, dhe baza e lartësisë së piramidës (baza e pingulit) është qendra e saj.

Komenti i mësuesit kujdestar:
Mos ngatërroni konceptin e "piramidës së rregullt" dhe "katërkëndëshit të saktë". Në një piramidë të rregullt, skajet anësore nuk janë domosdoshmërisht të barabarta me skajet e bazës, por në një katërkëndësh të rregullt, të 6 skajet e skajeve janë të barabarta. Ky është përkufizimi i tij. Shtë e lehtë të provohet se barazia nënkupton koincidencën e qendrës P të poligonit me bazën e lartësisë, kështu që një katërkëndësh i rregullt është një piramidë e rregullt.

Çfarë është Apothema?
Apotema e një piramide është lartësia e faqes së saj anësore. Nëse piramida është e saktë, atëherë të gjitha apotemat e saj janë të barabarta. Biseda nuk është e vërtetë.

Tutor në matematikë në lidhje me terminologjinë e tij: puna me piramidat është 80% e ndërtuar përmes dy llojeve të trekëndëshave:
1) Përmbajnë apotemën SK dhe lartësinë SP
2) Përmban një buzë anësore SA dhe projeksionin e saj PA

Për ta bërë më të lehtë referimin në këto trekëndësha, është më e përshtatshme që një mësues matematike të thërrasë të parin apotemike, dhe e dyta bregdetare... Fatkeqësisht, këtë terminologji nuk do ta gjeni në asnjë prej teksteve shkollore, dhe mësuesi duhet ta fusë atë në mënyrë të njëanshme.

Formula për vëllimin e një piramide:
1) , ku është zona e bazës së piramidës, dhe është lartësia e piramidës
2), ku është rrezja e sferës së gdhendur, dhe është sipërfaqja totale e piramidës.
3) , ku MN është distanca e çdo dy skajeve të kalimit, dhe është zona e paralelogramit e formuar nga pikat e mesit të katër skajeve të mbetura.

Prona bazë e lartësisë piramidale:

Pika P (shih figurën) përkon me qendrën e rrethit të gdhendur në bazën e piramidës nëse plotësohet një nga kushtet e mëposhtme:
1) Të gjitha apotemat janë të barabarta
2) Të gjitha faqet anësore janë njësoj të prirura drejt bazës
3) Të gjitha apotemat janë njësoj të prirura në lartësinë e piramidës
4) Lartësia e piramidës është njësoj e prirur për të gjitha fytyrat anësore

Koment i Tutorit të Matematikës: vini re se të gjitha pikat kanë një veti të përbashkët: në një mënyrë apo në një tjetër, fytyrat anësore janë të përfshira kudo (apotemat janë elementet e tyre). Prandaj, mësuesi mund të ofrojë një formulim më pak të saktë, por më të përshtatshëm për memorizimin: pika P përkon me qendrën e rrethit të gdhendur në bazën e piramidës, nëse ka ndonjë informacion të barabartë për faqet anësore të saj. Për ta vërtetuar atë, mjafton të tregojmë se të gjithë trekëndëshat apotemikë janë të barabartë.

Pika P përkon me qendrën e një rrethi të përshkruar pranë bazës së piramidës, nëse një nga tre kushtet është e vërtetë:
1) Të gjitha skajet anësore janë të barabarta
2) Të gjitha brinjët anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë drejt bazës
3) Të gjitha brinjët anësore janë njësoj të prirura për lartësinë

Studentët përballen me konceptin e një piramide shumë përpara studimit të gjeometrisë. Kjo është për shkak të mrekullive të famshme të mëdha egjiptiane të botës. Prandaj, duke filluar studimin e këtij poliedri të mrekullueshëm, shumica e studentëve tashmë e imagjinojnë qartë atë. Të gjitha atraksionet e lartpërmendura kanë formën e duhur. Çfarë piramidë e saktë, dhe cilat veti i ka dhe do të diskutohet më tej.

Në kontakt me

Përkufizimi

Ka shumë përkufizime të një piramide. Që nga kohërat antike, ajo ka gëzuar popullaritet të madh.

Për shembull, Euklidi e përcaktoi atë si një figurë trupore, e përbërë nga aeroplanë që, duke filluar nga një, konvergojnë në një pikë të caktuar.

Heron ofroi një formulim më preciz. Ai këmbënguli se ishte një figurë që ka një bazë dhe plane në formën e trekëndëshave, duke konverguar në një pikë.

Bazuar në interpretimin modern, piramida paraqitet si një shumëfaqësh hapësinor, i përbërë nga disa k-gon dhe k figura të sheshta të një forme trekëndëshi, që kanë një pikë të përbashkët.

Le ta kuptojmë atë në më shumë detaje, nga cilat elemente përbëhet:

• k-gon konsiderohet baza e figurës;
• shifrat me 3 anë janë anët e pjesës anësore;
• pjesa e sipërme nga e kanë origjinën elementët anësorë quhet maja;
• të gjithë segmentet që lidhin një kulm quhen skaje;
• nëse një vijë e drejtë ulet nga maja në planin e figurës në një kënd prej 90 gradë, atëherë pjesa e saj e mbyllur në hapësirën e brendshme është lartësia e piramidës;
• në çdo element anësor, një pingul mund të vizatohet në anën e shumëfaqës sonë, të quajtur apotemë.

Numri i skajeve llogaritet nga formula 2 * k, ku k është numri i brinjëve të një k-gon. Sa fytyra ka një poliedër si një piramidë mund të përcaktohet nga shprehja k + 1.

E rëndësishme! Një piramidë në formë të rregullt është një figurë stereometrike, rrafshi bazë i së cilës është një k-gon me brinjë të barabarta.

Karakteristikat themelore

Piramida e saktë ka shume veti, të cilat janë të natyrshme vetëm për të. Le t'i rendisim ato:

1. Baza është një figurë e formës së rregullt.
2. Skajet e piramidës që lidhin anëtarët anësorë kanë vlera të barabarta numerike.
3. Elementet anësore janë trekëndëshat isosceles.
4. Baza e lartësisë së figurës bie në qendër të poligonit, ndërsa në të njëjtën kohë është pika qendrore e gdhendur dhe e përshkruar.
5. Të gjitha brinjët anësorë janë të prirur në planin e bazës në të njëjtin kënd.
6. Të gjitha sipërfaqet anësore kanë të njëjtin kënd të pjerrësisë në lidhje me bazën.

Të gjitha këto veti e bëjnë shumë më të lehtë kryerjen e llogaritjeve të anëtarëve. Bazuar në vetitë e mësipërme, ne tërheqim vëmendjen dy shenja:

1. Në rastin kur poligoni përshtatet në një rreth, faqet anësore do të kenë kënde të barabarta me bazën.
2. Kur përshkruani një rreth rreth një poligoni, të gjitha skajet e piramidës që dalin nga kulmi do të kenë të njëjtën gjatësi dhe kënde të barabarta me bazën.

Bazohet në një katror

Piramida e rregullt katërkëndore - një poliedër i bazuar në një katror.

Ka katër fytyra anësore, të cilat janë me pamje të njëfishtë.

Në një aeroplan, një katror është përshkruar, por bazuar në të gjitha vetitë e një katërkëndëshi të rregullt.

Për shembull, nëse keni nevojë të lidhni anën e një sheshi me diagonalin e tij, atëherë përdorni formulën e mëposhtme: diagonalja është e barabartë me produktin e anës së katrorit dhe rrënjën katrore të dy.

Bazohet në një trekëndësh të rregullt

Një piramidë e rregullt trekëndëshe është një shumëfaqësh me një 3-gon të rregullt në bazën e saj.

Nëse baza është një trekëndësh i rregullt, dhe skajet anësore janë të barabarta me skajet e bazës, atëherë një figurë e tillë quhet tetraedër.

Të gjitha fytyrat e katërkëndëshit janë 3-gonëshe barabrinjës. Në këtë rast, duhet të dini disa pika dhe të mos humbni kohë për to kur llogaritni:

• këndi i pjerrësisë së brinjëve në çdo bazë është 60 gradë;
• madhësia e të gjitha skajeve të brendshme është gjithashtu 60 gradë;
• çdo aspekt mund të veprojë si bazë;
• të vizatuara brenda formës janë elementë të barabartë.

Seksione poliedrike

Në çdo poliedër, ka disa lloje të seksioneveaeroplan. Shpesh në kursin e gjeometrisë shkollore, punohen dy:

• boshtor;
• bazë paralele.

Një seksion boshtor merret kur aeroplani kryqëzon një poliedër që kalon përmes kulmit, skajeve anësore dhe boshtit. Në këtë rast, boshti është lartësia e tërhequr nga maja. Rrafshi i prerjes është i kufizuar nga vijat e kryqëzimit me të gjitha fytyrat, duke rezultuar në një trekëndësh.

Vëmendje!Në një piramidë të rregullt, seksioni boshtor është një trekëndësh isosceles.

Nëse rrafshi i prerjes shkon paralel me bazën, atëherë rezultati është opsioni i dytë. Në këtë rast, ne kemi një figurë tërthore të ngjashme me bazën.

Për shembull, nëse ka një shesh në bazë, atëherë seksioni paralel me bazën do të jetë gjithashtu një katror, \u200b\u200bvetëm me madhësi më të vogla.

Kur zgjidhen problemet nën këtë gjendje, përdoren shenja dhe vetitë e ngjashmërisë së figurave, bazuar në teoremën e Thales... Para së gjithash, është e nevojshme të përcaktohet koeficienti i ngjashmërisë.

Nëse rrafshi është paralel me bazën, dhe ai pret pjesën e sipërme të poliedrit, atëherë në pjesën e poshtme fitohet një piramidë e rregullt e prerë. Pastaj rrjedhjet e shumëfaqës së cunguar thuhet se janë shumëkëndësha të ngjashëm. Në këtë rast, faqet anësore janë trapezoide isosceles. Seksioni boshtor është gjithashtu isosceles.

Për të përcaktuar lartësinë e shumëfaqës së cunguar, është e nevojshme të tërhiqet lartësia në seksionin boshtor, domethënë në trapez.

Zonat sipërfaqësore

Problemet kryesore gjeometrike që duhet të zgjidhen në kursin e gjeometrisë shkollore janë gjetja e sipërfaqeve dhe vëllimit të piramidës.

Ekzistojnë dy lloje të vlerave të sipërfaqes:

• zona e elementeve anësore;
• sipërfaqja e të gjithë sipërfaqes.

Nga vetë emri kuptohet se për çfarë bëhet fjalë. Sipërfaqja anësore përfshin vetëm elementët anësorë. Nga kjo rrjedh që për ta gjetur, duhet vetëm të shtoni zonat e rrafsheve anësore, domethënë zonat e 3-gonëve isosceles. Le të përpiqemi të nxjerrim formulën për zonën e elementeve anësore:

1. Zona e 3-gonës isosceles është e barabartë me Str \u003d 1/2 (aL), ku a është ana e bazës, L është apotema.
2. Numri i rrafsheve anësorë varet nga lloji i g-konit në bazë. Për shembull, një piramidë e rregullt katërkëndëshe ka katër plane anësore. Prandaj, është e nevojshme të shtoni zonat e katër figurave Ana S \u003d 1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) \u003d 1/2 * 4а * L. Shprehja thjeshtësohet në këtë mënyrë sepse vlera 4a \u003d Rosn, ku Rosn është perimetri i bazës. Dhe shprehja 1/2 * Rosn është gjysëmimetri i saj.
3. Pra, konkludojmë se zona e elementeve anësore të një piramide të rregullt është e barabartë me prodhimin e gjysmë perimetrit bazë dhe apotemës: Sbok \u003d Rosn * L.

Sipërfaqja totale e piramidës përbëhet nga shuma e sipërfaqeve të planeve anësore dhe baza: Sp.p. \u003d Side + Sbase.

Sa i përket zonës së bazës, këtu formula përdoret sipas llojit të shumëkëndëshit.

Vëllimi i një piramide të rregulltështë e barabartë me prodhimin e sipërfaqes së rrafshit bazë nga lartësia, e ndarë me tre: V \u003d 1/3 * Sbase * H, ku H është lartësia e shumëfaqës.

Cila është një piramidë e saktë në gjeometri

Karakteristikat e një piramide të rregullt katërkëndëshe

Hipoteza: ne besojmë se përsosja e formës së piramidës është për shkak të ligjeve matematikore të ngulitura në formën e saj.

Qëllimi:pasi ka studiuar piramidën si një trup gjeometrik, për të shpjeguar përsosjen e formës së saj.

Detyrat:

1. Jepni një përkufizim matematik të piramidës.

2. Studioni piramidën si një trup gjeometrik.

3. Kuptoni se çfarë njohurish matematikore vendosën egjiptianët në piramidat e tyre.

Pyetjet private:

1. Çka është piramida si trup gjeometrik?

2. Si mund ta shpjegoni veçantinë e formës së piramidës nga pikëpamja matematikore?

3. Çfarë shpjegon mrekullitë gjeometrike të piramidës?

4. Çfarë shpjegon përsosjen e formës piramidale?

Përkufizimi i piramidës.

PIRAMIDA (nga piramida greke, gjinia piramidos) - një poliedër, baza e të cilit është një shumëkëndësh, dhe fytyrat e mbetura janë trekëndësha me një kulm të përbashkët (figura). Sipas numrit të këndeve të bazës, piramidat dallohen trekëndëshe, katërkëndëshe, etj.

PIRAMIDA - një strukturë monumentale me një formë piramidale gjeometrike (ndonjëherë edhe e shkallëzuar ose e ngjashme me kullën). Piramidat quhen varret gjigante të faraonëve të lashtë egjiptianë të mijëvjeçarit 3 - 2 para Krishtit. e., si dhe piedestalet e tempullit antik amerikan (në Meksikë, Guatemalë, Honduras, Peru) të shoqëruara me kulte kozmologjike.

Possibleshtë e mundur që fjala greke "piramidë" të vijë nga shprehja egjiptiane per-em-us, domethënë nga termi që do të thotë lartësia e piramidës. Egjiptologu i shquar rus V. Struve besonte se "puram… j" greke vjen nga egjiptiani i lashtë "p" -mr ".

Nga historia. Pas studimit të materialit në tekstin shkollor "Gjeometria" nga autorët e Atanasyan. Butuzov et al., Mësuam se: Një shumëfaqësh i përbërë nga një n - gon A1A2A3 ... Një dhe n trekëndëshat PA1A2, PA2A3, ..., PnA1 quhet piramidë. Poligoni A1A2A3… An është baza e piramidës dhe trekëndëshat PA1A2, PA2A3,…, PANA1 janë faqet anësore të piramidës, P është maja e piramidës, segmentet PA1, PA2,…, PAN janë skajet anësore.

Sidoqoftë, ky përkufizim i një piramide nuk ekzistonte gjithmonë. Për shembull, matematicieni antik grek, autori i traktateve teorike mbi matematikën që na kanë ardhur, Euklidi, përcakton një piramidë si një figurë trupore të kufizuar nga avionë që konvergojnë nga një plan në një pikë.

Por ky përkufizim u kritikua tashmë në kohërat antike. Kështu që Heron propozoi përkufizimin vijues të një piramide: "isshtë një figurë e kufizuar nga trekëndëshat që konvergojnë në një pikë dhe baza e së cilës është një poligon".

Grupi ynë, duke krahasuar këto përkufizime, arriti në përfundimin se ato nuk kanë një formulim të qartë të konceptit të "themelimit".

Ne hulumtuam këto përkufizime dhe gjetëm përkufizimin e Adrien Marie Legendre, i cili në 1794 në veprën e tij "Elementet e Gjeometrisë" përcakton piramidën si vijon: "Një piramidë është një figurë solide e formuar nga trekëndëshat që bashkohen në një pikë dhe përfundojnë në anët e ndryshme të një bazë e sheshtë ".

Na duket se përkufizimi i fundit jep një ide të qartë të piramidës, pasi ajo i referohet faktit që baza është e sheshtë. Një përkufizim tjetër i një piramide u shfaq në një libër shkollor të shekullit të 19-të: "një piramidë është një kënd i fortë i prerë nga një aeroplan".

Piramida si trup gjeometrik.

T. rreth. Piramida është një poliedër, njëra nga faqet e së cilës (baza) është shumëkëndësh, fytyrat e tjera (anësore) janë trekëndëshat që kanë një kulm të përbashkët (kulmin e piramidës).

Quhet pingul i tërhequr nga maja e piramidës në planin e bazës lartësiah piramidat.

Përveç një piramide arbitrare, ka piramidë e saktë, në bazën e së cilës është një poligon i rregullt dhe piramida e cunguar.

Shifra tregon piramidën PABCD, ABCD është baza e saj, PO është lartësia.

Sipërfaqja e plotë piramida quhet shuma e zonave të të gjitha fytyrave të saj.

S i plotë \u003d Ana S + S kryesore,ku Ana anësore - shuma e zonave të faqeve anësore.

Vëllimi i piramidës gjendet nga formula:

V \u003d 1 / 3Sb. h, ku Sosn. - zona bazë, h - lartësia.

Boshti i një piramide të rregullt quhet një vijë e drejtë që përmban lartësinë e saj.
Apothem ST - lartësia e faqes anësore të piramidës së rregullt.

Zona e faqes anësore të një piramide të rregullt shprehet si më poshtë: Ana S. \u003d 1 / 2P h, ku P është perimetri i bazës, h - lartësia e faqes anësore (apotema e piramidës së rregullt). Nëse piramida përshkohet nga avioni A'B'C'D 'paralel me bazën, atëherë:

1) brinjët dhe lartësia anësore ndahen nga ky plan në pjesë proporcionale;

2) në seksion, merret një poligonin A'B'C'D, i ngjashëm me bazën;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png "width \u003d" 287 "height \u003d" 151 "\u003e

Bazat piramidale të cunguara - shumëkëndësha të ngjashëm ABCD dhe A`B`C`D`, faqet anësore - trapezi.

Lartësia piramida e cunguar - distanca midis bazave.

Vëllimi i cunguar piramida gjendet nga formula:

V \u003d 1/3 h (S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png "align \u003d" left "width \u003d" 91 "height \u003d" 96 "\u003e Sipërfaqja anësore e një piramide të rregullt të cunguar shprehet si më poshtë: Ana S. \u003d ½ (P + P ') h, ku P dhe P 'janë perimetrat e bazave, h- lartësia e faqes anësore (apotema e piramidave të prera korrekte

Seksionet e piramidës.

Seksionet e piramidës nga aeroplanët që kalojnë nëpër majën e saj janë trekëndësha.

Seksioni që kalon përmes dy skajeve anësore jo-ngjitur të piramidës quhet prerje diagonale.

Nëse seksioni kalon përmes një pike në buzë anësore dhe në anën e bazës, atëherë kjo anë do të jetë gjurma e saj në planin e bazës së piramidës.

Një seksion që kalon përmes një pike të shtrirë në fytyrën e piramidës dhe një gjurmë të caktuar të seksionit në planin bazë, atëherë ndërtimi duhet të kryhet si më poshtë:

· Gjeni pikën e kryqëzimit të rrafshit të fytyrës së dhënë dhe gjurmën e prerjes së piramidës dhe përcaktoni atë;

· Ndërtoni një vijë të drejtë që kalon nëpër një pikë të caktuar dhe pikën e kryqëzimit që rezulton;

· Përsëritni këto hapa për fytyrat e mëposhtme.

, e cila korrespondon me raportin e këmbëve të një trekëndëshi kënddrejtë 4: 3. Ky raport i aspektit korrespondon me trekëndëshin e njohur me kënd të drejtë 3: 4: 5, i cili quhet trekëndëshi "perfekt", "i shenjtë" ose "egjiptian". Sipas historianëve, trekëndëshit "Egjiptian" iu dha një kuptim magjik. Plutarku shkroi se egjiptianët krahasuan natyrën e universit me një trekëndësh "të shenjtë"; ata simbolikisht krahasuan këmbën vertikale me burrin, bazën me gruan dhe hipotenuzën me atë që ka lindur nga të dy.

Për një trekëndësh 3: 4: 5, barazia është e vërtetë: 32 + 42 \u003d 52, e cila shpreh teoremën e Pitagorës. A nuk ishte kjo teorema që priftërinjtë egjiptianë donin të përjetësonin duke ngritur një piramidë në bazë të trekëndëshit 3: 4: 5? Shtë e vështirë të gjesh një shembull më të mirë për të ilustruar teoremën e Pitagorës, e cila ishte e njohur për egjiptianët shumë kohë para zbulimit të saj nga Pitagora.

Kështu, krijuesit e zgjuar të piramidave egjiptiane u përpoqën të mahnitnin pasardhësit e largët me thellësinë e njohurive të tyre, dhe ata e arritën këtë duke zgjedhur trekëndëshin e drejtë "të artë" për piramidën Keops, dhe atë "të shenjtë" ose "Egjiptian" për Trekëndëshi piramidal Khafre.

Shumë shpesh në studimet e tyre, shkencëtarët përdorin vetitë e piramidave me proporcionet e Seksionit të Artë.

Në fjalorin enciklopedik matematikor, jepet përkufizimi i mëposhtëm i Seksionit të Artë - kjo është ndarja harmonike, ndarja në raportin ekstrem dhe mesatar - ndarja e segmentit AB në dy pjesë në një mënyrë të tillë që shumica e AC e tij të jetë proporcioni mesatar midis i gjithë segmenti AB dhe pjesa më e vogël e tij CB.

Gjetja algjebrike e raportit të artë të një segmenti AB \u003d a zvogëlohet në zgjidhjen e ekuacionit a: x \u003d x: (a - x), prej nga x është përafërsisht i barabartë me 0.62a. Raporti x mund të shprehet në thyesat 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21 ... \u003d 0,618, ku 2, 3, 5, 8, 13, 21 janë numra Fibonaçi.

Ndërtimi gjeometrik i Seksionit të Artë të segmentit AB kryhet si më poshtë: në pikën B, restaurohet pingul në AB, vendoset segmenti BE \u003d 1/2 AB, vendosen A dhe E, DE \u003d BE dhe, së fundmi, AC \u003d Ferr, atëherë plotësohet barazia AB: SV \u003d 2: 3.

Raporti i artë përdoret shpesh në veprat e artit, arkitekturës dhe ndodh në natyrë. Shembuj të dukshëm janë skulptura e Apollo Belvedere, Partenoni. Gjatë ndërtimit të Parthenonit, u përdor raporti i lartësisë së ndërtesës me gjatësinë e tij dhe ky raport është 0.618. Objektet përreth nesh gjithashtu ofrojnë shembuj të Raportit të Artë, për shembull, lidhjet e shumë librave kanë një raport të gjerësisë ndaj gjatësisë afër 0.618. Duke marrë parasysh rregullimin e gjetheve në kërcellin e zakonshëm të bimëve, mund të shihni se midis çdo dy palë gjethe, e treta ndodhet në vendin e Seksionit të Artë (rrëshqitjet). Secili prej nesh "mbart" Raportin e Artë me vete "në duart tona" - ky është raporti i falangave të gishtërinjve.

Përmes zbulimit të disa papirusve matematikorë, egjiptologët kanë mësuar një ose dy gjëra për sistemet e lashta egjiptiane të numrave dhe masave. Detyrat që përmbaheshin në to zgjidheshin nga skribët. Një nga më të famshmet është Papiri Matematikor Rindi. Duke studiuar këto enigma, egjiptologët mësuan se si egjiptianët e lashtë merreshin me sasitë e ndryshme që dilnin gjatë llogaritjes së masave të peshës, gjatësisë dhe vëllimit, në të cilat përdoren shpesh fraksionet dhe se si ato merren me kënde.

Egjiptianët e lashtë përdorën një metodë për llogaritjen e këndeve bazuar në raportin e lartësisë me bazën e një trekëndëshi kënddrejtë. Ata shprehnin çdo kënd në gjuhën e gradientit. Gradienti i pjerrësisë u shpreh nga një raport i plotë i quajtur "i veçuar". Në librin e tij Matematika në kohën e faraonëve, Richard Pillins shpjegon: “Sekedi i një piramide të rregullt është pjerrësia e ndonjërës prej katër faqeve trekëndëshe në planin bazë, e matur nga një numër i nëntë i njësive horizontale për njësinë vertikale të ngritjes . Kështu, kjo njësi është ekuivalente me cotangjentin tonë modern të animit. Prandaj, fjala egjiptiane "seked" është e ngjashme me fjalën tonë moderne "gradient".

Çelësi numerik i piramidave qëndron në raportin e lartësisë së tyre me bazën. Në terma praktikë, kjo është mënyra më e lehtë për t'i bërë modelet e nevojshme për të kontrolluar vazhdimisht këndin e duhur të pjerrësisë gjatë gjithë ndërtimit të piramidës.

Egjiptologët do të ishin të lumtur të na bindnin se secili faraon ishte i etur të shprehte individualitetin e tij, prandaj këndet e ndryshme të prirjes për secilën piramidë. Por mund të ketë një arsye tjetër. Ndoshta të gjithë dëshironin të mishëronin shoqata të ndryshme simbolike, të fshehura në përmasa të ndryshme. Sidoqoftë, këndi i piramidës së Khafre (bazuar në një trekëndësh (3: 4: 5) shfaqet në tre problemet e përfaqësuara nga piramidat në Papirusin Matematikor Rindi). Pra, ky qëndrim ishte i njohur për egjiptianët e lashtë.

Të them të drejtën ndaj egjiptologëve që pretendojnë se egjiptianët e lashtë nuk e dinin trekëndëshin 3: 4: 5, le të themi se gjatësia e hipotenuzës 5 nuk u përmend kurrë. Por problemet matematikore që lidhen me piramidat zgjidhen gjithmonë bazuar në këndin e sekonduar - raportin e lartësisë me bazën. Meqenëse gjatësia e hipotenuzës nuk u përmend asnjëherë, u konkludua se egjiptianët kurrë nuk llogaritën gjatësinë e anës së tretë.

Raportet e lartësisë në bazë të përdorura në piramidat e Gizës ishin padyshim të njohura për egjiptianët e lashtë. Possibleshtë e mundur që këto marrëdhënie për secilën piramidë të jenë zgjedhur në mënyrë arbitrare. Sidoqoftë, kjo kundërshton rëndësinë që i jepet simbolikës numerike në të gjitha format e arteve pamore egjiptiane. Ka shumë të ngjarë që marrëdhënie të tilla të ishin domethënëse sepse ato shprehnin ide specifike fetare. Me fjalë të tjera, i gjithë kompleksi i Gizës ishte në varësi të një plani koherent të hartuar për të pasqyruar një temë të caktuar hyjnore. Kjo do të shpjegonte pse projektuesit zgjodhën kënde të ndryshme për tre piramidat.

Në Misterin e Orionit, Bauval dhe Gilbert paraqitën prova bindëse të lidhjes së piramidave të Gizës me konstelacionin Orion, në veçanti me yjet e Rripit të Orionit. Kjo konstelacion është e pranishme në mitin e Isis dhe Osiris, dhe ka arsye për të konsideruar secilën piramidë si një imazh të një prej tre hyjnive kryesore - Osiris, Isis dhe Horus.

MREKULLIT "GJEOMETRIKE".

Ndër piramidat madhështore të Egjiptit, një vend i veçantë është Piramida e Madhe e Faraonit Keops (Khufu)... Para se të vazhdohet me analizën e formës dhe madhësisë së piramidës Keops, duhet të kujtohet se çfarë sistemi masash kanë përdorur egjiptianët. Egjiptianët kishin tre njësi gjatësi: "kubit" (466 mm), e barabartë me shtatë "pëllëmbë" (66,5 mm), të cilat, nga ana tjetër, janë të barabarta me katër "gishta" (16,6 mm).

Le të analizojmë dimensionet e piramidës Cheops (Fig. 2), duke ndjekur arsyetimin e dhënë në librin e mrekullueshëm të shkencëtarit ukrainas Nikolai Vasyutinsky "Proporcioni i Artë" (1990).

Shumica e studiuesve pajtohen se gjatësia e anës së bazës së piramidës, për shembull, Gf e barabartë L \u003d 233.16 m. Kjo vlerë korrespondon pothuajse saktësisht me 500 "kubitë". Përputhja e plotë me 500 "kubitë" do të jetë nëse gjatësia e "kubit" konsiderohet e barabartë me 0.4663 m.

Lartësia e piramidës ( H) vlerësohet nga studiuesit ndryshe nga 146.6 në 148.2 m. Dhe në varësi të lartësisë së pranuar të piramidës, të gjitha raportet e elementeve të saj gjeometrikë ndryshojnë. Cila është arsyeja për ndryshimet në vlerësimin e lartësisë së piramidës? Fakti është se, në mënyrë rigoroze, piramida e Keopsit është e cunguar. Platforma e saj e sipërme sot është rreth 10 ´ 10 m, dhe një shekull më parë ishte 6 ´ 6 m. Padyshim, maja e piramidës u shkëput dhe nuk korrespondon me atë origjinale.

Kur vlerësoni lartësinë e piramidës, është e nevojshme të merret parasysh një faktor i tillë fizik si "drafti" i strukturës. Për një kohë të gjatë, nën ndikimin e presionit kolosal (duke arritur 500 tonë për 1 m2 të sipërfaqes së poshtme), lartësia e piramidës ka rënë në krahasim me lartësinë e saj origjinale.

Cila ishte lartësia fillestare e piramidës? Kjo lartësi mund të rikrijohet duke gjetur "idenë gjeometrike" themelore të piramidës.

Figura 2

Në 1837, koloneli anglez G. Weisz mati këndin e pjerrësisë së fytyrave të piramidës: doli të ishte e barabartë a \u003d 51 ° 51 ". Kjo vlerë njihet edhe sot nga shumica e studiuesve. Vlera e treguar e këndit korrespondon me tangjentën (tg a) e barabartë me 1.27306. Kjo vlerë korrespondon me raportin e lartësisë së piramidës SI në gjysmën e bazës së saj CB (Fig. 2), dmth AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Dhe këtu studiuesit ishin në një befasi të madhe! .Png "width \u003d" 25 "height \u003d" 24 "\u003e \u003d 1,272. Krahasimi i kësaj vlere me vlerën e tg a \u003d 1.27306, shohim që këto vlera janë shumë afër njëra-tjetrës. Nëse marrim këndin a \u003d 51 ° 50 ", domethënë, për ta zvogëluar atë me vetëm një minutë harku, atëherë vlera a do të bëhet e barabartë me 1.272, domethënë, përkon me vlerën. Duhet të theksohet se në 1840 G. Weis përsëriti matjet e tij dhe specifikoi se vlera e këndit a \u003d 51 ° 50 ".

Këto matje i çuan studiuesit në hipotezën vijuese shumë interesante: baza e trekëndëshit ACB të piramidës Cheops ishte raporti AC / CB = = 1,272!

Konsideroni tani një trekëndësh kënddrejtë ABC, në të cilën raporti i këmbëve AC / CB \u003d (Fig. 2). Nëse tani gjatësitë e anëve të drejtkëndëshit ABC shënojnë përmes x, y, z, dhe gjithashtu të marrë parasysh se raporti y/x \u003d, atëherë në përputhje me teoremën e Pitagorës, gjatësinë z mund të llogaritet me formulën:

Nëse pranoni x = 1, y \u003d https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png "width \u003d" 143 "height \u003d" 27 "\u003e

Figura 3 Trekëndëshi kënddrejtë "i artë".

Një trekëndësh kënddrejtë në të cilin anët lidhen si t : artë "trekëndësh kënddrejtë.

Atëherë, nëse marrim si bazë hipotezën se "ideja gjeometrike" kryesore e piramidës së Keopsit është trekëndëshi kënddrejtë "i artë", atëherë prej këtu është e lehtë të llogaritet lartësia "projektuese" e piramidës Keops. Shtë e barabartë me:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Le të nxjerrim tani disa marrëdhënie të tjera për piramidën Keops që dalin nga hipoteza "e artë". Në veçanti, gjejmë raportin e zonës së jashtme të piramidës me zonën e bazës së saj. Për ta bërë këtë, merrni gjatësinë e këmbës CB për njësi, domethënë: CB \u003d 1. Por pastaj gjatësia e anës së bazës së piramidës Gf \u003d 2, dhe zona bazë EFGH do të jetë e barabartë SEFGH = 4.

Le të llogarisim tani sipërfaqen e faqes anësore të piramidës Keops SD... Që nga lartësia AB trekëndëshi AEF e barabartë t, atëherë zona e faqes anësore do të jetë SD = t... Atëherë sipërfaqja totale e të katër faqeve anësore të piramidës do të jetë 4 t, dhe raporti i sipërfaqes totale të jashtme të piramidës me sipërfaqen e bazës do të jetë i barabartë me raportin e artë! Kjo është ajo që është - misteri kryesor gjeometrik i piramidës Keops!

Grupi i "mrekullive gjeometrike" të piramidës Cheops përfshin vetitë reale dhe të sajuara të marrëdhënies midis dimensioneve të ndryshme në piramidë.

Si rregull, ato merren në kërkim të disa "konstanteve", në veçanti, numri "pi" (numri i Ludolph) i barabartë me 3.14159 ...; baza e logaritmeve natyrore "e" (numri i Napierit) e barabartë me 2.71828 ...; numri "F", numri i "raportit të artë", i barabartë, për shembull, 0.618 ... dhe kështu me radhë.

Ju mund të përmendni, për shembull: 1) Pronë e Herodotit: (Lartësia) 2 \u003d 0,5 tbsp. kryesore x Apotema; 2) Prona e V. Çmimi: Lartësia: 0.5 rr. osn \u003d rrënja katrore e "Ф"; 3) Prona e M. Eyst: Perimetri bazë: 2 Lartësia \u003d "Pi"; në një interpretim tjetër - 2 tbsp. kryesore : Lartësia \u003d "Pi"; 4) Prona e G. Brinjëve: Rrezja e rrethit të regjistruar: 0,5 rr. kryesore \u003d "F"; 5) Prona e K. Kleppisch: (Art. Kryesor.) 2: 2 (art. Kryesor. X Apotem) \u003d (art. Kryesor. U. Apotem) \u003d 2 (art. Kryesor. X Apotem): ((2 art. baza X Apotema) + (rr. baza) 2). Etj Ju mund të mendoni për shumë prona të tilla, veçanërisht nëse lidhni dy piramida fqinje. Për shembull, si "Prona të A. Arefiev" është e mundur të përmendet se ndryshimi midis vëllimeve të piramidës Cheops dhe piramidës Khafre është e barabartë me vëllimin e dyfishuar të piramidës Mikerin ...

Shumë dispozita interesante, në veçanti, për ndërtimin e piramidave sipas "raportit të artë" janë paraqitur në librat e D. Hambidge "Simetria dinamike në arkitekturë" dhe M. Geek "Estetika e proporcionit në natyrë dhe art". Kujtojmë që "raporti i artë" është ndarja e një segmenti në një raport të tillë kur pjesa A është sa herë më e madhe se pjesa B, sa herë A është më e vogël se i gjithë segmenti A + B. Raporti A / B është i barabartë te numri "Ф" \u003d\u003d 1.618. .. Përdorimi i "raportit të artë" tregohet jo vetëm në piramidat individuale, por edhe në të gjithë kompleksin e piramidave në Giza.

Gjëja më kurioze, sidoqoftë, është se e njëjta piramidë e Keopsit thjesht "nuk mund" të përmbajë kaq shumë veti të mrekullueshme. Marrja e një prone të caktuar një nga një, ajo mund të "rregullohet", por të gjitha menjëherë ato nuk përshtaten - ato nuk përkojnë, ato kundërshtojnë njëra-tjetrën. Prandaj, nëse, për shembull, kur kontrollojmë të gjitha pronat, fillimisht marrim të njëjtën anë të bazës piramidale (233 m), atëherë lartësitë e piramidave me veti të ndryshme do të jenë gjithashtu të ndryshme. Me fjalë të tjera, ekziston një farë "familje" piramidash, nga pamja e jashtme e ngjashme me Keopsin, por që korrespondon me veti të ndryshme. Vini re se nuk ka asgjë veçanërisht të mrekullueshme në vetitë "gjeometrike" - shumë lind thjesht automatikisht, nga vetitë e figurës vetë. Vetëm diçka qartë e pamundur për egjiptianët e lashtë duhet të konsiderohet një "mrekulli". Kjo, në veçanti, përfshin mrekulli "kozmike", në të cilat matjet e piramidës së Keopsit ose kompleksit piramidal në Giza krahasohen me disa matje astronomike dhe tregohen numrat "çift": një milion herë, një miliard herë më pak, dhe kështu në Le të shqyrtojmë disa marrëdhënie "kozmike".

Një nga pohimet është kjo: "Nëse e ndajmë anën e bazës së piramidës me gjatësinë e saktë të vitit, do të marrim saktësisht 10-të milionatin e boshtit të tokës". Llogaritni: pjesëtoni 233 me 365, marrim 0.638. Rrezja e Tokës është 6378 km.

Një deklaratë tjetër është në të vërtetë e kundërta e asaj të mëparshme. F. Noetling theksoi se nëse përdorim "bërrylin egjiptian" të shpikur prej tij, atëherë ana e piramidës do të korrespondojë me "kohëzgjatjen më të saktë të një viti diellor, të shprehur me një saktësi prej një të miliardtën ditë" - 365.540.903.777 .

Deklarata e P. Smith: "Lartësia e piramidës është saktësisht një e miliardta e distancës nga Toka në Diell". Megjithëse zakonisht merret një lartësi prej 146.6 m, Smith e mori atë 148.2 m. Sipas matjeve moderne të radarëve, boshti gjysmë-madh i orbitës së tokës është 149.597.870 + 1.6 km. Kjo është distanca mesatare nga Toka në Diell, por në perihel është 5.000.000 kilometra më pak se në aphelion.

Një deklaratë e fundit kurioze:

"Si të shpjegojmë që masat e piramidave të Keopsit, Khafre dhe Mykerinus lidhen me njëra-tjetrën, si masat e planetëve Tokë, Venus, Mars?" Le të llogarisim. Masat e tre piramidave janë si më poshtë: Khafre - 0.835; Cheops - 1000; Mikerin - 0,0915. Raporti i masave të tre planetëve: Venusi - 0.815; Tokë - 1000; Marsi - 0,108.

Pra, përkundër skepticizmit, le të vërejmë harmoninë e mirënjohur të ndërtimit të pohimeve: 1) lartësia e piramidës, si një vijë "që shkon në hapësirë" - korrespondon me distancën nga Toka në Diell; 2) ana e bazës së piramidës më afër "substratit", domethënë Tokës, është përgjegjëse për rrezen e tokës dhe qarkullimin tokësor; 3) vëllimet e piramidës (lexo - masat) korrespondojnë me raportin e masave të planetëve më afër Tokës. Një "shifër" i ngjashëm mund të gjurmohet, për shembull, në gjuhën e bletës të analizuar nga Karl von Frisch. Sidoqoftë, tani do të përmbahemi nga komentimi mbi këtë.

Forma e piramidës

Forma e famshme katër-anëshe e piramidave nuk u shfaq menjëherë. Skitët bënë varrime në formën e kodrave prej dheu - tuma. Egjiptianët ngritën "kodra" prej piramidash prej guri. Kjo ndodhi për herë të parë pas bashkimit të Egjiptit të Epërm dhe të Poshtëm, në shekullin XXVIII para Krishtit, kur themeluesi i dinastisë III, Faraoni Djoser (Zoser), u përball me detyrën e forcimit të unitetit të vendit.

Dhe këtu, sipas historianëve, një rol të rëndësishëm në forcimin e qeverisë qendrore luajti "koncepti i ri i hyjnizimit" të mbretit. Edhe pse varrosjet mbretërore dalloheshin nga një shkëlqim më i madh, ato, në parim, nuk ndryshonin nga varret e fisnikëve të oborrit, ato ishin të njëjtat struktura - mastabas. Mbi dhomën me sarkofagun që përmbante mumjen, u derdh një kodër drejtkëndëshe me gurë të vegjël, ku më pas u ngrit një ndërtesë e vogël me blloqe të mëdha guri - "mastaba" (në arabisht - "stol"). Në vend të mastabit të paraardhësit të tij, Sanakht, Faraoni Djoser ngriti piramidën e parë. Ishte hap pas hapi dhe ishte një fazë e dukshme kalimtare nga një formë arkitektonike në tjetrën, nga një mastaba në një piramidë.

Në këtë mënyrë, i mençuri dhe arkitekti Imhotep, i cili më vonë u konsiderua një magjistar dhe u identifikua nga grekët me perëndinë Asclepius, "ngriti" faraonin. Ishte sikur gjashtë mastabë ishin ngritur radhazi. Për më tepër, piramida e parë zinte një sipërfaqe prej 1125 x 115 metra, me një lartësi të vlerësuar prej 66 metrash (sipas masave egjiptiane - 1000 "pëllëmbë"). Në fillim, arkitekti planifikoi të ndërtonte një mastaba, por jo të zgjatur, por shesh në plan. Më vonë, ajo u zgjerua, por që kur zgjatja u bë më e ulët, u formuan dy hapa.

Kjo situatë nuk e kënaqi arkitektin, dhe në platformën e sipërme të mastabës së rrafshët të stërmadhe, Imhotep vendosi edhe tre të tjera, duke u ulur gradualisht në majë. Varri ishte nën piramidë.

Njihen disa piramida të shkallëzuara, por më vonë ndërtuesit kaluan në ndërtimin e piramidave më të njohura tetraedrale për ne. Pse, megjithatë, jo trekëndësh ose, të themi, oktaedral? Një përgjigje indirekte jepet nga fakti se pothuajse të gjitha piramidat janë të orientuara në mënyrë të përsosur përgjatë katër drejtimeve kardinale, dhe për këtë arsye kanë katër anë. Për më tepër, piramida ishte një "shtëpi", një predhë e një dhome varrosje katërkëndëshe.

Por çfarë e shkaktoi këndin e pjerrësisë së fytyrave? Në librin "Parimi i proporcioneve" një kapitull i tërë i kushtohet kësaj: "Çfarë mund të përcaktojë këndet e prirjes së piramidave". Në veçanti, tregohet se "imazhi në të cilin gravitohen piramidat e mëdha të Mbretërisë së Vjetër është një trekëndësh me një kënd të drejtë në krye.

Në hapësirë, ajo është një gjysmë oktaedron: një piramidë në të cilën skajet dhe anët e bazës janë të barabarta, fytyrat janë trekëndësha barabrinjës. "Disa konsiderata janë dhënë për këtë temë në librat e Hambage, Geek dhe të tjerë.

Cila është përparësia e këndit të gjysmë oktaedrit? Sipas përshkrimeve të arkeologëve dhe historianëve, disa nga piramidat u shembën nën peshën e tyre. Ajo që duhej ishte një "kënd i jetëgjatësisë", kënd më i besueshëm nga pikëpamja energjetike. Në mënyrë empirike, ky kënd mund të merret nga këndi i kulmit në një grumbull rëre të thatë. Por, për të marrë të dhëna të sakta, duhet të përdorni një model. Duke marrë katër topa të fiksuar mirë, duhet të vendosni të pestën mbi to dhe të matni këndet e pjerrësisë. Sidoqoftë, ju mund të bëni një gabim këtu, kështu që ndihmon një llogaritje teorike: duhet të lidhni qendrat e topave me vija (mendërisht). Në bazë, ju merrni një katror me një anë të barabartë me dy herë rrezen. Sheshi do të jetë vetëm baza e piramidës, gjatësia e skajeve të së cilës gjithashtu do të jetë e barabartë me dyfishin e rrezes.

Kështu, një paketim i dendur i topave të llojit 1: 4 do të na japë gjysmë oktaedrin e saktë.

Sidoqoftë, pse shumë piramida, që gravitojnë drejt një forme të ngjashme, megjithatë nuk e mbajnë atë? Piramidat ndoshta po plaken. Përkundër thënies së famshme:

"Çdo gjë në botë ka frikë nga koha, dhe koha ka frikë nga piramidat", ndërtesat e piramidave duhet të plaken, jo vetëm që proceset e jashtme të motit mund dhe duhet të ndodhin në to, por edhe procese të brendshme "tkurrje", nga të cilat piramidat mund të bëhen më të ulta. Tkurrja është gjithashtu e mundur sepse, siç zbulohet nga punimet e D. Davidovits, egjiptianët e lashtë përdorën teknologjinë e bërjes së blloqeve nga copa gëlqereje, me fjalë të tjera, nga "betoni". Janë këto procese që mund të shpjegojnë arsyen e shkatërrimit të piramidës Medum, e vendosur 50 km në jug të Kajros. 46shtë 4600 vjeç, dimensionet e bazës janë 146 x 146 m, lartësia është 118 m. "Pse është kaq e shpërfytyruar?" Pyet V. Zamarovsky. "Referencat e zakonshme për ndikimin shkatërrues të kohës dhe" përdorimin e gurit për ndërtesat e tjera "nuk janë të përshtatshme këtu.

Në fund të fundit, shumica e blloqeve dhe pllakave të saj të përballimit kanë mbetur në vend deri në ditët tona, në rrënoja në këmbët e saj. "Siç do të shohim, një numër dispozitash madje e bëjnë dikë të mendojë për faktin se piramida e famshme e Keopsit gjithashtu ka" tharë. "Në çdo rast, në të gjitha imazhet antike piramidat janë treguar ...

Forma e piramidave mund të gjenerohet gjithashtu nga imitimi: disa modele natyrore, "përsosmëri e mrekullueshme", të themi, disa kristale në formën e një oktaedri.

Kristale të tillë mund të jenë kristale diamanti dhe ari. Një numër i madh i shenjave "kryqëzuese" janë karakteristike për koncepte të tilla si Faraoni, Dielli, Ari, Diamanti. Kudo - fisnik, i ndritshëm (i shkëlqyeshëm), i shkëlqyeshëm, i patëmetë etj. Ngjashmëritë nuk janë të rastësishme.

Kulti diellor dihet se ka qenë një pjesë e rëndësishme e fesë së Egjiptit të Lashtë. "Pavarësisht se si e përkthejmë emrin e piramidave më të mëdha", thotë një nga manualët modernë - "Qielli i Khufu" ose "Khufu Heavenly", kjo do të thoshte që mbreti është dielli ". Nëse Khufu, me shkëlqimin e fuqisë së tij, e imagjinon veten si dielli i dytë, atëherë djali i tij Jedef-Ra u bë i pari nga mbretërit egjiptianë që filluan ta quanin veten "djali i Ra", domethënë djali i Dielli Dielli u simbolizua nga pothuajse të gjithë popujt nga "metali diellor", ari. "Disk i madh prej ari të ndritshëm" - kështu e quanin egjiptianët dritën tonë të ditës. Egjiptianët e dinin arin në mënyrë të përsosur, ata i njihnin format e tij amtare, ku kristalet e arit mund të shfaqen në formën e oktaedroneve.

Si një "mostër e formave" "guri i diellit" - diamanti është gjithashtu interesant këtu. Emri i diamantit erdhi nga bota Arabe, "almas" është më i vështiri, më i vështiri, i pathyeshëm. Egjiptianët e lashtë e dinin mjaft mirë diamantin dhe vetitë e tij. Sipas disa autorëve, ata madje përdorën tuba bronzi me prerës diamanti për shpime.

Afrika e Jugut aktualisht është furnizuesi kryesor i diamanteve, por Afrika Perëndimore është gjithashtu e pasur me diamante. Territori i Republikës së Mali madje atje quhet "Toka e Diamantit". Ndërkohë, është në territorin e Malit që jetojnë Dogon, me të cilët mbështetësit e hipotezës Paleovizite japin shumë shpresa (shih më poshtë). Diamante nuk mund të shërbente si arsye për kontaktet e egjiptianëve të lashtë me këtë tokë. Sidoqoftë, në një mënyrë apo në një tjetër, është e mundur që ishte duke kopjuar okthedronët e kristaleve të diamantit dhe arit që egjiptianët e lashtë hyjnizuan në këtë mënyrë "të pathyeshëm" si një diamant dhe "të shkëlqyeshëm" si Faraonët e artë, bijtë e Diellit, të krahasueshëm vetëm me krijimet më të mrekullueshme të natyrës.

Prodhimi:

Duke studiuar piramidën si një trup gjeometrik, pasi u njohëm me elementet dhe vetitë e saj, u bindëm për vlefshmërinë e mendimit për bukurinë e formës piramidale.

Si rezultat i hulumtimit tonë, ne arritëm në përfundimin se egjiptianët, pasi kishin mbledhur njohuritë më të vlefshme matematikore, e mishëruan atë në piramidë. Prandaj, piramida është me të vërtetë krijimi më i përsosur i natyrës dhe njeriut.

BIBLIOGRAFI

"Gjeometria: Libër mësuesi. për 7 - 9 cl. arsimi i përgjithshëm. institucionet \\, etj. - Ed. 9 - M.: Edukimi, 1999

Historia e matematikës në shkollë, M: "Edukimi", 1982

Klasa e gjeometrisë 10-11, M: "Edukimi", 2000

Peter Tompkins "Sekretet e Piramidës së Madhe të Keopsit", M: "Tsentropoligraf", 2005

Burimet e Internetit

http: // veka-i-mig. ***** /

http: // tambov. ***** / vjpusk / vjp025 / rabot / 33 / index2.htm

http: // www. ***** / enc / 54373.html

Piramida. Piramida e cunguar

Piramida quhet një poliedër, njëra prej të cilave fytyrat është shumëkëndësh ( baze ), dhe të gjitha fytyrat e tjera janë trekëndësha me një kulm të përbashkët ( fytyrat anësore ) (fig. 15). Piramida quhet e saktë nëse baza e saj është një poligon i rregullt dhe maja e piramidës projektohet në qendër të bazës (Fig. 16). Quhet një piramidë trekëndore në të cilën të gjitha skajet janë të barabarta katërkëndësh .

Brinjë anësore piramida është ana e faqes anësore që nuk i përket bazës Lartësia piramida quhet distanca nga maja e saj deri në rrafshin e bazës. Të gjitha skajet anësore të një piramide të rregullt janë të barabarta me njëra-tjetrën, të gjitha skajet anësore janë trekëndësha të barabartë isosceles. Lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt të tërhequr nga maja quhet apotemë . Seksion diagonal seksioni i piramidës quhet një aeroplan që kalon përmes dy skajeve anësore që nuk i përkasin një fytyre.

Sipërfaqja anësore piramida quhet shuma e zonave të të gjitha fytyrave anësore. Sipërfaqja e plotë quhet shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore dhe bazës.

Teoremat

1. Nëse në një piramidë të gjitha skajet anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë në rrafshin e bazës, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të rrethit të rrethuar me bazën.

2. Nëse në piramidë të gjitha skajet anësore kanë gjatësi të barabartë, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të rrethit të rrethuar rreth bazës.

3. Nëse në piramidë të gjitha fytyrat janë të prirura në mënyrë të barabartë në rrafshin e bazës, atëherë maja e piramidës projektohet në qendër të rrethit të gdhendur në bazë.

Për të llogaritur vëllimin e një piramide arbitrare, formula është e saktë:

ku V - vëllimi;

S kryesore - zona bazë;

H - lartësia e piramidës.

Për piramidën e saktë, formulat janë të sakta:

ku f - perimetri bazë;

h a - apotema;

H - lartësia;

S plot

Ana anësore

S kryesore - zona bazë;

V - vëllimi i piramidës së saktë.

Piramida e cunguar quhet pjesa e piramidës, e mbyllur midis bazës dhe rrafshit prerës paralel me bazën e piramidës (Fig. 17). Piramida e rregullt e cunguar quhet pjesa e një piramide të rregullt, e mbyllur midis bazës dhe planit sekant paralel me bazën e piramidës.

Themelet piramidat e cunguara - shumëkëndësha të ngjashëm. Fytyrat anësore - trapezi. Lartësia një piramidë e cunguar është distanca midis bazave të saj. Diagonale një piramidë e cunguar quhet një segment që lidh kulmet e saj që nuk shtrihen në një fytyrë. Seksion diagonal një pjesë e një piramide të cunguar quhet një aeroplan që kalon përmes dy skajeve anësore që nuk i përkasin një fytyre.

Për një piramidë të cunguar, formula të mëposhtme janë të vlefshme:

(4)

ku S 1 , S 2 - zonat e bazave të sipërme dhe të poshtme;

S plot - sipërfaqja e përgjithshme;

Ana anësore - sipërfaqja anësore;

H - lartësia;

V - vëllimi i piramidës së cunguar.

Për një piramidë të saktë të cunguar, formula është e saktë:

ku f 1 , f 2 - perimetrat bazë;

h a - apotema e piramidës së rregullt të cunguar.

Shembulli 1. Në një piramidë të rregullt trekëndëshe, këndi dihedral në bazë është 60º. Gjeni tangjentën e këndit të pjerrësisë së buzës anësore në rrafshin e bazës.

Vendimi. Le të bëjmë një vizatim (fig. 18).

Piramida është e rregullt, kështu që në bazë ka një trekëndësh barabrinjës dhe të gjitha faqet anësore janë trekëndëshat barabartë barabartë. Këndi dihedral në bazë është këndi i pjerrësisë së faqes anësore të piramidës në planin e bazës. Këndi linear është këndi a midis dy pinguleve: dhe d.m.th. Maja e piramidës projektohet në qendër të trekëndëshit (qendra e rrethprerjes dhe rrethi i gdhendur në trekëndësh ABC) Këndi i pjerrësisë së brinjës anësore (për shembull) SB) Theshtë këndi midis vetë buzës dhe projeksionit të tij mbi rrafshin e bazës. Për brinjën SB ky kënd do të jetë këndi SBD... Për të gjetur tangjentën, duhet të njihni këmbët KËSHTU QË dhe OB... Lëreni gjatësinë e segmentit BD është e barabartë me 3 dhe... Pikë RRETH segmenti i vijës BD ndahet në pjesë: dhe Nga gjejmë KËSHTU QË: Nga ne gjejmë:

Përgjigje:

Shembulli 2. Gjeni vëllimin e një piramide katërkëndëshe të rregullt të cunguar nëse diagonalet e bazave të saj janë cm dhe cm, dhe lartësia është 4 cm.

Vendimi. Për të gjetur vëllimin e piramidës së cunguar, ne do të përdorim formulën (4). Për të gjetur zonën e bazave, duhet të gjeni anët e shesheve të bazës, duke ditur diagonalet e tyre. Anët e bazave janë përkatësisht 2 cm dhe 8 cm. Pra, zona e bazave dhe Duke zëvendësuar të gjitha të dhënat në formulë, ne llogarisim vëllimin e piramidës së cunguar:

Përgjigje: 112 cm 3.

Shembulli 3. Gjeni sipërfaqen e faqes anësore të një piramide të rregullt trekëndëshe të cunguar, brinjët e bazave të së cilës janë 10 cm dhe 4 cm, dhe lartësia e piramidës është 2 cm.

Vendimi. Le të bëjmë një vizatim (fig. 19).

Fytyra anësore e kësaj piramide është një trapez isosceles. Për të llogaritur sipërfaqen e një trapezi, duhet të dini bazën dhe lartësinë. Bazat jepen me kusht, vetëm lartësia mbetet e panjohur. Do ta gjejmë nga ku DHE 1 E pingul nga pika DHE 1 në planin e bazës së poshtme, A 1 D - pingul nga DHE 1 në SI. DHE 1 E \u003d 2 cm, pasi kjo është lartësia e piramidës. Per te gjetur DE ne do të bëjmë një vizatim shtesë, në të cilin do të përshkruajmë një pamje të sipërme (fig. 20). Pikë RRETH - projeksioni i qendrave të bazave të sipërme dhe të poshtme. pasi (shih fig. 20) dhe Nga ana tjetër Ne rregull A është rrezja e rrethit të gdhendur dhe OM - rrezja e rrethit të gdhendur:

MK \u003d DE.

Nga teorema e Pitagorës nga

Zona e fytyrës anësore:

Përgjigje:

Shembulli 4 Në bazën e piramidës qëndron një trapez isosceles, bazat e të cilit dhedhe b (a> b) Çdo faqe anësore formon një kënd me planin bazë të piramidës të barabartë me j... Gjeni sipërfaqen totale të piramidës.

Vendimi. Le të bëjmë një vizatim (fig. 21). Sipërfaqja totale e piramidës SABCD e barabartë me shumën e sipërfaqeve dhe sipërfaqes së trapezit ABCD.

Le të përdorim pohimin se nëse të gjitha faqet e piramidës janë të prirura në mënyrë të barabartë në rrafshin e bazës, atëherë kulmi projektohet në qendër të rrethit të gdhendur në bazë. Pikë RRETH - projeksioni i kulmit S në bazën e piramidës. Trekëndëshi SOD është projeksioni ortogonal i trekëndëshit CSD në rrafshin e bazës. Nga teorema në zonën e projeksionit ortogonal të një figure figure, ne marrim:

Në mënyrë të ngjashme, kjo do të thotë Kështu, detyra u reduktua në gjetjen e zonës së trapezit ABCD... Vizato një trapez ABCDveçmas (fig. 22). Pikë RRETH - qendra e rrethit e gdhendur në trapez.

Meqenëse një rreth mund të shkruhet në një trapez, ose Nga, nga teorema e Pitagorës, ne kemi