Shndërrimi i koordinatave drejtkëndore karteziane në rrafsh dhe në hapësirë. Transformimi i koordinatave karteziane drejtkëndore në plan Formulat e transformimit të koordinatave drejtkëndore në plan

Le të jepen dy sisteme arbitrare të koordinatave drejtkëndore karteziane në rrafsh. E para përcaktohet nga origjina O dhe vektorët bazë i j , e dyta - qendra O' dhe vektorët bazë i ’ j ’ .

Le të vendosim qëllimin për të shprehur koordinatat x y të një pike M në lidhje me sistemin e parë të koordinatave përmes x’ dhe y’ janë koordinatat e së njëjtës pikë në raport me sistemin e dytë.

vini re, se

Le t'i shënojmë koordinatat e pikës O' në lidhje me sistemin e parë si a dhe b:

Le të zbërthejmë vektorët i ’ dhe j ’ bazë i j :

(*)

Përveç kësaj, ne kemi:
. Ne prezantojmë këtu zgjerimet e vektorëve për sa i përket bazës i ’ j ’ :

nga këtu

Mund të konkludohet se pavarësisht se cilat janë dy sisteme arbitrare dekarteziane në rrafsh, koordinatat e çdo pike të rrafshit në lidhje me sistemin e parë janë funksione lineare të koordinatave të së njëjtës pikë në lidhje me sistemin e dytë.

Ne i shumëzojmë së pari ekuacionet (*) në shkallë shkallë i , më pas j :

O shënojmë me  këndin ndërmjet vektorëve i dhe i ’ . Sistemi i koordinatave i j mund të kombinohet me sistemin i ’ j ’ nga përkthimi paralel dhe rrotullimi i mëpasshëm me një kënd . Por këtu një opsion harku është gjithashtu i mundur: këndi midis vektorëve bazë i i ’ gjithashtu , dhe këndi ndërmjet vektorëve bazë j ’ j ’ barazohet me  - . Këto sisteme nuk mund të kombinohen me përkthimin dhe rrotullimin paralel. Ju gjithashtu duhet të ndryshoni drejtimin e boshtit në në të kundërtën.

Nga formula (**) marrim në rastin e parë:

Në rastin e dytë

Formulat e konvertimit janë:

Ne nuk do të shqyrtojmë rastin e dytë. Le të biem dakord që të dy sistemet kanë të drejtë.

ato. përfundimi: cilido qofshin dy sistemet e koordinatave të djathta, i pari prej tyre mund të kombinohet me të dytin me anë të përkthimit paralel dhe rrotullimit pasues rreth origjinës me një kënd .

Formulat e transferimit paralel:

Formulat e rrotullimit të boshtit:

Transformimet e kundërta:

Shndërrimi i koordinatave drejtkëndëshe karteziane në hapësirë.

Në hapësirë, duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme, mund të shkruajmë:

(***)

Dhe për koordinatat merrni:

(****)

Pra, çfarëdo qofshin dy sisteme arbitrare të koordinatave në hapësirë, koordinatat x y z të një pike në lidhje me sistemin e parë janë funksione lineare të koordinatave x’ y’ z’ e njëjta pikë në lidhje me sistemin e dytë të koordinatave.

Duke shumëzuar secilën nga barazitë (***) në shkallë i ’ j ’ k ’ marrim:

AT Le të sqarojmë kuptimin gjeometrik të formulave të transformimit (****). Për ta bërë këtë, supozoni se të dy sistemet kanë një origjinë të përbashkët: a = b = c = 0 .

Le të paraqesim në konsideratë tre kënde që karakterizojnë plotësisht vendndodhjen e akseve të sistemit të dytë në raport me të parin.

Këndi i parë formohet nga boshti x dhe boshti u, i cili është kryqëzimi i planeve xOy dhe x'Oy. Drejtimi i këndit është kthesa më e shkurtër nga boshti x në y. Le ta shënojmë këndin si . Këndi i dytë  është këndi ndërmjet boshteve Oz dhe Oz' që nuk kalon . Së fundi, këndi i tretë  është këndi ndërmjet boshtit u dhe Ox', i matur nga boshti u në drejtim të kthesës më të shkurtër nga Ox' në Oy'. Këto kënde quhen kënde të Euler-it.

Shndërrimi i sistemit të parë në të dytin mund të përfaqësohet si një vazhdimësi e tre rrotullimeve: përmes këndit  në raport me boshtin Oz; në një kënd  në lidhje me boshtin Ox; dhe në një kënd  në raport me boshtin Oz.

Numrat  ij mund të shprehen me kënde të Euler-it. Ne nuk do t'i shkruajmë këto formula për shkak të rëndimit të tyre.

Vetë transformimi është një mbivendosje e përkthimit paralel dhe tre rrotullimeve të njëpasnjëshme të këndit të Euler-it.

Të gjitha këto konsiderata mund të kryhen edhe për rastin kur të dy sistemet janë lënë, ose kanë orientime të ndryshme.

Nëse kemi dy sisteme arbitrare, atëherë, në përgjithësi, ato mund të kombinohen me përkthim paralel dhe një rrotullim në hapësirë rreth një boshti. Ne nuk do ta kërkojmë atë.

1) Kalimi nga një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian në rrafsh në një sistem tjetër drejtkëndor kartezian me të njëjtin orientim dhe të njëjtën origjinë.

Supozojmë se dy sisteme koordinative drejtkëndore karteziane janë futur në plan hoy dhe me origjinë të përbashkët O me të njëjtin orientim (Fig. 145). Le të shënojmë vektorët njësi të boshteve Oh dhe OU përkatësisht përmes dhe , dhe vektorëve njësi të boshteve dhe përmes dhe . Më në fund le - këndi nga boshti Oh deri në bosht. Le te jete X dhe në– koordinatat e një pike arbitrare M në sistem hoy, dhe dhe janë koordinatat e së njëjtës pikë M në sistem.

Që nga këndi nga boshti Oh deri te vektori është , atëherë koordinatat e vektorit

Këndi jashtë boshtit Oh deri te vektori është ; pra koordinatat e vektorit janë .

Formulat (3) § 97 marrin formën

Matrica e tranzicionit nga një karteziane hoy Sistemi koordinativ drejtkëndor në një sistem tjetër koordinativ drejtkëndor me të njëjtin orientim është

Një matricë quhet ortogonale nëse shuma e katrorëve të elementëve të vendosur në secilën kolonë është e barabartë me 1, dhe shuma e produkteve të elementeve përkatëse të kolonave të ndryshme është e barabartë me zero, d.m.th. nëse

Kështu, matrica e kalimit (2) nga një sistem koordinativ drejtkëndor në një sistem tjetër drejtkëndor me të njëjtin orientim është ortogonal. Vini re gjithashtu se përcaktori i kësaj matrice është +1:

Në të kundërt, nëse jepet një matricë ortogonale (3) me një përcaktues të barabartë me +1, dhe një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian futet në plan hoy, atëherë, në bazë të relacioneve (4), vektorët dhe janë njësi dhe pingul reciprokisht, pra, koordinatat e vektorit në sistem hoy janë të barabartë me dhe , ku është këndi nga vektori në vektor , dhe meqenëse vektori është njësi dhe marrim nga vektori duke u kthyer në , atëherë ose , ose .

Mundësia e dytë përjashtohet, pasi nëse do të kishim , atëherë na jepet se .

Pra, dhe matrica POR ka formën

ato. është matrica e kalimit nga një sistem koordinativ drejtkëndor hoy në një sistem tjetër drejtkëndor që ka të njëjtin orientim, me kënd .

2. Kalimi nga një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian në rrafsh në një sistem tjetër drejtkëndor kartezian me orientim të kundërt dhe me origjinë të njëjtë.

Le të futen në plan dy sisteme koordinative drejtkëndore karteziane hoy dhe me origjinë të përbashkët O, por me orientim të kundërt, shënoni këndin nga boshti Oh në boshtin përmes (orientimi i rrafshit do të vendoset nga sistemi hoy).

Që nga këndi nga boshti Oh deri te vektori është , atëherë koordinatat e vektorit janë:

Tani këndi nga vektori në vektor është (Fig. 146), pra këndi nga boshti Oh deri te vektori është i barabartë (sipas teoremës së Chall-it për këndet) dhe për këtë arsye koordinatat e vektorit janë të barabarta:

Dhe formulat (3) § 97 marrin formën

Matrica e tranzicionit

ortogonale, por përcaktorja e saj është -1. (7)

Anasjelltas, çdo matricë ortogonale me përcaktor të barabartë me -1 specifikon shndërrimin e një sistemi koordinativ drejtkëndor në rrafsh në një sistem tjetër drejtkëndor me të njëjtën origjinë, por me orientim të kundërt. Pra, nëse dy sisteme koordinative karteziane hoy dhe të ketë një fillim të përbashkët, atëherë

ku X, në– koordinatat e çdo pike në sistem hoy; dhe janë koordinatat e së njëjtës pikë në sistem , dhe

matricë ortogonale.

Në të kundërt, nëse

matricë arbitrare ortogonale, pastaj nga relacionet

shpreh shndërrimin e një sistemi koordinativ drejtkëndor kartezian në një drejtkëndor kartezian sistemi me të njëjtën origjinë; - koordinatat në sistem hoy një vektor njësi që jep drejtimin pozitiv të boshtit; - koordinatat në sistem hoy një vektor njësi që jep drejtimin pozitiv të boshtit.

sistemet e koordinatave hoy dhe kanë të njëjtin orientim, dhe në rastin - e kundërta.

3. Shndërrimi i përgjithshëm i një sistemi koordinativ drejtkëndor kartezian në rrafsh në një sistem tjetër drejtkëndor.

Bazuar në pikat 1) dhe 2) të këtij paragrafi, si dhe në bazë të § 96, konkludojmë se nëse sistemet e koordinatave drejtkëndore futen në rrafsh. hoy dhe , pastaj koordinatat X dhe në pikë arbitrare M aeroplanët në sistem hoy me koordinata të së njëjtës pikë M në sistem lidhen me relacione - koordinatat e origjinës së sistemit koordinativ në sistem hoy.

Vini re se koordinatat e vjetra dhe të reja X, në dhe , vektorët nën transformimin e përgjithshëm të sistemit koordinativ drejtkëndor kartezian janë të lidhur nga relacionet

nëse sistemet hoy dhe kanë të njëjtin orientim dhe marrëdhënie

nëse këto sisteme kanë orientim të kundërt, ose në formë

matricë ortogonale. Transformimet (10) dhe (11) quhen ortogonale.

vini re, se

Le t'i shënojmë koordinatat e pikës O' në lidhje me sistemin e parë si a dhe b:

Le të zbërthejmë vektorët i ’ dhe j ’ bazë i j :

(*)

Përveç kësaj, ne kemi:
. Ne prezantojmë këtu zgjerimet e vektorëve për sa i përket bazës i ’ j ’ :

nga këtu

Ne i shumëzojmë së pari ekuacionet (*) në shkallë shkallë i , më pas j :

Shënoni me  këndin ndërmjet vektorëve i dhe i ’ . Sistemi i koordinatave i j mund të kombinohet me sistemin i ’ j ’ nga përkthimi paralel dhe rrotullimi i mëpasshëm me një kënd . Por këtu një opsion harku është gjithashtu i mundur: këndi midis vektorëve bazë i i ’ gjithashtu , dhe këndi ndërmjet vektorëve bazë j ’ j ’ barazohet me  - . Këto sisteme nuk mund të kombinohen me përkthimin dhe rrotullimin paralel. Ju gjithashtu duhet të ndryshoni drejtimin e boshtit në në të kundërtën.

Nga formula (**) marrim në rastin e parë:

Në rastin e dytë

Formulat e konvertimit janë:

Ne nuk do të shqyrtojmë rastin e dytë. Le të biem dakord që të dy sistemet kanë të drejtë.

Formulat e transferimit paralel:

Formulat e rrotullimit të boshtit:

Transformimet e kundërta:

Shndërrimi i koordinatave drejtkëndëshe karteziane në hapësirë.

Në hapësirë, duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme, mund të shkruajmë:

(***)

Dhe për koordinatat merrni:

(****)

Duke shumëzuar secilën nga barazitë (***) në shkallë i ’ j ’ k ’ marrim:

AT Le të sqarojmë kuptimin gjeometrik të formulave të transformimit (****). Për ta bërë këtë, supozoni se të dy sistemet kanë një origjinë të përbashkët: a = b = c = 0 .

Le të paraqesim në konsideratë tre kënde që karakterizojnë plotësisht vendndodhjen e akseve të sistemit të dytë në raport me të parin.

Numrat  ij mund të shprehen me kënde të Euler-it. Ne nuk do t'i shkruajmë këto formula për shkak të rëndimit të tyre.

Vetë transformimi është një mbivendosje e përkthimit paralel dhe tre rrotullimeve të njëpasnjëshme të këndit të Euler-it.

Të gjitha këto konsiderata mund të kryhen edhe për rastin kur të dy sistemet janë lënë, ose kanë orientime të ndryshme.

Nëse kemi dy sisteme arbitrare, atëherë, në përgjithësi, ato mund të kombinohen me përkthim paralel dhe një rrotullim në hapësirë rreth një boshti. Ne nuk do ta kërkojmë atë.

Tema 5. Shndërrimet lineare.

Sistemi i koordinatavequhet një metodë që lejon përdorimin e numrave për të vendosur në mënyrë unike pozicionin e një pike në lidhje me ndonjë figurë gjeometrike. Shembuj janë sistemi i koordinatave në një vijë të drejtë - boshti koordinativ dhe sistemet e koordinatave karteziane drejtkëndëshe, përkatësisht, në plan dhe në hapësirë.

Le të kryejmë kalimin nga një sistem koordinativ xy në plan në një sistem tjetër, d.m.th. Le të zbulojmë se si lidhen koordinatat karteziane të së njëjtës pikë në këto dy sisteme.

Konsideroni së pari transferim paralel Sistemi i koordinatave kartezian drejtkëndëshe xy, pra rasti kur boshtet dhe të sistemit të ri janë paralel me boshtet përkatëse x dhe y të sistemit të vjetër dhe kanë të njëjtat drejtime me to.

Nëse dihen koordinatat e pikave M (x; y) dhe (a; b) në sistemin xy, atëherë (Fig. 15) në sistem pika M ka koordinatat: .

Lëreni segmentin OM me gjatësi ρ të formojë një kënd me boshtin dhe . Pastaj (Fig. 16) me boshtin x, segmenti OM formon një kënd dhe koordinatat e pikës M në sistemin xy janë , .

Duke marrë parasysh se në sistemin koordinativ të pikës M janë të barabarta dhe , marrim

Kur rrotullojmë këndin "në drejtim të akrepave të orës", përkatësisht, marrim:

Detyra 0.54. Përcaktoni koordinatat e pikës M(-3; 7) në sistemin e ri të koordinatave x / y /, origjina 0 / e së cilës është në pikën (3; -4), dhe boshtet janë paralele me boshtet e sistem i vjetër koordinativ dhe i drejtuar njësoj me to.

Vendimi. Koordinatat e njohura të pikave M dhe O / i zëvendësojmë në formulat: x / = x-a, y / = y-b.
Marrim: x / = -3-3=-6, y / = 7-(-4)=11. Përgjigju: M / (-6; 11).

§2. Koncepti i një transformimi linear, matrica e tij.

Nëse çdo element x i bashkësisë X, sipas një rregulli f, i korrespondon një dhe vetëm një elementi y të bashkësisë Y, atëherë themi se shfaqja f e bashkësisë X në bashkësinë Y, dhe bashkësia X quhet fusha e përkufizimit hartëzimi f . Nëse, në veçanti, elementi x 0 н X korrespondon me elementin y 0 н Y, atëherë shkruajmë y 0 = f (х 0). Në këtë rast thirret elementi në 0 mënyrë elementi x 0, dhe elementi x 0 - prototip element në 0. Nënbashkësia Y 0 e grupit Y, e përbërë nga të gjitha imazhet, quhet grup vlerash hartëzimi f.

Nëse, nën një pasqyrim f, elementë të ndryshëm të grupit X korrespondojnë me elementë të ndryshëm të grupit Y, atëherë pasqyrimi f quhet e kthyeshme.

Nëse Y 0 \u003d Y, atëherë hartëzimi f quhet hartëzimi i grupit X në set Y.

Një hartëzimi i kthyeshëm i një grupi X në një grup Y quhet nje pas nje.

Raste të veçanta të konceptit të paraqitjes së një grupi në një grup janë koncepti funksioni numerik dhe koncepti shfaqja gjeometrike.

Nëse hartëzimi f i paraqet secilit element të grupit X një element unik të së njëjtës bashkësi X, atëherë një pasqyrim i tillë quhet transformimi grupe X.

Le të jepet bashkësia e vektorëve n-dimensionale të hapësirës lineare L n.

Shndërrimi f i një hapësire lineare n-dimensionale L n quhet lineare transformimi nëse

për çdo vektor nga L n dhe çdo numër real α dhe β. Me fjalë të tjera, një transformim quhet linear nëse një kombinim linear i vektorëve shkon në një kombinim linear të imazheve të tyre. me të njëjtën koeficientët.

Nëse një vektor është dhënë në një bazë dhe transformimi f është linear, atëherë sipas përkufizimit , ku janë imazhet e vektorëve bazë.

Prandaj, transformimi linear është plotësisht të përcaktuara, nëse jepen imazhet e vektorëve bazë të hapësirës lineare të konsideruar:

(12)

Matricë në të cilën kolona k-të është kolona koordinative e vektorit në bazë, të quajtur matricë lineare transformimet f në këtë bazë.

Përcaktori det L quhet përcaktor i shndërrimit f dhe Rg L quhet rang i transformimit linear f.

Nëse matrica e një transformimi linear është jo e degjeneruar, atëherë vetë transformimi është gjithashtu jo i degjeneruar. Shndërron një për një hapësirën L n në vetvete, d.m.th. çdo vektor nga L n është imazhi i një vektori unik të tij.

Nëse matrica e një transformimi linear është e degjeneruar, atëherë vetë transformimi është i degjeneruar. Shndërron hapësirën lineare L n në një pjesë të saj.

Teorema.Si rezultat i aplikimit të transformimit linear f me matricën L në vektor rezultati është një vektor sikurse .

Numrat e shkruar në kllapa janë koordinatat e vektorit sipas bazës:

(13)

Sipas përcaktimit të veprimit të shumëzimit të matricës, sistemi (13) mund të zëvendësohet me matricën

barazisë , që duhej vërtetuar.

Shembujtransformimet lineare.

1. Shtrirja përgjatë boshtit x me k 1 herë, dhe përgjatë boshtit y me k 2 herë në rrafshin xy përcaktohet nga matrica dhe formulat e transformimit të koordinatave janë: x / = k 1 x; y / = k 2 y.

2. Reflektimi i pasqyrës rreth boshtit y në rrafshin xy përcaktohet nga matrica dhe formulat e transformimit të koordinatave janë: x / = -x, y / = y.