Në këmbë quhet valë që lind nga mbivendosja (superpozicioni) i dy valëve planore kundërshpërndarëse me amplitudë dhe polarizim të njëjtë. Valët në këmbë lindin, për shembull, kur dy valë udhëtuese mbivendosen, njëra prej të cilave reflektohet nga ndërfaqja midis dy mediave.
Le të gjejmë ekuacionin e valës në këmbë. Për këtë, supozojmë se një valë e aeroplanit që udhëton = cDx, t) me amplituda A dhe frekuenca ω, që përhapet në drejtim pozitiv të boshtit NS, shtohet me valën kundërpërhapëse?, 2 = O me amplitudë dhe frekuencë të njëjtë. Ekuacionet e këtyre valëve i shkruajmë në formë trigonometrike si më poshtë:
ku Cj dhe %2 zhvendosjet e pikave në mjedis të shkaktuara nga valët që përhapen në drejtimet pozitive dhe negative të boshtit Oh respektivisht Sipas parimit të mbivendosjes së valëve në një pikë arbitrare të mediumit me koordinatën NS për momentin 1 kompensuar nga, do të jetë % + ose % = A cos (bashkë / - kx) + + A cos (bashkë t + kx).
Duke përdorur relacionin e njohur nga trigonometria 
, marrim:
Kjo shprehje ka dy terma trigonometrikë. Së pari (cos (Atjc)) është një funksion vetëm i koordinatave dhe mund të konsiderohet si amplituda e një vale në këmbë, që ndryshon nga pika në pikë, d.m.th.
Meqenëse amplituda e lëkundjeve është një vlerë dukshëm pozitive, shenja e modulit vendoset në shprehjen e fundit. Faktori i dytë në (2.183) - (cos (k> 0) varet vetëm nga koha dhe përshkruan lëvizjen osciluese harmonike të një pike me një koordinatë fikse NS. Kështu, të gjitha pikat e mediumit kryejnë lëkundje harmonike me amplituda të ndryshme (të varura nga koordinata). Siç shihet nga formula (2.184), amplituda e valës në këmbë, në varësi të koordinatës NS ndryshon nga zero në 2A Quhen pikat në të cilat amplituda e lëkundjeve janë maksimale (24). antinyjet e një valë në këmbë. Pikat në të cilat amplituda e dridhjeve janë të barabarta me zero quhen nyjet e valës në këmbë(Figura 2.25).
Le të gjejmë koordinatat e nyjeve të valës në këmbë. Për ta bërë këtë, shkruani barazinë e dukshme | 24kos (& x) | = 0, pra cos kx = 0. Që barazia e fundit të ndodhë, kushti
, ku n = 0, 1, 2, .... Duke zëvendësuar te shprehjen e tij në aspektin e gjatësisë së valës, marrim Nga këtu gjejmë koordinatat
Oriz. 2.25. Valët në këmbë "foto të çastit" në momente të ndryshme në kohë une, një çerek periudhe T luhatjet:
Rrathë të lehta
përshkruajnë grimcat e mediumit që vibrojnë në një valë tërthore në këmbë. Shigjeta me gjatësi të ndryshme - drejtimi dhe madhësia (gjatësia e shigjetës) të shpejtësisë së tyre
Prandaj, është e mundur të përcaktohen koordinatat e antinodeve të valës në këmbë. Për ta bërë këtë, merrni 12 A cos (armik) I = 24. Nga rrjedh se koordinatat e pikave që vibrojnë me amplitudë maksimale duhet të plotësojnë kushtin Zëvendësimi te
më tej, marrim një shprehje për koordinatat e antinyjeve:
Distancat midis nyjeve fqinje ose antinyjeve ngjitur (ato janë të njëjta) quhen gjatësia e valës në këmbë. Siç shihet nga shprehjet (2.185) dhe (2.186), kjo distancë është e barabartë, d.m.th.
Nyjet dhe nyjet zhvendosen përgjatë boshtit NS në lidhje me njëra-tjetrën me një të katërtën e gjatësisë së valës.
Në figurën 2.25, a per x = 0 pika antinode është zgjedhur në NS= 0 (2,186). Per t= 0, pranohet momenti kur lëkundjet e të gjitha pikave të mediumit kalojnë nëpër pikën e ekuilibrit, ku zhvendosjet e të gjitha pikave % në një valë në këmbë janë të barabarta me zero, grafiku i valës është një vijë e drejtë. Sidoqoftë, në këtë moment, çdo pikë (përveç pikave të vendosura në nyjet, ku zhvendosja dhe shpejtësia janë gjithmonë zero) ka një shpejtësi të caktuar, e treguar në figurë me shigjeta me gjatësi të ndryshme dhe një zarf të thyer. Në t - T / 4(fig. 2.25, b) zhvendosjet arrijnë maksimumin e tyre, vala shfaqet si një sinusoid i vazhdueshëm, por shpejtësia e secilës pikë të mediumit do të bëhet e barabartë me zero. Momenti i kohës t = T / 2 (fig. 2.25, v) përsëri korrespondon me kalimin e ekuilibrit, por shpejtësitë e të gjitha pikave janë të drejtuara në drejtim të kundërt. Dhe kështu me radhë (fig. 2.25, udhërrëfyes, ku rasti i paraqitur në Fig. 2.25, a).
Oriz. 2.26. Pasqyrimi i një vale nga ndërfaqja e mediave të ndryshme: a- më e dendur;
6 - më pak i dendur
Le të krahasojmë valët e udhëtimit dhe ato në këmbë. Në një valë që udhëton në aeroplan, lëkundjet e të gjitha pikave të mediumit me koordinata të ndryshme NS, ndodhin me të njëjtën amplitudë, por fazat e lëkundjeve janë të ndryshme dhe përsëriten Axe = X ose Në - T. Në një valë në këmbë, të gjitha pikat (nga nyja në nyje) luhaten në të njëjtën fazë, por amplituda e lëkundjeve të tyre janë të ndryshme. Pikat e mediumit, të ndara nga nyja, lëkunden në antifazë. Kështu, valë në këmbë energji përgjatë drejtimit NS mos toleroni.
Si një model i një valë në këmbë, ne mund të konsiderojmë dridhjet tërthore të një litari të butë të fiksuar në një skaj. Modeli i një kufiri të dendur në këtë fund të paketës (Fig. 2.26, a djathtas) është fiksimi i nyjës së valës në këmbë. Modeli i kufirit të lëvizshëm (më pak të dendur) është një kordon i hollë pa peshë që lidh fundin e tufës me fiksimin (Fig.2.26, b gjithashtu në të djathtë). Analiza e kushteve për reflektimin e valës në këto dy raste tregon se kur reflektohet nga një mjedis më i dendur (shih Fig. 2.26, a) vala "humbet" gjysmën e gjatësisë së valës, d.m.th. me një pasqyrim të tillë, ka një ndryshim në fazën e lëkundjeve në l. Reflektimi nga një mjedis më pak i dendur nuk shoqërohet me një ndryshim fazor, prandaj, në ndërfaqet midis dy mediave (në Fig. 2.26, b në kryqëzimin e tufës me dantellën) do të ketë gjithmonë një antinodë.
6.1 Valët në këmbë në një medium elastik
Sipas parimit të mbivendosjes, kur disa valë përhapen në një mjedis elastik njëkohësisht, ato mbivendosen dhe valët nuk shqetësojnë njëra-tjetrën: lëkundjet e grimcave të mediumit janë shuma vektoriale e lëkundjeve që grimcat do të kryenin gjatë përhapja e secilës prej valëve veç e veç ...
Valët që krijojnë dridhje të mediumit, ndryshimet fazore midis të cilave janë konstante në secilën pikë të hapësirës, quhen koherente.
Kur shtohen valë koherente, shfaqet fenomeni ndërhyrje, i cili konsiston në faktin se në disa pika të hapësirës valët përforcojnë njëra-tjetrën, dhe në pika të tjera - dobësohen. Një rast i rëndësishëm i interferencës vërehet kur mbivendosen dy valë plani kundërpërhapëse me të njëjtën frekuencë dhe amplitudë. Lëkundjet që rezultojnë quhen valë në këmbë... Më shpesh, valët në këmbë lindin kur një valë udhëtuese reflektohet nga një pengesë. Në këtë rast, vala rënëse dhe vala e reflektuar drejt saj, kur shtohen, japin një valë në këmbë.
Le të marrim ekuacionin e një vale në këmbë. Merrni dy valë harmonike të rrafshët që përhapen drejt njëra-tjetrës përgjatë boshtit X dhe që kanë të njëjtën frekuencë dhe amplitudë:
ku është faza e lëkundjeve të pikave të mediumit gjatë kalimit të valës së parë;
- faza e lëkundjeve të pikave të mediumit gjatë kalimit të valës së dytë.
Dallimi i fazës në çdo pikë të boshtit X nuk do të varet nga koha, d.m.th. do të jetë konstante:
Prandaj, të dy valët do të jenë koherente.
Lëkundja e grimcave të mediumit që lindin si rezultat i shtimit të valëve të konsideruara do të jetë si më poshtë:
Ne transformojmë shumën e kosinuseve të këndeve sipas rregullit (4.4) dhe marrim:
Pasi kemi riorganizuar faktorët, marrim:
Për të thjeshtuar shprehjen, do të zgjedhim origjinën në mënyrë që diferenca e fazës dhe origjinën e kohës në mënyrë që shuma e fazave të jetë e barabartë me zero:.
Atëherë ekuacioni për shumën e valëve do të marrë formën:
Ekuacioni (6.6) quhet ekuacioni i valës në këmbë... Prej tij mund të shihet se frekuenca e valës në këmbë është e barabartë me frekuencën e valës udhëtuese, dhe amplituda, në kontrast me valën udhëtuese, varet nga distanca nga origjina:
Duke marrë parasysh (6.7), ekuacioni i valës në këmbë merr formën:
Kështu, pikat e mediumit dridhen me një frekuencë që përkon me frekuencën e valës udhëtuese dhe me një amplitudë a në varësi të pozicionit të pikës në bosht X... Prandaj, amplituda ndryshon sipas ligjit të kosinusit dhe ka maksimumin dhe minimumin e vet (Fig. 6.1).
Për të paraqitur vizualisht vendndodhjen e minimumit dhe maksimumit të amplitudës, ne zëvendësojmë, sipas (5.29), numrin e valës me vlerën e tij:
Pastaj shprehja (6.7) për amplituda merr formën
Nga këtu bëhet e qartë se amplituda e zhvendosjes është maksimale në, d.m.th. në pikat koordinata e të cilave plotëson kushtin:
Nga këtu marrim koordinatat e pikave ku amplituda e zhvendosjes është maksimale:
Quhen pikat ku amplituda e lëkundjeve të mediumit është maksimale antinyjet e valës.
Amplituda e valës është zero në pikat ku. Koordinata e pikave të tilla, e quajtur nyjet e valës, plotëson kushtin:
Nga (6.13) mund të shihet se koordinatat e nyjeve kanë vlera:
Në fig. 6.2 tregon një pamje të përafërt të një valë në këmbë, vendndodhja e nyjeve dhe antinodeve është e shënuar. Mund të shihet se nyjet fqinje dhe antinyjet e zhvendosjes janë të ndara nga njëra-tjetra me të njëjtën distancë.
Le të gjejmë distancën midis antinodeve dhe nyjeve fqinje. Nga (6.12) marrim distancën midis antinodeve:
Distanca midis nyjeve është marrë nga (6.14):
Nga relacionet e fituara (6.15) dhe (6.16) shihet se distanca ndërmjet nyjeve fqinje, si dhe ndërmjet antinyjeve fqinje, është konstante dhe e barabartë; nyjet dhe antisqet zhvendosen në raport me njëri-tjetrin nga (Fig. 6.3).
Nga përcaktimi i gjatësisë së valës, mund të shkruani shprehjen për gjatësinë e valës në këmbë: është e barabartë me gjysmën e gjatësisë së valës udhëtuese:
Le të shkruajmë, duke marrë parasysh (6.17), shprehjet për koordinatat e nyjeve dhe antinyjeve:
Shumëzuesi që përcakton amplituda e valës në këmbë ndryshon shenjën e tij kur kalon vlerën zero, si rezultat i së cilës faza e lëkundjeve në anët e ndryshme të nyjes ndryshon me. Rrjedhimisht, të gjitha pikat që shtrihen në anët e kundërta të nyjës lëkunden në antifazë. Të gjitha pikat e vendosura midis nyjeve fqinje lëkunden në fazë.
Nyjet e ndajnë me kusht mjedisin në rajone autonome, në të cilat luhatjet harmonike ndodhin në mënyrë të pavarur. Nuk ka transferim të lëvizjes midis rajoneve dhe, për rrjedhojë, nuk ka tejmbushje të energjisë midis rajoneve. Kjo do të thotë, nuk ka transmetim të shqetësimit përgjatë boshtit. Prandaj, vala quhet në këmbë.
Pra, një valë në këmbë formohet nga dy valë udhëtuese të drejtuara në të kundërt me frekuenca dhe amplituda të barabarta. Vektorët Umov të secilës prej këtyre valëve janë të barabartë në madhësi dhe të kundërt në drejtim, dhe kur shtohen, japin zero. Prandaj, vala në këmbë nuk mbart energji.
6.2 Shembuj të valëve në këmbë
6.2.1 Vala në këmbë në një varg
Konsideroni një varg me gjatësi L, fiksuar në të dy skajet (Fig. 6.4).
Ne vendosim boshtin përgjatë vargut X në mënyrë që skaji i majtë i vargut të ketë koordinatën x = 0 dhe e drejta është x = L... Lëkundjet ndodhin në varg, të përshkruara nga ekuacioni:
Le të shkruajmë kushtet kufitare për vargun në shqyrtim. Meqenëse skajet e tij janë të fiksuara, atëherë në pikat me koordinata x = 0 dhe x = L pa hezitim:
Le të gjejmë ekuacionin e dridhjeve të vargut bazuar në kushtet kufitare të shkruara. Le të shkruajmë ekuacionin (6.20) për skajin e majtë të vargut duke marrë parasysh (6.21):
Lidhja (6.23) vlen për çdo kohë t në dy raste:
1. . Kjo është e mundur nëse nuk ka dridhje në vargun (). Ky rast nuk është me interes, dhe ne nuk do ta marrim parasysh.
2 .. Këtu është faza. Ky rast do të na lejojë të marrim ekuacionin për dridhjet e vargut.
Zëvendësoni vlerën e fituar të fazës në kushtin kufitar (6.22) për skajin e djathtë të vargut:
Duke marrë parasysh atë
nga (6.25) marrim:
Përsëri, ka dy raste në të cilat relacioni (6.27) është i kënaqur. Ne nuk do të shqyrtojmë rastin kur nuk ka dridhje në vargun ().
Në rastin e dytë, barazia duhet të jetë e vërtetë:
dhe kjo është e mundur vetëm kur argumenti sinus është një shumëfish i plotë:
Ne e hedhim vlerën, sepse në këtë rast, dhe kjo do të nënkuptonte ose gjatësinë e vargut zero ( L = 0) ose valë-numër i ri k = 0... Duke marrë parasysh marrëdhënien (6.9) midis numrit të valës dhe gjatësisë së valës, mund të shihet se në mënyrë që numri i valës të jetë i barabartë me zero, gjatësia e valës duhet të jetë e pafundme, dhe kjo do të nënkuptonte mungesën e lëkundjeve.
Nga (6.28) mund të shihet se numri i valës gjatë dridhjeve të një vargu të fiksuar në të dy skajet mund të marrë vetëm disa vlera diskrete:
Duke marrë parasysh (6.9), ne shkruajmë (6.30) në formën:
prej nga e tërheqim shprehjen për gjatësitë e mundshme të valës në varg:
Me fjalë të tjera, në gjatësinë e vargut L duhet të përshtatet me një numër të plotë n gjysmë valë:
Frekuencat përkatëse të dridhjeve mund të përcaktohen nga (5.7):
Këtu është shpejtësia fazore e valës, në varësi, sipas (5.102), nga dendësia lineare e vargut dhe tensioni i vargut:
Duke zëvendësuar (6.34) në (6.33), marrim një shprehje që përshkruan frekuencat e mundshme të dridhjeve të vargut:
Frekuencat quhen frekuenca natyrore vargjet. Frekuenca (në n = 1):
quhen frekuenca themelore(ose ton bazë) vargje. Frekuencat e përcaktuara në n> 1 quhen mbitone ose harmonikët... Numri harmonik është n-1... Për shembull, frekuenca:
korrespondon me harmonikën e parë dhe frekuencën:
i përgjigjet harmonikës së dytë etj. Meqenëse vargu mund të përfaqësohet si një sistem diskret me një numër të pafundëm shkallësh lirie, çdo harmonik është modës dridhjet e vargut. Në përgjithësi, dridhjet e vargut janë një mbivendosje e mënyrave.
Çdo harmonik ka gjatësinë e vet të valës. Për tonin kryesor (në n = 1) gjatësia e valës:
për harmoninë e parë dhe të dytë, përkatësisht (në n = 2 dhe n = 3) gjatësitë e valëve do të jenë:
Figura 6.5 tregon një pamje të disa mënyrave të dridhjeve të prodhuara nga një varg.
Kështu, një varg me skaje fikse realizon një rast të jashtëzakonshëm brenda kornizës së fizikës klasike - një spektër diskret i frekuencës së dridhjeve (ose gjatësisë së valës). Shufra elastike me një ose të dy skajet e mbërthyer dhe lëkundjet e kolonës së ajrit në tuba sillen në të njëjtën mënyrë, gjë që do të diskutohet në seksionet vijuese.
6.2.2 Ndikimi i kushteve fillestare në lëvizje
varg i vazhdueshëm. Analiza Furiere
Dridhjet e një vargu me skajet e mbërthyera, përveç spektrit diskret të frekuencave të dridhjeve, kanë një veçori tjetër të rëndësishme: forma specifike e vibrimeve të vargut varet nga mënyra e ngacmimit të dridhjeve, d.m.th. nga kushtet fillestare. Le të hedhim një vështrim më të afërt.
Ekuacioni (6.20), i cili përshkruan një mënyrë të një vale të qëndrueshme në një varg, është një zgjidhje e veçantë e ekuacionit të valës diferenciale (5.61). Meqenëse dridhja e një vargu përbëhet nga të gjitha mënyrat e mundshme (për një varg - një numër i pafund), atëherë zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të valës (5.61) përbëhet nga një numër i pafund zgjidhjesh të veçanta:
ku iËshtë numri i modalitetit të dridhjes. Shprehja (6.43) shkruhet duke marrë parasysh faktin se skajet e vargut janë të fiksuara:
dhe gjithashtu duke marrë parasysh lidhjen e frekuencës i- modaliteti i saj dhe numri i valës së tij:
Këtu është numri i valës i th modës;
- numri valor i modalitetit 1;
Le të gjejmë vlerën e fazës fillestare për çdo modalitet vibrimi. Për ta bërë këtë, në momentin e kohës t = 0 jepni vargut formën e përshkruar nga funksioni f 0 (x), shprehja për të cilën do të merret nga (6.43):
Në fig. 6.6 tregon një shembull të formës së një vargu të përshkruar nga një funksion f 0 (x).
Në një moment në kohë t = 0 vargu është ende në qetësi, d.m.th. shpejtësia e të gjitha pikave të tij është zero. Nga (6.43) gjejmë shprehjen për shpejtësinë e pikave të vargut:
dhe duke e zëvendësuar në të t = 0, marrim një shprehje për shpejtësinë e pikave të vargut në momentin fillestar të kohës:
Meqenëse në momentin fillestar të kohës shpejtësia është e barabartë me zero, shprehja (6.49) do të jetë e barabartë me zero për të gjitha pikat e vargut, nëse. Nga kjo rrjedh se faza fillestare për të gjitha mënyrat është gjithashtu zero (). Duke marrë parasysh këtë, shprehja (6.43), e cila përshkruan lëvizjen e vargut, merr formën:
dhe shprehja (6.47), që përshkruan formën fillestare të vargut, duket si:
Një valë në këmbë në një varg përshkruhet nga një funksion periodik në një interval ku është i barabartë me dy gjatësi të vargut (Fig. 6.7):
Kjo mund të shihet nga fakti se periodiciteti në interval do të thotë:
Prandaj,
që na çon në shprehje (6.52).
Dihet nga analiza matematikore se çdo funksion periodik mund të zgjerohet me saktësi të lartë në një seri Fourier:
ku,, janë koeficientët Fourier.
Në rastin tonë, kur funksioni është periodik në interval, koeficientët Fourier, sipas, llogariten si:
Në matematikë gjatë analizës së Furierit, tregohet se koeficientët Furier të përftuar në këtë mënyrë për zgjerimin e një funksioni periodik janë në fakt koeficientët e zgjerimit të funksionit. f 0 (x).
Analiza e Furierit ju lejon të dekompozoni dridhjen e kryer nga vargu në një spektër, d.m.th. zbuloni se cilat mënyra të dridhjeve ndodhin me të vërtetë me një metodë të caktuar të ngacmimit të vargut.
Konsideroni dy mënyra për të ngacmuar dridhjet e vargut.
Metoda 1. Vargut në momentin fillestar i jepet një formë që korrespondon me modalitetin e parë të dridhjes dhe përshkruhet nga funksioni:
Pas lëshimit të vargut, ai fillon të dridhet nga pozicioni fillestar. Llogaritjet tregojnë se koeficientët Furier për këtë rast janë të gjithë të barabartë me zero, me përjashtim të njërit, i cili është i barabartë me amplituda A:
Me këtë metodë të ngacmimit, lind vetëm një mënyrë dridhjeje; nuk ka ngjyrime.
Metoda 2. Teli tërhiqet nga pozicioni i ekuilibrit në mes, siç ndodh në instrumentet me tela. Forma fillestare është treguar në Fig. 6.8.
Forma e vargut të paraqitur në fig. 6.8 përshkruhet nga funksioni:
Funksioni që korrespondon me (6.64) dhe i cili është periodik në interval, shkruhet si më poshtë:
Në, (6.65)
Forma e funksionit periodik (6.65) është treguar në Figurën 6.9:
Llogaritjet tregojnë se të gjithë koeficientët Furier për një funksion të tillë janë të barabartë me zero (duke përfshirë koeficientin). Tre koeficientët e parë A 1 , A 2 , A 3 janë respektivisht të barabartë:
Siç u përmend tashmë, koeficientët e Furierit të marrë në këtë mënyrë për zgjerimin e një funksioni periodik janë në fakt koeficientët e zgjerimit të funksionit f 0 (x).
Pastaj, duke marrë parasysh tre termat e parë të serisë Fourier, funksioni (6.64) mund të përfaqësohet përafërsisht si më poshtë:
Ne gjetëm vetëm tre termat e parë të zgjerimit të funksionit Furier (6.64). Sigurisht, seria Fourier e fituar nga ne (6.69) me një numër të kufizuar termash, në rastin tonë të barabartë me tre, mund të riprodhojë funksionin origjinal vetëm përafërsisht. Megjithatë, llogaritja e koeficientëve Furier mund të vazhdohet. Rezulton se në rastin e dridhjeve që po shqyrtojmë, shumë harmonika shfaqen në varg (teorikisht, një seri e pafund harmonike).
Duke krahasuar rastin e parë dhe të dytë të shqyrtuar, shohim se në të parën prej tyre kishte vetëm një mënyrë, dhe në të dytën ka shumë harmonikë.
Kështu, rastet e shqyrtuara tregojnë se forma specifike e dridhjeve të një vargu të mbërthyer në të dy anët varet ndjeshëm nga metoda e ngacmimit të dridhjeve, d.m.th., nga kushtet fillestare.
Një rast shumë i rëndësishëm i ndërhyrjes ndodh kur mbivendosen valë të rrafshët me të njëjtën amplitudë. Procesi oscilues që rezulton quhet valë në këmbë.
Valët praktikisht në këmbë lindin kur valët reflektohen nga pengesat. Vala që bie mbi pengesën dhe vala e reflektuar që vrapon drejt saj, duke u mbivendosur mbi njëra-tjetrën, japin një valë në këmbë.
Konsideroni rezultatin e ndërhyrjes së dy valëve të planit sinusoidal me të njëjtën amplitudë, që përhapen në drejtime të kundërta.
Për thjeshtësinë e arsyetimit, le të supozojmë se të dy valët shkaktojnë lëkundje në të njëjtën fazë në origjinë.
Ekuacionet e këtyre dridhjeve janë si më poshtë:
Duke shtuar të dy ekuacionet dhe duke transformuar rezultatin, duke përdorur formulën për shumën e sinuseve, marrim:
- ekuacioni i valës në këmbë.
Duke e krahasuar këtë ekuacion me ekuacionin e dridhjeve harmonike, ne shohim se amplituda e dridhjeve që rezultojnë është:
Që atëherë, a.
Në pikat e mediumit, ku nuk ka lëkundje, d.m.th. ... Këto pika quhen nyjet e valës në këmbë.
Në pikat ku amplituda e lëkundjeve ka vlerën më të madhe, e barabartë me. Këto pika quhen antinodat e valëve në këmbë... Koordinatat e antinodeve gjenden nga gjendja, meqenëse , atëherë
Nga këtu:
Në mënyrë të ngjashme, koordinatat e nyjeve gjenden nga gjendja:
Ku:
Nga formulat për koordinatat e nyjeve dhe antinyjeve, rezulton se distanca midis antinyjeve ngjitur, si dhe distanca midis nyjeve ngjitur, është e barabartë. Gungat dhe nyjet zhvendosen në lidhje me njëra-tjetrën me një të katërtën e gjatësisë së valës.
Le të krahasojmë natyrën e lëkundjeve në valët në këmbë dhe në lëvizje. Në një valë udhëtimi, çdo pikë luhatet, amplituda e së cilës nuk ndryshon nga amplituda e pikave të tjera. Por luhatjet e pikave të ndryshme ndodhin nga faza të ndryshme.
Në një valë në këmbë, të gjitha grimcat e mediumit të vendosura midis dy vendeve fqinje dridhen në të njëjtën fazë, por me amplituda të ndryshme. Kur kalon nëpër nyje, faza e lëkundjeve ndryshon befas në, sepse shenja ndryshon.
Grafikisht, një valë në këmbë mund të përshkruhet si më poshtë:
Në kohën kur të gjitha pikat e mediumit kanë zhvendosje maksimale, drejtimi i të cilave përcaktohet nga shenja. Këto kompensime tregohen në figurë me shigjeta të forta.
Pas një çerek të periudhës, kur, kompensimet e të gjitha pikave janë të barabarta me zero. Grimcat udhëtojnë nëpër linjë me shpejtësi të ndryshme.
Pas një çerek tjetër të periudhës, kur grimcat do të kenë përsëri zhvendosje maksimale, por në drejtim të kundërt (shigjeta të ndërprera).
Kur përshkruhen proceset osciluese në sistemet elastike, jo vetëm zhvendosja, por edhe shpejtësia e grimcave, si dhe madhësia e deformimit relativ të mediumit, mund të merren si një sasi lëkundëse.
Për të gjetur ligjin e ndryshimit të shpejtësisë së një vale në këmbë, ne diferencojmë me ekuacionin e zhvendosjes së një valë në këmbë dhe për të gjetur ligjin e ndryshimit të deformimit, diferencojmë me ekuacionin e një valë në këmbë.
Duke analizuar këto ekuacione, shohim se nyjet dhe antinyjet e shpejtësisë përkojnë me nyjet dhe antinyjet e zhvendosjes; Nyjet dhe antinyjet e deformimit përkojnë, përkatësisht, me antinyjet dhe nyjet e shpejtësisë dhe zhvendosjes.
Dridhjet e vargut
Në një varg të shtrirë të fiksuar në të dy skajet, kur vibrimet tërthore janë të ngacmuara, vendosen valë në këmbë dhe nyjet duhet të vendosen në vendet ku është fiksuar vargu. Prandaj, vetëm dridhje të tilla ngacmohen në varg, gjysma e gjatësisë së së cilës përshtatet me gjatësinë e vargut një numër të plotë herë.
Kjo nënkupton kushtin:
ku është gjatësia e vargut.
Ose ndryshe. Këto gjatësi vale korrespondojnë me frekuencat, ku është shpejtësia fazore e valës. Vlera e tij përcaktohet nga tensioni i vargut dhe masa e tij.
Është frekuenca themelore.
At - frekuencat natyrore të dridhjeve të vargut ose mbitone.
Efekti Doppler
Konsideroni rastet më të thjeshta kur burimi i valës dhe vëzhguesi lëvizin në lidhje me mediumin përgjatë një linje të drejtë:
1. Burimi i zërit lëviz në raport me mediumin me një shpejtësi, marrësi i zërit është në pushim.
Në këtë rast, gjatë periudhës së lëkundjeve, vala e zërit do të largohet nga burimi në një distancë, dhe vetë burimi do të zhvendoset me një distancë të barabartë me.
Nëse burimi hiqet nga marrësi, d.m.th. lëvizin në drejtim të kundërt me drejtimin e përhapjes së valës, pastaj gjatësinë e valës.
Nëse burimi i zërit afrohet më afër marrësit, d.m.th. lëvizni në drejtim të përhapjes së valës, atëherë.
Frekuenca e zërit të perceptuar nga marrësi është e barabartë me:
Le të zëvendësojmë në vend të vlerave të tyre për të dy rastet:
Duke marrë parasysh se ku është frekuenca e lëkundjes së burimit, barazia do të marrë formën:
Ne ndajmë numëruesin dhe emëruesin e kësaj thyese me, atëherë:
2. Burimi i zërit është i palëvizshëm, dhe marrësi lëviz me shpejtësi në raport me mediumin.
Në këtë rast, gjatësia e valës në medium nuk ndryshon dhe është ende e barabartë me. Në të njëjtën kohë, dy amplituda të njëpasnjëshme që ndryshojnë në kohë me një periudhë lëkundjeje, duke arritur te marrësi në lëvizje, do të ndryshojnë në kohë në momentet e takimit të valës me marrësin për një interval kohor, vlera e të cilit është më e madhe ose më e vogël në varësi të nëse marrësi po largohet apo po i afrohet burimit.tingulli. Me kalimin e kohës, zëri kalon një distancë, dhe marrësi lëviz një distancë. Shuma e këtyre vlerave na jep gjatësinë e valës:
Periudha e lëkundjeve të perceptuara nga marrësi lidhet me frekuencën e këtyre lëkundjeve sipas raportit:
Duke zëvendësuar shprehjen nga barazia (1) në vend të saj, marrim:
Sepse , ku është frekuenca e lëkundjes së burimit, a, atëherë:
3. Burimi dhe marrësi i zërit lëvizin në lidhje me mjedisin. Duke kombinuar rezultatet e marra në dy rastet e mëparshme, marrim:
Valët e zërit
Nëse valët elastike që përhapen në ajër kanë një frekuencë në rangun prej 20 deri në 20,000 Hz, atëherë, pasi arrijnë në veshin e njeriut, ato shkaktojnë një ndjesi tingulli. Prandaj, valët që shtrihen në këtë gamë frekuence quhen valë zanore. Valët elastike me një frekuencë më të vogël se 20 Hz quhen infratingulli ... Quhen valë me frekuencë më shumë se 20,000 Hz ultratinguj... Veshi i njeriut nuk dëgjon ultratinguj dhe infratinguj.
Ndjesitë e zërit karakterizohen nga lartësia, timbri dhe vëllimi. Lartësia përcaktohet nga frekuenca e dridhjeve. Megjithatë, një burim zëri lëshon jo vetëm një, por një spektër të tërë frekuencash. Grupi i frekuencave të dridhjeve të pranishme në një tingull të caktuar quhet i tij spektri akustik... Energjia vibruese shpërndahet midis të gjitha frekuencave të spektrit akustik. Hapi përcaktohet nga një - frekuenca themelore, nëse pjesa e kësaj frekuence përmban një sasi shumë më të madhe të energjisë sesa pjesa e frekuencave të tjera.
Nëse spektri përbëhet nga një grup frekuencash të vendosura në rangun e frekuencave nga, atëherë një spektër i tillë quhet të ngurta(shembull është zhurma).
Nëse spektri përbëhet nga një grup lëkundjesh të frekuencave diskrete, atëherë një spektër i tillë quhet sunduar(shembull - tinguj muzikorë).
Spektri akustik i një tingulli, në varësi të karakterit të tij dhe në shpërndarjen e energjisë midis frekuencave, përcakton origjinalitetin e ndjesisë së tingullit, të quajtur timbri i zërit. Instrumente të ndryshme muzikore kanë spektra akustikë të ndryshëm, d.m.th. ndryshojnë në timbrin e tingullit.
Intensiteti i zërit karakterizohet nga vlera të ndryshme: dridhjet e grimcave të mediumit, shpejtësitë e tyre, forcat e presionit, sforcimet në to, etj.
Ajo karakterizon amplituda e lëkundjeve të secilës prej këtyre madhësive. Megjithatë, duke qenë se këto sasi janë të ndërlidhura, këshillohet që të futet një karakteristikë e vetme e energjisë. Një karakteristikë e tillë për valët e çdo lloji u propozua në 1877. ON Umov.
Le të presim mendërisht një platformë nga pjesa e përparme e valës udhëtuese. Me kalimin e kohës, kjo zonë do të lëvizë në një distancë, ku është shpejtësia e valës.
Le të tregojmë me energjinë e një njësie vëllimi të një mjedisi që lëkundet. Atëherë energjia e të gjithë vëllimit do të jetë e barabartë.
Kjo energji u transferua me kalimin e kohës nga një valë që përhapet nëpër vend.
Duke e ndarë këtë shprehje me dhe, marrim energjinë e bartur nga vala përmes një njësie të sipërfaqes për njësi të kohës. Kjo vlerë tregohet me një shkronjë dhe quhet të vektorit Umov
Për fushën e zërit Vektori i Umov quhet fuqia e zërit.
Intensiteti i zërit është një karakteristikë fizike e intensitetit të tingullit. Ne e vlerësojmë subjektivisht si vëllimi tingull. Veshi i njeriut percepton tinguj forca e të cilëve tejkalon një vlerë të caktuar minimale, e cila është e ndryshme për frekuenca të ndryshme. Kjo vlerë quhet pragu i dëgjimit tingull. Për frekuencat mesatare të rendit të Hz, pragu i dëgjueshmërisë është i rendit të.
Me një forcë shumë të madhe zëri të rendit, tingulli perceptohet përveç veshit nga organet e prekjes dhe në veshë shkakton një ndjesi të dhimbshme.
Vlera e intensitetit në të cilën ndodh kjo quhet pragu i dhimbjes... Pragu i dhimbjes, si dhe pragu i dëgjimit, varet nga frekuenca.
Një person ka një aparat mjaft kompleks për perceptimin e tingujve. Dridhjet e zërit mblidhen nga veshi dhe veprojnë në daullen e veshit përmes kanalit dëgjimor. Dridhjet e tij transmetohen në një zgavër të vogël të quajtur koklea. Brenda kokleës, ka një numër të madh fibrash me gjatësi dhe tension të ndryshëm dhe, për rrjedhojë, me frekuenca të ndryshme vibrimi natyrore. Nën veprimin e zërit, secila prej fibrave rezonon në tonin, frekuenca e të cilit përkon me frekuencën natyrore të fibrës. Seti i frekuencave rezonante në aparatin e dëgjimit përcakton gamën e dridhjeve të zërit që ne perceptojmë.
E vlerësuar subjektivisht nga veshi ynë, volumi rritet shumë më ngadalë sesa intensiteti i valëve të zërit. Ndërsa intensiteti rritet në mënyrë eksponenciale, vëllimi rritet në progresion aritmetik. Mbi këtë bazë, niveli i zërit përcaktohet si logaritmi i raportit të intensitetit të një tingulli të caktuar me intensitetin e marrë si ai fillestar.
Njësia e nivelit të volumit quhet të bardhë... Përdoren gjithashtu njësi më të vogla - decibel(10 herë më pak e bardhë).
ku është koeficienti i thithjes së zërit.
Vlera e koeficientit të përthithjes së zërit rritet në raport me katrorin e frekuencës së zërit, kështu që tingujt e ulët përhapen më tej se tingujt e lartë.
Në akustikën arkitekturore për dhoma të mëdha, një rol thelbësor luan jehonë ose jehona e lokaleve. Tingujt, duke përjetuar reflektime të shumta nga sipërfaqet mbyllëse, perceptohen nga dëgjuesi për një periudhë mjaft të gjatë kohore. Kjo rrit fuqinë e tingullit që arrin tek ne, megjithatë, me jehonë shumë të gjatë, tingujt individualë mbivendosen mbi njëri-tjetrin dhe fjalimi pushon së perceptuari në mënyrë të artikuluar. Prandaj, muret e sallave janë të mbuluara me materiale të posaçme që thithin zërin për të reduktuar jehonën.
Çdo trup lëkundës mund të shërbejë si burim i dridhjeve të zërit: një gjuhë zile, një pirun akordimi, një varg violine, një kolonë ajri në instrumentet frymore, etj. këta trupa mund të shërbejnë edhe si marrës të tingullit kur vihen në lëvizje nën ndikimin e dridhjeve të mjedisit.
Ultratinguj
Për të marrë drejtim, d.m.th. afër valës së rrafshët, dimensionet e emetuesit duhet të jenë shumë herë më të mëdha se gjatësia e valës. Valët zanore në ajër kanë një gjatësi deri në 15 m, në lëngje dhe trupa të ngurtë, gjatësia e valës është edhe më e madhe. Prandaj, është praktikisht e pamundur të ndërtohet një radiator që do të krijonte një valë të drejtuar me një gjatësi të tillë.
Dridhjet tejzanor kanë një frekuencë mbi 20,000 Hz, kështu që gjatësia e valës së tyre është shumë e vogël. Me zvogëlimin e gjatësisë valore zvogëlohet edhe roli i difraksionit në procesin e përhapjes së valës. Prandaj, valët tejzanor mund të merren në formën e trarëve të drejtuar, të ngjashëm me rrezet e dritës.
Dy fenomene përdoren për të ngacmuar valët tejzanor: efekti i kundërt piezoelektrik dhe magnetostriksion.
Efekti piezoelektrik i kundërt është se pllaka e disa kristaleve (kripa Rochelle, kuarci, titanati i bariumit, etj.) deformohet pak nën veprimin e një fushe elektrike. Duke e vendosur atë midis pllakave metalike, në të cilat aplikohet një tension i alternuar, është e mundur të shkaktohen dridhje të detyruara të pllakës. Këto dridhje transmetohen në mjedis dhe gjenerojnë një valë ultrasonike në të.
Magnetostriksion do të thotë që substancat ferromagnetike (hekuri, nikeli, lidhjet e tyre etj.) deformohen nën ndikimin e një fushe magnetike. Prandaj, duke vendosur një shufër ferromagnetike në një fushë magnetike alternative, dridhjet mekanike mund të ngacmohen.
Vlerat e larta të shpejtësive dhe përshpejtimeve akustike, si dhe metodat e zhvilluara mirë të studimit dhe marrjes së dridhjeve tejzanor, bënë të mundur përdorimin e tyre për zgjidhjen e shumë problemeve teknike. Le të rendisim disa prej tyre.
Në vitin 1928, shkencëtari sovjetik S.Ya. Sokolov sugjeroi përdorimin e ultrazërit për zbulimin e të metave, d.m.th. për zbulimin e defekteve të brendshme të fshehura si guaskat, çarjet, lirshmërinë, përfshirjet e skorjeve, etj. në produktet metalike. Nëse dimensionet e defektit tejkalojnë gjatësinë e valës së ultrazërit, atëherë pulsi ultrasonik reflektohet nga defekti dhe kthehet prapa. Duke dërguar pulse tejzanor në produkt dhe duke regjistruar sinjalet e reflektuara të jehonës, është e mundur jo vetëm të zbulohet prania e defekteve në produkte, por edhe të gjykohet madhësia dhe vendndodhja e këtyre defekteve. Kjo metodë tani përdoret gjerësisht në industri.
Trarët tejzanor të drejtuar përdoren gjerësisht për qëllime vendndodhjeje, d.m.th. për zbulimin e objekteve në ujë dhe përcaktimin e distancës me to. Për herë të parë, ideja e vendndodhjes me ultratinguj u shfaq nga një fizikan i shquar francez P. Langevin dhe u zhvillua prej tij gjatë Luftës së Parë Botërore për të zbuluar nëndetëset. Në ditët e sotme, parimet e sonarit përdoren për të zbuluar ajsbergë, shkopinj peshqish etj. këto metoda mund të përcaktojnë gjithashtu thellësinë e detit nën fundin e anijes (echo sounder).
Valët ultrasonike me amplitudë të lartë aktualisht përdoren gjerësisht në teknologji për përpunimin mekanik të materialeve të ngurta, pastrimin e objekteve të vogla (pjesë të mekanizmave të orës, tubacionet etj.) të vendosura në lëng, degazimin etj.
Duke krijuar pulsime të forta presioni në mjedis gjatë kalimit të tyre, valët tejzanor shkaktojnë një sërë fenomenesh specifike: shtypjen (shpërndarjen) e grimcave të pezulluara në një lëng, formimin e emulsioneve, përshpejtimin e proceseve të difuzionit, aktivizimin e reaksioneve kimike, ndikimin në objekte biologjike. , etj.
Valët në këmbë formohen si rezultat i ndërhyrjes së dy valëve të rrafshët kundërpërhapëse me të njëjtën frekuencë ω dhe amplitudë A.
Le të imagjinojmë se në pikën S (Fig. 7.4) ekziston një vibrator, nga i cili një valë e rrafshët përhapet përgjatë rrezes SO. Pasi të keni arritur pengesën në pikën O, vala do të reflektohet dhe do të shkojë në drejtim të kundërt, d.m.th. dy valë avionësh udhëtues përhapen përgjatë rrezes: përpara dhe prapa. Këto dy valë janë koherente, pasi ato gjenerohen nga i njëjti burim dhe, duke u mbivendosur mbi njëri -tjetrin, do të ndërhyjnë me njëri -tjetrin.
Gjendja vibruese e mediumit që lind si rezultat i ndërhyrjes quhet valë në këmbë.
Le të shkruajmë ekuacionin e valëve që udhëtojnë përpara dhe prapa:
drejt - 
; anasjelltas - 
ku S 1 dhe S 2 janë zhvendosja e një pike arbitrare në rrezen SO. Duke marrë parasysh formulën për sinusin e shumës, zhvendosja që rezulton është
Kështu, ekuacioni i valës në këmbë ka formën
(7.17)
Faktori cosωt tregon se të gjitha pikat e mediumit në rrezen SO kryejnë lëkundje të thjeshta harmonike me frekuencë. Shprehja quhet amplituda e valës në këmbë. Siç mund ta shihni, amplituda përcaktohet nga pozicioni i pikës në rrezen SO (x).
Vlera maksimale amplituda do të ketë pika për të cilat
Ose (n = 0, 1, 2, ....)
nga ku, ose 
(7.18)
antinodat e valëve në këmbë .
Vlera minimale, e barabartë me zero, do të ketë ato pika për të cilat
Ose 
(n = 0, 1, 2, ....)
nga ku ose 
(7.19)
Pikat me koordinata të tilla quhen nyjet e valës në këmbë ... Duke krahasuar shprehjet (7.18) dhe (7.19), shohim se distanca midis antinyjeve ngjitur dhe nyjeve fqinje është λ / 2.
Në figurë, vija e ngurtë tregon zhvendosjen e pikave lëkundëse të mediumit në një moment të caktuar në kohë, kurbën e ndërprerë - pozicionin e të njëjtave pika përmes T / 2. Çdo pikë vibron me një amplitudë të përcaktuar nga distanca e saj nga vibratori (x).
Ndryshe nga një valë udhëtuese, një valë në këmbë nuk transferon energji. Energjia thjesht kalon nga potenciali (në zhvendosjen maksimale të pikave të mediumit nga pozicioni i ekuilibrit) në kinetik (kur pikat kalojnë nëpër pozicionin e ekuilibrit) brenda kufijve midis nyjeve që mbeten të palëvizshme.
Të gjitha pikat e valës në këmbë brenda kufijve midis nyjeve lëkunden në të njëjtën fazë, dhe në anët e kundërta të nyjës - në antifazë.
Valët në këmbë lindin, për shembull, në një varg të shtrirë të fiksuar në të dy skajet kur dridhjet tërthore ngacmohen në të. Për më tepër, në vendet e ankorimit, ndodhen nyjet e një valë në këmbë.
Nëse një valë në këmbë vendoset në një kolonë ajri që është e hapur në njërin skaj (vala e zërit), atëherë një antinodë formohet në skajin e hapur dhe një nyje formohet në skajin e kundërt.
Nëse disa valë përhapen njëkohësisht në mjedis, atëherë lëkundjet e grimcave të mediumit rezultojnë të jenë shuma gjeometrike e lëkundjeve që grimcat do të kryenin gjatë përhapjes së secilës prej valëve veç e veç. Kjo deklaratë empirike quhet parimi i mbivendosjes (superpozicionit) të valëve.
Në rastin kur lëkundjet e shkaktuara nga valët individuale në secilën pikë të mjedisit kanë një ndryshim fazor konstant, valët quhen koherente Kur shtohen valë koherente, ndodh fenomeni i interferencës, i cili konsiston në faktin se lëkundjet në disa pika përforcohen, dhe në pika të tjera dobësojnë njëra-tjetrën. Një rast shumë i rëndësishëm i interferencës ndodh kur mbivendosen dy valë plani kundërpërhapëse me të njëjtën amplitudë. Procesi oscilues që rezulton quhet valë në këmbë.
Valë në këmbë- Kjo është një valë që formohet kur mbivendosen dy valë me të njëjtën amplitudë dhe frekuencë, kur valët lëvizin drejt njëra-tjetrës.
Valët praktikisht në këmbë lindin kur valët reflektohen nga pengesat. Vala që bie mbi pengesën dhe vala e reflektuar që vrapon drejt saj, duke u mbivendosur mbi njëra-tjetrën, japin një valë në këmbë.
Le të shkruajmë ekuacionet për dy valë të rrafshët që përhapen përgjatë boshtit x në drejtime të kundërta:
Duke shtuar këto ekuacione dhe duke e transformuar rezultatin me formulën për shumën e kosinuseve, marrim:
Për të thjeshtuar këtë ekuacion, zgjidhni origjinën x në mënyrë që diferenca të bëhet e barabartë me zero, dhe origjina t- në mënyrë që shuma të jetë e barabartë me zero.Atëherë
- ekuacioni i valës në këmbë.
Zëvendësimi i numrit valor te vlerën e saj, marrim ekuacionin e një valë në këmbë, e cila është e përshtatshme për të analizuar lëkundjet e grimcave në një valë të qëndrueshme:
.
Nga ky ekuacion shihet se në çdo pikë të valës në këmbë ndodhin lëkundje të së njëjtës frekuencë si ato të valëve kundërshpërndarëse dhe amplituda e lëkundjeve varet nga x:
.
Në pikat koordinatat e të cilave plotësojnë kushtin
,
amplituda e vibrimit arrin vlerën e saj maksimale. Këto pika quhen antinyjet valë në këmbë. Vlerat e koordinatave të antinyjeve janë të barabarta:
.
Në pikat, koordinatat e të cilave plotësojnë kushtin:
,
amplituda e vibrimit zhduket. Këto pika quhen nyje valë në këmbë. Pikat e mediumit të vendosura në nyje nuk dridhen. Koordinatat e nyjeve janë:
.
Nga këto formula rezulton se distanca midis antinyjeve ngjitur, si dhe distanca midis nyjeve ngjitur, është e barabartë. Gungat dhe nyjet zhvendosen në lidhje me njëra-tjetrën me një të katërtën e gjatësisë së valës.
 |
Figura tregon një grafik të devijimeve të pikave nga pozicioni i ekuilibrit për momentin në kohë t(vija e ngurtë) dhe një komplot i devijimeve të pikave për një pikë në kohë (vija e ndërprerë). Siç mund të shihet nga figura, pikat që shtrihen në anët e kundërta të nyjës lëkunden në antifazë. Të gjitha pikat e mbyllura midis dy nyjeve ngjitur lëkunden në fazë (d.m.th. në të njëjtën fazë).
Një valë në këmbë nuk transferon energji. Dy herë në periudhë, energjia e valës në këmbë shndërrohet ose plotësisht në potencial, e përqendruar kryesisht pranë nyjeve të valës, pastaj plotësisht në kinetike, e përqendruar kryesisht pranë antinyjeve të valës. Si rezultat, ka një kalim të energjisë nga çdo nyje në antinyjet fqinje dhe anasjelltas. Fluksi mesatar i energjisë në çdo pjesë të valës është zero.