Nëse funksioni f (x) ka në një interval që përmban pikën a, derivatet e të gjitha urdhrave, atëherë formula e Taylor mund të zbatohet për të:
ku r n- e ashtuquajtura mbetje ose pjesa e mbetur e serisë, mund të vlerësohet duke përdorur formulën e Lagranzhit:
, ku numri x është ndërmjet NS dhe a.
Nëse për ndonjë vlerë x r n®0 për n® ¥, atëherë në kufi formula Taylor kthehet për këtë vlerë në një konvergjente Seriali Taylor:
Pra funksioni f (x) mund të zgjerohet në një seri Taylor në pikën në shqyrtim NS, nëse:
1) ka derivate të të gjitha porosive;
2) seria e ndërtuar konvergjon në këtë pikë.
Në a= 0 marrim një seri të quajtur pranë Maclaurin:
Shembulli 1 f (x) = 2x.
Zgjidhje... Le të gjejmë vlerat e funksionit dhe derivatet e tij në NS=0
f (x) = 2x, f ( 0) = 2 0 =1;
f ¢ (x) = 2x ln2, f ¢ ( 0) = 2 0 ln2 = ln2;
f ¢¢ (x) = 2x në 2 2, f ¢¢ ( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;
f (n) (x) = 2x ln n 2, f (n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.
Duke zëvendësuar vlerat e marra të derivateve në formulën e serisë Taylor, marrim:
Rrezja e konvergjencës së kësaj serie është e barabartë me pafundësinë; prandaj, ky zgjerim është i vlefshëm për - ¥<x<+¥.
Shembulli 2 NS+4) për funksionin f (x) = e x.
Zgjidhje... Gjeni derivatet e funksionit e x dhe vlerat e tyre në pikë NS=-4.
f (x)= e x, f (-4) = e -4 ;
f ¢ (x)= e x, f ¢ (-4) = e -4 ;
f ¢¢ (x)= e x, f ¢¢ (-4) = e -4 ;
f (n) (x)= e x, f (n) ( -4) = e -4 .
Prandaj, seria e kërkuar Taylor e funksionit ka formën:
Ky zgjerim është gjithashtu i vlefshëm për - ¥<x<+¥.
Shembulli 3 ... Zgjero funksionin f (x)= ln x në një seri në fuqi ( NS- 1),
(d.m.th., në serinë Taylor në afërsi të pikës NS=1).
Zgjidhje... Gjeni derivatet e këtij funksioni.
Duke zëvendësuar këto vlera në formulë, marrim serinë e kërkuar Taylor:
Duke përdorur testin d'Alembert, mund të siguroheni që seria konvergjon për
½ NS- 1 ½<1. Действительно,
Seria konvergon nëse ½ NS- 1 ½<1, т.е. при 0<x<2. При NS= 2 marrim një seri alternative që plotëson kushtet e testit të Leibniz-it. Në NS= 0 funksioni është i papërcaktuar. Kështu, domeni i konvergjencës së serisë Taylor është intervali gjysmë i hapur (0; 2].
Le të paraqesim zgjerimet e marra në mënyrë të ngjashme në serinë Maclaurin (d.m.th., në afërsi të pikës NS= 0) për disa funksione elementare:
(2) 
,
(3) 
,
( quhet zbërthimi i fundit seri binomiale)
Shembulli 4 ... Zgjeroni një funksion në një seri fuqie
Zgjidhje... Në zgjerimin (1) zëvendësojmë NS në - NS 2, marrim:
Shembulli 5
... Zgjero funksionin e serisë Maclaurin 
Zgjidhje... Ne kemi 
Duke përdorur formulën (4), mund të shkruajmë:
duke zëvendësuar për NS në formulë -NS, marrim:
Nga këtu gjejmë:
Duke zgjeruar kllapat, duke riorganizuar termat e serisë dhe duke bërë një reduktim të termave të ngjashëm, marrim
Kjo seri konvergon në interval
(-1; 1), pasi përftohet nga dy seri, secila prej të cilave konvergon në këtë interval.
Komentoni .
Formulat (1) - (5) mund të përdoren gjithashtu për të zgjeruar funksionet përkatëse në një seri Taylor, d.m.th. për zgjerimin e funksioneve në fuqitë e plota pozitive ( Ha). Për ta bërë këtë, mbi një funksion të caktuar, është e nevojshme të kryhen transformime të tilla identike për të marrë një nga funksionet (1) - (5), në të cilin, në vend të NS kushton k ( Ha) m, ku k është një numër konstant, m është një numër i plotë pozitiv. Shpesh është e përshtatshme për të ndryshuar variablin t=Ha dhe zgjeroni funksionin që rezulton në lidhje me t në një seri Maclaurin.
Kjo metodë ilustron teoremën mbi veçantinë e zgjerimit të një funksioni në një seri fuqie. Thelbi i kësaj teoreme është se në afërsi të së njëjtës pikë, nuk mund të fitohen dy seri të ndryshme fuqie që do të konvergojnë në të njëjtin funksion, pavarësisht se si kryhet zgjerimi i saj.
Shembulli 6 ... Zgjeroni një funksion në një seri Taylor në një lagje të një pike NS=3.
Zgjidhje... Ky problem mund të zgjidhet, si më parë, duke përdorur përkufizimin e serisë Taylor, për të cilën është e nevojshme të gjenden derivatet e funksionit dhe vlerat e tyre në NS= 3. Sidoqoftë, do të jetë më e lehtë të përdoret dekompozimi ekzistues (5):
Seria që rezulton konvergon për 
ose -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Shembulli 7
... Shkruani serinë Taylor në fuqi ( NS-1) funksionet 
.
Zgjidhje.
Seriali konvergon në 
, ose 2< x 5 £.
"Gjeni zgjerimin e serisë Maclaurin të funksionit f (x)"- pikërisht kështu tingëllon një detyrë e lartë e matematikës, të cilën disa nxënës mund ta bëjnë, ndërsa të tjerë nuk mund ta përballojnë me shembuj. Ka disa mënyra për të zgjeruar një seri në fuqi, këtu do të jepet një metodologji për zgjerimin e funksioneve në një seri Maclaurin. Kur zhvilloni një funksion në një seri, duhet të jeni të mirë në llogaritjen e derivateve.
Shembulli 4.7 Zgjero një funksion në fuqitë e x
Llogaritjet: Zbërthimin e funksionit e kryejmë sipas formulës Maclaurin. Së pari, zgjerojmë emëruesin e funksionit 
Së fundi, ne e shumëzojmë zgjerimin me numëruesin.
Termi i parë është vlera e funksionit në zero f (0) = 1/3.
Le të gjejmë derivatet e funksionit të rendit të parë dhe më të lartë f (x) dhe vlerën e këtyre derivateve në pikën x = 0 
Më tej, me rregullsinë e ndryshimit të vlerës së derivateve në 0, shkruajmë formulën për derivatin e n-të. 
Pra, ne përfaqësojmë emëruesin në formën e një zgjerimi në një seri Maclaurin 
Ne shumëzojmë me numëruesin dhe marrim zgjerimin e kërkuar të funksionit në një seri fuqie në x 
Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar këtu.
Të gjitha pikat kryesore bazohen në aftësinë për të llogaritur derivatet dhe një përgjithësim të shpejtë të vlerës së derivatit të rendit më të lartë në zero. Shembujt e mëposhtëm do t'ju ndihmojnë të mësoni se si të vendosni shpejt një funksion në një rresht.
Shembulli 4.10 Gjeni zgjerimin e serisë Maclaurin të një funksioni
Llogaritjet: Siç mund ta keni marrë me mend, ne do ta zbërthejmë kosinusin në numërues në një rresht. Për ta bërë këtë, ju mund të përdorni formula për sasi infiniteminale, ose mund të nxirrni zgjerimin e kosinusit në terma të derivateve. Si rezultat, arrijmë në serinë e radhës në fuqitë x 
Siç mund ta shihni, ne kemi një minimum llogaritjesh dhe një paraqitje kompakte të zgjerimit në një seri.
Shembulli 4.16 Zgjero funksionin në fuqitë e x:
7 / (12-x-x ^ 2)
Llogaritjet: Në këtë lloj shembujsh, është e nevojshme të zgjerohet thyesa në kuptim të shumës së thyesave më të thjeshta.
Nuk do të tregojmë se si ta bëjmë këtë tani, por me ndihmën e koeficientëve të papërcaktuar do të arrijmë në shumën e thyesave dox.
Më pas, ne i shkruajmë emëruesit në formë eksponenciale 
Mbetet për të zgjeruar termat duke përdorur formulën Maclaurin. Duke përmbledhur termat me të njëjtat fuqi të "x", ne krijojmë një formulë për termin e përgjithshëm të zgjerimit të funksionit në një seri. 
Pjesa e fundit e kalimit në seri në fillim është e vështirë për t'u zbatuar, pasi është e vështirë të kombinohen formulat për indekset (gradat) të çiftuara dhe të paçiftuara, por me praktikë do të bëheni gjithnjë e më mirë.
Shembulli 4.18 Gjeni zgjerimin e serisë Maclaurin të një funksioni
Llogaritjet: Gjeni derivatin e këtij funksioni: 
Le ta zgjerojmë funksionin në një seri duke përdorur një nga formulat e McLaren: 
Seritë përmblidhen term pas termi mbi bazën që të dyja janë absolutisht të rastësishme. Duke integruar të gjithë serinë term pas termi, marrim zgjerimin e funksionit në një seri në fuqi x 
Ka një kalim midis dy linjave të fundit të zgjerimit, i cili në fillim do t'ju marrë shumë kohë. Përgjithësimi i formulës së një serie nuk është i lehtë për të gjithë, ndaj mos u shqetësoni për faktin se nuk mund të merrni një formulë të bukur dhe kompakte.
Shembulli 4.28 Gjeni zgjerimin e serisë Maclaurin të një funksioni:
Logaritmin e shkruajmë si më poshtë 
Duke përdorur formulën e Maclaurin-it, zgjeroni funksionin e logaritmit në fuqitë e x 
Palosja përfundimtare në shikim të parë është e vështirë, por kur alternoni shenjat, gjithmonë merrni diçka të ngjashme. Mësimi i hyrjes me temën e planifikimit të funksioneve me radhë ka përfunduar tani. Skema të tjera po aq interesante dekompozimi do të diskutohen në detaje në materialet e mëposhtme.
16.1. Zgjerimi i funksioneve elementare në seritë Taylor dhe
Maclaurin
Le të tregojmë se nëse një funksion arbitrar është përcaktuar në grup 
, në afërsi të pikës 
ka shumë derivate dhe është shuma e një serie fuqie:
atëherë mund të gjenden koeficientët e kësaj serie.
Zëvendësues në serinë e fuqisë 
... Pastaj 
.
Gjeni derivatin e parë të funksionit 
:
Në 
:
.
Për derivatin e dytë marrim:
Në 
:
.
Vazhdimi i kësaj procedure n sapo të marrim: 
.
Kështu, ne morëm një seri fuqie të formës:
,
e cila quhet pranë Taylor për funksionin 
në afërsi të pikës 
.
Një rast i veçantë i serialit Taylor është Seria Maclaurin në 
:
Pjesa e mbetur e serisë Taylor (Maclaurin) merret duke hedhur poshtë rreshtat kryesore n anëtarët e parë dhe shënohen si 
... Pastaj funksioni 
mund të shkruhet si shumë n anëtarët e hershëm të një numri 
dhe pjesa e mbetur 
:,
.
Pjesa e mbetur është zakonisht 
të shprehura në formula të ndryshme.
Njëri prej tyre është në formën e Lagrange:
, ku 
.
.
Vini re se në praktikë, seria Maclaurin përdoret më shpesh. Kështu, për të shkruar funksionin 
në formën e një shume të një serie fuqie, është e nevojshme:
1) gjeni koeficientët e serisë Maclaurin (Taylor);
2) gjeni rajonin e konvergjencës së serisë së fituar të fuqisë;
3) vërtetoni se seria e dhënë konvergon me funksionin 
.
Teorema1
(kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për konvergjencën e serisë Maclaurin). Lëreni rrezen e konvergjencës së serisë 
... Në mënyrë që kjo seri të konvergojë në interval 
të funksionojë 
, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të plotësohet kushti: 
në intervalin e caktuar.
Teorema 2. Nëse derivatet e ndonjë rendi të funksionit 
në një farë intervali 
kufizuar në vlerë absolute me të njëjtin numër M, kjo eshte 
, atëherë në këtë interval funksioni 
mund të zgjerohet në një seri Maclaurin.
Shembull1
.
Zgjerojeni në një rresht Taylor rreth pikës 
funksionin.
Zgjidhje.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Rajoni i konvergjencës 
.
Shembull2
.
Zgjero funksionin 
në rreshtin e Taylor-it rreth pikës 
.
Zgjidhja:
Gjeni vlerën e funksionit dhe derivateve të tij në 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Ne i zëvendësojmë këto vlera me radhë. Ne marrim:
ose 
.
Le të gjejmë rajonin e konvergjencës së kësaj serie. Sipas veçorisë së d'Alembert, seria konvergon nëse
.
Prandaj, për çdo 
ky kufi është më i vogël se 1, dhe për këtë arsye rajoni i konvergjencës së serisë do të jetë: 
.
Le të shqyrtojmë disa shembuj të zgjerimit në serinë Maclaurin të funksioneve themelore elementare. Kujtojmë se seria Maclaurin:
.
konvergon në interval 
të funksionojë 
.
Vini re se për të zgjeruar funksionin në një seri, është e nevojshme:
a) gjeni koeficientët e serisë Maclaurin për këtë funksion;
b) llogarit rrezen e konvergjencës për serinë që rezulton;
c) vërtetoni se seria që rezulton konvergon me funksionin 
.
Shembulli 3. Merrni parasysh funksionin 
.
Zgjidhje.
Le të llogarisim vlerën e funksionit dhe derivateve të tij në 
.
Atëherë koeficientët numerikë të serisë janë:
për këdo n. Zëvendësoni koeficientët e gjetur në serinë Maclaurin dhe merrni: 
Gjeni rrezen e konvergjencës së serisë që rezulton, përkatësisht:
.
Rrjedhimisht, seria konvergon në interval 
.
Kjo seri konvergon me funksionin 
për çdo vlerë 
sepse çdo boshllëk 
funksionin 
dhe derivatet e tij në vlerë absolute janë të kufizuara nga numri 
.
Shembull4
.
Merrni parasysh funksionin 
.
Zgjidhje.
:
Është e lehtë të shihet se derivatet e rendit të barabartë 
, dhe derivatet janë të rendit tek. Ne i zëvendësojmë koeficientët e gjetur në serinë Maclaurin dhe marrim zgjerimin:
Le të gjejmë intervalin e konvergjencës së kësaj serie. Në bazë të d'Alembert:
për këdo 
... Rrjedhimisht, seria konvergon në interval 
.
Kjo seri konvergon me funksionin 
, sepse të gjitha derivatet e tij janë të kufizuara në një.
Shembull5
.
.
Zgjidhje.
Le të gjejmë vlerën e funksionit dhe derivateve të tij në 
:
Kështu, koeficientët e kësaj serie: 
dhe 
, prandaj:
Në mënyrë të ngjashme me seritë e mëparshme, rajoni i konvergjencës 
... Seria konvergon me funksionin 
, sepse të gjitha derivatet e tij janë të kufizuara në një.
Vini re se funksioni 
Zgjerimi tek dhe seri në shkallë tek, funksioni 
- Zgjerimi i barabartë dhe i serisë në fuqitë çift.
Shembull6
.
Seritë binomiale: 
.
Zgjidhje.
Le të gjejmë vlerën e funksionit dhe derivateve të tij në 
:
Nga kjo është e qartë se:
Zëvendësoni këto vlera të koeficientëve në serinë Maclaurin dhe merrni zgjerimin e këtij funksioni në një seri fuqie:
Gjeni rrezen e konvergjencës së kësaj serie:
Rrjedhimisht, seria konvergon në interval 
... Në pikat kufitare në 
dhe 
seria mund ose nuk mund të konvergojë në varësi të eksponentit 
.
Seria në studim konvergon në intervalin 
të funksionojë 
, pra shuma e tarifës 
në 
.
Shembull7
.
Le të zgjerojmë në një seri Maclaurin funksionin 
.
Zgjidhje.
Për të zgjeruar këtë funksion në seri, ne përdorim serinë binomiale për 
... Ne marrim: 
Bazuar në vetinë e serisë së fuqisë (seria e fuqisë mund të integrohet në rajonin e konvergjencës së saj), gjejmë integralin e anës së majtë dhe të djathtë të kësaj serie:
Le të gjejmë rajonin e konvergjencës së kësaj serie: 
,
pra, rajoni i konvergjencës së kësaj serie është intervali 
... Le të përcaktojmë konvergjencën e serisë në skajet e intervalit. Në 
... Ky rresht është një rresht harmonik, domethënë divergon. Në 
marrim një seri numrash me një term të përbashkët 
.
Seria Leibniz konvergon. Pra, rajoni i konvergjencës së kësaj serie është intervali 
.
16.2. Aplikimi i serive të energjisë në llogaritjet e përafërta
Në llogaritjet e përafërta, seritë e fuqisë luajnë një rol jashtëzakonisht të rëndësishëm. Me ndihmën e tyre, u përpiluan tabelat e funksioneve trigonometrike, tabelat e logaritmeve, tabelat e vlerave të funksioneve të tjera, të cilat përdoren në fusha të ndryshme të njohurive, për shembull, në teorinë e probabilitetit dhe statistikat matematikore. Për më tepër, zgjerimi i funksioneve në një seri fuqie është i dobishëm për studimin e tyre teorik. Çështja kryesore gjatë përdorimit të serive të fuqisë në llogaritjet e përafërta është çështja e vlerësimit të gabimit kur zëvendësohet shuma e një serie me shumën e saj të parë. n anëtarët.
Konsideroni dy raste:
funksioni zgjerohet në seri alternative;
funksioni zgjerohet në një seri konstante.
Llogaritja duke përdorur seri alternative
Lëreni funksionin 
zgjeruar në një seri të energjisë alternative. Pastaj, kur llogaritet ky funksion për një vlerë specifike 
marrim një seri numerike në të cilën mund të zbatohet testi i Leibniz-it. Në përputhje me këtë veçori, nëse shuma e serisë zëvendësohet me shumën e së parës së saj n terma, atëherë gabimi absolut nuk e kalon termin e parë të pjesës së mbetur të kësaj serie, domethënë: 
.
Shembull8
.
Llogaritni 
saktë në 0.0001.
Zgjidhje.
Ne do të përdorim serinë Maclaurin për 
, duke zëvendësuar vlerën e këndit në radiane:
Nëse krahasojmë termat e parë dhe të dytë të serisë me një saktësi të caktuar, atëherë:.
Afati i tretë i zgjerimit:
më pak se saktësia e llogaritur e specifikuar. Prandaj, për të llogaritur 
mjafton të lihen dy pjesëtarë të serialit, d.m.th
.
Kështu 
.
Shembull9
.
Llogaritni 
me një saktësi prej 0.001.
Zgjidhje.
Do të përdorim formulën e serisë binomiale. Për ta bërë këtë, shkruani 
si: 
.
Në këtë shprehje 
,
Le të krahasojmë secilin prej anëtarëve të serisë me saktësinë e specifikuar. Është e qartë se 
... Prandaj, për të llogaritur 
mjafton të lihen tre anëtarë të rreshtit.
ose 
.
Llogaritja duke përdorur seri pozitive
Shembull10
.
Llogaritni numrin 
saktë në 0.001.
Zgjidhje.
Në një rresht për funksionin 
zëvendësues 
... Ne marrim:
Le të vlerësojmë gabimin që lind kur shuma e serisë zëvendësohet me shumën e së parës 
anëtarët. Le të shkruajmë pabarazinë e dukshme:
që është 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
Sipas gjendjes së problemit, ju duhet të gjeni n të tillë që të jetë pabarazia e mëposhtme: 
ose 
.
Është e lehtë për ta kontrolluar atë n= 6:
.
Prandaj, 
.
Shembull11
.
Llogaritni 
me një saktësi prej 0.0001.
Zgjidhje.
Vini re se për të llogaritur logaritmet, mund të aplikohet një seri për funksionin 
, por kjo seri konvergon shumë ngadalë dhe për të arritur saktësinë e dhënë do të duhej të merreshin 9999 terma! Prandaj, për të llogaritur logaritmet, si rregull, një seri për funksionin 
e cila konvergon në interval 
.
Le të llogarisim 
duke përdorur këtë rresht. Le te jete 
, pastaj 
.
Prandaj, 
,
Për të llogaritur 
me një saktësi të dhënë, marrim shumën e katër termave të parë: 
.
Pjesa e mbetur e rreshtit 
hidhni. Le të vlerësojmë gabimin. Është e qartë se 
ose 
.
Kështu, në serinë që u përdor për llogaritjen, mjaftonte të merreshin vetëm katër termat e parë në vend të 9999 në serinë për funksionin. 
.
Pyetje vetë-testimi
1. Çfarë është një seri Taylor?
2. Çfarë lloji kishte seriali Maclaurin?
3. Formuloni një teoremë mbi zgjerimin e një funksioni në një seri Taylor.
4. Shkruani zgjerimin e serisë Maclaurin të funksioneve kryesore.
5. Tregoni zonat e konvergjencës së serisë së shqyrtuar.
6. Si të vlerësohet gabimi në llogaritjet e përafërta duke përdorur seritë e fuqisë?
Si të futni formula matematikore në një faqe interneti?
Nëse ndonjëherë ju duhet të shtoni një ose dy formula matematikore në një faqe interneti, atëherë mënyra më e lehtë për ta bërë këtë është siç përshkruhet në artikull: formulat matematikore futen lehtësisht në faqe në formën e fotografive që Wolfram Alpha gjeneron automatikisht. Përveç thjeshtësisë, kjo metodë e gjithanshme do të ndihmojë në përmirësimin e dukshmërisë së faqes tuaj në motorët e kërkimit. Ajo ka funksionuar për një kohë të gjatë (dhe, mendoj, do të funksionojë përgjithmonë), por është moralisht e vjetëruar.
Nëse përdorni rregullisht formula matematikore në faqen tuaj, atëherë ju rekomandoj të përdorni MathJax, një bibliotekë speciale JavaScript që shfaq shënimet matematikore në shfletuesit e internetit duke përdorur shënimin MathML, LaTeX ose ASCIIMathML.
Ka dy mënyra për të filluar përdorimin e MathJax: (1) duke përdorur një kod të thjeshtë, mund të lidhni shpejt një skript MathJax me faqen tuaj, i cili do të ngarkohet automatikisht nga një server në distancë në kohën e duhur (lista e serverëve); (2) ngarkoni skriptin MathJax nga një server në distancë në serverin tuaj dhe lidheni atë me të gjitha faqet e faqes tuaj. Metoda e dytë, e cila është më e ndërlikuar dhe kërkon kohë, do të përshpejtojë ngarkimin e faqeve të faqes suaj dhe nëse serveri mëmë MathJax për ndonjë arsye bëhet përkohësisht i padisponueshëm, kjo nuk do të ndikojë në asnjë mënyrë në faqen tuaj. Pavarësisht këtyre avantazheve, unë zgjodha metodën e parë pasi është më e thjeshtë, më e shpejtë dhe nuk kërkon aftësi teknike. Ndiqni shembullin tim dhe në 5 minuta do të mund të përdorni të gjitha veçoritë e MathJax në faqen tuaj.
Ju mund ta lidhni skriptin e bibliotekës MathJax nga një server në distancë duke përdorur dy versione të kodit të marra nga faqja kryesore e MathJax ose nga faqja e dokumentacionit:
Një nga këto variante kodi duhet të kopjohet dhe ngjitet në kodin e faqes tuaj të internetit, mundësisht midis etiketave
dhe ose menjëherë pas etiketës ... Sipas opsionit të parë, MathJax ngarkon më shpejt dhe ngadalëson faqen më pak. Por opsioni i dytë gjurmon dhe ngarkon automatikisht versionet më të fundit të MathJax. Nëse futni kodin e parë, atëherë ai do të duhet të përditësohet periodikisht. Nëse futni kodin e dytë, faqet do të ngarkohen më ngadalë, por nuk do t'ju duhet të monitoroni vazhdimisht përditësimet e MathJax.Mënyra më e lehtë për të lidhur MathJax është në Blogger ose WordPress: në pultin e faqes tuaj, shtoni një miniaplikacion të krijuar për të futur kodin JavaScript të palës së tretë, kopjoni në të versionin e parë ose të dytë të kodit të ngarkimit të paraqitur më sipër dhe vendoseni miniaplikacionin më afër fillimi i shabllonit (nga rruga, kjo nuk është aspak e nevojshme sepse skripti MathJax ngarkohet në mënyrë asinkrone). Kjo eshte e gjitha. Tani, mësoni sintaksën e shënimit MathML, LaTeX dhe ASCIIMathML dhe jeni gati të futni formulat e matematikës në faqet e internetit të faqes suaj të internetit.
Çdo fraktal ndërtohet sipas një rregulli të caktuar, i cili zbatohet vazhdimisht një numër të pakufizuar herë. Çdo kohë e tillë quhet përsëritje.
Algoritmi përsëritës për ndërtimin e sfungjerit Menger është mjaft i thjeshtë: kubi origjinal me anën 1 ndahet me plane paralele me faqet e tij në 27 kube të barabartë. Një kub qendror dhe 6 kube ngjitur hiqen prej tij. Rezultati është një grup i përbërë nga 20 kube më të vegjël të mbetur. Duke bërë të njëjtën gjë me secilin prej këtyre kubeve, marrim një grup, tashmë të përbërë nga 400 kube më të vegjël. Duke e vazhduar këtë proces pafundësisht, marrim një sfungjer Menger.