Me këtë program matematikor, mundeni zgjidh ekuacionin kuadratik.
Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por gjithashtu tregon procesin e zgjidhjes në dy mënyra:
- duke përdorur diskriminuesin
- duke përdorur teoremën e Vietas (nëse është e mundur).
Për më tepër, përgjigja shfaqet e saktë, jo e përafërt.
Për shembull, për ekuacionin \\ (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0 \\), përgjigja shfaqet në këtë formë:
Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollës së mesme në përgatitjen e testeve dhe provimeve, kur kontrollojnë njohuritë para provimit, për prindërit për të kontrolluar zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju që të punësoni një tutor ose të blini libra të rinj? Apo thjesht doni t’i bëni detyrat e shtëpisë tuaj në matematikë ose algjebër sa më shpejt që të jetë e mundur? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me një zgjidhje të hollësishme.
Në këtë mënyrë, ju mund të zhvilloni mësimin tuaj dhe / ose mësimin e vëllezërve ose motrave tuaja më të vogla, ndërsa niveli i arsimimit në fushën e problemeve që zgjidhen rritet.
Nëse nuk jeni njohur me rregullat për të hyrë në një polinom katror, \u200b\u200bju rekomandojmë që të familjarizoheni me to.
Rregullat për hyrjen në një polinom katror
Çdo shkronjë latine mund të përdoret si një ndryshore.
Për shembull: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) etj.
Numrat mund të futen si numra të plotë ose thyesorë.
Për më tepër, numrat thyesorë mund të futen jo vetëm në formën e një dhjetori, por edhe në formën e një thyese të zakonshme.
Rregullat për futjen e thyesave dhjetore.
Në thyesat dhjetore, pjesa thyesore nga e tërë mund të ndahet ose me një pikë ose me presje.
Për shembull, mund të futni thyesa dhjetore si kjo: 2.5x - 3.5x ^ 2
Rregullat për hyrjen në thyesat e zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të përdoret si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.
Emëruesi nuk mund të jetë negativ.
Kur futni një fraksion numerik, numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë të ndarjes: /
E gjithë pjesa ndahet nga fraksioni nga një ampersand: &
Hyrja: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Rezultati: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) z + \\ frac (1) (7) z ^ 2 \\)
Kur futni një shprehje mund të përdoren kllapa... Në këtë rast, gjatë zgjidhjes së një ekuacioni kuadratik, shprehja e prezantuar thjeshtësohet së pari.
Për shembull: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)
Zgjidh
U zbulua se disa skenare të nevojshme për të zgjidhur këtë problem nuk ishin ngarkuar dhe programi mund të mos funksionojë.
Ndoshta e keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizojeni dhe rifreskoni faqen.
Që zgjidhja të shfaqet, duhet të aktivizoni JavaScript.
Këtu janë udhëzimet se si të aktivizoni JavaScript në shfletuesin tuaj.
Sepse Ka shumë njerëz që duan të zgjidhin problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Pas disa sekondash, zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Prisni ju lutem sek ...
nëse ti vërejtur një gabim në vendim, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Kthimit.
Mos harro tregoni se cilën detyrë ju vendosni dhe çfarë hyj në fusha.
Lojërat, enigmat, emulatorët tanë:
Pak teori.
Ekuacioni kuadratik dhe rrënjët e tij. Ekuacionet e paplota kuadratike
Secili nga ekuacionet
\\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, \\ quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, \\ quad x ^ 2- \\ frac (4) (9) \u003d 0 \\)
ka formën
\\ (sëpata ^ 2 + bx + c \u003d 0, \\)
ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë numra.
Në ekuacionin e parë a \u003d -1, b \u003d 6 dhe c \u003d 1.4, në të dytën a \u003d 8, b \u003d -7 dhe c \u003d 0, në të tretën a \u003d 1, b \u003d 0 dhe c \u003d 4/9. Ekuacione të tilla quhen ekuacionet kuadratike.
Përkufizimi.
Ekuacioni kuadratik është një ekuacion i formës ax 2 + bx + c \u003d 0, ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra, dhe \\ (a \\ neq 0 \\).
Numrat a, b dhe c janë koeficientët e ekuacionit kuadratik. Numri a quhet koeficienti i parë, numri b - koeficienti i dytë, dhe numri c - termi i lirë.
Në secilin prej ekuacioneve të formës ax 2 + bx + c \u003d 0, ku \\ (a \\ neq 0 \\), fuqia më e madhe e ndryshores x është katrori. Prandaj emri: ekuacioni kuadratik.
Vini re se një ekuacion kuadratik quhet gjithashtu një ekuacion i shkallës së dytë, pasi ana e tij e majtë është një polinom i shkallës së dytë.
Thirret një ekuacion kuadratik në të cilin koeficienti në x 2 është 1 ekuacioni kuadratik i reduktuar... Për shembull, ekuacionet kuadratike të reduktuara janë ekuacionet
\\ (x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, \\ quad x ^ 2-6x \u003d 0, \\ quad x ^ 2-8 \u003d 0 \\)
Nëse në ekuacionin kuadratik ax 2 + bx + c \u003d 0 të paktën një nga koeficientët b ose c është i barabartë me zero, atëherë një ekuacion i tillë quhet ekuacioni i paplotë kuadratik... Pra, ekuacionet -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 janë ekuacione kuadratike jo të plota. Në të parën prej tyre b \u003d 0, në të dytën c \u003d 0, në të tretën b \u003d 0 dhe c \u003d 0.
Ekuacionet e paplota kuadratike janë tre llojesh:
1) sëpata 2 + c \u003d 0, ku \\ (c \\ neq 0 \\);
2) sëpata 2 + bx \u003d 0, ku \\ (b \\ neq 0 \\);
3) sëpata 2 \u003d 0.
Le të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacioneve të secilit prej këtyre llojeve.
Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + c \u003d 0 për \\ (c \\ neq 0 \\), transferoni termin e tij të lirë në anën e djathtë dhe ndani të dy anët e ekuacionit me një:
\\ (x ^ 2 \u003d - \\ frac (c) (a) \\ Rightarrow x_ (1,2) \u003d \\ pm \\ sqrt (- \\ frac (c) (a)) \\)
Meqenëse \\ (c \\ neq 0 \\), atëherë \\ (- \\ frac (c) (a) \\ neq 0 \\)
Nëse \\ (- \\ frac (c) (a)\u003e 0 \\), atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.
Nëse \\ (- \\ frac (c) (a) Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + bx \u003d 0 me faktorin \\ (b \\ neq 0 \\) anën e saj të majtë në faktorë dhe për të marrë ekuacionin
\\ (x (ax + b) \u003d 0 \\ Rightarrow \\ majtas \\ (\\ start (varg) (l) x \u003d 0 \\\\ ax + b \u003d 0 \\ fund (array) \\ djathtas. \\ Rightarrow \\ majtas \\ (\\ fillo (varg) (l) x \u003d 0 \\\\ x \u003d - \\ frac (b) (a) \\ fund (grup) \\ djathtas. \\)
Prandaj, një ekuacion i paplotë kuadratik i formës ax 2 + bx \u003d 0 për \\ (b \\ neq 0 \\) gjithmonë ka dy rrënjë.
Një ekuacion i paplotë kuadratik i formës ax 2 \u003d 0 është ekuivalent me ekuacionin x 2 \u003d 0 dhe për këtë arsye ka një rrënjë unike 0.
Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik
Le të shqyrtojmë tani se si zgjidhen ekuacionet kuadratike në të cilat si koeficientët e të panjohurave ashtu edhe termi i lirë janë jo zero.
Le të zgjidhim ekuacionin kuadratik në formë të përgjithshme dhe si rezultat do të marrim formulën për rrënjët. Atëherë kjo formulë mund të zbatohet për të zgjidhur çdo ekuacion kuadratik.
Zgjidh ekuacionin kuadratik ax 2 + bx + c \u003d 0
Duke i ndarë të dy pjesët e tij me a, marrim ekuacionin ekuivalent të zvogëluar kuadratik
\\ (x ^ 2 + \\ frac (b) (a) x + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\)
Ne e transformojmë këtë ekuacion duke zgjedhur katrorin e binomit:
\\ (x ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ majtas (\\ frac (b) (2a) \\ djathtas) ^ 2- \\ majtas (\\ frac (b) (2a) \\ djathtas) ^ 2 + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\ Rightarrow \\)
Shprehja radikale quhet diskriminuesi i ekuacionit kuadratik sëpatë 2 + bx + c \u003d 0 (latinisht "diskriminuesi" është diskriminues). Designshtë përcaktuar me shkronjën D, d.m.th.
\\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)
Tani, duke përdorur shënimin e diskriminuesit, ne rishkruajmë formulën për rrënjët e ekuacionit kuadratik:
\\ (x_ (1,2) \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (D)) (2a) \\), ku \\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)
Obviousshtë e qartë se:
1) Nëse D\u003e 0, atëherë ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë.
2) Nëse D \u003d 0, atëherë ekuacioni kuadratik ka një rrënjë \\ (x \u003d - \\ frac (b) (2a) \\).
3) Nëse D Kështu, në varësi të vlerës së diskriminuesit, ekuacioni kuadratik mund të ketë dy rrënjë (për D\u003e 0), një rrënjë (për D \u003d 0) ose të mos ketë rrënjë (për D Kur zgjidh një ekuacion kuadratik duke përdorur këtë formula, këshillohet që të veproni si më poshtë:
1) llogarit diskriminuesin dhe krahason atë me zero;
2) nëse diskriminuesi është pozitiv ose i barabartë me zero, atëherë përdorni formulën rrënjë, nëse diskriminuesi është negativ, atëherë shkruani se nuk ka rrënjë.
Teorema e Vietës
Ekuacioni i dhënë kuadratik ax 2 -7x + 10 \u003d 0 ka rrënjët 2 dhe 5. Shuma e rrënjëve është 7, dhe produkti është 10. Shohim se shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me të kundërtën shenjë, dhe produkti i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë. Çdo ekuacion i dhënë kuadratik që ka rrënjë ka këtë veti.
Shuma e rrënjëve të ekuacionit të dhënë kuadratik është e barabartë me koeficientin e dytë, marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë.
Ata. Teorema e Vietas thotë se rrënjët x 1 dhe x 2 të ekuacionit të zvogëluar kuadratik x 2 + px + q \u003d 0 kanë vetinë:
\\ (\\ majtas \\ (\\ fillo (varg) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d q \\ fund (varg) \\ djathtas. \\)
Në shoqërinë moderne, aftësia për të kryer veprime me ekuacione që përmbajnë një katror të ndryshueshëm mund të jetë e dobishme në shumë fusha të veprimtarisë dhe përdoret gjerësisht në praktikë në zhvillimet shkencore dhe teknike. Kjo dëshmohet nga modelimi i anijeve detare dhe lumore, aeroplanëve dhe raketave. Me ndihmën e llogaritjeve të tilla, përcaktohen trajektoret e lëvizjes së një larmie të gjerë trupash, përfshirë objektet hapësinore. Shembuj me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike përdoren jo vetëm në parashikimin ekonomik, në projektimin dhe ndërtimin e ndërtesave, por edhe në rrethanat më të zakonshme të përditshme. Ato mund të jenë të nevojshme në udhëtime kampe, në ngjarje sportive, në dyqane kur bëni pazar dhe në situata të tjera shumë të zakonshme.
Le ta ndajmë shprehjen në faktorët përbërës të saj
Shkalla e një ekuacioni përcaktohet nga vlera maksimale e shkallës së ndryshores që përmban shprehja. Nëse është e barabartë me 2, atëherë një ekuacion i tillë quhet katror.
Nëse shpjegojmë në gjuhën e formulave, atëherë këto shprehje, pa marrë parasysh se si duken, gjithmonë mund të reduktohen në formë kur ana e majtë e shprehjes përbëhet nga tre terma. Midis tyre: sëpata 2 (domethënë një ndryshore në katror me koeficientin e saj), bx (një e panjohur pa një katror me koeficientin e tij) dhe c (një përbërës i lirë, domethënë një numër i zakonshëm). E gjithë kjo në anën e djathtë është e barabartë me 0. Në rastin kur një polinomi të ngjashëm i mungon një prej termave përbërës të tij, me përjashtim të sëpatës 2, quhet ekuacion i paplotë kuadratik. Shembujt me zgjidhjen e problemeve të tilla, vlera e variablave në të cilat është e lehtë për t'u gjetur, duhet të merren parasysh së pari.
Nëse shprehja duket në një mënyrë të tillë që të ketë dy terma në shprehjen në anën e djathtë, më saktë sëpata 2 dhe bx, është më lehtë të gjesh x duke vendosur ndryshoren jashtë kllapave. Tani ekuacioni ynë do të duket kështu: x (sëpatë + b). Më tej, bëhet e qartë se ose x \u003d 0, ose problemi reduktohet në gjetjen e një ndryshoreje nga shprehja e mëposhtme: ax + b \u003d 0. Kjo diktohet nga një nga vetitë e shumëzimit. Rregulli është që produkti i dy faktorëve rezulton në 0 vetëm nëse njëri prej tyre është i barabartë me zero.
Shembull
x \u003d 0 ose 8x - 3 \u003d 0
Si rezultat, kemi dy rrënjë të ekuacionit: 0 dhe 0.375.
Ekuacionet e këtij lloji mund të përshkruajnë lëvizjen e trupave nën veprimin e gravitetit, i cili filloi të lëvizte nga një pikë e caktuar e marrë si origjinë. Këtu shënimi matematik merr formën e mëposhtme: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Duke zëvendësuar vlerat e nevojshme, duke barazuar anën e djathtë me 0 dhe duke gjetur të panjohura të mundshme, mund të zbuloni kohën që kalon nga momenti që trupi ngrihet deri në momentin kur bie, si dhe shumë sasi të tjera. Por ne do të flasim për këtë më vonë.
Faktorizimi i një Shprehjeje
Rregulli i përshkruar më sipër bën të mundur zgjidhjen e këtyre problemeve në raste më komplekse. Le të shqyrtojmë shembuj me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të këtij lloji.
X 2 - 33x + 200 \u003d 0
Ky trinom katror është i plotë. Së pari, le ta transformojmë shprehjen dhe ta faktorizojmë atë. Ka dy prej tyre: (x-8) dhe (x-25) \u003d 0. Si rezultat, kemi dy rrënjë 8 dhe 25.
Shembuj me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike në klasën 9 lejojnë që kjo metodë të gjejë një ndryshore në shprehje jo vetëm të rendit të dytë, por edhe të rendit të tretë dhe të katërt.
Për shembull: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Kur faktorizoni anën e djathtë në faktorë me një ndryshore, ekzistojnë tre prej tyre, domethënë (x + 1), (x-3) dhe (x + 3)
Si rezultat, bëhet e qartë se ky ekuacion ka tre rrënjë: -3; -një; 3
Nxjerrja e rrënjës katrore
Një rast tjetër i një ekuacioni jo të plotë të rendit të dytë është një shprehje e përfaqësuar në gjuhën e shkronjave në një mënyrë të tillë që ana e djathtë të ndërtohet nga përbërësit ax 2 dhe c. Këtu, për të marrë vlerën e ndryshores, termi i lirë transferohet në anën e djathtë, dhe pastaj rrënja katrore nxirret nga të dy anët e barazisë. Duhet të theksohet se në këtë rast, zakonisht ekzistojnë dy rrënjë të ekuacionit. Përjashtimet e vetme janë barazitë që nuk përmbajnë aspak termin c, ku ndryshorja është e barabartë me zero, si dhe variante të shprehjeve kur ana e djathtë rezulton negative. Në rastin e fundit, nuk ka zgjidhje fare, pasi veprimet e mësipërme nuk mund të kryhen me rrënjë. Duhet të merren parasysh shembuj të zgjidhjeve për ekuacionet kuadratike të këtij lloji.
Në këtë rast, rrënjët e ekuacionit do të jenë numrat -4 dhe 4.
Llogaritja e sipërfaqes së ngastrës së tokës
Nevoja për këtë lloj llogaritjesh u shfaq në kohërat antike, sepse zhvillimi i matematikës në shumë aspekte në ato kohë të largëta ishte për shkak të nevojës për të përcaktuar me saktësinë më të madhe zonat dhe perimetrat e parcelave të tokës.
Shembuj me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, të hartuara në bazë të problemeve të këtij lloji, duhet të merren parasysh nga ne.
Pra, le të themi se ekziston një pjesë e tokës drejtkëndëshe, gjatësia e së cilës është 16 metra më e gjatë se gjerësia. Ju duhet të gjeni gjatësinë, gjerësinë dhe perimetrin e sitit nëse e dini që sipërfaqja e tij është 612 m 2.
Duke hyrë në biznes, le të krijojmë së pari ekuacionin e nevojshëm. Le të shënojmë me x gjerësinë e seksionit, atëherë gjatësia e tij do të jetë (x + 16). Nga ajo që është shkruar rrjedh se zona përcaktohet nga shprehja x (x + 16), e cila, sipas kushtit të problemit tonë, është 612. Kjo do të thotë që x (x + 16) \u003d 612.
Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike, dhe kjo shprehje është vetëm ajo, nuk mund të bëhet në të njëjtën mënyrë. Pse Edhe pse ana e majtë e tij përmban ende dy faktorë, produkti nuk është aspak i barabartë me 0, kështu që këtu zbatohen metoda të tjera.
Diskriminues
Para së gjithash, ne do të bëjmë transformimet e nevojshme, atëherë pamja e kësaj shprehje do të duket kështu: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Kjo do të thotë që kemi marrë një shprehje në formën që korrespondon me standardin e specifikuar më parë, ku një \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.
Ky mund të jetë një shembull i zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike përmes diskriminuesit. Këtu bëhen llogaritjet e nevojshme sipas skemës: D \u003d b 2 - 4ac. Kjo sasi ndihmëse jo vetëm që bën të mundur gjetjen e sasive të kërkuara në ekuacionin e rendit të dytë, por përcakton numrin e opsioneve të mundshme. Nëse D\u003e 0, ekzistojnë dy prej tyre; për D \u003d 0 ekziston një rrënjë. Nëse D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Për rrënjët dhe formulën e tyre
Në rastin tonë, diskriminuesi është: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Kjo tregon që problemi ynë ka një përgjigje. Nëse e dini, k, zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duhet të vazhdojë duke përdorur formulën më poshtë. Ju lejon të llogaritni rrënjët.
Kjo do të thotë që në rastin e paraqitur: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Opsioni i dytë në këtë dilemë nuk mund të jetë një zgjidhje, sepse dimensionet e parcelës së tokës nuk mund të maten në vlera negative, kështu që x (domethënë gjerësia e parcelës) është 18 m. Nga këtu ne llogarisim gjatësinë: 18 + 16 \u003d 34, dhe perimetri 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).
Shembuj dhe detyra
Ne vazhdojmë të studiojmë ekuacionet kuadratike. Shembuj dhe një zgjidhje e hollësishme për disa prej tyre do të jepen më poshtë.
1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1
Ne transferojmë gjithçka në anën e majtë të barazisë, bëjmë një transformim, domethënë, marrim formën e ekuacionit, i cili zakonisht quhet standard, dhe e barazojmë atë me zero.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0
Duke shtuar të ngjashme, ne përcaktojmë diskriminuesin: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Pra, ekuacioni ynë do të ketë dy rrënjë. Ne i llogarisim ato sipas formulës së mësipërme, që do të thotë se e para prej tyre do të jetë 4/3, dhe e dyta 1.
2) Tani do të zbulojmë gjëegjëzat e një lloji tjetër.
Le të zbulojmë nëse ka rrënjë këtu fare x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Për të marrë një përgjigje shteruese, le të sjellim polinomin në formën përkatëse të njohur dhe të llogarisim diskriminuesin. Në këtë shembull, zgjidhja e ekuacionit kuadratik nuk është e nevojshme, sepse thelbi i problemit nuk është aspak në këtë. Në këtë rast, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, që do të thotë se me të vërtetë nuk ka rrënjë.
Teorema e Vietës
Convenientshtë i përshtatshëm për të zgjidhur ekuacionet kuadratike duke përdorur formulat e mësipërme dhe diskriminuesin, kur rrënja katrore nxirret nga vlera e kësaj të fundit. Por kjo nuk është gjithmonë rasti. Sidoqoftë, ka shumë mënyra për të marrë vlerat e variablave në këtë rast. Shembull: zgjidhja e ekuacioneve kuadratike nga teorema e Vietës. Ajo është emëruar pas dikujt që jetoi në Francën e shekullit të 16-të dhe bëri një karrierë të shkëlqyer falë talentit të tij matematikor dhe lidhjeve në gjykatë. Portreti i tij mund të shihet në artikull.
Modeli i vërejtur nga francezi i famshëm ishte si më poshtë. Ai provoi se rrënjët e ekuacionit në shumë janë numerikisht të barabarta me -p \u003d b / a, dhe prodhimi i tyre korrespondon me q \u003d c / a.
Tani le të shohim detyrat specifike.
3x 2 + 21x - 54 \u003d 0
Për thjeshtësi, ne transformojmë shprehjen:
x 2 + 7x - 18 \u003d 0
Ne do të përdorim teoremën e Vieta, kjo do të na japë sa vijon: shuma e rrënjëve është -7, dhe produkti i tyre është -18. Nga kjo marrim se rrënjët e ekuacionit janë numrat -9 dhe 2. Pasi të kemi bërë një kontroll, do të sigurohemi që këto vlera të variablave të përshtaten vërtet në shprehje.
Grafiku dhe ekuacioni i parabolës
Konceptet e një funksioni kuadratik dhe ekuacionet kuadratike janë të lidhura ngushtë. Shembuj të kësaj tashmë janë dhënë më herët. Tani le të shohim disa nga enigmat e matematikës pak më në detaje. Çdo ekuacion i llojit të përshkruar mund të vizualizohet. Një marrëdhënie e tillë, e tërhequr në formën e një grafiku, quhet parabolë. Llojet e tij të ndryshme tregohen në figurën më poshtë.
Çdo parabolë ka një kulm, domethënë një pikë nga e cila dalin degët e saj. Nëse a\u003e 0, ato shkojnë shumë deri në pafundësi, dhe kur a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Paraqitjet vizuale të funksioneve ndihmojnë në zgjidhjen e çdo ekuacioni, përfshirë edhe ato katrorë. Kjo metodë quhet grafike. Dhe vlera e ndryshores x është koordinata abscissa në pikat ku vija e grafikut kryqëzohet me 0x. Koordinatat e kulmit mund të gjenden me formulën e dhënë vetëm x 0 \u003d -b / 2a. Dhe, duke zëvendësuar vlerën e marrë në ekuacionin origjinal të funksionit, mund të zbuloni y 0, domethënë koordinatën e dytë të kulmit të parabolës, që i përket boshtit të ordinatës.
Kryqëzimi i degëve të parabolës me boshtin e abshisës
Ka shumë shembuj me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, por ka edhe modele të përgjithshme. Le t'i shqyrtojmë ato. Shtë e qartë se kryqëzimi i grafikut me boshtin 0x për a\u003e 0 është i mundur vetëm nëse y 0 merr vlera negative. Dhe për një<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Përndryshe, D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Rrënjët gjithashtu mund të përcaktohen nga grafiku i parabolës. Biseda është gjithashtu e vërtetë. Kjo është, nëse nuk është e lehtë të marrësh një imazh vizual të një funksioni kuadratik, mund të barazosh anën e djathtë të shprehjes me 0 dhe të zgjidhësh ekuacionin që rezulton. Dhe duke ditur pikat e kryqëzimit me boshtin 0x, është më lehtë të ndërtosh një grafik.
Nga historia
Me ndihmën e ekuacioneve që përmbajnë një ndryshore në katror, \u200b\u200bnë ditët e vjetër ata jo vetëm që bënin llogaritjet matematikore dhe përcaktonin zonat e formave gjeometrike. Llogaritjet e tilla ishin të nevojshme nga të lashtët për zbulime madhështore në fushën e fizikës dhe astronomisë, si dhe për të bërë parashikime astrologjike.
Siç supozojnë shkencëtarët modernë, banorët e Babilonisë ishin ndër të parët që zgjidhën ekuacionet kuadratike. Ndodhi katër shekuj para epokës sonë. Sigurisht, llogaritjet e tyre ishin krejtësisht të ndryshme nga ato të pranuara aktualisht dhe dolën të jenë shumë më primitive. Për shembull, matematikanët Mesopotamianë nuk kishin ide për ekzistencën e numrave negativë. Ata ishin gjithashtu të panjohur me hollësitë e tjera që di çdo shkollë e kohës sonë.
Ndoshta edhe më herët se shkencëtarët e Babilonisë, i mençuri nga India Baudhayama mori zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. Ndodhi rreth tetë shekuj para ardhjes së epokës së Krishtit. E vërtetë, ekuacionet e rendit të dytë, metodat e zgjidhjes që dha ai, ishin më të thjeshtat. Përveç tij, matematikanët kinezë gjithashtu ishin të interesuar për pyetje të ngjashme në ditët e vjetra. Në Evropë, ekuacionet kuadratike filluan të zgjidheshin vetëm në fillim të shekullit të 13-të, por më vonë ato u përdorën në punimet e tyre nga shkencëtarë të mëdhenj si Njutoni, Dekarti dhe shumë të tjerë.
NUMBRTLE KOMPLEKS XI
§ 253. Nxjerrja e rrënjëve katrore nga numrat negativë.
Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me diskriminuesit negativë
Siç e dimë,
unë 2 = - 1.
Në të njëjtën kohë
(- unë ) 2 = (- 1 unë ) 2 = (- 1) 2 unë 2 = -1.
Kështu, ka të paktën dy vlera për rrënjën katrore të - 1, domethënë unë dhe - unë ... Por mbase ka disa numra të tjerë kompleksë katrorët e të cilëve janë të barabartë me - 1?
Për ta sqaruar këtë pyetje, supozoni se katrori i një numri kompleks a + bi është e barabartë me - 1. Atëherë
(a + bi ) 2 = - 1,
dhe 2 + 2abi - b 2 = - 1
Dy numra kompleksë janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse pjesët e tyre reale dhe koeficientët në pjesët imagjinare janë të barabartë. prandaj
| { |
dhe
2 - b
2 = - 1 |
Sipas ekuacionit të dytë të sistemit (1), të paktën një nga numrat dhe dhe b duhet të jetë zero. Nese nje b \u003d 0, atëherë nga ekuacioni i parë që marrim dhe 2 \u003d - 1. Numri dhe e vlefshme dhe për këtë arsye dhe 2 > 0. Numri jo negativ dhe 2 nuk mund të jetë i barabartë me një numër negativ - 1. Prandaj, barazia b \u003d 0 në këtë rast është e pamundur. Mbetet të pranojmë se dhe \u003d 0, por pastaj nga ekuacioni i parë i sistemit marrim: - b 2 = - 1, b \u003d 1 ±
Prandaj, numrat kompleksë me katrorë të barabartë me -1 janë vetëm numrat unë dhe - unë Kjo është shkruar në mënyrë konvencionale si:
√-1 \u003d unë .
Me një arsyetim të ngjashëm, studentët mund të sigurohen që ekzistojnë saktësisht dy numra katrorët e të cilëve janë të barabartë me një numër negativ - dhe ... Këto numra janë a unë dhe -√ a unë ... Kjo është shkruar në mënyrë konvencionale si më poshtë:
√- dhe = ± √ a unë .
Nën a këtu nënkuptohet rrënja aritmetike, domethënë pozitive. Për shembull, √4 \u003d 2, √9 \u003d .3; kështu që
√-4 = + 2unë , √-9 \u003d ± 3 unë
Nëse më herët, kur konsideronim ekuacionet kuadratike me diskriminues negativë, ne thamë se ekuacione të tilla nuk kanë rrënjë, tani nuk është më e mundur të thuhet kështu. Ekuacionet kuadratike me diskriminues negativë kanë rrënjë komplekse. Këto rrënjë merren sipas formulave të njohura për ne. Për shembull, le të jepet ekuacioni x 2 + 2x + 5 \u003d 0; atëherë
x 1,2 \u003d - 1 ± √1 -5 \u003d - 1 ± √-4 \u003d - 1 ± 2 unë .
Pra, ky ekuacion ka dy rrënjë: x 1 = - 1 +2unë , x 2 = - 1 - 2unë ... Këto rrënjë janë të bashkuara reciprokisht. Interestingshtë interesante të theksohet se shuma e tyre është - 2, dhe produkti është 5, kështu që qëndron teorema e Vieta.
Ushtrime
2022. (Na tn rreth.) Zgjidh ekuacionet:
dhe) x 2 \u003d - 16; b) x 2 \u003d - 2; në 3 x 2 = - 5.
2023. Gjeni të gjithë numrat kompleksë katrorët e të cilëve janë të barabartë:
dhe) unë ; b) 1/2 - √ 3/2 unë ;
2024. Zgjidh ekuacionet kuadratike:
dhe) x 2 - 2x + 2 \u003d 0; b) 4 x 2 + 4x + 5 \u003d 0; në) x 2 - 14x + 74 = 0.
Zgjidh sistemet e ekuacioneve (Nr. 2025, 2026):
| { |
x + y
= 6 |
| { |
2x -
3y
= 1 |
2027. Vërtetoni se rrënjët e një ekuacioni kuadratik me koeficientë realë dhe diskriminues negativ janë të bashkuar reciprokisht.
2028. Provoni se teorema e Vieta është e vërtetë për çdo ekuacion kuadratik, dhe jo vetëm për ekuacionet me diskriminues jo-negativ.
2029. Bëni një ekuacion kuadratik me koeficientë realë, rrënjët e të cilit janë:
a) x 1 = 5 - unë , x 2 = 5 + unë ; b) x 1 = 3unë , x 2 = - 3unë .
2030. Bëni një ekuacion kuadratik me koeficientë realë, një nga rrënjët e të cilit është (3 - unë ) (2unë - 4).
2031. Bëni një ekuacion kuadratik me koeficientë realë, njëra nga rrënjët e së cilës është e barabartë me 32 -
unë
1- 3unë
.
Le të punojmë me të ekuacionet kuadratike... Këto janë ekuacione shumë të njohura! Në formën e tij më të përgjithshme, ekuacioni kuadratik duket kështu:
Për shembull:
Këtu dhe =1; b = 3; c = -4
Këtu dhe =2; b = -0,5; c = 2,2
Këtu dhe =-3; b = 6; c = -18
Epo, ju merrni idenë ...
Si të zgjidhim ekuacionet kuadratike? Nëse keni një ekuacion kuadratik në këtë formë, atëherë gjithçka është tashmë e thjeshtë. Duke kujtuar fjalën magjike diskriminues ... Një nxënës i rrallë i shkollës së mesme nuk e ka dëgjuar këtë fjalë! Fraza “vendosja përmes diskriminuesit” është qetësuese dhe qetësuese. Sepse nuk ka nevojë të presim hile të ndyra nga diskriminuesi! Simpleshtë e thjeshtë dhe pa probleme për t’u përdorur. Pra, formula për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik duket si kjo:
Shprehja nën shenjën rrënjë është e njëjtë diskriminues... Siç mund ta shihni, për të gjetur x, ne përdorim vetëm a, b dhe c... Ata. koeficientët nga ekuacioni kuadratik. Thjesht zëvendësoni me kujdes vlerat a, b dhe c në këtë formulë dhe numërimin. Zëvendësues me shenjat tuaja! Për shembull, për ekuacionin e parë dhe =1; b = 3; c \u003d -4. Kështu që ne shkruajmë:
Shembulli është zgjidhur pothuajse:
Kjo eshte e gjitha.
Cilat raste janë të mundshme kur përdorni këtë formulë? Ka vetëm tre raste.
1. Diskriminuesi është pozitiv. Kjo do të thotë që ju mund të nxirrni rrënjën nga ajo. Rrënja e mirë është nxjerrë, ose e keqe - një pyetje tjetër. Shtë e rëndësishme ajo që nxirret në parim. Atëherë ekuacioni juaj kuadratik ka dy rrënjë. Dy zgjidhje të ndryshme.
2. Diskriminuesi është zero. Atëherë ju keni një zgjidhje. Duke folur në mënyrë rigoroze, kjo nuk është një rrënjë, por dy identike... Por kjo luan një rol në pabarazitë, atje ne do ta studiojmë çështjen në më shumë detaje.
3. Diskriminuesi është negativ. Asnjë rrënjë katrore nuk nxirret nga një numër negativ. Mirë, mirë Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.
Gjithçka është shumë e thjeshtë. Dhe çfarë mendoni se nuk mund të gaboni? Epo, po, si ...
Gabimet më të zakonshme janë konfuzioni me shenjat kuptimore. a, b dhe c... Përkundrazi, jo me shenjat e tyre (ku të hutoheni?), Por me zëvendësimin e vlerave negative në formulën për llogaritjen e rrënjëve. Këtu kursen një shënim i detajuar i formulës me numra specifik. Nëse ka probleme llogaritëse, bej keshtu!
Supozoni se duhet të zgjidhni këtë shembull:
Këtu a \u003d -6; b \u003d -5; c \u003d -1
Le të themi se e dini që rrallë merrni përgjigje herën e parë.
Epo, mos u tregoni dembel. Do të duhen 30 sekonda për të shkruar një rresht shtesë dhe numrin e gabimeve do të ulet ndjeshëm... Kështu që ne shkruajmë në detaje, me të gjitha kllapat dhe shenjat:
Duket tepër e vështirë të pikturosh me kaq kujdes. Por vetëm duket se është. Provoje. Epo, ose zgjidhni. Cila është më e mirë, e shpejtë, apo e drejtë? Përveç kësaj, unë do të të bëj të lumtur. Pas një kohe, nuk do të ketë nevojë për të pikturuar gjithçka me kaq kujdes. Do të funksionojë vetë. Sidomos nëse përdorni teknikat praktike të përshkruara më poshtë. Ky shembull i lig me një bandë të metash mund të zgjidhet lehtë dhe pa gabime!
Kështu që, si zgjidhen ekuacionet kuadratike ne kujtuam përmes diskriminuesit. Ose kanë mësuar, e cila gjithashtu nuk është e keqe. Di të identifikojë saktë a, b dhe c... Ju e dini se si me vemendje zëvendësojini ato në formulën rrënjë dhe me vemendje lexoni rezultatin. Ju merrni idenë se fjala kyçe këtu është me vemendje?
Sidoqoftë, ekuacionet kuadratike shpesh duken paksa të ndryshme. Për shembull, si kjo:
ajo ekuacionet e paplota kuadratike ... Ato gjithashtu mund të zgjidhen përmes diskriminuesit. Thjesht duhet të kuptoni saktë se me çfarë barazohen a, b dhe c.
A e keni kuptuar? Në shembullin e parë a \u003d 1; b \u003d -4; dhe c? Ai nuk është fare atje! Epo, po, ashtu është. Në matematikë, kjo do të thotë se c \u003d 0 ! Kjo eshte e gjitha. Zëvendësoni zero në formulë në vend të c, dhe ne do të kemi sukses. E njëjta gjë është me shembullin e dytë. Vetëm zero kemi këtu jo nga, dhe b !
Por ekuacionet e paplota kuadratike mund të zgjidhen shumë më lehtë. Pa asnjë diskriminues. Merrni parasysh ekuacionin e parë të paplotë. Çfarë mund të bësh atje në anën e majtë? Ju mund ta vendosni x-në në kllapa! Le ta nxjerrim.
Dhe çfarë nga kjo? Dhe fakti që produkti është i barabartë me zero nëse, dhe vetëm nëse, kur ndonjë nga faktorët është i barabartë me zero! Nuk me beson? Epo, atëherë mendo për dy numra jo-zero që, kur shumëzohen, do të japin zero!
Nuk punon? Kjo eshte ...
Prandaj, ne mund të shkruajmë me besim: x \u003d 0, ose x \u003d 4
Të gjitha Këto do të jenë rrënjët e ekuacionit tonë. Të dy përshtaten. Kur zëvendësojmë cilindo prej tyre në ekuacionin origjinal, ne marrim identitetin e saktë 0 \u003d 0. Siç mund ta shihni, zgjidhja është shumë më e thjeshtë sesa përmes diskriminuesit.
Ekuacioni i dytë gjithashtu mund të zgjidhet thjesht. Lëvizni 9 në anën e djathtë. Ne marrim:
Mbetet për të nxjerrë rrënjën nga 9, dhe kaq. Do të dalë:
Gjithashtu dy rrënjë ... x \u003d +3 dhe x \u003d -3.
Kështu zgjidhen të gjitha ekuacionet e paplota kuadratike. Ose duke vendosur x në kllapa, ose duke lëvizur thjesht numrin në të djathtë dhe pastaj duke nxjerrë rrënjën.
Extremelyshtë jashtëzakonisht e vështirë të ngatërrosh këto teknika. Thjesht sepse në rastin e parë do të duhet të nxirrni rrënjën nga x, e cila është disi e pakuptueshme, dhe në rastin e dytë nuk ka asgjë për të vënë nga kllapat ...
Tani për tani, merrni parasysh praktikat më të mira që do të zvogëlojnë në mënyrë drastike gabimet. Vetë ato për shkak të mosvëmendjes ... Për të cilat pastaj dhemb dhe fyen ...
Pritja e parë... Mos u tregoni dembel për ta sjellë atë në formën standarde përpara se të zgjidhni ekuacionin kuadratik. Çfarë do të thotë kjo?
Le të themi, pas disa transformimeve, keni marrë ekuacionin e mëposhtëm:
Mos nxitoni për të shkruar formulën rrënjë! Ju me siguri do të përzierni shanset. a, b dhe c Ndërtoni shembullin në mënyrë korrekte. Së pari, X është katror, \u200b\u200bpastaj pa katror, \u200b\u200bpastaj termi i lirë. Si kjo:
Dhe përsëri, mos nxitoni! Minusi përpara x-së në shesh mund të ju trishtojë shumë. Easyshtë e lehtë ta harrosh ... Heq qafe minusin. Si Po, siç mësohet në temën e mëparshme! Ju duhet të shumëzoni të gjithë ekuacionin me -1. Ne marrim:
Por tani mund të shkruani në mënyrë të sigurt formulën për rrënjët, të llogarisni diskriminuesin dhe të plotësoni shembullin. Beje vete. Ju duhet të keni rrënjët 2 dhe -1.
Pritja e së dytës. Kontrolloni rrënjët! Nga teorema e Vietës. Mos u shqetësoni, unë do të shpjegoj gjithçka! Po kontrollon gjëja e fundit ekuacioni. Ata. ai me të cilin kemi shkruar formulën për rrënjët. Nëse (si në këtë shembull) koeficienti a \u003d 1, kontrollimi i rrënjëve është i lehtë. Mjafton që t’i shumëzojmë. Ju duhet të merrni një anëtar falas, d.m.th. në rastin tonë, -2. Kushtojini vëmendje, jo 2, por -2! Anëtar i lirë me shenjën time
... Nëse nuk funksionoi, atëherë është dehur tashmë diku. Shikoni për një të metë. Nëse funksionon, duhet të palosni rrënjët. Kontrolli i fundit dhe i fundit. Ju duhet të merrni një koeficient b nga e kundërt
i njohur Në rastin tonë, -1 + 2 \u003d +1. Dhe koeficienti bqë është para x është -1. Pra, gjithçka është e saktë!
Ashtë për të ardhur keq që kjo është kaq e thjeshtë vetëm për shembuj ku x në katror është i pastër, me një koeficient a \u003d 1 Por të paktën në ekuacione të tilla, kontrolloni! Do të ketë më pak gabime.
Pritja e treta... Nëse keni koeficientë thyesorë në ekuacionin tuaj, hiqni qafe thyesat! Shumëzoni ekuacionin me emëruesin e përbashkët siç përshkruhet në seksionin e mëparshëm. Kur punoni me fraksione, për ndonjë arsye, gabimet priren të vijnë ...
Nga rruga, unë premtova të thjeshtoj shembullin e keq me një mori të këqijash. Je i mirepritur! Ja ku eshte.
Për të mos u hutuar në minuset, shumëzojmë ekuacionin me -1. Ne marrim:
Kjo eshte e gjitha! Ashtë kënaqësi të vendosësh!
Pra, për të përmbledhur temën.
Këshilla praktike:
1. Para zgjidhjes, ne sjellim ekuacionin kuadratik në formën standarde, ndërtojeni atë saktë.
2. Nëse ka një koeficient negativ përpara x në katror, \u200b\u200bne e eleminojmë atë duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me -1.
3. Nëse koeficientët janë thyesorë, ne eliminojmë thyesat duke shumëzuar të gjithë ekuacionin me faktorin e duhur.
4. Nëse x në katror është i pastër, koeficienti në të është i barabartë me një, zgjidhja mund të verifikohet lehtësisht nga teorema e Vieta-s. Beje!
Ekuacionet thyesore. ODZ.
Ne vazhdojmë të përvetësojmë ekuacionet. Ne tashmë dimë si të punojmë me ekuacione lineare dhe kuadratike. Vështrimi i fundit mbetet - ekuacionet thyesore... Ose ato quhen gjithashtu shumë më solide - ekuacione racionale thyesore... Kjo është e njëjta gjë.
Ekuacionet thyesore.
Siç nënkupton vetë emri, thyesat janë gjithmonë të pranishme në këto ekuacione. Por jo vetëm thyesat, por thyesat që kanë i panjohur në emërues... Të paktën një. Për shembull:
Më lejoni t'ju kujtoj se nëse emëruesit përmbajnë vetëm numrat, këto janë ekuacione lineare.
Si të zgjidhet ekuacionet thyesore? Para së gjithash, hiqni qafe fraksionet! Pas kësaj, ekuacioni, më së shpeshti, kthehet në linear ose kuadratik. Dhe atëherë ne e dimë se çfarë të bëjmë ... Në disa raste, ai mund të kthehet në një identitet, të tillë si 5 \u003d 5, ose një shprehje të pasaktë, të tilla si 7 \u003d 2. Por kjo rrallë ndodh. Do ta përmend këtë më poshtë.
Por si të shpëtojmë nga fraksionet!? Shume e thjeshte. Zbatimi i të gjitha transformimeve të njëjta identike.
Ne duhet të shumëzojmë të gjithë ekuacionin me të njëjtën shprehje. Kështu që të gjithë emëruesit zvogëlohen! Gjithçka do të bëhet më e lehtë menjëherë. Më lejoni të shpjegoj me një shembull. Supozoni se duhet të zgjidhim ekuacionin:
Si keni dhënë mësim në klasat e ulëta? Ne transferojmë gjithçka në një drejtim, sjellim në një emërues të përbashkët, etj. Harrojeni si një ëndërr të keqe! Kjo duhet të bëhet kur shtoni ose zbritni shprehje thyesore. Ose duke punuar me pabarazi. Dhe në ekuacione, ne menjëherë i shumëzojmë të dy palët me një shprehje që do të na japë mundësinë për të zvogëluar të gjithë emëruesit (d.m.th., në thelb, me një emërues të përbashkët). Dhe cila është kjo shprehje?
Në të majtë, shumëzuar me x + 2 ... Dhe në të djathtë, kërkohet shumëzimi me 2. Prandaj, ekuacioni duhet të shumëzohet me 2 (x + 2)... Ne shumëzojmë:
Ky është shumëzimi i zakonshëm i thyesave, por unë do ta shkruaj atë në detaje:
Ju lutem vini re se nuk po e zgjeroj akoma kllapat. (x + 2)! Kështu që, në tërësinë e saj, unë e shkruaj atë:
Në të majtë, ajo zvogëlohet tërësisht (x + 2), dhe në të djathtën 2. Cila kërkohet! Pas zvogëlimit, marrim lineare ekuacioni:
Dhe të gjithë do ta zgjidhin këtë ekuacion! x \u003d 2.
Le të zgjidhim një shembull më shumë, pak më të komplikuar:
Nëse kujtojmë se 3 \u003d 3/1, dhe 2x \u003d 2x /1, ju mund të shkruani:
Dhe përsëri ne heqim qafe atë që nuk na pëlqen vërtet - fraksionet.
Shohim që për të anuluar emëruesin me x, duhet të shumëzosh thyesën me (x - 2)... Disa nuk janë pengesë për ne. Epo, ne shumëfishohemi. E gjitha anën e majtë dhe e gjitha ana e djathtë:
Përsëri kllapa (x - 2) Unë nuk bëj të ditur. Unë punoj me kllapat në tërësi, sikur të ishte një numër! Kjo duhet të bëhet gjithmonë, përndryshe asgjë nuk do të zvogëlohet.
Me një ndjenjë kënaqësie të thellë, ne prerë (x - 2) dhe ne e marrim ekuacionin pa asnjë thyesë, në një vizore!
Dhe tani ne hapim kllapat:
Ne japim të ngjashëm, transferojmë gjithçka në anën e majtë dhe marrim:
Ekuacioni klasik katror. Por minusi përpara nuk është i mirë. Gjithmonë mund ta heqësh qafe, duke shumëzuar ose pjesëtuar me -1. Por nëse shikoni nga afër shembullin, do të vini re se është më mirë të ndani këtë ekuacion me -2! Në një goditje të shpejtë, minusi do të zhduket dhe shanset do të bëhen më të bukura! Ndani me -2. Në të majtë - term me term dhe në të djathtë - thjesht ndani zero me -2, zero dhe merrni:
Ne zgjidhim përmes diskriminuesit dhe kontrollojmë nga teorema e Vieta-s. Ne marrim x \u003d 1 dhe x \u003d 3... Dy rrënjë.
Siç mund ta shihni, në rastin e parë, ekuacioni pas transformimit u bë linear, por këtu është kuadratik. Ndodh kështu që pasi të hiqni qafe fraksionet, të gjitha xes-et zvogëlohen. Mbetet diçka si 5 \u003d 5. Do të thotë se x mund të jetë çdo... Çfarëdo që të jetë, ai përsëri do të tkurret. Dhe ju merrni të vërtetën e sinqertë, 5 \u003d 5. Por, pasi të hiqni qafe fraksionet, mund të rezultojë të jetë plotësisht e pavërtetë, si 2 \u003d 7. Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje! Me çdo x, rezulton të jetë një gënjeshtër.
Realizuar zgjidhjen kryesore ekuacionet thyesore? Simpleshtë e thjeshtë dhe logjike. Ne ndryshojmë shprehjen origjinale në mënyrë që gjithçka që nuk na pëlqen të zhduket. Apo ndërhyn. Në këtë rast, këto janë thyesa. Ne do të bëjmë të njëjtën gjë me të gjitha llojet e shembujve kompleksë me logaritme, sinuse dhe tmerre të tjera. ne eshte gjithmone ne do të heqim qafe të gjitha këto.
Sidoqoftë, duhet të ndryshojmë shprehjen origjinale në drejtimin që na nevojitet. sipas rregullave, po ... Masterimi që është përgatitje për provimin në matematikë. Pra, ne e zotërojmë atë.
Tani do të mësojmë se si të anashkalojmë një nga pritat kryesore në provim! Por së pari, le të shohim nëse ju merrni në të, apo jo?
Le të shohim një shembull të thjeshtë:
Çështja është tashmë e njohur, ne i shumëzojmë të dy pjesët me (x - 2), ne marrim:
Ju kujtoj, me kllapa (x - 2) ne punojmë si me një shprehje të tërë!
Këtu nuk shkruaja më 1 në emërues, është i padenjuar ... Dhe nuk vendosa kllapa në emërues, përveç x - 2 nuk ka asgjë, nuk keni pse të vizatoni. Ne shkurtojmë:
Ne hapim kllapa, lëvizim gjithçka në të majtë, japim të ngjashme:
Ne zgjidhim, kontrollojmë, kemi dy rrënjë. x \u003d 2 dhe x \u003d 3... Gjobë
Supozoni se detyra thotë të shkruani rrënjën, ose shumën e tyre, nëse ka më shumë se një rrënjë. Çfarë do të shkruajmë?
Nëse vendosni që përgjigja është 5, ju ishin në pritë... Dhe detyra nuk do të llogaritet për ju. Duke punuar kot ... Përgjigje e saktë 3.
Per Cfarë bëhet fjalë?! Dhe ju përpiqeni të bëni një kontroll. Zëvendësoni vlerat e së panjohurës në origjinale shembull. Dhe nëse në x \u003d 3 gjithçka do të rritet së bashku mrekullisht me ne, ne marrim 9 \u003d 9, pastaj me x \u003d 2 pjesëtimi me zero! Çfarë nuk mund të bëhet kategorikisht. Do të thotë x \u003d 2 nuk është zgjidhje dhe nuk merret parasysh në përgjigje. Kjo është e ashtuquajtura rrënjë e jashtme ose shtesë. Thjesht e lëshojmë. Rrënja përfundimtare është një. x \u003d 3.
Si keshtu ?! - Dëgjoj pasthirrma të indinjuara. Na mësuan se një ekuacion mund të shumëzohet me një shprehje! Ky është një transformim identik!
Po, identike. Me një kusht të vogël - shprehja me të cilën ne shumëzojmë (ndajmë) - jo zero... DHE x - 2 në x \u003d 2 është e barabartë me zero! Pra, gjithçka është e drejtë.
Dhe tani çfarë mund të bëj ?! Mos shumëzoni me shprehje? A duhet të kontrolloni çdo herë? Përsëri nuk është e qartë!
Qetësohu! Mos u tremb!
Në këtë situatë të vështirë, tre letra magjike do të na shpëtojnë. Unë e di se çfarë jeni duke menduar. Saktë! ajo ODZ ... Gama e vlerave të lejuara.
Shpresoj që, pasi të studioni këtë artikull, do të mësoni se si të gjeni rrënjët e një ekuacioni të plotë kuadratik.
Duke përdorur diskriminuesin, zgjidhen vetëm ekuacionet e plota kuadratike, përdoren metoda të tjera për të zgjidhur ekuacionet jo të plota kuadratike, të cilat do t'i gjeni në artikullin "Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota".
Cilat ekuacione kuadratike quhen të plota? ajo ekuacionet e formës ax 2 + b x + c \u003d 0, ku koeficientët a, b dhe c nuk janë të barabartë me zero. Pra, për të zgjidhur ekuacionin e plotë kuadratik, duhet të llogaritni diskriminuesin D.
D \u003d b 2 - 4ac.
Në varësi të asaj vlere që ka diskriminuesi, ne do të shkruajmë përgjigjen.
Nëse diskriminuesi është negativ (D< 0),то корней нет.
Nëse diskriminuesi është zero, atëherë x \u003d (-b) / 2a. Kur diskriminuesi është një numër pozitiv (D\u003e 0),
atëherë x 1 \u003d (-b - √D) / 2a, dhe x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.
Për shembull. Zgjidh ekuacionin x 2 - 4x + 4 \u003d 0.
D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0
x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2
Përgjigje: 2.
Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + x + 3 \u003d 0.
D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23
Përgjigje: pa rrënjë.
Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + 5x - 7 \u003d 0.
D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81
x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5
x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1
Përgjigje: - 3.5; një.
Pra, le të përfaqësojmë zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike nga skema në Figurën 1.
Këto formula mund të përdoren për të zgjidhur çdo ekuacion të plotë kuadratik. Thjesht duhet të keni kujdes për ta siguruar këtë ekuacioni u shkrua si një polinom standard
dhe x 2 + bx + c, përndryshe, ju mund të bëni një gabim. Për shembull, duke shkruar ekuacionin x + 3 + 2x 2 \u003d 0, mund të vendosni gabimisht që
a \u003d 1, b \u003d 3 dhe c \u003d 2. Pastaj
D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 dhe atëherë ekuacioni ka dy rrënjë. Dhe kjo nuk është e vërtetë. (Shih zgjidhjen për shembullin 2 më lart).
Prandaj, nëse ekuacioni nuk shkruhet si polinom i formës standarde, së pari ekuacioni i plotë katror duhet të shkruhet si polinom i formës standarde (në radhë të parë duhet të jetë monomi me eksponentin më të madh, d.m.th. dhe x 2 , pastaj me më pak – bxdhe pastaj një anëtar i lirë nga
Kur zgjidhet një ekuacion kuadratik i reduktuar dhe një ekuacion kuadratik me një koeficient çift në termin e dytë, mund të përdoren edhe formula të tjera. Le t'i njohim edhe këto formula. Nëse në ekuacionin e plotë kuadratik me termin e dytë koeficienti është i barabartë (b \u003d 2k), atëherë ekuacioni mund të zgjidhet duke përdorur formulat e treguara në diagramin në figurën 2.
Një ekuacion i plotë kuadratik quhet i zvogëluar nëse koeficienti në x 2 është e barabartë me një dhe ekuacioni merr formën x 2 + px + q \u003d 0... Një ekuacion i tillë mund të jepet për zgjidhjen, ose merret duke pjesëtuar të gjithë koeficientët e ekuacionit me koeficientin dheduke qëndruar në x 2 .
Figura 3 tregon një skemë për zgjidhjen e katrorit të zvogëluar 
ekuacionet. Le të shohim një shembull të zbatimit të formulave të diskutuara në këtë artikull.
Shembull. Zgjidh ekuacionin
3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.
Le të zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formulat e treguara në diagramin në Figurën 1.
D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108
√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3
x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3
Përgjigje: -1 - √3; –1 + √3
Mund të vërehet se koeficienti në x në këtë ekuacion është një numër çift, domethënë b \u003d 6 ose b \u003d 2k, prej nga k \u003d 3. Atëherë do të përpiqemi të zgjidhim ekuacionin duke përdorur formulat e treguara në diagramin në figura D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6) \u003d 9 + 18 \u003d 27
√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3
x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3
Përgjigje: -1 - √3; –1 + √3... Duke vërejtur që të gjithë koeficientët në këtë ekuacion kuadratik ndahen me 3 dhe pjesëtimi duke kryer, ne marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Zgjidh këtë ekuacion duke përdorur formulat për katrorin e zvogëluar 
ekuacionet Figura 3.
D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12
√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3
x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3
Përgjigje: -1 - √3; –1 + √3.
Siç mund ta shihni, kur zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formula të ndryshme, morëm të njëjtën përgjigje. Prandaj, duke zotëruar mirë formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1, gjithmonë mund të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik.
blog, faqe, me kopjimin e plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.