Zgjidhja e ekuacioneve me sinus. Sinusi (sin x) dhe kosinusi (cos x) - vetitë, grafikët, formulat

Koncepti i zgjidhjes së ekuacioneve trigonometrike.

Për të zgjidhur një ekuacion trigonometrik, shndërrojeni atë në një ose më shumë ekuacione trigonometrike bazë. Zgjidhja e një ekuacioni trigonometrik përfundimisht zbret në zgjidhjen e katër ekuacioneve bazë trigonometrike.

Zgjidhja e ekuacioneve bazë trigonometrike.

Ekzistojnë 4 lloje të ekuacioneve bazë trigonometrike:
sin x = a; cos x = a
tg x = a; ctg x = a
Zgjidhja e ekuacioneve bazë trigonometrike përfshin shikimin e pozicioneve të ndryshme x në rrethin e njësisë dhe përdorimin e një tabele konvertimi (ose kalkulator).
Shembulli 1.sin x = 0.866. Duke përdorur një tabelë konvertimi (ose kalkulator), ju merrni përgjigjen: x = π / 3. Rrethi i njësisë jep një përgjigje tjetër: 2π / 3. Mos harroni: të gjitha funksionet trigonometrike janë periodike, domethënë, vlerat e tyre përsëriten. Për shembull, periodiciteti i sin x dhe cos x është 2πn, dhe periodiciteti i tg x dhe ctg x është πn. Prandaj, përgjigja shkruhet si më poshtë:
x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
Shembulli 2.cos x = -1/2. Duke përdorur një tabelë konvertimi (ose kalkulator), ju merrni përgjigjen: x = 2π / 3. Rrethi i njësisë jep një përgjigje tjetër: -2π / 3.
x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
Shembulli 3.tg (x - π / 4) = 0.
Përgjigje: x = π / 4 + πn.
Shembulli 4. ctg 2x = 1.732.
Përgjigje: x = π / 12 + πn.

Transformimet e përdorura për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

Për të transformuar ekuacionet trigonometrike përdoren shndërrimet algjebrike (faktorizimi, reduktimi i termave homogjenë etj.) dhe identitetet trigonometrike.
Shembulli 5. Duke përdorur identitetet trigonometrike, ekuacioni sin x + sin 2x + sin 3x = 0 shndërrohet në ekuacionin 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Kështu, ju duhet të zgjidhni ekuacionet e mëposhtme trigonometrike: cos x = 0; mëkat (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
Gjetja e këndeve nga vlerat e njohura të funksioneve.
- Para se të mësoni metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike, duhet të mësoni se si të gjeni kënde nga vlerat e njohura të funksioneve. Kjo mund të bëhet duke përdorur një tabelë konvertimi ose kalkulator.
- Shembull: cos x = 0,732. Llogaritësi do të japë përgjigjen x = 42,95 gradë. Rrethi i njësisë do të japë kënde shtesë, kosinusi i të cilit është gjithashtu 0,732.
Lëreni tretësirën mënjanë në rrethin e njësisë.
- Ju mund t'i shtyni zgjidhjet e ekuacionit trigonometrik në rrethin e njësisë. Zgjidhjet e ekuacionit trigonometrik në rrethin njësi paraqesin kulmet e një shumëkëndëshi të rregullt.
- Shembull: Zgjidhjet x = π / 3 + πn / 2 në rrethin njësi janë kulmet e një katrori.
- Shembull: Zgjidhjet x = π / 4 + πn / 3 në rrethin njësi paraqesin kulmet e një gjashtëkëndëshi të rregullt.
Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.
- Nëse një ekuacion i caktuar trig përmban vetëm një funksion trig, zgjidheni atë ekuacion si ekuacion bazë trig. Nëse një ekuacion i caktuar përfshin dy ose më shumë funksione trigonometrike, atëherë ekzistojnë 2 metoda për zgjidhjen e një ekuacioni të tillë (në varësi të mundësisë së transformimit të tij).
  - Metoda 1.
- Kthejeni këtë ekuacion në një ekuacion të formës: f (x) * g (x) * h (x) = 0, ku f (x), g (x), h (x) janë ekuacionet bazë trigonometrike.
- Shembulli 6.2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Zgjidhje. Duke përdorur formulën e këndit të dyfishtë sin 2x = 2 * sin x * cos x, zëvendësoni sin 2x.
- 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Tani zgjidhni dy ekuacionet bazë trigonometrike: cos x = 0 dhe (sin x + 1) = 0.
- Shembulli 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Zgjidhje: Duke përdorur identitete trigonometrike, transformojeni këtë ekuacion në një ekuacion të formës: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Tani zgjidhni dy ekuacionet bazë trigonometrike: cos 2x = 0 dhe (2cos x + 1) = 0.
- Shembulli 8.sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Zgjidhja: Duke përdorur identitetet trigonometrike, transformojeni këtë ekuacion në një ekuacion të formës: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Tani zgjidhni dy ekuacionet bazë trigonometrike: cos 2x = 0 dhe (2sin x + 1) = 0 .
  - Metoda 2.
- Shndërroni ekuacionin e dhënë trigonometrik në një ekuacion që përmban vetëm një funksion trigonometrik. Pastaj zëvendësoni këtë funksion trigonometrik me disa të panjohura, për shembull, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, etj.).
- Shembulli 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Zgjidhje. Në këtë ekuacion, zëvendësoni (cos ^ 2 x) me (1 - sin ^ 2 x) (sipas identitetit). Ekuacioni i transformuar është:
- 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Zëvendëso sin x me t. Ekuacioni tani duket kështu: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Ky është një ekuacion kuadratik me dy rrënjë: t1 = -1 dhe t2 = 9/5. Rrënja e dytë t2 nuk plotëson gamën e vlerave të funksionit (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Shembulli 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
- Zgjidhje. Zëvendësoni tg x me t. Rishkruajeni ekuacionin origjinal si më poshtë: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Tani gjeni t dhe më pas gjeni x për t = tg x.

Ju mund të porosisni një zgjidhje të detajuar për problemin tuaj !!!

Një barazi që përmban një të panjohur nën shenjën e një funksioni trigonometrik (`sin x, cos x, tan x` ose` ctg x`) quhet ekuacion trigonometrik, dhe ne do t'i shqyrtojmë formulat e tyre më tej.

Ekuacionet më të thjeshta quhen `sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a`, ku` x` është këndi që duhet gjetur, `a` është çdo numër. Le të shkruajmë formulat rrënjë për secilën prej tyre.

1. Ekuacioni `sin x = a`.

Për `| a |> 1` nuk ka zgjidhje.

Për `| një | \ leq 1` ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Formula e rrënjës: `x = (- 1) ^ n harksin a + \ pi n, n \ në Z`

2. Ekuacioni `cos x = a`

Për `| a |> 1` - si në rastin e sinusit, ai nuk ka zgjidhje midis numrave realë.

Për `| një | \ leq 1` ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Formula e rrënjës: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ në Z`

Raste të veçanta për sinusin dhe kosinusin në grafikë.

3. Ekuacioni `tg x = a`

Ka një numër të pafund zgjidhjesh për çdo vlerë të `a`.

Formula e rrënjës: `x = arctan a + \ pi n, n \ në Z`

4. Ekuacioni `ctg x = a`

Gjithashtu ka një numër të pafund zgjidhjesh për çdo vlerë të `a`.

Formula e rrënjës: `x = arcctg a + \ pi n, n \ në Z`

Formulat për rrënjët e ekuacioneve trigonometrike në një tabelë

Për sinusin:
Për kosinusin:
Për tangjenten dhe kotangjenten:
Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve që përmbajnë funksione trigonometrike të anasjellta:

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike

Zgjidhja e çdo ekuacioni trigonometrik përbëhet nga dy faza:

duke përdorur konvertimin e tij në më të thjeshtën;
zgjidhni ekuacionin më të thjeshtë që rezulton duke përdorur formulat dhe tabelat e mësipërme të rrënjës.

Le të shohim shembujt e metodave kryesore të zgjidhjes.

Metoda algjebrike.

Në këtë metodë bëhet zëvendësimi i variablave dhe zëvendësimi në barazi.

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0`

`2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0`,

ne bëjmë ndryshimin: `cos (x + \ frac \ pi 6) = y`, pastaj` 2y ^ 2-3y + 1 = 0`,

gjejmë rrënjët: `y_1 = 1, y_2 = 1 / 2`, prej nga pasojnë dy raste:

1.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`, `x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`,` x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

2.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1 / 2`, `x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Përgjigje: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Faktorizimi.

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `sin x + cos x = 1`.

Zgjidhje. Zhvendosni të gjithë termat e barazisë majtas: `sin x + cos x-1 = 0`. Përdorimi, transformimi dhe faktorizimi i anës së majtë:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 = 0`,

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 = 0`,

`2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0`,

`sin x / 2 = 0`,` x / 2 = \ pi n`, `x_1 = 2 \ pi n`.
`cos x / 2-sin x / 2 = 0`,` tg x / 2 = 1`, `x / 2 = arctan 1+ \ pi n`,` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n` , `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

Përgjigje: `x_1 = 2 \ pi n`,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

Reduktimi në një ekuacion homogjen

Së pari, ju duhet ta sillni këtë ekuacion trigonometrik në një nga dy llojet:

`a sin x + b cos x = 0` (ekuacion homogjen i shkallës së parë) ose` një sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (ekuacion homogjen i shkallës së dytë).

Pastaj ndajini të dyja pjesët me `cos x \ ne 0` - për rastin e parë, dhe me` cos ^ 2 x \ ne 0` - për të dytën. Ne marrim ekuacione për `tg x`:` a tg x + b = 0` dhe `a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0`, të cilat duhet të zgjidhen me metoda të njohura.

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`.

Zgjidhje. Rishkruajeni anën e djathtë si `1 = mëkat ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x =` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -` `sin ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`.

Ky është një ekuacion homogjen trigonometrik i shkallës së dytë, ne ndajmë anët e tij të majta dhe të djathta me "cos ^ 2 x \ ne 0", marrim:

`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. Ne prezantojmë zëvendësimin `tg x = t`, si rezultat,` t ^ 2 + t - 2 = 0`. Rrënjët e këtij ekuacioni janë `t_1 = -2` dhe` t_2 = 1`. Pastaj:

`tg x = -2`,` x_1 = arctg (-2) + \ pi n`, `n \ në Z`
`tg x = 1`,` x = arctan 1+ \ pi n`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ në Z`.

Përgjigju. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n`,` n \ në Z`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ në Z`.

Shkon në gjysmë qoshe

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Zgjidhje. Zbato formulat e këndit të dyfishtë, si rezultat: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 = 0`

Duke zbatuar metodën algjebrike të mësipërme, marrim:

`tg x / 2 = 2`,` x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n`, `n \ në Z`,
`tg x / 2 = 3 / 4`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ në Z`.

Përgjigju. `x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n, n \ në Z`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ në Z`.

Prezantimi i një këndi ndihmës

Në ekuacionin trigonometrik `a sin x + b cos x = c`, ku a, b, c janë koeficientë, dhe x është një ndryshore, ne i ndajmë të dy anët me` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

`\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x = '' \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) `.

Koeficientët në anën e majtë kanë vetitë e sinusit dhe kosinusit, domethënë, shuma e katrorëve të tyre është e barabartë me 1 dhe vlerat e tyre absolute nuk janë më të mëdha se 1. Le t'i shënojmë si më poshtë: `\ frac a (sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2)) = cos \ varphi` , `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi`,` \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = C`, pastaj:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.

Le të hedhim një vështrim më të afërt në shembullin e mëposhtëm:

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `3 sin x + 4 cos x = 2`.

Zgjidhje. Ndani të dy anët e barazisë me `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, marrim:

`\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) = '' \ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 mëkat x + 4/5 cos x = 2/5`.

Le të shënojmë `3/5 = cos \ varphi`,` 4/5 = sin \ varphi`. Meqenëse `sin \ varphi> 0`,` cos \ varphi> 0`, atëherë marrim `\ varphi = arcsin 4 / 5` si një kënd ndihmës. Pastaj shkruajmë barazinë tonë në formën:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2 / 5`

Duke zbatuar formulën për shumën e këndeve për sinusin, ne shkruajmë barazinë tonë në formën e mëposhtme:

`sin (x + \ varphi) = 2 / 5`,

`x + \ varphi = (- 1) ^ n hark 2/5 + \ pi n`,` n \ në Z`,

`x = (- 1) ^ n hark 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ në Z`.

Përgjigju. `x = (- 1) ^ n hark 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ në Z`.

Ekuacionet trigonometrike thyesore-racionale

Këto janë barazime me thyesa me funksione trigonometrike në numërues dhe emërues.

Shembull. Zgjidhe ekuacionin. `\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.

Zgjidhje. Shumëzoni dhe pjesëtoni anën e djathtë të barazisë me `(1 + cos x)`. Si rezultat, marrim:

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

`\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

Duke marrë parasysh që emëruesi nuk mund të jetë i barabartë me zero, marrim `1 + cos x \ ne 0`,` cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ në Z`.

Barazoni numëruesin e thyesës me zero: `sin x-sin ^ 2 x = 0`,` sin x (1-sin x) = 0`. Pastaj `sin x = 0` ose` 1-sin x = 0`.

`sin x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ në Z`
`1-sin x = 0`,` sin x = -1`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ në Z`.

Duke marrë parasysh se `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ në Z`, zgjidhjet janë` x = 2 \ pi n, n \ në Z` dhe `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n` , `n \ në Z`.

Përgjigju. `x = 2 \ pi n`,` n \ në Z`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`,` n \ në Z`.

Trigonometria, dhe ekuacionet trigonometrike në veçanti, përdoren pothuajse në të gjitha fushat e gjeometrisë, fizikës, inxhinierisë. Studimi fillon në klasën e 10, ka patjetër detyra për provim, kështu që përpiquni të mbani mend të gjitha formulat e ekuacioneve trigonometrike - ato patjetër do t'ju vijnë në ndihmë!

Sidoqoftë, as nuk keni nevojë t'i mësoni përmendësh, gjëja kryesore është të kuptoni thelbin dhe të jeni në gjendje t'i nxirrni ato. Nuk është aq e vështirë sa duket. Shiheni vetë duke shikuar videon.

Ekuacionet trigonometrike nuk janë tema më e lehtë. Me dhimbje, ato janë të ndryshme.) Për shembull, sa vijon:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Etj...

Por këto (dhe të gjithë të tjerët) përbindësha trigonometrikë kanë dy karakteristika të përbashkëta dhe të detyrueshme. E para - nuk do ta besoni - ka funksione trigonometrike në ekuacione.) Së dyti: gjenden të gjitha shprehjet me x brenda këtyre funksioneve të njëjta. Dhe vetëm atje! Nëse x shfaqet diku jashtë, për shembull, sin2x + 3x = 3, ky tashmë do të jetë një ekuacion i tipit të përzier. Ekuacione të tilla kërkojnë një qasje individuale. Ne nuk do t'i konsiderojmë ato këtu.

Ekuacionet e liga nuk do të zgjidhim as në këtë mësim.) Këtu do të merremi ekuacionet më të thjeshta trigonometrike. Pse? Po, sepse zgjidhja ndonjë ekuacionet trigonometrike kanë dy faza. Në fazën e parë, ekuacioni i së keqes reduktohet në një të thjeshtë me anë të transformimeve të ndryshme. Në të dytën, zgjidhet ky ekuacion më i thjeshtë. Asnjë rrugë tjetër.

Pra, nëse në fazën e dytë keni probleme, faza e parë nuk ka shumë kuptim.)

Si duken ekuacionet elementare trigonometrike?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Këtu a tregon çdo numër. Kushdo.

Nga rruga, brenda funksionit mund të mos ketë një x të pastër, por një lloj shprehjeje, si p.sh.

cos (3x + π / 3) = 1/2

etj. Kjo e ndërlikon jetën, por nuk ndikon në metodën e zgjidhjes së ekuacionit trigonometrik.

Si të zgjidhim ekuacionet trigonometrike?

Ekuacionet trigonometrike mund të zgjidhen në dy mënyra. Mënyra e parë: duke përdorur logjikën dhe rrethin trigonometrik. Ne do ta konsiderojmë këtë rrugë këtu. Mënyra e dytë - përdorimi i kujtesës dhe formulave - do të diskutohet në mësimin tjetër.

Mënyra e parë është e qartë, e besueshme dhe e vështirë për t'u harruar.) Është e mirë për të zgjidhur ekuacionet trigonometrike, pabarazitë dhe të gjitha llojet e shembujve të ndërlikuar jo standarde. Logjika është më e fortë se kujtesa!)

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur rrethin trigonometrik.

Ne përfshijmë logjikën elementare dhe aftësinë për të përdorur rrethin trigonometrik. Nuk mundesh!? Megjithatë ... Është e vështirë për ju në trigonometri ...) Por kjo nuk ka rëndësi. Hidhini një sy mësimeve "Rrethi trigonometrik ...... Çfarë është?" dhe "Numërimi i këndeve në një rreth trigonometrik". Gjithçka është e thjeshtë atje. Ndryshe nga mësimet ...)

Oh, e dini!? Dhe madje zotëroni "Punë praktike me rrethin trigonometrik" !? urime. Kjo temë do të jetë e afërt dhe e kuptueshme për ju.) Ajo që është veçanërisht e këndshme, rrethit trigonometrik nuk i intereson se cilin ekuacion do të zgjidhni. Sinus, kosinus, tangent, kotangjent - gjithçka është një për të. Ekziston vetëm një parim i zgjidhjes.

Pra marrim çdo ekuacion elementar trigonometrik. Të paktën kjo:

cosx = 0,5

Unë duhet të gjej X. Në aspektin njerëzor, keni nevojë gjeni këndin (x), kosinusi i të cilit është 0,5.

Si e përdorëm rrethin më herët? Ne vizatuam një qoshe mbi të. Në gradë ose radiane. Dhe menjëherë parë funksionet trigonometrike të këtij këndi. Tani le të bëjmë të kundërtën. Le të vizatojmë një kosinus të barabartë me 0,5 në rreth dhe menjëherë Shiko injeksion. Mbetet vetëm të shkruajmë përgjigjen.) Po, po!

Vizatoni një rreth dhe shënoni një kosinus 0,5. Në boshtin kosinus, natyrisht. Si kjo:

Tani le të vizatojmë këndin që na jep ky kosinus. Lëvizni kursorin e miut mbi vizatim (ose prekni figurën në tablet) dhe Shiko pikërisht ky kënd NS.

Cili kënd është kosinusi 0,5?

x = π / 3

cos 60 °= kosto ( π / 3) = 0,5

Dikush do të qeshë skeptikisht, po ... Ata thonë, a ia vlente rrethi, kur gjithçka është tashmë e qartë ... Ju, sigurisht, mund të qeshni ...) Por fakti është se kjo është një përgjigje e gabuar. Ose më mirë, e pamjaftueshme. Ekspertët e rrethit kuptojnë se këtu ka ende një grup të tërë këndesh, të cilat gjithashtu japin një kosinus të barabartë me 0.5.

Nëse ktheni anën e lëvizshme të OA kthesë e plotë, pika A do të kthehet në pozicionin e saj origjinal. Me të njëjtin kosinus të barabartë me 0,5. ato. këndi do të ndryshojë 360 ° ose 2π radiane, dhe kosinusi nuk është. Këndi i ri 60 ° + 360 ° = 420 ° do të jetë gjithashtu zgjidhja e ekuacionit tonë, pasi

Ju mund të bëni një numër të pafund kthesash të tilla të plota ... Dhe të gjitha këto kënde të reja do të jenë zgjidhje për ekuacionin tonë trigonometrik. Dhe të gjitha ato duhet të shkruhen disi si përgjigje. Gjithçka. Përndryshe, vendimi nuk llogaritet, po ...)

Matematika di ta bëjë këtë në një mënyrë të thjeshtë dhe elegante. Në një përgjigje të shkurtër, shkruani set pafund Zgjidhjet. Kjo është se si duket për ekuacionin tonë:

x = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Unë do të deshifroj. Ende shkruani kuptimplotë më e këndshme sesa të vizatosh marrëzisht disa shkronja misterioze, apo jo?)

π / 3 - ky është i njëjti kënd që ne pa në rreth dhe identifikuar sipas tabelës së kosinusit.

2π është një revolucion i plotë në radian.

n është numri i plotë, d.m.th. e tërë revolucionet. Është e qartë se n mund të jetë 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... e kështu me radhë. Siç tregohet nga një shënim i shkurtër:

n ∈ Z

n i takon ( ∈ ) në bashkësinë e numrave të plotë ( Z ). Meqë ra fjala, në vend të letrës n shkronjat mund të përdoren mirë k, m, t etj.

Kjo hyrje do të thotë që ju mund të merrni çdo të tërë n ... Të paktën -3, të paktën 0, të paktën +55. Cfare do. Nëse e lidhni atë numër në përgjigje, do të merrni një kënd specifik që me siguri do të jetë zgjidhja e ekuacionit tonë të ashpër.)

Ose, me fjalë të tjera, x = π / 3 është rrënja e vetme e grupit të pafund. Për të marrë të gjitha rrënjët e tjera, mjafton të shtoni çdo numër rrotullimesh të plota në π / 3 ( n ) në radiane. ato. 2π n radian.

Gjithçka? Nr. E zgjas qëllimisht kënaqësinë. Për ta mbajtur mend më mirë.) Ne morëm vetëm një pjesë të përgjigjeve të ekuacionit tonë. Unë do ta shkruaj këtë pjesë të parë të zgjidhjes si më poshtë:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - jo një rrënjë, është një seri e tërë rrënjësh, të shkruara në formë të shkurtër.

Por ka edhe kënde që japin edhe kosinus 0.5!

Le të kthehemi te fotografia jonë, e cila u përdor për të shkruar përgjigjen. Atje ajo është:

Zhvendosni miun mbi foto dhe Shiko një kënd tjetër që jep gjithashtu një kosinus prej 0.5. Me çfarë mendoni se është e barabartë? Trekëndëshat janë të njëjtë ... Po! Është e barabartë me këndin NS është kthyer vetëm në drejtim negativ. Ky është këndi -NS. Por ne kemi kuptuar tashmë x. π / 3 ose 60 °. Prandaj, mund të shkruajmë me siguri:

x 2 = - π / 3

Epo, dhe, natyrisht, shtoni të gjitha këndet që përftohen përmes rrotullimeve të plota:

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Tani kjo është ajo.) Në rrethin trigonometrik, ne pa(kush e kupton, sigurisht)) të gjitha kënde që japin një kosinus të barabartë me 0,5. Dhe ata i shkruan këto kënde në formë të shkurtër matematikore. Përgjigja prodhoi dy seri të pafundme rrënjësh:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Kjo është përgjigja e saktë.

Shpresa, parim i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike përdorimi i një rrethi është i qartë. Shënojmë në rreth kosinusin (sinusin, tangjentën, kotangjenten) nga ekuacioni i dhënë, vizatojmë këndet që i përgjigjen dhe shkruajmë përgjigjen. Sigurisht, ju duhet të kuptoni se çfarë lloj qoshe jemi pa në rreth. Ndonjëherë nuk është aq e qartë. Epo, siç thashë, logjika kërkohet këtu.)

Për shembull, le të analizojmë një ekuacion tjetër trigonometrik:

Ju lutemi vini re se numri 0.5 nuk është i vetmi numër i mundshëm në ekuacione!) Është më i përshtatshëm për mua ta shkruaj atë sesa rrënjët dhe thyesat.

Ne punojmë sipas parimit të përgjithshëm. Vizatoni një rreth, shënoni (në boshtin e sinusit, sigurisht!) 0.5. Ne tërheqim menjëherë të gjitha këndet që korrespondojnë me këtë sinus. Ne marrim foton e mëposhtme:

Fillimisht merremi me këndin NS në tremujorin e parë. Kujtojmë tabelën e sinuseve dhe përcaktojmë vlerën e këtij këndi. Është një çështje e thjeshtë:

x = π / 6

Ne kujtojmë kthesat e plota dhe, me një ndërgjegje të pastër, shkruajmë serinë e parë të përgjigjeve:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Gjysmë e bërë. Por tani duhet të përcaktojmë këndi i dytë ... Kjo është më dinake se në kosinus, po... Por logjika do të na shpëtojë! Si të përcaktohet këndi i dytë përmes x? Po Lehtë! Trekëndëshat në foto janë të njëjta, dhe këndi i kuq NS e barabartë me këndin NS ... Vetëm ai numërohet nga këndi π në drejtim negativ. Prandaj, është e kuqe.) Dhe për përgjigjen na duhet një kënd, i matur saktë, nga gjysmëboshti pozitiv OX, d.m.th. nga një kënd prej 0 gradë.

Zhvendosni kursorin mbi foto dhe shikoni gjithçka. E hoqa këndin e parë për të mos e komplikuar figurën. Këndi që na intereson (i vizatuar në të gjelbër) do të jetë i barabartë me:

π - x

X ne e dimë atë π / 6 ... Prandaj, këndi i dytë do të jetë:

π - π / 6 = 5π / 6

Ne përsëri kujtojmë shtimin e revolucioneve të plota dhe shkruajmë serinë e dytë të përgjigjeve:

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Kjo eshte e gjitha. Përgjigja e plotë përbëhet nga dy seri rrënjësh:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Ekuacionet me tangjente dhe kotangjente mund të zgjidhen lehtësisht duke përdorur të njëjtin parim të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike. Nëse, sigurisht, dini të vizatoni tangjenten dhe kotangjenten në një rreth trigonometrik.

Në shembujt e mësipërm, kam përdorur vlerën e sinusit dhe kosinusit të tabelës: 0.5. ato. një nga ato kuptimet që di nxënësi duhet. Tani le të zgjerojmë aftësitë tona në të gjitha vlerat e tjera. Vendosni, kështu që vendosni!)

Pra, le të themi se duhet të zgjidhim këtë ekuacion trigonometrik:

Nuk ka një vlerë të tillë kosinusi në tabela të shkurtra. Ne e injorojmë këtë fakt të tmerrshëm me gjakftohtësi. Vizatoni një rreth, shënoni 2/3 në boshtin e kosinusit dhe vizatoni këndet përkatëse. Ne e marrim këtë foto.

Le ta kuptojmë, për një fillim, me një kënd në tremujorin e parë. Po ta dija se me çfarë barazohet X, do ta kishin shkruar menjëherë përgjigjen! Nuk e dimë ... Dështim !? Qete! Matematika nuk e braktis të vetën në telashe! Ajo doli me arcosines për këtë rast. Nuk e di? Më kot. Zbulojeni, është shumë më e lehtë nga sa mendoni. Nën këtë lidhje, nuk ka asnjë fjalë të vetme të ndërlikuar për "funksionet trigonometrike të anasjellta" ... Kjo është e tepërt në këtë temë.

Nëse jeni në dijeni, mjafton t'i thoni vetes: "X është këndi, kosinusi i të cilit është 2/3". Dhe menjëherë, thjesht me përkufizimin e arkkosinës, mund të shkruani:

Ne kujtojmë kthesat shtesë dhe shkruajmë me qetësi serinë e parë të rrënjëve të ekuacionit tonë trigonometrik:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Seria e dytë e rrënjëve gjithashtu regjistrohet pothuajse automatikisht për këndin e dytë. Gjithçka është e njëjtë, vetëm x (arccos 2/3) do të jetë me një minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Dhe kjo eshte e gjitha! Kjo është përgjigja e saktë. Edhe më lehtë sesa me vlerat e tabelës. Ju nuk keni nevojë të mbani mend asgjë.) Meqë ra fjala, më të vëmendshmit do të vërejnë se kjo foto me zgjidhjen përmes kosinusit të anasjelltë në thelb, nuk ndryshon nga fotografia për ekuacionin cosx = 0.5.

Pikërisht! Parimi i përgjithshëm është ai i përgjithshëm! Kam vizatuar posaçërisht dy piktura pothuajse identike. Rrethi na tregon këndin NS me kosinusin e tij. Tabela është një kosinus, apo jo - rrethi nuk e di. Cili është ky kënd, π / 3, ose çfarë lloj kosinusi inversi - kjo varet nga ne.

Me sine, e njëjta këngë. Për shembull:

Vizatoni përsëri rrethin, shënoni sinusin e barabartë me 1/3, vizatoni qoshet. Fotografia duket si kjo:

Dhe përsëri fotografia është pothuajse e njëjtë si për ekuacionin sinx = 0,5. Përsëri, filloni nga këndi në çerekun e parë. Sa është x nëse sinusi i tij është 1/3? Nuk ka problem!

Pra, paketa e parë e rrënjëve është gati:

x 1 = harksin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ne merremi me këndin e dytë. Në shembullin me një vlerë tabele prej 0.5, ishte:

π - x

Pra, këtu do të jetë saktësisht e njëjta gjë! Vetëm x është i ndryshëm, harku 1/3. Edhe çfarë!? Ju mund të shkruani me siguri paketën e dytë të rrënjëve:

x 2 = π - hark 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Kjo është një përgjigje absolutisht e saktë. Edhe pse nuk duket shumë e njohur. Por është e kuptueshme, shpresoj.)

Kështu zgjidhen ekuacionet trigonometrike duke përdorur një rreth. Kjo rrugë është e qartë dhe e kuptueshme. Është ai që kursen në ekuacionet trigonometrike me zgjedhjen e rrënjëve në një interval të caktuar, në pabarazitë trigonometrike - ato zakonisht zgjidhen pothuajse gjithmonë në një rreth. Me pak fjalë, në çdo detyrë që është pak më e vështirë se ato standarde.

Le të zbatojmë njohuritë tona në praktikë?)

Zgjidh ekuacionet trigonometrike:

Në fillim është më e thjeshtë, pikërisht nga ky mësim.

Tani më e vështirë.

Këshillë: Këtu duhet të reflektoni rreth rrethit. Personalisht.)

Dhe tani ata janë nga jashtë jo modest ... Ata quhen edhe raste të veçanta.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Këshillë: këtu duhet të kuptoni në një rreth se ku ka dy seri përgjigjesh, dhe ku është një ... Dhe si të shkruani një në vend të dy serive përgjigjesh. Po, kështu që asnjë rrënjë e vetme e numrit të pafund nuk humbet!)

Epo, shumë të thjeshta):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Këshillë: këtu duhet të dini se çfarë është një arksinë, një arksinë? Çfarë është tangjentja e harkut, kotangjentja e harkut? Përkufizimet më të thjeshta. Por nuk keni nevojë të mbani mend asnjë vlerë tabele!)

Përgjigjet janë, natyrisht, një rrëmujë):

x 1= harksin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - harksin0,3 + 2

Nuk funksionon gjithçka? Ndodh. Lexojeni përsëri mësimin. Vetëm me mendime(ka një fjalë kaq të vjetëruar ...) Dhe ndiqni lidhjet. Lidhjet kryesore kanë të bëjnë me rrethin. Pa të, në trigonometri, është si të kalosh rrugën me një sy të lidhur. Ndonjëherë funksionon.)

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi i menjëhershëm i vërtetimit. Mësimi - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Privatësia juaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi lexoni politikën tonë të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar një person specifik ose për ta kontaktuar atë.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

Kur lini një kërkesë në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë dhe të raportojmë oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe mesazhe të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, të tilla si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose ngjarje të ngjashme promovuese, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar ato programe.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, urdhrin e gjykatës, në procedurat gjyqësore dhe / ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet shtetërore në territorin e Federatës Ruse - të zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për sigurinë, zbatimin e ligjit ose arsye të tjera të rëndësishme shoqërore.
Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim tek pala e tretë përkatëse - pasardhësi ligjor.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe abuzimi, si dhe nga aksesi, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respekt për privatësinë tuaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne sjellim rregullat e konfidencialitetit dhe sigurisë për punonjësit tanë dhe monitorojmë me përpikëri zbatimin e masave të konfidencialitetit.