Kur llogaritet e njëjta vlerë, formulat me një numër të madh nyjesh japin një renditje më të lartë të saktësisë, por ato janë më të rënda. Për të vlerësuar saktësinë e tyre, është e nevojshme të përfshihet një nyje shtesë, e cila kërkon llogaritje edhe më komplekse. Konsideroni një mënyrë më të thjeshtë për të marrë një renditje të lartë saktësie.
Nga formula (12) shihet se gabimi i formulës më të thjeshtë (7) për një funksion katër herë të diferencueshëm ka formën
Le të, në rastin e përgjithshëm, ekziston një formulë e përafërt për llogaritjen e sasisë nga vlerat në një rrjet uniform me hapin h, dhe termi i mbetur i kësaj formule ka strukturën e mëposhtme:
Tani le të llogarisim duke përdorur të njëjtën formulë të përafërt për të njëjtën pikë, por duke përdorur një rrjet uniform me një hap tjetër. Më pas marrim vlerën e lidhur me vlerën e saktë sipas raportit
Vini re se duke pasur dy llogaritje në rrjete të ndryshme, është e lehtë të vlerësohet gabimi. Për ta bërë këtë, ne zbresim (13) nga (14) dhe marrim formulën e parë Runge:
Termi i parë në të djathtë është termi i gabimit kryesor. Kështu, llogaritja në rrjetin e dytë bën të mundur vlerësimin e gabimit të llogaritjes në rrjetin e parë (me një saktësi deri në terma të rendit më të lartë).
Është e mundur të përjashtohet gabimi i gjetur (15) nga formula (13) dhe të merret një rezultat me një saktësi më të lartë duke përdorur formulën e dytë Runge:
Kjo metodë e vlerësimit të gabimit dhe përmirësimit të saktësisë së rezultatit është shumë e thjeshtë, e zbatueshme në një numër të madh rastesh dhe jashtëzakonisht efektive. Shqyrtoni dy shembuj të zbatimit të tij në diferencimin numerik.
Tabela 7
Shembulli 1. Le të jepet funksioni nga Tabela 7 dhe kërkohet të llogaritet Le të zgjedhim formulën më të thjeshtë (6) për llogaritjet. Duke supozuar, d.m.th., duke bërë llogaritjet në pika, marrim . Duke dyfishuar hapin, pra duke llogaritur derivatin mbi pikat, marrim . Duke kryer llogaritjet sipas formulës Runge (16), ku sipas vlerësimit (6) është marrë, do të marrim një vlerë të përditësuar prej ; kjo është vetëm 2% e ndryshme nga vlera e dëshiruar.
Shembulli 2. Le të nxjerrim një formulë me saktësi të lartë nga një formulë me saktësi të ulët.
Le të marrim formulën më të thjeshtë për llogaritjen e derivatit të parë në mes të intervalit (8) dhe ta shkruajmë atë, duke zgjedhur fillimisht nyjet fqinje dhe më pas ato më të largëtat:
Rendi i saktësisë së formulës është , dhe faktori i rritjes së hapit është , kështu që përsosja me metodën Runge jep formulën (9):
Kjo tregon se për të marrë një renditje të lartë saktësie, nuk është e nevojshme të kryhen llogaritjet drejtpërdrejt duke përdorur formula të një renditjeje të lartë saktësie; është e mundur të kryhen llogaritjet duke përdorur formula të thjeshta me saktësi të ulët në rrjete të ndryshme dhe më pas të përsosin rezultatin me metodën Runge. Metoda e fundit është e preferueshme edhe sepse vlera e korrigjimit (15) jep një vlerësim posteriori të saktësisë.
Metoda e Runge përgjithësohet në rastin e një numri arbitrar. Le të ketë funksioni derivate mjaftueshëm të lartë të vazhdueshëm. Pastaj, në zgjerimet e Taylor të tipit (11), mund të ruhet një numër i madh termash dhe zëvendësimi i tyre në formula të tipit çon në paraqitjen e termit të mbetur si një seri.
Llogaritja le të kryhet në q rrjeta të ndryshme me hapa . Atëherë termat e parë mund të përjashtohen nga termi i mbetur. Për ta bërë këtë, ne rishkruajmë relacionin (17), duke lënë termat e parë të gabimit:
Ky është një sistem ekuacionesh lineare në lidhje me madhësinë. Duke e zgjidhur atë sipas rregullit të Cramer, marrim një vlerë të përditësuar duke përdorur formulën Romberg.
Kjo formulë çon në një rritje të rendit të saktësisë së rezultatit në krahasim me formulën origjinale, d.m.th., çdo rrjet shtesë ju lejon të rrisni rendin e saktësisë me një.
Formula e Romberg është e përshtatshme sepse mund të përdoret për çdo numër rrjetesh uniforme dhe çdo raport të hapave të tyre. Disavantazhet e tij janë rëndimi krahasues dhe mungesa e vlerësimeve të saktësisë së pasme në llogaritjet e ndërmjetme. Nëse rrjetet zgjidhen në mënyrë të tillë që rrjetet të rafinohen gjithmonë me të njëjtin numër herë (d.m.th.), atëherë është më e përshtatshme që në mënyrë rekursive të zbatohet metoda Runge në vend të formulës Romberg.
Për këtë, merren çifte të njëpasnjëshme rrjetash, etj. Çdo çift rafinohet me metodën Runge, duke përjashtuar termin e gabimit kryesor. Prandaj, në vlerat e rafinuara, termi kryesor i gabimit do të ketë formën Vlerat e rafinuara grupohen në çift në të njëjtën mënyrë dhe përjashtohet gabimi i rendit të radhës. Në total, mund të bëhet rafinimi, një më pak se numri i rrjetave. Me çdo rafinim, llogaritet gabimi (15), i cili jep një vlerësim posteriori të saktësisë në këtë fazë të llogaritjeve. Një shembull i një llogaritjeje të tillë do të jepet në Kapitullin IV.
Vërejtje 1. Nëse formula fillestare për llogaritjen ka një formë simetrike, atëherë në një rrjet uniform, zakonisht të gjitha termat tek të serisë (17) zhduken. Në këtë rast, është e mundur të përdoret formula e përgjithshme (18), por është e pafavorshme, sepse nuk merr parasysh informacione shtesë për koeficientët zero. Ne duhet të lëmë vetëm fuqitë në shumën (17) dhe të ndryshojmë formulën e Romberg në përputhje me rrethanat. Procedura e përsëritur e Runge ndryshon në mënyrë të ngjashme: me eliminimin e radhës të gabimit, rendi i saktësisë rritet jo me 1, por me 2. Një shembull është derivimi i mësipërm i formulës (9) nga formula (8), kur, pas të parës përsosje, gabimi u ul nga menjëherë në
Vërejtje 2. Numri i pranueshëm i termave në shumën (17) lidhet me numrin e derivateve të vazhdueshme që ekzistojnë për funksionin. Prandaj, për funksione jo mjaftueshëm të lëmuara, është e kotë të marrësh një numër të madh rrjetash. Në praktikë, edhe për funksione "të mira", përdoren jo më shumë se 3 - 5 rrjete; zakonisht ata përpiqen të zgjedhin raportin e hapave të tyre të barabartë me 2.
Vërejtje 3. Metoda Runge-Romberg mund të zbatohet vetëm nëse gabimi mund të paraqitet në formën (17), ku koeficientët janë të njëjtë për të gjitha rrjetet. Në mënyrë rigoroze, sipas diferencimit numerik, këta koeficientë varen nga pozicioni i nyjeve të rrjetit.
Por nëse konfigurimet e zgjedhura të nyjeve në të gjitha rrjetat janë të ngjashme në lidhje me një pikë (Fig. 14, a), atëherë varësia nga nyjet është e njëjtë për të gjitha rrjetat dhe zvogëlohet në madhësinë e hapit. Pastaj është e zbatueshme metoda Runge-Romberg. Nëse shkelet rregulli i ngjashmërisë (Fig. 14, b, c), atëherë metoda nuk mund të zbatohet.
Prandaj, në diferencimin numerik, metoda Runge-Romberg mund të përdoret vetëm për të gjetur derivate në nyjet ose në mes pikat e intervaleve të rrjeteve uniforme (ose thuajse uniforme) të përshkruara më poshtë. Por këto raste janë mjaft të rëndësishme në aplikimet praktike. Metoda e përshkruar përdoret veçanërisht gjerësisht në metodat e integrimit numerik dhe diferencës për zgjidhjen e problemeve për ekuacionet diferenciale dhe integrale.
METODA ROMBERG
Rregulli i Romberg është një metodë për llogaritjen e një integrali të caktuar bazuar në Ekstrapolimi i Richardson. Le të llogaritet vlera I e disa funksioneve dhe vlera e përafërt e llogaritur T(h) varet nga parametri h, në mënyrë që si rezultat i llogaritjes të fitohet një barazi e përafërt. Le të jetë sjellja e diferencës I - T(h) .
si funksione të h, përkatësisht:
ku T -është një numër natyror dhe a varet nga funksioni që është i përafërt dhe nga funksioni me të cilin është llogaritur, nga mënyra e përafrimit dhe (dobët) nga h. Nëse së bashku me T(h) llogaritet T(2h), atëherë metoda Richardson jep për I përafërt
(2)
Nyjet e shumës kuadratike janë pikat
Dhe koeficientët e tij janë numra pozitivë. Kuadratura (5) është e saktë për të gjithë polinomet e shkallës më së shumti 2l+1.
Duke supozuar se integrani f(x) ka një derivat të vazhdueshëm të rendit 2 l+ 2n, dallimi
ka një paraqitje të formës (1), në të cilën t= 2l+ 2.
Nga kjo rrjedh se elementet e kolonës (l + 2) të llogaritura me formulën (4) janë përmirësime të Richardson-it të elementeve të kolonës (l + 1). Në veçanti, për gabimin e formulës së kuadraturës së trapezëve, paraqitja
dhe mënyra e Richardson jep një përafrim më të saktë për I:
Rezulton të jetë shuma kuadratike e formulës së Simpsonit, dhe meqenëse gabimi i kësaj formule plotëson paraqitjen
atëherë përsëri mund të përdorni metodën Richardson, etj.
Në R. m., T 0n merret si një përafrim me I ,
supozohet gjithashtu se ekziston një f (2n) (x) e vazhdueshme në . Një ide e përafërt e saktësisë së përafrimit T 0p mund të merret duke krahasuar T 0n dhe T 1, n _ 1 .
Metoda u përshkrua për herë të parë nga V. Romberg.
Ndezur.:[l] R o m b e rg W., "Kgl. norske vid. selskabs forhandl.", 1955, Bd 28, nr.7, s. 30-36; In a u e r F. L., R u t i s h a u s e r H., Stiefl E, "Proq. Symp. Appl. Math.", 1963, v. 15, f. 199-218. I. P. Mysovskikh.
Enciklopedi matematikore. - M.: Enciklopedia Sovjetike. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Shihni se çfarë është "METODA ROMBERGA" në fjalorë të tjerë:
Një metodë për përshpejtimin e konvergjencës së zgjidhjeve për problemet e diferencës (shih Përafrimi i një problemi diferencial kufitar-vlerë për një problem të diferencës). Ideja kryesore e metodës është të studiojë zgjidhjen dhe h, (x) të problemit të ndryshimit konvergjent për x fiks si funksion i parametrit ... ... Enciklopedia Matematikore
TABES DORSALIS- (tabela spinale, tabela të palcës kurrizore, ataksi progresive lokomotore, ataxie locomotrice progresive), hron. sëmundje sifilitike e sistemit nervor, që prek kryesisht sistemin e kolonave të pasme dhe rrënjët e pasme në palcën kurrizore, ... ...
I Ekzaminimi i pacientit Ekzaminimi i pacientit është një kompleks studimesh që synojnë identifikimin e karakteristikave individuale të pacientit, vendosjen e diagnozës së sëmundjes, vërtetimin e trajtimit racional, përcaktimin e prognozës. Vëllimi i kërkimeve në O... Enciklopedia Mjekësore
METODAT E KËRKIMIT VESTIBULAR- METODAT VESTIBULARE TË KËRKIMIT, konsistojnë në a) një pyetje të detajuar të pacientit në lidhje me ankesat dhe ndjesitë subjektive të tij në lidhje me aparatin statik dhe b) në një test objektiv të aparatit V.. Ky test është i ndarë në 1) kërkimore ... ... Enciklopedia e Madhe Mjekësore
SIFILISI- SIFILISI. Përmbajtja: I. Historia e sifilizit...............515 II. Epidemiologjia ................. 519 III. Rëndësia shoqërore e sifilizit ........ 524 IV. Spirochaeta pallida ............., 527 V. Anatomia patologjike ........... 533 VI.… ... Enciklopedia e Madhe Mjekësore
LËVIZJET- LËVIZJET. Përmbajtja: Gjeometri D...................452 Kinematika D...................456 Dinamika D. ...................461 Mekanizmat motorikë ......................465 Metodat e studimit të D. i një personi ..........471 Patologjia D. e një personi ............. 474 ... ... Enciklopedia e Madhe Mjekësore
këndi cerebelar-pontine- (Klein hirnbruckenwinkel, këndi ponto cerebelleuse, për disa këndi i syrit ponto bulbo cerebelleuse) zë një vend të veçantë në neuropatologji, neurohistopatologji dhe neurokirurgji. Ky emër tregon këndin midis trurit të vogël, të zgjatur ... ... Enciklopedia e Madhe Mjekësore
METODAT E KËRKIMIT MJEKËSOR- Unë. Parimet e përgjithshme të kërkimit mjekësor. Rritja dhe thellimi i njohurive tona, gjithnjë e më shumë pajisjet teknike të klinikës, bazuar në përdorimin e arritjeve më të fundit në fizikë, kimi dhe teknologji, ndërlikimi i metodave që lidhen me këtë ... ... Enciklopedia e Madhe Mjekësore
- (SHBA) (Shtetet e Bashkuara të Amerikës, SHBA). I. Informacione të përgjithshme SHBA është një shtet në Amerikën e Veriut. Sipërfaqja është 9.4 milion km2. Popullsia 216 milion njerëz (1976, est.). Kryeqyteti i Uashingtonit. Administrativisht, territori i Shteteve të Bashkuara ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike
Kaluar nga 9 dhjetor 1946 deri më 20 gusht 1947. Ky gjyq ishte i pari në një varg prej dymbëdhjetë gjyqesh pasuese të Nurembergut. Zyrtarisht u quajt "SHBA kundër Karl Brandt" dhe u mbajt në krahun lindor të Pallatit të Drejtësisë në Nuremberg. ... ... Wikipedia
JOURNAL OF COMPUTATIONAL MATEMATIKA DHE FIZIKA MATEMATIKE, 2009, vëllimi 49,< 2, с. 232-240
UDC 519.644.7
APLIKIMI I METODËS SË ROMBERG PËR TË RRITUR SAKTËSINË E LLOGARITJES SË INTEGRALËVE TË SHUMËFISHTA
© 2009 |E. P. Zhidkov, Yu. Yu. Lobanov, V. D. Rushai
(141980 Dubna, JINR)
e-mail: [email i mbrojtur]
Marrë më 24 maj 2007 Rishikuar më 3 mars 2008
Metoda e njohur Romberg, e përdorur për të përmirësuar saktësinë e llogaritjes së integraleve njëdimensionale, përgjithësohet në rastin e integraleve të shumëfishta, nëse produkti i formulave të kuadraturës së përbërë përdoret për llogaritjen e tyre. Në kushte të caktuara, koeficientët e formulës Romberg rezultojnë të jenë të pavarur nga shumësia e integralit, gjë që bën të mundur përdorimin e një algoritmi të thjeshtë llogaritjeje të zhvilluar për integrale njëdimensionale. Janë dhënë shembuj të llogaritjeve me metodën Romberg për integrale të shumëfishta nga dy në gjashtë dhe është bërë krahasimi me disa metoda të tjera. Bibla 9. Tab. 3.
Fjalë kyçe: integrim numerik, integrale të shumëfishta, metoda e Romberg.
1. HYRJE
Metoda e Romberg është e njohur mirë si një teknikë që ju lejon të përmirësoni saktësinë e llogaritjeve të integraleve njëdimensionale duke përpiluar një kombinim të caktuar linear të vlerave të tyre të marra në rrjete të ndryshme integrimi. Në rastin shumëdimensional, marrja e grupeve të tilla të vlerave të përafërta është e vështirë nëse ato llogariten me aplikim të njëpasnjëshëm të ndonjë formule kuadratike.
Le të përcaktohet funksioni /(x1, ..., xp) në grupin 0 = (a1< х1 < Ь1, ..., ар < хр < Ьр}. Будем вычислять интеграл
?) = / //(X1.....Xp) dX1... dXp (1)
duke përdorur formulën
/) = b... bp B>1... 0]p/(a 1 + ]1Hb..., ap + ]pHp), (2)
>1 =0 ]p = 0
i cili është produkt i formulave të kuadraturës së përbërë me hapa të vazhdueshëm integrimi bk:
Sk(Ik) = hk ^ DjkIk(xlf..., xkak + jkhk), (3)
k = 1, 2, ..., fq. Këtu Mk është numri i ndarjeve të segmentit të integrimit [ak, bk], bk = (bk - aq)/Mk, B> janë koeficientët e formulës (3),
(x1, , xk) - J -"J f(x1, > xp) dxk +1 ■■■dxp,
1p(x1, ..., xp) = /(x1, ..., xp). Gabimi i formulës (2) R(/) = I(f) - £(f) mund të përfaqësohet si (CM. )
R = Е0 + И1 £ ^ ^ + И1И2 £ 2 ЕI,2 +
>1 = 0 ,1=0 ,2 = 0
J!...vjet2... 2 1 _1,
>1 = 0 -1 = 0
ku Ek. 1 - gabim i formulës (3).
Le të përdoret e njëjta formulë kuadratike (3D) për integrimin mbi të gjitha variablat xx..., xp me gabim E = 0(Ukt). Shënoni me M numrin total të rajoneve ndarëse të rajonit origjinal O. Nëse I1 = ... = Ip = I, atëherë M = N dhe gabimi total R vlerësohet si R = 0 (M~m/p). Ndërsa shumëzimi p rritet, një rritje në N çon në një rritje gjithnjë e më domethënëse në sasinë e llogaritjeve. Në këtë rast, me një përpjekje relativisht të vogël llogaritëse, mund të jetë e mundur të merren vetëm disa vlera të përafërta të integralit që korrespondojnë me vlerat e vogla të N. Përafrime të tilla janë zakonisht shumë të përafërta, por kombinimi i tyre linear sipas Romberg. metoda, e cila në fakt do të thotë një rritje në m (shih ), mund të jetë e kënaqshme nga saktësia. Kështu, për disa p dhe një përzgjedhje të caktuar të rrjeteve të integrimit, një qasje e tillë mund të jetë efektive për sa i përket raportit të kostove llogaritëse dhe saktësisë së rezultateve të marra.
Në këtë artikull, metoda Romberg zbatohet në rastin kur integrimi mbi të gjitha variablat kryhet duke përdorur formulën e trapezit.
2. METODA E LLOGARITJES Shqyrtoni formulën e përbërë të trapezoidëve:
1k) \u003d Yk 2 ^)k1k (X1 "" Xk-1, ak + > kYk),
Г 1 nëse ]k = 1, 2, ..., Ik -1 >k = 11/2, nëse ]k = 0, Ik,
k = 1, 2, ..., fq. Në rastin njëdimensional, duke supozuar se derivati (21 + 2) i integrandit f(x) është i fundëm, gabimi i formulës (5) mund të përfaqësohet në formën (shih)
Rtr(/) = - 2 72m2m(/(2m-;)(b) -/(2m-;)(a)) + r(d),
ku a, b janë kufijtë e integrimit,
r(d) = -y 21 + 2/(21 + 2)(x)d2" + 2(b - a), a b.
Numrat U; kënaqin barazinë
Më poshtë janë kuptimet e disa prej tyre:
Y 2 \u003d 1 1 "Y 4 \u003d TOP" Y 6 \u003d aloyl "Y 8 \u003d 1opplpp" Y10 \u003d
12 14 720 16 30240 18 1209600 110 47900160"
Prandaj, nëse funksionet 1k(x1, ..., xk), k = 1, 2, ..., p, kanë derivate të pjesshëm të kufizuar (1k(x;, xk)) të rendit 2m 21 + 2, gabimi të formulës (5) mund të shkruhet në formën
E "-1 (4) \u003d 2 Stk (1k) (Yk) 2t + Gk (Yk),
&tk (1k) \u003d -Y 2 [(1k (X;,. > Xk - 1 "bk)) 2m-1 - (1k (X;, Xk-1, ak)) 2m-1],
Gk (Yk) \u003d -Y 21 + 2 (1k (x1,; Xk-; Lk)) 21 + 2 (Yk) 21 + 2 (bk - ak).
ak< < Ьк. Подставляя это выражение при к = 1, 2, ..., р в формулу (4), получаем
R = 2 °t, (I;) (R;) 2 m + r; (th;) +
J1 2 2 St2(12)(J2)2m + G2(J2)
Y; .Yp-1 2- 2 ^p-1 2 °tr(1p)(Yp) 2 m + Gr(Yp)
>1 = 0 -1 = 0
Le të prezantojmë shënimin
Vtk (1k) \u003d Y1 Yk-1 2- 2 - VbStk (1k) .
>1 = 0 -1 = 0
W1 (4) = ^m1 (11) , k = 1 2,., f.
Atëherë shprehja për R mund të shkruhet si
R \u003d 2 W; (I;) (Y;) 2m + g; (Y;) +
2 W2(12)(Y2)2m + Y; 2 ^r2(r2) + ...
2 Vtr (1 p) (dir) t + d1-dir-; 2- 2 fitore(a?) =
>1 = 0 )р-1 = 0
22 Vtk(1k)(Yk)2t + R*,
R* = G; (Y;) + Y; 2 ^ T2 (Y2) + ... + Y; - Vjeç _; 2-2 ^ ;Gy (Yp). >1=0 >1 = 0 -1 = 0 Le të supozojmë tani se integrali (1) llogaritet I + 1 herë me formulën (2) në
Ir \u003d Ir, X Ir, ... D ^,
ku X është një konstante pozitive.
Le të prezantojmë indeksin r për të treguar numrin e llogaritjes përkatëse të integralit për N1, ..., Mp. Të gjitha sasitë në varësi të Mk do të kenë gjithashtu indeksin r. Atëherë numrat e ndarjes N1 dhe hapat e rrjetit të integrimit H "k mund të shprehen në termat e fuqive të X si më poshtë:
Mk \u003d bk \u003d X "L °, k \u003d 1, 2, ..., p, r \u003d 0, 1, I.
Ne kemi barazi
1(/) = d(/) + /) = d(/) + XX r(1k)(bk)2m + A*,
r = 0, 1, ..., I. Ne formojmë një kombinim linear të këtyre marrëdhënieve me disa koeficientë c, duke kërkuar që kushti
1(/) = X ss; (/) + X X X sVtk I (4) (bk) 2m + X sL *.
0 k \u003d 1t \u003d 1 g \u003d 0 I \u003d 0
Për koeficientët Wkg(1k) vlejnë pabarazitë e mëposhtme:
\Wtkg(4)|< л1 ... Лк_ 1 X- X В>k-11 Otk(1k)|<
< Ртк(1к)П(Ь«-ап) ^ -1- X- X Вк-l,
N1 Nk-1 >1 = 0 >k-1 = 0
Pmk(4) = max |^mk(4)| , k = 1, 2, ..., p, m = 1, 2, -, /.
X ... X B...=1,
"1 "k-1>1 = 0 L-1 = 0
k = 2, 3, ..., p, r = 0, 1, ..., I. Prandaj,
\Wtc r (4)|< ртк(1к)П(Ьп-ап) для к = 2, 3, ..., р, т = 1, 2, ..., I,
Wkg (11)|< Рт1(4) длЯ I = 0, 1, ..., I.
Pastaj, duke marrë parasysh (6), kemi
I (/)-X (/)-X me l
< X Рт1(11)(Ъ0)
XX rtk(4)P(bp-ap)()
Tani kërkojmë që kushtet
2CX "" = 0, m = 1, 2, ..., I.
Këto kushte, së bashku me kushtin (7), formojnë një sistem I + 1 ekuacionesh lineare të pavarura, nga të cilat përcaktohen I + 1 koeficientë të panjohur c. Duke i zëvendësuar këta koeficientë në pabarazi (9), marrim
I (/) = 2 C&(/) + RRomb, (10)
^otb = 2 C; = 0
R* \u003d r; (y1) + Y1 2 G2 (Y2) + - + Y1 -yr-; 2- 2 - ^gr(dp),
>1 = 0 >1 = 0 )р-1 = 0
Tk(dk) = -Y21 + 2(1k(X;, ..., Xk-1, ^k)) 21 + 2(dk)21 + 2(bk - ak).
Teorema. Lëreni funksionin /(x1, ..., xp) të ketë derivate të pjesshëm të kufizuar / 21 + 2 (x1, ..., xp),
k = 1, 2, ..., fq. Atëherë gabimi i formulës (10) plotëson pabarazinë
|^ot|<| У 21 + 2 Рг П(Ь" - а")2 таХ /Х2" + 2 (Х1" Хр)|(Й0)21 +2, (11)
A A O I xk I
Pr \u003d 2 C X-2 "1 +!).
Dëshmi. Sipas vetive të integraleve të caktuar dhe vetive të integrimit në lidhje me një parametër, kemi
(1k (x1, - , Xk)) 2r + 2 = -TGG2 I -I / (x;, - , xp) Lxk + 1- LXp \u003d
1 -1 / X2 + 2 (X1 "-" Xp + 1 - Lxr,
max |(4(X;, -, Xk)) 21+2 = max
1 -1/h +2(X1, -, XP)^k +1 -
<тах|/г2г+2(X;,-, Xp)| П (Ьп - ап), к = 1,-, р - 1.
Për k = p kemi
max |(1p(X;, -, Xp))^ = maxX/x2r + 2(X;, -, Xp)| .
X,-, xp\ lr I O I
Atëherë sasia m* = max \mk\ plotëson pabarazinë
t* (bk)< |у21 + 2таХ/х21+2(Х1, Хр)|П(Ьп - ап)(Ък)2" + 2, к = 1, 2,., р.
I + 2G ""L |. U T2" + 2
Duke marrë parasysh (8), marrim
\UNË JAM*\< т*(Л1) + (Ь - а1)т*(Л2) + ... + (Ь1-а1)...(Ьр-1-ар-1)т*(лр) =
IU 21 +2 P (bp - an) X taX / X2 "+ 2 (X1, Xp) | (bk)
A A O I Hk I
^ mp \u003d XI srp<
<|У21 + 2 П(Ьп - ап)XтаХ+2(Хl, ХрIX 1с""1(Ък)
Duke përdorur relacionin (6), marrim vlerësimin (11) nga kjo pabarazi.
3. ZBATIMI I SOFTWAREVE
Duhet të theksohet se koeficientët σ të formulës (10) nuk varen nga shumësia e integraleve të llogaritura, pasi rrjetet e integrimit (6) mbi të gjitha variablat x1, ..., Xp formohen duke përdorur të njëjtën vlerë të konstantës. X. Kjo na lejon të aplikojmë në rastin shumëdimensional algoritmin e njohur të zhvilluar për llogaritjen e integraleve njëdimensionale. Për X = 2, ky algoritëm përcaktohet nga formula rekursive:
^ = ^-1) + ($-1) - ^-1))/(22(>-1)-1).
Këtu £(1), r = 0, 1, ..., I, janë vlerat e integralit (1) të marra duke përdorur formulën e përbërë
trapezoide (5) me hapat përkatës të integrimit b"k, k = 1, 2, ..., p. Madhësitë B(2), ...,
B ■" + 1) janë vlera të rafinuara duke përdorur formulën (10). Procedura për marrjen e vlerësimeve të rafinuara duke përdorur formulën (12) mund të përfaqësohet si diagrami i mëposhtëm (shih):
S(1) s(1) s(1) s(1) B0 B1 B2
Mbi këtë bazë është shkruar një program kompjuterik, sipas të cilit integrali llogaritet derisa të plotësohet një nga kushtet.
tt|1 - 1 -1)<еаь8,
Vlera e £abs ose erel përcaktohet nga përdoruesi. Rezultati është vlera S-" +
Për lexim të mëtejshëm të artikullit, duhet të blini tekstin e plotë. Artikujt dërgohen në format PDF në adresën e emailit të dhënë gjatë pagesës. Koha e dorëzimit është më pak se 10 minuta. Kostoja për artikull 150 rubla.
Punime të ngjashme shkencore me temën "Matematika"
- INTEGRIMI I FUNKSIONIVE LËKUNDUESHËM NË NJË PROBLEM ELEKTRODINAMIKË KUASI-TRIDIMENSIONAL
I. V. Oseledets, S. L. Stavtsev, E. E. Tyrtyshnikov - 2009
- MODIFIKIMI I FORMULES KUADRATIVE EULER PER FUNKSIONET ME KOMPONENT TE SHTESES KUFITARE
Zadorin A.I. - 2014
Ekuacionet diferenciale hasen shumë shpesh në ndërtim
modele të dinamikës së objekteve të studimit. Ato përshkruajnë, si rregull, ndryshimet në parametrat e një objekti me kalimin e kohës. rezultat zgjidhjet e ekuacioneve diferenciale janë funksione, dhe jo numrat, si në zgjidhjen e ekuacioneve të fundme, si rezultat i të cilave metodat për zgjidhjen e tyre janë më të mundimshme.
Ekuacionet diferenciale përshkruajnë gjithashtu procesin, transferimin e nxehtësisë dhe masës, ndryshimet në përqendrimin e një substance, proceset e kristalizimit të sheqerit dhe shumë të tjera. Kur përdorni metoda numerike për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale:
Ose y ’ = f (x, y) paraqitet në formë tabelare, d.m.th. doli qe
dx grup vlerash Y i dhe X i.
Zgjidhja është hap pas hapi, d.m.th. një ose më shumë pika fillestare (x, y) në një hap gjeni pikën tjetër, etj. Diferenca midis dy vlerave ngjitur të argumentit h = x i +1 - x i quhet hap.
Më gjerësisht përdoren problemet e Cauchy, në të cilat jepen kushtet fillestare: për x = x 0 , y(x 0) = y 0 . Duke i pasur ato, është e lehtë të fillohet procesi i zgjidhjes, d.m.th. gjeni në x 1, y 2 - në x 2, etj.
Ideja kryesore e marrjes së algoritmeve më të thjeshta llogaritëse në metodat me një hap reduktohet në zgjerimin e zgjidhjes origjinale y(x) në një serial të Taylor.
Numri i termave të mbetur në seri përcakton rendin dhe rrjedhimisht saktësinë e metodës. Sipas zbërthimit të marrë, duke ditur vlerat e y në pikën e zbërthimit y i dhe derivatin f(x i, y i), vlerat e y gjenden përmes hapit h:
y i +1 = y i + ∆y i .
Nëse në zgjerim mbahen më shumë terma, atëherë është e nevojshme të llogaritet f(xi, y i) në disa pika (në këtë mënyrë shmanget nevoja për të llogaritur drejtpërdrejt derivatet më të larta të pranishme në zgjerimin në një seri Taylor).
Algoritmet e llogaritjes së metodave me shumë hapa bazohen në ndërtimin e funksioneve të interpolimit ose të përafrimit, nga të cilat është marrë integrali.
Metodat numerike zgjidhin jo vetëm ekuacione individuale, por edhe sisteme ekuacionesh (më shpesh të rendit të parë), dhe shumica e metodave për zgjidhjen e një ekuacioni shtrihen lehtësisht në zgjidhjen e sistemeve.
Klasa e metodave me një hap përfshin metodat Euler,
Runge-Kutta dhe Euler-Koshi.
Ekuacioni funksional y¢ = f(x, y), e cila lidh variablin e pavarur, funksionin e dëshiruar y(x) dhe derivati i tij y(x), quhet ekuacioni diferencial i rendit të parë.
Një zgjidhje (e pjesshme) e një ekuacioni në intervalin (a, b) është çdo funksionin në= (X), i cili, duke u zëvendësuar në këtë ekuacion së bashku me derivatin e tij ¢ (x) e kthen atë në një identitet në lidhje me xО (a,b). Ekuacioni F. (x, y) = 0, e cila e përcakton këtë zgjidhje si një funksion të nënkuptuar, quhet integrali i ekuacionit diferencial. Në një rrafsh me një sistem koordinativ fiks kartezian, ekuacioni Ф (х, y) =0 përcakton një lakore, e cila quhet kurba integrale e ekuacionit diferencial.
Nëse në ekuacionin diferencial y¢ = f(x, y) funksionin f(x, y) të vazhdueshme në disa zona D, aeroplan Ohu dhe ka një derivat të pjesshëm të kufizuar në këtë rajon (x,y), atëherë për çdo pikë (x 0 ,y 0) О D, në një farë intervali x 0 - orë £ x £ x 0+ h, ka një zgjidhje unike y(x) të këtij ekuacioni, duke plotësuar kushtin fillestar
y (x o) - y o.
Ky pohim njihet si teorema e Cauchy mbi ekzistencën dhe veçantinë e një zgjidhjeje të një ekuacioni diferencial me një kusht fillestar të caktuar.
Për detyra të këtij lloji, të ndara në një klasë të tërë Probleme cauchy, krahas metodave të zgjidhjes analitike, janë zhvilluar metoda të zgjidhjes numerike.
Metoda Euler
Vlerat e funksionit të kërkuar y=y(x) në segment gjendet me formulën:
y k+1 = y k + h×f(x k, y k), (1)
ku y k \u003d y (x k), x k + 1 \u003d x k + h, (x n \u003d X), k \u003d 0,1,2, ... n -1 dhe h \u003d
Për një gabim të caktuar kufizues absolut e, hapi fillestar i llogaritjes h vendoset duke përdorur pabarazinë h 2< .
Metoda Euler-Cauchy
Për të llogaritur vlerat e funksionit y=y(x) aplikoni formulën:
(2)
ku , , 
,
Për një gabim të caktuar margjinal, hapi fillestar i llogaritjes h vendoset duke përdorur pabarazinë h 3 < .
Metoda Ruge-Kutta
Vlerat e funksionit të kërkuar y=y(x) në segment gjenden në mënyrë sekuenciale nga formula:
y k +] = y k + y k , k = 0, l, 2,...n – l (3)
ku y k = (),
, 
,