3. Dinamika e flukseve financiare tregon se në çdo kohë Kompania mund të jetë përgjegjëse për detyrimet e saj.

4. Rezultatet e projektit (faktori i zbritjes në llogaritjet merret në nivelin 8% në vit):

rezultatet nga implementimi i projektit (Figura 6.4.);

rezultatet e akumuluara nga implementimi i projektit (Figura 6.5.);

Nga orari i fundit i paraqitur, mund të shihet se data e fillimit për kthimin e fondeve është 2001 (viti i dytë nga fillimi i projektit) dhe periudha e shpagimit është 7 vjet (duke marrë parasysh skontimin - 9 vjet).

Fitimi i akumuluar i zbritur është 1,466,000 $.

7 STRUKTURA E RREZIKUT DHE MASAT E PARANDALIMIT 7.1 Faktorët kryesorë të rrezikut

Faktorët kryesorë që sjellin rreziqet kryesore të projektit dhe krijojnë një kërcënim real për ekzistencën e kompanisë janë:

kalimi nga financimi shtetëror në financimin e përbashkët të një objekti me struktura tregtare (ndryshimi i statusit dhe organizimi i punës);

nivele të larta të rritjes së planifikuar të shërbimeve (krijimi i një biznesi krejtësisht të ri);

tregu është i zënë nga organizata të tjera konkurruese, aktualisht më të fuqishme, nevojiten përpjekje të jashtëzakonshme për të pushtuar një vend të tregut në gjashtë muaj ose një vit.

7.2 Struktura dhe analiza e rreziqeve dhe masave për t'i minimizuar ato 7.2.1. Rreziqet politike

Shoqërohet me paqëndrueshmërinë e legjislacionit ekonomik, tatimor, bankar, tokës dhe legjislacionit tjetër në Federatën Ruse, mungesën e mbështetjes ose kundërshtimit nga qeveria, etj.

Masat e zbutjes së rrezikut:

zhvillimi i politikës së brendshme të taksave;

formimi i mjedisit të biznesit (partnerë, konsorciume, grupe financiare dhe industriale);

pjesëmarrja aktive e themeluesve në bashkëveprim me strukturat e pushtetit;

duke i dhënë institucionit një status mjekësor.

7.2.2 Rreziqet ligjore

Ato shoqërohen me legjislacion të papërsosur, dokumente të paqarta, masa të paqarta ligjore në rast mosmarrëveshjeje midis themeluesve (për shembull, në një gjykatë të huaj, etj.), Duke vonuar afatin nga Kontraktori.

Masat e zbutjes së rrezikut:

formulim i qartë dhe i qartë i artikujve përkatës në dokumente;

përfshirja e specialistëve me përvojë praktike në këtë fushë për përgatitjen e dokumenteve;

alokimi i burimeve të nevojshme financiare për të paguar avokatë dhe përkthyes të kualifikuar.

7.2.3 Rreziqet teknike

Ato shoqërohen me kompleksitetin e punës dhe mungesën e një projekti teknik për momentin.

Përdorimi i mundshëm jo i plotë i pajisjeve dhe vonesa në komisionimin e sistemeve teknike.

Masat e zbutjes së rrezikut:

zhvillimi i përshpejtuar (ose marrja e garancive nga furnitorët) e koordinimit teknik të pajisjeve dhe komplekseve teknike;

lidhja e kontratave mbi një bazë gardiane me sanksione për mospërputhje dhe vonesa;

sigurimi i rreziqeve teknike.

7.2.4 Rreziqet e prodhimit

Ato lidhen kryesisht me mundësinë e vonesave në komisionimin e mjeteve të reja teknike dhe me cilësi të pamjaftueshme të lartë të shërbimeve të ofruara.

Potenciali për prodhimin e shërbimeve cilësore në të ardhmen është i lartë.

Një rrezik i rëndësishëm mund të jetë mungesa e personelit shumë të kualifikuar (për ofrimin e shërbimeve hoteliere).

Masat e zbutjes së rrezikut:

caktimin e qartë dhe menaxhimin e projektit;

zhvillimi i përshpejtuar i konceptit të dizajnit, përfshirë kriteret e cilësisë;

zhvillimin dhe përdorimin e një sistemi të menduar mirë të kontrollit të cilësisë së shërbimit në të gjitha fazat e krijimit të tij;

arsyetimi dhe alokimi i burimeve të mjaftueshme financiare për blerjen e pajisjeve me cilësi të lartë;

trajnimi i personelit të kualifikuar (përfshirë jashtë vendit).

7.2.5 Rreziku i brendshëm socio-psikologjik

Me formimin e këtij lloji të biznesit, rreziqet e mëposhtme sociale dhe psikologjike mund të lindin:

tensioni shoqëror në ekip;

mungesa, qarkullimi i stafit profesional;

prania e një pozicioni shkatërrues.

Masat e zbutjes së rrezikut:

zgjedhja e stafit profesional (përfshirë testimin), nëse është e nevojshme - trajnim;

zhvillimi i një mekanizmi për të stimuluar punonjësit, përfshirë pjesëmarrjen në rezultatet e punës së Kompanisë;

një sistem i ndërgjegjësimit shumë nivele nga fundi në fund i ekipit dhe menaxherëve;

zhvillimi i një qasje efektive për formimin dhe shpërndarjen e fondit të pagave.

7.2.6 Rreziqet e marketingut

Ato shoqërohen me vonesa të mundshme në hyrjen në treg, zgjedhje të gabuar (pa marrë parasysh nevojat e tregut) të shërbimeve, zgjedhje të gabuar të strategjisë së marketingut, gabime në politikën e çmimeve, etj.

Vonesat në hyrjen në treg mund të shkaktohen si nga prodhimi dhe arsyet teknike të diskutuara më sipër, ashtu edhe nga mosgatishmëria e kompanisë për të realizuar dhe promovuar në mënyrë efektive potencialin e saj teknik, prodhues, artistik dhe të tjera në treg, gjë që kërkon një program marketingu që plotëson standardet ndërkombëtare dhe shërbimin që e zbaton atë.

Meqenëse për momentin nuk ka një program në shkallë të plotë të aktiviteteve të marketingut, vlerësimi i shkallës së zgjidhjes së problemeve të marketingut është i ulët. Në të njëjtën kohë, për një firmë që synon të fitojë një pjesë të tregut nga firmat konkurruese, detyrat e marketingut duhet të jenë përparësia e parë.

Analiza e konkurrentëve tregon se konkurrenca do të jetë e ashpër, konkurrentët kanë një numër përparësish. Në këtë drejtim, është e nevojshme të kuptoni me kujdes përparësitë tuaja kryesore dhe të përqendroheni në to përpjekjet dhe burimet kryesore.

Masat e zbutjes së rrezikut:

ndërtimi i një shërbimi të fortë të marketingut;

zhvillimi i një strategjie të marketingut;

zhvillimi dhe zbatimi i politikës së produktit (asortimentit) dhe vartësia e aktiviteteve të të gjitha departamenteve në të (për shembull, duke zhvilluar dhe përdorur teknologjinë për menaxhimin e bazuar në rezultate)

zhvillimin dhe zbatimin e një programi të marketingut;

kryerja e një game të plotë të hulumtimeve të marketingut, etj.

7.2.7 Rreziqet financiare

Ato lidhen kryesisht me sigurimin e të ardhurave, të cilat varen kryesisht nga reklamat, si dhe me tërheqjen e investimeve.

Versioni i punës i planit financiar (Shtojca 1) supozon se faturat kryesore financiare sigurohen përmes përdorimit të numrave. Ulja e çmimit ose zënies së dhomës në kompleksin hotelier çon në vështirësi serioze në zbatimin e projektit.

Masat e zbutjes së rrezikut:

hulumtim urgjent i kërkesave të konsumatorëve të shërbimeve;

zhvillimin dhe përdorimin e një sistemi të menduar mirë të kontrollit të cilësisë për shërbimet në të gjitha fazat e krijimit të tyre;

arsyetimi dhe alokimi i burimeve të mjaftueshme financiare për krijimin dhe blerjen e pajisjeve me cilësi të lartë;

përdorimi i qasjes për të diversifikuar burimet e të ardhurave, kryesisht përmes paketës së "numrave të zyrave";

duke hyrë në tregun e aksioneve.

Një faktor tjetër kryesor i rrezikut financiar është nevoja për të marrë investime të mëdha në kohë.

Prania e investimeve është një parakusht për fillimin e projektit: për sa kohë që ato vonohen, fillimi i projektit do të vonohet.

Kështu, investimet janë faktori më i vështirë dhe më jetik.

Masat e zbutjes së rrezikut:

larmia e skemave të propozuara të financimit të projekteve;

zhvillimi i një strategjie investimi dhe financiare, qëllimi i së cilës është të hyjë në zonën e funksionimit fitimprurës;

kryerjen e një sërë masash për të gjetur burime investimi dhe kredie.

Hapat e ardhshëm për zhvilluesit dhe pronarët e projekteve:

diagnostifikimi i thelluar i problemit të projektit;

një sërë masash për të gjetur investime dhe burime kredie;

organizimi i punës kolektive të menaxhmentit të nivelit të lartë dhe të mesëm me konsulentë për të zhvilluar një strategji dhe një program specifik të ngjarjeve, kryesisht lidhur me marketingun, reklamimin dhe diversifikimin dhe sigurimin e:

themelimi i SH.A.

efikasitet të lartë ekonomik të projektit;

minimizimi i rrezikut;

formimi dhe dizajni organizativ i ekipeve për zbatimin e aktiviteteve të zhvilluara;

kërkimi i partnerëve të huaj strategjikë me përvojë në krijimin e institucioneve të tilla dhe të aftë për të ofruar mbështetje teknike dhe investuese.

# DOSJE: Buisnes-Plan.INF
# TEMA: Plani i biznesit "Krijimi i një kompleksi hoteli"
# SEKSIONI: Menaxhimi
#QURLLIMI: Plani i biznesit
# FORMAT: WinWord
#

Tabela 3.2.

Karakteristikat cilësore të hoteleve në Moskë

№

Emri i hotelit

Adresa e hotelit

Kategoria

Numri i vendeve

Dhoma totale

Rr. Zelenodolskaya, 3, ndërtesa 2

Rr. Botanicheskaya, 41

Plotnikov per., 12

10 vjetori i Shën Tetorit, 11

Aerostar

Prospekt Leningradsky, 37

Aeroflot

Prospekt Leningradsky, 37

Smolenskaya rr, 8

Budapesti

Linjat Petrovskie, 18/22

Leninsky pr-t, 2/1

Vila Peredelkino

Chobotovskaya rrugica e parë, 2a

Dokuchaev per., 2

Hotel rr., 9a

Rr. Yaroslavskaya, 17

Danilovskaya

B. Starodanilovsky per., 5

Yagodnaya St., 15

unaza ari

Smolenskaya rr., 5

Prospekt Vernadsky, 16

Lianozovskaya

Autostrada Dmitrovskoe, 108

Rruga Vavilova, 7a

Filevskaya B. St., 25

Metalurgjik

Oktyabrsky per., 12

Rinia

Dmitrovskoe sh., 27 vjeç

Rruga Ibragimova, 30

Nikonovka

Nikonovskiy per., 3/1

Kosygina St., 15

Royal Zenith

Rr. Tamanskaya, 49, ndërtesa B

Yaroslavskoe sh., 116, ndërtesa 2

Në veri

Suschevsky Val, 50 vjeç

Kati i shtatë

Prospekt Vernadsky, 88, ndërtesa 1, kati 7

Rr. Krylatskaya, 2

Leninsky Prospect, 90/2

Perspektivë Leninsky, 38

Blvd Lituanisht, 3a

1812 rr., 6a

Shtëpia Qendrore e Turistëve

Leninsky Prospect, 146

Fushat e Sipërme Rr., 27

Elektron-1

Andropova pr., 38, ndërtesa 2

Elektron-2

Nagornaya, 19 vjeç

Perspektiva e Balaklava, 2, ndërtesa 2

Jaroslavl

Rr. Yaroslavskaya, 8

Tabela 3.3.

Përshkrimi i shërbimeve hoteliere në Moskë

№

Emri i hotelit

Në.p luks

Cr karta

Adm. President i Federatës Ruse

cirk

Aerostar

Aeroflot

Budapesti

Vila Peredelkino

Danilovskaya

patriarku

unaza ari

Adm. President i Federatës Ruse

Lianozovskaya

Min. ekonomik

Metalurgjik

Rinia

Nikonovka

Royal Zenith

Në veri

Kati i shtatë

Shtëpia Qendrore e Turistëve

Elektron-1

Elektron-2

Jaroslavl

Shtojca 2

Plani financiar

Tabela 1: Investimi në projekt (dinamika dhe struktura), mijë dollarë amerikanë

Tabela 2: Burimet e financimit, mijë dollarë amerikanë

№

Qendrat e atashimit

Huadhënësit rusë

Inopartner

Rezultatet e projektit kthimi i kapitalit qarkullues fitimi nga projekti

Tabela 3: Shlyerjet e huave, mijë dollarë amerikanë

Interesi i kredisë 12% në vit

Pagesat: një herë në vit

Pagesat totale 0,0 mijë

№

Qendrat e atashimit

Huatë e huazuar

Kredi e akumuluar

Kamata e huasë

Pagesa e interesit

Tabela 4: Struktura e kostos, mijë dollarë amerikanë

№

Indeksi

Kostot e operimit

Amortizimi

Paga e stafit

Lista e pagave

Çmimi i kostos

Tabela 5: Struktura e faturave, mijë dollarë amerikanë

№

Qendra e fitimit

Tarifa e dhomës

Qira zyre

Qira e magazinës

Të ardhura shtesë

Tabela 6: Gjenerimi dhe shpërndarja e fitimeve, mijë dollarë amerikanë

Shkalla e tatimit mbi fitimin 30%

Shkalla e tatimit në pronë 2 "%

№

Indeksi

Çmimi i kostos

me fitim në pronë

Fitimi neto mbulimi i kredisë për riinvestim dividendët

Dividenda

Artikujt e kostos Për vitin raportues Shuma, fshij. Përqindja në shumën totale të shpenzimeve për vitin,% Për një ditë-shtrat, rubla 1 Paga e personelit kryesor të kompleksit hotelier 1056000 21,31 172,21 2 Taksa e unifikuar shoqërore (26% e listës së pagave) 274560 5,54 44,77 3 Shërbim në dhomë (mëngjes) 766500 15,47 125 4 Amortizimi i aseteve fikse 1082054 21, 83 176.46 5 ...

Inspektorë të inxhinierit, shërbimit të riparimit, shërbimit të përmirësimit të territorit, komunikimit dhe shërbimit telekomunikues, sigurisë së zjarrit dhe sigurisë. Shërbimet ndihmëse sigurojnë procesin e kompleksit hotelier, duke ofruar lavanderi, pastrim kimik, rrobaqepës, etj. Shërbimet shtesë ofrojnë shërbime me pagesë. Ato përfshijnë: një qendër biznesi, sporte dhe ...

Universiteti Teknik i Shtetit të Moskës. N.E.Bauman.

Departamenti i Matematikës së Lartë.

Detyrë shtëpie për kursin

"Teoria e probabilitetit".

Numri i opsionit 5.

Plotësuar nga: Kotlyarov A.S.

Grupi: MT6-62

Kontrolluar nga: Shakhov

Moska 2000 vit

Objektivi 1 Hidhen dy zare në të njëjtën kohë. Gjeni probabilitetin që shuma e pikave të rëna të jetë:

3. mbyllur në boshllëk.

Vendimi.

E gjithë hapësira e ngjarjeve të mundshme:

={(1,1);(1,2);(1,3);.......................(1,6);

(2,1);(2,2); ..............................(2,6);

........................................................

(6,1);(6,2);...............................(6,6)}.

Numri i opsioneve të mundshme N \u003d 36.

Ngjarja A - totali i pikëve është 7.

A \u003d ((1.6); (2.5); (3.4); (4.3); (5.2); (6.1))

Probabiliteti i ngjarjes A: P (A) \u003d

Ngjarja B - pikët totale më pak se 8.

B \u003d ((1,1); (1.2); (1.3); (1.4); (1.5); (1.6);

(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);

(3,1);(3,2);(3,3);(3,4);

(4,1);(4,2);(4,3);

Probabiliteti i ngjarjes B:

Ngjarja C - shuma e pikëve është më shumë se 6.

C \u003d ((1.6); (2.5); (2.6); (3.4); (3.5); (3.6); (4.3); (4.4) ; (4,5); (4,6); (5,2); ......... (5,6); (6,1); ....... (6, 6)).

Probabiliteti i ngjarjes C:

Ngjarja D - shuma e pikave të rëna përfshihet në interval.

D \u003d ((1.2); (1.3); (1.4); (2.1); (2.2); (2.3); (3.1); (3.2) ; (4,1)).

Probabiliteti i ngjarjes D:

Objektivi 2. Një server i caktuar merr dy kërkesa. Secili mund të regjistrohet në çdo kohë brenda 100 minutash. Koha e shërbimit të kërkesës së parë është 5 minuta, e dyta - 25 minuta. Kur një aplikacion arrin për një pajisje të zënë, aplikacioni nuk pranohet. Kur një aplikacion arrin të paktën në momentin e fundit të kohës, aplikacioni servisohet. Gjeni probabilitetin që:

Të dy porositë do të shërbehen (ngjarja A);

Një kërkesë do të dorëzohet (ngjarja B).

R
zgjidhje.

Shënojmë: X është koha e mbërritjes së porosisë 1,

Y - koha e mbërritjes së porosisë 2.

Të dy aplikacionet do të shërbehen:

a) Aplikimi 1 erdhi i pari: YX + 5,

(zona D1);

b) Aplikimi 2 erdhi i pari: XY + 25,

(zona D2);

Një kërkesë do të dorëzohet:

a) aplikimi 1:

0X95; Y75 (zona D5)

b) aplikimi 2:

0Y75; X95 (zona D6)

c) aplikimi 2 erdhi gjatë ekzekutimit të aplikimit 1:

XYX + 5 (zona D3)

d) urdhri 1 arriti gjatë ekzekutimit të urdhrit 2: Y XY + 25 (zona D4)

Mundësia që një kërkesë të plotësohet:

Objektivi 3 Jepet një diagram elektrik i një sistemi të përbërë nga 5 elementë. Ngjarja - dështimi i elementit të i-të për një periudhë të caktuar kohe. Janë dhënë probabilitetet e azhurnimit:

Ngjarja A - funksionim pa dështim i të gjithë sistemit për periudhën e konsideruar kohore. Kërkohet:

R
zgjidhje.

Nyja e dytë, e përbërë nga elementët 3,4 dështon nëse të dy këta elementë dështojnë, d.m.th. ndodh një ngjarje (
).

I gjithë qarku do të dështojë nëse të dy nyjet nuk kryejnë rrymë, dmth:

(
)(
)

Besueshmëria e sistemit:

Detyra 4 ... Nga një seri që përmban 12 produkte, ndër të cilat 7 janë të shkallës më të lartë, 6 produkte zgjidhen në mënyrë sekuenciale për kontroll në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që midis produkteve të zgjedhura do të ketë saktësisht 5 të shkallës më të lartë, me kusht që të bëhet mostra:

mirëse u ktheve,

pa kthim

Vendimi.

1 ) Le ngjarjen (i \u003d 1,2,3,4,5) - nxjerrja e një produkti premium;

ngjarje (i \u003d 1,2,3,4,5) - nxjerrja e një produkti që nuk është i shkallës më të lartë.

6 artikuj nga 12. Gjeni numrin e kombinimeve të mundshme:

.

Ngjarja B me interes për ne është që nga 6 të zgjedhur duhet të ketë 5 të gradës më të lartë. Le të gjejmë një kombinim të 6 me 1:

Probabiliteti i ngjarjes B:

……………………………………………………

Objektivi 5. Magazina mori pjesë të bëra në tre makineri. Makina e parë prodhoi 60% të pjesëve, e dyta - 10%, dhe e treta - 30%. Probabiliteti për të bërë një skrap në i-makinerinë është:

Përcaktoni probabilitetin që:

produkti i marrë nga depoja rezultoi i dëmtuar (ngjarja A);

produkti me defekt është bërë në makinerinë e tretë (ngjarja Bi).

Vendimi.

ngjarja Hi do të thotë që produkti është bërë në makinën e i-të

;
;
;

Detyra 6 Ka realizuar 4 goditje me një probabilitet konstant goditjeje të barabartë me 0.6.

Për një ndryshore të rastit m të numrit të goditjeve në shenjë, gjeni:

shpërndarja e probabilitetit;

funksioni i shpërndarjes dhe ndërtimi i grafikut të tij;

probabiliteti i një ndryshoreje të rastit që godet intervalin] 0,5,2 [;

pritja matematikore, ndryshimi dhe devijimi standard.

Vendimi.

1) shënojmë:

1. goditi 1 herë

   goditi 2 herë

   goditi 3 herë

   goditi 4 herë

2) gjeni funksionin e shpërndarjes:

0X1: F (X) \u003d P (m1) \u003d P (m \u003d 0) \u003d 0,0256;

1X2: F (X) \u003d P (m2) \u003d P (m \u003d 0) + P (m \u003d 1) \u003d 0,0256 + 0,1536 \u003d 0,1792;

2X3: F (X) \u003d P (m3) \u003d P (m \u003d 0) + P (m \u003d 1) + P (m \u003d 2) \u003d 0.1792 + 0.3456 \u003d 0.5248;

3X4: F (X) \u003d P (m4) \u003d P (m3) + P (m \u003d 3) \u003d 0,5248 + 0,3456 \u003d 0,8704;

4X5: F (X) \u003d P (m5) \u003d P (m4) + P (m \u003d 5) \u003d 0.8704 + 0.1296 \u003d 1;

përcaktoni probabilitetin që një ndryshore e rastit m të bjerë në interval] 0.5; 2 [:

P (0,5m2) \u003d P (m \u003d 2) \u003d 0,3456;

për të përcaktuar pritjen matematikore, ne përdorim formulën:

Shpërndarja:

Devijimi standard:

.

Detyra numër 7

Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme ka një dendësi të probabilitetit f (x) \u003d 32 * t * e

Kërkohet:

1.) Gjeni funksionin e shpërndarjes së tij F (x).

2.) Ndërtoni grafikët e funksionit të shpërndarjes F (x) dhe dendësisë së probabilitetit f (x).

3.) Llogaritni probabilitetin e goditjes së një ndryshore të rastit në (0.5; 2)

Vendimi.

1.) F (x) \u003d 32 * t * e dt \u003d -e + 1

2.) Grafikët janë paraqitur më poshtë

3.) Mundësia e rënies në një interval të rastit gjendet si:

P (0,5< < 2) = F(0.5) – F(2) = 0.0001

4.)

Problemi 8. Jepet dendësia e probabilitetit f (x) e ndryshores së rastit . Ndryshorja e rastit  lidhet me ndryshoren e rastësishme  nga varësia funksionale
... Per te gjetur:

Pritja matematikore dhe varianca e ndryshores së rastit  duke përdorur dendësinë e probabilitetit të ndryshores së rastit ;

Dendësia e probabilitetit të një ndryshore të rastit  dhe ndërtimi i grafikut të saj;

Pritja matematikore dhe varianca e ndryshores së rastit duke përdorur dendësinë e gjetur të probabilitetit të ndryshores së rastit.

Vendimi.

1. Pritshmëria matematikore:

2. Dendësia e probabilitetit të ndryshores së rastit :

3. Pritshmëria matematikore:

Varianca e ndryshores së rastit :

Karakteristikat numerike të llogaritura nga metoda të ndryshme janë të njëjta.

Problemi 9. Jepet një sistem me dy ndryshore të rastit (, ), ligji i shpërndarjes së të cilave jepet nga Tabela 1. Gjeni:

Ligjet e shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme  dhe;

Pritjet matematikore dhe variancat e ndryshoreve të rastit dhe ;

Vendimi.

shpërndarja e një ndryshore të rastit :

(2)=0.18+0.15+0.08=0.51

(3)=0.04+0.12+0.12=0.28

(5)=0.06+0.05+0.10=0.21

shpërndarja e një ndryshore të rastit :

(-1)=0.18+0.04+0.06=0.28

(0)=0.15+0.12+0.05=0.32

(1)=0.08+0.12+0.10=0.30

(2)=0.10

Varianca e ndryshores së rastit :

Pritja matematikore e një ndryshore të rastit :

Varianca e ndryshores së rastit :

Momenti i korrelacionit:

Koeficienti i korrelacionit:

(2/0)=
;

(3/0)=

(5/0)=

Shpërndarjet e kushtëzuara

Pritjet e kushtëzuara matematikore:

Problemi 10. Sistemi i ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme (, ) shpërndahet në mënyrë të njëtrajtshme në domenin D të kufizuar nga linjat x \u003d 1, y \u003d 0,
x\u003e 0; gjeni:

Vendimi.

1. Meqenëse shpërndarja është uniforme, atëherë f (x; y) \u003d konst. Dendësinë e probabilitetit të përbashkët e gjejmë nga gjendja e normalizimit:

2. Dendësia e probabilitetit të ndryshoreve të rastësishme  dhe:

.
; x;

; y [-2; 0];

Pritjet matematikore dhe ndryshimet e variablave të rastit  dhe:

;

;

;

;

;

;

;

Problemi 11. Gjeni pritjen dhe variancën matematikore të një ndryshore të rastit,  \u003d a + b + c, ku (, ) është një sistem i ndryshoreve të rastit nga problemi 10. a \u003d 2; b \u003d -3; c \u003d 3.

Vendimi.

Ne gjejmë pritjen matematikore:

Shpërndarja:

=.

5.1 Proceset e rastësishme dhe klasifikimi i tyre

Një proces i rastësishëm (PS) është një proces ose fenomen, sjellja e të cilit me kalimin e kohës dhe rezultati nuk mund të parashikohen paraprakisht. Shembuj të proceseve të rastit: dinamika e ndryshimeve në kursin e këmbimit ose aksionet, të ardhurat ose fitimi i organizatës me kalimin e kohës, vëllimi i shitjeve të mallrave, etj.
Nëse një proces i rastësishëm mund të ndryshojë gjendjen e tij vetëm në një moment të përcaktuar në mënyrë rigoroze në kohë, atëherë quhet një proces me kohë diskrete.
Nëse një ndryshim në gjendje është i mundur në një moment arbitrar në kohë, atëherë kjo është një PS me kohë të vazhdueshme.
Nëse në çdo moment të kohës SP është një ndryshore diskrete e rastit (vlera e saj mund të numërohet dhe mund të zgjidhen dy vlera ngjitur), atëherë ky është një proces me një gjendje diskrete.
Nëse në çdo moment të kohës shteti mund të ndryshojë vazhdimisht, pa probleme dhe është e pamundur të dallosh dy shtete fqinje, atëherë ky është një PS me një gjendje të vazhdueshme.
Kështu, janë të mundshme 4 lloje të ndërmarrjeve të përbashkëta:
1) PS me kohë të vazhdueshme dhe gjendje të vazhdueshme (shembull: temperatura e ajrit në një moment në kohë, ndryshon pa probleme në çdo kohë).
2) JV me kohë të vazhdueshme dhe gjendje diskrete (shembull: numri i vizitorëve në një dyqan ndryshon në shumëfishin e një në çdo kohë).
3) JV me kohë diskrete dhe gjendje të vazhdueshme (shembull: dinamika e kursit të këmbimit, ndryshon normalisht në kohën e tregtimit të monedhës).
4) PS me kohë diskrete dhe gjendje diskrete (shembull: numri i pasagjerëve në transport ndryshon në shumëfish të një dhe vetëm në pika të caktuara në kohë, në ndalesa).
Merrni parasysh një sistem S, në të cilën në një kohë të caktuar rreth sipërmarrja e përbashkët po funksionon. Ky proces quhet procesi Markov nëse për ndonjë moment të kohës t> rreth, sjellja e sistemit në të ardhmen varet vetëm nga gjendja e sistemit në një kohë të caktuar në t= rreth, dhe nuk varet në asnjë mënyrë se si, kur dhe në cilat shtete ishte në të kaluarën t< t rreth . Me fjalë të tjera, "e kaluara" e procesit Markov nuk ndikon në "të ardhmen" në asnjë mënyrë (vetëm përmes "së tashmes").

5.2. Rrymat e ngjarjeve.

Lloji më i thjeshtë i PS është transmetimi i ngjarjeve. Një rrjedhë ngjarjesh është një sekuencë e ngjarjeve të të njëjtit lloj që ndodhin në kohë të rastit (për shembull, thirrjet telefonike, vizitorët e dyqaneve, makinat që kalojnë në një kryqëzim, etj.). Ata i përkasin PS-së me një gjendje diskrete dhe kohë të vazhdueshme. Matematikisht, rrjedha e ngjarjeve mund të përshkruhet si pika të rastësishme në boshtin e kohës.

Nëse ngjarjet në rrjedhë ndodhin një nga një, dhe jo në grupe me disa ngjarje, atëherë një rrjedhë e tillë quhet e zakonshme. Një rrymë ngjarjesh quhet një rrymë pa pasoja nëse për ndonjë interval kohor jo të mbivendosur numri i ngjarjeve në një interval nuk ndikon në asnjë mënyrë se sa ngjarje do të ndodhin në një interval tjetër. Një rrjedhë e zakonshme pa pasoja quhet rrjedhë Poisson. Karakteristika më e rëndësishme e çdo rryme ngjarjesh është intensiteti i saj - numri mesatar i ngjarjeve që kanë ndodhur në rrjedhën për njësi të kohës.
Lidhur ngushtë me intensitetin është një sasi që ka kuptimin e intervalit mesatar kohor midis dy ngjarjeve. Nëse intervalet midis ngjarjeve fqinje janë variabla të rastësishëm që janë të pavarur nga njëri-tjetri, atëherë një rrymë e tillë ngjarjesh quhet rrjedhë Palm.
Nëse intensiteti i rrjedhës së ngjarjeve nuk varet nga koha, atëherë një rrjedhë e tillë quhet e palëvizshme. Nëse ngjarjet në një rrymë ndodhin në intervale të rregullta, atëherë quhet e rregullt.
Rrjedha e palëvizshme e Poisson quhet rrjedha më e thjeshtë. Në modelimin ekonomik, flukset Poisson përdoren kryesisht, përfshirë ato më të thjeshtat. Teoremat e mëposhtme janë të vlefshme për ta:
1) Numri i ngjarjeve që kanë ndodhur në rrjedhën e Poisson është një ndryshore e rastësishme e shpërndarë sipas ligjit të Poisson. Probabiliteti që në një Poisson të rrjedhë me intensitet gjatë intervalit kohor ( t 1 ; t 2) do të ndodhë saktësisht k ngjarjet është e barabartë me:
ku .
Nëse rrjedha është e thjeshtë, atëherë .
2) Intervali midis ngjarjeve ose kohës së pritjes për ngjarjen tjetër T në rrjedhën e Poisson ekziston një ndryshore e rastësishme e shpërndarë sipas ligjit eksponencial, domethënë probabiliteti që ngjarja tjetër të ndodhë jo më herët t, është e barabartë me:
.
Nëse rrjedha është më e thjeshtë, atëherë
Shembull : Dyqani vizitohet nga mesatarisht 20 klientë në orë. Përcaktoni probabilitetin që: a) do të ketë 2 blerës në 5 minuta; b) do të ketë të paktën 3 blerës në 10 minuta; c) në 3 minuta nuk do të ketë një blerës të vetëm.
Vendimi. Zgjedhja e 1 minutë për njësi të kohës, intensiteti i rrjedhës Poisson të blerësve të dyqaneve (20 blerës në orë ose 1/3 e blerësit në minutë).
dhe) k=2, t 1 =0, t 2 =5,

b) k ≥3, t 1 =0, t 2 \u003d 10, gjejmë probabilitetin e një ngjarje të kundërt që do të jetë më pak se 3 blerës;
.
c) nga teorema e dytë t \u003d 3, .

5.3. Markov SP, me gjendje diskrete

Në modelimin e sistemeve ekonomike të mundshme (stokastike), Markov SP përdoret shumë shpesh. Merrni parasysh një gjendje diskrete me kohë të vazhdueshme me SP. Atëherë të gjitha shtetet e tij mund të renditen: S 1 ,S 2 ,…, S n.
Të gjitha kalimet e mundshme midis gjendjeve mund të përshkruhen duke përdorur një grafik të gjendjes.
Grafiku i gjendjes është një grafik i renditur, kulmet e të cilit janë gjendjet e mundshme S i dhe midis dy gjendjeve ka një skaj - një shigjetë, nëse një tranzicion i drejtpërdrejtë midis shteteve është i mundur.
Për shembull, një dyqan mund të jetë në shtetet e mëposhtme:
S 1 - ka klientë që shërbehen,
S 2 - nuk ka klientë,
S 3 - mallrat pranohen,
S 4 - llogaritja e mallrave, e cila ndonjëherë ndodh pas pranimit të saj.
Pastaj puna e dyqanit mund të përshkruhet nga grafiku i gjendjes

Për të llogaritur karakteristikat kryesore të sistemit, është e nevojshme të njihen treguesit probabilistë gjatë tranzicionit midis shteteve.
Merrni parasysh 2 gjendje S idhe S j... Intensiteti i rrjedhës kalimtare është numri mesatar i tranzicioneve nga gjendja S i në gjendje S j për njësi të kohës që sistemi kalon në shtet S i... Nëse dihet koha mesatare T ij, për të cilin sistemi shpenzon S i para se të shkojnë në S j, atëherë mund të shkruani:.
Intensitetet e fluksit kalimtar tregohen në grafikun shtetëror pranë shigjetave përkatëse. Detyra kryesore në modele të tilla është përcaktimi i probabiliteteve të gjendjeve, të cilat kanë kuptimin e fraksionit mesatar të kohës që sistemi kalon në këtë gjendje.
Për të gjetur probabilitetet e gjendjeve, hartohet një sistem ekuacionesh
(*)
Ky sistem mund të përbëhet sipas rregullave të mëposhtme:
1) Numri i ekuacioneve në sistem është i barabartë me numrin e gjendjeve.
2) Çdo shtet S j i përgjigjet ekuacionit me numër j.
3) Në anën e majtë të secilit ekuacion është shuma e intensiteteve (qëndroni mbi shigjeta) për të gjitha shigjetat që hyjnë në gjendje S j shumëzuar me gjasat e gjendjeve nga dalin shigjetat;
4) Në anën e djathtë të ekuacioneve, shuma e intensiteteve që dalin nga S j qitës, kjo shumë shumëzohet me probabilitetin P j.
Sidoqoftë, sistemi i ekuacioneve (*) është i degjeneruar dhe për të gjetur një zgjidhje unike në këtë sistem, çdo ekuacion duhet të zëvendësohet nga kushti i normalizimit:
.
Shembulli 1: Linja automatike e montimit të ndërmarrjes prishet një herë në muaj mesatarisht dhe riparohet mesatarisht 3 ditë. Përveç kësaj, mesatarisht, ajo i nënshtrohet mirëmbajtjes 2 herë në muaj, e cila zgjat mesatarisht 1 ditë. Mesatarisht, një në tre raste të mirëmbajtjes zbulon një problem dhe linja riparohet. Përcaktoni fitimin mesatar të linjës në muaj, nëse për një ditë uptime fitimi është 15 mijë rubla. Një ditë e përpunimit teknik kushton 20 mijë rubla, dhe një ditë riparimi - 30 mijë rubla.
Vendimi. Le të gjejmë gjasat e gjendjeve të barabarta me fraksionet e kohës së funksionimit, riparimit dhe mirëmbajtjes. Le te jete:
S 1 - linja po punon,
S 2 - mirëmbajtja,
S 3 - rinovimi.

Ne krijojmë një sistem ekuacionesh. Në shtet S 1 përfshin 2 shigjeta: nga S 2 me një intensitet prej 20 dhe nga S 3 me intensitet 10, kështu që ana e majtë e ekuacionit të parë është:. Nga shteti S 1 ka dy shigjeta me intensitet 2 dhe 1, kështu që ana e djathtë e ekuacionit të parë të sistemit do të marrë formën:. Në mënyrë të ngjashme, bazuar në shtetet S 2 dhe S 3 kompozojmë ekuacionet e dyta dhe të treta. Si rezultat, sistemi do të duket si:

Sidoqoftë, ky sistem është i degjeneruar dhe për zgjidhjen e tij është e nevojshme të zëvendësohet çdo ekuacion (për shembull, i pari) me kushtin e normalizimit:. Si rezultat, ne marrim sistemin:

Shprehim nga ekuacionet 1 dhe 2 R 1 dhe R 3 përmes R 2: , dhe duke zëvendësuar rezultatin në ekuacionin e 3-të, gjejmë: ,,. Ne shumëzojmë gjasat me 30 ditë të muajit dhe zbulojmë se mesatarisht një linjë operon 24.3 ditë në muaj, mirëmbajtje - 1.6 ditë, riparime - 4.1 ditë. Nga kjo rrjedh se fitimi mesatar do të jetë 24,3 × 15-1,6 × 20-4,1 × 30 \u003d 209,5 mijë rubla.
Shembulli 2: Agjensia e udhëtimeve ka një shitës dhe një menaxher. Mesatarisht, 2 klientë vijnë në agjenci në orë. Nëse shitësi është i lirë, ai i shërben klientit, nëse është i zënë, atëherë menaxheri i shërben klientit, nëse të dy janë të zënë, klienti largohet. Koha mesatare e shërbimit nga një shitës është 20 minuta, nga një menaxher - 30 minuta. Çdo klient sjell një fitim mesatar prej 100 rubla.
Përcaktoni fitimin mesatar të agjencisë për 1 orë, dhe numrin mesatar të klientëve të humbur në orë.
Vendimi. Ne përcaktojmë gjendjen e sistemit:
S 1 - shitësi dhe menaxheri janë falas,
S 2 - shitësi është i zënë, menaxheri është i lirë,
S 3 - shitësi është falas, menaxheri është i zënë,
S 4 - të dy janë të zënë.
Ndërtimi i një grafiku shtetëror:

Ne krijojmë një sistem ekuacionesh, duke zëvendësuar ekuacionin e 4-të me kushtin e normalizimit:

Duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve, gjejmë:
.
Prandaj, shitësi është i angazhuar në shërbimin P 2 + P 4 \u003d 0.25 + 0.15 \u003d 0.4, domethënë 40% të kohës. Nëse do të shërbente 100% të kohës, atëherë ai do të shërbente 3 klientë në orë, por në realitet: 3 × 0.4 \u003d 1.2 dhe bën fitim për 1 orë 120 rubla. Menaxheri punon P 3 + P 4 \u003d 0.11 + 0.15 \u003d 0.26, d.m.th. 26% të kohës dhe për këtë arsye do të shërbejë 2 × 0.26 \u003d 0.52 klientë në orë dhe të bëjë një fitim prej 52 rubla në orë. Fitimi mesatar për 1 orë do të jetë 172 rubla. Klientët janë të humbur në gjendjen S 4. Meqenëse P 4 \u003d 0.15, 15% e 2 klientëve të mundshëm ose 0.3 klientëve humbin në orë. Humbjet janë 30 rubla në orë për shkak të klientëve të humbur.

5.4. Proceset e vdekjes dhe riprodhimit.

Në shumë sisteme ekonomike në të cilat operon ndërmarrja e përbashkët, situatat lindin nga ndonjë shtet (përveç shtetit të parë dhe të fundit) S i tranzicioni është i mundur vetëm në shtetet fqinje S i +1 dhe S i -1 procese të tilla quhen procese të vdekjes dhe riprodhimit dhe përshkruhen nga një grafik shtetëror.


Intensitetet quhen intensitete të riprodhimit, dhe m unë - intensiteti i vdekjes. Për të gjetur probabilitetin e secilës gjendje, përdoren formulat e mëposhtme:
, (+)
, , …, .
Shembull 5.1 Ka 5 makina në shërbimin e makinave. Secili prej tyre prishet mesatarisht 4 herë në vit dhe riparimet zgjasin mesatarisht 1 muaj. Përcaktoni se çfarë proporcioni të kohës janë në rregull të gjitha makinat dhe numrin mesatar të makinave të mira në një moment arbitrar në kohë.
Vendimi. Futni shtetin e sistemit:
S 0 - të gjitha makinat janë prishur,
Automjeti S 1 - 1 është operacional,
S 2 - 2 makina janë funksionale,
S 3 - 3 makina janë funksionale,
S 4 - 4 makina janë funksionale,
S 5 - 5 makina janë të shërbyeshme.
Le të ndërtojmë një grafik të gjendjeve dhe të rregullojmë intensitetet kalimtare.
Për shembull, për të shkuar nga S 1 in S 0 kemi një situatë: 1 veturë është operacionale dhe prishet, kjo ndodh 4 herë në vit, d.m.th. intensiteti është 4. Për të shkuar nga S 2 in S 1: 2 makina janë në gjendje të mirë pune dhe secila prej tyre prishet 4 herë në vit, d.m.th. intensiteti është 8. Pjesa tjetër e normave të vdekjeve rregullohen me analogji.
Për të shkuar nga S 4 in S 5 kemi një situatë: 1 veturë është e gabuar dhe po riparohet, kjo zgjat 1 muaj ose 12 herë në vit, d.m.th. intensiteti është 12. Për të shkuar nga S 3 in S 4 kemi një situatë: 2 vetura janë të gabuara dhe secila prej tyre mund të riparohet me një intensitet prej 12, d.m.th. intensiteti i përgjithshëm është 24. Pjesa tjetër e intensiteteve të shumimit rregullohen me analogji.

Llogarisim me formula (+) probabilitetet e gjendjeve, e barabartë me fraksionin mesatar të kohës kur sistemi është në këto gjendje.


, = 0,088, , ,
Të gjitha makinat janë të shërbyeshme në gjendjen S 5, proporcioni mesatar i kohës kur makinat janë të shërbimit është 0.24. Numri mesatar i makinave të shërbimit është gjetur si pritja matematikore:

Shembulli 5.2... Organizata pranon aplikime nga publiku për punë riparimi. Aplikimet pranohen me telefon, në dy linja dhe ato shërbehen nga dy dispeçer. Nëse një linjë është e zënë, aplikacioni kalon automatikisht në të dytën. Nëse të dy linjat janë të zënë, kërkesa humbet. Numri mesatar i servisimit të një kërkese është 6 minuta. Mesatarisht, një aplikacion sjell një fitim prej 30 rubla. Sa është fitimi në orë? A këshillohet të organizoni një kanal të tretë me një dispeçer të tretë nëse mirëmbajtja e tij kushton 150 rubla në orë?
Vendimi... Konsideroni së pari një sistem me dy kanale.
Le të prezantojmë gjendjet e mundshme:
S 0 - pa porosi (të dy telefonat janë falas),
S 1 - një kërkesë po shërbehet (një telefon është i zënë),
S 2 - shërbehen dy kërkesa (të dy telefonat janë të zënë).
Grafiku i gjendjes do të duket si:

Gjeni probabilitetet e shteteve. Sipas formulave të dhëna (+):

Mesatarisht, 54% e aplikacioneve humbasin në orë, ose 0,54 30 \u003d 16,2 aplikime. Shërbehen 13.8 kërkesa në orë dhe fitimi mesatar është 13.8 × 30 \u003d 414 rubla.
Shikoni tani situatën me tre rreshta. Në këtë rast, tre operatorë shërbejnë 3 linja telefonike dhe thirrja hyrëse vjen në çdo linjë falas. Shtetet e mëposhtme janë të mundshme:
S 0 - pa aplikacione (tre telefona janë falas),
S 1 - një kërkesë po shërbehet (një telefon është i zënë),
S 2 - shërbehen dy kërkesa (dy telefonë janë të zënë),
S 3 - tre kërkesa shërbehen (të gjithë telefonat janë të zënë).

Duke përdorur formulat (+), gjejmë probabilitetet e gjendjeve:
,
.
Mesatarisht, 35% e aplikacioneve humbasin, ose 10.4 aplikacione në orë. Shërbyer 19,6 aplikacione. Fitimi mesatar është 588 rubla në orë. Fitimi u rrit me 174. Me një kosto prej 150 rubla në orë, është e përshtatshme të prezantohet kanali i tretë i shërbimit.

Metodat për përshkrimin matematikor të një procesi të rastësishëm Markov që ndodhin në një sistem me gjendje diskrete varen nga ato pika në kohë - të njohura paraprakisht ose rastësisht - kalimet ("kërcimet") e sistemit nga shteti në shtet.

Një proces i rastësishëm quhet një proces me kohë diskrete nëse kalimet e sistemit nga gjendja në gjendje janë të mundshme vetëm në kohë të paracaktuara në mënyrë rigoroze :. Në intervalet ndërmjet këtyre momenteve, sistemi S ruan gjendjen e tij.

Një proces i rastësishëm quhet një proces me kohë të vazhdueshme nëse kalimi i sistemit nga gjendja në gjendje është i mundur në çdo moment, të panjohur më parë, të rastit

Le të shohim para së gjithash një proces të rastësishëm Markov me gjendje diskrete dhe kohë diskrete.

Le të ketë një sistem fizik S, i cili mund të jetë në gjendje:

për më tepër, kalimet ("kërcimet") e sistemit nga shteti në shtet janë të mundshme vetëm në momentet:

Ne do t'i quajmë këto momente "hapa" ose "faza" të procesit dhe do të konsiderojmë procesin e rastësishëm që ndodh në sistemin S si një funksion i një argumenti të plotë: (numrat e hapave).

Procesi i rastësishëm që ndodh në sistem konsiston në faktin se në momente të njëpasnjëshme të kohës sistemi S e gjen veten në një ose një gjendje tjetër, duke u sjellë, për shembull, si më poshtë:

Në rastin e përgjithshëm, në momente të sistemit jo vetëm që mund të ndryshojë gjendjen, por gjithashtu të mbetet në të njëjtën gjendje, për shembull:

Le të pranojmë të shënojmë ngjarjen që pas hapave sistemi të jetë në gjendje Për çdo ngjarje k

formojnë një grup të plotë dhe nuk janë në përputhje.

Procesi që zhvillohet në sistem mund të përfaqësohet si një sekuencë (zinxhir) e ngjarjeve, për shembull:

Një sekuencë e tillë e rastësishme e ngjarjeve quhet një zinxhir Markov nëse për çdo hap probabiliteti i kalimit nga çdo gjendje në ndonjë tjetër nuk varet nga kur dhe si sistemi hyri në gjendje

Ne do të përshkruajmë zinxhirin Markov duke përdorur të ashtuquajturat gjasa të gjendjes. Lejoni në çdo moment të kohës (pas çdo hapi) sistemi S mund të jetë në një nga shtetet:

do të thotë, do të zhvillohet një nga grupi i plotë i ngjarjeve të papajtueshme:

Le të shënojmë mundësitë e këtyre ngjarjeve:

Probabilitetet pas hapit të parë

Probabilitetet pas hapit të dytë; dhe përgjithësisht pas hapit:

Easyshtë e lehtë të shohësh se për secilin hap k k

meqenëse këto janë gjasat e ngjarjeve të paqëndrueshme që formojnë një grup të plotë.

Ne do t'i quajmë gjasat

probabilitetet e shteteve; Le të vendosim detyrën: të gjejmë gjasat e gjendjeve të sistemit për çdo k.

Le të përfaqësojmë gjendjet e sistemit në formën e një grafiku (Fig. 4.6), ku shigjetat tregojnë kalimet e mundshme të sistemit nga gjendja në shtet në një hap.

Një proces i rastësishëm (zinxhiri Markov) mund të imagjinohet sikur pika që përfaqëson sistemin S lëviz rastësisht (endet) përgjatë grafikut të gjendjes, duke kërcyer nga gjendja në gjendje në momente dhe ndonjëherë (në rastin e përgjithshëm) dhe duke vonuar një numër të caktuar hapash në të njëjtin shtet. Për shembull, sekuenca e tranzicionit

mund të përshkruhet në grafikun e gjendjes si një sekuencë e pozicioneve të ndryshme të një pike (shih shigjetat me pika që përshkruajnë tranzicionet gjendje në gjendje në Figurën 4.7). "Vonesa" e sistemit në shtet në hapin e tretë përshkruhet nga një shigjetë që lë shtetin dhe kthehet në të.

Për çdo hap (moment i kohës ose numrit, ka disa probabilitet të kalimit të sistemit nga çdo gjendje në ndonjë tjetër (disa prej tyre janë të barabarta me zero nëse një tranzicion i drejtpërdrejtë në një hap është i pamundur), si dhe probabilitetin e vonesës së sistemit në këtë gjendje.

Këto mundësi do t’i quajmë probabilitetet e tranzicionit të zinxhirit Markov.

Një zinxhir Markov quhet homogjen nëse probabilitetet e tranzicionit nuk varen nga numri i hapit. Përndryshe, zinxhiri Markov quhet jo homogjen.

Konsideroni së pari një zinxhir homogjen Markov. Lejoni që sistemi S. të ketë gjendje të mundshme. Supozoni se për secilën gjendje ne e dimë mundësinë e kalimit në ndonjë gjendje tjetër në një hap (përfshirë edhe mundësinë e një vonese në këtë gjendje). Le të tregojmë probabilitetin e tranzicionit në një hap nga gjendja S, në gjendje do të ketë probabilitet të vonesës së sistemit në gjendje. Ne shkruajmë probabilitetet e tranzicionit në formën e një tabele drejtkëndëshe (matricë):

Disa nga probabilitetet e tranzicionit mund të jenë të barabarta me zero: kjo do të thotë që në një hap, kalimi i sistemit nga shteti në shtet është i pamundur. Përgjatë diagonës kryesore të matricës së probabiliteteve të tranzicionit janë gjasat që sistemi të mos largohet nga shteti por të mbetet në të.

Duke përdorur ngjarjet e prezantuara më lart, probabilitetet e tranzicionit mund të shkruhen si probabilitet të kushtëzuar:

Nga kjo rrjedh që shuma e termave në secilën rresht të matricës (2.3) duhet të jetë e barabartë me një, pasi pa marrë parasysh se në çfarë gjendje është sistemi para një hapi, ngjarjet janë të paqëndrueshme dhe formojnë një grup të plotë.

Kur merren parasysh zinxhirët Markov, shpesh është e përshtatshme të përdoret grafiku i gjendjes, në të cilin shigjetat kanë gjasat përkatëse të tranzicionit (shih Fig. 4.8). Një grafik të tillë do ta quajmë "grafik i gjendjes së etiketuar".

Vini re se në Fig. 4.8, jo të gjitha probabilitetet e tranzicionit janë vendosur, por vetëm ato prej tyre që nuk janë të barabarta me zero dhe ndryshojnë gjendjen e sistemit, domethënë, me "probabilitetin e vonesës", është e panevojshme të vendoset në grafik, pasi secila prej tyre plotëson shumën e probabiliteteve të tranzicionit që korrespondon me të gjitha shigjeta që dalin nga kjo gjendje. Për shembull, për grafikun në Fig. 4.8

Nëse nga shteti S; nuk del asnjë shigjetë e vetme (kalimi nga ai në ndonjë gjendje tjetër është i pamundur), probabiliteti përkatës i vonesës është i barabartë me një.

Duke pasur në dispozicionin tonë një grafik të gjendjes së etiketuar (ose, i cili është ekuivalent, një matricë e probabiliteteve të tranzicionit) dhe duke ditur gjendjen fillestare të sistemit, ne mund të gjejmë probabilitetet e gjendjeve

pas ndonjë hapi.

Le të tregojmë se si bëhet kjo.

Supozoni se në momentin fillestar (para hapit të parë) sistemi është në një gjendje të caktuar, për shembull, Pastaj, për momentin fillestar (0) do të kemi:

domethënë probabilitetet e të gjitha gjendjeve janë të barabarta me zero, me përjashtim të probabilitetit të gjendjes fillestare, e cila është e barabartë me një.

Le të gjejmë probabilitetet e gjendjeve pas hapit të parë. Ne e dimë që para hapit të parë, sistemi dihet se është në shtet

Prandaj, në hapin e parë, ai do të shkojë në shtetet me probabilitet

shkruar në rreshtin e matricës së probabiliteteve të tranzicionit. Kështu, probabilitetet e gjendjeve pas hapit të parë do të jenë:

Le të gjejmë probabilitetet e gjendjeve pas hapit të dytë:

Ne do t'i llogarisim ato duke përdorur formulën e probabilitetit total, me hipoteza:

Pas hapit të parë, sistemi ishte në gjendje të

Pas hapit të parë, sistemi ishte në gjendje të

Pas hapit të parë, sistemi ishte në gjendje të

Dihen gjasat e hipotezave (shih (2.4)); Gjasat e kushtëzuara të kalimit në një gjendje për secilën hipotezë janë gjithashtu të njohura dhe janë shkruar në matricën e probabiliteteve të tranzicionit. Duke përdorur formulën për probabilitetin total, ne marrim:

ose, shumë më e shkurtër,

Në formulën (2.6), përmbledhja shtrihet zyrtarisht në të gjitha gjendjet, në fakt, është e nevojshme të merren parasysh vetëm ato prej tyre për të cilat probabilitetet e tranzicionit janë të ndryshme nga zero, domethënë ato gjendje nga të cilat mund të ndodhë një kalim në një gjendje (ose një vonesë në të).

Kështu, dihen gjasat e gjendjeve pas hapit të dytë. Padyshim, pas hapit të tretë, ato përcaktohen në të njëjtën mënyrë:

dhe përgjithësisht pas hapit:

Pra, probabilitetet e gjendjeve pas një hapi përcaktohen nga formula e përsëritjes (2.8) për sa i përket probabilitetit të gjendjeve pas një hapi; ato, nga ana tjetër, përmes gjasave të gjendjeve pas hapit, etj.

Shembull 1. Një objektiv qëllohet me katër të shtëna herë-herë

Objektivi (sistemi) i mundshëm shprehet:

Synimi është i padëmtuar;

Synimi është dëmtuar pak;

Shënjestra mori dëm të konsiderueshëm;

Synimi goditet plotësisht (nuk mund të funksionojë). Grafiku i gjendjes së etiketuar të sistemit është treguar në Fig. 4.9.

Në momentin fillestar, objektivi është në një gjendje (jo i dëmtuar). Përcaktoni probabilitetet e gjendjeve të synuara pas katër shkrepjesh. Zgjidhje. Nga grafiku i gjendjes që kemi;

MOSKW, 30 korrik - RIA Novosti.Fizikanët IKBFU I. Kant konsideroi një nga modelet e mundshme matematikore të energjisë së errët dhe zbuloi se e ardhmja e Universit tonë mund të jetë shumë më e paparashikueshme dhe katastrofike sesa mendohej më parë. Rezultatet e hulumtimit janë botuar në revistën shkencore me vlerësime të larta "The European Physical Journal C."

"Marrja parasysh e një klase të re të veçantive (gjendjet në të cilat ky apo ai parametër bëhet i pafund) e bën të ardhmen e Universit tonë të paparashikueshme dhe të rrezikshme. Në këtë punë, ne kemi treguar se disa veçori mund të lindin krejt papritur, në pothuajse çdo moment në kohë. Asnjë yll, madje as galaktikat nuk do të mbijetojnë një katastrofë të tillë, ”tha Artem Yurov, një nga autorët e studimit, profesor në IKBFU.

Në fund të shekullit XX - fillimi i shekullit XXI, një numër zbulimesh të rëndësishme u bënë në kozmologji: u zbuluan prova indirekte të zgjerimit inflacionist të Universit, materies së errët dhe energjisë dhe valët gravitacionale. Në vitin 1998, shkencëtarët zbuluan se universi ynë jo vetëm po zgjerohet, por po zgjerohet me një ritëm në rritje.

Shkencëtarët besojnë se arsyeja për këtë përshpejtim është i ashtuquajturi "sektor i errët" i universit. Sipas të dhënave vëzhguese, përmbajtja totale e Universit tonë përbëhet nga vetëm 4.9% e materies së zakonshme baronike, 95.1% e mbetur janë në "sektorin e errët", i cili përbëhet nga lëndë misterioze e errët (26.8%) dhe madje edhe më misterioze e errët energji (68.3%).

Ekzistojnë tre hipoteza kryesore në lidhje me atë që është energjia e errët. Sipas të parës, energjia e errët është një konstante kozmologjike - një dendësi e vazhdueshme e energjisë që në mënyrë uniforme mbush hapësirën e Universit. Hipoteza e dytë përcakton energjinë e errët si një lloj kuintesence - një fushë dinamike, dendësia e energjisë e së cilës mund të ndryshojë në hapësirë \u200b\u200bdhe kohë. Sipas të tretës, energjia e errët është një shfaqje e gravitetit të modifikuar në distanca të rendit të madhësisë së pjesës së dukshme të Universit.

"E ardhmja e universit tonë varet nga cili prej këtyre modeleve është i saktë. Nëse hipoteza e dytë është e saktë dhe energjia e errët është vërtet kuintesenca, atëherë e ardhmja mund të jetë e mbushur me surpriza befasuese dhe të pakëndshme. Në veçanti, veçoritë mund të duken të drejta gjatë zgjerimit të përshpejtuar! Për shembull, presioni i kuintesencës mund të "shpërthejë" papritmas, - tha profesori Yurov.

Se një katastrofë e tillë është e mundur u llogarit në 2004 nga një profesor në Universitetin e Kembrixhit, John Barrow. Një studim më i plotë matematik i kësaj çështje lejoi fizikantët Sergei Odintsov, Shinichi Nojiri dhe Shinji Tsujikawa të klasifikojnë veçoritë e tilla të mundshme katastrofike të së ardhmes.

Grup fizikantësh të IKBFU Kant, nën drejtimin e Profesor Artyom Yurov, sugjeroi dhe tregoi matematikisht se mund të ketë një klasë të tërë të veçantive që nuk mbulohen nga klasifikimi Odintsov-Nojiri-Tsujikawa. Kjo do të thotë që universi ynë mund të vdesë papritmas. Kolegët e huaj u interesuan për studimin e fizikantëve rusë, i cili u krye me mbështetjen e Projektit 5-100. Në veçanti, John Barrow kontaktoi autorët me një letër.

"Modeli për të cilin po flasim është një nga qindra modelet e lindjes dhe vdekjes së Universit tonë. Autorët nga IKBFU konsideruan saktë një model me një potencial specifik të një fushe skalare, dhe treguan se faktori i shkallës mund të ndryshojë në mënyrë drastike sjelljen e tij. Kjo punë është me interes. Duhet të kihet parasysh për të ardhmen, pasi me sa duket nuk bie ndesh me të dhënat moderne të vëzhgimit, "theksoi kozmologu, profesor në NRNU MEPhI, Sergei Rubin.