Këndi ndërmjet drejtëzave në hapësirë do të quajmë cilindo nga këndet ngjitur të formuar nga dy drejtëza të tërhequra përmes një pike arbitrare paralele me të dhënat.
Le të jepen dy vija të drejta në hapësirë:
Natyrisht, këndi midis vijave të drejta mund të merret si kënd midis vektorëve të drejtimit të tyre dhe. Meqenëse, atëherë, sipas formulës për kosinusin e këndit midis vektorëve, marrim
Kushtet për paralelizmin dhe pingulitetin e dy drejtëzave janë ekuivalente me kushtet për paralelizmin dhe pingulitetin e vektorëve të drejtimit të tyre dhe:
Dy drejt paralele nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre përkatës janë proporcionalë, d.m.th. l 1 paralele l 2 nëse dhe vetëm nëse janë paralele 
.
Dy drejt pingul nëse dhe vetëm nëse shuma e prodhimeve të koeficientëve përkatës është zero:.
Kanë qëllimi midis vijës së drejtë dhe planit
Le të jetë e drejtë d- jo pingul me rrafshin θ;
d′ - projeksioni i vijës së drejtë d në aeroplan θ;
Këndet më të vogla ndërmjet vijave të drejta d dhe d"Ne do të thërrasim këndi ndërmjet vijës dhe rrafshit.
Ne e shënojmë atë si φ = ( d,θ)
Nëse d⊥θ, atëherë ( d, θ) = π / 2
Oi→j→k→ - sistem koordinativ drejtkëndor.
Ekuacioni i planit:
θ: Sëpatë+Nga+Cz+D=0
Supozojmë se linja jepet nga një pikë dhe një vektor drejtimi: d[M 0,fq→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Pastaj mbetet për të gjetur këndin midis vektorëve n→ dhe fq→, e shënojmë si γ = ( n→,fq→).
Nëse këndi γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Nëse këndi γ> π / 2, atëherë këndi i kërkuar φ = γ − π / 2
sinφ = mëkat (2π − γ) = cosγ
sinφ = mëkat (γ − 2π) = - cosγ
Pastaj, këndi ndërmjet vijës dhe rrafshit mund të llogaritet duke përdorur formulën:
sinφ = ∣cosγ∣ = ∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√fq 21+fq 22+fq 23
Pyetja 29. Koncepti i një forme kuadratike. Shenjë-përcaktueshmëria e formave kuadratike.
Forma kuadratike j (x 1, x 2, ..., x n) n ndryshore reale x 1, x 2, ..., x n quhet shuma e formës 
, (1)
ku një ij - disa numra të quajtur koeficientë. Pa humbur përgjithësinë, mund të supozojmë se një ij = një ji.
Forma kuadratike quhet e vlefshme, nëse një ij
Î GR. Nga një matricë e formës kuadratike quhet një matricë e përbërë nga koeficientët e saj. Forma kuadratike (1) korrespondon me matricën e vetme simetrike 
Dmth. A T = A... Prandaj, forma kuadratike (1) mund të shkruhet në formën e matricës j ( NS) = x T Ax, ku x T = (NS 1 NS 2 … x n). (2)
Dhe, anasjelltas, çdo matricë simetrike (2) korrespondon me një formë kuadratike unike deri në shënimin e variablave.
Nga rangu i formës kuadratike quaj rangun e matricës së saj. Forma kuadratike quhet jo i degjeneruar, nëse matrica e tij është jo e degjeneruar A... (kujtoni se matrica A quhet jo i degjeneruar nëse përcaktorja e tij nuk është zero). Përndryshe, forma kuadratike është e degjeneruar.
të përcaktuara pozitivisht(ose rreptësisht pozitive) nëse
j ( NS) > 0 , për këdo NS = (NS 1 , NS 2 , …, x n), përveç NS = (0, 0, …, 0).
Matricë A forma kuadratike e caktuar pozitive j ( NS) quhet edhe definitive pozitive. Rrjedhimisht, një matricë e vetme pozitive e përcaktuar korrespondon me një formë kuadratike të caktuar pozitive dhe anasjelltas.
Forma kuadratike (1) quhet të përcaktuara negativisht(ose rreptësisht negative) nëse
j ( NS) < 0, для любого NS = (NS 1 , NS 2 , …, x n), përveç NS = (0, 0, …, 0).
Ngjashëm si më sipër, një matricë e formës kuadratike të përcaktuar negative quhet gjithashtu definitive negative.
Prandaj, forma kuadratike e përcaktuar pozitivisht (negativisht) j ( NS) arrin vlerën minimale (maksimale) j ( NS*) = 0 për NS* = (0, 0, …, 0).
Vini re se shumica e formave kuadratike nuk janë të përcaktuara, domethënë nuk janë as pozitive as negative. Forma të tilla kuadratike zhduken jo vetëm në origjinën e sistemit të koordinatave, por edhe në pika të tjera.
Kur n> 2, kërkohen kritere të veçanta për të kontrolluar përcaktueshmërinë e formës kuadratike. Le t'i konsiderojmë ato.
Të mitur të mëdhenj forma kuadratike quhen minore:
domethënë, këta janë të mitur të rendit 1, 2, ..., n matricat A e vendosur në këndin e sipërm të majtë, e fundit prej tyre përkon me përcaktorin e matricës A.
Kriteri i definicionit pozitiv (Kriteri Silvester)
NS) = x T Ax ishte e përcaktuar pozitive, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të gjithë të miturit kryesorë të matricës A ishin pozitive, pra: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Kriteri negativ i sigurisë Në mënyrë që forma kuadratike j ( NS) = x T Ax ishte negativisht i përcaktuar, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të voglat kryesore të rendit çift të jenë pozitive, dhe ato të rendit tek të jenë negative, d.m.th. M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n
Me këtë kalkulator në internet mund të gjeni këndin midis vijave të drejta. Jepet një zgjidhje e detajuar me shpjegime. Për të llogaritur këndin midis vijave të drejta, vendosni dimensionin (2 - nëse merret parasysh një vijë e drejtë në një plan, 3 - nëse merret parasysh një vijë e drejtë në hapësirë), futni elementet e ekuacionit në qeliza dhe klikoni në " Butoni Zgjidh". Shihni pjesën teorike më poshtë.
×
Nje paralajmerim
Të pastrohen të gjitha qelizat?
Mbylle Pastro
Udhëzime për futjen e të dhënave. Numrat futen si numra të plotë (shembull: 487, 5, -7623, etj.), numra dhjetorë (p.sh. 67., 102.54, etj.) ose thyesa. Thyesa duhet të shtypet në formën a / b, ku a dhe b (b> 0) janë numra të plotë ose dhjetorë. Shembujt 45/5, 6.6 / 76.4, -7 / 6.7, etj.
1. Këndi ndërmjet vijave të drejta në rrafsh
Vijat e drejta jepen nga ekuacionet kanonike
1.1. Përcaktimi i këndit ndërmjet vijave të drejta
Lërini në hapësirë dydimensionale vijat L 1 dhe L
Kështu, nga formula (1.4), mund të gjendet këndi midis vijave të drejta L 1 dhe L 2. Siç mund të shihet nga Fig. 1, vijat e drejta të kryqëzuara formojnë qoshe ngjitur φ dhe φ 1 . Nëse këndi i gjetur është më i madh se 90 °, atëherë mund të gjeni këndin minimal midis vijave të drejta L 1 dhe L 2: φ 1 =180-φ .
Nga formula (1.4), mund të nxirren kushtet për paralelizmin dhe pingulitetin e dy drejtëzave.
Shembulli 1. Përcaktoni këndin ndërmjet drejtëzave
Le të thjeshtojmë dhe zgjidhim:
1.2. Kushti i paralelizmit për drejtëzat
Le te jete φ = 0. Pastaj cosφ= 1. Në këtë rast, shprehja (1.4) do të marrë formën e mëposhtme:
| , |
| , |
Shembulli 2. Përcaktoni nëse drejtëzat janë paralele
Barazia (1.9) është e plotësuar, prandaj drejtëzat (1.10) dhe (1.11) janë paralele.
Përgjigju. Drejtëzat (1.10) dhe (1.11) janë paralele.
1.3. Kushti i pingulitetit të drejtëzave
Le te jete φ = 90 °. Pastaj cosφ= 0. Në këtë rast, shprehja (1.4) do të marrë formën e mëposhtme:
Shembulli 3. Përcaktoni nëse drejtëzat janë pingule
Kushti (1.13) është i plotësuar, prandaj drejtëzat (1.14) dhe (1.15) janë pingul.
Përgjigju. Vijat (1.14) dhe (1.15) janë pingul.
Vijat e drejta jepen nga ekuacionet e përgjithshme
1.4. Përcaktimi i këndit ndërmjet vijave të drejta
Le dy rreshta L 1 dhe L 2 jepen nga ekuacionet e përgjithshme
Nga përkufizimi i produktit skalar të dy vektorëve, kemi:
Shembulli 4. Gjeni këndin ndërmjet drejtëzave
Zëvendësimi i vlerave A 1 , B 1 , A 2 , B 2 në (1.23), marrim:
Ky kënd është më i madh se 90 °. Le të gjejmë këndin minimal midis vijave të drejta. Për ta bërë këtë, zbritni këtë kënd nga 180:
Nga ana tjetër, kushti i paralelizmit për vijat e drejta L 1 dhe L 2 është ekuivalente me gjendjen e vektorëve kolinearë n 1 dhe n 2 dhe mund të përfaqësohet si më poshtë:
Barazia (1.24) është e plotësuar, prandaj vijat (1.26) dhe (1.27) janë paralele.
Përgjigju. Drejtëzat (1.26) dhe (1.27) janë paralele.
1.6. Kushti i pingulitetit të drejtëzave
Kushti i pingulitetit të drejtëzave L 1 dhe L 2 mund të nxirret nga formula (1.20) duke zëvendësuar cos(φ ) = 0. Pastaj produkti skalar ( n 1 ,n 2) = 0. ku
Barazia (1.28) është e plotësuar, prandaj vijat e drejta (1.29) dhe (1.30) janë pingule.
Përgjigju. Vijat e drejta (1.29) dhe (1.30) janë pingul.
2. Këndi ndërmjet vijave të drejta në hapësirë
2.1. Përcaktimi i këndit ndërmjet vijave të drejta
Lërini linjat në hapësirë L 1 dhe L 2 jepen nga ekuacionet kanonike
ku | q 1 | dhe | q 2 | modulet e vektorit të drejtimit q 1 dhe q 2 respektivisht, φ është këndi ndërmjet vektorëve q 1 dhe q 2 .
Nga shprehja (2.3) marrim:
 .
|
Le të thjeshtojmë dhe zgjidhim:
 .
|
Gjeni këndin φ
Çdo student që përgatitet për provimin e matematikës do ta ketë të dobishme të përsërisë temën "Gjetja e këndit midis drejtëzave". Siç tregojnë statistikat, gjatë kalimit të testit të certifikimit, problemet në këtë pjesë të stereometrisë shkaktojnë vështirësi për një numër të madh studentësh. Në të njëjtën kohë, detyrat që kërkojnë gjetjen e këndit ndërmjet vijave të drejta gjenden në provimin e nivelit bazë dhe atij të profilit. Kjo do të thotë që të gjithë duhet të jenë në gjendje t'i zgjidhin ato.
Momentet themelore
Ekzistojnë 4 lloje të rregullimit të ndërsjellë të vijave të drejta në hapësirë. Ato mund të përkojnë, të kryqëzohen, të jenë paralele ose të kryqëzohen. Këndi midis tyre mund të jetë i mprehtë ose i drejtë.
Për të gjetur këndin midis vijave të drejta në provim ose, për shembull, në zgjidhje, nxënësit e shkollave në Moskë dhe qytete të tjera mund të përdorin disa metoda për zgjidhjen e problemeve në këtë seksion të stereometrisë. Ju mund ta përfundoni detyrën duke përdorur konstruksione klasike. Për ta bërë këtë, ia vlen të mësoni aksiomat dhe teoremat themelore të stereometrisë. Nxënësi duhet të jetë në gjendje të ndërtojë logjikisht arsyetimin dhe të krijojë vizatime në mënyrë që ta çojë detyrën në një problem planimetrik.
Ju gjithashtu mund të përdorni metodën e koordinatave vektoriale duke përdorur formula, rregulla dhe algoritme të thjeshta. Gjëja kryesore në këtë rast është të bëni të gjitha llogaritjet në mënyrë korrekte. Projekti arsimor "Shkolkovo" do t'ju ndihmojë të përmirësoni aftësitë tuaja në zgjidhjen e problemeve në stereometri dhe seksione të tjera të kursit shkollor.
udhëzime
shënim
Periudha e funksionit trigonometrik të tangjentes është 180 gradë, që do të thotë se pjerrësia e drejtëzave, në vlerë absolute, nuk mund ta kalojë këtë vlerë.
Këshilla të dobishme
Nëse shpatet janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë këndi midis vijave të tilla është 0, pasi vija të tilla ose përkojnë ose janë paralele.
Për të përcaktuar vlerën e këndit midis kryqëzimit të vijave të drejta, është e nevojshme që të dy linjat e drejta (ose njëra prej tyre) të zhvendosen në një pozicion të ri duke përdorur metodën e transferimit paralel para kryqëzimit. Pas kësaj, duhet të gjeni vlerën e këndit midis vijave të drejta të kryqëzuara që rezultojnë.
Do t'ju duhet
- Vizore, trekëndësh kënddrejtë, laps, këndmues.
udhëzime
Pra, le të jepet vektori V = (a, b, c) dhe rrafshi A x + B y + C z = 0, ku A, B dhe C janë koordinatat e normales N. Pastaj kosinusi i këndit α ndërmjet vektorëve V dhe N është e barabartë me: сos α = (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).
Për të llogaritur vlerën e këndit në gradë ose radianë, duhet të llogarisni funksionin e kundërt me kosinusin nga shprehja që rezulton, d.m.th. kosinusi i anasjelltë: α = arssos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).
Shembull: gjeni injeksion ndërmjet vektoriale(5, -3, 8) dhe aeroplan jepet me barazimin e përgjithshëm 2 x - 5 y + 3 z = 0 Zgjidhje: shkruani koordinatat e vektorit normal të rrafshit N = (2, -5, 3). Zëvendësoni të gjitha vlerat e njohura në formulën e mësipërme: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87 °.
Video të ngjashme
Një drejtëz që ka një pikë të përbashkët me një rreth është tangjente me rrethin. Një veçori tjetër e tangjentës është se ajo është gjithmonë pingul me rrezen e tërhequr në pikën tangjente, domethënë, tangjentja dhe rrezja formojnë një vijë të drejtë. injeksion... Nëse nga një pikë A tërhiqen dy tangjente në rrethin AB dhe AC, atëherë ato janë gjithmonë të barabarta me njëra-tjetrën. Përcaktimi i këndit ndërmjet tangjentëve ( injeksion ABC) prodhohet duke përdorur teoremën e Pitagorës.
udhëzime
Për të përcaktuar këndin, duhet të dini rrezen e rrethit OB dhe OS dhe distancën e pikës së origjinës së tangjentes nga qendra e rrethit - O. Pra, këndet e ABO dhe ASO janë të barabarta, rrezja e OB, për shembull, 10 cm, dhe distanca nga qendra e rrethit AO është 15 cm. Përcaktoni gjatësinë e tangjentës përgjatë formulës në përputhje me teoremën e Pitagorës: AB = rrënja katrore e AO2 - OB2 ose 152 - 102 = 225 - 100 = 125;
Nëse në një vijë të drejtë në hapësirë shënojmë dy pika arbitrare M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe M 2 (x 2, y 2, z 2), atëherë koordinatat e këtyre pikave duhet të plotësojnë ekuacionin e drejtëzës. marrë më sipër:
Përveç kësaj, për pikën M 1 mund të shkruani:
.
Duke zgjidhur këto ekuacione së bashku, marrim:
.
Ky është ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika në hapësirë.
Ekuacionet e përgjithshme të një drejtëze në hapësirë.
Ekuacioni i një drejtëze mund të konsiderohet si ekuacion i drejtëzës së kryqëzimit të dy rrafsheve.
Ekuacionet e përgjithshme të një drejtëze në formë koordinative:
Detyra praktike shpesh konsiston në reduktimin e ekuacioneve të vijave të drejta në formën e përgjithshme në formën kanonike.
Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni një pikë arbitrare në vijë dhe numrat m, n, p.
Në këtë rast, vektori drejtues i drejtëzës mund të gjendet si prodhim vektorial i vektorëve normalë në rrafshet e dhëna.
Shembull. Gjeni ekuacionin kanonik nëse drejtëza është dhënë në formën:
Për të gjetur një pikë arbitrare në një vijë të drejtë, marrim koordinatat e saj x = 0, dhe më pas e zëvendësojmë këtë vlerë në sistemin e caktuar të ekuacioneve.
ato. A (0, 2, 1).
Gjeni përbërësit e vektorit drejtues të drejtëzës.
Pastaj ekuacionet kanonike të vijës së drejtë:
Shembull. Sillni ekuacionin e një drejtëze në formën kanonike, të dhënë në formën:
Për të gjetur një pikë arbitrare të një drejtëze, e cila është drejtëza e kryqëzimit të planeve të mësipërme, marrim z = 0. Atëherë:
;
2x - 9x - 7 = 0;
Marrim: A (-1; 3; 0).
Vektori i drejtimit të një vije të drejtë: 
.
Këndi ndërmjet avionëve.
|
|
Këndi ndërmjet dy rrafsheve në hapësirën lidhet me këndin ndërmjet normaleve me këto rrafshe 1 me raportin: = 1 ose = 180 0 - 1, d.m.th.
cos = cos 1.
Le të përcaktojmë këndin 1. Dihet se aeroplanët mund të specifikohen nga raportet:
, ku
(A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2). Ne gjejmë këndin midis vektorëve të normales nga produkti i tyre me pika:
.
Kështu, këndi midis aeroplanëve gjendet me formulën:
Zgjedhja e shenjës së kosinusit varet nga cili kënd midis planeve duhet të gjendet - akut, ose ngjitur me të i mpirë.
Kushtet për paralelizmin dhe pingulitetin e planeve.
Bazuar në formulën e marrë më sipër për gjetjen e këndit ndërmjet rrafsheve, është e mundur të gjenden kushtet për paralelizëm dhe pingulitet të rrafsheve.
Që rrafshet të jenë pingul, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që kosinusi i këndit ndërmjet rrafsheve të jetë i barabartë me zero. Ky kusht plotësohet nëse:
Planet janë paralele, vektorët normalë janë kolinearë: Ky kusht plotësohet nëse: 
.
Këndi ndërmjet vijave të drejta në hapësirë.
Le të jepen dy vija të drejta në hapësirë. Ekuacionet e tyre parametrike:
Këndi ndërmjet drejtëzave dhe këndi ndërmjet vektorëve të drejtimit të këtyre drejtëzave lidhen me raportin: = 1 ose = 180 0 - 1. Këndi ndërmjet vektorëve të drejtimit gjendet nga produkti me pika. Kështu:
.
Kushtet për paralelizëm dhe pingulitet të drejtëzave në hapësirë.
Që dy drejtëza të jenë paralele, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që vektorët e drejtimit të këtyre drejtëzave të jenë kolinear, d.m.th. koordinatat e tyre përkatëse ishin proporcionale.