Në kursin e shkollës së mesme dhe të mesme, studentët studiuan temën "Fraksionet". Sidoqoftë, ky koncept është shumë më i gjerë sesa jepet në procesin mësimor. Sot, koncepti i një thyese haset mjaft shpesh, dhe jo të gjithë mund të kryejnë llogaritjet e çdo shprehjeje, për shembull, shumëzimin e thyesave.
Çfarë është një thyesë?
Kështu ndodhi historikisht që numrat e pjesshëm u shfaqën për shkak të nevojës për të matur. Siç tregon praktika, shpesh ka shembuj të përcaktimit të gjatësisë së një segmenti, vëllimit të një drejtkëndëshi drejtkëndor.
Fillimisht, studentët njihen me konceptin e aksionit. Për shembull, nëse e ndani një shalqi në 8 pjesë, atëherë secila do të marrë një të tetën e shalqirit. Kjo pjesë e tetë quhet thyesë.
Një fraksion i barabartë me ½ të çdo vlere quhet gjysmë; ⅓ - e treta; ¼ - një e katërta. Regjistrimet e formës 5/8, 4/5, 2/4 quhen thyesa të zakonshme. Një thyesë e zakonshme ndahet në një numërues dhe një emërues. Midis tyre është një vijë thyesore, ose një vijë e pjesshme. Një pjerrësi mund të vizatohet si një vijë horizontale ose e zhdrejtë. Në këtë rast, ajo tregon shenjën e ndarjes.
Emëruesi përfaqëson sa aksione të barabarta vlerën, objekti ndahet në; dhe numëruesi është sa aksione të barabarta merren. Numëruesi shkruhet mbi vijën thyese, emëruesi nën të.
Mostshtë më i përshtatshëm për të treguar thyesat e zakonshme në rreze koordinative. Nëse ndani një segment njësi në 4 aksione të barabarta, caktoni secilën aksion me një shkronjë latine, atëherë si rezultat mund të merrni një ndihmë të shkëlqyeshme vizuale. Pra, pika A tregon një fraksion të barabartë me 1/4 e të gjithë segmentit të njësisë, dhe pika B shënon 2/8 të këtij segmenti.
Varietetet e thyesave
Thyesat mund të jenë numra të zakonshëm, dhjetorë dhe të përzier. Për më tepër, thyesat mund të ndahen në të sakta dhe të pasakta. Ky klasifikim është më i përshtatshëm për thyesat e zakonshme.
Një thyesë e saktë kuptohet si një numër, numëruesi i të cilit është më i vogël se emëruesi. Prandaj, një thyesë e pahijshme është një numër, numëruesi i të cilit është më i madh se emëruesi. Lloji i dytë zakonisht shkruhet si një numër i përzier. Një shprehje e tillë përbëhet nga një numër i plotë dhe një pjesë thyesore. Për shembull, 1½. 1 - pjesë e tërë, ½ - e pjesshme. Sidoqoftë, nëse keni nevojë të bëni disa manipulime me shprehjen (ndarja ose shumëzimi i thyesave, zvogëlimi ose transformimi i tyre), numri i përzier shndërrohet në një thyesë të papërshtatshme.
Një shprehje e saktë thyesore është gjithmonë më pak se një, dhe një e pasaktë është gjithmonë më e madhe se ose e barabartë me 1.
Sa i përket kësaj, kjo shprehje nënkupton një rekord në të cilin përfaqësohet çdo numër, emëruesi i një shprehjeje të pjesshme të të cilit mund të shprehet përmes një me disa zero. Nëse thyesa është e saktë, atëherë e gjithë pjesa në shënimin dhjetor do të jetë e barabartë me zero.
Për të shkruar një thyesë dhjetore, së pari duhet të shkruani të gjithë pjesën, ta ndani atë nga pjesa thyese me presje, dhe pastaj të shkruani shprehjen thyesore. Duhet mbajtur mend se pas presjes, numëruesi duhet të përmbajë të njëjtin numër karakteresh dixhitale sa ka zero në emërues.
Shembull... Paraqisni thyesën 7 21/1000 në shënim dhjetor.
Algoritmi për shndërrimin e një thyese të papërshtatshme në një numër të përzier dhe anasjelltas
Incorrectshtë e pasaktë të shkruani një fraksion të pasaktë në përgjigjen e problemit, kështu që duhet të konvertohet në një numër të përzier:
- ndani numëruesin me emëruesin ekzistues;
- në një shembull specifik, herësi jo i plotë është i tëri;
- dhe pjesa e mbetur është numëruesi i pjesës thyese, dhe emëruesi mbetet i pandryshuar.
Shembull... Shndërroni një thyesë të papërshtatshme në një numër të përzier: 47/5.
Zgjidhja... 47: 5. Koeficienti jo i plotë është 9, pjesa e mbetur = 2. Prandaj, 47/5 = 9 2/5.
Ndonjëherë ju doni të përfaqësoni një numër të përzier si një thyesë të papërshtatshme. Atëherë duhet të përdorni algoritmin e mëposhtëm:
- pjesa e plotë shumëzohet me emëruesin e shprehjes thyese;
- produkti që rezulton i shtohet numëruesit;
- rezultati shkruhet në numërues, emëruesi mbetet i pandryshuar.
Shembull... Jepni një numër të përzier si një thyesë të papërshtatshme: 9 8/10.
Zgjidhja... 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 - numërues.
Pergjigju: 98 / 10.
Shumëzimi i thyesave të zakonshme
Operacione të ndryshme algjebrike mund të kryhen në thyesa të zakonshme. Për të shumëzuar dy numra, duhet të shumëzoni numëruesin me numëruesin, dhe emëruesin me emëruesin. Për më tepër, shumëzimi i thyesave me emërues të ndryshëm nuk ndryshon nga produkti i numrave thyesorë me emërues të njëjtë.
Ndodh që pasi të gjeni rezultatin, duhet të anuloni fraksionin. Imshtë e domosdoshme të thjeshtohet sa më shumë shprehja që rezulton. Sigurisht, nuk mund të thuhet se një fraksion i pasaktë në një përgjigje është një gabim, por është gjithashtu e vështirë ta quash atë një përgjigje të saktë.
Shembull... Gjeni produktin e dy thyesave të zakonshme: ½ dhe 20/18.
Siç mund ta shihni nga shembulli, pasi gjetëm punën, morëm një shënim të shkurtuar të pjesshëm. Si numëruesi ashtu edhe emëruesi në këtë rast ndahen me 4, dhe përgjigjja është 5/9.
Shumëzimi i thyesave dhjetore
Produkti i thyesave dhjetore është krejt i ndryshëm nga produkti i atyre të zakonshëm në parimin e tij. Pra, shumëzimi i thyesave është si më poshtë:
- dy thyesa dhjetore duhet të shkruhen nën njëra -tjetrën në mënyrë që shifrat më të djathta të jenë njëra nën tjetrën;
- ju duhet të shumëzoni numrat e shkruar, pavarësisht presjes, domethënë si të natyrshme;
- numëroni numrin e shifrave pas presjes në secilin prej numrave;
- në rezultatin e marrë pas shumëzimit, duhet të numëroni sa më shumë simbole dixhitale nga e djathta që përmbahen në shumën në të dy faktorët pas pikës dhjetore, dhe të vendosni një shenjë ndarëse;
- nëse ka më pak numra në produkt, atëherë duhet të shkruani kaq shumë zero para tyre për të mbuluar këtë shumë, vendosni një presje dhe caktoni të gjithë pjesën e barabartë me zero.
Shembull... Njehso prodhimin e dy thyesave dhjetore: 2.25 dhe 3.6.
Zgjidhja.
Shumëzimi i thyesave të përziera
Për të llogaritur produktin e dy thyesave të përziera, duhet të përdorni rregullin për shumëzimin e thyesave:
- Shndërroni numrat e përzier në thyesa të papërshtatshme;
- gjeni produktin e numëruesve;
- gjeni produktin e emëruesve;
- shkruani rezultatin që rezulton;
- Thjeshtoni shprehjen sa më shumë që të jetë e mundur.
Shembull... Gjeni produktin e 4½ dhe 6 2/5.
Shumëzimi i një numri me një thyesë (thyesat me një numër)
Përveç gjetjes së produktit të dy thyesave, numrave të përzier, ka detyra ku ju duhet të shumëzoni me një thyesë.
Pra, për të gjetur produktin e një thyese dhjetore dhe një numri natyror, ju nevojiten:
- shkruani numrin nën thyesën në mënyrë që shifrat më të drejta të jenë njëra mbi tjetrën;
- gjeni një punë pavarësisht presjes;
- në rezultatin që rezulton, ndani pjesën e plotë nga pjesa e pjesshme duke përdorur një presje, duke numëruar numrin e shifrave nga e djathta që është pas pikës dhjetore në thyesë.
Për të shumëzuar një thyesë të zakonshme me një numër, duhet të gjeni produktin e numëruesit dhe faktorin natyror. Nëse përgjigja është një pjesë e anulueshme, ajo duhet të konvertohet.
Shembull... Llogaritni prodhimin e 5/8 dhe 12.
Zgjidhja. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Pergjigju: 7 1 / 2.
Siç mund ta shihni nga shembulli i mëparshëm, ishte e nevojshme të shkurtoni rezultatin që rezulton dhe të shndërroni shprehjen fraksionale të pasaktë në një numër të përzier.
Gjithashtu, shumëzimi i thyesave vlen edhe për gjetjen e produktit të një numri në formë të përzier dhe një faktor natyror. Për të shumëzuar këta dy numra, duhet të shumëzoni pjesën e plotë të faktorit të përzier me një numër, të shumëzoni numëruesin me të njëjtën vlerë dhe ta lini emëruesin të pandryshuar. Nëse kërkohet, ju duhet të thjeshtoni rezultatin që rezulton sa më shumë që të jetë e mundur.
Shembull... Gjeni produktin e 9 5/6 dhe 9.
Zgjidhja... 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9)/6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.
Pergjigju: 88 1 / 2.
Shumëzimi me faktorë 10, 100, 1000 ose 0.1; 0.01; 0,001
Rregulli i mëposhtëm rrjedh nga paragrafi i mëparshëm. Për të shumëzuar një thyesë dhjetore me 10, 100, 1000, 10000, etj., Ju duhet të zhvendosni presjen në të djathtë me aq shifra sa ka zero në shumëzuesin pas një.
Shembulli 1... Gjeni produktin e 0.065 dhe 1000.
Zgjidhja... 0.065 x 1000 = 0065 = 65.
Pergjigju: 65.
Shembulli 2... Gjeni produktin 3.9 dhe 1000.
Zgjidhja... 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.
Pergjigju: 3900.
Nëse keni nevojë të shumëzoni një numër natyror dhe 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001, etj., Duhet të lëvizni presjen në të majtë në produktin që rezulton me aq shifra sa ka zero deri në një. Nëse është e nevojshme, para numrit natyror shkruhen zero të mjaftueshme.
Shembulli 1... Gjeni produktin e 56 dhe 0.01.
Zgjidhja... 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.
Pergjigju: 0,56.
Shembulli 2... Gjeni produktin e 4 dhe 0.001.
Zgjidhja... 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.
Pergjigju: 0,004.
Pra, gjetja e produktit të thyesave të ndryshme nuk duhet të shkaktojë ndonjë vështirësi, përveç ndoshta llogaritjes së rezultatit; në këtë rast, thjesht nuk mund të bësh pa një kalkulator.
Numrat e zakonshëm të pjesshëm së pari takojnë nxënësit e klasës 5 dhe i shoqërojnë ata gjatë gjithë jetës së tyre, pasi në jetën e përditshme shpesh kërkohet të merret parasysh ose të përdoret një objekt jo plotësisht, por në pjesë të veçanta. Fillimi i studimit të kësaj teme është aksionet. Aksionet janë pjesë të barabarta, në të cilën është ndarë kjo apo ajo lëndë. Në fund të fundit, nuk është gjithmonë e mundur të shprehet, për shembull, gjatësia ose çmimi i një produkti si një numër i plotë, duhet të merren parasysh pjesët ose fraksionet e një mase. Formuar nga folja "ndarje" - për t'u ndarë në pjesë, dhe duke pasur rrënjë arabe, në shekullin e 8 -të vetë fjala "fraksion" u ngrit në Rusisht.
Shprehjet thyesore janë konsideruar prej kohësh fusha më e vështirë e matematikës. Në shekullin e 17 -të, kur u shfaqën librat e parë shkollorë për matematikën, ata u quajtën "numra të thyer", gjë që ishte shumë e vështirë të shfaqet në kuptimin e njerëzve.
Forma moderne e mbetjeve të thjeshta fraksionale, pjesët e të cilave ndahen me një vijë horizontale, u promovua së pari nga Fibonacci - Leonardo i Pizës. Punimet e tij datojnë në 1202. Por qëllimi i këtij artikulli është që thjesht dhe qartë t'i shpjegojë lexuesit se si ndodh shumëzimi i thyesave të përziera me emërues të ndryshëm.
Shumëzimi i thyesave me emërues të ndryshëm
Fillimisht, ia vlen të përcaktohet varietetet e thyesave:
- e saktë;
- gabim;
- të përziera.
Tjetra, duhet të mbani mend se si shumëzohen numrat thyesorë me emërues të njëjtë. Vetë rregulli i këtij procesi është i lehtë për tu formuluar vetë: rezultati i shumëzimit të thyesave të thjeshta me emërues të njëjtë është një shprehje thyesore, numëruesi i së cilës është produkt i numëruesve, dhe emëruesi është produkt i emëruesve të këto thyesa. Kjo është, në fakt, emëruesi i ri është sheshi i njërit prej atyre ekzistues.
Kur shumohen thyesa të thjeshta me emërues të ndryshëm për dy ose më shumë faktorë, rregulli nuk ndryshon:
a /b * c /d = a * c / b * d
Dallimi i vetëm është se numri i formuar nën vijën thyese do të jetë produkt i numrave të ndryshëm dhe, natyrisht, është e pamundur ta quash atë katrorin e një shprehje numerike.
Vlen të merret parasysh shumëzimi i thyesave me emërues të ndryshëm me shembuj:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Shembujt përdorin mënyra për të zvogëluar shprehjet thyesore. Ju mund të anuloni vetëm numrat e numëruesit me numrat e emëruesit, faktorët ngjitur sipër ose nën vijën e pjesshme nuk mund të anulohen.
Së bashku me numrat e thjeshtë thyesorë, ekziston koncepti i thyesave të përziera. Një numër i përzier përbëhet nga një numër i plotë dhe një pjesë thyesore, domethënë është shuma e këtyre numrave:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Si funksionon shumëzimi?
Disa shembuj sugjerohen për shqyrtim.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Shembulli përdor shumëzimin e një numri me pjesë e zakonshme thyesore, ju mund të shkruani rregullin për këtë veprim me formulën:
a * b /c = a * b /c
Në fakt, një produkt i tillë është shuma e të njëjtave mbetje të pjesshme, dhe numri i termave tregon këtë numër natyror. Një rast i veçantë:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Ekziston një mundësi tjetër për zgjidhjen e shumëzimit të një numri me një pjesë të pjesshme. Thjesht duhet të ndash emëruesin me këtë numër:
d * e /f = e /f: d
Isshtë e dobishme të përdoret kjo teknikë kur emëruesi ndahet me një numër natyror pa mbetje ose, siç thonë ata, plotësisht.
Shndërroni numrat e përzier në thyesa të papërshtatshme dhe merrni produktin në mënyrën e përshkruar më parë:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ky shembull përfshin një mënyrë për të përfaqësuar një fraksion të përzier në një të pasaktë, gjithashtu mund të përfaqësohet si një formulë e përgjithshme:
a bc = a * b + c / c, ku emëruesi i thyesës së re formohet duke shumëzuar pjesën e plotë me emëruesin dhe duke e shtuar atë në numëruesin e pjesës së pjesshme origjinale, dhe emëruesi mbetet i njëjtë.
Ky proces funksionon edhe në anën tjetër. Për të zgjedhur të gjithë pjesën dhe pjesën e pjesshme, duhet të ndani numëruesin e thyesës së parregullt me emëruesin e tij "qoshe".
Shumëzimi i thyesave të papërshtatshme prodhuar në mënyrë konvencionale. Kur regjistrimi kalon nën një vijë të vetme thyesore, sipas nevojës, është e nevojshme të zvogëlohen thyesat në mënyrë që të zvogëlohen numrat me këtë metodë dhe është më e lehtë të llogaritet rezultati.
Ka shumë ndihmës në internet për të zgjidhur edhe probleme komplekse matematikore në variacione të ndryshme të programeve. Një numër i mjaftueshëm shërbimesh të tilla ofrojnë ndihmën e tyre në numërimin e shumëzimit të thyesave me numra të ndryshëm në emërues - të ashtuquajturit llogaritës online për llogaritjen e thyesave. Ata janë në gjendje jo vetëm të shumëzohen, por edhe të kryejnë të gjitha veprimet e tjera të thjeshta aritmetike me thyesa të zakonshme dhe numra të përzier. Nuk është e vështirë të punosh me të, fushat përkatëse plotësohen në faqen e faqes, zgjidhet shenja e veprimit matematikor dhe shtypet "llogaritet". Programi llogaritet automatikisht.
Tema e operacioneve aritmetike me numra të pjesshëm është e rëndësishme në të gjithë arsimin e nxënësve të shkollave të mesme dhe të larta. Në shkollën e mesme, ata nuk konsiderohen më llojet më të thjeshta, por shprehje të plota thyesore, por njohja e rregullave për transformimin dhe llogaritjet, të marra më herët, zbatohet në formën e tij origjinale. Njohuritë themelore të zotëruara mirë japin besim të plotë në zgjidhjen e suksesshme të problemeve më të vështira.
Si përfundim, ka kuptim të citojmë fjalët e Lev Nikolaevich Tolstoy, i cili shkroi: "Njeriu është një fraksion. Nuk është në fuqinë e njeriut të rrisë numëruesin e tij - dinjitetin e tij, por gjithkush mund të zvogëlojë emëruesin e tij - mendimin e tij për veten, dhe me këtë ulje ai mund t'i afrohet përsosmërisë së tij. "
) dhe emëruesi me emëruesin (marrim emëruesin e produktit).
Formula për shumëzimin e thyesave:
Për shembull:
Para se të filloni të shumëzoni numëruesit dhe emëruesit, duhet të kontrolloni mundësinë e zvogëlimit të thyesës. Nëse mund të zvogëloni thyesën, atëherë do të jetë më e lehtë për ju të bëni llogaritjet e mëtejshme.
Ndarja e një thyese të zakonshme në një thyesë.
Ndarja e thyesave me pjesëmarrjen e një numri natyror.
Nuk është aq e frikshme sa tingëllon. Ashtu si në rastin e mbledhjes, shndërroni një numër të plotë në një thyesë me një në emërues. Për shembull:
Shumëzimi i thyesave të përziera.
Rregullat për shumëzimin e thyesave (të përziera):
- shndërrimi i thyesave të përziera në ato të parregullta;
- shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e thyesave;
- zvogëlojmë thyesën;
- nëse keni marrë një thyesë të pasaktë, atëherë shndërroni thyesën e pasaktë në një të përzier.
Shënim! Për të shumëzuar një thyesë të përzier me një thyesë tjetër të përzier, së pari duhet t'i sillni ato në formën e thyesave të papërshtatshme, dhe pastaj të shumohen sipas rregullit të shumëzimit të thyesave të zakonshme.
Mënyra e dytë për të shumëzuar një thyesë me një numër natyror.
Mund të jetë më e përshtatshme të përdoret metoda e dytë e shumëzimit të një thyese të zakonshme me një numër.
Shënim! Për të shumëzuar një thyesë me një numër natyror, duhet ta ndani emëruesin e thyesës me këtë numër dhe ta lini numëruesin të pandryshuar.
Nga shembulli i dhënë më sipër, është e qartë se ky opsion është më i përshtatshëm për t'u përdorur kur emëruesi i thyesës ndahet pa një mbetje me një numër natyror.
Thyesat shumëkatëshe.
Në shkollën e mesme, shpesh gjenden thyesa trekatëshe (ose më shumë). Shembull:
Për ta sjellë një fraksion të tillë në formën e tij të zakonshme, përdorni ndarjen përmes 2 pikave:
Shënim! Në ndarjen e thyesave, rendi i pjesëtimit është shumë i rëndësishëm. Kini kujdes, është e lehtë të ngatërroheni këtu.
Shënim, Për shembull:
Kur ndahet një me çdo thyesë, rezultati do të jetë i njëjti thyesë, vetëm i përmbysur:
Këshilla praktike për shumëzimin dhe pjesëtimin e thyesave:
1. Gjëja më e rëndësishme në punën me shprehjet thyesore është saktësia dhe vëmendja. Bëni të gjitha llogaritjet me kujdes dhe saktësi, me përqendrim dhe qartësi. Bettershtë më mirë të shkruani disa rreshta shtesë në draft sesa të hutoheni në llogaritjet në kokën tuaj.
2. Në detyrat me lloje të ndryshme thyesash - kaloni në formën e thyesave të zakonshme.
3. Zvogëloni të gjitha thyesat derisa të bëhet e pamundur zvogëlimi.
4. Shprehjet thyesore shumëkatëshe shndërrohen në ato të zakonshme, duke përdorur ndarjen përmes 2 pikëve.
5. Ndajeni njësinë në një thyesë mendërisht, thjesht duke e kthyer thyesën.
Për të shumëzuar saktë një thyesë me një thyesë ose një thyesë me një numër, duhet të dini rregulla të thjeshta. Tani do t'i analizojmë këto rregulla në detaje.
Shumëzimi i një thyese të zakonshme me një thyesë.
Për të shumëzuar një thyesë me një thyesë, duhet të llogaritni produktin e numëruesve dhe produktin e emëruesve të këtyre thyesave.
\ (\ bf \ frac (a) (b) \ herë \ frac (c) (d) = \ frac (a \ herë c) (b \ herë d) \\\)
Le të shqyrtojmë një shembull:
Ne shumëzojmë numëruesin e thyesës së parë me numëruesin e thyesës së dytë, dhe gjithashtu shumëzojmë emëruesin e thyesës së parë me emëruesin e thyesës së dytë.
\ (\ frac (6) (7) \ herë \ frac (2) (3) = \ frac (6 \ herë 2) (7 \ herë 3) = \ frac (12) (21) = \ frac (4 \ herë 3) (7 \ herë 3) = \ frac (4) (7) \\\)
Pjesa \ (\ frac (12) (21) = \ frac (4 \ herë 3) (7 \ herë 3) = \ frac (4) (7) \\\) është zvogëluar me 3.
Shumëzimi i një thyese me një numër.
Së pari, le të kujtojmë rregullin çdo numër mund të përfaqësohet si pjesë \ (\ bf n = \ frac (n) (1) \).
Le ta përdorim këtë rregull kur shumëzojmë.
\ (5 \ herë \ frac (4) (7) = \ frac (5) (1) \ herë \ frac (4) (7) = \ frac (5 \ herë 4) (1 \ herë 7) = \ frac (20) (7) = 2 \ frac (6) (7) \\\)
Pjesë e parregullt \ (\ frac (20) (7) = \ frac (14 + 6) (7) = \ frac (14) (7) + \ frac (6) (7) = 2 + \ frac (6) ( 7) = 2 \ frac (6) (7) \\\) u shndërrua në një fraksion të përzier.
Me fjale te tjera, kur shumëzoni një numër me një thyesë, numri shumëzohet me numëruesin dhe emëruesi lihet i pandryshuar. Shembull:
\ (\ frac (2) (5) \ herë 3 = \ frac (2 \ herë 3) (5) = \ frac (6) (5) = 1 \ frac (1) (5) \\\\\) \ (\ bf \ frac (a) (b) \ herë c = \ frac (a \ herë c) (b) \\\)
Shumëzimi i thyesave të përziera.
Për të shumëzuar thyesat e përziera, së pari duhet të përfaqësoni çdo thyesë të përzier si një thyesë të pasaktë, dhe pastaj të përdorni rregullin e shumëzimit. Numëruesi shumëzohet me numëruesin, emëruesi shumëzohet me emëruesin.
Shembull:
\ (2 \ frac (1) (4) \ herë 3 \ frac (5) (6) = \ frac (9) (4) \ herë \ frac (23) (6) = \ frac (9 \ herë 23) (4 \ herë 6) = \ frac (3 \ herë \ ngjyra (e kuqe) (3) \ herë 23) (4 \ herë 2 \ herë \ ngjyra (e kuqe) (3)) = \ frac (69) (8) = 8 \ frac (5) (8) \\\)
Shumëzimi i thyesave dhe numrave reciprok.
Pjesa \ (\ bf \ frac (a) (b) \) është e kundërta e \ (\ bf \ frac (b) (a) \), me kusht që ≠ 0, b ≠ 0.
Thyesat \ (\ bf \ frac (a) (b) \) dhe \ (\ bf \ frac (b) (a) \) quhen thyesa reciproke. Produkti i thyesave reciproke është 1.
\ (\ bf \ frac (a) (b) \ herë \ frac (b) (a) = 1 \\\)
Shembull:
\ (\ frac (5) (9) \ herë \ frac (9) (5) = \ frac (45) (45) = 1 \\\)
Pyetje mbi temën:
Si të shumëzoni një thyesë me një thyesë?
Përgjigje: Produkti i thyesave të zakonshme është shumëzimi i numëruesit me numëruesin, emëruesi me emëruesin. Për të marrë produktin e thyesave të përziera, ju duhet t'i shndërroni ato në një thyesë të papërshtatshme dhe të shumohen sipas rregullave.
Si i shumëzoj thyesat me emërues të ndryshëm?
Përgjigje: nuk ka rëndësi nëse thyesat kanë emërues të njëjtë apo të ndryshëm, shumëzimi ndodh sipas rregullit të gjetjes së produktit të numëruesit me numëruesin, emëruesin me emëruesin.
Si të shumëzoni thyesat e përziera?
Përgjigje: para së gjithash, duhet të përktheni thyesën e përzier në një thyesë të papërshtatshme dhe pastaj të gjeni produktin sipas rregullave të shumëzimit.
Si të shumëzoni një numër me një thyesë?
Përgjigje: numri shumëzohet me numëruesin, dhe emëruesi lihet i njëjtë.
Shembulli # 1:
Llogaritni produktin: a) \ (\ frac (8) (9) \ herë \ frac (7) (11) \) b) \ (\ frac (2) (15) \ herë \ frac (10) (13) \)
Zgjidhja:
a) \ (\ frac (8) (9) \ herë \ frac (7) (11) = \ frac (8 \ herë 7) (9 \ herë 11) = \ frac (56) (99) \\\\ \)
b) \ (\ frac (2) (15) \ herë \ frac (10) (13) = \ frac (2 \ herë 10) (15 \ herë 13) = \ frac (2 \ herë 2 \ herë \ ngjyrë ( e kuqe) (5)) (3 \ herë \ ngjyra (e kuqe) (5) \ herë 13) = \ frac (4) (39) \)
Shembulli # 2:
Llogaritni produktet e një numri dhe një thyese: a) \ (3 \ herë \ frac (17) (23) \) b) \ (\ frac (2) (3) \ herë 11 \)
Zgjidhja:
a) \ (3 \ herë \ frac (17) (23) = \ frac (3) (1) \ herë \ frac (17) (23) = \ frac (3 \ herë 17) (1 \ herë 23) = \ frac (51) (23) = 2 \ frac (5) (23) \\\\\)
b) \ (\ frac (2) (3) \ herë 11 = \ frac (2) (3) \ herë \ frac (11) (1) = \ frac (2 \ herë 11) (3 \ herë 1) = \ frac (22) (3) = 7 \ frac (1) (3) \)
Shembulli # 3:
Shkruani reciprokun e thyesës \ (\ frac (1) (3) \)?
Përgjigje: \ (\ frac (3) (1) = 3 \)
Shembulli # 4:
Llogarit produktin e dy thyesave reciproke: a) \ (\ frac (104) (215) \ herë \ frac (215) (104) \)
Zgjidhja:
a) \ (\ frac (104) (215) \ herë \ frac (215) (104) = 1 \)
Shembulli # 5:
A mund të jenë thyesat reciproke:
a) në të njëjtën kohë me thyesa të rregullta;
b) në të njëjtën kohë me thyesa të pasakta;
c) numrat natyrorë njëkohësisht?
Zgjidhja:
a) për t'iu përgjigjur pyetjes së parë, le të japim një shembull. Pjesa \ (\ frac (2) (3) \) është e saktë, reciprokja e saj do të jetë \ (\ frac (3) (2) \) është një thyesë e papërshtatshme. Përgjigja është jo.
b) për pothuajse të gjithë numërimin e thyesave, ky kusht nuk plotësohet, por ka disa numra që plotësojnë kushtin për të qenë njëkohësisht një thyesë e papërshtatshme. Për shembull, fraksioni i papërshtatshëm \ (\ frac (3) (3) \), reciprok i tij është \ (\ frac (3) (3) \). Ne marrim dy thyesa të parregullta. Përgjigje: jo gjithmonë në kushte të caktuara, kur numëruesi dhe emëruesi janë të barabartë.
c) numrat natyrorë janë numrat që ne përdorim kur numërojmë, për shembull, 1, 2, 3,…. Nëse marrim numrin \ (3 = \ frac (3) (1) \), atëherë reciproku i tij është \ (\ frac (1) (3) \). Pjesa \ (\ frac (1) (3) \) nuk është një numër natyror. Nëse përsërisim mbi të gjithë numrat, reciprokja është gjithmonë një thyesë, përveç 1. Nëse marrim numrin 1, atëherë reciproku i tij do të jetë \ (\ frac (1) (1) = \ frac (1) (1) = 1 \). Numri 1 është një numër natyror. Përgjigje: ato mund të jenë numra natyrorë në të njëjtën kohë vetëm në një rast, nëse ky numër është 1.
Shembulli # 6:
Kryeni produktin e thyesave të përziera: a) \ (4 \ herë 2 \ frac (4) (5) \) b) \ (1 \ frac (1) (4) \ herë 3 \ frac (2) (7) \ )
Zgjidhja:
a) \ (4 \ herë 2 \ frac (4) (5) = \ frac (4) (1) \ herë \ frac (14) (5) = \ frac (56) (5) = 11 \ frac (1 ) (pesë) \\\\ \)
b) \ (1 \ frac (1) (4) \ herë 3 \ frac (2) (7) = \ frac (5) (4) \ herë \ frac (23) (7) = \ frac (115) ( 28) = 4 \ frac (3) (7) \)
Shembulli # 7:
A mund të jenë dy numra të kundërt reciprokisht numra të përzier në të njëjtën kohë?
Le të shohim një shembull. Merrni një fraksion të përzier \ (1 \ frac (1) (2) \), gjeni reciprokun e tij, për këtë ne e shndërrojmë atë në një fraksion të papërshtatshëm \ (1 \ frac (1) (2) = \ frac (3) (2 ) \). Reciprok i tij do të jetë \ (\ frac (2) (3) \). Pjesa \ (\ frac (2) (3) \) është një thyesë e rregullt. Përgjigje: dy thyesa reciproke nuk mund të jenë numra të përzier në të njëjtën kohë.