Një orë e matematikës me temën "zgjidhja e ekuacioneve komplekse të një lloji të ri". Ekuacionet lineare. Zgjidhja, shembuj

Synimet dhe synimet:

Edukative:

Merrni parasysh një metodë për zgjidhjen e ekuacioneve "komplekse" të formës: (x + 3): 8 \u003d 5 dhe nxirrni një algoritëm veprimi për zgjidhjen e tyre.
Përmirësoni aftësitë kompjuterike.

Zhvillimi:

Për të zhvilluar aftësinë për të analizuar, arsyetuar, shpjeguar mënyrën e veprimit të ekuacioneve të formës: (x + 3): 8 \u003d 5.

Edukative:

Formoni aftësinë për të punuar në çifte (dëgjoni mendimin e një miku, diskutoni një problem, dilni në një konsensus).

Ruajtja e shëndetit:

Mësoni të kujdeseni për shëndetin tuaj.

Pajisjet:

Projektor dhe ekran multimedial;
Kompjuter;
Prezantimi;
Memorandum mbështetës;
Detyrat në karta.

Gjatë orëve të mësimit:

I. Momenti organizativ.

- ra zilja. Kontrolloni gatishmërinë tuaj për orën e matematikës. Të gjithë janë gati.

Le të sigurohemi për këtë!

- BLITZ: Si ta gjeni termin e panjohur? (zbritet, zbritet, dividenti, pjesëtuesi, faktori).

- Te lumte! Ulu. Ne mund të fillojmë të punojmë në mënyrë të sigurt. Hapni fletoret. Shkruaj numrin, punë e ftohtë.

II Përditësimi i njohurive themelore.

1) - Unë sugjeroj që të bëni një ngrohje. Kujdes në ekran!

(Shtojca 1. Prezantimi -Rrëshqitje 1).

100 ∙ 29
32 ∙ 20
4800: 2

një 15 ∙
9000 - në
nga: 317

x ∙ 80 \u003d 640
k: 50 \u003d 500
c + 90 \u003d 34 + 56

- Ndani të dhënat e regjistrimit në grupe. Kush e ndau me 2? Për 3 grupe?

Diskutim !!! Me cilin parim e ndau ai. , dhe… ..?

- Emërtoni shprehjet numerike. Emërtoni shkronjat. Pushoni (Ekuacionet.)

(Slide 2)

- Gjeni vlerat e shprehjeve numerike.
- Gjeni kuptimet e shprehjeve të drejtpërdrejta nëse

a \u003d 0, b \u003d 1, c \u003d 317

- Gjeni "ekstra" midis ekuacioneve. Vërtetoje!
- Gjeni rrënjën e 1 ekuacionit, 2 ekuacioneve. (E thjeshtë.)
- Çfarë duhet bërë më parë për të zgjidhur një ekuacion kompleks të këtij lloji? (Thjeshtoj.) - Si? (Krye veprim.) Çfarë?
- Thjeshtoni ekuacionin. Gjeni rrënjën.

III Tema, detyrat.

- Kush dëshiron të mësojë si të zgjidhë ekuacione komplekse të një lloji të ri? Ngrini dorën! Te lumte! Kjo do të thotë që ju nuk keni frikë nga vështirësitë dhe jeni gati për zbulime të reja!
- Tema e mësimit tonë është "Zgjidhja" e ekuacioneve komplekse "të një lloji të ri".

(Meqenëse termi ekuacion "kompleks" është i kushtëzuar, e bashkangjita atë në thonjëza.)

- Le të përcaktojmë detyrat arsimore:

1. Mësoni të zgjidhni ekuacione komplekse të një lloji të ri.
2. Krijoni një algoritëm për zgjidhjen. (Algoritmi - rendi, sekuenca e veprimeve.)
3. Mësoni të komentoni për zgjidhjen e ekuacioneve.
4. Përmirësoni aftësitë kompjuterike.

Edukimi fizik 1.

IV. Punoni për temën. Formulimi i problemit. Hapja e një të re.

1) Nga numri 488. Libër mësuesi.

- Unë dua të sugjeroj që të vizitoni përsëri studiuesit tani.

□ + 30 \u003d 50 Ky postim është në bord!

- Lexoni shprehjen. 1 goditje e fortë. 2 rrëshqitje Vlera e shumës.

- A është ai një ekuacion? Pse

- Vendosni shprehjen në "dritare"

□ + 30 \u003d 50 - Si quhet hyrja? (Ur. E vështirë.) - A ju duket ai që tashmë dimë ta zgjidhim? - Pse

- Mundohuni të gjeni një mënyrë për të zgjidhur këtë ekuacion. JU LUTEM SHENIM, unë nuk kam nënshkruar aksidentalisht përbërësit e veprimit! Blerje pa verifikim!

2) Shpjegimi: - Cila (çfarë përbërës) është shprehja fjalë për fjalë 4 ∙ х (kjo është 1 term) në këtë shumë.

Kjo do të thotë që 1 term është një shprehje fjalë për fjalë 4 ∙ х dhe është i panjohur!

Rregulli nuk ndryshon! Si të gjesh një slug të panjohur?

4 ∙ x

\u003d 50 - 30 - Di të zgjidhësh?

3) - Hapni udhëzuesin me. 149 № 488. Lexoni si arsyetoi Misha.

V. Nxjerrja e algoritmit. Sigurimi i një të re.

1) Zgjidh ekuacionin: (x + 3): 8 \u003d 5 1 në tabelë.

Detyrë! - Mundohuni të përcaktoni sekuencën!

2) Nxjerrja e algoritmit.

- Si e kuptoni që përbërësit do të quhen: dividendi, pjesëtuesi, vlera e herësit.

- Cila ndarje është e para apo e fundit? \u003d Ku të filloj?

3). Algoritmi (Slide 3).

Unë do të përcaktojë veprimin e fundit dhe do të emërojë përbërësit.
Unë do të përcaktoj përbërësin e panjohur dhe do të kujtoj rregullin për gjetjen e tij.
Unë do të shkruaj një ekuacion të ri dhe do ta thjeshtoj atë.
Unë do të zgjidh një ekuacion të thjeshtë.

4) Leximi i memos për koment.

pesë) Nr 489. Libër mësuesi. Duke komentuar.

Edukimi fizik 2 (për sytë).

6) Puna ekipore. Punë në çift.

1) (y– 5) ∙ 4 \u003d 28
2) 3 ∙ a - 7 \u003d 14
3) (24 + d): 8 \u003d 7
4) 63: (14 - x) \u003d 7

Plotësoni tabelën e vetëkontrollit!

Ekuacioni.	1	2	3	4
Vendimi.

Ekuacionet lineare. Zgjidhja, shembuj.

Vëmendje!
Ka shtesë
materiale në Seksioni special 555.
Për ata që "nuk janë shumë ..."
Dhe për ata që janë "shumë të barabartë ...")

Ekuacionet lineare.

Ekuacionet lineare nuk janë tema më e vështirë në matematikën shkollore. Por atje ka hile që mund të ngatërrojnë edhe një student të trajnuar. Do ta kuptojme?)

Zakonisht një ekuacion linear përcaktohet si një ekuacion i formës:

sëpatë + b = 0 Ku a dhe b - çdo numër.

2x + 7 \u003d 0. Këtu a \u003d 2, b \u003d 7

0,1x - 2,3 \u003d 0 Këtu a \u003d 0,1, b \u003d -2.3

12x + 1/2 \u003d 0 Këtu a \u003d 12, b \u003d 1/2

Asgjë e komplikuar, apo jo? Sidomos nëse nuk i vëreni fjalët: "ku a dhe b janë ndonjë numër"... Dhe nëse e vëreni, por mendoni pa kujdes?) Mbi të gjitha, nëse a \u003d 0, b \u003d 0 (ndonjë numër është i mundur?), atëherë kemi një shprehje qesharake:

Por kjo nuk është e gjitha! Nëse, të themi, a \u003d 0, dhe b \u003d 5, rezulton diçka krejt e jashtëzakonshme:

E cila tendos dhe prish besueshmërinë e matematikës, po ...) Sidomos në provime. Por nga këto shprehje të çuditshme është gjithashtu e nevojshme të gjesh X! Gjë që nuk është fare aty. Dhe, çuditërisht, ky X është shumë i lehtë për tu gjetur. Ne do të mësojmë se si ta bëjmë këtë. Në këtë manual.

Si e njihni një ekuacion linear nga pamja e tij? Varet nga pamja.) Qëllimi është që ekuacionet lineare nuk janë vetëm ekuacione të formës sëpatë + b = 0 , por edhe çdo ekuacion që reduktohet në këtë formë nga shndërrimet dhe thjeshtimet. Dhe kush e di nëse mund të zvogëlohet apo jo?)

Një ekuacion linear mund të njihet qartë në disa raste. Thuaj, nëse kemi një ekuacion në të cilin ka vetëm të panjohura në shkallën e parë, dhe numrat. Dhe në ekuacion nuk ka thyesat e ndara me i panjohur , është e rëndësishme! Dhe ndarja nga numri, ose një thyesë numerike - ju lutem! Për shembull:

Ky është një ekuacion linear. Ka thyesa, por nuk ka x në shesh, në kub, etj., Dhe nuk ka x në emërues, d.m.th. jo pjesëtimi me x... Dhe këtu është ekuacioni

nuk mund të quhet lineare. Këtu x-të janë të gjitha në shkallën e parë, por ka pjesëtimi me shprehje me x... Pas thjeshtimeve dhe transformimeve, ju mund të merrni një ekuacion linear, dhe një kuadratik, dhe gjithçka që ju pëlqen.

Rezulton se nuk mund të zbuloni një ekuacion linear në një shembull të ndërlikuar derisa ta zgjidhni pothuajse. Kjo është mërzitëse. Por detyrat zakonisht nuk pyesin për llojin e ekuacionit, apo jo? Detyrave u jepen ekuacione vendos Kjo më bën të lumtur.)

Zgjidhja e ekuacioneve lineare. Shembuj.

E gjithë zgjidhja për ekuacionet lineare përbëhet nga shndërrimet identike të ekuacioneve. Nga rruga, këto transformime (sa dy!) Thelbësore e zgjidhjeve të gjitha ekuacionet e matematikës. Me fjalë të tjera, zgjidhja ndonjë ekuacioni fillon me këto transformime. Në rastin e ekuacioneve lineare, ajo (zgjidhja) bazohet në këto transformime dhe përfundon me një përgjigje të plotë. Ka kuptim të ndiqni lidhjen, apo jo?) Për më tepër, ka edhe shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve lineare.

Le të fillojmë me shembullin më të thjeshtë. Pa asnjë grackë. Supozoni se duhet ta zgjidhim këtë ekuacion.

x - 3 \u003d 2 - 4x

Ky është një ekuacion linear. X është e gjitha në shkallën e parë, nuk ka ndarje me X. Por, në fakt, nuk na intereson se çfarë ekuacioni është. Ne duhet ta zgjidhim atë. Skema është e thjeshtë. Mblidhni gjithçka me x në anën e majtë të ekuacionit, gjithçka pa x (numër) në të djathtë.

Për ta bërë këtë, duhet të transferoheni - 4x në të majtë, me një ndryshim të shenjës, natyrisht, por - 3 - në të djathtë. Nga rruga, kjo është transformimi i parë identik i ekuacioneve. A jeni befasuar? Pra, nuk e ndoqëm lidhjen, por më kot ...) Ne marrim:

x + 4x \u003d 2 + 3

Ne japim të ngjashme, ne besojmë:

Çfarë na mungon për lumturinë e plotë? Po, kështu që kishte një X të pastër në të majtë! Pesë është në rrugën e duhur. Heqja qafe e pesës së parë me shndërrimi i dytë identik i ekuacioneve. Gjegjësisht, ne i ndajmë të dy anët e ekuacionit me 5. Ne marrim një përgjigje të gatshme:

Një shembull elementar, natyrisht. Kjo është për ngrohje.) Nuk është shumë e qartë pse i kujtova këtu transformimet identike? Mirë. Ne e marrim demin nga brirët.) Le të vendosim diçka më mbresëlënëse.

Për shembull, këtu është ekuacioni:

Ku ta fillojmë? Me x - në të majtë, pa x - në të djathtë? Mund të jetë kështu. Në hapa të vegjël përgjatë rrugës së gjatë. Ose mundeni menjëherë, në një mënyrë universale dhe të fuqishme. Nëse, sigurisht, keni në arsenalin tuaj shndërrimet identike të ekuacioneve.

Unë ju bëj një pyetje kryesore: çfarë nuk ju pëlqen më shumë në lidhje me këtë ekuacion?

95 njerëz nga 100 do të përgjigjen: thyesat ! Përgjigja është e saktë. Pra, le të shpëtoj prej tyre. Prandaj, fillojmë menjëherë me shndërrimi i dytë i identitetit... Çfarë ju duhet për të shumëzuar thyesën në të majtë në mënyrë që emëruesi të zvogëlohet plotësisht? E drejtë, 3. Dhe në të djathtë? Me 4. Por matematika na lejon të shumëzojmë të dy palët me i njëjti numër... Si të dalim? Dhe le të shumëzojmë të dy pjesët me 12! Ata. nga një emërues i përbashkët. Atëherë të tre dhe të katërt do të ulen. Mos harroni se duhet të shumëzoni secilën pjesë tërësisht... Kështu duket hapi i parë:

Zgjero kllapat:

Shënim! Numërues (x + 2) Unë kllapa! Kjo pasi kur shumëzon thyesat, numëruesi shumëzohet tërësisht, tërësisht! Dhe tani fraksionet mund të zvogëlohen:

Zgjero kllapat e mbetura:

Jo një shembull, por kënaqësi e pastër!) Tani kujtojmë magjinë nga klasat fillore: me x - në të majtë, pa x - në të djathtë! Dhe zbatoni këtë transformim:

Këtu janë ato të ngjashme:

Dhe ne i ndajmë të dy pjesët me 25, d.m.th. zbatoni përsëri transformimin e dytë:

Kjo eshte e gjitha. Përgjigje: x=0,16

Shënim: për të sjellë ekuacionin origjinal të ndërlikuar në një formë të këndshme, ne përdorëm dy (vetëm dy!) shndërrime identike - transferoni majtas-djathtas me një ndryshim të shenjës dhe shumëzimit-pjesëtimit të ekuacionit me të njëjtin numër. Kjo është një mënyrë universale! Ne do të punojmë në këtë mënyrë me ndonjë ekuacione! Absolutisht ndonjë. Kjo është arsyeja pse unë po i përsëris këto transformime identike gjatë gjithë kohës.)

Siç mund ta shihni, parimi i zgjidhjes së ekuacioneve lineare është i thjeshtë. Ne marrim ekuacionin dhe e thjeshtojmë atë me ndihmën e transformimeve identike derisa të marrim përgjigjen. Problemet kryesore këtu janë në llogaritjen, jo në parim të zgjidhjes.

Por ... Ka befasi të tilla në procesin e zgjidhjes së ekuacioneve lineare më elementare, saqë ato mund t'ju çojnë në një mpirje të fortë ...) Fatmirësisht, mund të ketë vetëm dy surpriza të tilla. Le t'i quajmë ato raste të veçanta.

Raste të veçanta gjatë zgjidhjes së ekuacioneve lineare.

Surpriza e parë.

Supozoni se keni hasur në një ekuacion elementar, diçka si:

2x + 3 \u003d 5x + 5 - 3x - 2

Pak i mërzitur, ne e transferojmë atë me një x në të majtë, pa një x në të djathtë ... Me një ndryshim të shenjës, gjithçka është chin-chinar ... Ne marrim:

2x-5x + 3x \u003d 5-2-3

Ne e konsiderojmë, dhe ... o mut !!! Ne marrim:

Kjo barazi në vetvete nuk është e pakëndshme. Zero është me të vërtetë zero. Por X është zhdukur! Dhe ne duhet të shkruajmë në përgjigje çfarë është x. Përndryshe, vendimi nuk llogaritet, po ...) Qorrsokak?

Qetë! Në raste të tilla të dyshimta, rregullat më të përgjithshme kursejnë. Si të zgjidhim ekuacionet? Çfarë do të thotë të zgjidhësh një ekuacion? Do te thote, gjeni të gjitha vlerat x që, kur zëvendësohen në ekuacionin origjinal, do të na japin barazinë e saktë.

Por ne kemi barazi të vërtetë tashmë ndodhi! 0 \u003d 0, sa më i saktë?! Mbetet të kuptojmë se në çfarë xx rezulton. Në cilat vlera x mund të zëvendësohen fillestare ekuacioni nëse këto x-të gjithsesi do të tkurret në zero? Eja?)

Po!!! X mund të zëvendësohen ndonjë! Cfare do. Të paktën 5, të paktën 0,05, të paktën -220. Ata gjithsesi do të tkurren. Nëse nuk besoni, mund të kontrolloni.) Zëvendësoni çdo vlerë x në fillestare ekuacioni dhe numërimi. Gjatë gjithë kohës, do të merret e vërteta e pastër: 0 \u003d 0, 2 \u003d 2, -7.1 \u003d -7.1 etj.

Ja përgjigja: x - çdo numër.

Përgjigja mund të shkruhet në simbole të ndryshme matematikore, thelbi nuk ndryshon. Kjo është një përgjigje absolutisht e saktë dhe e plotë.

Surpriza e dytë.

Le të marrim të njëjtin ekuacion linear elementar dhe të ndryshojmë vetëm një numër në të. Kjo është ajo që ne do të zgjidhim:

2x + 1 \u003d 5x + 5 - 3x - 2

Pas të njëjtave transformime identike, kemi diçka intriguese:

Si kjo. Zgjidhur një ekuacion linear, mori një barazi të çuditshme. Në terma matematikorë, kemi barazia e pasaktë. Dhe në terma të thjeshtë, kjo nuk është e vërtetë. Furi. Por megjithatë, kjo marrëzi është një arsye shumë e mirë për zgjidhjen e saktë të ekuacionit.)

Përsëri, ne mendojmë bazuar në rregullat e përgjithshme. Çfarë do të na japë x, kur zëvendësohet në ekuacionin origjinal e vertete barazia? Po, asnjë! Nuk ka x të tillë. Çfarëdo që të zëvendësoni, gjithçka do të zvogëlohet, deliri do të mbetet.)

Ja përgjigja: nuk ka zgjidhje.

Kjo është gjithashtu një përgjigje e plotë. Në matematikë, përgjigje të tilla janë të zakonshme.

Si kjo. Tani shpresoj që humbja e x në procesin e zgjidhjes së ndonjë ekuacioni (jo vetëm linear) nuk do t'ju hutojë aspak. Çështja është tashmë e njohur.)

Tani që kemi kuptuar të gjitha kurthet në ekuacionet lineare, ka kuptim t'i zgjidhim ato.

Nëse ju pëlqen kjo faqe ...

Nga rruga, unë kam edhe disa site më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Të mësuarit - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Në këtë video, ne do të analizojmë një grup të tërë të ekuacioneve lineare që zgjidhen duke përdorur të njëjtin algoritëm - kjo është arsyeja pse ato quhen ato më të thjeshtat.

Për të filluar, le të përcaktojmë: çfarë është një ekuacion linear dhe cili është më i thjeshtë prej tyre?

Një ekuacion linear është ai në të cilin ka vetëm një ndryshore, dhe vetëm në shkallën e parë.

Ekuacioni më i thjeshtë do të thotë ndërtimi:

Të gjithë ekuacionet e tjera lineare reduktohen në ato më të thjeshtat duke përdorur algoritmin:

Zgjero kllapat, nëse ka;
Zhvendosni termat që përmbajnë një ndryshore në njërën anë të shenjës së barabartë, dhe termat pa një ndryshore në tjetrën;
Sillni terma të ngjashëm në të majtë dhe të djathtë të shenjës së barabartë;
Ndani ekuacionin rezultues me koeficientin e ndryshores $ x $.

Sigurisht, ky algoritëm nuk ndihmon gjithmonë. Fakti është se ndonjëherë, pas gjithë këtyre makinerive, koeficienti në ndryshoren $ x $ rezulton të jetë zero. Në këtë rast, dy mundësi janë të mundshme:

Ekuacioni nuk ka zgjidhje fare. Për shembull, kur merrni diçka si $ 0 \\ cdot x \u003d 8 $, d.m.th. ka zero në të majtë dhe një numër jo zero në të djathtë. Në videon më poshtë, ne do të shikojmë disa arsye në të njëjtën kohë pse kjo situatë është e mundur.
Zgjidhja janë të gjithë numrat. Rasti i vetëm kur kjo është e mundur është ekuacioni është zvogëluar në ndërtimin $ 0 \\ cdot x \u003d 0 $. Quiteshtë mjaft logjike që pa marrë parasysh se çfarë $ x $ zëvendësojmë, përsëri do të marrim "zero të barabartë me zero", d.m.th. barazinë e saktë numerike.

Tani le të shohim se si funksionon e gjitha në problemet e jetës reale.

Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve

Sot kemi të bëjmë me ekuacione lineare, dhe vetëm ato më të thjeshtat. Në përgjithësi, një ekuacion linear nënkupton çdo barazi që përmban saktësisht një ndryshore, dhe shkon vetëm në shkallën e parë.

Ndërtime të tilla zgjidhen në të njëjtën mënyrë:

Para së gjithash, duhet të zgjeroni kllapat, nëse ka (si në shembullin tonë të fundit);
Pastaj sillni të ngjashme
Më në fund, kap variablën, d.m.th. gjithçka që shoqërohet me një ndryshore - termat në të cilën ajo përmban - duhet të transferohet në një drejtim, dhe gjithçka që mbetet pa të duhet të transferohet në anën tjetër.

Pastaj, si rregull, është e nevojshme të sillni të ngjashme në secilën anë të barazisë së marrë, dhe pas kësaj mbetet vetëm të ndahet me koeficientin në "x", dhe ne do të marrim përgjigjen përfundimtare.

Në teori, kjo duket bukur dhe thjeshtë, por në praktikë, edhe nxënës me përvojë të shkollës së mesme mund të bëjnë gabime fyese në ekuacione lineare mjaft të thjeshta. Zakonisht gabimet bëhen ose kur zgjerohen kllapat, ose kur llogariten "pluset" dhe "minuset".

Përveç kësaj, ndodh që një ekuacion linear të mos ketë zgjidhje fare, ose që zgjidhja të jetë e gjithë linja numerike, d.m.th. ndonjë numër. Ne do t'i analizojmë këto hollësi në mësimin e sotëm. Por ne do të fillojmë, siç e keni kuptuar tashmë, me detyrat më të thjeshta.

Skema për zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta lineare

Së pari, më lejoni të shkruaj edhe një herë të gjithë skemën për zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta lineare:

Zgjero kllapat, nëse ka.
Sekretojmë ndryshoret, d.m.th. gjithçka që përmban "x" transferohet në njërën anë, dhe pa "x" - në tjetrën.
Ne paraqesim terma të ngjashëm.
Ne ndajmë gjithçka në koeficientin në "x".

Natyrisht, kjo skemë nuk funksionon gjithmonë, ka hollësi dhe hile të caktuara në të, dhe tani do t'i njohim ato.

Zgjidhja e shembujve të jetës reale të ekuacioneve të thjeshta lineare

Problemi numër 1

Hapi i parë kërkon që ne të zgjerojmë kllapat. Por ata nuk janë në këtë shembull, kështu që ne e kapërcejmë këtë fazë. Në hapin e dytë, duhet të kapim variablat. Ju lutemi vini re: ne po flasim vetëm për terma individualë. Le të shkruajmë:

Ne paraqesim terma të ngjashëm në të majtë dhe të djathtë, por kjo tashmë është bërë. Prandaj, kalojmë në hapin e katërt: pjesëtoni sipas koeficientit:

\\ [\\ frac (6x) (6) \u003d - \\ frac (72) (6) \\]

Kështu që morëm përgjigjen.

Problemi numër 2

Në këtë problem, ne mund të vëzhgojmë kllapat, kështu që le t'i zgjerojmë ato:

Si në të majtë ashtu edhe në të djathtë ne shohim afërsisht të njëjtën ndërtim, por le të vazhdojmë sipas algoritmit, d.m.th. sekretojmë variablat:

Këtu janë ato të ngjashme:

Në cilat rrënjë kryhet. Përgjigje: për cilindo. Prandaj, mund të shkruajmë se $ x $ është çdo numër.

Problemi numër 3

Ekuacioni i tretë linear është më interesant:

\\ [\\ majtas (6-x \\ djathtas) + \\ majtas (12 + x \\ djathtas) - \\ majtas (3-2x \\ djathtas) \u003d \u200b\u200b15 \\]

Këtu ka disa kllapa, por ato nuk shumëzohen me asgjë, ata thjesht kanë shenja të ndryshme para tyre. Le t'i hapim ato:

Ne kryejmë hapin e dytë të njohur tashmë për ne:

\\ [- x + x + 2x \u003d 15-6-12 + 3 \\]

Le të numërojmë:

Ne kryejmë hapin e fundit - ne ndajmë gjithçka me koeficientin në "x":

\\ [\\ frac (2x) (x) \u003d \\ frac (0) (2) \\]

Gjërat që duhet të mbani mend kur zgjidhni ekuacionet lineare

Përveç detyrave shumë të thjeshta, unë do të doja të them sa vijon:

Siç thashë më lart, jo çdo ekuacion linear ka një zgjidhje - nganjëherë thjesht nuk ka rrënjë;
Edhe nëse ka rrënjë, mund të ketë zero mes tyre - nuk ka asgjë të keqe me këtë.

Zero është i njëjti numër me pjesën tjetër, ju nuk duhet ta diskriminoni atë në asnjë mënyrë ose të supozoni se nëse merrni zero, atëherë keni bërë diçka gabim.

Një tipar tjetër lidhet me zgjerimin e kllapave. Ju lutemi vini re: kur ka një "minus" para tyre, atëherë ne e heqim atë, por në kllapa i ndryshojmë shenjat në e kundërt... Dhe atëherë mund ta hapim sipas algoritmeve standarde: do të marrim atë që pamë në llogaritjet e mësipërme.

Kuptimi i këtij fakti të thjeshtë do t'ju lejojë të shmangni gabimet budallaqe dhe lënduese në shkollën e mesme, kur veprime të tilla merren të mirëqena.

Zgjidhja e ekuacioneve lineare komplekse

Le të kalojmë në ekuacione më komplekse. Tani ndërtimet do të bëhen më komplekse dhe do të lindë një funksion kuadratik gjatë kryerjes së transformimeve të ndryshme. Sidoqoftë, nuk duhet të keni frikë nga kjo, sepse nëse, sipas qëllimit të autorit, ne jemi duke zgjidhur një ekuacion linear, atëherë në procesin e transformimit të gjitha monomet që përmbajnë një funksion kuadratik do të anulohen domosdoshmërisht.

Shembulli # 1

Padyshim, hapi i parë është zgjerimi i kllapave. Le ta bëjmë me shumë kujdes:

Tani për privatësi:

\\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x \u003d -12 \\]

Këtu janë ato të ngjashme:

Padyshim, ky ekuacion nuk ka zgjidhje, kështu që ne do të shkruajmë në përgjigje:

\\ [\\ lustrim \\]

ose pa rrënjë.

Shembulli Nr. 2

Ne ndjekim të njëjtat hapa. Hapi i parë:

Lëvizni gjithçka me ndryshoren në të majtë dhe pa të në të djathtë:

Këtu janë ato të ngjashme:

Natyrisht, ky ekuacion linear nuk ka një zgjidhje, kështu që ne e shkruajmë atë në këtë mënyrë:

\\ [\\ lustrim \\],

ose nuk ka rrënjë.

Nuancat e zgjidhjes

Të dy ekuacionet janë zgjidhur plotësisht. Duke përdorur këto dy shprehje si shembull, edhe një herë u siguruam që edhe në ekuacionet më të thjeshta lineare, gjithçka mund të mos jetë aq e thjeshtë: mund të ketë ose një rrënjë, ose asnjë, ose pafundësisht shumë. Në rastin tonë, ne kemi konsideruar dy ekuacione, në të dyja thjesht nuk ka rrënjë.

Por unë do të doja të tërhiqja vëmendjen tuaj për një fakt tjetër: si të punoni me kllapa dhe si t'i hapni ato nëse ka një shenjë minus përpara tyre. Merrni parasysh këtë shprehje:

Para se të zbuloni, duhet të shumëzoni gjithçka me "X". Shënim: shumëzohet secili term individual... Brenda ka dy terma - përkatësisht, dy terma dhe të shumëzuar.

Dhe vetëm pasi të kryhen këto transformime në dukje elementare, por shumë të rëndësishme dhe të rrezikshme, ju mund të zgjeroni kllapat nga pikëpamja e faktit se ka një shenjë minus pas saj. Po, po: vetëm tani, kur transformimet kanë përfunduar, a kujtojmë se ka një shenjë minus përpara kllapave, që do të thotë se gjithçka që është poshtë thjesht ndryshon shenja. Në këtë rast, kllapat vetë zhduken dhe, më e rëndësishmja, minusi kryesor gjithashtu zhduket.

Ne bëjmë të njëjtën gjë me ekuacionin e dytë:

Jo rastësisht tërheq vëmendjen për këto fakte të vogla, në dukje të parëndësishme. Sepse zgjidhja e ekuacioneve është gjithmonë një sekuencë e transformimeve elementare, ku pamundësia për të kryer në mënyrë të qartë dhe me kompetencë veprime të thjeshta çon në faktin se nxënësit e shkollës së mesme vijnë tek unë dhe përsëri mësojnë të zgjidhin ekuacione të tilla të thjeshta.

Sigurisht, dita do të vijë dhe ju do të grihni këto aftësi në automatizim. Ju nuk keni pse të kryeni kaq shumë transformime çdo herë, ju do të shkruani gjithçka në një rresht. Por ndërsa sapo mësoni, duhet të shkruani secilin veprim veç e veç.

Zgjidhja e ekuacioneve lineare edhe më komplekse

Ajo që ne do të zgjidhim tani është e vështirë të quhet detyra më e thjeshtë, por kuptimi mbetet i njëjtë.

Problemi numër 1

\\ [\\ majtas (7x + 1 \\ djathtas) \\ majtas (3x-1 \\ djathtas) -21 ((x) ^ (2)) \u003d 3 \\]

Le të shumëzojmë të gjithë elementët në pjesën e parë:

Le të bëjmë veçimin:

Këtu janë ato të ngjashme:

Ne kryejmë hapin e fundit:

\\ [\\ frac (-4x) (4) \u003d \\ frac (4) (- 4) \\]

Këtu është përgjigjja jonë përfundimtare. Dhe, përkundër faktit se gjatë procesit të zgjidhjes kemi pasur koeficientë me një funksion kuadratik, ata janë asgjësuar reciprokisht, gjë që e bën ekuacionin saktësisht linear, jo katror.

Problemi numër 2

\\ [\\ majtas (1-4x \\ djathtas) \\ majtas (1-3x \\ djathtas) \u003d \u200b\u200b6x \\ majtas (2x-1 \\ djathtas) \\]

Le ta bëjmë hapin e parë mjeshtërisht: shumëzojmë çdo element në kllapën e parë me çdo element në pjesën e dytë. Në total, duhet të ketë katër terma të rinj pas transformimeve:

Tani le të kryejmë me kujdes shumëzimin në secilin term:

Le të lëvizim termat me "x" në të majtë, dhe pa - në të djathtë:

\\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x \u003d -1 \\]

Këtu janë terma të ngjashëm:

Edhe një herë, morëm përgjigjen përfundimtare.

Nuancat e zgjidhjes

Shënimi më i rëndësishëm në lidhje me këto dy ekuacione është si më poshtë: posa të fillojmë shumëzimin e kllapave në të cilat ka më shumë se sa është një term, atëherë kjo bëhet sipas rregullit të mëposhtëm: ne marrim termin e parë nga i pari dhe shumohen me secilin element nga i dyti; atëherë marrim elementin e dytë nga i pari dhe në mënyrë të ngjashme shumëzojmë me secilin element nga i dyti. Si rezultat, ne marrim katër terma.

Shuma algjebrike

Me shembullin e fundit, unë do të doja të kujtoj studentët se çfarë është një shumë algjebrike. Në matematikën klasike, me 1-7 $ ne nënkuptojmë një ndërtim të thjeshtë: zbritni shtatë nga një. Në algjebër, nënkuptojmë me këtë sa vijon: në numrin "një" shtojmë një numër tjetër, përkatësisht "minus shtatë". Kështu ndryshon shuma algjebrike nga ajo e zakonshme aritmetike.

Sapo, kur kryeni të gjitha shndërrimet, çdo mbledhje dhe shumëzim, filloni të shihni ndërtime të ngjashme me ato të përshkruara më sipër, thjesht nuk do të keni ndonjë problem në algjebër kur punoni me polinome dhe ekuacione.

Si përfundim, le të shohim disa shembuj më shumë që do të jenë edhe më kompleksë se ata që kemi parë dhe për t'i zgjidhur ato do të duhet të zgjerojmë pak algoritmin tonë standard.

Zgjidhja e ekuacioneve me thyesë

Për të zgjidhur probleme të tilla, do të duhet të shtojmë edhe një hap në algoritmin tonë. Por së pari, unë do të kujtoj algoritmin tonë:

Zgjero kllapat.
Sekretoni ndryshoret.
Sillni ato të ngjashme.
Ndani me faktor.

Mjerisht, ky algoritëm i mrekullueshëm, me gjithë efektivitetin e tij, nuk është plotësisht i përshtatshëm kur përballemi me thyesa. Dhe në atë që do të shohim më poshtë, kemi një fraksion në të majtë dhe në të djathtë në të dy ekuacionet.

Si të punojmë në këtë rast? Gjithçka është shumë e thjeshtë! Për ta bërë këtë, duhet të shtoni një hap më shumë në algoritëm, i cili mund të bëhet si para ashtu edhe pas veprimit të parë, domethënë, të heqni qafe fraksionet. Kështu, algoritmi do të jetë si më poshtë:

Heqni qafe thyesat.
Zgjero kllapat.
Sekretoni ndryshoret.
Sillni ato të ngjashme.
Ndani me faktor.

Çfarë do të thotë "të heqim qafe fraksionet"? Dhe pse mund të bëhet kjo si pas, ashtu edhe para hapit të parë standard? Në fakt, në rastin tonë, të gjitha thyesat janë numerike sipas emëruesit, d.m.th. kudo në emërues është vetëm një numër. Prandaj, nëse shumëzojmë të dy anët e ekuacionit me këtë numër, atëherë heqim qafe thyesat.

Shembulli # 1

\\ [\\ frac (\\ majtas (2x + 1 \\ djathtas) \\ majtas (2x-3 \\ djathtas)) (4) \u003d ((x) ^ (2)) - 1 \\]

Le të heqim qafe fraksionet në këtë ekuacion:

\\ [\\ frac (\\ majtas (2x + 1 \\ djathtas) \\ majtas (2x-3 \\ djathtas) \\ cdot 4) (4) \u003d \\ majtas (((x) ^ (2)) - 1 \\ djathtas) \\ cdot 4 \\]

Kushtoj vëmendje: gjithçka shumëzohet me "katër" një herë, dmth. vetëm sepse keni dy kllapa nuk do të thotë që duhet të shumëzoni secilën prej tyre me katër. Le të shkruajmë:

\\ [\\ majtas (2x + 1 \\ djathtas) \\ majtas (2x-3 \\ djathtas) \u003d \u200b\u200b\\ majtas (((x) ^ (2)) - 1 \\ djathtas) \\ cdot 4 \\]

Tani le të hapim:

Zgjidh ndryshoren:

Ne kryejmë zvogëlimin e kushteve të ngjashme:

\\ [- 4x \u003d -1 \\ majtas | : \\ majtas (-4 \\ djathtas) \\ djathtas. \\]

\\ [\\ frac (-4x) (- 4) \u003d \\ frac (-1) (- 4) \\]

Ne kemi zgjidhjen përfundimtare, shkojmë te ekuacioni i dytë.

Shembulli Nr. 2

\\ [\\ frac (\\ majtas (1-x \\ djathtas) \\ majtas (1 + 5x \\ djathtas)) (5) + ((x) ^ (2)) \u003d 1 \\]

Këtu kryejmë të gjitha veprimet e njëjta:

\\ [\\ frac (\\ majtas (1-x \\ djathtas) \\ majtas (1 + 5x \\ djathtas) \\ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \\ cdot 5 \u003d 5 \\]

\\ [\\ frac (4x) (4) \u003d \\ frac (4) (4) \\]

Problemi është zgjidhur.

Kjo, në fakt, është gjithçka që doja të tregoja sot.

Pikat kryesore

Gjetjet kryesore janë si më poshtë:

Njihni algoritmin për zgjidhjen e ekuacioneve lineare.
Aftësia për të hapur kllapa.
Mos u shqetësoni nëse keni funksione kuadratike diku, ka shumë të ngjarë që ato të tkurren gjatë procesit të transformimeve të mëtejshme.
Rrënjët në ekuacionet lineare, madje edhe ato më të thjeshtat, janë tre llojesh: një rrënjë e vetme, e gjithë linja e numrave është një rrënjë, nuk ka rrënjë fare.

Shpresoj që ky mësim të ju ndihmojë të zotëroni një temë të thjeshtë, por shumë të rëndësishme për të kuptuar më tej të gjitha matematikat. Nëse diçka nuk është e qartë, shkoni në sit, zgjidhni shembujt e paraqitur atje. Qëndroni në gjendje për shumë gjëra më interesante!

Si të mësoni të zgjidhni ekuacionet e thjeshta dhe komplekse

Të dashur prindër!

Pa trajnim themelor matematikor, është e pamundur të formulohet edukimi i një personi modern. Në shkollë, matematika shërben si një lëndë referimi për shumë disiplina të ngjashme. Në jetën pas shkollore, arsimi gjatë gjithë jetës bëhet një domosdoshmëri e vërtetë, e cila kërkon trajnim bazë të përgjithshëm shkollor, përfshirë matematikën.

Në shkollën fillore, vendosen jo vetëm njohuritë mbi temat kryesore, por gjithashtu zhvillohen të menduarit logjik, imagjinata dhe përfaqësimet hapësinore, si dhe formohet një interes për këtë lëndë.

Duke vëzhguar parimin e vazhdimësisë, ne do të përqendrohemi në temën më të rëndësishme, përkatësisht "Marrëdhënia midis përbërësve të veprimeve në zgjidhjen e ekuacioneve të përbëra".

Me këtë mësim, ju lehtë mund të mësoni se si të zgjidhni ekuacionet e komplikuara. Në mësim, ju do të mësoni në detaje udhëzimet hap pas hapi për zgjidhjen e ekuacioneve të komplikuara.

Shumë prindër janë të hutuar nga pyetja - si t'i bëni fëmijët të mësojnë se si të zgjidhin ekuacione të thjeshta dhe komplekse. Nëse ekuacionet janë të thjeshta, kjo është gjysma e telasheve, por ka edhe ato komplekse - për shembull, ato integrale. Nga rruga, për informacion, ka ekuacione të tilla, mbi zgjidhjen e të cilave po luftojnë mendjet më të mira të planetit tonë dhe për zgjidhjen e të cilave lëshohen çmime shumë të rëndësishme monetare. Për shembull, nëse e mbani mendPerelmandhe një bonus parash të pakërkuar prej disa milionësh.

Sidoqoftë, le të kthehemi te ekuacionet e thjeshta matematikore dhe të përsërisim llojet e ekuacioneve dhe emrat e përbërësve. Pak ngrohje:

_________________________________________________________________________

NGROHT

Gjeni numrin shtesë në secilën kolonë:

2) Cila fjalë mungon në secilën kolonë?

3) Lidhni fjalët nga kolona e parë me fjalët nga kolona e dytë.

"Ekuacioni" "Barazia"

4) Si e shpjegoni se çfarë është barazia?

5) Po në lidhje me "ekuacionin"? A është kjo barazi? Çfarë është e veçantë në lidhje me të?

shuma e termave

diferenca në rënie

produkt i zbritur

faktoribarazia

dividenti

ekuacioni

Përfundim: Një ekuacion është barazi me një ndryshore vlera e së cilës duhet të gjendet.

_______________________________________________________________________

Unë ftoj secilin grup të shkruaj në një copë letër me një stilolaps ekuacionet: (në tabelë)

Grupi 1 - me një term të panjohur;

Grupi 2 - me një të panjohur të zvogëluar;

Grupi 3 - me një zbritje të panjohur;

Grupi 4 - me një pjestues të panjohur;

Grupi 5 - me një divident të panjohur;

Grupi 6 - me shumëzues të panjohur.

1 grup x + 8 \u003d 15

Grupi 2 x - 8 \u003d 7

3 grupi 48 - x \u003d 36

4 grupi 540: x \u003d 9

5 grupi x: 15 \u003d 9

6 grup x * 10 \u003d 360

Njëri nga grupi duhet të lexojë ekuacionin e tij në gjuhën matematikore dhe të komentojë zgjidhjen e tyre, domethënë, të flasë operacionin që kryhet me përbërës të njohur të veprimeve (algoritmi).

Përfundim: Ne jemi në gjendje të zgjidhim ekuacione të thjeshta të të gjitha llojeve sipas algoritmit, të lexojmë dhe të shkruajmë shprehje të drejtpërdrejta.

Unë propozoj të zgjidh një problem në të cilin shfaqet një lloj i ri i ekuacioneve.

Përfundim: Ne u njohëm me zgjidhjen e ekuacioneve, njëra nga pjesët e së cilës përmban një shprehje numerike, vlera e së cilës duhet të gjendet dhe të merret një ekuacion i thjeshtë.

________________________________________________________________________

Konsideroni një version tjetër të ekuacionit, zgjidhja e të cilit reduktohet në zgjidhjen e një zinxhiri të ekuacioneve të thjeshta. Këtu është një nga futja e ekuacioneve të përbëra.

a + b * c (x - y): 3 2 * d + (m - n)

A janë ekuacionet e shkrimit?

Pse

Si quhen këto veprime?

Lexoni ato, duke thirrur veprimin e fundit:

Jo Këto nuk janë ekuacione, sepse ekuacioni duhet të ketë një shenjë "\u003d".

Shprehjet

a + b * c - shuma e numrit a dhe prodhimi i numrave b dhe c;

(x - y): 3 - herësi i ndryshimit midis numrave x dhe y;

2 * d + (m - n) - shuma e numrit të dyfishuar d dhe ndryshimi midis numrave m dhe n.

Unë i ftoj të gjithë të shkruajnë një fjali në gjuhën matematikore:

Prodhimi i ndryshimit midis numrave x dhe 4 dhe numrit 3 është 15.

PCRFUNDIM: Situata e problemit që ka lind motivon vendosjen e qëllimit të orës së mësimit: të mësojmë të zgjidhim ekuacione në të cilat përbërësi i panjohur është një shprehje. Ekuacione të tilla janë ekuacione të përbëra.

__________________________________________________________________________

Apo ndoshta llojet e ekuacioneve të studiuara tashmë do të na ndihmojnë? (algoritme)

Cili ekuacion i njohur duket si ekuacioni ynë? X * a \u003d b

PYETJE SHUMY E RNDSISHME: Cila është shprehja në anën e majtë - shuma, ndryshimi, prodhimi ose herësi?

(x - 4) * 3 \u003d 15 (produkt)

Pse (pasi veprimi i fundit është shumëzimi)

Prodhimi:Ekuacione të tilla nuk janë konsideruar ende. Por ju mund të vendosni nëse shprehjax - 4 vendosni një kartë (y është një lojë), dhe ju merrni një ekuacion që mund të zgjidhet lehtësisht duke përdorur një algoritëm të thjeshtë për gjetjen e përbërësit të panjohur.

Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve të përbëra, është e nevojshme të zgjidhni një veprim në një nivel të automatizuar në çdo hap, duke komentuar, duke emëruar përbërësit e veprimit.

Thjeshtoni pjesën

↓ po

(y - 5) * 4 = 28
y - 5 = 28: 4
y - 5 \u003d 7
y \u003d 5 +7
y \u003d 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 \u003d 28 (dhe)

Prodhimi:Në klasa me prejardhje të ndryshme, kjo punë mund të organizohet në mënyra të ndryshme. Në klasat më të përgatitura, edhe për konsolidimin fillestar, mund të përdoren shprehje në të cilat jo dy, por tre ose më shumë veprime, por zgjidhja e tyre kërkon më shumë hapa me çdo hap që thjeshton ekuacionin, derisa të merret një ekuacion i thjeshtë. Dhe çdo herë mund të vërehet se si ndryshon përbërësi i panjohur i veprimeve.

_____________________________________________________________________________

PCRFUNDIM:

Kur bëhet fjalë për diçka shumë të thjeshtë, të kuptueshme, ne shpesh themi: "Çështja është e qartë, si dy dhe dy janë katër!"

Por para se të mendonin se dy herë dy është katër, njerëzit duhej të studionin për shumë, shumë mijë vjet.

Shumë prej rregullave nga librat shkollorë të aritmetikës dhe gjeometrisë ishin të njohur për grekët e lashtë më shumë se dy mijë vjet më parë.

Kudo, ku është e nevojshme të numërosh diçka, të matësh, të krahasosh, nuk mund të bëhet pa matematikë.

Shtë e vështirë të imagjinohet se si do të jetonin njerëzit nëse nuk do të dinin të numëronin, të matnin, të krahasonin. Kjo është ajo që mëson matematika.

Sot ju u zhytët në jetën shkollore, luajtët rolin e studentëve dhe ju ftoj, të dashur prindër, të vlerësoni aftësitë tuaja në një shkallë.

Aftësitë e mia	Data dhe vlerësimi
Komponentët e veprimit.
Ekuacioni me një përbërës të panjohur.
Leximi dhe shkrimi i shprehjeve.
Gjeni rrënjën e një ekuacioni në një ekuacion të thjeshtë.
Gjeni rrënjën e një ekuacioni që përmban një shprehje numerike.
Gjeni rrënjën e një ekuacioni në të cilin përbërësi i panjohur i veprimit është një shprehje.