Что такое медиана угла треугольника. Медиана треугольника. Теоремы связанные с медианами треугольника. Формулы для нахождения медиан. Свойство средней линии треугольника

Свойства

Медианы треугольника пересекаются в одной точке , которая называется центроидом , и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
При аффинных преобразованиях медиана переходит в медиану.
Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Формулы

Формула медианы через стороны (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

, где m c - медиана к стороне c; a, b, c - стороны треугольника, поэтому сумма квадратов медиан произвольного треугольника всегда в 4/3 раза меньше суммы квадратов его сторон.

Формула стороны через медианы:

, где медианы к соответствующим сторонам треугольника, - стороны треугольника.

Если две медианы перпендикулярны, то сумма квадратов сторон, на которые они опущены, в 5 раз больше квадрата третьей стороны.

Мнемоническое правило

Медиана-обезьяна,
у которой зоркий глаз,
прыгнет точно в середину
стороны против вершины,
где находится сейчас.

Примечания

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Медиана треугольника" в других словарях:

Медиана: Медиана треугольника в планиметрии, отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны в статистике медианой называется значение совокупности, делящее ранжированный ряд данных пополам Медиана (статистика) … … Википедия

Медиана: Медиана треугольника в планиметрии, отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны Медиана (статистика) квантиль 0.5 Медиана (трасса) средняя линия трассы, проведённая между правым и левым … Википедия

Треугольник и его медианы. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок. Содержание 1 Свойства 2 Формулы … Википедия

Линия, соединяющая вершину треугольника с серединой его основания. Полный словарь иностранных слов, вошедших в употребление в русском языке. Попов М., 1907. медиана (лат. mediana средняя) 1) геол. отрезок, соединяющий вершину треугольника с… … Словарь иностранных слов русского языка

Медиана (от латинского mediana средняя) в геометрии, отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, которую иногда называют «центром тяжести» треугольника, так … Большая советская энциклопедия

Треугольника прямая (или ее отрезок внутри треугольника), соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, к рая называется центром тяжести треугольника, центроидом, или… … Математическая энциклопедия

- (от лат. mediana средняя) отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны … Большой Энциклопедический словарь

МЕДИАНА, медианы, жен. (лат. mediana, букв. средняя). 1. Прямая линия, проведенная от вершины треугольника к середине противолежащей стороны (мат.). 2. В статистике для ряда многих данных величина, обладающая тем свойством, что число данных,… … Толковый словарь Ушакова

МЕДИАНА, ы, жен. В математике: отрезок прямой линии, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

МЕДИАНА (от лат. mediana средняя), отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны … Энциклопедический словарь

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме. Предлагаю рассмотреть задачи, которые позволят увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная система задач является эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала в ходе подготовки учащихся к экзамену.

Для сдачи экзамена не лишними будут дополнительные сведения о некоторых элементах треугольника. Рассмотрим свойства медианы треугольника и задачи, при решении которых этими свойствами можно воспользоваться. В предложенных задачах реализуется принцип уровневой дифференциации . Все задачи условно поделены на уровни (уровень указан в скобках после каждого задания).

Вспомним некоторые свойства медианы треугольника

Свойство 1. Докажите, что медиана треугольника ABC , проведённая из вершины A , меньше полусуммы сторон AB и AC .

Доказательство

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle {\frac{AB + AC}{2}}$" width="90" height="60">.

Свойство 2. Медиана рассекает треугольник на два равновеликих.

Доказательство

Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE..gif" alt="Площадь" width="82" height="46">

Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Медиана" align="left" width="196" height="75 src=">Свойство 4. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Доказательство

Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC, равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF .

В силу свойства 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Медиана" align="left" width="105" height="132 src=">

Свойство 6. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Доказательство

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Медиана" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.

Следствия: 1. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

2. Если в треугольнике длина медианы равна половине длины стороны, к которой она проведена, то этот треугольник – прямоугольный.

ЗАДАЧИ

При решении каждой последующей задачи используются доказанные свойства.

№1 Темы: Удвоение медианы. Сложность: 2+

Признаки и свойства параллелограмма Классы: 8,9

Условие

На продолжении медианы AM треугольника ABC за точку M отложен отрезок MD , равный AM . Докажите, что четырёхугольник ABDC - параллелограмм.

Решение

Воспользуемся одним из признаков параллелограмма. Диагонали четырёхугольника ABDC пересекаются в точке M и делятся ею пополам, поэтому четырёхугольник ABDC - параллелограмм.

1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Свойства биссектрис треугольника

1. Биссектриса угла - это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: .

3. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Свойства высот треугольника

1. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.

2. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Подобие треугольников

Два треугольника подобны, если выполняется одно из следующих условий, называемых признаками подобия:

· два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника;

· две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны;

· три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Теорема синусов

Теорема косинусов

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos

Формулы площади треугольника

1. Произвольный треугольник

a, b, c - стороны; - угол между сторонами a и b ; - полупериметр; R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности; S - площадь; h a - высота, проведенная к стороне a .

S = ah a

S = ab sin

S = pr

2. Прямоугольный треугольник

a, b - катеты; c - гипотенуза; h c - высота, проведенная к стороне c .

S = ch c S = ab

3. Равносторонний треугольник

Четырехугольники

Свойства параллелограмма

· противолежащие стороны равны;

· противоположные углы равны;

· диагонали точкой пересечения делятся пополам;

· сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

· сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.

2. Противоположные стороны попарно равны.

3. Противоположные углы попарно равны.

4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Свойства трапеции

· ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

· если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

· если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

· если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Свойства прямоугольника

· диагонали равны.

Параллелограмм является прямоугольником, если:

1. Один из его углов прямой.

2. Его диагонали равны.

Свойства ромба

· все свойства параллелограмма;

· диагонали перпендикулярны;

· диагонали являются биссектрисами его углов.

1. Параллелограмм является ромбом, если:

2. Две его смежные стороны равны.

3. Его диагонали перпендикулярны.

4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Свойства квадрата

· все углы квадрата прямые;

· диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Основные формулы

1. Произвольный выпуклый четырехугольник
d 1 , d 2 - диагонали; - угол между ними; S - площадь.

Гомельская научно-практическая конференция школьников по математике, ее приложениям и информационным технологиям «Поиск»

Реферат на тему:

«Медианы треугольника»

Учеников:

9" класса государственного

учреждения образования

«Гомельская городская

Многопрофильная гимназия № 14»

Морозовой Елизаветы

Ходосовской Алеси

Научный руководитель-

Учитель математики высшей категории

Сафонова Алла Викторовна

Гомель 2009

Введение

1. Медианы треугольника и их свойства

2. Открытие немецкого математика Г. Лейбница

3. Применение медиан в математической статистике

4. Медианы тетраэдра

5. Шесть доказательств теоремы о медианах

Заключение

Список использованных источников и литературы

Приложение

Введение

Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии, но он не символ. Треугольник – атом геометрии.

Треугольник неисчерпаем – постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать о всех известных его свойствах, необходим том сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии. Мы хотим рассказать о медиане треугольника и ее свойствах, а так же о применении медиан.

Сначала вспомним, что медиана треугольника – это отрезок соединяющий вершины треугольника с серединой противоположной стороны. Медианы имеют множество свойств. Но мы рассмотрим одно свойство и 6 различных его доказательств. Три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом (центром масс) и делятся в отношении 2:1.

Существует медианы не только треугольника, но и тетраэдра. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противолежащей грани называется медианой тетраэдра. Мы так же рассмотрим свойство медиан тетраэдра.

Медианы используются в математической статистике. Например, для нахождения среднего значения некоторого набора чисел.

1. Медианы треугольника и их свойства

Как известно, медианами треугольника называются отрезки, соединяющие его вершины с серединами противоположных сторон. Все три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 1:2.

Точка пересечения медиан является также центром тяжести треугольника. Если подвесить картонный треугольник в точке пересечения его медиан то он будет находиться в состоянии равновесия

Любопытно, что вcе шесть треугольников, на которые всякий треугольник разбивается своими медианами, имеют одинаковые площади.

Медианы треугольника через его стороны выражаются так:

, , .

Построим треугольник, стороны которого равны медианам данного треугольника, тогда медианы построенного треугольника будут равны 3/4 сторон первоначального треугольника.

Данный треугольник назовем первым, треугольник из его медиан - вторым, треугольник из медиан второго - третьим и т. д. Тогда треугольники с нечетными номерами (1,3, 5, 7,...) подобны между собой и треугольники с четными номерами (2, 4, 6, 8,...) также подобны между собой.

Сумма квадратов длин всех медиан треугольника равняется ¾ суммы квадратов длин его сторон.

2. Открытие немецкого математика Г. Лейбница

Знаменитый немецкий математик Г. Лейбниц обнаружил замечательный факт: сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до вершин треугольника, лежащего в этой плоскости, равняется сумме квадратов расстояний от точки пересечения медиан до его вершин, сложенной с утроенным квадратом расстояния от точки пересечения медиан до выбранной точки.

Из этой теоремы следует, что точка на плоскости, для которой сумма квадратов расстояний до вершин данного треугольника является минимальной,- это точка пересечения медиан этого треугольника.

В то же время минимальная сумма расстояний до вершин треугольника (а не их квадратов) будет для точки, из которой каждая сторона треугольника видна под углом в 120°, если ни один из углов треугольника не больше 120° (точка Ферма), и для вершины тупого угла, если он больше 120°.

Из теоремы Лейбница и предыдущего утверждения легко найти расстояние d от точки пересечения медиан до центра описанной окружности. Действительно, это расстояние по теореме Лейбница равно корню квадратному из одной трети разности между суммой квадратов расстояний от центра описанной окружности до вершин треугольника и суммой

Квадратов расстояний от точки пересечения медиан до вершин треугольника. Получаем, что

Точка М пересечения медиан треугольника AВС является единственной точкой треугольника, для которой сумма векторов МА, MB и МС равна нулю. Координаты точки М (относительно произвольных осей) равны средним арифметическим соответствующих координат вершин треугольника. Из этих утверждений можно получить доказательство теоремы о медианах.

3. Применение медиан в математической статистике

Медианы бывают не только в геометрии, но и в математической статистике. Пусть нужно найти среднее значение некоторого набора чисел

, , ..., а п. Можно, конечно, за среднее принять среднее арифметическое

Но иногда это неудобно. Допустим, что нужно определить средний рост второклассников Москвы. Опросим наугад 100 школьников и запишем их рост. Если один из ребят в шутку скажет, что его рост равен километру, то среднее арифметическое записанных чисел окажется слишком большим. Гораздо лучше в качестве среднего взять медиану чисел

, ..., а п.

Предположим, что чисел - нечетное количество, и расставим их в неубывающем порядке. Число, оказавшееся на среднем месте, называется медианой набора. Например, медиана набора чисел 1, 2, 5, 30, 1, 1, 2 равна 2 (а среднее арифметическое значительно больше - оно равно 6).

4. Медианы тетраэдра

Оказывается, можно говорить о медианах не только для треугольника, но и для тетраэдра. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противолежащей грани, называется медианой тетраэдра. Как и медианы треугольника, медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, центре масс или центроиде тетраэдра, но отношение, в котором они делятся в этой точке, иное – 3:1, считая от вершин. Эта же точка лежит и на всех отрезках, соединяющих середины противоположных ребер тетраэдра, его бимедианах, и делит их пополам. Это можно доказать, например, из механических соображений, поместив в каждую из четырех вершин тетраэдра грузики единичной массы.

5. Шесть доказательств теоремы о медианах

Давно замечено, что познакомиться с разными решениями одной задачи бывает полезнее, чем с однотипными решениями разных задач. Одной из теорем, допускающих, как и многие другие классические теоремы элементарной геометрии, несколько поучительных доказательств, является

Теорема о медианах треугольника. Медианы , В и С треугольника ABC пересекаются в некоторой точке М, причем каждая из них делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины: AM : M = BM : M = CM : M =2. (1)

Во всех приводимых далее доказательствах, кроме шестого, мы устанавливаем только, что медиана В проходит через точку М, которая делит медиану А в отношении 2:1. Если в соответствующем рассуждении заменить отрезок В на отрезок С , то мы получим, что и С проходит через М. Этим будет доказано, что все три медианы пересекаются в некоторой точке М, причем АМ:М - 2. Поскольку все медианы равноправны, можно заменить А на В или СС 1 отсюда вытекает (1).