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Sea necesario encontrar los valores numéricos de x en los que varias desigualdades racionales se convierten simultáneamente en verdaderas desigualdades numéricas. En tales casos, decimos que necesitamos resolver un sistema de desigualdades racionales con una incógnita x.
Para resolver un sistema de desigualdades racionales, uno debe encontrar todas las soluciones para cada desigualdad en el sistema. Entonces la parte común de todas las soluciones encontradas será la solución del sistema.
Ejemplo: Resolver el sistema de desigualdades
(x-1)(x-5)(x-7)< 0,
Primero resolvemos la desigualdad
(x - 1)(x - 5)(x - 7)< 0.
Aplicando el método de los intervalos (Fig. 1), encontramos que el conjunto de todas las soluciones de la desigualdad (2) consta de dos intervalos: (-, 1) y (5, 7).
Foto 1
Ahora resolvamos la desigualdad
Usando el método de intervalo (Fig. 2), encontramos que el conjunto de todas las soluciones a la desigualdad (3) también consta de dos intervalos: (2, 3) y (4, +).
Ahora necesitamos encontrar la parte común de la solución de las desigualdades (2) y (3). Dibujemos el eje de coordenadas x y marquemos las soluciones encontradas en él. Ahora está claro que la parte común de resolver las desigualdades (2) y (3) es el intervalo (5, 7) (Fig. 3).
En consecuencia, el conjunto de todas las soluciones del sistema de desigualdades (1) es el intervalo (5, 7).
Ejemplo: Resolver el sistema de desigualdades
x2 - 6x + 10< 0,
Primero resolvamos la desigualdad
x 2 - 6x + 10< 0.
Aplicar el método de selección cuadrado completo, uno puede escribir eso
x 2 - 6x + 10 \u003d x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 \u003d (x - 3) 2 +1.
Por lo tanto, la desigualdad (2) se puede escribir como
(x - 3) 2 + 1< 0,
lo que demuestra que no tiene solución.
Ahora no puedes resolver la desigualdad.
ya que la respuesta ya es clara: el sistema (1) no tiene solución.
Ejemplo: Resolver el sistema de desigualdades
Considere primero la primera desigualdad; tenemos
1 < 0, < 0.
Usando la curva de signos, encontramos soluciones a esta desigualdad: x< -2; 0 < x < 2.
Resolvamos ahora la segunda desigualdad del sistema dado. Tenemos x 2 - 64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.
Habiendo marcado las soluciones encontradas de la primera y segunda desigualdades en una línea real común (Fig. 6), encontramos intervalos donde estas soluciones coinciden (supresión de solución): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.
Ejemplo: Resolver el sistema de desigualdades
Transformamos la primera desigualdad del sistema:
x 3 (x - 10) (x + 10) 0, o x (x - 10) (x + 10) 0
(ya que los factores en potencias impares pueden ser reemplazados por los correspondientes factores de primer grado); usando el método de intervalo, encontramos soluciones a la última desigualdad: -10 x 0, x 10.
Considere la segunda desigualdad del sistema; tenemos
Encontramos (Fig. 8) x -9; 3< x < 15.
Combinando las soluciones encontradas, obtenemos (Fig. 9) x 0; x > 3.
Ejemplo: Encuentre soluciones enteras al sistema de desigualdades:
x + y< 2,5,
Solución: Llevemos el sistema al formulario.
Sumando la primera y la segunda desigualdad, tenemos y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим
de donde -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.
Ejemplos:
\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)
\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)
\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .
Al resolver desigualdades racionales fraccionarias, se utiliza el método de intervalos. Por lo tanto, si el siguiente algoritmo le causa dificultades, consulte el artículo sobre .
Cómo resolver desigualdades racionales fraccionarias:
Algoritmo para resolver desigualdades racionales fraccionarias.
Ejemplos:
Coloca signos en los intervalos del eje numérico. Permítanme recordarles las reglas para organizar los letreros:
Determinamos el signo en el intervalo más a la derecha: tomamos un número de este intervalo y lo sustituimos en la desigualdad en lugar de x. Después de eso, determinamos los signos entre paréntesis y el resultado de multiplicar estos signos;
Ejemplos:
Resalta los espacios que quieras. Si hay una raíz separada, márquela con una bandera para que no olvide incluirla en la respuesta (vea el ejemplo a continuación).
Ejemplos:
Escriba en respuesta los espacios resaltados y las raíces marcadas con una bandera (si las hay).
Ejemplos:
Respuesta: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪$.
Cómo introducir una nueva variable
Este método es el siguiente: Se escribe una ecuación de la forma $f(x)=g(x)$. Lo resolvemos de la siguiente manera: introducimos esa nueva variable para obtener una ecuación cuya solución ya se conoce. Posteriormente lo resolvemos y volvemos al reemplazo. A partir de ella encontramos la solución de la primera ecuación. Además, las raíces encontradas se marcan en la recta numérica y se construye una curva de signos. Dependiendo del signo de la desigualdad inicial, se escribe la respuesta.
Damos un ejemplo de la aplicación de este método usando el ejemplo de una desigualdad de cuarto grado:
Ejemplo 4
Resolvamos la desigualdad.
$x^4+4x^2-21 >0$
Solución.
Resolvamos la ecuación:
Hagamos la siguiente sustitución:
Sea $x^2=u (donde \ u >0)$, obtenemos:
Resolveremos este sistema usando el discriminante:
$D=16+84=100=10^2$
La ecuación tiene dos raíces:
$x=\frac(-4-10)(2)=-7$ y $x=\frac(-4+10)(2)=3$
Volver al reemplazo:
$x^2=-7$ y $x^2=3$
La primera ecuación no tiene solución, y de la segunda $x=\sqrt(3)$ y $x=-\sqrt(3)$
Dibujemos una curva de signos:
Dado que el signo "mayor que" en la desigualdad inicial, obtenemos
Responder:$(-∞,-\raíz cuadrada(3))∪(\raíz cuadrada(3),∞)$