En este artículo encontrarás todos Información necesaria respondiendo la pregunta, como factorizar un numero. Dado primero Idea general sobre la descomposición de un número en factores primos, se dan ejemplos de expansiones. A continuación se muestra la forma canónica de factorizar un número en factores primos. Después de eso, se proporciona un algoritmo para descomponer números arbitrarios en factores primos y se dan ejemplos de descomposición de números usando este algoritmo. También considerado caminos alternativos, lo que le permite descomponer rápidamente números enteros pequeños en factores primos utilizando signos de divisibilidad y una tabla de multiplicar.
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¿Qué significa factorizar un número en factores primos?
Primero, veamos qué son los factores primos.
Es claro que dado que la palabra “factores” está presente en esta frase, entonces se realiza el producto de algunos números, y la palabra aclaratoria “primo” significa que cada factor es un número primo. Por ejemplo, en un producto de la forma 2 7 7 23 hay cuatro factores primos: 2 , 7 , 7 y 23 .
¿Qué significa factorizar un número en factores primos?
Esto significa que número dado debe representarse como un producto de factores primos, y el valor de este producto debe ser igual al número original. Como ejemplo, considere el producto de tres números primos 2 , 3 y 5 , es igual a 30 , entonces la factorización del número 30 en factores primos es 2 3 5 . Usualmente, la descomposición de un número en factores primos se escribe como una igualdad, en nuestro ejemplo será así: 30=2 3 5 . Por separado, enfatizamos que los factores primos en la expansión se pueden repetir. Esto se ilustra claramente con el siguiente ejemplo: 144=2 2 2 2 3 3 . Pero la representación de la forma 45=3 15 no es una descomposición en factores primos, ya que el número 15 es compuesto.
Surge la siguiente pregunta: “¿Y qué números se pueden descomponer en factores primos”?
En busca de una respuesta a la misma, presentamos el siguiente razonamiento. Los números primos, por definición, están entre los mayores que uno. Dado este hecho y , se puede argumentar que el producto de varios factores primos es un número entero positivo mayor que uno. Por lo tanto, la factorización se lleva a cabo solo para números enteros positivos que son mayores que 1.
Pero, ¿todos los números enteros mayores que un factor se convierten en factores primos?
Está claro que no hay forma de descomponer números enteros simples en factores primos. Esto se debe a que los números primos solo tienen dos divisores positivos, uno y sí mismo, por lo que no se pueden representar como un producto de dos o más números primos. Si un entero z pudiera representarse como un producto de los números primos a y b, entonces el concepto de divisibilidad nos permitiría concluir que z es divisible tanto por a como por b, lo cual es imposible debido a la simplicidad del número z. Sin embargo, se cree que cualquier número primo es en sí mismo su descomposición.
¿Qué pasa con los números compuestos? ¿Los números compuestos se descomponen en factores primos y todos los números compuestos están sujetos a tal descomposición? El teorema fundamental de la aritmética da una respuesta afirmativa a varias de estas preguntas. El teorema fundamental de la aritmética establece que cualquier entero a mayor que 1 se puede descomponer en el producto de factores primos p 1 , p 2 , ..., pn , mientras que la descomposición tiene la forma a=p 1 p 2 .. .pn , y esta la descomposición es única, si no tenemos en cuenta el orden de los factores
Descomposición canónica de un número en factores primos
En la expansión de un número se pueden repetir los factores primos. Los factores primos repetidos se pueden escribir de manera más compacta usando . Deje que el factor primo p 1 ocurra s 1 veces en la descomposición del número a, el factor primo p 2 - s 2 veces, y así sucesivamente, p n - s n veces. Entonces la descomposición en factores primos del número a se puede escribir como un = pag 1 s 1 pag 2 s 2 pag norte s norte. Esta forma de escritura es la llamada factorización canónica de un número en factores primos.
Pongamos un ejemplo de descomposición canónica de un número en factores primos. Háganos saber la descomposición. 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, su forma canónica es 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.
La descomposición canónica de un número en factores primos te permite encontrar todos los divisores del número y el número de divisores del número.
Algoritmo para descomponer un número en factores primos
Para hacer frente con éxito a la tarea de descomponer un número en factores primos, debe ser muy bueno con la información del artículo Números simples y compuestos.
La esencia del proceso de expansión de un número entero positivo y mayor que un número a se desprende de la demostración del teorema principal de la aritmética. El significado es encontrar secuencialmente los divisores primos más pequeños p 1 , p 2 , …,pn de los números a, a 1 , a 2 , …, a n-1 , lo que te permite obtener una serie de igualdades a=p 1 · a 1 , donde a 1 = a:p 1 , a=p 1 a 1 =p 1 p 2 a 2 , donde a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 p 2 … pn an , donde an =a n-1:pn . Cuando se obtiene a n =1, entonces la igualdad a=p 1 ·p 2 ·…·p n nos dará la descomposición requerida del número a en factores primos. Aquí también hay que señalar que pag 1 ≤ pag 2 ≤ pag 3 ≤…≤ pag norte.
Queda por tratar de encontrar los divisores primos más pequeños en cada paso, y tendremos un algoritmo para descomponer un número en factores primos. La tabla de números primos nos ayudará a encontrar divisores primos. Vamos a mostrar cómo usarlo para obtener el divisor primo más pequeño del número z.
Tomamos secuencialmente números primos de la tabla de números primos (2 , 3 , 5 , 7 , 11 y así sucesivamente) y dividimos el número dado z entre ellos. El primer número primo por el cual z es divisible por igual es su divisor primo más pequeño. Si el número z es primo, entonces su divisor primo más pequeño será el mismo número z. También debe recordarse aquí que si z no es número primo, entonces su mínimo divisor primo no excede el número , donde - de z . Por lo tanto, si entre los números primos que no exceden , no hubo un solo divisor del número z, entonces podemos concluir que z es un número primo (se escribe más sobre esto en la sección de teoría bajo el encabezado este número es primo o compuesto ).
Por ejemplo, mostremos cómo encontrar el divisor primo más pequeño del número 87. Tomamos el número 2. Divida 87 por 2, obtenemos 87: 2 = 43 (resto 1) (si es necesario, consulte el artículo). Es decir, al dividir 87 entre 2, el resto es 1, por lo que 2 no es divisor del número 87. Tomamos el siguiente número primo de la tabla de números primos, este es el número 3. Dividimos 87 por 3, obtenemos 87:3=29. Entonces 87 es divisible por 3, por lo que 3 es el divisor primo más pequeño de 87.
Nótese que en el caso general, para factorizar el número a, necesitamos una tabla de números primos hasta un número no menor que . Tendremos que consultar esta tabla en cada paso, por lo que debemos tenerla a mano. Por ejemplo, para factorizar el número 95, necesitaremos una tabla de números primos hasta el 10 (ya que 10 es mayor que ). Y para descomponer el número 846 653, ya necesitarás una tabla de números primos hasta el 1000 (ya que 1000 es mayor que).
Ahora tenemos suficiente información para escribir Algoritmo para factorizar un número en factores primos. El algoritmo para expandir el número a es el siguiente:
- Clasificando secuencialmente los números de la tabla de números primos, encontramos el divisor primo más pequeño p 1 del número a, después de lo cual calculamos a 1 =a:p 1 . Si a 1 = 1 , entonces el número a es primo y es él mismo su descomposición en factores primos. Si a 1 es igual a 1, entonces tenemos a=p 1 ·a 1 y vamos al siguiente paso.
- Encontramos el divisor primo más pequeño p 2 del número a 1 , para esto clasificamos secuencialmente los números de la tabla de números primos, comenzando con p 1 , después de lo cual calculamos a 2 =a 1:p 2 . Si a 2 =1, entonces la descomposición deseada del número a en factores primos tiene la forma a=p 1 ·p 2 . Si a 2 es igual a 1, entonces tenemos a=p 1 ·p 2 ·a 2 y vamos al siguiente paso.
- Repasando los números de la tabla de primos, comenzando con p 2 , encontramos el divisor primo más pequeño p 3 del número a 2 , después de lo cual calculamos a 3 =a 2:p 3 . Si a 3 =1, entonces la descomposición deseada del número a en factores primos tiene la forma a=p 1 ·p 2 ·p 3 . Si a 3 es igual a 1, entonces tenemos a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 y vamos al siguiente paso.
- Encuentre el divisor primo más pequeño p n del número a n-1 ordenando los números primos, comenzando con p n-1 , así como a n =a n-1:p n , y a n es igual a 1 . Este paso es el último paso del algoritmo, aquí obtenemos la descomposición requerida del número a en factores primos: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .
Todos los resultados obtenidos en cada paso del algoritmo para descomponer un número en factores primos se presentan para mayor claridad en la siguiente tabla, en la que, a la izquierda de la barra vertical, los números a, a 1, a 2, ..., an se escriben secuencialmente en la columna, ya la derecha de la barra, los divisores primos más pequeños correspondientes p 1 , p 2 , …, pn .
Solo queda considerar algunos ejemplos de la aplicación del algoritmo obtenido para descomponer números en factores primos.
Ejemplos de factorización prima
Ahora analizaremos en detalle Ejemplos de descomposición en factores primos. Al descomponer, aplicaremos el algoritmo del párrafo anterior. Comencemos con casos simples, y compliquémoslos gradualmente para enfrentar todos los posibles matices que surgen al descomponer números en factores primos.
Ejemplo.
Factoriza el número 78 en factores primos.
Solución.
Comenzamos a buscar el primer divisor primo más pequeño p 1 del número a=78. Para hacer esto, comenzamos a clasificar secuencialmente los números primos de la tabla de números primos. Tomamos el número 2 y lo dividimos por 78, obtenemos 78:2=39. El número 78 se dividió por 2 sin resto, por lo que p 1 \u003d 2 es el primer divisor primo encontrado del número 78. En este caso a 1 =a:p 1 =78:2=39 . Así llegamos a la igualdad a=p 1 ·a 1 que tiene la forma 78=2·39 . Obviamente, un 1 =39 es diferente de 1, así que vamos al segundo paso del algoritmo.
Ahora buscamos el divisor primo más pequeño p 2 del número a 1 =39 . Comenzamos la enumeración de números de la tabla de primos, comenzando con p 1 =2. Dividir 39 por 2, obtenemos 39:2=19 (1 restante). Como 39 no es divisible por 2, 2 no es su divisor. entonces tomamos siguiente número de la tabla de números primos (número 3) y dividimos por 39, obtenemos 39:3=13. Por lo tanto, p 2 \u003d 3 es el divisor primo más pequeño del número 39, mientras que a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 39: 3=13. Tenemos la igualdad a=p 1 p 2 a 2 en la forma 78=2 3 13 . Como 2 = 13 es diferente de 1, pasamos al siguiente paso del algoritmo.
Aquí necesitamos encontrar el divisor primo más pequeño del número a 2 =13. En busca del divisor primo más pequeño p 3 del número 13, ordenaremos secuencialmente los números de la tabla de números primos, comenzando con p 2 =3. El número 13 no es divisible por 3, ya que 13:3=4 (resto. 1), tampoco el 13 es divisible por 5, 7 y 11, ya que 13:5=2 (resto. 3), 13:7=1 (resolución 6) y 13:11=1 (resolución 2) . El siguiente número primo es 13, y 13 es divisible por él sin resto, por lo tanto, el divisor primo más pequeño p 3 del número 13 es el mismo número 13, y a 3 =a 2:p 3 =13:13=1 . Como a 3 =1 , entonces este paso del algoritmo es el último, y la descomposición deseada del número 78 en factores primos tiene la forma 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ) .
Responder:
78=2 3 13 .
Ejemplo.
Expresar el número 83.006 como producto de factores primos.
Solución.
En el primer paso del algoritmo para factorizar un número en factores primos, encontramos p 1 =2 y a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 , de donde 83 006=2 41 503 .
En el segundo paso, encontramos que 2 , 3 y 5 no son divisores primos del número a 1 =41 503 , y el número 7 lo es, ya que 41 503: 7=5 929 . Tenemos p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . Así, 83 006=2 7 5 929 .
El divisor primo más pequeño de a 2 =5 929 es 7 , ya que 5 929:7=847 . Así, p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847 , de donde 83 006=2 7 7 847 .
Además encontramos que el divisor primo más pequeño p 4 del número a 3 =847 es igual a 7 . Entonces a 4 =a 3:p 4 =847:7=121 , entonces 83 006=2 7 7 7 121 .
Ahora encontramos el divisor primo más pequeño del número a 4 =121, es el número p 5 =11 (ya que 121 es divisible por 11 y no es divisible por 7). Entonces a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 , y 83 006=2 7 7 7 11 11 .
Finalmente, el divisor primo más pequeño de a 5 =11 es p 6 =11 . Entonces a 6 =a 5:p 6 =11:11=1 . Como a 6 =1 , entonces este paso del algoritmo para descomponer un número en factores primos es el último, y la descomposición deseada tiene la forma 83 006=2·7·7·7·11·11 .
El resultado obtenido se puede escribir como una descomposición canónica del número en factores primos 83 006=2·7 3 ·11 2 .
Responder:
83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 es un número primo. De hecho, no tiene ningún divisor primo que no exceda de ( se puede estimar aproximadamente como , ya que es obvio que 991<40 2
), то есть, наименьшим делителем числа 991
является оно само. Тогда p 3 =991
и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1
. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289
на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991
.
Responder:
897 924 289=937 967 991 .
Uso de pruebas de divisibilidad para factorización prima
En casos simples, puedes descomponer un número en factores primos sin usar el algoritmo de descomposición del primer párrafo de este artículo. Si los números no son grandes, entonces para descomponerlos en factores primos, a menudo es suficiente conocer los signos de divisibilidad. Damos ejemplos para aclaración.
Por ejemplo, necesitamos descomponer el número 10 en factores primos. Sabemos por la tabla de multiplicar que 2 5=10 y que los números 2 y 5 son obviamente primos, por lo que la descomposición en factores primos de 10 es 10=2 5 .
Otro ejemplo. Usando la tabla de multiplicar, descomponemos el número 48 en factores primos. Sabemos que seis ocho es cuarenta y ocho, es decir, 48=6 8. Sin embargo, ni el 6 ni el 8 son números primos. Pero sabemos que dos veces tres es seis, y dos veces cuatro es ocho, es decir, 6=2 3 y 8=2 4 . Entonces 48=6 8=2 3 2 4 . Queda por recordar que dos veces dos es cuatro, entonces obtenemos la descomposición deseada en factores primos 48=2 3 2 2 2 . Escribamos esta descomposición en forma canónica: 48=2 4 ·3 .
Pero al descomponer el número 3400 en factores primos, puedes usar los signos de divisibilidad. Los signos de divisibilidad por 10, 100 nos permiten afirmar que 3400 es divisible por 100, mientras que 3400=34 100, y 100 es divisible por 10, mientras que 100=10 10, por tanto, 3400=34 10 10. Y sobre la base del signo de divisibilidad por 2, se puede argumentar que cada uno de los factores 34, 10 y 10 es divisible por 2, obtenemos 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Todos los factores en la expansión resultante son simples, por lo que esta expansión es la requerida. Solo queda reordenar los factores para que vayan en orden ascendente: 3 400=2 2 2 5 5 17 . También anotamos la descomposición canónica de este número en factores primos: 3 400=2 3 5 2 17 .
Al descomponer un número dado en factores primos, puedes usar a su vez tanto los signos de divisibilidad como la tabla de multiplicar. Representemos el número 75 como un producto de factores primos. El signo de divisibilidad por 5 nos permite afirmar que 75 es divisible por 5, mientras obtenemos que 75=5 15. Y de la tabla de multiplicar sabemos que 15=3 5 , por lo tanto, 75=5 3 5 . Esta es la descomposición deseada del número 75 en factores primos.
Bibliografía.
- Vilenkin N. Ya. etc Matemáticas. Grado 6: libro de texto para instituciones educativas.
- Vinogradov I. M. Fundamentos de la teoría de números.
- Mikhelovich Sh.Kh. Teoría de los números.
- Kulikov L. Ya. y otros Colección de problemas de álgebra y teoría de números: Libro de texto para estudiantes de fiz.-mat. especialidades de los institutos pedagógicos.
Calculadora online.
Selección del cuadrado del binomio y factorización del trinomio cuadrado.
Este programa de matemáticas extrae el cuadrado del binomio del trinomio cuadrado, es decir. hace una transformación de la forma: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) y factoriza el trinomio cuadrado: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)
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Si no está familiarizado con las reglas para ingresar un trinomio cuadrado, le recomendamos que se familiarice con ellas.
Reglas para ingresar un polinomio cuadrado
Cualquier letra latina puede actuar como variable.
Por ejemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.
Los números se pueden ingresar como enteros o fracciones.
Además, los números fraccionarios se pueden ingresar no solo en forma de decimal, sino también en forma de fracción ordinaria.
Reglas para ingresar fracciones decimales.
En las fracciones decimales, la parte fraccionaria del entero se puede separar con un punto o una coma.
Por ejemplo, puede ingresar decimales como este: 2.5x - 3.5x^2
Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Solo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.
El denominador no puede ser negativo.
Al ingresar una fracción numérica, el numerador está separado del denominador por un signo de división: /
La parte entera está separada de la fracción por un ampersand: &
Entrada: 3 y 1/3 - 5 y 6/5x +1/7x^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)
Al ingresar una expresión puedes usar paréntesis. En este caso, al resolver, primero se simplifica la expresión introducida.
Por ejemplo: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Ejemplo de solución detallada
Selección del cuadrado del binomio.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\izquierda(x+\frac(1)(2) \derecha)^2-\frac(9)(2) $$ Responder:$$2x^2+2x-4 = 2\izquierda(x+\frac(1)(2) \derecha)^2-\frac(9)(2) $$ Factorización.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\izquierda(x^2+x-2 \derecha) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \derecha) = $$ $$ 2 \izquierda(x -1 \derecha) \izquierda(x +2 \derecha) $$ Responder:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$
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Un poco de teoría.
Extracción de un binomio cuadrado de un trinomio cuadrado
Si el trinomio cuadrado ax 2 + bx + c se representa como a (x + p) 2 + q, donde p y q son números reales, entonces se dice que de trinomio cuadrado, se resalta el cuadrado del binomio.
Extraigamos el cuadrado del binomio del trinomio 2x 2 +12x+14.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
Para hacer esto, representamos 6x como un producto de 2 * 3 * x, y luego sumamos y restamos 3 2 . Obtenemos:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
Que. nosotros seleccionado el cuadrado del binomio del trinomio cuadrado, y demostró que:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
Factorización de un trinomio cuadrado
Si el trinomio cuadrado ax 2 +bx+c se representa como a(x+n)(x+m), donde n y m son números reales, entonces se dice que la operación se realiza factorizaciones de un trinomio cuadrado.
Usemos un ejemplo para mostrar cómo se hace esta transformación.
Factoricemos el trinomio cuadrado 2x 2 +4x-6.
Quitemos el coeficiente a fuera de paréntesis, es decir 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Transformemos la expresión entre paréntesis.
Para hacer esto, representamos 2x como la diferencia 3x-1x y -3 como -1*3. Obtenemos:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
Que. nosotros factorizar el trinomio cuadrado, y demostró que:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
Tenga en cuenta que la factorización de un trinomio cuadrado solo es posible cuando la ecuación cuadrática correspondiente a este trinomio tiene raíces.
Esos. en nuestro caso, es posible factorizar el trinomio 2x 2 +4x-6 si la ecuación cuadrática 2x 2 +4x-6 =0 tiene raíces. En el proceso de factorización, encontramos que la ecuación 2x 2 +4x-6 =0 tiene dos raíces 1 y -3, porque con estos valores, la ecuación 2(x-1)(x+3)=0 se convierte en una verdadera igualdad.
Factorización de un polinomio. Parte 2
En este artículo seguiremos hablando de cómo factorizar un polinomio. eso ya lo hemos dicho factorización es una técnica universal que ayuda a resolver ecuaciones y desigualdades complejas. El primer pensamiento que debe venir a la mente al resolver ecuaciones y desigualdades en las que el cero está en el lado derecho es tratar de factorizar el lado izquierdo.
enumeramos los principales formas de factorizar un polinomio:
- sacando el factor común del paréntesis
- uso de fórmulas de multiplicación abreviadas
- por la fórmula para factorizar un trinomio cuadrado
- método de agrupación
- dividir un polinomio por un binomio
- método de coeficientes inciertos.
Ya lo hemos considerado en detalle. En este artículo, nos centraremos en el cuarto método, método de agrupación.
Si el número de términos en el polinomio excede tres, entonces tratamos de aplicar método de agrupación. Es como sigue:
1.Agrupamos los términos de cierta manera para que luego cada grupo pueda factorizarse de alguna manera. El criterio de que los términos se agrupan correctamente es la presencia de los mismos factores en cada grupo.
2. Sacamos los mismos multiplicadores.
Dado que este método se usa con mayor frecuencia, lo analizaremos con ejemplos.
Ejemplo 1 
Solución. 1. Combine los términos en grupos:
2. Saca un factor común de cada grupo:
3. Saca el factor común a ambos grupos:
Ejemplo 2 Factorizando la expresión: 
1. Agrupamos los últimos tres términos y los factorizamos usando la fórmula de la diferencia al cuadrado:
2. Descomponemos la expresión resultante en factores utilizando la fórmula de la diferencia de cuadrados:
Ejemplo 3 Resuelve la ecuación:
Hay cuatro términos en el lado izquierdo de la ecuación. Intentemos factorizar el lado izquierdo usando agrupación.
1. Para hacer más clara la estructura del lado izquierdo de la ecuación, introducimos un cambio de variable: ,
Obtenemos una ecuación como esta:
2. Factoriza el lado izquierdo usando agrupación:
¡Atención! Para no confundirse con los signos, recomiendo combinar los términos en grupos "tal cual", es decir, sin cambiar los signos de los coeficientes, y el siguiente paso, si es necesario, sacar el "menos" del soporte.
3. Entonces, obtuvimos la ecuación:
4. Volvamos a la variable original:
Dividamos ambas partes por . Obtenemos: . De aquí
Respuesta: 0
Ejemplo 4 Resuelve la ecuación:
Para hacer más "transparente" la estructura de la ecuación, introducimos un cambio de variable:
Obtenemos la ecuación:
Factoricemos el lado izquierdo de la ecuación. Para ello, agrupamos el primer y segundo término y los sacamos del paréntesis:
sacarlo de paréntesis:
Volvamos a la ecuación:
Desde aquí o
Volvamos a la variable original:
Considere, usando ejemplos específicos, cómo factorizar un polinomio.
Desarrollaremos polinomios de acuerdo con .
Factorización de polinomios:
Comprueba si hay un factor común. si, es igual a 7cd. Vamos a sacarlo de paréntesis:
La expresión entre paréntesis consta de dos términos. Ya no hay un factor común, la expresión no es una fórmula para la suma de cubos, lo que significa que la descomposición está completa.
Comprueba si hay un factor común. No. El polinomio consta de tres términos, por lo que verificamos si hay una fórmula cuadrada completa. Dos términos son los cuadrados de las expresiones: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², el tercer término es igual al doble del producto de estas expresiones: 2∙5x∙3y=30xy. Entonces este polinomio es un cuadrado perfecto. Dado que el doble producto tiene un signo menos, entonces esto es:
Comprobamos si es posible sacar el factor común fuera de paréntesis. Hay un factor común, es igual a a. Vamos a sacarlo de paréntesis:
Hay dos términos entre paréntesis. Comprobamos si existe una fórmula para la diferencia de cuadrados o la diferencia de cubos. a² es el cuadrado de a, 1=1². Entonces, la expresión entre paréntesis se puede escribir de acuerdo con la fórmula de la diferencia de cuadrados:
Hay un factor común, es igual a 5. Lo sacamos de paréntesis:
entre paréntesis hay tres términos. Comprueba si la expresión es un cuadrado perfecto. Dos términos son cuadrados: 16=4² y a² es el cuadrado de a, el tercer término es igual al doble del producto de 4 y a: 2∙4∙a=8a. Por lo tanto, es un cuadrado perfecto. Como todos los términos van con signo "+", la expresión entre paréntesis es el cuadrado completo de la suma:
El factor común -2x se saca entre paréntesis:
Entre paréntesis está la suma de los dos términos. Comprobamos si la expresión dada es la suma de cubos. 64=4³, x³-cubo x. Entonces, el binomio se puede expandir de acuerdo con la fórmula:
Hay un factor común. Pero, dado que el polinomio consta de 4 miembros, primero, y solo después, sacaremos el factor común de los paréntesis. Agrupamos el primer término con el cuarto, en el segundo - con el tercero:
De los primeros corchetes sacamos el factor común 4a, del segundo - 8b:
Todavía no hay un multiplicador común. Para obtenerlo, del segundo paréntesis sacaremos los paréntesis “-”, mientras que cada signo entre paréntesis cambiará al contrario:
Ahora sacamos el factor común (1-3a) entre paréntesis:
En el segundo paréntesis hay un factor común 4 (este es el mismo factor que no sacamos de los paréntesis al principio del ejemplo):
Como el polinomio consta de cuatro términos, realizamos la agrupación. Agrupamos el primer término con el segundo, el tercero con el cuarto:
No hay factor común en los primeros paréntesis, pero hay una fórmula para la diferencia de cuadrados, en los segundos paréntesis el factor común es -5:
Ha aparecido un factor común (4m-3n). Saquémoslo de los corchetes.
En el caso general, esta tarea implica un enfoque creativo, ya que no existe un método universal para resolverlo. Sin embargo, intentemos dar algunas pistas.
En la gran mayoría de los casos, la descomposición del polinomio en factores se basa en la consecuencia del teorema de Bezout, es decir, se encuentra o selecciona la raíz y se reduce el grado del polinomio en uno al dividir por. Al polinomio resultante se le busca una raíz y se repite el proceso hasta completar la expansión.
Si no se puede encontrar la raíz, se utilizan métodos de descomposición específicos: desde la agrupación hasta la introducción de términos adicionales mutuamente excluyentes.
La presentación adicional se basa en las habilidades para resolver ecuaciones de grados superiores con coeficientes enteros.
Poner entre paréntesis el factor común.
Empecemos por el caso más sencillo, cuando el término libre es igual a cero, es decir, el polinomio tiene la forma .
Obviamente, la raíz de dicho polinomio es , es decir, el polinomio se puede representar como .
Este método no es más que sacando el factor común entre paréntesis.
Ejemplo.
Descomponer un polinomio de tercer grado en factores.
Solución.
Es obvio que es la raíz del polinomio, es decir, X se puede poner entre paréntesis:
Encuentra las raíces de un trinomio cuadrado 
De este modo, 
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Factorización de un polinomio con raíces racionales.
Primero, considere el método de expandir un polinomio con coeficientes enteros de la forma , el coeficiente en el grado más alto es igual a uno.
En este caso, si el polinomio tiene raíces enteras, entonces son divisores del término libre.
Ejemplo.
Solución.
Verifiquemos si hay raíces enteras. Para hacer esto, escribimos los divisores del número -18
: . Es decir, si el polinomio tiene raíces enteras, entonces están entre los números escritos. Verifiquemos estos números secuencialmente según el esquema de Horner. Su conveniencia también radica en que al final también obtendremos los coeficientes de expansión del polinomio: 
Es decir, x=2 Y x=-3 son las raíces del polinomio original y se puede representar como un producto:
Queda por desarrollar el trinomio cuadrado.
El discriminante de este trinomio es negativo, por lo que no tiene raíces reales.
Responder:
Comentario:
en lugar del esquema de Horner, se podría utilizar la selección de una raíz y la subsiguiente división de un polinomio por un polinomio.
Ahora considere la descomposición de un polinomio con coeficientes enteros de la forma , y el coeficiente en el grado más alto no es igual a uno.
En este caso, el polinomio puede tener raíces fraccionariamente racionales.
Ejemplo.
Factoriza la expresión.
Solución.
Cambiando la variable y=2x, pasamos a un polinomio con un coeficiente igual a uno en el grado más alto. Para hacer esto, primero multiplicamos la expresión por 4
.
Si la función resultante tiene raíces enteras, entonces se encuentran entre los divisores del término libre. Vamos a escribirlos:
Calcula secuencialmente los valores de la función g(y) en estos puntos hasta llegar a cero. 