Desigualdades que contienen funciones trigonométricas, en la solución se reducen a las desigualdades más simples de la forma cos (t)> a, sint (t) = a y similares. Y ya se están resolviendo las desigualdades más simples. Considere en varios ejemplos formas de resolver las desigualdades trigonométricas más simples.
Ejemplo 1... Resuelve la desigualdad sin (t)> = -1/2.
Dibuja un círculo unitario. Dado que sin (t) es, por definición, la coordenada y, marque el punto y = -1 / 2 en el eje Oy. Dibuja una línea recta que la atraviese paralela al eje del Buey. En los puntos de intersección de la línea recta con la gráfica del círculo unitario, marque los puntos Pt1 y Pt2. Conectamos el origen de coordenadas con los puntos Pt1 y Pt2 con dos segmentos.
La solución a esta desigualdad serán todos los puntos del círculo unitario ubicados sobre estos puntos. En otras palabras, la solución será el arco l .. Ahora es necesario indicar las condiciones bajo las cuales un punto arbitrario pertenecerá al arco l.
Pt1 se encuentra en el semicírculo derecho, su ordenada es -1/2, luego t1 = arcsin (-1/2) = - pi / 6. Para describir el punto Pt1, puede escribir la siguiente fórmula:
t2 = pi - arcosin (-1/2) = 7 * pi / 6. Como resultado, obtenemos la siguiente desigualdad para t:
Mantenemos los signos de desigualdad. Y dado que la función seno es periódica, significa que las soluciones se repetirán cada 2 * pi. Agregamos esta condición a la desigualdad resultante para ty escribimos la respuesta.
Respuesta: -pi / 6 + 2 * pi * n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Ejemplo 2. Resuelve la desigualdad cos (t)<1/2.
Dibujemos un círculo unitario. Dado que, de acuerdo con la definición, cos (t) es la coordenada x, marque el punto x = 1/2 en la gráfica en el eje Ox.
Dibuja una línea recta a través de este punto paralela al eje Oy. En los puntos de intersección de la línea recta con la gráfica del círculo unitario, marque los puntos Pt1 y Pt2. Conectamos el origen de coordenadas con los puntos Pt1 y Pt2 con dos segmentos.
Las soluciones serán todos los puntos del círculo unitario que pertenecen al arco l. Encontremos los puntos t1 y t2.
t1 = arcos (1/2) = pi / 3.
t2 = 2 * pi - arccos (1/2) = 2 * pi-pi / 3 = 5 * pi / 6.
Tenemos la desigualdad para t: pi / 3 Dado que el coseno es una función periódica, las soluciones se repetirán cada 2 * pi. Agregamos esta condición a la desigualdad resultante para ty escribimos la respuesta. Respuesta: pi / 3 + 2 * pi * n Ejemplo 3. Resuelve la desigualdad tg (t)< = 1. El período de la tangente es pi. Encontremos soluciones que pertenezcan al intervalo (-pi / 2; pi / 2) semicírculo derecho. Además, usando la periodicidad de la tangente, escribimos todas las soluciones de esta desigualdad. Dibujemos un círculo unitario y marquemos la línea tangente en él. Si t es una solución a la desigualdad, entonces la ordenada del punto Т = tg (t) debe ser menor o igual que 1. Un conjunto de tales puntos formará el rayo AT. El conjunto de puntos Pt, que corresponderá a los puntos de este rayo - arco l. Además, el punto P (-pi / 2) no pertenece a este arco. solución de desigualdad en modo en línea solución casi cualquier desigualdad dada en línea... 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Esto le ayudará a evitar errores en la decisión y corregir la respuesta a tiempo para resolver desigualdades en línea ya sea algebraico, trigonométrico, trascendental o desigualdad con parámetros desconocidos. Las desigualdades son relaciones de la forma a ›b, donde ayb son expresiones que contienen al menos una variable. Las desigualdades pueden ser estrictas - ‹,› y no estrictas - ≥, ≤. Las desigualdades trigonométricas son expresiones de la forma: F (x) ›a, F (x)‹ a, F (x) ≤ a, F (x) ≥ a, en la que F (x) está representada por una o más funciones trigonométricas . Un ejemplo de la desigualdad trigonométrica más simple es: sin x ‹1/2. Se acepta resolver este tipo de problemas gráficamente, para ello se han desarrollado dos métodos. Para encontrar el intervalo que satisface las condiciones de la desigualdad sen x ‹1/2, debe realizar los siguientes pasos: Cuando hay signos fuertes en una expresión, los puntos de intersección no son soluciones. Dado que el período positivo más pequeño de la sinusoide es 2π, escribimos la respuesta de la siguiente manera: Si los signos de la expresión no son estrictos, entonces el intervalo de soluciones debe encerrarse entre corchetes -. La respuesta al problema también se puede escribir como otra desigualdad: Problemas similares se pueden resolver fácilmente con la ayuda del círculo trigonométrico. El algoritmo para encontrar respuestas es muy simple: Analicemos los pasos de la solución usando el ejemplo de la desigualdad sen x ›1/2. Los puntos α y β están marcados en el círculo - valores Los puntos del arco ubicados por encima de α y β son el intervalo para resolver la desigualdad dada. Si necesita resolver el ejemplo para cos, entonces el arco de respuestas se ubicará simétricamente al eje OX, y no OY. Para considerar la diferencia entre los intervalos de soluciones para sen y cos, puede usar los siguientes diagramas en el texto. Las soluciones gráficas para desigualdades tangentes y cotangentes diferirán tanto del seno como del coseno. Esto se debe a las propiedades de las funciones. El arco tangente y el arco cotangente son tangentes al círculo trigonométrico, y el período positivo mínimo para ambas funciones es π. Para utilizar rápida y correctamente el segundo método, debe recordar en qué eje se grafican los valores de sin, cos, tg y ctg. La tangente tangente corre paralela al eje OY. Si coloca el valor de arctan a en el círculo unitario, el segundo punto requerido se ubicará en el cuarto diagonal. Esquinas Son los puntos de corte de la función, como tiende a hacerlo el gráfico, pero nunca llega. En el caso de una cotangente, la tangente corre paralela al eje OX y la función se interrumpe en los puntos π y 2π. Si el argumento de una función de desigualdad está representado no solo por una variable, sino por una expresión completa que contiene una incógnita, entonces ya estamos hablando de una desigualdad compleja. El curso y el orden de su solución son algo diferentes de los métodos descritos anteriormente. Suponga que es necesario encontrar una solución a la siguiente desigualdad: La solución gráfica prevé la construcción de una sinusoide ordinaria y = sen x para valores de x elegidos arbitrariamente. Calculemos una tabla con coordenadas para los puntos de pivote del gráfico: El resultado debería ser una bonita curva. Para facilitar la búsqueda de una solución, reemplace el argumento de la función compleja Algoritmo para resolver las desigualdades trigonométricas más simples y reconocimiento de formas de resolver desigualdades trigonométricas. Profesores de la categoría de más alta calificación: Shirko F.M. Progreso del asentamiento, MOBU-SOSH No. 6 Sankina L.S. Armavir, CHOU SOSH "New Way" No existen métodos universales para enseñar las disciplinas del ciclo natural y matemático. Cada maestro encuentra su propia forma de enseñar, aceptable solo para él. Nuestros muchos años de experiencia docente muestran que los estudiantes pueden aprender más fácilmente material que requiere concentración de atención y retener una gran cantidad de información en la memoria si se les enseña a usar algoritmos en sus actividades en la etapa inicial de aprendizaje de un tema complejo. En nuestra opinión, ese tema es el tema de la resolución de desigualdades trigonométricas. Entonces, antes de comenzar con los estudiantes para identificar técnicas y métodos para resolver desigualdades trigonométricas, elaboramos y consolidamos el algoritmo para resolver las desigualdades trigonométricas más simples. Algoritmo para resolver las desigualdades trigonométricas más simples
Marcamos puntos en el eje correspondiente ( por
pecado
X- eje ОУ, paraporque
X- Eje OX) Restaure la perpendicular al eje, que intersecará el círculo en dos puntos. Primero en el círculo firmamos un punto que pertenece al intervalo del rango de valores de la función arco por definición. A partir del punto firmado, sombree un arco circular correspondiente a la parte sombreada del eje. Preste especial atención a la dirección de la derivación. Si el recorrido se realiza en el sentido de las agujas del reloj (es decir, hay una transición a través de 0), el segundo punto del círculo será negativo, si es en el sentido contrario a las agujas del reloj, será positivo. Escribimos la respuesta en forma de intervalo, teniendo en cuenta la frecuencia de la función. Veamos cómo funciona el algoritmo usando ejemplos.
1)
pecado
≥ 1/2;
Solución: Dibuja el círculo unitario. Marcamos el punto ½ en el eje OU. Restauramos la perpendicular al eje, que cruza el círculo en dos puntos. Según la definición del arcoseno, marcamos primero punto π / 6. Sombrea la parte del eje que corresponde a dada la desigualdad por encima del punto ½. Sombrea el arco de un círculo correspondiente a la parte sombreada del eje. El recorrido se realiza en sentido antihorario, obtuvimos el punto 5π / 6. Escribimos la respuesta en forma de intervalo, teniendo en cuenta la frecuencia de la función; Respuesta:X; [π / 6 + 2π norte, 5π / 6 + 2π norte], norte Z. La desigualdad más simple se resuelve usando el mismo algoritmo si no hay un valor de tabla en el registro de respuesta. Los estudiantes, en las primeras lecciones, resolviendo desigualdades en la pizarra, pronuncian en voz alta cada paso del algoritmo. 2) 5
porque
X
– 1 ≥ 0;
R 5 porque X – 1 ≥ 0; porque
X ≥ 1/5; Dibuja el círculo unitario. Marque en el eje OX un punto con una coordenada de 1/5. Restauramos la perpendicular al eje, que interseca el círculo en dos puntos. Primero en el círculo firmamos un punto que pertenece al intervalo del rango de valores del arcocoseno por definición (0; π). Sombreamos la parte del eje que corresponde a esta desigualdad. Partiendo de un punto firmado
arccos 1/5, sombree un arco circular correspondiente a la parte sombreada del eje. El recorrido se realiza en el sentido de las agujas del reloj (es decir, hay una transición a través de 0), lo que significa que el segundo punto del círculo será negativo: arccos 1/5. Escribimos la respuesta en forma de intervalo, teniendo en cuenta la periodicidad de la función, de un valor menor a uno mayor. Respuesta: X [-arccos 1/5 + 2π norte, arccos 1/5 + 2π norte], norte Z. Las siguientes preguntas contribuyen a mejorar la capacidad de resolver desigualdades trigonométricas: “¿Cómo resolveremos un grupo de desigualdades?”; “¿En qué se diferencia una desigualdad de otra?”; “¿En qué se parece una desigualdad a otra?”; ¿Cómo cambiaría la respuesta si se diera una desigualdad estricta? ”; ¿Cómo cambiaría la respuesta si en lugar del letrero "" hubiera un letrero "? La tarea de analizar la lista de desigualdades desde el punto de vista de las formas de resolverlas le permite trabajar en su reconocimiento. A los estudiantes se les ofrecen desigualdades que deben abordarse en la lección. Pregunta:¿Resalta las desigualdades que requieren el uso de transformaciones equivalentes al reducir la desigualdad trigonométrica a la más simple? Respuesta 1, 3, 5. Pregunta:¿Cuáles son las desigualdades en las que desea tratar un argumento complejo como simple? Respuesta: 1, 2, 3, 5, 6. Pregunta:¿Cuáles son las desigualdades donde se pueden aplicar las fórmulas trigonométricas? Respuesta: 2, 3, 6. Pregunta:¿Cuáles son las desigualdades en las que se puede aplicar el método de introducir una nueva variable? Respuesta: 6. La tarea de analizar la lista de desigualdades desde el punto de vista de las formas de resolverlas le permite trabajar en su reconocimiento. Al desarrollar habilidades, es importante señalar las etapas de su implementación y formularlas en una forma general, que se presenta en el algoritmo para resolver las desigualdades trigonométricas más simples.Método 1: resuelve desigualdades trazando una función
Método 2 - Resuelve desigualdades trigonométricas usando el círculo unitario
Desigualdades trigonométricas complejas
solución:en