Lección pública sobre álgebra y el inicio del análisis sobre el tema: "La relación entre el seno y el coseno de un mismo ángulo" (grado 10)
Objetivo: percepción de los estudiantes y conciencia primaria de la nueva material de enseñanza, comprender conexiones y relaciones en los objetos de estudio
Educativo : derivación de fórmulas para la relación entre seno y coseno del mismo ángulo (número); aprender a usar estas fórmulas para calcular los valores del seno, coseno para un valor dado de uno de ellos.
Desarrollando : enseñar a analizar, comparar, construir analogías, generalizar y sistematizar, probar y refutar, definir y explicar conceptos, desarrollar y mejorar la capacidad de aplicar los conocimientos de los estudiantes en Diferentes situaciones; Desarrollar el habla matemática competente de los estudiantes, la capacidad de dar formulaciones lacónicas.
Educativo: fomentar una actitud consciente hacia el trabajo y una actitud positiva hacia el conocimiento, fomentando la precisión en los estudiantes, la capacidad de escuchar, expresar su opinión; cultura del comportamiento.
Salvar la salud : crear un clima psicológico confortable en el aula, un ambiente de cooperación: alumno - profesor.
Conocimientos y habilidades: definiciones de funciones trigonométricas básicas (seno, coseno); signos de funciones trigonométricas en cuartos; conjuntos de valores de funciones trigonométricas; fórmulas básicas de trigonometría.Tengola capacidad de elegir la fórmula adecuada para resolver una tarea específica; trabajar con fracciones simples; realizar la transformación de expresiones trigonométricas.
Durante las clases
Organizar el tiempo:
Verifique la preparación de los estudiantes para la lección. Abrir el sitio web del profesor en computadoras (Apéndice 1).
Trabajo oral sobre un tema tratado : "Signos de seno, coseno y tangente"
En el escritorio:
Ejercicio:
Ordena los números de los cuartos del plano de coordenadas y determina los signos del seno, coseno, tangente y cotangente.
Trabajo independiente sobre el tema: "Signos de seno, coseno y tangente"
Los estudiantes abren la sección Asignaciones de lecciones de trigonometría en el sitio web. Autotest
(Los estudiantes completan la tarea n. ° 1, revisan su trabajo y se evalúan a sí mismos)
Explicación del nuevo material
En el escritorio:
х =… α,… ≤ cos α≤… 2) * tg α =, α ≠…
y= … α, … ≤ pecado α≤ … ctg α = , α≠ …
Ejercicio: agregar fórmulas
Maestro : “Hemos estudiado cada concepto por separado. ¿Qué tema crees que es lógico estudiar más a fondo? "
( Supuesta respuesta: "La relación entre estos conceptos")
El tema de la lección está formulado: "La relación entre seno y coseno del mismo ángulo"
Maestro : "Hay varias formas de solucionar este problema"
Usando la ecuación del círculo unitarioUsando el teorema de Pitágoras
Maestro : "Echemos un vistazo a ambos y elijamos el más racional"
En el escritorio:
Los estudiantes infieren igualdadporque 2 α + pecado 2 α = 1
Maestro : “Hemos obtenido una igualdad que es válida para cualquier valor de las letras incluidas en ella. ¿Cómo se llaman estas igualdades? "
( Supuesta respuesta : identidades)
Maestro : "Recuerda cómo se llama la identidadporque 2 α + pecado 2 α = 1 »
Consolidación del material estudiado
Un profesor: "Abrir el libro de texto p.147, No. 457 (2; 4)" (los estudiantes llamados deciden en la pizarra)
B) Maestro: “Continúe con la tarea número 2. Trabajamos por opciones "(Discusión de los resultados obtenidos)
En el escritorio:
Opción 1 Opción 2
Maestro: "En estas fórmulas, hay signos delante de la raíz"±» ... ¿De qué depende qué signo poner en la fórmula? "
(Supuesta respuesta: "Desde qué cuarto se ubica el ángulo de rotación del punto P (1; 0)")
C) Maestro: "Inicie la tarea número 3". (Los estudiantes resuelven tareas, verifique en la pizarra)
Resumen de la lección
Maestro: "¡Bien hecho! Resumiremos la lección con la ayuda de un crucigrama "(Tarea 4) (Los estudiantes trabajan en parejas en la computadora)
7) Reflexión en forma de cuestionario (Anexo 2)
Maestro: "Llegue a una conclusión sobre su trabajo en la lección completando el examen".
8) Tarea
§25, núm. 456, 457 (1; 3), 460 (1; 3).
Reporte
Intentemos encontrar la relación entre los principales funciones trigonométricas el mismo ángulo.
La relación entre el coseno y el seno del mismo ángulo.
La siguiente figura muestra el sistema de coordenadas Oxy con la parte del semicírculo unitario ACB representado en él centrado en el punto O. Esta parte es el arco del círculo unitario. El círculo unitario se describe mediante la ecuación
- x 2 + y 2 = 1.
Como ya se sabe, la ordenada y y la abscisa x se pueden representar como el seno y el coseno del ángulo de acuerdo con las siguientes fórmulas:
- pecado (a) = y,
- cos (a) = x.
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones del círculo unitario, tenemos la siguiente igualdad
- (sin (a)) 2 + (cos (a)) 2 = 1,
Esta igualdad es válida para cualquier valor del ángulo a. Se llama identidad trigonométrica básica.
Desde el principal identidad trigonométrica, puede expresar una función en términos de otra.
- pecado (a) = ± √ (1- (cos (a)) 2),
- cos (a) = ± √ (1- (sin (a)) 2).
El signo del lado derecho de esta fórmula está determinado por el signo de la expresión del lado izquierdo de esta fórmula.
Por ejemplo.
Evalúe sin (a) si cos (a) = - 3/5 y pi Usemos la fórmula anterior: Desde pi Ahora, intentemos encontrar la relación entre la tangente y las cotangentes. Por definición, tg (a) = sin (a) / cos (a), ctg (a) = cos (a) / sin (a). Multiplicamos estas igualdades, obtenemos tg (a) * ctg (a) = 1. A partir de esta igualdad, una función se puede expresar en términos de otra. Obtenemos: Debe entenderse que estas igualdades son válidas solo cuando existen tg y ctg, es decir, para cualquier a, excepto para a = k * pi / 2, para cualquier entero k. Ahora intentemos usar la identidad trigonométrica básica para encontrar la relación entre la tangente y el coseno. Divida la identidad trigonométrica principal por (cos (a)) 2. (cos (a) no es cero, de lo contrario la tangente no existiría. Obtenemos la siguiente igualdad ((sin (a)) 2 + (cos (a)) 2) / (cos (a)) 2 = 1 / (cos (a)) 2. Dividiendo por término obtenemos: Como se señaló anteriormente, esta fórmula es verdadera si cos (a) no es cero, es decir, para todos los ángulos a, excepto para a = pi / 2 + pi * k, para cualquier número entero k. En este artículo, analizaremos en profundidad. Las identidades trigonométricas básicas son igualdades que establecen una relación entre el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo, y le permiten encontrar cualquiera de estas funciones trigonométricas a través del otro conocido. Enumeremos inmediatamente las principales identidades trigonométricas, que analizaremos en este artículo. Escribámoslas en la tabla, ya continuación damos la derivación de estas fórmulas y proporcionamos las explicaciones necesarias. Navegación de página. A veces no hablan de las identidades trigonométricas básicas enumeradas en la tabla anterior, sino de una sola identidad trigonométrica básica del tipo Es decir, es la igualdad, a la que se le dio el nombre de identidad trigonométrica básica, de particular interés. Antes de probar la identidad trigonométrica básica, demos su formulación: la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es idénticamente igual a uno. Ahora demostrémoslo. La identidad trigonométrica básica se usa con mucha frecuencia cuando convertir expresiones trigonométricas... Permite que la suma de los cuadrados del seno y coseno de un ángulo sea reemplazada por uno. No menos a menudo, la identidad trigonométrica básica se usa en orden inverso: la unidad se reemplaza por la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo. Identidades que conectan la tangente y la cotangente con el seno y el coseno de un ángulo de la forma y Debido a esta obviedad de las identidades y Como conclusión de este párrafo, cabe señalar que las identidades y Una identidad trigonométrica aún más obvia que las dos anteriores es la identidad que conecta la tangente y la cotangente de un ángulo de la forma. Prueba de la fórmula Entonces, la tangente y cotangente del mismo ángulo en el que tienen sentido es. Identidades trigonométricas- son igualdades que establecen una relación entre el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo, lo que permite encontrar cualquiera de estas funciones, siempre que se conozca cualquier otra. tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha), \ enspace ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha) tg \ alpha \ cdot ctg \ alpha = 1 Esta identidad dice que la suma del cuadrado del seno de un ángulo y el cuadrado del coseno de un ángulo es igual a uno, lo que en la práctica permite calcular el seno de un ángulo cuando se conoce su coseno y viceversa. . Al convertir expresiones trigonométricas, esta identidad se usa con mucha frecuencia, lo que le permite reemplazar la suma de los cuadrados del coseno y el seno de un ángulo con una unidad y también realizar la operación de reemplazo en el orden inverso. tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha), \ enspace Estas identidades se forman a partir de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. Después de todo, si lo miras, entonces, por definición, la ordenada de y es el seno y la abscisa de x es el coseno. Entonces la tangente será igual a la razón \ frac (y) (x) = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha) y la proporción \ frac (x) (y) = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha)- será una cotangente. Agregamos que solo para tales ángulos \ alpha, para los cuales las funciones trigonométricas incluidas en ellos tienen sentido, se mantendrán las identidades, ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha). Por ejemplo: tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha) es válido para ángulos \ alpha que son diferentes de \ frac (\ pi) (2) + \ pi z, a ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha)- para un ángulo \ alpha distinto de \ pi z, z es un número entero. tg \ alpha \ cdot ctg \ alpha = 1 Esta identidad es válida solo para ángulos \ alpha que son diferentes de \ frac (\ pi) (2) z... De lo contrario, no se especificarán ni la cotangente ni la tangente. Con base en los puntos anteriores, encontramos que tg \ alpha = \ frac (y) (x), a ctg \ alpha = \ frac (x) (y)... De ahí se sigue que tg \ alpha \ cdot ctg \ alpha = \ frac (y) (x) \ cdot \ frac (x) (y) = 1... Por tanto, la tangente y la cotangente del mismo ángulo en el que tienen sentido son números recíprocos. tg ^ (2) \ alpha + 1 = \ frac (1) (\ cos ^ (2) \ alpha)- la suma del cuadrado de la tangente del ángulo \ alpha y 1, es igual al cuadrado inverso del coseno de este ángulo. Esta identidad es válida para todos \ alpha diferentes de \ frac (\ pi) (2) + \ pi z. 1 + ctg ^ (2) \ alpha = \ frac (1) (\ sin ^ (2) \ alpha)- la suma de 1 y el cuadrado de la cotangente del ángulo \ alpha, es igual al cuadrado inverso del seno del ángulo dado. Esta identidad es válida para cualquier \ alpha que no sea \ pi z. Encuentra \ sin \ alpha y tg \ alpha si \ cos \ alpha = - \ frac12 y \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi
; Mostrar solución Solución Las funciones \ sin \ alpha y \ cos \ alpha están limitadas por una fórmula \ sin ^ (2) \ alpha + \ cos ^ (2) \ alpha = 1... Sustituyendo en esta fórmula \ cos \ alpha = - \ frac12, obtenemos: \ sin ^ (2) \ alpha + \ left (- \ frac12 \ right) ^ 2 = 1 Esta ecuación tiene 2 soluciones: \ sin \ alpha = \ pm \ sqrt (1- \ frac14) = \ pm \ frac (\ sqrt 3) (2) Por condición \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi
... En el segundo trimestre, el seno es positivo, por lo tanto \ sin \ alpha = \ frac (\ sqrt 3) (2). Para encontrar tg \ alpha, usamos la fórmula tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha) tg \ alpha = \ frac (\ sqrt 3) (2): \ frac12 = \ sqrt 3 Encuentra \ cos \ alpha y ctg \ alpha si u \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi
. Mostrar solución Solución Sustituyendo en la fórmula \ sin ^ (2) \ alpha + \ cos ^ (2) \ alpha = 1 número dado condicionalmente \ sin \ alpha = \ frac (\ sqrt3) (2), obtenemos \ left (\ frac (\ sqrt3) (2) \ right) ^ (2) + \ cos ^ (2) \ alpha = 1... Esta ecuación tiene dos soluciones \ cos \ alpha = \ pm \ sqrt (1- \ frac34) = \ pm \ sqrt \ frac14. Por condición \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi
... En el segundo trimestre, el coseno es negativo, entonces \ cos \ alpha = - \ sqrt \ frac14 = - \ frac12. Para encontrar ctg \ alpha, use la fórmula ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha)... Conocemos los valores correspondientes. ctg \ alpha = - \ frac12: \ frac (\ sqrt3) (2) = - \ frac (1) (\ sqrt 3). Un gráfico sinusoidal onda a onda De una canción de estudiante. PROPÓSITOS Y OBJETIVOS DE LA LECCIÓN: AHORRO DE SALUD: crear un clima psicológico confortable en la lección, un ambiente de cooperación: alumno - maestro. EQUIPO METODOLÓGICO DE LA LECCIÓN: BASE MATERIAL Y TÉCNICA: oficina de matemáticas. SOFTWARE DE LA LECCIÓN: libro de texto, cuaderno, carteles sobre el tema de la lección, tablas, computadora, discos, pantalla, proyector. MÉTODOS DE ACTIVIDAD: trabajo grupal e individual en el escritorio y en el pizarrón. TIPO DE LECCIÓN: una lección de asimilación de nuevos conocimientos. DURANTE LAS CLASES 1. Momento organizativo: saludo, comprobación de la asistencia de los alumnos, cumplimentación del diario. 2. Verificar la preparación de los estudiantes para la lección: la actitud de los estudiantes hacia el trabajo, comunicándoles el plan de la lección. 3. Análisis de errores en los deberes. En la pantalla: una imagen con la tarea completada correctamente. Cada alumno verifica con una explicación frontal detallada y marca la corrección de la lección en la tarjeta de trabajo. TARJETA DE LECCIÓN DE TRABAJO. C / o - autoestima. O / t - la evaluación de un amigo. 4. Actualización de conocimientos, preparación para la percepción de nuevos materiales. El siguiente paso de nuestra lección es el dictado. Escribimos las respuestas brevemente: el dibujo está en nuestra diapositiva. Dictado (repetición oral de la información necesaria): 1. Dé una definición: 2. Dé una definición: 3. Escriba los signos de seno, coseno, tangente, cotangente para los ángulos obtenidos al girar el punto P (1; 0) en un ángulo. 4. Para todos estos ángulos, especifique los cuartos del plano de coordenadas. Los niños revisan el dictado en la diapositiva junto con el maestro, explican cada declaración y se asignan una calificación en la tarjeta de la lección práctica. 5. De la historia de la trigonometría. La forma moderna de trigonometría fue dada por el mayor matemático del siglo XVIII. Leonard Euler- Suizo de origen, que trabajó durante muchos años en Rusia y fue miembro de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Introdujo las conocidas definiciones de funciones trigonométricas, formuló y probó las fórmulas de reducción que aún no se han cumplido, destacó las clases de funciones pares e impares. 6. Introducción de nuevo material: Lo principal no es solo informar a los estudiantes de las conclusiones finales, sino hacer a los estudiantes, por así decirlo, partícipes de una búsqueda científica: planteando la pregunta para que, habiendo despertado su curiosidad, se involucren en el estudio, lo que contribuye al logro de un mayor nivel de desarrollo mental de los estudiantes. Por tanto, al introducir un nuevo material, creo una situación problemática -cómo es más fácil y racional establecer la relación entre el seno y el coseno del mismo ángulo- mediante la ecuación del círculo unitario o mediante el teorema de Pitágoras. La clase se divide de acuerdo con las opciones en la primera y la segunda opción: hay una diapositiva con una condición y dibujos en la pantalla, todavía no hay una solución. La opción 1 establece la relación entre seno y coseno mediante la ecuación de un círculo con centro en el origen y radio igual a 1x 2 + y 2 = 1; sin 2 + cos 2 = 1. La opción 2 establece la relación entre seno y coseno a través del teorema de Pitágoras - en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: OB 2 + AB 2 = OA 2 - y obtenemos sin 2 + cos 2 = 1. Comparan los resultados, extraen conclusiones: la principal: ¿se cumple la igualdad para cualquier valor de las letras incluidas en ella? Los estudiantes deben responder que esta es una identidad. (la diapositiva muestra la solución correcta para la primera y la segunda opción). Hemos obtenido una igualdad válida para cualquier valor de las letras incluidas en ella. ¿Cómo se llaman estas igualdades? Eso es correcto, identidades. Recordemos, qué otras identidades conocemos en álgebra, fórmulas para la multiplicación abreviada: a 2 -b 2 = (a-b) (a + b), (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2, (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 2, (a-b) 3 = a 3 -3a 2 b + 3ab 3 -b 3, a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 + ab + b 2), a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 -ab + b 2). El siguiente problema, por qué derivamos la identidad trigonométrica básica, sin 2 + cos 2 = 1. Así es, para encontrar los valores de todas las demás funciones por un valor conocido del seno, coseno o tangente: los valores de todas las demás funciones. Ahora tú y yo siempre podemos usar la identidad trigonométrica básica, pero lo más importante, para el mismo argumento. Aplicación de los conocimientos adquiridos: OPCIÓN 1: expresa el seno a través del coseno del ángulo. Opción 2: expresa el coseno en términos del seno del ángulo. La diapositiva muestra la respuesta correcta Pregunta del maestro: ¿Alguien se olvidó de poner los signos + y -? Cual puede ser el angulo? - alguna. En estas fórmulas, ¿de qué depende el signo delante de la raíz? en qué cuarto se ubica el ángulo (argumento) de la función trigonométrica que definimos. Realizamos en la pizarra 2 alumnos # 457. - 1ra opción - 1, 2da opción - 2. La diapositiva muestra la decisión correcta. Trabajo independiente sobre el reconocimiento de la identidad trigonométrica básica 1.Encuentre el valor de la expresión: 2.expresa el número 1 a través del ángulo a, si Hay una verificación mutua, en la diapositiva terminada y la evaluación del trabajo, tanto por autoevaluación como por la evaluación de un amigo. 6. Consolidación del nuevo material (de acuerdo con la tecnología de G.E. Khazankin - la tecnología de las tareas de apoyo). PROBLEMA 1. Calcule ……… .. si ………………………………………………………………. 1 estudiante en la pizarra por su cuenta, luego una diapositiva con la solución correcta. PROBLEMA 2. Calcular ……………. Si ……………………………………………………………… .. Segundo alumno en la pizarra, luego deslice con la solución correcta. 7. Educación física. Sé que ya son adultos y creo que no están cansados en absoluto, especialmente ahora, cuando la lección es tan activa que el tiempo para nosotros, por así decirlo, se alarga, según la teoría de A. Einstein de relatividad, pero hagamos gimnasia para vasos cerebrales: Ahora descubramos la relación entre tangente y cotangente ……………………………………………………………………………………………………… Hay un nuevo estudio sobre el tema: ¿cuál puede ser el ángulo en la segunda identidad trigonométrica? LO PRINCIPAL ES EL ESTABLECIMIENTO DEL CONJUNTO EN EL QUE SE CUMPLAN ESTAS IGUALDADES. MARQUE LOS PUNTOS EN EL DIBUJO DONDE NO EXISTEN ÁNGULO TANGENCIA Y COTENGEN. 3er alumno en la pizarra. Las igualdad son válidas cuando ………………………. TAREA 3. Calcular ……… si …………………………. PROBLEMA 4. Calcular …………… .. si …………………………………………………………… El resto de alumnos trabaja en sus cuadernos. 1 SOPORTE ……………………………………………………………………………………………… 2 APOYO ………………………………………………………………………………………………… 3 APOYO. Aplicación de la identidad trigonométrica básica a la resolución de problemas. 8. Crucigrama. Anatole France dijo una vez: "Aprender debe ser divertido ... Para digerir el conocimiento, uno debe absorberlo con apetito". Para poner a prueba sus conocimientos sobre este tema, se le ofrece un crucigrama. Después de revisar el crucigrama, los chicos pusieron sus calificaciones en la tarjeta de trabajo de la lección. El profesor puntúa a los alumnos que se han mostrado especialmente activos en la lección. El resultado es la nota media del trabajo de la lección. 9. Instruir al maestro sobre la tarea. 10. Resumen de la lección por parte del profesor. 11. Tarea: párrafo 25 (hasta el problema 5), núm. 459 (par), 460 (par), 463 * (4). Libro de texto Sh.A Alimov "Álgebra y el comienzo del análisis"., 10-11, "Educación"., M., 2005.La relación entre tangente y cotangente del mismo ángulo.
Relación entre seno y coseno de un ángulo
... La explicación de este hecho es bastante simple: las igualdades se obtienen a partir de la identidad trigonométrica principal después de dividir sus dos partes por y, respectivamente, y las igualdades 
y 
se siguen de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. Hablaremos más sobre esto en los siguientes párrafos.Tangente y cotangente en términos de seno y coseno
se siguen inmediatamente de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. De hecho, por definición, el seno es la ordenada y, el coseno es la abscisa de x, la tangente es la razón de la ordenada a la abscisa, es decir, 
, y la cotangente es la relación entre la abscisa y la ordenada, es decir, 
.a menudo, las definiciones de tangente y cotangente no se dan a través de la relación entre las abscisas y las ordenadas, sino a través de la relación entre el seno y el coseno. Entonces, la tangente de un ángulo es la razón del seno al coseno de este ángulo, y la cotangente es la razón del coseno al seno.se mantiene para todos los ángulos para los que las funciones trigonométricas incluidas en ellos tienen sentido. Entonces, la fórmula es válida para cualquier otro que (de lo contrario, habrá cero en el denominador y no definimos la división por cero), y la fórmula - para todos los demás que, donde z es cualquiera.Relación entre tangente y cotangente
... Está claro que tiene lugar para cualquier ángulo que no sea, de lo contrario, la tangente o la cotangente no están definidas.muy simple. Por definición y de donde 
... La prueba podría haberse realizado de manera un poco diferente. Desde y , luego 
.Encontrar tangente y cotangente en términos de seno y coseno
Relación entre tangente y cotangente
Dependencias entre tangente y coseno, cotangente y seno
Ejemplos con soluciones a problemas sobre el uso de identidades trigonométricas
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Corre por la abscisa.
