1. uzdevums Nometnes vietā varat iznomāt laivu. Nomas izmaksas tiek noteiktas šādi: par pirmo stundu jāmaksā 100 rubļi, bet par katru nākamo (pilnu vai nepabeigtu) - 55 rubļi. Cik rubļu jāmaksā par laivu, kas nomāta uz vienu stundu, divām stundām, trīs stundām utt.?
Secinājums: 1. Ja d>0, tad aritmētiskā progresija pieaug. 2. Ja d 0, tad aritmētiskā progresija palielinās. 2. Ja d> 0, tad aritmētiskā progresija pieaug. 2. Ja d> 0, tad aritmētiskā progresija pieaug. 2. Ja d" title="(!LANG:Output: 1. Ja d>0, tad aritmētiskā progresija pieaug. 2. Ja d"> title="Secinājums: 1. Ja d>0, tad aritmētiskā progresija pieaug. 2. Ja d"> !}
1. Nākamais aritmētiskās progresijas loceklis Iepriekšējais loceklis ap" title="(!LANG:: Aritmētiskās progresijas raksturīgā īpašība: Katrs aritmētiskās progresijas loceklis, sākot no otrās, ir vienāds ar divu blakus esošo divu locekļu vidējo aritmētisko. locekļi, t.i., n > 1 Nākamais aritmētiskās progresijas termiņš Iepriekšējais termiņš ap" class="link_thumb"> 23 !}: Aritmētiskās progresijas raksturīgā īpašība: Katrs aritmētiskās progresijas dalībnieks, sākot no otrā, ir vienāds ar divu blakus esošo locekļu vidējo aritmētisko, t.i. n > 1. Nākamais aritmētiskās progresijas dalībnieks Iepriekšējais aritmētiskās progresijas dalībnieks 1. Nākamais aritmētiskās progresijas dalībnieks Iepriekšējais dalībnieks ap"> 1. Nākamais aritmētiskās progresijas dalībnieks Iepriekšējais aritmētiskās progresijas dalībnieks"> 1. Aritmētiskās progresijas nākamais dalībnieks Iepriekšējais dalībnieks ap" title="(!LANG:: Aritmētiskās progresijas raksturīgā īpašība : Katrs aritmētiskās progresijas loceklis, sākot no otrā, ir vienāds ar divu blakus esošo locekļu vidējo aritmētisko, t.i., n > 1. Nākamais aritmētiskās progresijas dalībnieks Iepriekšējais loceklis ap"> title=": Aritmētiskās progresijas raksturīgā īpašība: Katrs aritmētiskās progresijas dalībnieks, sākot no otrā, ir vienāds ar divu blakus esošo locekļu vidējo aritmētisko, t.i. n > 1. Nākamais aritmētiskās progresijas dalībnieks Iepriekšējais dalībnieks ap"> !}
1. uzdevums* Nometnes vietā var iznomāt laivu. Nomas izmaksas tiek noteiktas šādi: par pirmo stundu jāmaksā 100 rubļi, bet par katru nākamo (pilnu vai nepabeigtu) - 55 rubļi. Cik rubļu jāmaksā par laivu, kas paņemta uz divām dienām?
Kas Galvenais punkts formulas?
Šī formula ļauj jums atrast jebkura PĒC VIŅA NUMURA" n" .
Protams, jums jāzina pirmais termins a 1 un progresēšanas atšķirība d, bez šiem parametriem jūs nevarat pierakstīt konkrētu progresu.
Nepietiek ar šīs formulas iegaumēšanu (vai apkrāpšanu). Ir nepieciešams asimilēt tā būtību un piemērot formulu dažādās problēmās. Jā, un neaizmirstiet īstajā laikā, jā ...) Kā neaizmirsti- Es nezinu. Un šeit kā atcerēties Ja vajadzēs, došu mājienu. Tiem, kas apgūst stundu līdz beigām.)
Tātad, aplūkosim aritmētiskās progresijas n-tā dalībnieka formulu.
Kas vispār ir formula - mēs iedomājamies.) Kas ir aritmētiskā progresija, biedru skaitlis, progresijas starpība - ir skaidri pateikts iepriekšējā nodarbībā. Paskaties, ja neesi lasījis. Tur viss ir vienkārši. Atliek izdomāt, kas n-tais termiņš.
progresēšana iekšā vispārējs skats var uzrakstīt kā skaitļu virkni:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , ......
a 1- apzīmē aritmētiskās progresijas pirmo vārdu, a 3- trešais dalībnieks a 4- ceturtais un tā tālāk. Ja mūs interesē piektais termiņš, teiksim, mēs strādājam ar a 5, ja simts divdesmitā - no a 120.
Kā vispār definēt jebkura aritmētiskās progresijas dalībnieks, s jebkura numurs? Ļoti vienkārši! Kā šis:
a n
Tā tas ir aritmētiskās progresijas n-tais dalībnieks. Zem burta n tiek paslēpti uzreiz visi dalībnieku skaitļi: 1, 2, 3, 4 utt.
Un ko šāds ieraksts mums dod? Iedomājieties, ka skaitļa vietā viņi pierakstīja burtu ...
Šis apzīmējums sniedz mums jaudīgu rīku darbam ar aritmētisko progresiju. Izmantojot apzīmējumu a n, mēs varam ātri atrast jebkura biedrs jebkura aritmētiskā progresija. Un virkne uzdevumu, kas jāatrisina. Jūs redzēsiet tālāk.
Aritmētiskās progresijas n-tā locekļa formulā:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- pirmais aritmētiskās progresijas dalībnieks;
n- biedra numurs.
Formula saista jebkuras progresēšanas galvenos parametrus: a n ; a 1; d un n. Ap šiem parametriem visas mīklas griežas nepārtraukti.
N-to terminu formulu var izmantot arī, lai uzrakstītu konkrētu progresiju. Piemēram, uzdevumā var teikt, ka progresiju nosaka nosacījums:
a n = 5 + (n-1) 2.
Šāda problēma var pat mulsināt ... Nav sērijas, nav atšķirības ... Bet, salīdzinot nosacījumu ar formulu, ir viegli saprast, ka šajā progresijā a 1 \u003d 5 un d = 2.
Un tas var būt vēl dusmīgāk!) Ja mēs pieņemam to pašu nosacījumu: a n = 5 + (n-1) 2, jā, atveriet iekavas un dodiet līdzīgus? Mēs iegūstam jaunu formulu:
an = 3 + 2n.
Tas ir Tikai ne vispārīgi, bet konkrētai progresijai. Šeit slēpjas slazds. Daži cilvēki domā, ka pirmais termins ir trīs. Lai gan patiesībā pirmais dalībnieks ir piecinieks... Nedaudz zemāk mēs strādāsim ar šādu modificētu formulu.
Progresēšanas uzdevumos ir vēl viens apzīmējums - a n+1. Tas ir, jūs uzminējāt, progresēšanas termins "n plus pirmais". Tā nozīme ir vienkārša un nekaitīga.) Šis ir progresijas dalībnieks, kura skaits ir par vienu vairāk nekā skaitlis n. Piemēram, ja mēs pieņemam kādu problēmu a n tad piektais termiņš a n+1 būs sestais dalībnieks. utt.
Visbiežāk apzīmējums a n+1 notiek rekursīvās formulās. Nebaidieties no šī briesmīgā vārda!) Tas ir tikai veids, kā izteikt aritmētiskās progresijas terminu. caur iepriekšējo. Pieņemsim, ka mums ir dota aritmētiskā progresija šādā formā, izmantojot atkārtotu formulu:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Ceturtais - caur trešo, piektais - caur ceturto utt. Un kā uzreiz saskaitīt, sakiet divdesmito termiņu, a 20? Bet nekādā gadījumā!) Kamēr 19. termiņš nav zināms, 20. nevar saskaitīt. Šajā ir principiāla atšķirība atkārtota formula no n-tā termina formulas. Rekursīvs darbojas tikai caur iepriekšējā termins, un n-tā termina formula - caur vispirms un atļauj uzreiz atrodiet jebkuru dalībnieku pēc tā numura. Neskaitot visu skaitļu sēriju kārtībā.
Aritmētiskajā progresijā rekursīvo formulu var viegli pārvērst par parastu. Saskaitiet secīgu terminu pāri, aprēķiniet starpību d, atrast, ja nepieciešams, pirmo termiņu a 1, uzrakstiet formulu parastajā formā un strādājiet ar to. GIA šādi uzdevumi ir bieži sastopami.
Aritmētiskās progresijas n-tā dalībnieka formulas pielietojums.
Vispirms apskatīsim formulas tiešo pielietojumu. Iepriekšējās nodarbības beigās radās problēma:
Dota aritmētiskā progresija (a n). Atrodiet 121, ja a 1 = 3 un d = 1/6.
Šo uzdevumu var atrisināt bez formulām, vienkārši pamatojoties uz aritmētiskās progresijas nozīmi. Pievienot, jā pievienot... Stundu vai divas.)
Un saskaņā ar formulu risinājums prasīs mazāk nekā minūti. Jūs varat noteikt laiku.) Mēs izlemjam.
Nosacījumi sniedz visus datus formulas lietošanai: a 1 \u003d 3, d = 1/6. Jāskatās, kas n. Nekādu problēmu! Mums jāatrod a 121. Šeit mēs rakstām:
Lūdzu, pievērsiet uzmanību! Indeksa vietā n parādījās konkrēts skaitlis: 121. Kas ir diezgan loģiski.) Mūs interesē aritmētiskās progresijas dalībnieks. numurs simts divdesmit viens.Šis būs mūsu n. Tā ir šī nozīme n= 121 mēs aizstāsim tālāk formulā, iekavās. Formulā aizstājiet visus skaitļus un aprēķiniet:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Tas ir viss. Tikpat ātri varēja atrast piecsimt desmito locekli un tūkstoš un trešo jebkuru. Vietā liekam n vēlamo numuru burta rādītājā " a" un iekavās, un mēs uzskatām.
Ļaujiet man jums atgādināt būtību: šī formula ļauj jums atrast jebkura aritmētiskās progresijas termiņš PĒC VIŅA NUMURA" n" .
Atrisināsim problēmu gudrāk. Pieņemsim, ka mums ir šāda problēma:
Atrodiet aritmētiskās progresijas pirmo biedru (a n), ja a 17 =-2; d=-0,5.
Ja jums ir kādas grūtības, es ieteikšu pirmo soli. Uzraksti aritmētiskās progresijas n-tā vārda formulu! Jā jā. Rakstiet ar roku tieši savā piezīmju grāmatiņā:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Un tagad, aplūkojot formulas burtus, mēs saprotam, kādi dati mums ir un kas trūkst? Pieejams d=-0,5, ir septiņpadsmitais dalībnieks ... Viss? Ja jūs domājat, ka tas ir viss, tad jūs nevarat atrisināt problēmu, jā ...
Mums ir arī numurs n! Stāvoklī a 17 =-2 paslēptas divi varianti. Tā ir gan septiņpadsmitā dalībnieka vērtība (-2), gan tā skaitlis (17). Tie. n=17.Šis "sīkums" bieži paslīd garām galvai, un bez tā, (bez "sīkuma", nevis galvas!) Problēmu nevar atrisināt. Lai gan ... un arī bez galvas.)
Tagad mēs varam vienkārši muļķīgi aizstāt savus datus formulā:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
O jā, a 17 mēs zinām, ka ir -2. Labi, ievietosim to:
-2 = a 1 + (17-1) (-0,5)
Tas būtībā arī viss. Atliek no formulas izteikt pirmo aritmētiskās progresijas biedru un aprēķināt. Jūs saņemat atbildi: a 1 = 6.
Šāds paņēmiens – formulas rakstīšana un vienkārši zināmo datu aizstāšana – ļoti palīdz vienkāršos uzdevumos. Nu, protams, jāprot izteikt mainīgo no formulas, bet ko darīt!? Bez šīs prasmes matemātiku vispār nevar apgūt ...
Vēl viena populāra problēma:
Atrodi aritmētiskās progresijas starpību (a n), ja a 1 =2; a 15 = 12.
Ko mēs darām? Jūs būsiet pārsteigts, mēs rakstām formulu!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Apsveriet, ko mēs zinām: a 1 = 2; a 15 = 12; un (īpašs izcēlums!) n=15. Jūtieties brīvi aizstāt ar formulu:
12=2 + (15-1)d
Veiksim aritmētiku.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Šī ir pareizā atbilde.
Tātad, uzdevumi a n , a 1 un d nolēma. Atliek uzzināt, kā atrast numuru:
Skaitlis 99 ir aritmētiskās progresijas dalībnieks (a n), kur a 1 =12; d=3. Atrodiet šī dalībnieka numuru.
Mēs aizvietojam zināmos daudzumus n-tā vārda formulā:
a n = 12 + (n-1) 3
No pirmā acu uzmetiena šeit ir divi nezināmi daudzumi: a n un n. Bet a n ir kāds progresijas dalībnieks ar numuru n... Un šis progresijas dalībnieks mēs zinām! Ir 99. Mēs nezinām viņa numuru. n, tāpēc arī šis numurs ir jāatrod. Aizvietojiet progresēšanas terminu 99 formulā:
99 = 12 + (n-1) 3
Mēs izsakām no formulas n, mēs domājam. Mēs saņemam atbildi: n=30.
Un tagad problēma par to pašu tēmu, bet radošāka):
Nosakiet, vai skaitlis 117 būs aritmētiskās progresijas dalībnieks (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Rakstīsim formulu vēlreiz. Ko, nav variantu? Hm... Kāpēc mums vajadzīgas acis?) Vai mēs redzam pirmo progresijas dalībnieku? Mēs redzam. Tas ir -3,6. Droši varat rakstīt: a 1 \u003d -3,6. Atšķirība d var noteikt pēc sērijas? Tas ir vienkārši, ja zināt, kāda ir aritmētiskās progresijas atšķirība:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Jā, mēs izdarījām visvienkāršāko lietu. Atliek tikt galā ar nezināmu numuru n un nesaprotams skaitlis 117. Iepriekšējā uzdevumā vismaz bija zināms, ka tika dots progresijas termiņš. Bet šeit mēs pat nezinām, ka ... Kā būt!? Nu kā būt, kā būt... Ieslēdziet Radošās prasmes!)
Mēs pieņemsim ka 117 galu galā ir mūsu progresa dalībnieks. Ar nezināmu numuru n. Un, tāpat kā iepriekšējā uzdevumā, mēģināsim atrast šo numuru. Tie. mēs rakstām formulu (jā-jā!)) un aizstājam savus skaitļus:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Atkal mēs izsakām no formulasn, mēs saskaitām un iegūstam:
Ak! Skaitlis izrādījās daļēja! Simts ar pusi. Un daļskaitļi progresijā nevar būt. Kādu secinājumu mēs izdarām? Jā! 117. numurs nav mūsu progresa biedrs. Tas ir kaut kur starp 101. un 102. dalībnieku. Ja skaitlis izrādījās dabisks, t.i. pozitīvs vesels skaitlis, tad skaitlis būtu progresijas dalībnieks ar atrasto skaitli. Un mūsu gadījumā atbilde uz problēmu būs: Nē.
Uzdevumu pamatā reālā versija GIA:
Aritmētisko progresiju nosaka nosacījums:
a n \u003d -4 + 6,8n
Atrodiet progresijas pirmo un desmito terminu.
Šeit progresija ir iestatīta neparastā veidā. Kaut kāda formula ... Tā gadās.) Tomēr šī formula (kā es rakstīju iepriekš) - arī aritmētiskās progresijas n-tā dalībnieka formula! Viņa arī atļauj atrodiet jebkuru progresijas dalībnieku pēc tā numura.
Meklējam pirmo dalībnieku. Tas, kurš domā. ka pirmais loceklis ir mīnus četri, ir liktenīgi kļūdījies!) Jo formula uzdevumā ir modificēta. Pirmais aritmētiskās progresijas loceklis tajā paslēptas. Nekas, mēs to tagad atradīsim.)
Tāpat kā iepriekšējos uzdevumos, mēs aizstājam n=1šajā formulā:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 = 2,8
Šeit! Pirmais termiņš ir 2,8, nevis -4!
Tāpat mēs meklējam desmito terminu:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
Tas ir viss.
Un tagad tiem, kas izlasījuši līdz šīm rindām, solītā prēmija.)
Pieņemsim, ka sarežģītā GIA vai vienotā valsts eksāmena kaujas situācijā esat aizmirsis noderīgo aritmētiskās progresijas n-tā locekļa formulu. Kaut kas nāk prātā, bet kaut kā neskaidri ... Vai n tur, vai n+1 vai n-1... Kā būt!?
Mierīgi! Šo formulu ir viegli iegūt. Nav ļoti stingri, bet, lai pārliecinātos un pareizs lēmums ar to pietiek!) Secinājumam pietiek atcerēties aritmētiskās progresijas elementāro nozīmi un atvēlēt pāris minūtes laika. Jums vienkārši jāuzzīmē attēls. Skaidrības labad.
Mēs uzzīmējam skaitlisko asi un atzīmējam uz tās pirmo. otrais, trešais utt. locekļi. Un ievērojiet atšķirību d starp biedriem. Kā šis:
Mēs skatāmies uz attēlu un domājam: ar ko ir vienāds otrais termins? Otrkārt viens d:
a 2 =a 1 + 1 d
Kāds ir trešais termins? Trešais termiņš ir vienāds ar pirmo termiņu plus divi d.
a 3 =a 1 + 2 d
Vai jūs to saprotat? Dažus vārdus es nelieku treknrakstā par velti. Labi, vēl viens solis.)
Kas ir ceturtais termins? Ceturtais termiņš ir vienāds ar pirmo termiņu plus trīs d.
a 4 =a 1 + 3 d
Ir pienācis laiks saprast, ka spraugu skaits, t.i. d, vienmēr par vienu mazāk nekā meklējamā dalībnieka skaits n. Tas ir, līdz skaitlim n, atstarpju skaits gribu n-1. Tātad formula būs šāda (bez iespēju!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Kopumā vizuālie attēli ļoti palīdz daudzu matemātikas problēmu risināšanā. Nepalaidiet uzmanību attēliem. Bet, ja ir grūti uzzīmēt attēlu, tad ... tikai formula!) Turklāt n-tā termina formula ļauj pieslēgt risinājumam visu jaudīgo matemātikas arsenālu - vienādojumus, nevienādības, sistēmas utt. Jūs nevarat ievietot attēlu vienādojumā...
Uzdevumi patstāvīgam lēmumam.
Iesildīšanai:
1. Aritmētiskajā progresijā (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Atrodi 3.
Padoms: saskaņā ar attēlu problēma tiek atrisināta 20 sekundēs ... Pēc formulas tas izrādās grūtāk. Bet formulas apgūšanai noder vairāk.) 555.nodaļā šo uzdevumu atrisina gan bilde, gan formula. Sajūti atšķirību!)
Un šī vairs nav iesildīšanās.)
2. Aritmētiskajā progresijā (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Atrodiet 3.
Ko, nevēlēšanās zīmēt attēlu?) Tomēr! Formulā ir labāk, jā...
3. Aritmētisko progresiju nosaka nosacījums:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Atrodiet šīs progresēšanas simts divdesmit piekto termiņu.
Šajā uzdevumā progresija tiek dota atkārtotā veidā. Bet skaitot līdz simts divdesmit piektajam termiņam... Ne katrs var izdarīt tādu varoņdarbu.) Bet n-tā termiņa formula ir katram pa spēkam!
4. Dota aritmētiskā progresija (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Atrodiet progresijas mazākā pozitīvā termiņa skaitli.
5. Atbilstoši 4. uzdevuma nosacījumam atrodiet progresijas mazāko pozitīvo un lielāko negatīvo dalībnieku summu.
6. Pieaugošas aritmētiskās progresijas piektā un divpadsmitā locekļa reizinājums ir -2,5, bet trešā un vienpadsmitā vārda summa ir nulle. Atrodiet 14.
Nav vieglākais uzdevums, jā ...) Šeit metode "uz pirkstiem" nedarbosies. Jāraksta formulas un jāatrisina vienādojumi.
Atbildes (nekārtīgi):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Vai notika? Tas ir jauki!)
Vai viss neizdodas? Tas notiek. Starp citu, pēdējā uzdevumā ir viens smalks punkts. Būs nepieciešama uzmanība, lasot problēmu. Un loģika.
Visu šo problēmu risinājums ir detalizēti apspriests 555. sadaļā. Un fantāzijas elements ceturtajam, un smalkais moments sestajam, un vispārīgas pieejas jebkuru problēmu risināšanai n-tā termina formulai - viss ir krāsots. Ieteikt.
Ja jums patīk šī vietne...
Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)
Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)
var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.
Nodarbības izklāsts par tēmu: “Formulanbiedrs ģeometriskā progresija". Sagatavošanās OGE.
primārais mērķis: nostiprināt ģeometriskās progresijas jēdzienu;
iepazīstināt skolēnus ar ģeometriskās progresijas n-tā dalībnieka formulu;
šīs formulas un īpašību pielietojums piemēros un uzdevumos.
UMC: Algebra.9.klase.Mācību grāmata izglītības iestāžu audzēkņiem / (A.G. Mordkovičs u.c.); rediģēja A.G. Mordkovičs.-11.izd., ster.-M.: Mnemozina, 2009.-255 lpp.: ill.
Klase: 9
Nodarbības veids: stunda, kurā apgūst jaunu materiālu.
Nodarbību laikā.
Laika organizēšana (1 minūte)
Skolotāja sveicina bērnus.
Mutisks darbs. (9 min)
Atrast skaitļu 16 un 25 ģeometrisko vidējo; 9 un 36; 49 un 81; 12 un 25.
Atrisiniet vienādojumu: b 2 \u003d 3, b 2 \u003d -3, b 3 \u003d -27, x 6 \u003d 164.
Ir radioaktīvā viela, kas sver 256 g, kuras svars dienā tiek samazināts uz pusi. Kāda būs vielas masa otrajā dienā? Trešajā dienā? Astotajā dienā? (256; 128; 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1;…)
Mēs ar jums varam redzēt, ka iegūtā secība ir ... ģeometriska progresija. Atcerēsimies tās definīciju.
Definīcija ir dota : ģeometriskā progresija Tiek izsaukta skaitļu, kas nav nulle, secība, kuras katrs loceklis, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo vārdu, kas reizināts ar to pašu skaitli.
Jautājums: - Kā tiek iegūts secības otrais termins? Trešais? Astotais? (Dalot iepriekšējo terminu ar 2 vai reizinot ar12 ). Šo numuru sauc ģeometriskā saucējs progresijas un apzīmē q .
Pārbaude mājasdarbs(5 minūtes)
Jauna materiāla apgūšana (10 min)
Uzrakstiet secību, kas atbilst problēmas stāvoklim.
AT labvēlīgi apstākļi Baktērijas vairojas tā, ka vienas minūtes laikā katra no tām sadalās divās daļās. Cik baktēriju parādījās 5. minūtē? (skat. 1. att.)
Cik to būs pēc trim minūtēm?
1. minūtē - 2
2. minūtē - 4
3. minūtē - 8
4. minūtē - 16
5. minūtē - 32
Vai mēs varam turpināt?
6. minūtē - 64
7. minūtē - 128
8. minūtē - 256
9. minūtē - 512
10. minūtē - 1024
11. minūtē - 2048
12. minūtē - 4096
13. minūtē - 8192
Secinājums: tādēļ ir nepieciešama formula, lai atrastu ģeometriskās progresijas n-to daļu.
Aplūkosim ģeometrisko progresiju b 1 ; b2; b 3 ,...,b n , ar saucēju q. Mums ir:
b 1 = b 1
b 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q 2
b 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 3
b 5 = b 3 q = (b 1 q 3) q = b 1 q 4 utt.
Ir viegli uzminēt, ka jebkurai n nevienlīdzībai
b n = b 1 q n-1
Tas irnģeometriskās progresijas termiņš.
Mēģināsim pārbaudīt šīs formulas derīgumu mums jau zināmo baktēriju problēmai. Aprēķināsim secības 5. locekli
b n = b 1 q n-1= b 5 = b 1 q 5-1 = 1 2 4 = 1 16 = 16.
b n = b 1 q n - 1 = b 11 = b 1 q 11-1 = 1 2 10 = 1 1024 = 1024.
Izpētītā materiāla konsolidācija: (10)
CR 1-2 piemērs.
UCH: Nr. 17.10 (a, b),
Nr. 17.11 (a, b),
Nr. 17.12(а,b)
Fiziskā izglītība (1 min)
Sagatavošanās OGE. (15 minūtes)
Kartes
Mājas darbs: (1 min.)
Nr. 17.10(c,d), 17.12(c,d), 17.14, 17.16
Nodarbības kopsavilkums (1 min)
Uzdevums Nr.1
Lai atrastu summu aritmētiskā progresija mums ir divas formulas.
progresijas atšķirība.
d=a2-a1=-5-(-7)=2.
Visu pievienošana formulai:
S50=50*(2*(-7)+(50-1)*2)/2=50*(-14+98)/2=50*42=2100
Atbilde: S50=2100
Uzdevums Nr.2
d=a2-a1=3-1=2.
Visu pievienošana formulai:
S60=60*(2*1+(60-1)*2)/2=30*(2+118)=30*120=3600
Atbilde: S60=3600
Uzdevums Nr.3
Zinot, ka an+1=an+4, t.i. a10=a9+4, jūs, protams, varat aprēķināt visus pirmos 10 secības vārdus, taču tas ir darbietilpīgi. Turklāt, ja būtu nepieciešams aprēķināt 300. termiņu, tas prasītu ļoti ilgu laiku.
Ir vienkāršāks veids:
AT aritmētiskā progresija an=a1+(n-1)d, tikai d mums nav zināms. To var aprēķināt, izmantojot formulu: d=an+1-an
Izmantojot šo formulu un uzdevuma nosacījumu, mēs redzam, ka d=4. Pēc tam:
a10=a1+(10-1)4
a10=3+9*4=39. Atbilde: a10=39
Uzdevums Nr.4
Zinot, ka bn+1=1/2*bn, t.i. b7=1/2*b6, jūs, protams, varat aprēķināt visus pirmos 7 secības dalībniekus, taču tas ir darbietilpīgi. Turklāt, ja būtu nepieciešams aprēķināt 300. termiņu, tas prasītu ļoti ilgu laiku.
Ir vienkāršāks veids:
AT ģeometriskā progresija bn=b1qn-1, tikai q mums nav zināms. To var aprēķināt, izmantojot formulu: bn+1/bn=q
Izmantojot šo formulu un uzdevuma nosacījumu, mēs redzam, ka q=1/2. Pēc tam:
b7=b1(1/2)(7-1)
b7=-128*(1/2)6=-128*1/64=-2.
Atbilde: b7=-2
Uzdevums Nr.5
Lai atrastu dotā pirmo 4 vārdu summu ģeometriskā progresija, mēs izmantojam formulas. Mūsu gadījumā ērtāk ir izmantot pirmo. Lai to izdarītu, jums jāzina b1 - pirmais progresijas termiņš un q - progresijas saucējs.
b1=62,5*21=125 (no problēmas stāvokļa). Un q=2.
Tad S4=125*(1-24)/(1-2)=125*(1-16)/(-1)=125*15=1875
Atbilde: S4=1875
Uzdevums Nr. 6
Ģeometriskā progresijā pirmā un otrā vārda summa ir 75, bet otrā un trešā vārda summa ir 150. Atrodiet šīs progresijas pirmos trīs vārdus.
bn=b1qn-1
Tad b2=b1q2-1=b1q
Pēc nosacījuma:
1) b1+b2=75
b1+b1q=75
b1(1+q)=75
2) b2+b3=150
b1q+b1q2=150
b1(q+q2)=150
b1(q+1)q=150
Mēs aizstājam no 1) pozīcijas
75q = 150 = q = 2, tad b1 (1 + 2) = 75 = b1 = 25
b2=25*2=50
b3=25*22=100
Atbilde: b1=25, b2=50, b3=100
Uzdevums Nr.7
Šajā gadījumā tā vietā, lai izmantotu formulas priekš ģeometriskā progresija, šo problēmu ir vieglāk atrisināt "uz pieres". Tie. atrast b2, b3, ..., b7.
b1=64 (pēc nosacījuma).
b2=b1*1/2=64*1/2=64/2=32
b3=b2*1/2=32/2=16
b4=16/2=8
b5=8/2=4
b6=4/2=2
b7=2/2=1 Atbilde: b7=1
| 1. karte №1 . Tiek dota aritmētiskā progresija: -7; -5; -3; … Atrodiet tā pirmo piecdesmit locekļu summu. №2 . Tiek dota aritmētiskā progresija: 1; 3; 5; …. Atrodiet pirmo sešdesmit terminu summu. №3. Aritmētisko progresiju (a n) nosaka nosacījumi: a 1 =3, a n+1 =a n +4. Atrodi 10. №4. Ģeometriskā progresija (b n) tiek dota ar nosacījumiem: b 1 = –128, b n+1 =1/2*b n . Atrodi b 7 . №5. Ģeometrisko progresiju uzrāda nosacījums b n =62,5*2 n . Atrodiet tā pirmo 4 vārdu summu. №6 №7. Ģeometriskā progresija (b n) tiek dota ar nosacījumiem: b 1 =64, b n+1 =b n *1/2. Atrodi b 7 . |
| 1. karte №1 . Tiek dota aritmētiskā progresija: -7; -5; -3; … Atrodiet tā pirmo piecdesmit locekļu summu. №2 . Tiek dota aritmētiskā progresija: 1; 3; 5; …. Atrodiet pirmo sešdesmit terminu summu. №3. Aritmētisko progresiju (a n) nosaka nosacījumi: a 1 =3, a n+1 =a n +4. Atrodi 10. №4. Ģeometriskā progresija (b n) tiek dota ar nosacījumiem: b 1 = –128, b n+1 =1/2*b n . Atrodi b 7 . №5. Ģeometrisko progresiju uzrāda nosacījums b n =62,5*2 n . Atrodiet tā pirmo 4 vārdu summu. №6 . Ģeometriskā progresijā pirmā un otrā vārda summa ir 75, bet otrā un trešā vārda summa ir 150. Atrodiet šīs progresijas pirmos trīs vārdus. № 7. Ģeometriskā progresija (bn) nosaka nosacījumi: b 1 =64,bn+1=bn*1/2. Atrast b 7 . |
3. problēma no 127. Problēmas numurs vietnē WWW.FIPI.RU — 1C5D03
Parādiet problēmas risinājumu
Tiek dota aritmētiskā progresija: -6; -2; 2; … Atrodiet tā pirmo piecdesmit locekļu summu.
Lai atrastu summu aritmētiskā progresija mums ir divas formulas.
a50 mēs nezinām, tāpēc mēs izmantojam otro formulu. Lai to izdarītu, mēs atrodam d - progresijas atšķirība.
d=a2-a1=-2-(-6)=4.
Visu pievienošana formulai:
S50=50*(2*(-6)+(50-1)*4)/2=50*(-12+196)/2=50*92=4600
Atbilde: S50=4600
4. problēma no 127. Problēmas numurs vietnē WWW.FIPI.RU — FD1ABB
Parādiet problēmas risinājumu
Tiek dota aritmētiskā progresija: -1; 2; 5; …. Atrodiet pirmo piecdesmit piecu terminu summu.
Lai atrastu summu aritmētiskā progresija mums ir divas formulas.
a55 mēs nezinām, tāpēc izmantosim otro formulu. Lai to izdarītu, mēs atrodam d - progresijas atšķirība.
d=a2-a1=2-(-1)=3.
Visu pievienošana formulai:
S55=55*(2*(-1)+(55-1)*3)/2=55*(-2+162)/2=55*80=4400
Atbilde: S55=4400
19. problēma no 127. Problēmas numurs vietnē WWW.FIPI.RU — 34D7F8
Parādiet problēmas risinājumu
Tiek izrakstīti pirmie trīs aritmētiskās progresijas locekļi: 20; 17; 14. Kāda ir 91. vieta šajā aritmētiskajā progresijā?
n-tais biedrs aritmētiskā progresija vienāds ar a1+(n-1)d
a1=20
d=a2-a1=17-20=-3
a91=a1+(n-1)d=20+(91-1)(-3)=20-270=-250
Atbilde: a91=-250
Problēmas numurs 22 no 127. Problēmas numurs vietnē WWW.FIPI.RU - 4CBA5B
Parādiet problēmas risinājumu
Tiek pierakstīti pirmie trīs aritmētiskās progresijas locekļi: -4; 2; astoņi; … Kāda ir 81. vieta šajā aritmētiskajā progresijā?
n-tais biedrs aritmētiskā progresija vienāds ar a1+(n-1)d
a1=-4
d=a2-a1=2-(-4)=6
a81=a1+(n-1)d=-4+(81-1)6=-4+480=476
Atbilde: a81=476
Problēma #79 no 127. Problēmas numurs vietnē WWW.FIPI.RU - 4C12DC
Parādiet problēmas risinājumu
Tiek izrakstīti pirmie aritmētiskās progresijas locekļi: -7; -5; -3; … Atrodi tā sešpadsmito dalībnieku.
n-tais biedrs aritmētiskā progresija vienāds ar a1+(n-1)d
a1=-7 (pēc nosacījuma)
a2=-5 (pēc nosacījuma)
d=a2-a1=-5-(-7)=2
a16=a1+(n-1)d=-7+(16-1)2=-7+30=23
Atbilde: a16=23
Problēmas numurs 82 no 127. Problēmas numurs vietnē WWW.FIPI.RU - 4D6C7C
Parādiet problēmas risinājumu
Dota ģeometriskā progresija (b n), kuras saucējs ir 2, b 1 =16. Atrodi b 4 .
Katrs dalībnieks ģeometriskā progresija var izteikt ar pirmo terminu.
bn=b1qn-1
Tāpēc b4=b1q4-1=b1q3=16*23=16*8=128
Atbilde: 128
Krājkasē noguldītais termiņnoguldījums ik gadu pieauga par 5%. Kāda būs iemaksa pēc 8 gadiem, ja sākumā tā bija 1000 rubļu? (1000; 1050; 1102,5; 1157,625;…) Jautājums: Kā tiek iegūts secības otrais dalībnieks? Trešais? Astotais? (Iepriekšējo reizinot ar 1,05).