Kā atrast parastās nošķeltas piramīdas laukumu. Nocirsta piramīda

Šajā nodarbībā aplūkosim nošķelto piramīdu, iepazīsimies ar parasto nošķelto piramīdu un pētīsim to īpašības.

Atcerēsimies koncepciju n-stūra piramīda izmantojot trīsstūrveida piramīdas piemēru. Trijstūris ABC ir dots. Ārpus trijstūra plaknes tiek ņemts punkts P, kas savienots ar trijstūra virsotnēm. Iegūto daudzskaldņu virsmu sauc par piramīdu (1. att.).

Rīsi. 1. Trīsstūrveida piramīda

Griezim piramīdu ar plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnes plaknei. Starp šīm plaknēm iegūto figūru sauc par nošķelto piramīdu (2. att.).

Rīsi. 2. Nocirsta piramīda

Būtiski elementi:

Augšējā pamatne;

ABC apakšējā bāze;

Sānu seja;

Ja PH ir sākotnējās piramīdas augstums, tad tas ir nošķeltās piramīdas augstums.

Nošķeltas piramīdas īpašības izriet no tās konstruēšanas metodes, proti, no pamatu plakņu paralēlisma:

Visi sānu sejas nošķeltas piramīdas ir trapeces. Apsveriet, piemēram, malu. Tam ir paralēlu plakņu īpašība (tā kā plaknes ir paralēlas, tās sagriež sākotnējās AVR piramīdas sānu virsmu pa paralēlām taisnēm), bet tajā pašā laikā tās nav paralēlas. Acīmredzot četrstūris ir trapecveida forma, tāpat kā visas nošķeltās piramīdas sānu virsmas.

Pamatu attiecība ir vienāda visām trapecveida formām:

Mums ir vairāki līdzīgu trīsstūru pāri ar vienādu līdzības koeficientu. Piemēram, trijstūri un RAB ir līdzīgi plakņu paralēlisma un līdzības koeficienta dēļ:

Tajā pašā laikā trijstūri un RVS ir līdzīgi ar līdzības koeficientu:

Acīmredzot līdzības koeficienti visiem trim līdzīgu trīsstūru pāriem ir vienādi, tāpēc bāzu attiecība visiem trapecveidiem ir vienāda.

Parasta nošķelta piramīda ir nošķelta piramīda, ko iegūst, nogriežot regulāru piramīdu ar plakni, kas ir paralēla pamatnei (3. att.).

Rīsi. 3. Regulāra nošķelta piramīda

Definīcija.

Piramīdu sauc par regulāru, ja tās pamats ir regulārs n-stūris un tās virsotne tiek projicēta šī n-stūra centrā (ierakstītā un ierobežotā apļa centrā).

Šajā gadījumā piramīdas pamatnē ir kvadrāts, un augšdaļa tiek projicēta tās diagonāļu krustošanās punktā. Iegūtajai regulārajai četrstūrainai nošķeltai piramīdai ABCD ir apakšējā pamatne un augšējā pamatne. Sākotnējās piramīdas augstums ir RO, nošķeltās piramīdas ir (4. att.).

Rīsi. 4. Regulāra četrstūraina nošķelta piramīda

Definīcija.

Nocirstas piramīdas augstums ir perpendikuls, kas novilkts no jebkura viena pamata punkta uz otrās pamatnes plakni.

Sākotnējās piramīdas apotēma ir RM (M ir AB vidus), nošķeltās piramīdas apotēma ir (4. att.).

Definīcija.

Nocirstas piramīdas apotēma ir jebkuras sānu virsmas augstums.

Skaidrs, ka viss sānu ribas nošķeltas piramīdas ir vienādas viena ar otru, tas ir, sānu malas ir vienādas vienādsānu trapeces.

Regulāras nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no pamatu un apotēmas perimetru summas.

Pierādījums (parastai četrstūrainai nošķeltai piramīdai – 4. att.):

Tātad, mums ir jāpierāda:

Sānu virsmas laukums šeit sastāvēs no sānu virsmu laukumu summas - trapecveida. Tā kā trapeces ir vienādas, mums ir:

Vienādsānu trapeces laukums ir reizinājums ar pusi no pamatu un augstuma summas; apotēms ir trapeces augstums. Mums ir:

Q.E.D.

n-stūra piramīdai:

Kur n ir piramīdas sānu skaldņu skaits, a un b ir trapeces pamati un apotēma.

Pamatnes malas ir regulāri nošķeltas četrstūra piramīda vienāds ar 3 cm un 9 cm, augstums - 4 cm. Atrodiet sānu virsmas laukumu.

Rīsi. 5. 1. problēmas ilustrācija

Risinājums. Ilustrēsim nosacījumu:

Jautāja: , ,

Caur punktu O velkam taisni MN paralēli abām apakšējās pamatnes malām, un līdzīgi caur punktu velkam taisni (6. att.). Tā kā kvadrāti un konstrukcijas nošķeltas piramīdas pamatos ir paralēlas, iegūstam trapeci, kas vienāda ar sānu malām. Turklāt tā puse iet cauri sānu virsmu augšējās un apakšējās malas viduspunktiem un būs nošķeltas piramīdas apotēma.

Rīsi. 6. Papildu konstrukcijas

Apskatīsim iegūto trapecveida formu (6. att.). Šajā trapecē ir zināma augšējā pamatne, apakšējā pamatne un augstums. Jums jāatrod tā puse, kas ir dotās saīsinātās piramīdas apotēma. Zīmēsim perpendikulāri MN. No punkta mēs nolaižam perpendikulāro NQ. Mēs atklājam, ka lielākā bāze ir sadalīta trīs centimetru segmentos (). Apsveriet taisnleņķa trīsstūri, tajā esošās kājas ir zināmas, tas ir Ēģiptes trīsstūris, izmantojot Pitagora teorēmu, mēs nosakām hipotenūzas garumu: 5 cm.

Tagad ir visi elementi, lai noteiktu piramīdas sānu virsmas laukumu:

Piramīdu šķērso plakne, kas ir paralēla pamatnei. Izmantojot trīsstūrveida piramīdas piemēru, pierādiet, ka piramīdas sānu malas un augstums ar šo plakni ir sadalītas proporcionālās daļās.

Pierādījums. Ilustrēsim:

Rīsi. 7. 2. uzdevuma ilustrācija

Ir dota RABC piramīda. PO - piramīdas augstums. Piramīdu pārgriež ar plakni, iegūst nošķeltu piramīdu un. Punkts - RO augstuma krustošanās punkts ar nošķeltas piramīdas pamatnes plakni. Ir nepieciešams pierādīt:

Risinājuma atslēga ir paralēlu plakņu īpašība. Divas paralēlas plaknes krusto jebkuru trešo plakni tā, lai krustojuma līnijas būtu paralēlas. No šejienes: . Atbilstošo līniju paralēlisms nozīmē četru līdzīgu trīsstūru pāru klātbūtni:

No trīsstūru līdzības izriet atbilstošo malu proporcionalitāte. Svarīga funkcija ir tas, ka šo trīsstūru līdzības koeficienti ir vienādi:

Q.E.D.

Regulāru trīsstūrveida piramīdu RABC ar pamatnes augstumu un malu atdala plakne, kas iet caur augstuma PH vidu paralēli pamatnei ABC. Atrodiet iegūtās nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukumu.

Risinājums. Ilustrēsim:

Rīsi. 8. 3. uzdevuma ilustrācija

ACB ir regulārs trīsstūris, H ir šī trijstūra centrs (ierakstīto un ierobežoto apļu centrs). RM ir dotās piramīdas apotēms. - nošķeltas piramīdas apotēma. Atbilstoši paralēlo plakņu īpašībai (divas paralēlas plaknes sagriež jebkuru trešo plakni tā, lai krustojuma līnijas būtu paralēlas), mums ir vairāki līdzīgu trīsstūru pāri ar vienādu līdzības koeficientu. Jo īpaši mūs interesē attiecības:

Atradīsim NM. Tas ir apļa rādiuss, kas ierakstīts pamatnē; mēs zinām atbilstošo formulu:

Tagad no taisnleņķa trīsstūris RNM, izmantojot Pitagora teorēmu, mēs atrodam RM - sākotnējās piramīdas apotēmu:

No sākotnējās attiecības:

Tagad mēs zinām visus elementus, lai atrastu nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukumu:

Tātad, mēs iepazināmies ar nošķeltas piramīdas un regulāras nošķeltas piramīdas jēdzieniem, sniedzām pamata definīcijas, pārbaudījām īpašības un pierādījām teorēmu par sānu virsmas laukumu. Nākamajā nodarbībā galvenā uzmanība tiks pievērsta problēmu risināšanai.

Bibliogrāfija

I. M. Smirnova, V. A. Smirnovs. Ģeometrija. 10.-11.klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem (pamata un profila līmeņi) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnovs. - 5. izd., red. un papildu - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lpp.: ill.
Šarigins I. F. Ģeometrija. 10-11 klase: Vispārējās izglītības mācību grāmata izglītības iestādēm/ Šarigins I.F. - M.: Bustards, 1999. - 208 lpp.: ill.
E. V. Potoskujevs, L. I. Zvaļičs. Ģeometrija. 10. klase: Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm ar padziļinātu un specializētu matemātikas apguvi /E. V. Potoskujevs, L. I. Zvaļičs. - 6. izd., stereotips. - M.: Bustards, 2008. - 233 lpp.: ill.

Uztest.ru ().
Fmclass.ru ().
Webmath.expponenta.ru ().

Mājasdarbs

ir daudzskaldnis, ko veido piramīdas pamatne un tai paralēls posms. Mēs varam teikt, ka nošķelta piramīda ir piramīda ar nogrieztu augšdaļu. Šim skaitlim ir daudz unikālu īpašību:

Piramīdas sānu malas ir trapeces;
Regulāras nošķeltas piramīdas sānu malas ir vienāda garuma un slīpas pret pamatni tādā pašā leņķī;
Pamati ir līdzīgi daudzstūri;
Parastā nošķeltajā piramīdā sejas ir identiskas vienādsānu trapeces, kuru laukums ir vienāds. Tie ir arī slīpi pret pamatni vienā leņķī.

Nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukuma formula ir tās malu laukumu summa:

Tā kā nošķeltas piramīdas malas ir trapeces, lai aprēķinātu parametrus, jums būs jāizmanto formula trapecveida laukums. Parastai nošķeltai piramīdai laukuma aprēķināšanai varat izmantot citu formulu. Tā kā visas tās malas, skaldnes un leņķi pie pamatnes ir vienādi, ir iespējams pielietot pamatnes un apotēmas perimetrus, kā arī iegūt laukumu caur leņķi pie pamatnes.

Ja saskaņā ar nosacījumiem regulārā nošķeltā piramīdā ir norādīts apotēms (sānu augstums) un pamatnes malu garumi, tad laukumu var aprēķināt caur perimetru summas pusproduktu. bāzes un apotēms:

Apskatīsim piemēru, kā aprēķināt nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukumu.
Dota regulāra piecstūra piramīda. Apotēma l= 5 cm, malas garums collas liela bāze vienāds ar a= 6 cm, un mala atrodas mazākajā pamatnē b= 4 cm. Aprēķiniet nošķeltās piramīdas laukumu.

Vispirms noskaidrosim pamatu perimetrus. Tā kā mums ir dota piecstūra piramīda, mēs saprotam, ka pamati ir piecstūri. Tas nozīmē, ka pamatnēs ir figūra ar piecām identiskām malām. Atradīsim lielākās bāzes perimetru:

Tādā pašā veidā mēs atrodam mazākās pamatnes perimetru:

Tagad mēs varam aprēķināt parastās nošķeltas piramīdas laukumu. Aizvietojiet datus formulā:

Tādējādi mēs aprēķinājām regulāras nošķeltas piramīdas laukumu caur perimetru un apotēmu.

Vēl viens veids, kā aprēķināt parastās piramīdas sānu virsmas laukumu, ir formula caur leņķiem pie pamatnes un šo pamatu laukumu.

Apskatīsim aprēķina piemēru. Mēs atceramies, ka šī formula attiecas tikai uz regulāru nošķeltu piramīdu.

Dota regulāra četrstūra piramīda. Apakšējās pamatnes mala ir a = 6 cm, bet augšējās pamatnes mala ir b = 4 cm. Divšķautņu leņķis pie pamatnes ir β = 60°. Atrodiet regulāras nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukumu.

Pirmkārt, aprēķināsim pamatu laukumu. Tā kā piramīda ir regulāra, visas pamatu malas ir vienādas viena ar otru. Ņemot vērā, ka bāze ir četrstūris, saprotam, ka būs jāaprēķina laukuma platība. Tas ir platuma un garuma reizinājums, bet kvadrātā šīs vērtības ir vienādas. Atradīsim lielākās bāzes laukumu:

Tagad mēs izmantojam atrastās vērtības, lai aprēķinātu sānu virsmas laukumu.

Zinot dažas vienkāršas formulas, mēs viegli aprēķinājām nošķeltas piramīdas sānu trapeces laukumu, izmantojot dažādas vērtības.

Šī nodarbība palīdzēs jums iegūt priekšstatu par tēmu “Piramīda. Regulāra un nošķelta piramīda." Šajā nodarbībā iepazīsimies ar regulāras piramīdas jēdzienu un sniegsim tam definīciju. Tad pierādām teorēmu par regulāras piramīdas sānu virsmu un teorēmu uz regulāras nošķeltas piramīdas sānu virsmas.

Tēma: Piramīda

Nodarbība: Pareizi un nošķelta piramīda

Definīcija: Regulāra n-stūra piramīda ir piramīda, kuras pamatnē ir regulārs n-stūris, un augstums tiek projicēts šī n-stūra centrā (1. att.).

Rīsi. 1

Regulāra trīsstūrveida piramīda

Vispirms aplūkosim ∆ABC (2. att.), kurā AB=BC=CA (tas ir, regulārs trīsstūris atrodas piramīdas pamatnē). Regulārā trijstūrī ierakstīto un ierobežoto apļu centri sakrīt un ir paša trīsstūra centrs. Šajā gadījumā centru atrod šādi: atrodiet vidējo AB - C 1, uzzīmējiet segmentu CC 1, kas ir mediāna, bisektrise un augstums; līdzīgi atrodam AC - B 1 vidu un uzzīmējam segmentu BB 1. BB 1 un CC 1 krustpunkts būs punkts O, kas ir ∆ABC centrs.

Ja savienojam trijstūra O centru ar piramīdas S virsotni, iegūstam piramīdas augstumu SO ⊥ ABC, SO = h.

Savienojot punktu S ar punktiem A, B un C, iegūstam piramīdas sānu malas.

Esam ieguvuši regulāru trīsstūrveida SABC piramīdu (2. att.).

Piramīda. Nocirsta piramīda

Piramīda ir daudzskaldnis, kura viena no skaldnēm ir daudzstūris ( bāze ), un visas pārējās skaldnes ir trīsstūri ar kopīgu virsotni ( sānu sejas ) (15. att.). Piramīdu sauc pareizi , ja tās pamats ir regulārs daudzstūris un piramīdas virsotne ir projicēta pamatnes centrā (16. att.). Tiek saukta trīsstūrveida piramīda ar vienādām malām tetraedrs .

Sānu riba piramīdas ir sānu virsmas puse, kas nepieder pie pamatnes Augstums piramīda ir attālums no tās augšdaļas līdz pamatnes plaknei. Visas regulāras piramīdas sānu malas ir vienādas viena ar otru, visas sānu malas ir vienādi vienādsānu trīsstūri. No virsotnes izvilktas regulāras piramīdas sānu virsmas augstumu sauc apotēms . Diagonālā sadaļa sauc par piramīdas posmu plaknē, kas iet caur divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai.

Sānu virsmas laukums piramīda ir visu sānu virsmu laukumu summa. Apgabals pilna virsma sauc par visu sānu virsmu un pamatnes laukumu summu.

Teorēmas

1. Ja piramīdā visas sānu malas ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad piramīdas virsotne tiek projicēta pamatnes tuvumā esošā apļa centrā.

2. Ja piramīdas visām sānu malām ir vienāds garums, tad piramīdas virsotne tiek projicēta apļa centrā, kas ir norobežots netālu no pamatnes.

3. Ja piramīdā visas skaldnes ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad piramīdas virsotne tiek projicēta pamatnē ierakstītā apļa centrā.

Lai aprēķinātu patvaļīgas piramīdas tilpumu, pareizā formula ir:

Kur V- apjoms;

S bāze– bāzes platība;

H- piramīdas augstums.

Parastai piramīdai pareizas ir šādas formulas:

Kur lpp– bāzes perimetrs;

h a– apotēms;

H- augstums;

S pilns

S pusē

S bāze– bāzes platība;

V– regulāras piramīdas tilpums.

Nocirsta piramīda sauc par piramīdas daļu, kas atrodas starp pamatni un griešanas plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnei (17. att.). Regulāra nošķelta piramīda sauc par regulāras piramīdas daļu, kas atrodas starp pamatni un griešanas plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnei.

Pamatojums nošķelta piramīda - līdzīgi daudzstūri. Sānu sejas – trapeces. Augstums nošķeltas piramīdas ir attālums starp tās pamatiem. Diagonāli nošķelta piramīda ir segments, kas savieno tās virsotnes, kas neatrodas uz vienas virsmas. Diagonālā sadaļa ir nošķeltas piramīdas posms ar plakni, kas iet cauri divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai.

Atdalītai piramīdai ir derīgas šādas formulas:

(4)

Kur S 1 , S 2 – augšējās un apakšējās pamatnes laukumi;

S pilns– kopējais virsmas laukums;

S pusē– sānu virsmas laukums;

H- augstums;

V– nošķeltas piramīdas tilpums.

Parastai saīsinātai piramīdai formula ir pareiza:

Kur lpp 1 , lpp 2 – pamatu perimetrs;

h a– regulāras nošķeltas piramīdas apotēma.

1. piemērs. Regulārā trīsstūrveida piramīdā diedrālais leņķis pie pamatnes ir 60º. Atrodiet sānu malas slīpuma leņķa pieskares pamatnes plaknei.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (18. att.).

Piramīda ir regulāra, kas nozīmē, ka tās pamatnē ir vienādmalu trīsstūris un visas sānu skaldnes ir vienādi vienādsānu trijstūri. Divšķautņu leņķis pie pamatnes ir piramīdas sānu virsmas slīpuma leņķis pret pamatnes plakni. Lineārais leņķis ir leņķis a starp diviem perpendikuliem: utt. Piramīdas virsotne tiek projicēta trijstūra centrā (trijstūra apļa centrā un ierakstītajā aplī ABC). Sānu malas slīpuma leņķis (piemēram S.B.) ir leņķis starp pašu malu un tās projekciju uz pamatnes plakni. Par ribu S.B.šis leņķis būs leņķis SBD. Lai atrastu tangensu, jums jāzina kājas SO Un O.B.. Ļaujiet segmenta garumam BD vienāds ar 3 A. Punkts PAR līnijas segments BD ir sadalīts daļās: un No mēs atrodam SO: No mēs atrodam:

Atbilde:

2. piemērs. Atrodiet regulāras nošķeltas četrstūra piramīdas tilpumu, ja tās pamatu diagonāles ir vienādas ar cm un cm un augstums ir 4 cm.

Risinājums. Lai atrastu nošķeltas piramīdas tilpumu, mēs izmantojam formulu (4). Lai atrastu pamatu laukumu, jums jāatrod pamatnes kvadrātu malas, zinot to diagonāles. Pamatu malas ir attiecīgi vienādas ar 2 cm un 8 cm Tas nozīmē pamatu laukumus un Aizvietojot visus datus formulā, mēs aprēķinām nošķeltas piramīdas tilpumu:

Atbilde: 112 cm3.

3. piemērs. Atrodiet regulāras trīsstūrveida nošķeltas piramīdas sānu malas laukumu, kuras pamatnes malas ir 10 cm un 4 cm, bet piramīdas augstums ir 2 cm.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (19. att.).

Šīs piramīdas sānu mala ir vienādsānu trapece. Lai aprēķinātu trapeces laukumu, jums jāzina pamatne un augstums. Pamatnes dotas pēc stāvokļa, tikai augstums paliek nezināms. Mēs viņu atradīsim no kurienes A 1 E perpendikulāri no punkta A 1 apakšējās pamatnes plaknē, A 1 D– perpendikulāri no A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, jo tas ir piramīdas augstums. Atrast DE Uztaisīsim papildu zīmējumu, kas parāda augšējo skatu (20. att.). Punkts PAR– augšējās un apakšējās pamatnes centru projekcija. kopš (sk. 20. att.) un No otras puses labi– rādiuss, kas ierakstīts aplī un OM– rādiuss, kas ierakstīts aplī:

MK = DE.

Saskaņā ar Pitagora teorēmu no

Sānu sejas zona:

Atbilde:

4. piemērs. Piramīdas pamatnē atrodas vienādsānu trapece, kuras pamati A Un b (a> b). Katra sānu virsma veido leņķi, kas vienāds ar piramīdas pamatnes plakni j. Atrodiet piramīdas kopējo virsmas laukumu.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (21. att.). Piramīdas kopējais virsmas laukums SABCD vienāds ar laukumu summu un trapeces laukumu ABCD.

Izmantosim apgalvojumu, ka, ja visas piramīdas skaldnes ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad virsotne tiek projicēta pamatnē ierakstītā apļa centrā. Punkts PAR– virsotņu projekcija S piramīdas pamatnē. Trīsstūris SOD ir trijstūra ortogonālā projekcija CSD līdz pamatnes plaknei. Izmantojot teorēmu par plaknes figūras ortogonālās projekcijas laukumu, mēs iegūstam:

Tāpat tas nozīmē Tādējādi problēma tika samazināta līdz trapeces laukuma atrašanai ABCD. Uzzīmēsim trapecveida formu ABCD atsevišķi (22. att.). Punkts PAR– trapecē ierakstīta apļa centrs.

Tā kā apli var ierakstīt trapecē, tad vai No Pitagora teorēmas mums ir

Šajā nodarbībā aplūkosim nošķelto piramīdu, iepazīsimies ar parasto nošķelto piramīdu un pētīsim to īpašības.

Atgādināsim n-stūra piramīdas jēdzienu, izmantojot trīsstūrveida piramīdas piemēru. Trijstūris ABC ir dots. Ārpus trijstūra plaknes tiek ņemts punkts P, kas savienots ar trijstūra virsotnēm. Iegūto daudzskaldņu virsmu sauc par piramīdu (1. att.).

Rīsi. 1. Trīsstūrveida piramīda

Griezim piramīdu ar plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnes plaknei. Starp šīm plaknēm iegūto figūru sauc par nošķelto piramīdu (2. att.).

Rīsi. 2. Nocirsta piramīda

Būtiski elementi:

Augšējā pamatne;

ABC apakšējā bāze;

Sānu seja;

Ja PH ir sākotnējās piramīdas augstums, tad tas ir nošķeltās piramīdas augstums.

Nošķeltas piramīdas īpašības izriet no tās konstruēšanas metodes, proti, no pamatu plakņu paralēlisma:

Visas nošķeltas piramīdas sānu virsmas ir trapeces. Apsveriet, piemēram, malu. Tam ir paralēlu plakņu īpašība (tā kā plaknes ir paralēlas, tās sagriež sākotnējās AVR piramīdas sānu virsmu pa paralēlām taisnēm), bet tajā pašā laikā tās nav paralēlas. Acīmredzot četrstūris ir trapecveida forma, tāpat kā visas nošķeltās piramīdas sānu virsmas.

Pamatu attiecība ir vienāda visām trapecveida formām:

Mums ir vairāki līdzīgu trīsstūru pāri ar vienādu līdzības koeficientu. Piemēram, trijstūri un RAB ir līdzīgi plakņu paralēlisma un līdzības koeficienta dēļ:

Tajā pašā laikā trijstūri un RVS ir līdzīgi ar līdzības koeficientu:

Acīmredzot līdzības koeficienti visiem trim līdzīgu trīsstūru pāriem ir vienādi, tāpēc bāzu attiecība visiem trapecveidiem ir vienāda.

Parasta nošķelta piramīda ir nošķelta piramīda, ko iegūst, nogriežot regulāru piramīdu ar plakni, kas ir paralēla pamatnei (3. att.).

Rīsi. 3. Regulāra nošķelta piramīda

Definīcija.

Piramīdu sauc par regulāru, ja tās pamats ir regulārs n-stūris un tās virsotne tiek projicēta šī n-stūra centrā (ierakstītā un ierobežotā apļa centrā).

Rīsi. 4. Regulāra četrstūraina nošķelta piramīda

Definīcija.

Nocirstas piramīdas augstums ir perpendikuls, kas novilkts no jebkura viena pamata punkta uz otrās pamatnes plakni.

Sākotnējās piramīdas apotēma ir RM (M ir AB vidus), nošķeltās piramīdas apotēma ir (4. att.).

Definīcija.

Nocirstas piramīdas apotēma ir jebkuras sānu virsmas augstums.

Ir skaidrs, ka visas nošķeltas piramīdas sānu malas ir vienādas viena ar otru, tas ir, sānu malas ir vienādas vienādsānu trapeces.

Regulāras nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no pamatu un apotēmas perimetru summas.

Pierādījums (parastai četrstūrainai nošķeltai piramīdai – 4. att.):

Tātad, mums ir jāpierāda:

Sānu virsmas laukums šeit sastāvēs no sānu virsmu laukumu summas - trapecveida. Tā kā trapeces ir vienādas, mums ir:

Vienādsānu trapeces laukums ir reizinājums ar pusi no pamatu un augstuma summas; apotēms ir trapeces augstums. Mums ir:

Q.E.D.

n-stūra piramīdai:

Kur n ir piramīdas sānu skaldņu skaits, a un b ir trapeces pamati un apotēma.

Regulāras nošķeltas četrstūra piramīdas pamatnes malas vienāds ar 3 cm un 9 cm, augstums - 4 cm. Atrodiet sānu virsmas laukumu.

Rīsi. 5. 1. problēmas ilustrācija

Risinājums. Ilustrēsim nosacījumu:

Jautāja: , ,

Rīsi. 6. Papildu konstrukcijas

Tagad ir visi elementi, lai noteiktu piramīdas sānu virsmas laukumu:

Pierādījums. Ilustrēsim:

Rīsi. 7. 2. uzdevuma ilustrācija

No trīsstūru līdzības izriet atbilstošo malu proporcionalitāte. Svarīga iezīme ir tāda, ka šo trīsstūru līdzības koeficienti ir vienādi:

Q.E.D.

Risinājums. Ilustrēsim:

Rīsi. 8. 3. uzdevuma ilustrācija

Atradīsim NM. Tas ir apļa rādiuss, kas ierakstīts pamatnē; mēs zinām atbilstošo formulu:

Tagad no taisnleņķa trīsstūra PHM, izmantojot Pitagora teorēmu, mēs atrodam RM - sākotnējās piramīdas apotēmu:

No sākotnējās attiecības:

Tagad mēs zinām visus elementus, lai atrastu nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukumu:

Bibliogrāfija

I. M. Smirnova, V. A. Smirnovs. Ģeometrija. 10.-11.klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem (pamata un specializācijas līmeņi) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnovs. - 5. izd., red. un papildu - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lpp.: ill.
Šarigins I. F. Ģeometrija. 10.-11.klase: Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 lpp.: ill.
E. V. Potoskujevs, L. I. Zvaļičs. Ģeometrija. 10. klase: Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm ar padziļinātu un specializētu matemātikas apguvi /E. V. Potoskujevs, L. I. Zvaļičs. - 6. izd., stereotips. - M.: Bustards, 2008. - 233 lpp.: ill.

Uztest.ru ().
Fmclass.ru ().
Webmath.expponenta.ru ().

Mājasdarbs