Hipotēze: mēs uzskatām, ka piramīdas formas pilnība ir saistīta ar tās formā ietvertajiem matemātikas likumiem.
Mērķis: izpētījis piramīdu kā ģeometrisku ķermeni, lai izskaidrotu tās formas pilnību.
Uzdevumi:
1. Sniedziet piramīdas matemātisko definīciju.
2. Pētīt piramīdu kā ģeometrisku ķermeni.
3. Saprast, kādas matemātiskās zināšanas ēģiptieši ielikuši savās piramīdās.
Privāti jautājumi:
1. Kas ir piramīda kā ģeometrisks ķermenis?
2. Kā matemātiski var izskaidrot piramīdas unikālo formu?
3. Kas izskaidro piramīdas ģeometriskos brīnumus?
4. Kas izskaidro piramīdas formas pilnību?
Piramīdas definīcija.
PIRAMĪDA (no grieķu piramis, ģints n. pyramidos) - daudzskaldnis, kura pamatne ir daudzstūris, bet atlikušās skaldnes ir trīsstūri ar kopīgu virsotni (figūra). Pēc pamatnes stūru skaita piramīdas ir trīsstūrveida, četrstūrveida utt.
PIRAMĪDA - monumentāla ēka ģeometriskā forma piramīdas (dažkārt arī pakāpienveida vai torņveida). Senās Ēģiptes faraonu milzu kapenes 3.-2. gadu tūkstotī pirms mūsu ēras sauc par piramīdām. e., kā arī seno amerikāņu tempļu postamenti (Meksikā, Gvatemalā, Hondurasā, Peru), kas saistīti ar kosmoloģiskajiem kultiem.
Iespējams, ka Grieķu vārds"piramīda" cēlies no ēģiptiešu izteiciena per-em-us, t.i., no termina, kas nozīmēja piramīdas augstumu. Ievērojamais krievu ēģiptologs V. Struve uzskatīja, ka grieķu “puram…j” nāk no senēģiptiešu “p”-mr”.
No vēstures. Izpētījis materiālu Atanasjana autoru mācību grāmatā "Ģeometrija". Butuzova un citi, mēs uzzinājām, ka: Daudzskaldnis, kas sastāv no n-stūra A1A2A3 ... An un n trijstūriem RA1A2, RA2A3, ..., RANA1, sauc par piramīdu. Daudzstūris A1A2A3 ... An ir piramīdas pamats, un trijstūri PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 ir sānu sejas piramīdas, P ir piramīdas virsotne, segmenti PA1, PA2,…, PAn ir sānu malas.
Tomēr šāda piramīdas definīcija ne vienmēr pastāvēja. Piemēram, sengrieķu matemātiķis, līdz mums nonākušo matemātikas teorētisko traktātu autors Eiklīds piramīdu definē kā cietu figūru, ko ierobežo plaknes, kas saplūst no vienas plaknes vienā punktā.
Bet šī definīcija ir kritizēta jau senatnē. Tāpēc Herons ierosināja šādu piramīdas definīciju: "Šī ir figūra, ko ierobežo trijstūri, kas saplūst vienā punktā un kura pamatne ir daudzstūris."
Mūsu grupa, salīdzinot šīs definīcijas, nonāca pie secinājuma, ka tajās nav skaidra jēdziena “pamats” formulējuma.
Mēs pētījām šīs definīcijas un atradām Adrienas Marijas Ledžendras definīciju, kurš 1794. gadā savā darbā “Ģeometrijas elementi” piramīdu definē šādi: “Piramīda ir ķermeņa figūra, ko veido trīsstūri, kas saplūst vienā punktā un beidzas dažādās piramīdas malās. plakana pamatne."
Mums šķiet, ka pēdējā definīcija sniedz skaidru priekšstatu par piramīdu, jo tā attiecas uz faktu, ka pamatne ir plakana. Vēl viena piramīdas definīcija parādījās 19. gadsimta mācību grāmatā: "piramīda ir ciets leņķis, ko šķērso plakne."
Piramīda kā ģeometrisks ķermenis.
Tas. Piramīda ir daudzskaldnis, kura viena no skaldnēm (pamatne) ir daudzstūris, pārējās skaldnes (malas) ir trijstūri, kuriem ir viena kopīga virsotne (piramīdas virsotne).
Tiek saukts perpendikuls, kas novilkts no piramīdas augšdaļas līdz pamatnes plaknei garšh piramīdas.
Papildus patvaļīgai piramīdai ir labā piramīda, kura pamatnē ir regulārs daudzstūris un nošķelta piramīda.
Attēlā - piramīda PABCD, ABCD - tās pamatne, PO - augstums.
apgabalā pilna virsma Piramīdu sauc par visu tās virsmu laukumu summu.
Pilns = Sside + Sbase, Kur Sside ir sānu virsmu laukumu summa.
piramīdas tilpums tiek atrasts pēc formulas:
V=1/3Sbāze h, kur Sosn. - bāzes platība h- augstums.
 |
|
Apothem ST - regulāras piramīdas sānu virsmas augstums.
Parastās piramīdas sānu virsmas laukums ir izteikts šādi: Sside. =1/2P h, kur P ir pamatnes perimetrs, h- sānu virsmas augstums (parastas piramīdas apotēma). Ja piramīdu šķērso plakne A'B'C'D' paralēli pamatnei, tad:
1) sānu malas un augstumu ar šo plakni dala proporcionālās daļās;
2) griezumā iegūts daudzstūris A'B'C'D', līdzīgi kā pamats;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">
Nošķeltas piramīdas pamati ir līdzīgi daudzstūri ABCD un A`B`C`D`, sānu malas ir trapeces.
Augstums nošķelta piramīda - attālums starp pamatnēm.
Saīsināts apjoms Piramīdu var atrast pēc formulas:
V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Parastas nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukums ir izteikts šādi: Sside. = ½(P+P') h, kur P un P’ ir pamatu perimetrs, h- sānu sejas augstums (dzīres saīsināta regulāra apotēma
Piramīdas sekcijas.
Piramīdas sekcijas ar plaknēm, kas iet cauri tās virsotnei, ir trīsstūri.
Tiek saukts posms, kas iet cauri divām piramīdas sānu malām, kas nav blakus diagonālā daļa.
Ja posms iet caur punktu sānu malā un pamatnes malā, tad šī puse būs tā pēda piramīdas pamatnes plaknē.
Sadaļa, kas iet caur punktu, kas atrodas uz piramīdas virsmas, un dota sekcijas pēda uz pamatnes plaknes, tad konstrukcija jāveic šādi:
atrodiet dotās skaldnes plaknes un piramīdas griezuma pēdas krustošanās punktu un apzīmējiet to;
izveido taisni, kas iet caur doto punktu un no tā izrietošo krustošanās punktu;
· Atkārtojiet šīs darbības nākamajām sejām.
, kas atbilst taisnleņķa trijstūra kāju attiecībai 4:3. Šī kāju attiecība atbilst labi zināmajam taisnleņķa trīsstūrim ar malām 3:4:5, ko sauc par "ideālo", "svēto" vai "Ēģiptes" trīsstūri. Pēc vēsturnieku domām, "Ēģiptes" trīsstūrim tika piešķirta maģiska nozīme. Plutarhs rakstīja, ka ēģiptieši Visuma dabu salīdzināja ar "svētu" trīsstūri; viņi simboliski pielīdzināja vertikālo kāju vīram, pamatni sievai un hipotenūzu ar to, kas ir dzimis no abiem.
Trijstūrim 3:4:5 vienādība ir patiesa: 32 + 42 = 52, kas izsaka Pitagora teorēmu. Vai tā nav šī teorēma, ko ēģiptiešu priesteri gribēja iemūžināt, uzceļot piramīdu uz trīsstūra 3:4:5 pamata? Grūti atrast vairāk labs piemērs lai ilustrētu Pitagora teorēmu, ko ēģiptieši zināja ilgi pirms Pitagora atklājuma.
Tādējādi ģeniālie radītāji Ēģiptes piramīdas centās pārsteigt attālos pēcnācējus ar savu zināšanu dziļumu, un viņi to panāca, izvēloties par "galveno ģeometrisko ideju" Heopsa piramīdai - "zelta" taisnleņķa trīsstūri un Khafre piramīdai - "svēto". " vai "Ēģiptes" trīsstūris.
Ļoti bieži savos pētījumos zinātnieki izmanto piramīdu īpašības ar Zelta sekcijas proporcijām.
Matemātikā enciklopēdiskā vārdnīca ir dota sekojoša Zelta griezuma definīcija - tas ir harmonisks dalījums, dalījums galējā un vidējā attiecībā - segmenta AB sadalīšana divās daļās tā, ka lielākā daļa no tā AC ir vidējais proporcionāls starp visu segmentu AB un tā mazākā daļa CB.
Segmenta zelta griezuma algebriskais atradums AB = a reducē līdz vienādojuma a atrisināšanai: x = x: (a - x), kur x ir aptuveni vienāds ar 0,62a. Attiecību x var izteikt kā daļskaitļus 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, kur 2, 3, 5, 8, 13, 21 ir Fibonači skaitļi.
Segmenta AB zelta griezuma ģeometriskā konstrukcija tiek veikta šādi: punktā B tiek atjaunots perpendikuls pret AB, uz tā tiek uzlikts segments BE \u003d 1/2 AB, A un E ir savienoti, DE \ u003d BE tiek atlikta un, visbeidzot, AC \u003d AD, tad ir izpildīta vienādība AB: CB = 2: 3.
Zelta griezumu bieži izmanto mākslas darbos, arhitektūrā un dabā. Spilgti piemēri ir Apollo Belvederes skulptūra, Partenons. Partenona būvniecības laikā tika izmantota ēkas augstuma attiecība pret tās garumu un šī attiecība ir 0,618. Apkārtējie objekti sniedz arī zelta koeficienta piemērus, piemēram, daudzu grāmatu iesējumos platuma un garuma attiecība ir tuvu 0,618. Ņemot vērā lapu izvietojumu uz kopēja augu stumbra, var pamanīt, ka starp katriem diviem lapu pāriem Zelta koeficienta (slaidu) vietā atrodas trešā. Katrs no mums “nēsā” Zelta koeficientu ar mums “rokās” - tā ir pirkstu falangu attiecība.
Pateicoties vairāku matemātisko papirusu atklāšanai, ēģiptologi ir kaut ko uzzinājuši par seno ēģiptiešu aprēķinu un mēru sistēmām. Tajos ietvertos uzdevumus risināja rakstu mācītāji. Viens no slavenākajiem ir Rhind matemātiskais papiruss. Pētot šīs mīklas, ēģiptologi uzzināja, kā senie ēģiptieši tika galā ar tiem dažādi daudzumi kas radās, aprēķinot svara, garuma un tilpuma mērus, kuros bieži izmantoja frakcijas, kā arī to, kā tās tika apstrādātas ar leņķiem.
Senie ēģiptieši izmantoja leņķu aprēķināšanas metodi, pamatojoties uz taisnleņķa trijstūra augstuma un pamatnes attiecību. Viņi izteica jebkuru leņķi gradienta valodā. Slīpuma gradients tika izteikts kā vesela skaitļa attiecība, ko sauca par "seked". Ričards Pillins grāmatā Matemātika faraonu laikos skaidro: “Regulāras piramīdas seked ir jebkuras no četrām trīsstūrveida skaldnēm slīpums pret pamatnes plakni, ko mēra ar n-to horizontālo vienību skaitu uz vertikālo augstuma vienību. . Tādējādi šī mērvienība ir līdzvērtīga mūsu mūsdienu slīpuma leņķa kotangensam. Tāpēc ēģiptiešu vārds "seked" ir saistīts ar mūsu mūsdienu vārdu "gradients".
Piramīdu ciparu atslēga slēpjas to augstuma attiecībā pret pamatni. Praktiski tas ir vienkāršākais veids, kā izveidot veidnes, kas nepieciešamas, lai piramīdas konstrukcijas laikā pastāvīgi pārbaudītu pareizo slīpuma leņķi.
Ēģiptologi labprāt mūs pārliecinātu, ka katrs faraons ļoti vēlējies paust savu individualitāti, tāpēc arī katras piramīdas slīpuma leņķi atšķiras. Bet var būt cits iemesls. Varbūt viņi visi gribēja iemiesot dažādas simboliskas asociācijas, kas slēptas dažādās proporcijās. Tomēr Hafres piramīdas leņķis (pamatojoties uz trīsstūri (3:4:5)) parādās trijās problēmās, ko uzrāda Rhind matemātiskā papirusa piramīdas. Tātad šī attieksme bija labi zināma senajiem ēģiptiešiem.
Lai būtu godīgi pret ēģiptologiem, kuri apgalvo, ka senie ēģiptieši nezināja trīsstūri 3:4:5, pieņemsim, ka 5. hipotenūzas garums nekad netika minēts. Bet matemātikas uzdevumi, kas attiecas uz piramīdām, vienmēr tiek atrisinātas, pamatojoties uz slīpuma leņķi - augstuma attiecību pret pamatni. Tā kā hipotenūzas garums nekad netika minēts, tika secināts, ka ēģiptieši nekad nav aprēķinājuši trešās puses garumu.
Gīzas piramīdās izmantotās augstuma un pamatnes attiecības, bez šaubām, zināja senie ēģiptieši. Iespējams, ka šīs attiecības katrai piramīdai tika izvēlētas patvaļīgi. Tomēr tas ir pretrunā ar nozīmi, kas piešķirta skaitliskajai simbolikai visu veidu ēģiptiešu valodā vizuālās mākslas. Ļoti iespējams, ka šādām attiecībām bija liela nozīme, jo tās pauda konkrētas reliģiskas idejas. Citiem vārdiem sakot, viss Gizas komplekss tika pakļauts saskaņotam dizainam, kas paredzēts, lai atspoguļotu kādu dievišķu tēmu. Tas izskaidro, kāpēc dizaineri izvēlējās dažādus leņķus trim piramīdām.
Grāmatā "Oriona noslēpums" Bauvals un Gilberts sniedza pārliecinošus pierādījumus par Gīzas piramīdu saistību ar Oriona zvaigznāju, jo īpaši ar Oriona jostas zvaigznēm. Tas pats zvaigznājs ir sastopams mītā par Izīdu un Ozīrisu, un ir iemesls uzskatīt katru piramīdu par vienu no trim galvenajām dievībām - Ozīrisu, Izīdu un Horu - attēlu.
BRĪNUMI "ĢEOMETRISKA".
Starp grandiozajām Ēģiptes piramīdām īpašu vietu ieņem Lielā faraona Heopsa piramīda (Khufu). Pirms turpināt Heopsa piramīdas formas un izmēra analīzi, jāatceras, kādu mēru sistēmu izmantoja ēģiptieši. Ēģiptiešiem bija trīs garuma vienības: "olektis" (466 mm), kas vienāds ar septiņām "plaukstām" (66,5 mm), kas, savukārt, bija vienāds ar četriem "pirkstiem" (16,6 mm).
Analizēsim Heopsa piramīdas izmērus (2. att.), ievērojot ukraiņu zinātnieka Nikolaja Vasjutinska brīnišķīgajā grāmatā "Zelta proporcija" (1990) sniegto argumentāciju.
Lielākā daļa pētnieku piekrīt, ka piramīdas pamatnes malas garums, piemēram, GF ir vienāds ar L\u003d 233,16 m. Šī vērtība gandrīz precīzi atbilst 500 "ekti". Pilnīga atbilstība 500 "ektim" būs tad, ja uzskatīs, ka "olektis" garums ir vienāds ar 0,4663 m.
Piramīdas augstums ( H) pētnieki lēš atšķirīgi no 146,6 līdz 148,2 m Un atkarībā no pieņemtā piramīdas augstuma mainās visas tās ģeometrisko elementu attiecības. Kāds ir iemesls atšķirībām piramīdas augstuma novērtējumā? Fakts ir tāds, ka, stingri ņemot, Heopsa piramīda ir saīsināta. Tās augšējās platformas izmērs šodien ir aptuveni 10 × 10 m, bet pirms gadsimta tā bija 6 × 6 m. Ir acīmredzams, ka piramīdas virsotne tika demontēta, un tā neatbilst oriģinālajai.
Novērtējot piramīdas augstumu, jāņem vērā tāds fiziskais faktors kā konstrukcijas "melnraksts". Aiz muguras ilgu laiku kolosāla spiediena ietekmē (sasniedzot 500 tonnas uz 1 m2 apakšējās virsmas) piramīdas augstums samazinājās, salīdzinot ar tās sākotnējo augstumu.
Kāds bija piramīdas sākotnējais augstums? Šo augstumu var atjaunot, ja atrodat piramīdas pamata "ģeometrisko ideju".
2. attēls.
1837. gadā angļu pulkvedis G. Wise izmērīja piramīdas šķautņu slīpuma leņķi: izrādījās, ka tas ir vienāds ar a= 51°51". Šo vērtību joprojām atzīst lielākā daļa pētnieku arī mūsdienās. Norādītā leņķa vērtība atbilst pieskarei (tg a) vienāds ar 1,27306. Šī vērtība atbilst piramīdas augstuma attiecībai AU līdz pusei no tās pamatnes CB(2. att.), t.i. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.
Un šeit pētniekus gaidīja liels pārsteigums!.png" width="25" height="24">= 1,272. Salīdzinot šo vērtību ar tg vērtību a= 1,27306, mēs redzam, ka šīs vērtības ir ļoti tuvas viena otrai. Ja ņemam leņķi a\u003d 51 ° 50", tas ir, lai to samazinātu tikai par vienu loka minūti, tad vērtība a kļūs vienāds ar 1,272, tas ir, tas sakritīs ar vērtību . Jāpiebilst, ka 1840. gadā G. Wise atkārtoja savus mērījumus un noskaidroja, ka leņķa vērtība a=51°50".
Šie mērījumi lika pētniekiem izvirzīt šādu ļoti interesantu hipotēzi: Heopsa piramīdas trīsstūris ASV tika balstīts uz sakarību AC / CB = = 1,272!
Apsveriet tagad taisnleņķa trīsstūri ABC, kurā kāju attiecība AC / CB= (2. att.). Ja tagad taisnstūra malu garumi ABC apzīmē ar x, y, z, kā arī jāņem vērā, ka attiecība y/x= , tad saskaņā ar Pitagora teorēmu garums z var aprēķināt pēc formulas:
Ja pieņem x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">
3. attēls"Zelta" taisnleņķa trīsstūris.
Taisnstūra trīsstūris, kura malas ir saistītas kā t:zelta" taisnleņķa trīsstūris.
Tad, ja par pamatu ņemam hipotēzi, ka galvenā Heopsa piramīdas "ģeometriskā ideja" ir "zelta" taisnleņķa trīsstūris, tad no šejienes ir viegli aprēķināt Heopsa piramīdas "dizaina" augstumu. Tas ir vienāds ar:
H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.
Tagad atvasināsim dažas citas Heopsa piramīdas attiecības, kas izriet no "zelta" hipotēzes. Jo īpaši mēs atrodam piramīdas ārējā laukuma attiecību pret tās pamatnes laukumu. Lai to izdarītu, mēs ņemam kājas garumu CB uz vienību, tas ir: CB= 1. Bet tad piramīdas pamatnes malas garums GF= 2 un pamatnes laukums EFGH būs vienāds ar SEFGH = 4.
Tagad aprēķināsim Heopsa piramīdas sānu virsmas laukumu SD. Tā kā augstums AB trīsstūris AEF ir vienāds ar t, tad sānu virsmas laukums būs vienāds ar SD = t. Tad visu četru piramīdas sānu virsmu kopējais laukums būs vienāds ar 4 t, un piramīdas kopējā ārējā laukuma attiecība pret pamatnes laukumu būs vienāda ar zelta griezumu! Tā tas ir - Heopsa piramīdas galvenais ģeometriskais noslēpums!
Heopsa piramīdas "ģeometrisko brīnumu" grupa ietver reālās un izdomātās attiecības starp dažādām piramīdas dimensijām.
Parasti tos iegūst, meklējot kādu "konstanti", jo īpaši skaitli "pi" (Lūdolfa skaitlis), kas vienāds ar 3,14159...; naturālo logaritmu bāzes "e" (Napjē skaitlis), kas vienādas ar 2,71828...; skaitlis "F", "zelta sekcijas" numurs, vienāds, piemēram, 0,618 ... utt.
Varat nosaukt, piemēram: 1) Hērodota īpašums: (Augstums) 2 \u003d 0,5 st. galvenais x Apotēms; 2) Īpašums V. Cena: Augstums: 0,5 st. osn \u003d Kvadrātsakne no "Ф"; 3) M. Eista īpašums: Pamatnes perimetrs: 2 Augstums = "Pi"; citā interpretācijā - 2 ēd.k. galvenais : Augstums = "Pi"; 4) G. Rēbera īpašība: Ierakstītā apļa rādiuss: 0,5 st. galvenais = "F"; 5) K. Klepiša īpašums: (St. Main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. Main. W. Apothem) \u003d 2 (st. Main. x Apothem) : (( 2. galvenā X Apothem) + (st. galvenā) 2). utt. Jūs varat izdomāt daudz šādu īpašību, it īpaši, ja savienojat divas blakus esošās piramīdas. Piemēram, kā "A. Arefjeva īpašības" var minēt, ka starpība starp Heopsa piramīdas un Hafres piramīdas tilpumiem ir vienāda ar divreiz lielāku Menkaures piramīdas tilpumu...
Daudzi interesantas pozīcijas, jo īpaši par piramīdu būvniecību saskaņā ar "zelta griezumu" ir aprakstītas D. Hembidžas grāmatās "Dinamiska simetrija arhitektūrā" un M. Gīka "Proporcionalitātes estētika dabā un mākslā". Atgādinām, ka "zelta griezums" ir segmenta dalījums šādā proporcijā, kad daļa A ir tik reižu lielāka par daļu B, cik reižu A ir mazāka par visu segmentu A + B. Attiecība A / B ir vienāds ar skaitli "Ф" == 1,618. .. "Zelta griezuma" izmantošana norādīta ne tikai atsevišķās piramīdās, bet visā piramīdu kompleksā Gīzā.
Tomēr pats kuriozākais ir tas, ka viena un tā pati Heopsa piramīda vienkārši "nevar saturēt" tik daudz brīnišķīgu īpašību. Paņemot kādu konkrētu īpašumu pa vienam, var to "pieregulēt", bet visi uzreiz neder - nesakrīt, ir pretrunā viens otram. Tāpēc, ja, piemēram, pārbaudot visas īpašības, sākotnēji tiek ņemta viena un tā pati piramīdas pamatnes mala (233 m), tad arī piramīdu augstumi ar dažādām īpašībām būs atšķirīgi. Citiem vārdiem sakot, pastāv noteikta piramīdu "ģimene", kas ārēji līdzīga Heopsam, bet atbilst dažādas īpašības. Ņemiet vērā, ka "ģeometriskajās" īpašībās nav nekā īpaši brīnišķīga - daudz kas rodas tīri automātiski, no pašas figūras īpašībām. Par "brīnumu" jāuzskata tikai kaut kas acīmredzami neiespējams senajiem ēģiptiešiem. Tas jo īpaši ietver "kosmiskos" brīnumus, kuros Heopsa piramīdas vai Gīzas piramīdas kompleksa mērījumi tiek salīdzināti ar dažiem astronomiskiem mērījumiem un norādīti "pāra" skaitļi: miljons reižu, miljards reižu mazāk utt. . Apskatīsim dažas "kosmiskās" attiecības.
Viens no apgalvojumiem ir šāds: "ja dalām piramīdas pamatnes malu ar precīzu gada garumu, mēs iegūstam tieši 10 miljono daļu no zemes ass." Aprēķiniet: sadaliet 233 ar 365, iegūstam 0,638. Zemes rādiuss ir 6378 km.
Cits apgalvojums patiesībā ir pretējs iepriekšējam. F. Noetlings norādīja, ka, ja izmantos viņa izgudroto "Ēģiptes elkoni", tad piramīdas mala atbildīs "visprecīzākajam Saules gada ilgumam, kas izteikts ar dienas miljarddaļu" - 365.540.903.777. .
P. Smita apgalvojums: "Piramīdas augstums ir tieši viena miljardā daļa no attāluma no Zemes līdz Saulei." Lai gan parasti tiek ņemts augstums 146,6 m, Smits to uztvēra kā 148,2 m.Pēc mūsdienu radara mērījumiem Zemes orbītas puslielākā ass ir 149 597 870 + 1,6 km. Tas ir vidējais attālums no Zemes līdz Saulei, bet perihēlijā tas ir par 5 000 000 kilometru mazāks nekā afēlijā.
Pēdējais ziņkārīgais paziņojums:
"Kā izskaidrot, ka Heopsa, Khafres un Menkaures piramīdu masas ir saistītas viena ar otru, tāpat kā planētu Zeme, Venera, Marss masas?" Aprēķināsim. Trīs piramīdu masas ir saistītas šādi: Khafre - 0,835; Cheops - 1000; Mikerīns - 0,0915. Trīs planētu masu attiecības: Venēra - 0,815; Zeme - 1000; Marss - 0,108.
Tātad, neskatoties uz skepsi, atzīmēsim labi zināmo apgalvojumu uzbūves saskaņu: 1) piramīdas augstums, kā līnija "iet kosmosā" - atbilst attālumam no Zemes līdz Saulei; 2) piramīdas pamatnes puse, kas ir vistuvāk "substrātam", tas ir, Zemei, ir atbildīga par zemes rādiusu un zemes cirkulāciju; 3) piramīdas tilpumi (lasi - masas) atbilst Zemei tuvāko planētu masu attiecībai. Līdzīgu "šifru" var izsekot, piemēram, bišu valodā, ko analizējis Kārlis fon Frišs. Tomēr mēs pagaidām atturamies to komentēt.
PIRAMĪDU FORMA
Slavenā piramīdu tetraedriskā forma neparādījās uzreiz. Skiti apbedījumus veidoja zemes pauguru - ķerru veidā. Ēģiptieši no akmens cēla “pakalnus” – piramīdas. Pirmo reizi tas notika pēc Augšēģiptes un Lejasēģiptes apvienošanās, 28. gadsimtā pirms mūsu ēras, kad III dinastijas dibinātājs faraons Džosers (Zosers) saskārās ar uzdevumu stiprināt valsts vienotību.
Un šeit, pēc vēsturnieku domām, svarīga loma stiprināšanā centrālā valdība spēlēja karaļa "jaunu dievišķošanas koncepciju". Lai arī karaliskie apbedījumi izcēlās ar lielāku krāšņumu, tie principā neatšķīrās no galma muižnieku kapiem, tie bija vienas un tās pašas būves – mastabas. Virs kameras ar sarkofāgu, kurā atradās mūmija, tika uzbērts taisnstūra formas uzkalniņš no maziem akmeņiem, kur tas tika novietots. neliela ēka no lieliem akmens bluķiem - "mastaba" (arābu valodā - "sols"). Sava priekšgājēja Sanakhtas mastaba vietā faraons Džosers uzcēla pirmo piramīdu. Tas bija pakāpiens un bija redzams pārejas posms no vienas arhitektūras formas uz otru, no mastabas uz piramīdu.
Tādā veidā faraonu "izaudzināja" gudrais un arhitekts Imhoteps, kuru vēlāk uzskatīja par burvi un grieķi identificēja ar dievu Asklēpiju. Likās, ka pēc kārtas būtu uzceltas sešas mastabas. Turklāt pirmā piramīda aizņēma 1125 x 115 metrus lielu platību, un tās augstums bija 66 metri (pēc Ēģiptes mēriem - 1000 "plaukstu"). Sākumā arhitekts plānoja uzbūvēt mastabu, taču nevis iegarenu, bet kvadrātveida plānojumā. Vēlāk to paplašināja, bet, tā kā pagarinājumu taisīja zemāku, izveidojās it kā divi pakāpieni.
Šāda situācija arhitektu neapmierināja, un uz milzīgas plakanas mastabas augšējās platformas Imhoteps novietoja vēl trīs, pakāpeniski samazinoties uz augšu. Kaps atradās zem piramīdas.
Ir zināmas vēl vairākas pakāpju piramīdas, bet vēlāk celtnieki pārgāja uz pazīstamāku tetraedrisku piramīdu būvniecību. Kāpēc tomēr ne trīsstūrveida vai, teiksim, astoņstūrains? Netiešu atbildi sniedz fakts, ka gandrīz visas piramīdas ir lieliski orientētas uz četriem galvenajiem punktiem, un tāpēc tām ir četras malas. Turklāt piramīda bija "māja", četrstūrainas apbedīšanas kameras apvalks.
Bet kas izraisīja seju slīpuma leņķi? Grāmatā "Proporciju princips" tam ir veltīta vesela nodaļa: "Kas varētu noteikt piramīdu leņķus." Jo īpaši ir norādīts, ka "attēls, uz kuru tiecas lielās piramīdas senā valstība- trīsstūris ar taisnu leņķi virsotnē.
Kosmosā tas ir daļēji oktaedrs: piramīda, kurā pamatnes malas un malas ir vienādas, skaldnes ir vienādmalu trīsstūri.Atsevišķi apsvērumi par šo tēmu ir sniegti Hembidža, Gīka un citās grāmatās.
Kāda ir pusoktaedra leņķa priekšrocība? Saskaņā ar arheologu un vēsturnieku aprakstiem dažas piramīdas sabruka zem sava svara. Bija vajadzīgs "izturības leņķis", enerģētiski visuzticamākais leņķis. Tīri empīriski šo leņķi var ņemt no virsotnes leņķa drūpošu sausu smilšu kaudzē. Bet, lai iegūtu precīzus datus, jums ir jāizmanto modelis. Paņemot četras stingri fiksētas bumbiņas, uz tām jāuzliek piektā un jāizmēra slīpuma leņķi. Tomēr šeit jūs varat kļūdīties, tāpēc teorētiskais aprēķins palīdz: jums vajadzētu savienot bumbiņu centrus ar līnijām (garīgi). Pamatnē jūs iegūstat kvadrātu, kura mala ir divreiz lielāka par rādiusu. Kvadrāts būs tikai piramīdas pamatne, kuras malu garums arī būs vienāds ar divkāršu rādiusu.
Tādējādi blīvs 1:4 tipa lodīšu iepakojums mums iegūs regulāru pusoktaedru.
Tomēr kāpēc daudzas piramīdas, kas tiecas uz līdzīgu formu, tomēr to nesaglabā? Droši vien piramīdas noveco. Pretēji slavenajam teicienam:
"Viss pasaulē baidās no laika, un laiks baidās no piramīdām", piramīdu ēkām ir jānoveco, tajās var un jānotiek ne tikai ārējiem laikapstākļiem, bet arī iekšējiem "sarukšanas" procesiem, no kuriem piramīdas var kļūt zemākas. Saraušanās iespējama arī tāpēc, ka, kā noskaidroja D. Davidovica darbi, senie ēģiptieši izmantoja tehnoloģiju, lai izgatavotu blokus no kaļķu skaidām, citiem vārdiem sakot, no "betona". Tieši šie procesi varētu izskaidrot Medum piramīdas, kas atrodas 50 km uz dienvidiem no Kairas, iznīcināšanas iemeslu. Tā ir 4600 gadus veca, pamatnes izmēri 146 x 146 m, augstums 118 m. “Kāpēc tas ir tik sakropļots?” jautā V. Zamarovskis, “Parastās atsauces uz laika postošo ietekmi un “akmens izmantošanu citām ēkām” šeit neder.
Galu galā lielākā daļa tās bloku un apšuvuma plātņu ir palikušas savās vietās līdz mūsdienām, tās pakājē esošajās drupās. "Kā mēs redzēsim, vairāki nosacījumi liek domāt, ka arī slavenā Heopsa piramīda ir "sarukusi". Jebkurā gadījumā uz visiem senajiem attēliem piramīdas ir smailas ...
Piramīdu formu varētu radīt arī imitācija: daži dabiski raksti, "brīnumaina pilnība", teiksim, daži kristāli oktaedra formā.
Šādi kristāli varētu būt dimanta un zelta kristāli. Raksturīgs ar lielu skaitu "krustojošu" zīmju tādiem jēdzieniem kā faraons, saule, zelts, dimants. Visur – cēli, izcili (izcili), lieliski, nevainojami un tā tālāk. Līdzības nav nejaušas.
Saules kults, kā jūs zināt, bija svarīga reliģijas sastāvdaļa. senā Ēģipte. "Lai kā mēs tulkotu dižākās piramīdas nosaukumu, - tas ir atzīmēts vienā no mūsdienu rokasgrāmatām - "Sky Khufu" vai "Sky Khufu", tas nozīmēja, ka karalis ir saule. Ja Khufu sava spēka spožumā iedomājās sevi par otro sauli, tad viņa dēls Jedef-Ra kļuva par pirmo no Ēģiptes karaļiem, kurš sāka saukt sevi par "Ra dēlu", tas ir, par dēlu Sv. Sauli gandrīz visas tautas simbolizēja kā "saules metālu", zeltu. "Lielais spoža zelta disks" - tā ēģiptieši sauca mūsu dienasgaismu. Ēģiptieši ļoti labi pazina zeltu, zināja tā dzimtās formas, kur zelta kristāli var parādīties oktaedru veidā.
Kā "formu paraugs" šeit interesants ir arī "saules akmens" - dimants. Dimanta nosaukums cēlies tikko no arābu pasaules, "almas" - cietākais, cietākais, neiznīcināmais. Senie ēģiptieši pazina dimantu, un tā īpašības ir diezgan labas. Pēc dažu autoru domām, viņi pat izmantoja bronzas caurules ar dimanta griezējiem urbšanai.
Pašlaik galvenais dimantu piegādātājs ir Dienvidāfrika, bet Rietumāfrika ir arī bagāta ar dimantiem. Mali Republikas teritoriju tur pat sauc par "Dimantu zemi". Tikmēr tieši Mali teritorijā dzīvo dogons, ar kuru paleovīta hipotēzes atbalstītāji saista daudz cerību (skatīt zemāk). Dimanti nevarēja būt par iemeslu seno ēģiptiešu kontaktiem ar šo reģionu. Tomēr tā vai citādi, iespējams, ka tieši ar dimanta un zelta kristālu oktaedru kopēšanu senie ēģiptieši dievināja faraonus, “neiznīcināmus” kā dimants un “izcilus” kā zeltu, salīdzināmos Saules dēlus. tikai ar brīnišķīgākajiem dabas darinājumiem.
Secinājums:
Izpētījuši piramīdu kā ģeometrisku ķermeni, iepazīstoties ar tās elementiem un īpašībām, pārliecinājāmies par viedokļa pamatotību par piramīdas formas skaistumu.
Pētījuma rezultātā nonācām pie secinājuma, ka ēģiptieši, savākuši visvērtīgākās matemātiskās zināšanas, tās iemiesoja piramīdā. Tāpēc piramīda patiešām ir vispilnīgākais dabas un cilvēka veidojums.
BIBLIOGRĀFIJA
"Ģeometrija: Proc. 7-9 šūnām. vispārējā izglītība iestādes \ uc - 9. izdevums - M .: Izglītība, 1999
Matemātikas vēsture skolā, M: "Apgaismība", 1982
Ģeometrijas klase 10-11, M: "Apgaismība", 2000.g
Pīters Tompkinss "Noslēpumi" liela piramīda Cheops", M: "Tsentropoligraf", 2005
Interneta resursi
http://veka-i-mig. *****/
http://tambovs. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
Definīcija. Sānu seja- tas ir trīsstūris, kurā viens leņķis atrodas piramīdas augšpusē, un tā pretējā puse sakrīt ar pamatnes (daudzstūra) malu.
Definīcija. Sānu ribas ir sānu virsmu kopīgās puses. Piramīdai ir tik daudz malu, cik daudzstūra stūru.
Definīcija. piramīdas augstums ir perpendikuls, kas nomests no piramīdas augšas uz pamatni.
Definīcija. Apotēma- tas ir piramīdas sānu virsmas perpendikuls, kas nolaists no piramīdas augšas uz pamatnes pusi.
Definīcija. Diagonālā sadaļa- tas ir piramīdas posms ar plakni, kas iet caur piramīdas augšdaļu un pamatnes diagonāli.
Definīcija. Pareiza piramīda- Šī ir piramīda, kuras pamatne ir regulārs daudzstūris, un augstums nolaižas līdz pamatnes centram.
Piramīdas tilpums un virsmas laukums
Formula. piramīdas tilpums caur pamatnes laukumu un augstumu:
piramīdas īpašības
Ja visas sānu malas ir vienādas, tad ap piramīdas pamatni var norobežot apli, un pamatnes centrs sakrīt ar apļa centru. Arī no augšas nomestais perpendikuls iet caur pamatnes (apļa) centru.
Ja visas sānu malas ir vienādas, tad tās ir slīpas pret apakšā esošās pamatnes plakni tie paši leņķi.
Sānu ribas ir vienādas, ja tās veido vienādus leņķus ar pamatplakni vai ja ap piramīdas pamatni var aprakstīt apli.
Ja sānu malas ir slīpi pret pamatnes plakni vienā leņķī, tad piramīdas pamatnē var ierakstīt apli, un piramīdas virsotne tiek projicēta tās centrā.
Ja sānu virsmas ir vienā leņķī slīpas pret pamatplakni, tad sānu virsmu apotēmas ir vienādas.
Regulāras piramīdas īpašības
1. Piramīdas virsotne atrodas vienādā attālumā no visiem pamatnes stūriem.
2. Visas sānu malas ir vienādas.
3. Visas sānu ribas ir noliektas vienādos leņķos pret pamatni.
4. Visu sānu skaldņu apotēmas ir vienādas.
5. Visu sānu virsmu laukumi ir vienādi.
6. Visām skaldnēm ir vienādi divskaldņu (plakanie) leņķi.
7. Ap piramīdu var aprakstīt sfēru. Aprakstītās sfēras centrs būs to perpendikulu krustpunkts, kas iet cauri malu vidusdaļai.
8. Piramīdā var ierakstīt lodi. Ierakstītās sfēras centrs būs bisektoru krustpunkts, kas izplūst no leņķa starp malu un pamatni.
9. Ja ierakstītās sfēras centrs sakrīt ar norobežotās sfēras centru, tad plakano leņķu summa virsotnē ir vienāda ar π vai otrādi, viens leņķis ir vienāds ar π / n, kur n ir skaitlis leņķi piramīdas pamatnē.
Piramīdas savienojums ar sfēru
Ap piramīdu var aprakstīt sfēru, kad piramīdas pamatnē atrodas daudzskaldnis, ap kuru var aprakstīt apli (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Sfēras centrs būs plakņu krustpunkts, kas iet perpendikulāri caur piramīdas sānu malu viduspunktiem.
Sfēru vienmēr var aprakstīt ap jebkuru trīsstūrveida vai regulāru piramīdu.
Piramīdā var ierakstīt lodi, ja piramīdas iekšējo divskaldņu leņķu bisektoru plaknes krustojas vienā punktā (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Šis punkts būs sfēras centrs.
Piramīdas savienojums ar konusu
Konusu sauc par ierakstītu piramīdā, ja to virsotnes sakrīt un konusa pamatne ir ierakstīta piramīdas pamatnē.
Piramīdā var ierakstīt konusu, ja piramīdas apotēmas ir vienādas.
Tiek uzskatīts, ka konuss ir norobežots ap piramīdu, ja to virsotnes sakrīt, un konusa pamatne ir norobežota ap piramīdas pamatni.
Konusu var aprakstīt ap piramīdu, ja visas piramīdas sānu malas ir vienādas viena ar otru.
Piramīdas savienojums ar cilindru
Piramīdu sauc par ierakstītu cilindrā, ja piramīdas virsotne atrodas uz vienas cilindra pamatnes, bet piramīdas pamatne ir ierakstīta citā cilindra pamatnē.
Cilindru var apvilkt ap piramīdu, ja ap piramīdas pamatni var apvilkt apli.
Tetraedram ir četras skaldnes un četras virsotnes un sešas malas, kur jebkurām divām malām nav kopīgu virsotņu, bet tās nesaskaras.
Katra virsotne sastāv no trīs veidojošām virsmām un malām trīsstūrveida leņķis.
Tiek saukts segments, kas savieno tetraedra virsotni ar pretējās skaldnes centru tetraedra mediāna(GM).
Bimediāns sauc par segmentu, kas savieno pretējo malu viduspunktus, kas nesaskaras (KL).
Visas tetraedra bimediānas un mediānas krustojas vienā punktā (S). Šajā gadījumā bimediānus sadala uz pusēm, bet mediānas proporcijā 3:1, sākot no augšas.
Definīcija. Akūta leņķa piramīda ir piramīda, kurā apotēma ir vairāk nekā puse no pamatnes malas garuma.
Definīcija. stulba piramīda ir piramīda, kurā apotēma ir mazāka par pusi no pamatnes malas garuma.
Definīcija. regulārs tetraedrs Tetraedrs, kura četras skaldnes ir vienādmalu trīsstūri. Tas ir viens no pieciem regulāriem daudzstūriem. Regulārā tetraedrā visi divskaldņu leņķi (starp skaldnēm) un trīsstūrveida leņķi (virsotnē) ir vienādi.
Definīcija. Taisnstūra tetraedrs sauc par tetraedru, kuram virsotnē ir taisns leņķis starp trim malām (malas ir perpendikulāras). Izveidojas trīs sejas taisnstūra trīsstūrveida leņķis un skaldnes ir taisnleņķa trīsstūri, un pamatne ir patvaļīgs trīsstūris. Jebkuras sejas apotēma ir vienāda ar pusi no pamatnes malas, uz kuras apotēma nokrīt.
Definīcija. Izoedrisks tetraedrs Tiek saukts tetraedrs, kura sānu malas ir vienādas viena ar otru, un pamatne ir regulārs trīsstūris. Šāda tetraedra skaldnes ir vienādsānu trīsstūri.
Definīcija. Ortocentrisks tetraedrs sauc par tetraedru, kurā visi augstumi (perpendikuli), kas ir nolaisti no augšas uz pretējo seju, krustojas vienā punktā.
Definīcija. zvaigžņu piramīda Tiek saukts daudzskaldnis, kura pamats ir zvaigzne.
Šī video apmācība palīdzēs lietotājiem gūt priekšstatu par piramīdas tēmu. Pareiza piramīda. Šajā nodarbībā mēs iepazīsimies ar piramīdas jēdzienu, sniegsim tam definīciju. Apsveriet, kas ir parastā piramīda un kādas īpašības tai piemīt. Tad pierādām teorēmu par regulāras piramīdas sānu virsmu.
Šajā nodarbībā mēs iepazīsimies ar piramīdas jēdzienu, sniegsim tam definīciju.
Apsveriet daudzstūri A 1 A 2...A n, kas atrodas plaknē α, un punkts P, kas neatrodas plaknē α (1. att.). Savienosim punktu P ar virsotnēm A 1, A 2, A 3, … A n. gūt n trīsstūri: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R un tā tālāk.
Definīcija. Daudzskaldnis RA 1 A 2 ... A n, sastāv no n-gon A 1 A 2...A n Un n trijstūri RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , zvanīja n- ogļu piramīda. Rīsi. 1.
Rīsi. 1
Apsveriet četrstūrveida piramīdu PABCD(2. att.).
R- piramīdas virsotne.
ABCD- piramīdas pamats.
RA- sānu riba.
AB- pamatnes mala.
No punkta R nomest perpendikulu RN uz zemes plaknes ABCD. Novilktais perpendikuls ir piramīdas augstums.
Rīsi. 2
Piramīdas kopējo virsmu veido sānu virsma, tas ir, visu sānu virsmu laukums un pamatnes laukums:
S pilna \u003d S puse + S galvenais
Piramīdu sauc par pareizu, ja:
- tā pamatne ir regulārs daudzstūris;
- segments, kas savieno piramīdas virsotni ar pamatnes centru, ir tās augstums.
Paskaidrojums par regulāras četrstūra piramīdas piemēru
Apsveriet regulāru četrstūra piramīdu PABCD(3. att.).
R- piramīdas virsotne. piramīdas pamats ABCD- regulārs četrstūris, tas ir, kvadrāts. Punkts PAR, diagonāļu krustpunkts, ir kvadrāta centrs. nozīmē, RO ir piramīdas augstums.
Rīsi. 3
Paskaidrojums: labajā pusē n-gon, ierakstītā apļa centrs un ierobežotā apļa centrs sakrīt. Šo centru sauc par daudzstūra centru. Dažreiz viņi saka, ka augšdaļa tiek projicēta centrā.
Tiek saukts regulāras piramīdas sānu virsmas augstums, kas vilkts no tās augšdaļas apotēma un apzīmēts h a.
1. regulāras piramīdas visas sānu malas ir vienādas;
2. sānu skaldnes ir vienādi vienādsānu trijstūri.
Pierādīsim šīs īpašības, izmantojot regulāras četrstūra piramīdas piemēru.
Ņemot vērā: RABSD- pareizi četrstūra piramīda,
ABCD- kvadrāts,
RO ir piramīdas augstums.
Pierādīt:
1. RA = PB = PC = PD
2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Skatīt att. 4.
Rīsi. 4
Pierādījums.
RO ir piramīdas augstums. Tas ir, taisni RO perpendikulāri plaknei ABC un līdz ar to tieši AO, VO, SO Un DO guļot tajā. Tātad trīsstūri ROA, ROV, ROS, ROD- taisnstūrveida.
Apsveriet kvadrātu ABCD. No kvadrāta īpašībām izriet, ka AO = BO = CO = DO.
Tad taisnie trīsstūri ROA, ROV, ROS, ROD kāju RO- vispārīgi un kājas AO, VO, SO Un DO vienādi, tāpēc šie trīsstūri ir vienādi divās kājās. No trīsstūru vienādības izriet segmentu vienādība, RA = PB = PC = PD. 1. punkts ir pierādīts.
Segmenti AB Un Sv ir vienādas, jo tās ir viena kvadrāta malas, RA = RV = PC. Tātad trīsstūri AVR Un VCR - vienādsānu un vienādas no trim malām.
Līdzīgi mēs iegūstam trīsstūrus ABP, BCP, CDP, DAP ir vienādsānu un vienādi, kas bija jāpierāda 2. punktā.
Parastās piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no pamatnes perimetra un apotēmas reizinājuma:
Pierādījumam izvēlamies parastu trīsstūrveida piramīdu.
Ņemot vērā: RAVS ir regulāra trīsstūrveida piramīda.
AB = BC = AC.
RO- augstums.
Pierādīt: 
. Skatīt att. 5.
Rīsi. 5
Pierādījums.
RAVS ir regulāra trīsstūrveida piramīda. Tas ir AB= AC = BC. Ļaujiet PAR- trijstūra centrs ABC, Tad RO ir piramīdas augstums. Piramīdas pamats ir vienādmalu trīsstūris. ABC. ievērojiet, tas 
.
trijstūri RAV, RVS, RSA- vienādi vienādsānu trijstūri (pēc īpašības). Trīsstūrveida piramīdai ir trīs sānu malas: RAV, RVS, RSA. Tātad piramīdas sānu virsmas laukums ir:
S puse = 3S RAB
Teorēma ir pierādīta.
Regulāras četrstūra piramīdas pamatnē ierakstītā apļa rādiuss ir 3 m, piramīdas augstums ir 4 m. Atrodiet piramīdas sānu virsmas laukumu.
Ņemot vērā: regulāra četrstūra piramīda ABCD,
ABCD- kvadrāts,
r= 3 m,
RO- piramīdas augstums,
RO= 4 m.
Atrast: S puse. Skatīt att. 6.
Rīsi. 6
Risinājums.
Saskaņā ar pārbaudīto teorēmu,.
Vispirms atrodiet pamatnes pusi AB. Mēs zinām, ka regulāras četrstūra piramīdas pamatnē ierakstītā riņķa rādiuss ir 3 m.
Tad m.
Atrodiet kvadrāta perimetru ABCD ar 6 m malu:
Apsveriet trīsstūri BCD. Ļaujiet M- vidus puse DC. Jo PAR- vidus BD, Tas 
(m).
Trīsstūris DPC- vienādsānu. M- vidus DC. Tas ir, RM- mediāna un līdz ar to augstums trīsstūrī DPC. Tad RM- piramīdas apotēma.
RO ir piramīdas augstums. Tad taisni RO perpendikulāri plaknei ABC, un līdz ar to tiešais OM guļot tajā. Atradīsim apotēmu RM no taisnleņķa trīsstūra ROM.
Tagad mēs varam atrast sānu virsma piramīdas:
Atbilde Platība: 60 m2.
Pie regulāras trīsstūrveida piramīdas pamatnes norobežotā riņķa rādiuss ir m. Sānu virsmas laukums ir 18 m 2. Atrodiet apotēmas garumu.
Ņemot vērā: ABCP- regulāra trīsstūrveida piramīda,
AB = BC = SA,
R= m,
S puse = 18 m 2.
Atrast: . Skatīt att. 7.
Rīsi. 7
Risinājums.
Taisnleņķa trīsstūrī ABCņemot vērā ierobežotā apļa rādiusu. Atradīsim pusi ABšis trīsstūris, izmantojot sinusa teorēmu.
Zinot regulāra trīsstūra malu (m), atrodam tā perimetru.
Saskaņā ar teorēmu par regulāras piramīdas sānu virsmas laukumu, kur h a- piramīdas apotēma. Pēc tam:
Atbilde: 4 m.
Tātad, mēs pārbaudījām, kas ir piramīda, kas ir regulāra piramīda, mēs pierādījām teorēmu par regulāras piramīdas sānu virsmu. Nākamajā nodarbībā iepazīsimies ar nošķelto piramīdu.
Bibliogrāfija
- Ģeometrija. 10.-11.klase: mācību grāmata izglītības iestāžu audzēkņiem (pamata un profila līmeņi) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnovs. - 5. izd., Rev. un papildu - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lpp.: ill.
- Ģeometrija. 10.-11.klase: Mācību grāmata vispārējai izglītībai izglītības iestādēm/ Šarigins I.F. - M.: Bustards, 1999. - 208 lpp.: ill.
- Ģeometrija. 10. klase: Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm ar matemātikas padziļinātu un profila apguvi / E. V. Potoskujevs, L. I. Zvaļičs. - 6. izd., stereotips. - M.: Bustards, 008. - 233 lpp.: ill.
- Interneta portāls "Yaklass" ()
- Interneta portāls "Pedagoģisko ideju festivāls "Pirmais septembris" ()
- Interneta portāls "Slideshare.net" ()
Mājasdarbs
- Vai regulārs daudzstūris var būt neregulāras piramīdas pamats?
- Pierādīt, ka regulāras piramīdas nekrustojas malas ir perpendikulāras.
- Atrast divstūrveida leņķa vērtību regulāras četrstūra piramīdas pamatnes malā, ja piramīdas apotēma ir vienāda ar tās pamatnes malu.
- RAVS ir regulāra trīsstūrveida piramīda. Izveidojiet diedrāla leņķa lineāro leņķi piramīdas pamatnē.
Šeit ir apkopota pamatinformācija par piramīdām un saistītajām formulām un jēdzieniem. Tie visi tiek apgūti pie matemātikas pasniedzēja, gatavojoties eksāmenam.
Apsveriet plakni, daudzstūri 
guļ tajā un punkts S, kas tajā neguļ. Savienojiet S ar visām daudzstūra virsotnēm. Iegūto daudzskaldni sauc par piramīdu. Segmentus sauc par sānu malām. 
Daudzstūri sauc par pamatu, bet punktu S sauc par piramīdas virsotni. Atkarībā no skaitļa n piramīdu sauc par trīsstūrveida (n=3), četrstūrveida (n=4), piecstūrainu (n=5) un tā tālāk. Trīsstūrveida piramīdas alternatīvais nosaukums - tetraedrs. Piramīdas augstums ir perpendikuls, kas novilkts no tās virsotnes līdz pamatplaknei. 
Piramīdu sauc par pareizu, ja regulārs daudzstūris, un piramīdas augstuma pamats (perpendikula pamats) ir tās centrs.
Pasniedzēja komentārs:
Nejauciet jēdzienus "regulāra piramīda" un "parastais tetraedrs". Parastajā piramīdā sānu malas ne vienmēr ir vienādas ar pamatnes malām, bet regulārā tetraedrā visas 6 malu malas ir vienādas. Tā ir viņa definīcija. Ir viegli pierādīt, ka vienādība nozīmē, ka daudzstūra centrs P ar augstuma pamatni, tāpēc regulārs tetraedrs ir regulāra piramīda.
Kas ir apotēms?
Piramīdas apotēma ir tās sānu virsmas augstums. Ja piramīda ir regulāra, tad visas tās apotēmas ir vienādas. Pretējais nav taisnība. 
Matemātikas pasniedzējs par savu terminoloģiju: darbs ar piramīdām 80% ir veidots, izmantojot divu veidu trīsstūrus:
1) Satur apotēmu SK un augstumu SP
2) Kas satur sānu malu SA un tās projekciju PA 
Lai vienkāršotu atsauces uz šiem trijstūriem, matemātikas skolotājam ir ērtāk nosaukt pirmo no tiem. apotēmisks, un otrkārt piekrastes. Diemžēl šo terminoloģiju jūs neatradīsiet nevienā mācību grāmatā, un skolotājam tā vienpusēji jāievieš.
Piramīdas tilpuma formula:
1) 
, kur ir piramīdas pamatnes laukums un piramīdas augstums
2) , kur ir ierakstītās sfēras rādiuss un piramīdas kopējais virsmas laukums.
3) 
, kur MN ir attālums no jebkurām divām krustojošām malām un ir paralelograma laukums, ko veido četru atlikušo malu viduspunkti.
Piramīdas augstuma pamatnes īpašums:
Punkts P (skatīt attēlu) sakrīt ar piramīdas pamatnē ierakstītā apļa centru, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:
1) Visi apotēmi ir vienādi
2) Visas sānu virsmas ir vienādi slīpas pret pamatni
3) Visi apotēmi ir vienādi slīpi pret piramīdas augstumu
4) Piramīdas augstums ir vienādi slīps pret visām sānu malām
Matemātikas skolotāja komentārs: ņemiet vērā, ka visus vienumus apvieno viens kopīpašums: tā vai citādi sānu sejas piedalās visur (apotēmas ir to elementi). Tāpēc skolotājs var piedāvāt neprecīzāku, bet ērtāku formulējumu iegaumēšanai: punkts P sakrīt ar ierakstītā apļa centru, piramīdas pamatni, ja ir kāda vienlīdzīga informācija par tā sānu virsmām. Lai to pierādītu, pietiek parādīt, ka visi apotēmiskie trīsstūri ir vienādi.
Punkts P sakrīt ar ierobežotā apļa centru netālu no piramīdas pamatnes, ja ir patiess viens no trim nosacījumiem:
1) Visas sānu malas ir vienādas
2) Visas sānu ribas ir vienādi slīpas pret pamatni
3) Visas sānu ribas ir vienādi slīpas pret augstumu
Risinot uzdevumu C2, izmantojot koordinātu metodi, daudzi skolēni saskaras ar tādu pašu problēmu. Viņi nevar aprēķināt punktu koordinātas iekļauts skalārā produkta formulā. Lielākās grūtības ir piramīdas. Un, ja bāzes punktus uzskata par daudzmaz normāliem, tad topi ir īsta elle.
Šodien mēs nodarbosimies ar regulāru četrstūra piramīdu. Ir arī trīsstūrveida piramīda (aka - tetraedrs). Tas ir beidzies sarežģīta struktūra, tāpēc tam tiks veltīta atsevišķa nodarbība.
Sāksim ar definīciju:
Parasta piramīda ir tāda, kurā:
- Pamats ir regulārs daudzstūris: trīsstūris, kvadrāts utt.;
- Augstums, kas novilkts uz pamatni, iet caur tās centru.
Jo īpaši četrstūra piramīdas pamats ir kvadrāts. Tāpat kā Heops, tikai nedaudz mazāks.
Zemāk ir aprēķini piramīdai, kuras visas malas ir vienādas ar 1. Ja jūsu uzdevumā tas tā nav, aprēķini nemainās - tikai skaitļi būs atšķirīgi.
Četrstūra piramīdas virsotnes
Tātad ir dota regulāra četrstūra piramīda SABCD, kur S ir augšdaļa, bet ABCD pamats ir kvadrāts. Visas malas ir vienādas ar 1. Ir jāievada koordinātu sistēma un jāatrod visu punktu koordinātas. Mums ir:
Mēs ieviešam koordinātu sistēmu ar sākumpunktu punktā A:
- Ass OX ir vērsta paralēli malai AB ;
- Axis OY - paralēli AD . Tā kā ABCD ir kvadrāts, AB ⊥ AD ;
- Visbeidzot, OZ ass ir vērsta uz augšu, perpendikulāri plaknei ABCD.
Tagad mēs apsvērsim koordinātas. Papildu konstrukcija: SH - augstums novilkts līdz pamatnei. Ērtības labad mēs izņemsim piramīdas pamatni atsevišķā attēlā. Tā kā punkti A , B , C un D atrodas OXY plaknē, to koordināte ir z = 0. Mums ir:
- A = (0; 0; 0) - sakrīt ar izcelsmi;
- B = (1; 0; 0) - soli pa 1 pa OX asi no sākuma;
- C = (1; 1; 0) - soli pa 1 pa OX asi un pa 1 pa OY asi;
- D = (0; 1; 0) - solis tikai pa OY asi.
- H \u003d (0,5; 0,5; 0) - kvadrāta centrs, segmenta AC vidusdaļa.
Atliek atrast punkta S koordinātas. Ņemiet vērā, ka punktu S un H koordinātas x un y ir vienādas, jo tās atrodas uz taisnas līnijas, kas ir paralēla OZ asij. Atliek atrast punkta S z koordinātu.
Apsveriet trīsstūrus ASH un ABH:
- AS = AB = 1 pēc nosacījuma;
- Leņķis AHS = AHB = 90°, jo SH ir kvadrāta augstums un AH ⊥ HB ir kvadrāta diagonāles;
- Sānu AH - bieži.
Tāpēc taisnie trīsstūri ASH un ABH vienāds viena kāja un viena hipotenūza. Tātad SH = BH = 0,5 BD. Bet BD ir kvadrāta diagonāle ar malu 1. Tāpēc mums ir:
Kopējās punkta S koordinātas:
Noslēgumā mēs pierakstām visu regulāras taisnstūra piramīdas virsotņu koordinātas:
Ko darīt, ja ribas atšķiras
Bet ko darīt, ja piramīdas sānu malas nav vienādas ar pamatnes malām? Šajā gadījumā apsveriet trīsstūri AHS:
Trīsstūris AHS- taisnstūrveida, un hipotenūza AS ir arī sākotnējās piramīdas SABCD sānu mala. Kāju AH ir viegli uzskatīt: AH = 0,5 AC. Atrodiet atlikušo kāju SH saskaņā ar Pitagora teorēmu. Tā būs punkta S z koordināte.
Uzdevums. Dota regulāra četrstūra piramīda SABCD , kuras pamats ir kvadrāts ar 1. malu. Sānu riba BS = 3. Atrodi punkta S koordinātas.
Mēs jau zinām šī punkta x un y koordinātas: x = y = 0,5. Tas izriet no diviem faktiem:
- Punkta S projekcija uz OXY plakni ir punkts H;
- Tajā pašā laikā punkts H ir kvadrāta ABCD centrs, kura visas malas ir vienādas ar 1.
Atliek atrast punkta S koordinātu. Apsveriet trīsstūri AHS. Tas ir taisnstūrveida, ar hipotenūzu AS = BS = 3, kāja AH ir puse no diagonāles. Lai veiktu turpmākus aprēķinus, mums ir nepieciešams tā garums:
Pitagora teorēma trijstūrim AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Mums ir:
Tātad punkta S koordinātas:
