Piramīda. Nocirsta piramīda

Piramīda ir daudzskaldnis, kura viena no skaldnēm ir daudzstūris ( bāze ), un visas pārējās skaldnes ir trīsstūri ar kopīgu virsotni ( sānu sejas ) (15. att.). Piramīdu sauc pareizi , ja tās pamats ir regulārs daudzstūris un piramīdas virsotne ir projicēta pamatnes centrā (16. att.). Tiek saukta trīsstūrveida piramīda ar vienādām malām tetraedrs .

Sānu riba piramīdas ir sānu virsmas puse, kas nepieder pie pamatnes Augstums piramīda ir attālums no tās augšdaļas līdz pamatnes plaknei. Visi sānu ribas regulāra piramīda vienādas viena ar otru, visas sānu skaldnes ir vienādi vienādsānu trīsstūri. No virsotnes izvilktas regulāras piramīdas sānu virsmas augstumu sauc apotēms . Diagonālā sadaļa sauc par piramīdas posmu plaknē, kas iet caur divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai.

Sānu virsmas laukums piramīda ir visu sānu virsmu laukumu summa. Kopējais virsmas laukums sauc par visu sānu virsmu un pamatnes laukumu summu.

Teorēmas

1. Ja piramīdā visas sānu malas ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad piramīdas virsotne tiek projicēta pamatnes tuvumā esošā apļa centrā.

2. Ja piramīdas visām sānu malām ir vienāds garums, tad piramīdas virsotne tiek projicēta apļa centrā, kas ir norobežots netālu no pamatnes.

3. Ja piramīdā visas skaldnes ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad piramīdas virsotne tiek projicēta pamatnē ierakstītā apļa centrā.

Lai aprēķinātu patvaļīgas piramīdas tilpumu, pareizā formula ir:

Kur V- apjoms;

S bāze– bāzes platība;

H- piramīdas augstums.

Parastai piramīdai pareizas ir šādas formulas:

Kur lpp– bāzes perimetrs;

h a– apotēms;

H- augstums;

S pilns

S pusē

S bāze– bāzes platība;

V– regulāras piramīdas tilpums.

Nocirsta piramīda sauc par piramīdas daļu, kas atrodas starp pamatni un griešanas plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnei (17. att.). Regulāra nošķelta piramīda sauc par regulāras piramīdas daļu, kas atrodas starp pamatni un griešanas plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnei.

Iemesli nošķelta piramīda - līdzīgi daudzstūri. Sānu sejas – trapeces. Augstums nošķeltas piramīdas ir attālums starp tās pamatiem. Diagonāli nošķelta piramīda ir segments, kas savieno tās virsotnes, kas neatrodas uz vienas virsmas. Diagonālā sadaļa ir nošķeltas piramīdas posms ar plakni, kas iet cauri divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai.

Atdalītai piramīdai ir derīgas šādas formulas:

(4)

Kur S 1 , S 2 – augšējās un apakšējās pamatnes laukumi;

S pilns– kopējais virsmas laukums;

S pusē– sānu virsmas laukums;

H- augstums;

V– nošķeltas piramīdas tilpums.

Parastai saīsinātai piramīdai formula ir pareiza:

Kur lpp 1 , lpp 2 – pamatu perimetrs;

h a– regulāras nošķeltas piramīdas apotēma.

1. piemērs. Regulārā trīsstūrveida piramīdā diedrālais leņķis pie pamatnes ir 60º. Atrodiet sānu malas slīpuma leņķa pieskares pamatnes plaknei.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (18. att.).

Piramīda ir regulāra, kas nozīmē, ka tās pamatnē ir vienādmalu trīsstūris un visas sānu skaldnes ir vienādi vienādsānu trijstūri. Divšķautņu leņķis pie pamatnes ir piramīdas sānu virsmas slīpuma leņķis pret pamatnes plakni. Lineārais leņķis ir leņķis a starp diviem perpendikuliem: utt. Piramīdas virsotne tiek projicēta trijstūra centrā (trijstūra apļa centrā un ierakstītajā aplī ABC). Sānu malas slīpuma leņķis (piemēram S.B.) ir leņķis starp pašu malu un tās projekciju uz pamatnes plakni. Par ribu S.B.šis leņķis būs leņķis SBD. Lai atrastu tangensu, jums jāzina kājas SO Un O.B.. Ļaujiet segmenta garumam BD vienāds ar 3 A. Punkts PAR līnijas segments BD ir sadalīts daļās: un No mēs atrodam SO: No mēs atrodam:

Atbilde:

2. piemērs. Atrodiet regulāras nošķeltas četrstūra piramīdas tilpumu, ja tās pamatu diagonāles ir vienādas ar cm un cm un augstums ir 4 cm.

Risinājums. Lai atrastu nošķeltas piramīdas tilpumu, mēs izmantojam formulu (4). Lai atrastu pamatu laukumu, jums jāatrod pamatnes kvadrātu malas, zinot to diagonāles. Pamatu malas ir attiecīgi vienādas ar 2 cm un 8 cm Tas nozīmē pamatu laukumus un Aizvietojot visus datus formulā, mēs aprēķinām nošķeltas piramīdas tilpumu:

Atbilde: 112 cm3.

3. piemērs. Atrodiet regulāras trīsstūrveida nošķeltas piramīdas sānu malas laukumu, kuras pamatnes malas ir 10 cm un 4 cm, bet piramīdas augstums ir 2 cm.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (19. att.).

Šīs piramīdas sānu mala ir vienādsānu trapece. Lai aprēķinātu trapeces laukumu, jums jāzina pamatne un augstums. Pamatnes dotas pēc stāvokļa, tikai augstums paliek nezināms. Mēs viņu atradīsim no kurienes A 1 E perpendikulāri no punkta A 1 apakšējās pamatnes plaknē, A 1 D– perpendikulāri no A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, jo ​​tas ir piramīdas augstums. Atrast DE Uztaisīsim papildu zīmējumu, kas parāda augšējo skatu (20. att.). Punkts PAR– augšējās un apakšējās pamatnes centru projekcija. kopš (sk. 20. att.) un No otras puses labi– rādiuss, kas ierakstīts aplī un OM– rādiuss, kas ierakstīts aplī:

MK = DE.

Saskaņā ar Pitagora teorēmu no

Sānu sejas zona:

Atbilde:

4. piemērs. Piramīdas pamatnē atrodas vienādsānu trapece, kuras pamati A Un b (a> b). Katra sānu virsma veido leņķi, kas vienāds ar piramīdas pamatnes plakni j. Atrodiet piramīdas kopējo virsmas laukumu.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (21. att.). Piramīdas kopējais virsmas laukums SABCD vienāds ar laukumu summu un trapeces laukumu ABCD.

Izmantosim apgalvojumu, ka, ja visas piramīdas skaldnes ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad virsotne tiek projicēta pamatnē ierakstītā apļa centrā. Punkts PAR– virsotņu projekcija S piramīdas pamatnē. Trīsstūris SOD ir trijstūra ortogonālā projekcija CSD līdz pamatnes plaknei. Izmantojot teorēmu par plaknes figūras ortogonālās projekcijas laukumu, mēs iegūstam:

Tāpat tas nozīmē Tādējādi problēma tika samazināta līdz trapeces laukuma atrašanai ABCD. Uzzīmēsim trapecveida formu ABCD atsevišķi (22. att.). Punkts PAR– trapecē ierakstīta apļa centrs.

Tā kā apli var ierakstīt trapecē, tad vai No Pitagora teorēmas mums ir

Šeit jūs varat atrast pamatinformāciju par piramīdām un ar tām saistītām formulām un jēdzieniem. Tie visi tiek apgūti pie matemātikas pasniedzēja, gatavojoties vienotajam valsts eksāmenam.

Apsveriet plakni, daudzstūri , guļ tajā un punkts S, nevis guļ tajā. Savienosim S ar visām daudzstūra virsotnēm. Iegūto daudzskaldni sauc par piramīdu. Segmentus sauc par sānu ribām. Daudzstūri sauc par pamatu, un punkts S ir piramīdas virsotne. Atkarībā no skaitļa n piramīdu sauc par trīsstūrveida (n=3), četrstūrveida (n=4), piecstūrainu (n=5) un tā tālāk. Alternatīvs nosaukums trīsstūrveida piramīdai ir tetraedrs. Piramīdas augstums ir perpendikuls, kas nolaižas no tās augšdaļas līdz pamatnes plaknei.

Piramīdu sauc par regulāru, ja regulārs daudzstūris, un piramīdas augstuma pamats (perpendikula pamats) ir tās centrs.

Pasniedzēja komentārs:
Nejauciet jēdzienus “regulāra piramīda” un “parastais tetraedrs”. Parastajā piramīdā sānu malas ne vienmēr ir vienādas ar pamatnes malām, bet regulārā tetraedrā visas 6 malas ir vienādas. Šī ir viņa definīcija. Ir viegli pierādīt, ka vienādība nozīmē, ka daudzstūra centrs P sakrīt ar pamatnes augstumu, tāpēc regulārs tetraedrs ir regulāra piramīda.

Kas ir apotēms?
Piramīdas apotēma ir tās sānu virsmas augstums. Ja piramīda ir regulāra, tad visas tās apotēmas ir vienādas. Pretējais nav taisnība.

Matemātikas skolotājs par savu terminoloģiju: 80% no darba ar piramīdām tiek veidoti, izmantojot divu veidu trīsstūrus:
1) Satur apotēmu SK un augstumu SP
2) Kas satur sānu malu SA un tās projekciju PA

Lai vienkāršotu atsauces uz šiem trijstūriem, matemātikas skolotājam ir ērtāk izsaukt pirmo no tiem apotēmisks, un otrkārt piekrastes. Diemžēl šo terminoloģiju jūs neatradīsiet nevienā mācību grāmatā, un skolotājam tā vienpusēji jāievieš.

Piramīdas tilpuma formula:
1) , kur ir piramīdas pamatnes laukums un piramīdas augstums
2) , kur ir ierakstītās sfēras rādiuss un ir piramīdas kopējās virsmas laukums.
3) , kur MN ir attālums starp jebkurām divām krustojošām malām un ir paralelograma laukums, ko veido četru atlikušo malu viduspunkti.

Piramīdas augstuma pamatnes īpašība:

Punkts P (skatīt attēlu) sakrīt ar piramīdas pamatnē ierakstītā apļa centru, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:
1) Visi apotēmi ir vienādi
2) Visas sānu virsmas ir vienādi slīpas pret pamatni
3) Visi apotēmi ir vienādi slīpi pret piramīdas augstumu
4) Piramīdas augstums ir vienādi slīps pret visām sānu malām

Matemātikas skolotāja komentārs: Lūdzu, ņemiet vērā, ka visiem punktiem ir viena kopīga iezīme vispārējs īpašums: tā vai citādi, visur ir iesaistītas sānu sejas (apotēmas ir to elementi). Tāpēc skolotājs var piedāvāt neprecīzāku, bet mācībām ērtāku formulējumu: punkts P sakrīt ar ierakstītā apļa centru, piramīdas pamatni, ja ir kāda līdzvērtīga informācija par tā sānu virsmām. Lai to pierādītu, pietiek parādīt, ka visi apotēmu trijstūri ir vienādi.

Punkts P sakrīt ar apļa centru, kas apzīmēts netālu no piramīdas pamatnes, ja ir patiess viens no trim nosacījumiem:
1) Visas sānu malas ir vienādas
2) Visas sānu ribas ir vienādi slīpi pret pamatni
3) Visas sānu ribas ir vienādi slīpas pret augstumu

Definīcija. Sānu mala- tas ir trīsstūris, kurā viens leņķis atrodas piramīdas augšpusē, un pretējā puse sakrīt ar pamatnes (daudzstūra) malu.

Definīcija. Sānu ribas- tās ir sānu virsmu kopīgās puses. Piramīdai ir tik daudz malu, cik daudzstūra leņķu.

Definīcija. Piramīdas augstums- tas ir perpendikuls, kas nolaists no augšas uz piramīdas pamatni.

Definīcija. Apotēma- tas ir perpendikulārs piramīdas sānu virsmai, kas nolaists no piramīdas augšas uz pamatnes pusi.

Definīcija. Diagonālā sadaļa- tas ir piramīdas posms ar plakni, kas iet caur piramīdas virsotni un pamatnes diagonāli.

Definīcija. Pareiza piramīda ir piramīda, kuras pamatne ir regulārs daudzstūris, un augstums nolaižas līdz pamatnes centram.

Piramīdas tilpums un virsmas laukums

Formula. Piramīdas tilpums caur pamatnes laukumu un augstumu:

Piramīdas īpašības

Ja visas sānu malas ir vienādas, tad ap piramīdas pamatni var novilkt apli, un pamatnes centrs sakrīt ar apļa centru. Arī no augšas nomests perpendikuls iet caur pamatnes (apļa) centru.

Ja visas sānu ribas ir vienādas, tad tās ir slīpas pret apakšā esošās pamatnes plakni vienādi leņķi.

Sānu malas ir vienādas, ja tās veido vienādus leņķus ar pamatnes plakni vai ja ap piramīdas pamatni var aprakstīt apli.

Ja sānu malas ir slīpi pret pamatnes plakni vienā leņķī, tad piramīdas pamatnē var ierakstīt apli, un piramīdas augšdaļa tiek projicēta tās centrā.

Ja sānu virsmas ir slīpi pret pamatnes plakni vienā leņķī, tad sānu virsmu apotēmas ir vienādas.

Regulāras piramīdas īpašības

1. Piramīdas virsotne atrodas vienādā attālumā no visiem pamatnes stūriem.

2. Visas sānu malas ir vienādas.

3. Visas sānu ribas ir noliektas vienādos leņķos pret pamatni.

4. Visu sānu skaldņu apotēmas ir vienādas.

5. Visu sānu virsmu laukumi ir vienādi.

6. Visām skaldnēm ir vienādi divskaldņu (plakanie) leņķi.

7. Ap piramīdu var aprakstīt sfēru. Ierobežotās sfēras centrs būs to perpendikulu krustpunkts, kas iet cauri malu vidusdaļai.

8. Jūs varat ievietot sfēru piramīdā. Ierakstītās sfēras centrs būs bisektoru krustpunkts, kas izplūst no leņķa starp malu un pamatni.

9. Ja ierakstītās sfēras centrs sakrīt ar norobežotās sfēras centru, tad plaknes leņķu summa virsotnē ir vienāda ar π vai otrādi, viens leņķis ir vienāds ar π/n, kur n ir skaitlis leņķi piramīdas pamatnē.

Piramīdas un sfēras savienojums

Ap piramīdu var aprakstīt lodi, kad piramīdas pamatnē atrodas daudzskaldnis, ap kuru var aprakstīt apli (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Sfēras centrs būs plakņu krustpunkts, kas iet perpendikulāri caur piramīdas sānu malu viduspunktiem.

Vienmēr ir iespējams aprakstīt sfēru ap jebkuru trīsstūrveida vai regulāru piramīdu.

Piramīdā var ierakstīt lodi, ja piramīdas iekšējo divskaldņu leņķu bisektoru plaknes krustojas vienā punktā (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Šis punkts būs sfēras centrs.

Piramīdas savienojums ar konusu

Tiek uzskatīts, ka konuss ir ierakstīts piramīdā, ja to virsotnes sakrīt un konusa pamatne ir ierakstīta piramīdas pamatnē.

Piramīdā var ierakstīt konusu, ja piramīdas apotēmas ir vienādas viena ar otru.

Tiek uzskatīts, ka konuss ir norobežots ap piramīdu, ja to virsotnes sakrīt, un konusa pamatne ir norobežota ap piramīdas pamatni.

Ap piramīdu var aprakstīt konusu, ja visas piramīdas sānu malas ir vienādas viena ar otru.

Piramīdas un cilindra attiecības

Piramīdu sauc par ierakstītu cilindrā, ja piramīdas virsotne atrodas uz vienas cilindra pamatnes, bet piramīdas pamatne ir ierakstīta citā cilindra pamatnē.

Cilindru var aprakstīt ap piramīdu, ja ap piramīdas pamatni var aprakstīt apli.

Definīcija. Nošķelta piramīda (piramīdveida prizma) ir daudzskaldnis, kas atrodas starp piramīdas pamatni un griezuma plakni, kas ir paralēla pamatnei. Tādējādi piramīdai ir lielāka pamatne un mazāka pamatne, kas ir līdzīga lielākajai. Sānu virsmas ir trapecveida.

Definīcija. Trīsstūrveida piramīda (tetraedrs) ir piramīda, kurā trīs skaldnes un pamatne ir patvaļīgi trīsstūri.

Tetraedram ir četras skaldnes un četras virsotnes un sešas malas, kur jebkurām divām malām nav kopīgu virsotņu, bet tās nesaskaras.

Katra virsotne sastāv no trīs veidojošām virsmām un malām trīsstūra leņķis.

Tiek saukts segments, kas savieno tetraedra virsotni ar pretējās skaldnes centru tetraedra mediāna(GM).

Bimediāns sauc par segmentu, kas savieno pretējo malu viduspunktus, kas nesaskaras (KL).

Visas tetraedra bimediānas un mediānas krustojas vienā punktā (S). Šajā gadījumā bimediānas tiek sadalītas uz pusēm, un mediānas tiek sadalītas proporcijā 3: 1, sākot no augšas.

Definīcija. Slīpa piramīda ir piramīda, kuras viena no malām ar pamatni veido neasu leņķi (β).

Definīcija. Taisnstūra piramīda ir piramīda, kurā viena no sānu virsmām ir perpendikulāra pamatnei.

Definīcija. Akūta leņķa piramīda- piramīda, kurā apotēma ir vairāk nekā puse no pamatnes malas garuma.

Definīcija. Stulba piramīda- piramīda, kurā apotēma ir mazāka par pusi no pamatnes malas garuma.

Definīcija. Regulārs tetraedrs- tetraedrs, kurā visas četras skaldnes ir vienādmalu trīsstūri. Tas ir viens no pieciem regulārajiem daudzstūriem. Regulārā tetraedrā visi divskaldņu leņķi (starp skaldnēm) un trīsstūrveida leņķi (virsotnē) ir vienādi.

Definīcija. Taisnstūra tetraedrs sauc par tetraedru, kura virsotnē starp trim malām ir taisns leņķis (malas ir perpendikulāras). Izveidojas trīs sejas taisnstūra trīsstūra leņķis un skaldnes ir taisnleņķa trīsstūri, un pamatne ir patvaļīgs trīsstūris. Jebkuras sejas apotēma ir vienāda ar pusi no pamatnes malas, uz kuras apotēma nokrīt.

Definīcija. Izoedrisks tetraedrs sauc par tetraedru, kura sānu malas ir vienādas viena ar otru, un pamats ir regulārs trīsstūris. Šādam tetraedram ir sejas, kas ir vienādsānu trīsstūri.

Definīcija. Ortocentrisks tetraedrs sauc par tetraedru, kurā visi augstumi (perpendikuli), kas ir nolaisti no augšas uz pretējo virsmu, krustojas vienā punktā.

Definīcija. Zvaigžņu piramīda sauc par daudzskaldni, kura pamats ir zvaigzne.

Definīcija. Bipiramīda- daudzskaldnis, kas sastāv no divām dažādām piramīdām (piramīdas var arī nogriezt), kurām ir kopīgs pamats, un virsotnes atrodas gar dažādas puses no pamatnes plaknes.

Ievads

Kad sākām pētīt stereometriskas figūras, pieskārāmies tēmai “Piramīda”. Mums šī tēma patika, jo piramīdu ļoti bieži izmanto arhitektūrā. Un kopš mūsējās nākotnes profesija arhitekte, iedvesmojoties no šīs figūras, mēs domājam, ka viņa var virzīt mūs uz lieliem projektiem.

Arhitektūras konstrukciju spēks ir to vissvarīgākā kvalitāte. Saistīt spēku, pirmkārt, ar materiāliem, no kuriem tie ir izveidoti, un, otrkārt, ar īpašībām konstruktīvi risinājumi, izrādās, ka konstrukcijas izturība ir tieši saistīta ar ģeometrisko formu, kas tai ir pamata.

Citiem vārdiem sakot, mēs runājam par ģeometrisku figūru, ko var uzskatīt par atbilstošās arhitektūras formas modeli. Izrādās, ka ģeometriskā forma nosaka arī arhitektūras struktūras izturību.

Kopš seniem laikiem Ēģiptes piramīdas tika uzskatītas par visizturīgākajām arhitektūras celtnēm. Kā zināms, tām ir regulāru četrstūra piramīdu forma.

Tieši šī ģeometriskā forma nodrošina vislielāko stabilitāti liela platība pamatojums. No otras puses, piramīdas forma nodrošina masas samazināšanos, palielinoties augstumam virs zemes. Tieši šīs divas īpašības padara piramīdu stabilu un līdz ar to spēcīgu gravitācijas apstākļos.

Projekta mērķis: uzzini ko jaunu par piramīdām, padziļini savas zināšanas un atrodi praktisku pielietojumu.

Lai sasniegtu šo mērķi, bija jāatrisina šādi uzdevumi:

· Uzziniet vēsturisku informāciju par piramīdu

· Apsveriet piramīdu kā ģeometriskā figūra

· Atrast pielietojumu dzīvē un arhitektūrā

· Atrodiet līdzības un atšķirības starp piramīdām, kas atrodas dažādās pasaules daļās

Teorētiskā daļa

Vēsturiskā informācija

Piramīdas ģeometrijas sākums tika likts Senajā Ēģiptē un Babilonijā, bet to aktīvi attīstīja g. Senā Grieķija. Pirmais, kas noteica piramīdas apjomu, bija Demokrits, un Eudokss no Knida to pierādīja. Seno grieķu matemātiķis Eiklīds sistematizēja zināšanas par piramīdu savu elementu XII sējumā, kā arī atvasināja pirmo piramīdas definīciju: ķermeņa figūru, ko ierobežo plaknes, kas saplūst no vienas plaknes uz vienu punktu.

Ēģiptes faraonu kapenes. Lielākās no tām – Heopsa, Khafre un Mikerina piramīdas El Gizā – senatnē tika uzskatītas par vienu no septiņiem pasaules brīnumiem. Piramīdas celtniecība, kurā grieķi un romieši jau redzēja pieminekli bezprecedenta valdnieku lepnumam un nežēlībai, kas visu Ēģiptes tautu lika bezjēdzīgai celtniecībai, bija vissvarīgākā kulta darbība, un tai acīmredzot bija jāpauž valsts un tās valdnieka mistiskā identitāte. Valsts iedzīvotāji no lauksaimniecības darbiem brīvajā gada daļā strādāja pie kapa būvniecības. Vairāki teksti liecina par uzmanību un rūpēm, ko paši ķēniņi (kaut arī vēlāk) veltīja sava kapa celtniecībai un tās celtniekiem. Ir zināms arī par īpašajiem kulta pagodinājumiem, kas tika piešķirti pašai piramīdai.

Pamatjēdzieni

Piramīda sauc par daudzskaldni, kura pamatne ir daudzstūris, un pārējās skaldnes ir trijstūri, kuriem ir kopīga virsotne.

Apotēma- regulāras piramīdas sānu virsmas augstums, kas ņemts no tās virsotnes;

Sānu sejas- trijstūri, kas satiekas virsotnē;

Sānu ribas- sānu virsmu kopīgās puses;

Piramīdas virsotne- punkts, kas savieno sānu ribas un neatrodas pamatnes plaknē;

Augstums- perpendikulārs segments, kas novilkts caur piramīdas virsotni līdz tās pamatnes plaknei (šī segmenta gali ir piramīdas augšdaļa un perpendikula pamatne);

Piramīdas šķērsgriezums pa diagonāli- piramīdas posms, kas iet caur pamatnes augšdaļu un diagonāli;

Bāze- daudzstūris, kas nepieder piramīdas virsotnei.

Parastās piramīdas pamatīpašības

Sānu malas, sānu malas un apotēmas ir attiecīgi vienādas.

Divšķautņu leņķi pie pamatnes ir vienādi.

Divšķautņu leņķi sānu malās ir vienādi.

Katrs augstuma punkts atrodas vienādā attālumā no visām pamatnes virsotnēm.

Katrs augstuma punkts atrodas vienādā attālumā no visām sānu virsmām.

Piramīdas pamatformulas

Piramīdas sānu un kopējās virsmas laukums.

Piramīdas sānu virsmas laukums (pilnas un nošķeltas) ir visu tās sānu virsmu laukumu summa, kopējais virsmas laukums ir visu tās virsmu laukumu summa.

Teorēma: Regulāras piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no piramīdas pamatnes perimetra un apotēmas reizinājuma.

lpp- bāzes perimetrs;

h- apotēms.

Nošķeltas piramīdas sānu un pilno virsmu laukums.

1. lpp, lpp 2 - bāzes perimetri;

h- apotēms.

R- parastas nošķeltas piramīdas kopējais virsmas laukums;

S pusē- regulāras nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukums;

S 1 + S 2- bāzes platība

Piramīdas tilpums

Veidlapa tilpumu ula izmanto jebkura veida piramīdām.

H- piramīdas augstums.

Piramīdas stūri

Leņķus, ko veido piramīdas sānu virsma un pamatne, sauc par diedrālajiem leņķiem piramīdas pamatnē.

Divskaldņu leņķi veido divi perpendikuli.

Lai noteiktu šo leņķi, bieži ir jāizmanto trīs perpendikulāra teorēma.

Tiek saukti leņķi, ko veido sānu mala un tās projekcija uz pamatplakni leņķi starp sānu malu un pamatnes plakni.

Leņķi, ko veido divas sānu malas, sauc diedrāls leņķis piramīdas sānu malā.

Leņķi, ko veido vienas piramīdas malas divas sānu malas, sauc leņķis piramīdas augšpusē.

Piramīdas sekcijas

Piramīdas virsma ir daudzskaldņa virsma. Katra no tās skaldnēm ir plakne, tāpēc piramīdas posms, ko nosaka griešanas plakne, ir lauzta līnija, kas sastāv no atsevišķām taisnēm.

Diagonālā sadaļa

Piramīdas griezumu ar plakni, kas iet cauri divām sānu malām, kas neatrodas uz vienas virsmas, sauc diagonālā daļa piramīdas.

Paralēlas sadaļas

Teorēma:

Ja piramīdu šķērso pamatnei paralēla plakne, tad piramīdas sānu malas un augstumus ar šo plakni dala proporcionālās daļās;

Šīs plaknes griezums ir daudzstūris, kas līdzīgs pamatnei;

Iecirkņa un pamatnes laukumi ir saistīti viens ar otru kā to attālumu kvadrāti no virsotnes.

Piramīdu veidi

Pareiza piramīda– piramīda, kuras pamats ir regulārs daudzstūris, un piramīdas virsotne ir projicēta pamatnes centrā.

Parastai piramīdai:

1. sānu ribas ir vienādas

2. sānu malas ir vienādas

3. apotēmi ir vienādi

4. dihedral leņķi pie pamatnes ir vienādi

5. divšķautņu leņķi sānu malās ir vienādi

6. katrs augstuma punkts atrodas vienādā attālumā no visām pamatnes virsotnēm

7. katrs augstuma punkts atrodas vienādā attālumā no visām sānu malām

Nocirsta piramīda- piramīdas daļa, kas atrodas starp tās pamatni un griešanas plakni, kas ir paralēla pamatnei.

Tiek saukta nošķeltas piramīdas pamatne un atbilstošā daļa nošķeltas piramīdas pamati.

Tiek saukts perpendikuls, kas novilkts no jebkura viena pamata punkta uz otras pamatnes plakni nošķeltas piramīdas augstums.

Uzdevumi

Nr.1. Regulārā četrstūra piramīdā punkts O ir pamatnes centrs, SO=8 cm, BD=30 cm. Atrodiet sānu malu SA.

Problēmu risināšana

Nr.1. Parastā piramīdā visas skaldnes un malas ir vienādas.

Apsveriet OSB: OSB ir taisnstūrveida taisnstūris, jo.

SB 2 = SO 2 + OB 2

SB 2 =64+225=289

Piramīda arhitektūrā

Piramīda ir monumentāla struktūra parastas regulāras ģeometriskas piramīdas formā, kuras malas vienā punktā saplūst. Autors funkcionāls mērķis Piramīdas senatnē bija apbedījumu vai kulta pielūgsmes vietas. Piramīdas pamatne var būt trīsstūrveida, četrstūrveida vai daudzstūra formas ar patvaļīgu virsotņu skaitu, bet visizplatītākā versija ir četrstūra pamatne.

Ir ievērojams skaits piramīdu, ko cēlušas dažādas kultūras. Senā pasaule galvenokārt kā tempļi vai pieminekļi. Lielas piramīdas ietver Ēģiptes piramīdas.

Visā Zemē var redzēt arhitektūras struktūras piramīdu formā. Piramīdas ēkas atgādina senos laikus un izskatās ļoti skaisti.

Ēģiptes piramīdas lielākais arhitektūras pieminekļi Senā Ēģipte, starp kuriem viens no “septiņiem pasaules brīnumiem” ir Heopsa piramīda. No pēdas līdz virsotnei tas sasniedz 137,3 m, un, pirms zaudēja virsotni, tā augstums bija 146,7 m

Slovākijas galvaspilsētas radiostacijas ēka, kas atgādina apgrieztu piramīdu, tika uzcelta 1983. gadā. Papildus birojiem un dienesta telpām sējuma iekšpusē atrodas diezgan plaša koncertzāle, kurā atrodas vienas no lielākajām ērģelēm Slovākijā.

Luvra, kas ir "klusa, nemainīga un majestātiska kā piramīda", gadsimtu gaitā ir piedzīvojusi daudzas izmaiņas, pirms tā kļuva par lielāko muzeju pasaulē. Tas dzimis kā cietoksnis, kuru 1190. gadā uzcēla Filips Augusts un kas drīz kļuva par karaļa rezidenci. 1793. gadā pils kļuva par muzeju. Kolekcijas tiek bagātinātas ar novēlējumu vai pirkumu palīdzību.

Šī video apmācība palīdzēs lietotājiem gūt priekšstatu par piramīdas tēmu. Pareiza piramīda. Šajā nodarbībā mēs iepazīsimies ar piramīdas jēdzienu un sniegsim tam definīciju. Apsvērsim, kas ir parastā piramīda un kādas īpašības tai piemīt. Tad pierādām teorēmu par regulāras piramīdas sānu virsmu.

Šajā nodarbībā mēs iepazīsimies ar piramīdas jēdzienu un sniegsim tam definīciju.

Apsveriet daudzstūri A 1 A 2...A n, kas atrodas α plaknē, un punkts P, kas neatrodas α plaknē (1. att.). Savienosim punktus P ar virsotnēm A 1, A 2, A 3, … A n. Mēs saņemam n trīsstūri: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R un tā tālāk.

Definīcija. Daudzskaldnis RA 1 A 2 ...A n, sastāv no n-kvadrāts A 1 A 2...A n Un n trijstūri RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 sauc n- ogļu piramīda. Rīsi. 1.

Rīsi. 1

Apsveriet četrstūrveida piramīdu PABCD(2. att.).

R- piramīdas virsotne.

ABCD- piramīdas pamats.

RA- sānu riba.

AB- pamatnes riba.

No punkta R nometīsim perpendikulu RN uz bāzes plakni ABCD. Novilktais perpendikuls ir piramīdas augstums.

Rīsi. 2

Pilna virsma Piramīda sastāv no sānu virsmas, tas ir, visu sānu virsmu laukuma un pamatnes laukuma:

S pilna = S puse + S galvenā

Piramīdu sauc par pareizu, ja:

• tā pamatne ir regulārs daudzstūris;
• segments, kas savieno piramīdas virsotni ar pamatnes centru, ir tā augstums.

Paskaidrojums, izmantojot regulāras četrstūra piramīdas piemēru

Apsveriet regulāru četrstūra piramīdu PABCD(3. att.).

R- piramīdas virsotne. Piramīdas pamatne ABCD- regulārs četrstūris, tas ir, kvadrāts. Punkts PAR, diagonāļu krustošanās punkts, ir kvadrāta centrs. nozīmē, RO ir piramīdas augstums.

Rīsi. 3

Paskaidrojums: pareizi n Trijstūrī ierakstītā apļa centrs un apļveida loka centrs sakrīt. Šo centru sauc par daudzstūra centru. Dažreiz viņi saka, ka virsotne tiek projicēta centrā.

No tās virsotnes izvilktas regulāras piramīdas sānu virsmas augstumu sauc apotēms un ir norādīts h a.

1. regulāras piramīdas visas sānu malas ir vienādas;

2. Sānu skaldnes ir vienādi vienādsānu trīsstūri.

Mēs sniegsim šo īpašību pierādījumu, izmantojot regulāras četrstūra piramīdas piemēru.

Ņemot vērā: PABCD- regulāra četrstūra piramīda,

ABCD- kvadrāts,

RO- piramīdas augstums.

Pierādīt:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Skat. att. 4.

Rīsi. 4

Pierādījums.

RO- piramīdas augstums. Tas ir, taisni RO perpendikulāri plaknei ABC, un tāpēc tiešs AS, VO, SO Un DO guļot tajā. Tātad trīsstūri ROA, ROV, ROS, ROD- taisnstūrveida.

Apsveriet kvadrātu ABCD. No kvadrāta īpašībām izriet, ka AO = VO = CO = DO.

Tad taisnie trīsstūri ROA, ROV, ROS, ROD kāju RO- vispārīgi un kājas AS, VO, SO Un DO ir vienādi, kas nozīmē, ka šie trīsstūri ir vienādi no divām pusēm. No trīsstūru vienādības izriet segmentu vienādība, RA = PB = RS = PD. 1. punkts ir pierādīts.

Segmenti AB Un Sv ir vienādas, jo tās ir viena kvadrāta malas, RA = PB = RS. Tātad trīsstūri AVR Un VSR — vienādsānu un vienādas no trim malām.

Līdzīgā veidā mēs atrodam, ka trīsstūri ABP, VCP, CDP, DAP ir vienādsānu un vienādi, kā tas ir jāpierāda 2. punktā.

Parastās piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no pamatnes perimetra un apotēmas reizinājuma:

Lai to pierādītu, izvēlēsimies parastu trīsstūrveida piramīdu.

Ņemot vērā: RAVS- regulāra trīsstūrveida piramīda.

AB = BC = AC.

RO- augstums.

Pierādīt: . Skatīt att. 5.

Rīsi. 5

Pierādījums.

RAVS- regulāra trīsstūrveida piramīda. Tas ir AB= AC = BC. Ļaujiet PAR- trijstūra centrs ABC, Tad RO ir piramīdas augstums. Piramīdas pamatnē atrodas vienādmalu trīsstūris ABC. ievērojiet, tas .

Trijstūri RAV, RVS, RSA- vienādi vienādsānu trijstūri (pēc īpašības). Trīsstūrveida piramīdai ir trīs sānu malas: RAV, RVS, RSA. Tas nozīmē, ka piramīdas sānu virsmas laukums ir:

S puse = 3S RAW

Teorēma ir pierādīta.

Parastas četrstūra piramīdas pamatnē ierakstītā riņķa rādiuss ir 3 m, piramīdas augstums ir 4 m. Atrodiet piramīdas sānu virsmas laukumu.

Ņemot vērā: regulāra četrstūra piramīda ABCD,

ABCD- kvadrāts,

r= 3 m,

RO- piramīdas augstums,

RO= 4 m.

Atrast: S puse. Skatīt att. 6.

Rīsi. 6

Risinājums.

Saskaņā ar pārbaudīto teorēmu,.

Vispirms atradīsim pamatnes pusi AB. Mēs zinām, ka regulāras četrstūra piramīdas pamatnē ierakstītā riņķa rādiuss ir 3 m.

Tad m.

Atrodiet kvadrāta perimetru ABCD ar 6 m malu:

Apsveriet trīsstūri BCD. Ļaujiet M- sānu vidus DC. Jo PAR- vidus BD, Tas (m).

Trīsstūris DPC- vienādsānu. M- vidus DC. Tas ir, RM- mediāna un līdz ar to augstums trīsstūrī DPC. Tad RM- piramīdas apotēma.

RO- piramīdas augstums. Tad taisni RO perpendikulāri plaknei ABC, un tāpēc tiešs OM, guļ tajā. Atradīsim apotēmu RM no taisnleņķa trīsstūris ROM.

Tagad mēs varam atrast sānu virsma piramīdas:

Atbilde Platība: 60 m2.

Ap regulāras trīsstūrveida piramīdas pamatni apvilktā riņķa rādiuss ir vienāds ar m. Sānu virsmas laukums ir 18 m 2. Atrodiet apotēmas garumu.

Ņemot vērā: ABCP- regulāra trīsstūrveida piramīda,

AB = BC = SA,

R= m,

S puse = 18 m2.

Atrast: . Skatīt att. 7.

Rīsi. 7

Risinājums.

Taisnā trīsstūrī ABC Ir dots ierobežotā apļa rādiuss. Atradīsim pusi ABšis trīsstūris, izmantojot sinusa likumu.

Zinot regulāra trīsstūra malu (m), atrodam tā perimetru.

Pēc teorēmas par regulāras piramīdas sānu virsmas laukumu, kur h a- piramīdas apotēma. Pēc tam:

Atbilde: 4 m.

Tātad, mēs apskatījām, kas ir piramīda, kas ir regulāra piramīda, un mēs pierādījām teorēmu par regulāras piramīdas sānu virsmu. Nākamajā nodarbībā iepazīsimies ar nošķelto piramīdu.

Bibliogrāfija

1. Ģeometrija. 10.-11.klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem (pamata un profila līmeņi) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnovs. - 5. izd., red. un papildu - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lpp.: ill.
2. Ģeometrija. 10-11 klase: Vispārējās izglītības mācību grāmata izglītības iestādēm/ Šarigins I.F. - M.: Bustards, 1999. - 208 lpp.: ill.
3. Ģeometrija. 10. klase: Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm ar padziļinātu un specializētu matemātikas apguvi /E. V. Potoskujevs, L. I. Zvaļičs. - 6. izd., stereotips. - M.: Bustards, 008. - 233 lpp.: ill.

1. Interneta portāls "Yaklass" ()
2. Interneta portāls “Pedagoģisko ideju festivāls “Pirmais septembris” ()
3. Interneta portāls “Slideshare.net” ()

Mājasdarbs

1. Vai regulārs daudzstūris var būt neregulāras piramīdas pamats?
2. Pierādīt, ka regulāras piramīdas nesavienotās malas ir perpendikulāras.
3. Atrodiet divstūrveida leņķa vērtību regulāras četrstūra piramīdas pamatnes malā, ja piramīdas apotēma ir vienāda ar tās pamatnes malu.
4. RAVS- regulāra trīsstūrveida piramīda. Izveidojiet diedrāla leņķa lineāro leņķi piramīdas pamatnē.