Atrodiet visas vienādojuma saknes, kas pieder intervālam. Trigonometrisko vienādojumu risināšana un metodes sakņu atlasei noteiktā intervālā

27. Atlasiet noteiktā segmenta saknes

28. 10. Atrisiniet vienādojumu 2sin2x = 4cos x –sinx + 1 Atrodiet tā saknes intervālā [ / 2; 3 / 2]

29. Izmantojot apli, atlasiet saknes

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu konkrētu personu vai sazinātos ar viņu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad vietnē atstājat pieprasījumu, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un ziņot par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un ziņas.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā reklāmas pasākumā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šīs programmas.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja tas ir nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, tiesas procesā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valdības iestāžu lūgumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personisko informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sociāli svarīgu iemeslu dēļ.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju atbilstošai trešajai pusei - tiesību pārņēmējam.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai pārliecinātos, ka jūsu personīgā informācija ir drošībā, mēs saviem darbiniekiem iepazīstinām ar konfidencialitātes un drošības noteikumiem un stingri uzraugām konfidencialitātes pasākumu īstenošanu.

Lai veiksmīgi atrisinātu trigonometriskie vienādojumiērti lietojams konverģences metode uz iepriekš atrisinātām problēmām. Apskatīsim, kāda ir šīs metodes būtība?

Jebkurā piedāvātajā uzdevumā ir jāredz iepriekš atrisinātā problēma un pēc tam, izmantojot secīgas līdzvērtīgas transformācijas, jāmēģina reducēt doto uzdevumu uz vienkāršāku.

Tātad, risinot trigonometriskos vienādojumus, tie parasti veido kādu galīgu ekvivalentu vienādojumu secību, kuras pēdējā saite ir vienādojums ar acīmredzamu risinājumu. Ir tikai svarīgi atcerēties, ka, ja nav izveidotas vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risināšanas prasmes, tad sarežģītāku vienādojumu risināšana būs grūta un neefektīva.

Turklāt, risinot trigonometriskos vienādojumus, nekad nevajadzētu aizmirst par vairāku risinājumu pastāvēšanas iespēju.

Piemērs 1. Atrodiet vienādojuma cos x = -1/2 sakņu skaitu intervālā.

Risinājums:

I metode. Uzzīmēsim funkciju y = cos x un y = -1/2 grafikus un atradīsim to kopīgo punktu skaitu intervālā (1. att.).

Tā kā funkciju grafikiem šajā intervālā ir divi kopīgi punkti, vienādojumā ir divas šī intervāla saknes.

II metode. Izmantojot trigonometrisko apli (2. att.), noskaidrojam intervālam piederošo punktu skaitu, kurā cos x = -1/2. Attēlā redzams, ka vienādojumam ir divas saknes.

III metode. Izmantojot trigonometriskā vienādojuma sakņu formulu, atrisinām vienādojumu cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k ir vesels skaitlis (k € Z);

x = ± (π - arccos 1/2) + 2πk, k ir vesels skaitlis (k € Z);

x = ± (π - π / 3) + 2πk, k ir vesels skaitlis (k € Z);

x = ± 2π / 3 + 2πk, k ir vesels skaitlis (k € Z).

Intervāls satur saknes 2π / 3 un -2π / 3 + 2π, k ir vesels skaitlis. Tādējādi vienādojumam ir divas saknes noteiktā intervālā.

Atbilde: 2.

Nākotnē trigonometriskie vienādojumi tiks risināti ar kādu no piedāvātajām metodēm, kas daudzos gadījumos neizslēdz arī citu metožu izmantošanu.

2. piemērs. Atrodiet vienādojuma tg (x + π / 4) = 1 atrisinājumu skaitu intervālā [-2π; 2π].

Risinājums:

Izmantojot trigonometriskā vienādojuma sakņu formulu, mēs iegūstam:

x + π / 4 = arctan 1 + πk, k ir vesels skaitlis (k € Z);

x + π / 4 = π / 4 + πk, k ir vesels skaitlis (k € Z);

x = πk, k ir vesels skaitlis (k € Z);

Intervāls [-2π; 2π] pieder skaitļi -2π; -π; 0; π; 2π. Tātad vienādojumam ir piecas saknes noteiktā intervālā.

Atbilde: 5.

3. piemērs. Atrodiet vienādojuma cos 2 x + sin x · cos x = 1 sakņu skaitu intervālā [-π; π].

Risinājums:

Tā kā 1 = sin 2 x + cos 2 x (pamata trigonometriskā identitāte), sākotnējam vienādojumam ir šāda forma:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x = 0;

sin x (sin x - cos x) = 0. Produkts ir vienāds ar nulli, kas nozīmē, ka vismaz vienam no faktoriem ir jābūt vienādam ar nulli, tāpēc:

sin x = 0 vai sin x - cos x = 0.

Tā kā mainīgā vērtība, pie kuras cos x = 0 nav otrā vienādojuma saknes (vienāda skaitļa sinuss un kosinuss nevar vienlaikus būt vienādi ar nulli), mēs sadalām abas otrā vienādojuma puses ar cos. x:

sin x = 0 vai sin x / cos x - 1 = 0.

Otrajā vienādojumā mēs izmantojam faktu, ka tg x = sin x / cos x, tad:

sin x = 0 vai tg x = 1. Izmantojot formulas, mēs iegūstam:

x = πk vai x = π / 4 + πk, k ir vesels skaitlis (k € Z).

No pirmās sakņu sērijas intervāls [-π; π] pieder pie skaitļiem -π; 0; π. No otrās sērijas: (π / 4 - π) un π / 4.

Tādējādi piecas sākotnējā vienādojuma saknes pieder intervālam [-π; π].

Atbilde: 5.

4. piemērs. Atrodiet vienādojuma tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 sakņu summu intervālā [-π; 1,1π].

Risinājums:

Pārrakstīsim vienādojumu šādi:

tg 2 x + ctg 2 x + 3 (tg x + ctgx) + 4 = 0 un veiciet aizstāšanu.

Ļaujiet tg x + ctgx = a. Mēs kvadrātā abas vienādības puses:

(tg x + ctg x) 2 = a 2. Paplašināsim iekavas:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2.

Tā kā tg x ctgx = 1, tad tg 2 x + 2 + ctg 2 x = a 2, kas nozīmē

tg 2 x + ctg 2 x = a 2 - 2.

Sākotnējais vienādojums tagad izskatās šādi:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Izmantojot Vietas teorēmu, iegūstam, ka a = -1 vai a = -2.

Veiksim apgriezto nomaiņu, mums ir:

tg x + ctgx = -1 vai tg x + ctgx = -2. Atrisināsim iegūtos vienādojumus.

tg x + 1 / tgx = -1 vai tg x + 1 / tgx = -2.

Pēc divu savstarpēji apgrieztu skaitļu īpašības mēs nosakām, ka pirmajam vienādojumam nav sakņu, un no otrā vienādojuma mums ir:

tg x = -1, t.i. x = -π / 4 + πk, k ir vesels skaitlis (k € Z).

Intervāls [-π; 1,1π] saknes pieder: -π / 4; -π / 4 + π. Viņu summa:

-π / 4 + (-π / 4 + π) = -π / 2 + π = π / 2.

Atbilde: π / 2.

Piemērs 5. Atrodiet vienādojuma sin 3x + sin x = sin 2x sakņu vidējo aritmētisko vērtību intervālā [-π; 0,5π].

Risinājums:

Mēs izmantojam formulu sin α + sin β = 2sin ((α + β) / 2) cos ((α - β) / 2), tad

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x) / 2) cos ((3x - x) / 2) = 2sin 2x cos x un vienādojums kļūst

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x = 0. Ārpus iekavām izvelciet sin 2x kopējo koeficientu

sin 2x (2cos x - 1) = 0. Atrisiniet iegūto vienādojumu:

sin 2x = 0 vai 2cos x - 1 = 0;

sin 2x = 0 vai cos x = 1/2;

2x = πk vai x = ± π / 3 + 2πk, k ir vesels skaitlis (k € Z).

Tādējādi mums ir saknes

x = πk / 2, x = π / 3 + 2πk, x = -π / 3 + 2πk, k ir vesels skaitlis (k € Z).

Intervāls [-π; 0,5π] saknes pieder pie -π; -π / 2; 0; π / 2 (no pirmās sakņu sērijas); π / 3 (no otrās sērijas); -π / 3 (no trešās sērijas). Viņu vidējais aritmētiskais ir:

(-π - π / 2 + 0 + π / 2 + π / 3 - π / 3) / 6 = -π / 6.

Atbilde: -π / 6.

6. piemērs. Atrodiet vienādojuma sin x + cos x = 0 sakņu skaitu intervālā [-1,25π; 2π].

Risinājums:

Šis vienādojums ir pirmās pakāpes viendabīgs vienādojums. Sadaliet abas tā daļas ar cosx (mainīgā vērtība, pie kuras cos x = 0 nav šī vienādojuma saknes, jo viena un tā paša skaitļa sinuss un kosinuss nevar vienlaikus būt vienādi ar nulli). Sākotnējais vienādojums ir:

x = -π / 4 + πk, k ir vesels skaitlis (k € Z).

Intervāls [-1,25π; 2π] pieder pie saknēm -π / 4; (-π / 4 + π); un (-π / 4 + 2π).

Tādējādi dotajā intervālā ir trīs vienādojuma saknes.

Atbilde: 3.

Iemācieties darīt vissvarīgāko - skaidri saprast problēmas risināšanas plānu, un tad jebkurš trigonometriskais vienādojums būs jūsu ziņā.

Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja - reģistrējieties.

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Pēc jūsu pieprasījuma!

13. Atrisiniet 3-4cos vienādojumu 2 x = 0. Atrodiet tā sakņu summu, kas pieder intervālam.

Samazināsim kosinusa pakāpi pēc formulas: 1 + cos2α = 2cos 2 α. Mēs iegūstam līdzvērtīgu vienādojumu:

3-2 (1 + cos2x) = 0 ⇒ 3-2-2cos2x = 0 ⇒ -2cos2x = -1. Mēs sadalām abas vienādības puses ar (-2) un iegūstam vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu:

14. Atrodiet b 5 ģeometrisko progresiju, ja b 4 = 25 un b 6 = 16.

Katrs ģeometriskās progresijas elements, sākot no otrā, ir vienāds ar blakus esošo locekļu vidējo aritmētisko:

(b n) 2 = b n-1 ∙ b n + 1. Mums ir (b 5) 2 = b 4 ∙ b 6 ⇒ (b 5) 2 = 25 16 ⇒ b 5 = ± 5 4 ⇒ b 5 = ± 20.

15. Atrodiet funkcijas atvasinājumu: f (x) = tgx-ctgx.

16. Atrodiet lielākās un mazākās funkcijas vērtības y (x) = x 2 -12x + 27

segmentā.

Lai atrastu funkcijas lielākās un mazākās vērtības y = f (x) segmentā, jums ir jāatrod šīs funkcijas vērtības segmenta galos un tajos kritiskajos punktos, kas pieder šim segmentam, un pēc tam atlasiet lielāko un mazāko no visām iegūtajām vērtībām.

Atradīsim funkcijas vērtības pie x = 3 un pie x = 7, t.i. segmenta galos.

y (3) = 3 2-12 ∙ 3 ​​+ 27 = 9-36 + 27 = 0;

y (7) = 7 2 -12 ∙ 7 + 27 = 49-84 + 27 = -84 + 76 = -8.

Atrodiet šīs funkcijas atvasinājumu: y ’(x) = (x 2 -12x + 27)' = 2x-12 = 2 (x-6); kritiskais punkts x = 6 pieder šim intervālam. Atrodiet funkcijas vērtību pie x = 6.

y (6) = 6 2 -12 ∙ 6 + 27 = 36-72 + 27 = -72 + 63 = -9. Un tagad mēs izvēlamies no trim iegūtajām vērtībām: 0; -8 un -9 lielākais un mazākais: naib. = 0; pie naim. = -9.

17. Atrodiet vispārīgu priekšstatu par funkcijas antiatvasinājumiem:

Šī plaisa ir šīs funkcijas darbības joma. Atbildes jāsāk ar F (x), nevis f (x) - mēs meklējam antiatvasinājumu. Pēc definīcijas funkcija F (x) ir funkcijas f (x) antiatvasinājums, ja pastāv vienādība: F ’(x) = f (x). Tātad jūs varat vienkārši atrast ieteikto atbilžu atvasinājumus, līdz iegūstat norādīto funkciju. Stingrs risinājums ir dotās funkcijas integrāļa aprēķins. Mēs izmantojam formulas:

19. Izveidojiet vienādojumu taisnei, kas satur trijstūra ABC mediānu BD, ja tās virsotnes ir A (-6; 2), B (6; 6) C (2; -6).

Lai sastādītu taisnes vienādojumu, jums jāzina šīs taisnes 2 punktu koordinātas, un mēs zinām tikai punkta B koordinātas. Tā kā mediāna BD dala pretējo pusi uz pusēm, punkts D ir līnijas viduspunkts. segments AC. Nozares viduspunkta koordinātas ir nogriežņa galu atbilstošo koordinātu pussumma. Atrodiet punkta D koordinātas.

20. Aprēķināt:

24. Parasta trīsstūra laukums, kas atrodas taisnas prizmas pamatnē, ir

Šī problēma ir apgriezta problēmai Nr.24 no opcijas 0021.

25. Atrodiet modeli un ievietojiet trūkstošo skaitli: 1; 4; deviņi; 16; ...

Acīmredzot šis skaitlis 25 , jo mums ir dota naturālu skaitļu kvadrātu secība:

1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …

Veiksmi un panākumus visiem!