Centrēts punktā A.
α
ir radiānos izteikts leņķis.
Definīcija
Sinuss (sin α) ir trigonometriska funkcija atkarībā no leņķa α starp hipotenūzu un kāju taisnleņķa trīsstūris vienāds ar pretējās kājas garuma attiecību | BC | līdz hipotenūzas garumam | AC |.
Kosinuss (cos α) ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas ir vienāda ar blakus esošās kājas garuma attiecību | līdz hipotenūzas garumam | AC |.
Pieņemti apzīmējumi
;
;
.
;
;
.
Sinusa funkcijas grafiks, y = sin x
Kosinusa funkcijas grafiks, y = cos x
Sinusa un kosinusa īpašības
Periodiskums
Funkcijas y = grēks x un y = cos x periodisks ar periodu 2 π.
Paritāte
Sinusa funkcija ir nepāra. Kosinusa funkcija ir vienmērīga.
Definīcijas un vērtību diapazons, ekstrēmas, pieaugošas, samazinošas
Sinusa un kosinusa funkcijas ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā, tas ir, visiem x (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). To galvenās īpašības ir parādītas tabulā (n ir vesels skaitlis).
| y = grēks x | y = cos x | |
| Definīcijas un nepārtrauktības joma | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Vērtību diapazons | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Augošā | ||
| Dilstoša | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Minimums, y = - 1 | ||
| Nulles, y = 0 | ||
| Krustošanās punkti ar y asi, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Pamatformulas
Sinusa un kosinusa kvadrātu summa
Sinusa un kosinusa formulas summai un starpībai
;
;
Formulas sinusu un kosinusu reizinājumam
Summu un starpību formulas
Sinusa izteiksme kosinusa izteiksmē
;
;
;
.
Kosinusa izteiksme sinusa izteiksmē
;
;
;
.
Pieskares izteiksme
; .
Mums ir:
;
.
Vietnē:
;
.
Sinusu un kosinusu, tangenšu un kotangenšu tabula
Šajā tabulā ir parādītas sinusu un kosinusu vērtības dažām argumenta vērtībām. 
Izteiksmes, izmantojot sarežģītus mainīgos
;
Eilera formula
Izteiksmes hiperbolisko funkciju izteiksmē
;
;
Atvasinājumi
; ... Formulu atvasināšana>>>
N-tās kārtas atvasinājumi:
{ -∞ <
x < +∞ }
Sekants, kosekants
Apgrieztās funkcijas
Apgrieztās funkcijas uz sinususu un kosinusu ir attiecīgi apgrieztais sinuss un apgrieztais kosinuss.
Arcsin, arcsin
Arkosīns, arkoss
Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un tehnisko institūciju studentiem, "Lan", 2009.
>> Funkciju periodiskums y = sin x, y = cos x
§ 11. Funkciju periodiskums y = sin x, y = cos x
Iepriekšējos punktos mēs izmantojām septiņus rekvizītus funkcijas: definīcijas apgabals, pāra vai nepāra paritāte, monotonija, ierobežotība, lielākās un mazākās vērtības, nepārtrauktība, funkcijas vērtību diapazons. Mēs izmantojām šīs īpašības vai nu, lai attēlotu funkcijas grafiku (kā tas bija, piemēram, 9. §), vai arī, lai nolasītu izveidoto grafiku (kā tas bija, piemēram, 10. §). Tagad ir pienācis īstais brīdis ieviest vēl vienu (astoto) funkciju īpašību, kas lieliski redzama augstāk minētajā diagrammas funkcijas y = sin x (skat. 37. att.), y = cos x (skat. 41. att.).
Definīcija. Funkciju sauc par periodisku, ja pastāv skaitlis T, kas atšķiras no nulles, tā, ka jebkurai x no kopām ir dubultā vienlīdzība:
Skaitli T, kas atbilst šim nosacījumam, sauc par funkcijas y = f (x) periodu.
No tā izriet, ka, tā kā jebkuram x vienādības ir patiesas:
tad funkcijas y = sin x, y = cos x ir periodiskas un skaitlis 2 NS kalpo kā abu funkciju periods.
Funkcijas periodiskums ir apsolītā astotā funkciju īpašība.
Tagad apskatiet funkcijas y = sin x grafiku (37. att.). Lai attēlotu sinusoīdu, pietiek uzzīmēt vienu no tā viļņiem (uz segmenta un pēc tam nobīdīt šo vilni pa x asi par. Rezultātā ar viena viļņa palīdzību uzzīmēsim visu grafiku.
No tāda paša skatu punkta aplūkosim funkcijas y = cos x grafiku (41. att.). Mēs redzam, ka arī šeit, lai izveidotu grafiku, pietiek vispirms izveidot vienu vilni (piemēram, segmentā
Un pēc tam pārvietojiet to pa x asi par
Apkopojot, mēs izdarām šādu secinājumu.
Ja funkcijai y = f (x) ir periods T, tad, lai attēlotu funkcijas grafiku, vispirms ir jāizveido grafika atzars (vilnis, daļa) jebkurā T garuma intervālā (visbiežāk tie ņem intervālu ar galiem punktos un pēc tam novirziet šo atzaru pa x asi pa labi un pa kreisi par T, 2T, ZT utt.
Periodiskajai funkcijai ir bezgalīgi daudz periodu: ja T ir periods, tad 2T ir periods, un ZT ir periods, un -T ir periods; parasti periods ir jebkurš skaitlis formā KT, kur k = ± 1, ± 2, ± 3 ... Parasti viņi cenšas, ja iespējams, izvēlēties mazāko pozitīvo periodu, to sauc par galveno periodu.
Tātad jebkurš skaitlis formā 2nk, kur k = ± 1, ± 2, ± 3, ir funkciju y = sinn x, y = cos x periods; 2p ir abu funkciju galvenais periods.
Piemērs. Atrodiet funkcijas galveno periodu:
a) Lai T ir funkcijas y = sin x galvenais periods. Mēs liekam
Lai skaitlis T būtu funkcijas periods, ir jābūt identitātei Ho, jo mēs runājam par galvenā perioda atrašanu, mēs iegūstam
b) Lai T ir funkcijas y = cos 0,5x galvenais periods. Ielieciet f (x) = cos 0,5x. Tad f (x + T) = cos 0,5 (x + T) = cos (0,5x + 0,5 T).
Lai skaitlis T būtu funkcijas periods, ir jāizpilda identitāte cos (0.5x + 0.5T) = cos 0.5x.
Tas nozīmē, ka 0,5t = 2pp. Bet, tā kā mēs runājam par galvenā perioda atrašanu, mēs iegūstam 0,5T = 2 l, T = 4l.
Piemērā iegūto rezultātu vispārinājums ir šādu paziņojumu: galvenās funkcijas periods 
A.G. Mordkoviča algebra 10. klase
Nodarbības saturs nodarbības izklāsts atbalsta rāmis nodarbības prezentācijas akseleratīvas metodes interaktīvās tehnoloģijas Prakse uzdevumi un vingrinājumi pašpārbaudes darbnīcas, apmācības, gadījumi, uzdevumi mājas uzdevumi diskusijas jautājumi retoriski jautājumi no studentiem Ilustrācijas audio, video klipi un multivide fotogrāfijas, attēli, diagrammas, tabulas, shēmas, humors, joki, joki, komiksi līdzības, teicieni, krustvārdu mīklas, citāti Papildinājumi tēzes raksti mikroshēmas ziņkārīgajiem apkrāptu lapas mācību grāmatas pamata un papildu terminu vārdnīca citi Mācību grāmatu un stundu pilnveidošanakļūdu labojumi apmācībā Inovācijas elementu fragmenta atjaunošana mācību grāmatā mācību stundā novecojušo zināšanu aizstāšana ar jaunām Tikai skolotājiem ideālas nodarbības kalendārais plāns gadam vadlīnijas diskusiju darba kārtība Integrētas nodarbībasMērķis: apkopot un sistematizēt studentu zināšanas par tēmu "Funkciju biežums"; attīstīt prasmes periodiskas funkcijas īpašību pielietošanā, funkcijas mazākā pozitīvā perioda atrašanā, periodisko funkciju grafiku veidošanā; veicināt interesi par matemātikas studijām; izglītot novērošanu, precizitāti.
Aprīkojums: dators, multimediju projektors, uzdevumu kartes, diapozitīvi, pulksteņi, dekoratīvie galdi, tautas amatniecības elementi
"Matemātika ir tas, ko cilvēki izmanto, lai kontrolētu dabu un sevi."
A.N. Kolmogorovs
Nodarbību laikā
I. Organizatoriskais posms.
Pārbauda skolēnu gatavību stundai. Nodarbības tēmas un mērķu komunikācija.
II. Mājas darbu pārbaude.
Pārbaudām mājas darbus pēc paraugiem, pārrunājam grūtākos punktus.
III. Zināšanu vispārināšana un sistematizēšana.
1. Mutes frontālais darbs.
Teorijas jautājumi.
1) Veidojiet funkcijas perioda definīciju
2) Kāds ir mazākais pozitīvais periods no funkcijām y = sin (x), y = cos (x)
3). Kāds ir mazākais pozitīvais periods no funkcijām y = tg (x), y = ctg (x)
4) Pierādiet attiecību pareizību ar apļa palīdzību:
y = grēks (x) = grēks (x + 360º)
y = cos (x) = cos (x + 360º)
y = tg (x) = tg (x + 18 0º)
y = ctg (x) = ctg (x + 180º)
tg (x + π n) = tgx, n € Z
ctg (x + π n) = ctgx, n € Z
sin (x + 2π n) = sinx, n € Z
cos (x + 2π n) = cosx, n € Z
5) Kā uzzīmēt periodisku funkciju?
Mutes dobuma vingrinājumi.
1) Pierādiet šādas sakarības
a) grēks (740º) = grēks (20º)
b) cos (54º) = cos (-1026º)
c) grēks (-1000º) = grēks (80º)
2. Pierādīt, ka leņķis pie 540º ir viens no funkcijas y = cos (2x) periodiem.
3. Pierādīt, ka 360º leņķis ir viens no funkcijas y = tg (x) periodiem.
4. Pārveidojiet šīs izteiksmes tā, lai tajās ietvertie leņķi absolūtā vērtībā nepārsniegtu 90º.
a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos (-7363º)
5. Kur jūs satikāt vārdus PERIOD, FREKVENCIJA?
Studentu atbildes: Periods mūzikā ir struktūra, kurā tiek pasniegta vairāk vai mazāk pilnīga muzikālā ideja. Ģeoloģiskais periods- daļa no laikmeta un ir sadalīta laikmetos ar periodu no 35 līdz 90 miljoniem gadu.
Radioaktīvās vielas pussabrukšanas periods. Periodiskā daļa. Periodiskie izdevumi ir drukāti izdevumi, kas iznāk stingri noteiktā datumā. Periodiskā sistēma Mendeļejevs.
6. Attēlos parādītas periodisko funkciju grafiku daļas. Nosakiet funkcijas periodu. Nosakiet funkcijas periodu.
Atbilde: T = 2; T = 2; T = 4; T = 8.
7. Kur savā dzīvē esi sastapies ar atkārtojošo elementu konstruēšanu?
Studentu atbilde: Rotu elementi, tautas māksla.
IV. Kolektīva problēmu risināšana.
(Problēmu risināšana slaidos.)
Apsveriet vienu no veidiem, kā pārbaudīt funkcijas periodiskumu.
Šī metode ļauj izvairīties no grūtībām, kas saistītas ar pierādīšanu, ka šis vai cits periods ir mazākais, kā arī novērš nepieciešamību pieskarties aritmētisko darbību jautājumiem ar periodiskām funkcijām un sarežģītas funkcijas periodiskumu. Spriedums balstās tikai uz periodiskas funkcijas definīciju un uz šādu faktu: ja T ir funkcijas periods, tad nT (n? 0) ir tās periods.
1. uzdevums. Atrodiet funkcijas f (x) = 1 + 3 (x + q> 5) mazāko pozitīvo periodu.
Risinājums: Pieņemsim, ka dotās funkcijas T-periods. Tad f (x + T) = f (x) visiem x ∈ D (f), tas ir,
1 + 3 (x + T + 0,25) = 1 + 3 (x + 0,25)
(x + T + 0,25) = (x + 0,25)
Liekot x = -0,25, mēs iegūstam
(T) = 0<=>T = n, n € Z
Mēs saņēmām, ka visi aplūkojamās funkcijas periodi (ja tādi pastāv) ir starp veseliem skaitļiem. Izvēlēsimies mazāko pozitīvo skaitli no šiem skaitļiem. to 1 ... Pārbaudīsim, vai tas tiešām būs periods 1 .
f (x + 1) = 3 (x + 1 + 0,25) +1
Tā kā (T + 1) = (T) jebkuram T, tad f (x + 1) = 3 ((x + 0,25) +1) + 1 = 3 (x + 0,25) + 1 = f (x ), t.i. 1 - f periods. Tā kā 1 ir mazākais no visiem pozitīvajiem veselajiem skaitļiem, T = 1.
2. uzdevums. Parādiet, ka funkcija f (x) = cos 2 (x) ir periodiska, un atrodiet tās galveno periodu.
Uzdevums 3. Atrodi funkcijas galveno periodu
f (x) = grēks (1,5x) + 5cos (0,75x)
Pieņemsim, ka funkcijas T-periods, tad jebkurai NS attiecības ir patiesas
sin1,5 (x + T) + 5cos0,75 (x + T) = sin (1,5x) + 5cos (0,75x)
Ja x = 0, tad
sin (1.5T) + 5cos (0.75T) = sin0 + 5cos0
grēks (1,5 T) + 5 cos (0,75 T) = 5
Ja x = -T, tad
sin0 + 5cos0 = grēks (-1,5T) + 5cos0,75 (-T)
5 = - grēks (1,5 T) + 5 cos (0,75 T)
| grēks (1,5 T) + 5 cos (0,75 T) = 5 - grēks (1,5 T) + 5 cos (0,75 T) = 5 |
Saskaitot to kopā, mēs iegūstam:
10cos (0,75T) = 10
2π n, n € Z
Izvēlēsimies mazāko pozitīvo no visiem “aizdomīgajiem” skaitļiem periodam un pārbaudīsim, vai tas ir periods f. Šis numurs
f (x +) = sin (1,5x + 4π) + 5cos (0,75x + 2π) = grēks (1,5x) + 5cos (0,75x) = f (x)
Tātad - funkcijas f galvenais periods.
4. uzdevums. Pārbaudiet, vai periodiskā funkcija f (x) = sin (x)
Ar T ir funkcijas f periods. Tad jebkuram x
grēks | x + T | = grēks | x |
Ja x = 0, tad sin | Т | = sin0, sin | Т | = 0 Т = π n, n € Z.
Pieņemsim. Ka dažiem n skaitlis π n ir periods
aplūkotās funkcijas π n> 0. Tad grēks | π n + x | = grēks | x |
Tas nozīmē, ka n vienlaikus jābūt gan pāra, gan nepāra, kas nav iespējams. Tāpēc šī funkcija nav periodiska.
Problēma 5. Pārbaudiet, vai periodiskā funkcija
f (x) = 
Tad lai T ir periods f
, tātad sinT = 0, T = π n, n € Z. Pieņemsim, ka kādam n skaitlis π n patiešām ir dotās funkcijas periods. Tad skaitlis 2π n būs periods
Tā kā skaitītāji ir vienādi, tad arī to saucēji ir vienādi
Tādējādi funkcija f nav periodiska.
Grupas darbs.
Grupas uzdevumi 1.
Uzdevumi 2. grupai.
Pārbaudiet, vai funkcija f ir periodiska, un atrodiet tās galveno periodu (ja tāds pastāv).
f (x) = cos (2x) + 2sin (2x)
Grupas uzdevumi 3.
Darba beigās grupas prezentē savus risinājumus.
Vi. Apkopojot stundu.
Atspulgs.
Skolotājs iedod skolēniem kartītes ar attēliem un piedāvā apgleznot daļu no pirmā zīmējuma atbilstoši tam, cik, viņuprāt, ir apguvuši funkcijas periodiskuma izpētes metodes, bet otrā zīmējuma daļā – atbilstoši. ar savu ieguldījumu nodarbības darbā.
Vii. Mājasdarbs
1). Pārbaudiet, vai funkcija f ir periodiska, un atrodiet tās galveno periodu (ja tāds pastāv)
b). f (x) = x 2 -2x + 4
c). f (x) = 2 tg (3x + 5)
2). Funkcijai y = f (x) ir periods T = 2 un f (x) = x 2 + 2x x € [-2; 0]. Atrodiet izteiciena nozīmi -2f (-3) -4f (3,5)
Literatūra/
- Mordkovičs A.G. Algebra un dziļās mācīšanās analīzes sākums.
- Matemātika. Sagatavošanās eksāmenam. Ed. Lisenko F.F., Kulabukhova S.Ju.
- Šeremetjeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra un analīzes sākums 10.-11.klasei.
Tāds skaitlis T, ka jebkuram x F (x + T) = F (x). Šo skaitli T sauc par funkcijas periodu.
Var būt vairāki periodi. Piemēram, funkcijai F = const jebkurai argumenta vērtībai ir tāda pati vērtība, un tāpēc jebkuru skaitli var uzskatīt par tā periodu.
Parasti interesants ir funkcijas mazākais periods, kas atšķiras no nulles. Īsuma labad to vienkārši sauc par punktu.
Klasisks periodisko funkciju piemērs ir trigonometriskais: sinuss, kosinuss un tangenss. To periods ir vienāds un vienāds ar 2π, tas ir, grēks (x) = grēks (x + 2π) = grēks (x + 4π) un tā tālāk. Tomēr, protams, trigonometriskās funkcijas nav vienīgās periodiskās funkcijas.
Salīdzinoši vienkāršām pamata funkcijām vienīgais veids, kā noteikt to periodiskumu vai neperioditāti, ir aprēķini. Bet priekš sarežģītas funkcijas jau ir vairāki vienkārši noteikumi.
Ja F (x) ir ar periodu T un tam ir definēts atvasinājums, tad šis atvasinājums f (x) = F ′ (x) ir arī periodiska funkcija ar periodu T. Galu galā atvasinājuma vērtība punkts x ir vienāds ar tā antiatvasinājuma grafika tangensu šajā punktā pret abscisu asi, un, tā kā tas periodiski atkārtojas, tas ir jāatkārto. Piemēram, grēka (x) atvasinājums ir cos (x), un tas ir periodisks. Ņemot cos (x) atvasinājumu, jūs iegūstat –sin (x). Periodiskums paliek nemainīgs.
Tomēr otrādi ne vienmēr ir taisnība. Tātad funkcija f (x) = const ir periodiska, bet tās antiatvasinājums F (x) = const * x + C nav.
Ja F (x) ir periodiska funkcija ar periodu T, tad G (x) = a * F (kx + b), kur a, b un k ir konstantes un k nav nulle, arī ir periodiska funkcija, un tā periods ir T / k. Piemēram, sin (2x) ir periodiska funkcija, un tās periods ir π. To var skaidri attēlot šādi: reizinot x ar kādu skaitli, jūs, šķiet, saspiežat funkcijas horizontāli tieši tik reižu
Ja F1 (x) un F2 (x) ir periodiskas funkcijas, un to periodi ir attiecīgi vienādi ar T1 un T2, tad arī šo funkciju summa var būt periodiska. Tomēr tā periods nebūs vienkārša periodu T1 un T2 summa. Ja T1 / T2 dalīšanas rezultāts ir racionāls skaitlis, tad funkciju summa ir periodiska, un tās periods ir vienāds ar periodu T1 un T2 mazāko kopīgo reizni (LCM). Piemēram, ja pirmās funkcijas periods ir 12, bet otrās periods ir 15, tad to summas periods būs vienāds ar LCM (12, 15) = 60.
To var skaidri attēlot šādi: funkcijas nāk ar dažādiem "soļu platumiem", bet, ja to platumu attiecība ir racionāla, tad ātrāk vai (precīzāk, caur soļu LCM) tās atkal izlīdzināsies, un to summa sākt jaunu periodu.
Taču, ja periodu attiecība, tad kopējā funkcija nemaz nebūs periodiska. Piemēram, pieņemsim, ka F1 (x) = x mod 2 (atlikušais, ja x dala ar 2) un F2 (x) = sin (x). T1 šeit būs vienāds ar 2, un T2 būs vienāds ar 2π. Perioda attiecība ir π - neracionāls skaitlis... Tāpēc funkcija sin (x) + x mod 2 nav periodiska.
Avoti:
- Funkciju teorija
Daudzām matemātiskajām funkcijām ir viena funkcija, kas atvieglo to konstruēšanu – tā ir periodiskums, tas ir, grafika atkārtojamība koordinātu režģī ar regulāriem intervāliem.
Instrukcijas
Slavenākās matemātikas periodiskās funkcijas ir sinuss un kosinuss. Šīm funkcijām ir viļņains un galvenais periods, kas vienāds ar 2P. Arī īpašs periodiskas funkcijas gadījums ir f (x) = const. Pozīcijā x ir piemērots jebkurš skaitlis, šai funkcijai nav galvenā perioda, jo tā ir taisna līnija.
Kopumā funkcija ir periodiska, ja ir vesels skaitlis N, kas ir nulle un atbilst likumam f (x) = f (x + N), tādējādi nodrošinot atkārtojamību. Funkcijas periods ir mazākais skaitlis N, bet ne nulle. Tas ir, piemēram, sin x funkcija ir vienāda ar sin (x + 2ПN) funkciju, kur N = ± 1, ± 2 utt.
Dažreiz funkcijai var būt reizinātājs (piemēram, sin 2x), kas palielinās vai samazinās funkcijas periodu. Lai atrastu periodu pēc
Video nodarbībā "Funkciju periodiskums y = sin x, y = cos x" tiek atklāts funkcijas periodiskuma jēdziens, apskatīts uzdevumu risināšanas piemēru apraksts, kuros lietots funkcijas periodiskuma jēdziens. Šī video pamācība ir vizuāls palīglīdzeklis, lai skolēniem izskaidrotu tēmu. Arī šī rokasgrāmata var kļūt par patstāvīgu stundas sastāvdaļu, atbrīvojot skolotāju individuālā darba veikšanai ar skolēniem.
Ļoti svarīga ir skaidrība šīs tēmas izklāstā. Lai attēlotu funkcijas uzvedību, diagrammu, tā ir jāvizualizē. Ne vienmēr ar tāfeles un krīta palīdzību var izgatavot konstrukcijas, lai tās būtu saprotamas visiem skolēniem. Video nodarbībā ir iespēja būvējot atlasīt zīmējuma daļas ar krāsu, veikt transformācijas, izmantojot animāciju. Līdz ar to konstrukcijas lielākajai daļai skolēnu kļūst saprotamākas. Arī video nodarbības iespējas veicina materiāla labāku iegaumēšanu.
Demonstrējums sākas, iepazīstinot ar stundas tēmu, kā arī atgādinot skolēniem par iepriekšējās nodarbībās apgūto materiālu. Jo īpaši tajā ir apkopots to īpašību saraksts, kas identificētas funkcijās y = sin x un y = cos x. Starp aplūkojamo funkciju īpašībām tiek atzīmēta definīcijas joma, vērtību diapazons, paritāte (nepārspēja), citas pazīmes - ierobežotība, monotonija, nepārtrauktība, mazākās (lielākās) vērtības punkti. Skolēniem ieteicams šajā nodarbībā izpētīt citu funkcijas īpašību – periodiskumu.
Tiek parādīta periodiskas funkcijas y = f (x) definīcija, kur xϵX, kurā nosacījums f (x-T) = f (x) = f (x + T) ir izpildīts kādam T ≠ 0. Pretējā gadījumā skaitli T sauc par funkcijas periodu.
Aplūkotajām sinusa un kosinusa funkcijām nosacījuma izpilde tiek pārbaudīta, izmantojot redukcijas formulas. Acīmredzot identitātes forma sin (x-2π) = sinx = sin (x + 2π) atbilst izteiksmes formai, kas nosaka funkcijas periodiskuma nosacījumu. To pašu vienlīdzību var atzīmēt kosinuss cos(x-2π) = cos x = cos (x + 2π). Tas nozīmē, ka šīs trigonometriskās funkcijas ir periodiskas.
Tālāk tiek atzīmēts, kā periodiskuma īpašība palīdz veidot periodisku funkciju grafikus. Tiek aplūkota funkcija y = sin x. Uz ekrāna tiek uzzīmēta koordinātu plakne, uz kuras ar π soli ir atzīmētas abscises no -6π līdz 8π. Plaknē ir attēlota sinusa grafika daļa, kas segmentā attēlota ar vienu vilni. Attēlā parādīts, kā funkcijas grafiks tiek veidots visā definīcijas apgabalā, nobīdot uzzīmēto fragmentu un iegūstot garu sinusoīdu.
Funkcijas y = cos x grafiks tiek konstruēts, izmantojot tās periodiskuma īpašību. Lai to izdarītu, attēlā ir uzbūvēta koordinātu plakne, uz kuras ir attēlots grafika fragments. Jāatzīmē, ka parasti šāds fragments tiek veidots uz segmenta [-π / 2; 3π / 2]. Līdzīgi kā sinusa funkcijas grafikam, kosinusa grafika konstruēšana tiek veikta, fragmentu nobīdot. Konstrukcijas rezultātā veidojas garš sinusoīds.
Periodiskās funkcijas uzzīmēšanai ir funkcijas, kuras varat izmantot. Tāpēc tie ir sniegti vispārinātā formā. Atzīmēts, ka šādas funkcijas attēlošanai vispirms uz noteikta intervāla ar garumu T tiek uzbūvēts grafa zars. pēc tam nepieciešams nobīdīt konstruēto zaru pa labi un pa kreisi par T, 2T, 3T utt. šajā gadījumā tiek norādīta vēl viena perioda pazīme - jebkuram veselam skaitlim k ≠ 0 skaitlis kТ ir arī funkcijas periods. Tomēr T sauc par galveno periodu, jo tas ir mazākais no visiem. Priekš trigonometriskās funkcijas sinusa un kosinusa pamatperiods ir 2π. Tomēr tie ir arī periodi 4π, 6π utt.
Tālāk tiek piedāvāts apsvērt funkcijas y = cos 5x galvenā perioda atrašanu. Risinājums sākas ar pieņēmumu, ka T ir funkcijas periods. Tādējādi ir jāizpilda nosacījums f (x-T) = f (x) = f (x + T). Šajā identitātē f (x) = cos 5x un f (x + T) = cos 5 (x + T) = cos (5x + 5T). Šajā gadījumā cos (5x + 5T) = cos 5x, tāpēc 5T = 2πn. Tagad jūs varat atrast T = 2π / 5. Problēma ir atrisināta.
Otrajā uzdevumā jāatrod funkcijas y = sin (2x / 7) galvenais periods. Tiek pieņemts, ka funkcijas T. galvenais periods šai funkcijai ir f (x) = sin (2x / 7), un pēc perioda f (x + T) = sin (2x / 7) (x + T) = grēks (2x / 7 + (2/7) T). pēc samazināšanas iegūstam (2/7) Т = 2πn. Tomēr mums ir jāatrod galvenais periods, tāpēc mēs ņemam mazāko vērtību (2/7) T = 2π, no kuras atrodam T = 7π. Problēma ir atrisināta.
Demonstrācijas beigās piemēru rezultāti tiek apkopoti, lai izveidotu noteikumu, lai definētu funkcijas galveno periodu. Jāatzīmē, ka funkcijām y = sinkx un y = coskx galvenie periodi ir 2π / k.
Video nodarbību "Funkciju y = sin x, y = cos x periodiskums" var izmantot tradicionālās matemātikas stundā, lai palielinātu stundas efektivitāti. Tāpat šo materiālu ieteicams izmantot skolotājam, kas īsteno tālmācības lai palielinātu skaidrojuma skaidrību. Video var ieteikt atpalikušam studentam, lai padziļinātu izpratni par tēmu.
TEKSTA KODS:
"Funkciju y = cos x, y = sin x periodiskums".
Lai attēlotu funkciju y = sin x un y = cos x grafikus, tika izmantotas funkciju īpašības:
1 definīcijas domēns,
2 vērtību zona,
3 pāra vai nepāra,
4 monotonija,
5 ierobežojums,
6 nepārtrauktība,
7 augstākā un zemākā vērtība.
Šodien mēs pētīsim vēl vienu īpašību: funkcijas periodiskumu.
DEFINĪCIJA. Funkciju y = f (x), kur x ϵ X (spēle ir vienāda ar eff no x, kur x pieder kopai x), sauc par periodisku, ja ir skaitlis T, kas atšķiras no nulles, tā ka jebkuram x no kopas X ir spēkā dubultā vienādība: f (x - T) = f (x) = f (x + T) (eff no x mīnus te ir vienāds ar eff no x un vienāds ar eff no x plus te). Skaitli T, kas apmierina šo dubultvienādību, sauc par funkcijas periodu
Un tā kā sinuss un kosinuss ir definēti uz visas skaitļa līnijas un jebkuram x vienādības ir izpildītas, sin (x - 2π) = sin x = sin (x + 2π) (sinuss no x mīnus divi pi ir vienāds ar sinusu no x un ir vienāds ar sinusu no x plus divi pi ) un
cos (x- 2π) = cos x = cos (x + 2π) (kosinuss no x mīnus divi pi ir vienāds ar kosinusu x un ir vienāds ar kosinusu no x plus divi pi), tad sinuss un kosinuss ir periodiskas funkcijas ar punktu no 2π.
Biežums ļauj ātri izveidot funkciju grafiku. Patiešām, lai attēlotu funkciju y = sin x, pietiek uzzīmēt vienu vilni (visbiežāk segmentā (no nulles līdz diviem pi) un pēc tam novirzot attēloto grafika daļu pa abscisu asi uz pa labi un pa kreisi ar 2π, pēc tam ar 4π un tā tālāk iegūst sinusoidālo vilni.
(rādīt nobīdi pa kreisi un pa labi par 2π, 4π)
Līdzīgi funkcijas grafikam
y = cos x, tikai mēs konstruējam vienu vilni visbiežāk segmentā [; ] (no mīnus pi par diviem līdz trīs pi ar diviem).
Ļaujiet mums vispārināt iepriekš minēto un izdarīt secinājumu: lai uzzīmētu periodiskas funkcijas grafiku ar periodu T, vispirms ir jāizveido grafika atzars (vai vilnis, vai daļa) uz jebkura garuma T (lielākā daļa bieži tas ir intervāls ar galiem punktos 0 un T vai - un (mīnus te ar divi un te ar divi), un pēc tam pārvietojiet šo atzaru pa x (x) asi pa labi un pa kreisi par T, 2T, 3T, utt.
Acīmredzot, ja funkcija ir periodiska ar periodu T, tad jebkuram veselam skaitlim k0 (nevis vienāds ar nulli) skaitlis formā kT (ka te) ir arī šīs funkcijas periods. Parasti viņi cenšas izcelt mazāko pozitīvo periodu, ko sauc par galveno periodu.
Kā funkciju y = cos x, y = sin x periodu varētu ņemt - 4π, 4π, - 6π, 6π utt. (mīnus četri pi, četri pi, mīnus seši pi, seši pi un tā tālāk) . Bet skaitlis 2π ir abu funkciju galvenais periods.
Apskatīsim dažus piemērus.
1. PIEMĒRS Atrodiet funkcijas y = cos5x galveno periodu (y ir vienāds ar piecu x kosinusu).
Risinājums. Ar T ir funkcijas y = cos5x galvenais periods. Mēs liekam
f (x) = cos5x, tad f (x + T) = cos5 (x + T) = cos (5x + 5T) (eff no x plus te ir vienāds ar kosinusu no pieci, kas reizināts ar x summu un te ir vienāds ar piecu x un piecu te summas kosinusu).
cos (5x + 5T) = cos5x. Tādējādi 5T = 2πn (pieci te ir vienādi ar diviem pi en), bet pēc nosacījuma ir jāatrod galvenais periods, kas nozīmē, ka 5T = 2π. Mēs iegūstam T =
(šīs funkcijas periods ir divi pi dalīti ar pieci).
Atbilde: T =.
PIEMĒRS 2. Atrodiet funkcijas y = sin galveno periodu (y ir vienāds ar koeficienta divi x ar septiņi sinusu).
Risinājums. Lai T ir funkcijas y = sin galvenais periods. Mēs liekam
f (x) = grēks, tad f (x + T) = grēks (x + T) = grēks (x + T) (eff no x plus te ir vienāds ar divu septīto daļu un x summas reizinājuma sinusu un te ir vienāds ar divu septīto x un divu septīto te) summas sinusu.
Lai skaitlis T būtu funkcijas periods, ir jāizpilda identitāte
grēks (x + T) = grēks. Tātad T = 2πn (divas septītās te ir vienādas ar divām pi en), bet pēc nosacījuma ir jāatrod galvenais periods, kas nozīmē, ka T = 2π. Mēs iegūstam T = 7
(šīs funkcijas periods ir septiņi pi).
Atbilde: T = 7.
Apkopojot piemēros iegūtos rezultātus, varam secināt: funkciju y = sin kx vai y = cos kx (y = sine x vai y ir vienāds ar kosinusu x) galvenais periods ir vienāds ar (divus pi dalīti ar ka) .