Šajā rakstā mēs parādīsim, kā leņķa un skaitļa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijas trigonometrijā. Šeit mēs runāsim par apzīmējumiem, sniegsim ierakstu piemērus, sniegsim grafiskas ilustrācijas. Noslēgumā mēs velkam paralēles starp sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijām trigonometrijā un ģeometrijā.
Lapas navigācija.
Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcija
Sekosim, kā skolas matemātikas kursā veidojas jēdziens sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss. Ģeometrijas stundās tiek dota akūtā leņķa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcija taisnleņķa trijstūrī. Un vēlāk tiek pētīta trigonometrija, kas attiecas uz griešanās leņķa un skaitļa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. Mēs sniedzam visas šīs definīcijas, sniedzam piemērus un sniedzam nepieciešamos komentārus.
Akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī
No ģeometrijas kursa ir zināmas taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences definīcijas. Tie ir doti kā taisnleņķa trijstūra malu attiecība. Mēs piedāvājam to formulējumus.
Definīcija.
Akūta leņķa sinuss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu.
Definīcija.
Akūta leņķa kosinuss taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.
Definīcija.
Akūta leņķa pieskare taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo kāju.
Definīcija.
Akūta leņķa kotangenss taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas un pretējās kājas attiecība.
Tur tiek ieviests arī sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta apzīmējums - attiecīgi sin, cos, tg un ctg.
Piemēram, ja ABC ir taisnleņķa trijstūris ar taisnleņķi C, tad asā leņķa A sinuss ir vienāds ar pretējās kājas BC attiecību pret hipotenūzu AB, tas ir, sin∠A=BC/AB.
Šīs definīcijas ļauj aprēķināt akūtā leņķa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensas vērtības no zināmajiem taisnleņķa trijstūra malu garumiem, kā arī no zināmajām sinusa, kosinusa vērtībām, pieskare, kotangenss un vienas malas garums, atrodiet pārējo malu garumus. Piemēram, ja mēs zinātu, ka taisnleņķa trijstūrī kājiņa AC ir 3 un hipotenūza AB ir 7 , tad varētu aprēķināt asā leņķa A kosinusu pēc definīcijas: cos∠A=AC/AB=3/7 .
Rotācijas leņķis
Trigonometrijā viņi sāk aplūkot leņķi plašāk - ievieš griešanās leņķa jēdzienu. Rotācijas leņķis, atšķirībā no asā leņķa, nav ierobežots ar kadriem no 0 līdz 90 grādiem, griešanās leņķi grādos (un radiānos) var izteikt ar jebkuru reālu skaitli no −∞ līdz +∞.
Šajā gaismā sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcijas vairs nav akūts leņķis, bet gan patvaļīga lieluma leņķis - griešanās leņķis. Tie ir doti caur x un y koordinātām punktā A 1 , kurā ieiet tā sauktais sākuma punkts A(1, 0) pēc tam, kad tas pagriežas pa leņķi α ap punktu O - taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmas sākums. un vienības apļa centrs.
Definīcija.
Rotācijas leņķa sinussα ir punkta A 1 ordināta, tas ir, sinα=y .
Definīcija.
griešanās leņķa kosinussα sauc par punkta A 1 abscisu, tas ir, cosα=x .
Definīcija.
Rotācijas leņķa pieskareα ir punkta A 1 ordinātu attiecība pret tā abscisu, tas ir, tgα=y/x .
Definīcija.
Rotācijas leņķa kotangenssα ir punkta A 1 abscisu attiecība pret tā ordinātām, tas ir, ctgα=x/y .
Sinusu un kosinusu nosaka jebkuram leņķim α, jo mēs vienmēr varam noteikt punkta abscisi un ordinātu, ko iegūst, pagriežot sākuma punktu par leņķi α. Un tangenss un kotangenss nav definēti nevienam leņķim. Pieskares nav definēta tādiem leņķiem α, kuros sākuma punkts iet uz punktu ar nulles abscisu (0, 1) vai (0, −1) , un tas notiek leņķos 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Patiešām, pie šādiem griešanās leņķiem izteiksmei tgα=y/x nav jēgas, jo tajā ir dalījums ar nulli. Kas attiecas uz kotangensu, tas nav definēts tādiem leņķiem α, kuros sākuma punkts iet uz punktu ar nulles ordinātu (1, 0) vai (−1, 0) , un tas attiecas uz leņķiem 180° k , k ∈Z (π k rad).
Tātad sinusu un kosinusu nosaka visiem rotācijas leņķiem, tangensu nosaka visiem leņķiem, izņemot 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), un kotangensu nosaka visiem leņķiem, izņemot 180. ° ·k , k∈Z (π·k rad).
Mums jau zināmie apzīmējumi parādās definīcijās sin, cos, tg un ctg, ar tiem apzīmē arī griešanās leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu (dažkārt var atrast apzīmējumu tan un cot, kas atbilst pieskarei un kotangenss). Tātad 30 grādu griešanās leņķa sinusu var uzrakstīt kā sin30°, ieraksti tg(−24°17′) un ctgα atbilst griešanās leņķa pieskarei −24° 17 minūtes un rotācijas leņķa α kotangensei. . Atcerieties, ka, rakstot leņķa radiānu, apzīmējums "rad" bieži tiek izlaists. Piemēram, trīs pi radu rotācijas leņķa kosinusu parasti apzīmē cos3 π .
Noslēdzot šo punktu, ir vērts atzīmēt, ka, runājot par griešanās leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu, frāze "rotācijas leņķis" vai vārds "rotācija" bieži tiek izlaista. Tas ir, frāzes "rotācijas leņķa sinuss alfa" vietā parasti tiek lietots frāze "alfa leņķa sinuss" vai vēl īsāks - "alfa sinuss". Tas pats attiecas uz kosinusu, tangensu un kotangensu.
Pieņemsim arī, ka taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijas atbilst definīcijām, kas tikko dotas rotācijas leņķa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa diapazonā no 0 līdz 90 grādiem. Mēs to pamatosim.
Skaitļi
Definīcija.
Skaitļa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss t ir skaitlis, kas vienāds ar griešanās leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu attiecīgi t radiānos.
Piemēram, 8 π kosinuss pēc definīcijas ir skaitlis, kas vienāds ar 8 π rad leņķa kosinusu. Un leņķa kosinuss ir 8 π rad vienāds ar vienu, tāpēc skaitļa 8 kosinuss π ir vienāds ar 1 .
Ir vēl viena pieeja skaitļa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijai. Tas sastāv no tā, ka katrs reālais skaitlis t ir piešķirts punktam uz vienības apļa, kura centrs ir taisnstūra koordinātu sistēmas sākumpunktā, un sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa tiek definēta kā šī punkta koordinātas. Pakavēsimies pie tā sīkāk.
Parādīsim, kā tiek noteikta atbilstība starp reāliem skaitļiem un apļa punktiem:
- skaitlim 0 tiek piešķirts sākumpunkts A(1, 0) ;
- pozitīvs skaitlis t ir saistīts ar punktu uz vienības apļa, uz kuru mēs nonāksim, ja no sākuma punkta virzīsimies ap apli pretēji pulksteņrādītāja virzienam un ejam pa ceļu, kura garums ir t;
- negatīvs skaitlis t atbilst vienības riņķa punktam, kurā nonāksim, ja no sākuma punkta apbrauksim apli pulksteņrādītāja virzienā un ejam pa ceļu, kura garums ir |t| .
Tagad pāriesim pie skaitļa t sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcijām. Pieņemsim, ka skaitlis t atbilst apļa punktam A 1 (x, y) (piemēram, skaitlis &pi/2; atbilst punktam A 1 (0, 1) ).
Definīcija.
Skaitļa sinuss t ir apļa vienības punkta ordināta, kas atbilst skaitlim t , tas ir, sint=y .
Definīcija.
Skaitļa kosinuss t sauc par vienību apļa punkta abscisi, kas atbilst skaitlim t , tas ir, izmaksas=x .
Definīcija.
Skaitļa tangenss t ir skaitlim t atbilstošā vienības apļa punkta ordinātu un abscisu attiecība, tas ir, tgt=y/x. Citā līdzvērtīgā formulējumā skaitļa t tangenss ir šī skaitļa sinusa attiecība pret kosinusu, tas ir, tgt=sint/cost .
Definīcija.
Skaitļa kotangenss t ir abscisu attiecība pret vienības apļa punkta ordinātām, kas atbilst skaitlim t, tas ir, ctgt=x/y. Cits formulējums ir šāds: skaitļa t tangenss ir skaitļa t kosinusa attiecība pret skaitļa t sinusu : ctgt=izmaksas/sint .
Šeit mēs atzīmējam, ka tikko sniegtās definīcijas atbilst definīcijai, kas sniegta šīs apakšiedaļas sākumā. Patiešām, vienības apļa punkts, kas atbilst skaitlim t, sakrīt ar punktu, kas iegūts, pagriežot sākuma punktu t radiānu leņķī.
Ir arī vērts precizēt šo punktu. Pieņemsim, ka mums ir sin3 ieraksts. Kā saprast, vai runa ir par skaitļa 3 vai 3 radiānu griešanās leņķa sinusu? Tas parasti ir skaidrs no konteksta, pretējā gadījumā tas, iespējams, nav svarīgi.
Leņķiskā un skaitliskā argumenta trigonometriskās funkcijas
Saskaņā ar iepriekšējā punktā sniegtajām definīcijām katrs rotācijas leņķis α atbilst precīzi noteiktai vērtībai sin α , kā arī vērtībai cos α . Turklāt visi rotācijas leņķi, kas nav 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), atbilst vērtībām tgα un kas nav 180° k , k∈Z (π k rad ) ir ctgα vērtības. Tāpēc sinα, cosα, tgα un ctgα ir leņķa α funkcijas. Citiem vārdiem sakot, šīs ir leņķa argumenta funkcijas.
Līdzīgi var runāt par skaitliskā argumenta funkcijām sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. Patiešām, katrs reālais skaitlis t atbilst precīzi noteiktai sint vērtībai, kā arī izmaksām. Turklāt visi skaitļi, izņemot π/2+π·k , k∈Z atbilst vērtībām tgt , un skaitļi π·k , k∈Z atbilst vērtībām ctgt .
Tiek izsauktas funkcijas sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss trigonometriskās pamatfunkcijas.
No konteksta parasti ir skaidrs, ka mums ir darīšana ar leņķa argumenta vai skaitliskā argumenta trigonometriskām funkcijām. Pretējā gadījumā neatkarīgo mainīgo varam uzskatīt gan par leņķa mēru (leņķa argumentu), gan par skaitlisku argumentu.
Taču skolā galvenokārt tiek pētītas skaitliskās funkcijas, tas ir, funkcijas, kuru argumenti, kā arī to atbilstošās funkciju vērtības ir skaitļi. Tāpēc, ja mēs runājam par funkcijām, tad ir ieteicams apsvērt trigonometriskās funkcijas skaitlisko argumentu funkcijas.
Ģeometrijas un trigonometrijas definīciju savienošana
Ja ņemam vērā griešanās leņķi α no 0 līdz 90 grādiem, tad dati griešanās leņķa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijas trigonometrijas kontekstā pilnībā atbilst sinusa, kosinusa definīcijām. , ģeometrijas kursā doti asa leņķa tangenss un kotangenss taisnleņķa trijstūrī. Pamatosim to.
Zīmējiet taisnstūrī Dekarta sistēma Skābekļa koordinātu vienības aplis. Ņemiet vērā sākuma punktu A(1, 0) . Pagriežam to par leņķi α robežās no 0 līdz 90 grādiem, iegūstam punktu A 1 (x, y) . Nometīsim perpendikulu A 1 H no punkta A 1 uz Ox asi.
Ir viegli redzēt, ka taisnleņķa trijstūrī leņķis A 1 OH ir vienāds ar griešanās leņķi α, šim leņķim blakus esošās kājas OH garums ir vienāds ar punkta A 1 abscisu, tas ir, |OH |=x, leņķim pretējās kājas garums A 1 H ir vienāds ar punkta A 1 ordinātu, tas ir, |A 1 H|=y , un hipotenūzas OA 1 garums ir vienāds ar vienu , jo tas ir vienības apļa rādiuss. Tad, pēc ģeometrijas definīcijas, akūtā leņķa α sinuss taisnleņķa trijstūrī A 1 OH ir vienāds ar pretējās kājas attiecību pret hipotenūzu, tas ir, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Un pēc trigonometrijas definīcijas griešanās leņķa sinuss α ir vienāds ar punkta A 1 ordinātu, tas ir, sinα=y. Tas parāda, ka akūtā leņķa sinusa definīcija taisnleņķa trijstūrī ir līdzvērtīga griešanās leņķa α sinusa definīcijai α no 0 līdz 90 grādiem.
Līdzīgi var parādīt, ka akūtā leņķa α kosinusa, pieskares un kotangensas definīcijas saskan ar griešanās leņķa α kosinusa, pieskares un kotangensas definīcijām.
Bibliogrāfija.
- Ģeometrija. 7-9 klases: studijas. vispārējai izglītībai institūcijas / [L. S. Atanasjans, V. F. Butuzovs, S. B. Kadomcevs un citi]. - 20. izd. M.: Izglītība, 2010. - 384 lpp.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelovs A.V.Ģeometrija: Proc. 7-9 šūnām. vispārējā izglītība iestādes / A. V. Pogorelovs. - 2. izdevums - M.: Apgaismība, 2001. - 224 lpp.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebra un elementārās funkcijas: Apmācība vidusskolas 9. klases skolēniem / E. S. Kočetkovs, E. S. Kočetkova; Rediģējis fizikas un matemātikas zinātņu doktors O. N. Golovins - 4. izd. Maskava: Izglītība, 1969.
- Algebra: Proc. 9 šūnām. vid. skola / Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovskis.- M.: Apgaismība, 1990.- 272 lpp.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Apgaismība, 2004.- 384 lpp.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovičs A.G. Algebra un analīzes sākums. 10. klase. Plkst.2 st.1.daļa: mācību grāmata izglītības iestādēm ( profila līmenis)/ A. G. Mordkovičs, P. V. Semenovs. - 4. izdevums, pievienot. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Algebra un sākt matemātiskā analīze. 10. klase: mācību grāmata. vispārējai izglītībai institūcijas: pamata un profils. līmeņi /[Yu. M. Koļagins, M. V. Tkačova, N. E. Fedorova, M. I. Šabuņins]; ed. A. B. Žižčenko. - 3. izdevums. - I .: Izglītība, 2010. - 368 lpp.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bašmakovs M.I. Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vid. skola - 3. izdevums. - M.: Apgaismība, 1993. - 351 lpp.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.
Ļauj noteikt vairākus raksturīgus rezultātus - sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašības. Šajā rakstā mēs apskatīsim trīs galvenās īpašības. Pirmais no tiem norāda leņķa α sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa zīmes atkarībā no tā, kura koordinātu ceturkšņa leņķis ir α. Tālāk mēs aplūkojam periodiskuma īpašību, kas nosaka leņķa α sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtību nemainīgumu, kad šis leņķis mainās par veselu apgriezienu skaitu. Trešā īpašība izsaka attiecību starp pretējo leņķu α un −α sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtībām.
Ja jūs interesē sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta funkciju īpašības, tad tās var izpētīt attiecīgajā raksta sadaļā.
Lapas navigācija.
Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa zīmes ceturtdaļās
Zemāk šajā punktā būs frāze "koordinātu ceturkšņa I, II, III un IV leņķis". Paskaidrosim, kas ir šie stūri.
Ņemsim vienības apli, atzīmēsim uz tā sākuma punktu A(1, 0) un pagriežam ap punktu O par leņķi α, kamēr pieņemsim, ka nonākam līdz punktam A 1 (x, y) .
Viņi tā saka leņķis α ir koordinātu ceturkšņa leņķis I , II , III , IV ja punkts A 1 atrodas attiecīgi I, II, III, IV ceturksnī; ja leņķis α ir tāds, ka punkts A 1 atrodas uz kādas no koordinātu taisnēm Ox vai Oy , tad šis leņķis nepieder nevienai no četrām ceturtdaļām.
Skaidrības labad mēs piedāvājam grafisku ilustrāciju. Zemāk esošie zīmējumi parāda griešanās leņķus 30 , -210 , 585 un -45 grādi, kas ir attiecīgi koordinātu ceturkšņu I , II , III un IV leņķi.
stūriem 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … grādi nepieder nevienai no koordinātu ceturtdaļām.
Tagad izdomāsim, kurām zīmēm ir rotācijas leņķa α sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības atkarībā no tā, kurš ceturkšņa leņķis ir α.
Sinususam un kosinusam tas ir viegli izdarāms.
Pēc definīcijas leņķa α sinuss ir punkta A 1 ordināta. Ir skaidrs, ka I un II koordinātu ceturksnī tas ir pozitīvs, bet III un IV ceturksnī tas ir negatīvs. Tādējādi leņķa α sinusam I un II ceturksnī ir pluszīme, bet III un VI ceturksnī - mīnusa zīme.
Savukārt leņķa α kosinuss ir punkta A 1 abscisa. I un IV ceturksnī tas ir pozitīvs, bet II un III ceturksnī tas ir negatīvs. Tāpēc leņķa α kosinusa vērtības I un IV ceturksnī ir pozitīvas, bet II un III ceturksnī tās ir negatīvas.
Lai noteiktu zīmes pēc pieskares un kotangensa ceturtdaļām, jums jāatceras to definīcijas: tangenss ir punkta A 1 ordinātu attiecība pret abscisu, un kotangente ir punkta A 1 abscisu attiecība pret ordinātu. Tad no skaitļu dalīšanas noteikumi ar to pašu un dažādas zīmes no tā izriet, ka pieskarei un kotangensam ir pluszīme, ja punkta A 1 abscises un ordinātu zīmes ir vienādas, un mīnusa zīme, ja punkta A 1 abscises un ordinātu zīmes ir atšķirīgas. Tāpēc leņķa tangensam un kotangensam ir + zīme I un III koordinātu ceturtdaļā, bet mīnusa zīme II un IV ceturtdaļā.
Patiešām, piemēram, pirmajā ceturksnī gan punkta A 1 abscisa x, gan ordināta y ir pozitīvas, tad gan koeficients x/y, gan koeficients y/x ir pozitīvi, tāpēc pieskarei un kotangensei ir + zīmes. . Un abscisas otrajā ceturksnī x ir negatīvs, un y-ordināta ir pozitīva, tāpēc gan x / y, gan y / x ir negatīvi, no kurienes tangensei un kotangensei ir mīnusa zīme.
Pāriesim pie nākamās īpašības sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa.
Periodiskuma īpašība
Tagad mēs analizēsim, iespējams, visredzamāko leņķa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences īpašību. Tas sastāv no sekojošā: kad leņķis mainās par veselu skaitu pilnu apgriezienu, šī leņķa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības nemainās.
Tas ir saprotams: kad leņķis mainās par veselu apgriezienu skaitu, mēs vienmēr no sākuma punkta A līdz punktam A 1 nokļūsim vienības aplī, tāpēc sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības paliek nemainīgas, jo punkta A 1 koordinātas ir nemainīgas.
Izmantojot formulas, aplūkoto sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašību var uzrakstīt šādi: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , kur α ir griešanās leņķis radiānos, z ir jebkurš , absolūtā vērtība kas norāda pilnu apgriezienu skaitu, par kādu mainās leņķis α, un skaitļa zīme z norāda griešanās virzienu.
Ja griešanās leņķis α ir norādīts grādos, tad šīs formulas tiks pārrakstītas kā sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360° z)=ctgα .
Sniegsim šī īpašuma izmantošanas piemērus. Piemēram, 
, jo 
, a 
. Šeit ir vēl viens piemērs: vai .
Šo īpašību kopā ar samazināšanas formulām ļoti bieži izmanto, aprēķinot "lielo" leņķu sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības.
Aplūkoto sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašību dažreiz sauc par periodiskuma īpašību.
Pretējo leņķu sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu īpašības
Apzīmēsim punktu А 1, kas iegūts, pagriežot sākuma punktu А(1, 0) ap punktu O ar leņķi α , bet punkts А 2 ir punkta А pagriešanas par leņķi rezultāts. −α pretējs leņķim α .
Pretējo leņķu sinusu, kosinusu, pieskares un kotangenšu īpašība ir balstīta uz diezgan acīmredzamu faktu: iepriekš minētie punkti A 1 un A 2 vai nu sakrīt (pie), vai atrodas simetriski ap asi Ox. Tas ir, ja punktam A 1 ir koordinātes (x, y) , tad punktam A 2 būs koordinātes (x, −y) . No šejienes saskaņā ar sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām mēs pierakstām vienādības un.
Salīdzinot tos, iegūstam attiecības starp formas α un −α pretējo leņķu sinusiem, kosinusiem, tangensiem un kotangensiem.
Tas ir uzskatāms īpašums formulu veidā.
Sniegsim šī īpašuma izmantošanas piemērus. Piemēram, vienādības un 
.
Atliek tikai atzīmēt, ka pretējo leņķu sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu īpašība, tāpat kā iepriekšējā īpašība, bieži tiek izmantota, aprēķinot sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības, un tas ļauj pilnībā izkļūt. no negatīviem leņķiem.
Bibliogrāfija.
- Algebra: Proc. 9 šūnām. vid. skola / Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovskis.- M.: Apgaismība, 1990.- 272 lpp.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Apgaismība, 2004.- 384 lpp.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Bašmakovs M.I. Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vid. skola - 3. izdevums. - M.: Apgaismība, 1993. - 351 lpp.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.
Mēs sākam trigonometrijas izpēti ar taisnleņķa trīsstūri. Definēsim, kas ir sinuss un kosinuss, kā arī akūtā leņķa pieskare un kotangenss. Šie ir trigonometrijas pamati.
Atgādiniet to pareizā leņķī ir leņķis, kas vienāds ar 90 grādiem. Citiem vārdiem sakot, puse no atlocītā stūra.
Ass stūris- mazāks par 90 grādiem.
Strups leņķis- lielāks par 90 grādiem. Saistībā ar šādu leņķi "strupu" nav apvainojums, bet matemātisks termins :-)
Uzzīmēsim taisnleņķa trīsstūri. Parasti tiek apzīmēts taisns leņķis. Ņemiet vērā, ka sānu, kas atrodas pretī stūrim, apzīmē ar to pašu burtu, tikai mazu. Tātad tiek apzīmēta puse, kas atrodas pretī leņķim A.
Leņķi apzīmē ar atbilstošo grieķu burtu.
Hipotenūza Taisns trīsstūris ir mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim.
Kājas- malas pretī asiem stūriem.
Kāju, kas atrodas pretī stūrim, sauc pretī(attiecībā pret leņķi). Otru kāju, kas atrodas vienā stūra pusē, sauc blakus.
Sinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Kosinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Pieskares akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - pretējās kājas attiecība pret blakus esošo:
Vēl viena (ekvivalenta) definīcija: akūta leņķa tangenss ir leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu:
Kotangenss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī - blakus esošās kājas attiecība pret pretējo (vai, līdzvērtīgi, kosinusa un sinusa attiecība):
Pievērsiet uzmanību sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa pamatattiecībām, kas norādītas zemāk. Tie mums noderēs problēmu risināšanā.
Pierādīsim dažus no tiem.
Labi, mēs esam devuši definīcijas un rakstiskas formulas. Bet kāpēc mums ir vajadzīgs sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss?
Mēs to zinām jebkura trijstūra leņķu summa ir.
Mēs zinām attiecības starp ballītēm taisnleņķa trīsstūris. Šī ir Pitagora teorēma: .
Izrādās, ka, zinot divus leņķus trīsstūrī, jūs varat atrast trešo. Zinot divas taisnleņķa trīsstūra malas, jūs varat atrast trešo. Tātad leņķiem - to attiecība, sāniem - savs. Bet ko darīt, ja taisnleņķa trijstūrī ir zināms viens leņķis (izņemot taisno) un viena mala, bet jāatrod citas malas?
Ar to cilvēki saskārās pagātnē, veidojot apgabala kartes un zvaigžņotās debesis. Galu galā ne vienmēr ir iespējams tieši izmērīt visas trīsstūra malas.
Sinuss, kosinuss un tangenss - tos sauc arī leņķa trigonometriskās funkcijas- norādiet attiecību starp ballītēm un stūriem trīsstūris. Zinot leņķi, visas tā trigonometriskās funkcijas var atrast, izmantojot īpašas tabulas. Un, zinot trijstūra un tā vienas malas leņķu sinusus, kosinusus un pieskares, jūs varat atrast pārējo.
Mēs arī izveidosim tabulu ar sinusa, kosinusa, pieskares un kotangentes vērtībām "labiem" leņķiem no līdz.
Ievērojiet tabulā divas sarkanās svītras. Atbilstošajām leņķu vērtībām tangenses un kotangences nav.
Analizēsim vairākas trigonometrijas problēmas no FIPI uzdevumu bankas.
1. Trijstūrī leņķis ir , . Atrast.
Problēma tiek atrisināta četrās sekundēs.
Ciktāl , .
2. Trijstūrī leņķis ir , , . Atrast.
Atradīsim pēc Pitagora teorēmas.
Problēma atrisināta.
Bieži vien uzdevumos ir trīsstūri ar leņķiem un vai ar leņķiem un . Iegaumējiet viņiem no galvas pamata attiecības!
Trijstūrim ar leņķiem un kāju, kas atrodas pretī leņķim pie, ir vienāda ar puse no hipotenūzas.
Trīsstūris ar leņķiem un ir vienādsānu. Tajā hipotenūza ir reizes lielāka par kāju.
Mēs apsvērām problēmas taisnleņķa trīsstūru risināšanai - tas ir, nezināmu malu vai leņķu atrašanai. Bet tas vēl nav viss! V IZMANTOT opcijas matemātikā ir daudz uzdevumu, kur parādās trijstūra ārējā leņķa sinuss, kosinuss, tangenss vai kotangenss. Vairāk par to nākamajā rakstā.
Kur tika izskatīti taisnleņķa trijstūra risināšanas uzdevumi, apsolīju iepazīstināt ar tehniku, kā iegaumēt sinusa un kosinusa definīcijas. Izmantojot to, jūs vienmēr ātri atcerēsities, kura kāja pieder hipotenūzai (blakus vai pretējai). Es nolēmu to neatlikt uz nenoteiktu laiku, nepieciešamo materiālu zemāk, lūdzu, skatiet
Fakts ir tāds, ka esmu vairākkārt novērojis, kā 10.-11. klases skolēniem ir grūtības atcerēties šīs definīcijas. Viņi ļoti labi atceras, ka kāja attiecas uz hipotenūzu, bet kura- aizmirsti un apjucis. Kļūdas cena, kā jūs zināt eksāmenā, ir zaudēts rezultāts.
Informācijai, ko es pasniegšu tieši matemātikai, nav nekāda sakara. Tas ir saistīts ar tēlaino domāšanu un verbāli loģiskās saiknes metodēm. Pareizi, es pats, reiz par visām reizēm atcerējosdefinīcijas dati. Ja jūs joprojām tos aizmirstat, tad ar piedāvāto paņēmienu palīdzību to vienmēr ir viegli atcerēties.
Ļaujiet man atgādināt sinusa un kosinusa definīcijas taisnleņķa trīsstūrī:
Kosinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Sinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Tātad, kādas asociācijas tevī izraisa vārds kosinuss?
Droši vien katram ir savsAtcerieties saiti:
Tādējādi jūsu atmiņā nekavējoties parādīsies izteiksme -
«… PLAŠĀS kājas attiecība pret hipotenūzu».
Problēma ar kosinusa definīciju ir atrisināta.
Ja jums ir jāatceras sinusa definīcija taisnleņķa trijstūrī, tad, atceroties kosinusa definīciju, jūs varat viegli noteikt, ka akūtā leņķa sinuss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu. Galu galā ir tikai divas kājas, ja blakus esošo kāju “aizņem” kosinuss, tad sinusam paliek tikai pretējā puse.
Kā ar tangensu un kotangensu? Tāda pati apjukums. Skolēni zina, ka tāda ir kāju attiecība, bet problēma ir atcerēties, uz kuru no tiem attiecas - vai pretī blakus esošajam, vai otrādi.
Definīcijas:
Pieskares akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo:
Kotangenss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo:
Kā atcerēties? Ir divi veidi. Viens izmanto arī verbāli loģisku savienojumu, otrs - matemātisko.
MATEMĀTISKĀ METODE
Pastāv šāda definīcija - akūta leņķa pieskare ir leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu:
* Atceroties formulu, vienmēr var noteikt, ka akūtā leņķa tangenss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo.
Tāpat.Akūtā leņķa kotangenss ir leņķa kosinusa attiecība pret tā sinusu:
Tātad! Atceroties šīs formulas, jūs vienmēr varat noteikt, ka:
- asa leņķa tangenss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo
- asa leņķa kotangenss taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo.
VERBĀLLOĢISKĀ METODE
Par tangensu. Atcerieties saiti:
Tas ir, ja jums ir jāatceras pieskares definīcija, izmantojot šo loģisko savienojumu, jūs varat viegli atcerēties, kas tas ir
"...pretējās kājas attiecība pret blakus esošo"
Ja runa ir par kotangensu, tad, atceroties pieskares definīciju, jūs varat viegli izteikt kotangensa definīciju -
"... blakus esošās kājas attiecība pret pretējo"
Vietnē ir interesanta pieskares un kotangensa iegaumēšanas tehnika " Matemātiskais tandēms " , Skaties.
METODE UNIVERSĀLĀ
Jūs varat vienkārši sasmalcināt.Bet, kā rāda prakse, pateicoties verbāli-loģiskiem sakariem, cilvēks ilgu laiku atceras informāciju, nevis tikai matemātisko.
Es ceru, ka materiāls jums bija noderīgs.
Ar cieņu Aleksandrs Krutickhs
P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.
Viena no matemātikas nozarēm, ar kuru skolēni tiek galā ar vislielākajām grūtībām, ir trigonometrija. Nav brīnums: lai brīvi apgūtu šo zināšanu jomu, nepieciešama telpiskā domāšana, spēja atrast sinusus, kosinusus, pieskares, kotangentus, izmantojot formulas, vienkāršot izteiksmes un prast aprēķinos izmantot skaitli pi. Turklāt, pierādot teorēmas, ir jāprot pielietot trigonometriju, un tam ir nepieciešama vai nu attīstīta matemātiskā atmiņa, vai spēja izsecināt sarežģītas loģiskās ķēdes.
Trigonometrijas izcelsme
Iepazīšanās ar šo zinātni jāsāk ar leņķa sinusa, kosinusa un pieskares definīciju, taču vispirms ir jāizdomā, ko trigonometrija dara kopumā.
Vēsturiski šīs sadaļas galvenais izpētes objekts matemātikas zinātne bija taisnleņķa trīsstūri. 90 grādu leņķa klātbūtne ļauj veikt dažādas darbības, kas ļauj noteikt visu aplūkojamās figūras parametru vērtības, izmantojot divas puses un vienu leņķi vai divus leņķus un vienu pusi. Agrāk cilvēki pamanīja šo modeli un sāka to aktīvi izmantot ēku celtniecībā, navigācijā, astronomijā un pat mākslā.
Pirmais posms
Sākotnēji cilvēki runāja par leņķu un malu attiecībām tikai taisnleņķa trīsstūru piemērā. Tad tika atklātas īpašas formulas, kas ļāva paplašināt izmantošanas robežas Ikdienašī matemātikas nozare.
Trigonometrijas apguve skolā mūsdienās sākas ar taisnleņķa trijstūriem, pēc kuriem iegūtās zināšanas skolēni izmanto fizikā un abstraktu uzdevumu risināšanā. trigonometriskie vienādojumi, darbs ar kuru sākas vidusskolā.
Sfēriskā trigonometrija
Vēlāk, kad zinātne sasniedza nākamo attīstības līmeni, sfēriskajā ģeometrijā sāka izmantot formulas ar sinusu, kosinusu, tangensu, kotangensu, kur darbojas dažādi noteikumi, un leņķu summa trijstūrī vienmēr ir lielāka par 180 grādiem. Šī sadaļa skolā netiek pētīta, taču par tās esamību ir jāzina kaut vai tāpēc, ka zemes virsma un jebkuras citas planētas virsma ir izliekta, kas nozīmē, ka jebkurš virsmas marķējums būs "loka formas" trīsdimensiju telpa.
Paņemiet globusu un diegu. Pievienojiet pavedienu jebkuriem diviem zemeslodes punktiem tā, lai tas būtu nospriegots. Pievērsiet uzmanību - tas ir ieguvis loka formu. Tieši ar šādām formām nodarbojas sfēriskā ģeometrija, ko izmanto ģeodēzijā, astronomijā un citās teorētiskās un lietišķās jomās.
Taisns trīsstūris
Nedaudz uzzinājuši par trigonometrijas lietošanas veidiem, atgriezīsimies pie pamata trigonometrijas, lai tālāk saprastu, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss, kādus aprēķinus ar to palīdzību var veikt un kādas formulas izmantot.
Pirmkārt, ir jāsaprot jēdzieni, kas saistīti ar taisnleņķa trīsstūris. Pirmkārt, hipotenūza ir puse, kas atrodas pretī 90 grādu leņķim. Viņa ir garākā. Mēs atceramies, ka saskaņā ar Pitagora teorēmu tā skaitliskā vērtība ir vienāda ar sakni no pārējo divu malu kvadrātu summas.
Piemēram, ja divas malas ir attiecīgi 3 un 4 centimetri, hipotenūzas garums būs 5 centimetri. Starp citu, senie ēģiptieši par to zināja apmēram pirms četrarpus tūkstošiem gadu.
Abas atlikušās malas, kas veido taisnu leņķi, sauc par kājām. Turklāt mums jāatceras, ka trijstūra leņķu summa collā taisnstūra sistēma koordinātas ir 180 grādi.
Definīcija
Visbeidzot, labi izprotot ģeometrisko pamatu, mēs varam pievērsties leņķa sinusa, kosinusa un pieskares definīcijai.
Leņķa sinuss ir pretējās kājas (t.i., vēlamajam leņķim pretējās puses) attiecība pret hipotenūzu. Leņķa kosinuss ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.
Atcerieties, ka ne sinuss, ne kosinuss nevar būt lielāks par vienu! Kāpēc? Jo hipotenūza pēc noklusējuma ir garākā.Neatkarīgi no tā, cik gara ir kāja, tā būs īsāka par hipotenūzu, kas nozīmē, ka to attiecība vienmēr būs mazāka par vienu. Tādējādi, ja uzdevuma atbildē iegūstat sinusu vai kosinusu, kura vērtība ir lielāka par 1, meklējiet kļūdu aprēķinos vai argumentācijā. Šī atbilde ir acīmredzami nepareiza.
Visbeidzot, leņķa tangenss ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi. Tas pats rezultāts dos sinusa dalījumu ar kosinusu. Paskaties: saskaņā ar formulu mēs dalām malas garumu ar hipotenūzu, pēc tam dalām ar otrās malas garumu un reizinim ar hipotenūzu. Tādējādi mēs iegūstam tādu pašu attiecību kā pieskares definīcijā.
Kotangenss attiecīgi ir stūrim blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi. To pašu rezultātu iegūstam, vienību dalot ar tangensu.
Tātad, mēs esam apsvēruši definīcijas, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss, un mēs varam tikt galā ar formulām.
Vienkāršākās formulas
Trigonometrijā nevar iztikt bez formulām - kā bez tām atrast sinusu, kosinusu, tangensu, kotangensu? Un tieši tas ir nepieciešams, risinot problēmas.
Pirmā formula, kas jāzina, sākot mācīties trigonometriju, saka, ka leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir vienāda ar vienu. Šī formula ir tiešas Pitagora teorēmas sekas, taču tā ietaupa laiku, ja vēlaties uzzināt leņķa, nevis sānu vērtību.
Daudzi skolēni nevar atcerēties otro formulu, kas ir ļoti populāra arī skolas uzdevumu risināšanā: viena un leņķa pieskares kvadrāta summa ir vienāda ar vienu, kas dalīta ar leņķa kosinusa kvadrātu. Paskatieties tuvāk: galu galā tas ir tas pats apgalvojums, kas pirmajā formulā, tikai abas identitātes puses tika sadalītas ar kosinusa kvadrātu. Izrādās, ka to dara vienkārša matemātiska darbība trigonometriskā formula pilnīgi neatpazīstams. Atcerieties: zinot, kas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss, konvertēšanas noteikumus un dažas pamatformulas, jūs jebkurā laikā varat iegūt nepieciešamo vairāk sarežģītas formulas uz papīra lapas.
Dubultā leņķa formulas un argumentu pievienošana
Vēl divas formulas, kas jums jāapgūst, ir saistītas ar leņķu summas un starpības sinusa un kosinusa vērtībām. Tie ir parādīti zemāk esošajā attēlā. Lūdzu, ņemiet vērā, ka pirmajā gadījumā sinuss un kosinuss tiek reizināti abas reizes, bet otrajā tiek pievienots sinusa un kosinusa pāra reizinājums.
Ir arī formulas, kas saistītas ar dubultā leņķa argumentiem. Tie ir pilnībā atvasināti no iepriekšējiem - kā prakse, mēģiniet tos iegūt pats, ņemot alfa leņķi, kas vienāds ar beta leņķi.
Visbeidzot, ņemiet vērā, ka dubultā leņķa formulas var pārvērst, lai pazeminātu sinusa, kosinusa un tangensa alfa pakāpi.
Teorēmas
Divas galvenās trigonometrijas teorēmas ir sinusa teorēma un kosinusa teorēma. Ar šo teorēmu palīdzību jūs varat viegli saprast, kā atrast sinusu, kosinusu un tangensu, un līdz ar to arī figūras laukumu, katras malas izmēru utt.
Sinus teorēma nosaka, ka, dalot katras trijstūra malas garumu ar pretējā leņķa vērtību, mēs iegūstam tas pats numurs. Turklāt šis skaitlis būs vienāds ar diviem ierobežotā apļa rādiusiem, tas ir, apli, kurā ir visi dotā trīsstūra punkti.
Kosinusa teorēma vispārina Pitagora teorēmu, projicējot to uz jebkuriem trijstūriem. Izrādās, ka no abu malu kvadrātu summas atņemiet to reizinājumu, kas reizināts ar tām blakus esošā leņķa dubultkosinusu - iegūtā vērtība būs vienāda ar trešās malas kvadrātu. Tādējādi Pitagora teorēma izrādās īpašs kosinusa teorēmas gadījums.
Kļūdas neuzmanības dēļ
Pat zinot, kas ir sinuss, kosinuss un tangenss, ir viegli kļūdīties izklaidības vai kļūdas dēļ vienkāršākajos aprēķinos. Lai izvairītos no šādām kļūdām, iepazīsimies ar populārākajām no tām.
Pirmkārt, jums nevajadzētu pārvērst parastās daļskaitļus decimāldaļās, kamēr nav iegūts gala rezultāts - atbildi varat atstāt formā kopējā frakcija ja vien nosacījumā nav norādīts citādi. Šādu transformāciju nevar saukt par kļūdu, taču jāatceras, ka katrā uzdevuma posmā var parādīties jaunas saknes, kuras, pēc autora idejas, būtu jāsamazina. Šajā gadījumā jūs tērēsit laiku nevajadzīgām lietām matemātiskās operācijas. Tas jo īpaši attiecas uz tādām vērtībām kā trīs vai divu sakne, jo tās rodas uzdevumos ik uz soļa. Tas pats attiecas uz "neglīto" skaitļu noapaļošanu.
Turklāt ņemiet vērā, ka kosinusa teorēma attiecas uz jebkuru trīsstūri, bet ne uz Pitagora teorēmu! Ja jūs kļūdaini aizmirstat atņemt divkāršu malu reizinājumu ar leņķa kosinusu starp tām, jūs ne tikai iegūsit pilnīgi nepareizu rezultātu, bet arī parādīsit pilnīgu priekšmeta neizpratni. Tas ir sliktāk nekā neuzmanīga kļūda.
Treškārt, nejauciet 30 un 60 grādu leņķu vērtības sinusiem, kosinusiem, tangensiem, kotangensiem. Atcerieties šīs vērtības, jo 30 grādu sinuss ir vienāds ar 60 kosinusu un otrādi. Tos ir viegli sajaukt, kā rezultātā jūs neizbēgami iegūsit kļūdainu rezultātu.
Pieteikums
Daudzi studenti nesteidzas uzsākt trigonometrijas studijas, jo nesaprot tās lietišķo nozīmi. Kas ir sinuss, kosinuss, tangenss inženierim vai astronomam? Tie ir jēdzieni, pateicoties kuriem jūs varat aprēķināt attālumu līdz tālām zvaigznēm, paredzēt meteorīta krišanu, nosūtīt izpētes zondi uz citu planētu. Bez tiem nav iespējams uzbūvēt ēku, projektēt automašīnu, aprēķināt slodzi uz virsmas vai objekta trajektoriju. Un šie ir tikai acīmredzamākie piemēri! Galu galā trigonometrija vienā vai otrā veidā tiek izmantota visur, sākot no mūzikas līdz medicīnai.
Beidzot
Tātad jūs esat sinuss, kosinuss, tangenss. Jūs varat tos izmantot aprēķinos un veiksmīgi atrisināt skolas problēmas.
Visa trigonometrijas būtība ir saistīta ar to, ka nezināmie parametri jāaprēķina no zināmajiem trīsstūra parametriem. Kopumā ir seši parametri: trīs malu garumi un trīs leņķu lielumi. Visa uzdevumu atšķirība ir tajā, ka tiek doti dažādi ievades dati.
Tagad jūs zināt, kā atrast sinusu, kosinusu, tangensu, pamatojoties uz zināmajiem kāju garumiem vai hipotenūzu. Tā kā šie termini nenozīmē neko vairāk kā attiecību un attiecība ir daļa, trigonometriskās problēmas galvenais mērķis ir atrast parastā vienādojuma vai vienādojumu sistēmas saknes. Un šeit jums palīdzēs parastā skolas matemātika.