Trigonometriskās funkcijas ir elementāras funkcijas, kuru arguments ir injekcija. Caur trigonometriskās funkcijas apraksta attiecības starp malām un asajiem leņķiem taisnleņķa trijstūrī. Trigonometrisko funkciju pielietošanas jomas ir ārkārtīgi dažādas. Tā, piemēram, jebkurus periodiskus procesus var attēlot kā trigonometrisko funkciju summu (Furjē rinda). Šīs funkcijas bieži parādās, risinot diferenciālvienādojumus un funkcionālos vienādojumus.

Trigonometriskās funkcijas ietver šādas 6 funkcijas: sinusa, kosinuss, pieskare, kotangenss, sekants Un kosekants. Katrai no šīm funkcijām ir apgriezta trigonometriskā funkcija.

Trigonometrisko funkciju ģeometriskā definīcija ir ērti ieviesta, izmantojot vienības aplis. Zemāk esošajā attēlā ir parādīts aplis ar rādiusu r= 1. Uz apļa ir atzīmēts punkts M(x,y). Leņķis starp rādiusa vektoru OM un pozitīvās ass virziens Vērsis vienāds α .

sinusa leņķis α y punktus M(x,y) uz rādiusu r: grēks α = y/r. Ciktāl r= 1, tad sinuss ir vienāds ar punkta ordinātu M(x,y).

kosinuss leņķis α x punktus M(x,y) uz rādiusu r: cos α = x/r = x

pieskare leņķis α sauc par ordinātu attiecību y punktus M(x,y) līdz tā abscisai x:iedegums α = y/x, x ≠ 0

Kotangenss leņķis α sauc par abscisu attiecību x punktus M(x,y) uz tās ordinātu y: kaķis α = x/y, y ≠ 0

Sekants leņķis α ir rādiusa attiecība r uz abscisu x punktus M(x,y):sek α = r/x = 1/x, x ≠ 0

Kosekants leņķis α ir rādiusa attiecība r uz ordinātām y punktus M(x,y): cosec α = r/y = 1/y, y ≠ 0

Vienotā projekcijas aplī x, y punktus M(x,y) un rādiusu r veido taisnleņķa trīsstūri, kurā x, y ir kājas, un r− hipotenūza. Tāpēc iepriekš minētās trigonometrisko funkciju definīcijas, kas piemērotas taisnleņķa trīsstūrim, ir formulētas šādi: sinusa leņķis α ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu. kosinuss leņķis α ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu. pieskare leņķis α sauca pretējo kāju blakus esošajai. Kotangenss leņķis α sauca blakus kāju uz pretējo.

sinusa funkcijas grafiks y= grēks x, domēns: x ∈ ℜ , diapazons: −1 ≤ sin x ≤ 1

Kosinusa funkcijas grafiks y= cos x, domēns: x ∈ ℜ , diapazons: −1 ≤ cos x ≤ 1

pieskares funkcijas grafiks y= ttg x, domēns: x ∈ ℜ , x ≠ (2k + 1)π /2, diapazons: −∞< tg x < ∞

Kotangences funkcijas grafiks y=ctg x, domēns: x ∈ ℜ , x ≠ kπ, diapazons: −∞< ctg x < ∞

Leņķa pakāpes mērs. Leņķa radiāna mērs. Pārvērtiet grādus radiānos un otrādi.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas izteikti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")

Iepriekšējā nodarbībā apguvām leņķu skaitīšanu uz trigonometriskā apļa. Iemācījās skaitīt pozitīvos un negatīvos leņķus. Sapratu, kā uzzīmēt leņķi, kas lielāks par 360 grādiem. Ir pienācis laiks nodarboties ar leņķu mērīšanu. Īpaši ar skaitli "Pi", kas cenšas mūs mulsināt grūtos uzdevumos, jā ...

Standarta uzdevumi trigonometrijā ar skaitli "Pi" tiek atrisināti diezgan labi. Palīdz vizuālā atmiņa. Bet jebkura novirze no šablona - notriec uz vietas! Lai nenokristu - saprast nepieciešams. Ko mēs tagad veiksmīgi darīsim. Savā ziņā – mēs visu saprotam!

Tātad, kas vai leņķi skaitās? Skolas trigonometrijas kursā tiek izmantoti divi mēri: leņķa mērs Un leņķa radiāna mērs. Apskatīsim šos pasākumus. Bez šī trigonometrijā - nekur.

Leņķa pakāpes mērs.

Mēs kaut kā esam pieraduši pie grādiem. Ģeometrija vismaz izgāja cauri... Jā, un dzīvē mēs bieži sastopamies, piemēram, ar frāzi "pagriezts par 180 grādiem". Pakāpe, īsi sakot, vienkārša lieta ...

Jā? Tad atbildi man kas ir grāds? Kas nedarbojas uzreiz? Kaut kas...

Grādi tika izgudroti senajā Babilonijā. Tas bija sen ... pirms 40 gadsimtiem ... Un viņi vienkārši to izdomāja. Viņi paņēma un sadalīja apli 360 vienādās daļās. 1 grāds ir 1/360 no apļa. Un viss. Var sadalīt 100 gabalos. Vai par 1000. Bet viņi to sadalīja līdz 360. Starp citu, kāpēc tieši par 360? Kāpēc 360 ir labāki par 100? 100 šķiet kaut kā vienmērīgāks... Mēģiniet atbildēt uz šo jautājumu. Vai vājš pret Seno Babilonu?

Kaut kur tajā pašā laikā Senā Ēģipte mocīja cita problēma. Cik reižu apļa apkārtmērs ir lielāks par tā diametra garumu? Un tā viņi mērīja, un tādā veidā ... Viss izrādījās nedaudz vairāk par trim. Bet kaut kā sanāca pinkains, nelīdzens... Bet viņi, ēģiptieši, nav vainīgi. Pēc viņiem viņi cieta vēl 35 gadsimtus. Līdz beidzot pierādīja, ka, lai cik smalki sagrieztu apli vienādos gabalos, no tādiem gabaliņiem taisīt gluda diametra garums nav iespējams ... Principā tas nav iespējams. Nu, cik reižu apkārtmērs ir lielāks par diametru, protams. Par. 3,1415926... reizes.

Tas ir cipars "Pi". Tas ir pinkains, tik pinkains. Aiz komata – bezgalīgs ciparu skaits bez jebkādas kārtības... Tādus skaitļus sauc par iracionāliem. Tas, starp citu, nozīmē, ka no vienādiem apļa gabaliem diametrs gluda nesalieciet. Nekad.

Priekš praktisks pielietojums Ir ierasts iegaumēt tikai divus ciparus aiz komata. Atcerieties:

Tā kā mēs esam sapratuši, ka apļa apkārtmērs ir lielāks par diametru "Pi" reizēs, ir lietderīgi atcerēties apļa apkārtmēra formulu:

Kur L ir apkārtmērs un d ir tā diametrs.

Noderīga ģeometrijā.

Priekš vispārējā izglītība Piebildīšu, ka cipars "Pi" sēž ne tikai ģeometrijā... Dažādās matemātikas sadaļās un īpaši varbūtības teorijā šis skaitlis parādās pastāvīgi! Viens pats. Pārsniedz mūsu vēlmes. Kā šis.

Bet atpakaļ pie grādiem. Vai esat sapratuši, kāpēc senajā Babilonijā aplis tika sadalīts 360 vienādās daļās? Bet ne 100, piemēram? Vai ne? Labi. Es jums sniegšu versiju. Nevar jau senajiem babiloniešiem prasīt... Būvniecībai, vai, teiksim, astronomijai, ir ērti apli sadalīt vienādās daļās. Tagad noskaidrojiet, ar kādiem skaitļiem dalās pilnībā 100, un kādi - 360? Un kādā versijā šie dalītāji pilnībā- vairāk? Šis sadalījums ir ļoti ērts cilvēkiem. Bet...

Kā izrādījās daudz vēlāk nekā Senajā Babilonijā, ne visiem patīk grādi. Augstākā matemātika viņiem nepatīk... Augstākā matemātika ir nopietna dāma, sakārtota pēc dabas likumiem. Un šī dāma paziņo: "Šodien jūs sadalījāt apli 360 daļās, rīt jūs to sadalīsit 100 daļās, parīt 245 ... Un ko man darīt? Nē, tiešām ..." Man bija jāpakļaujas. Tu nevari apmānīt dabu...

Man bija jāievieš leņķa mērs, kas nav atkarīgs no cilvēku priekšstatiem. Iepazīstieties - radiāns!

Leņķa radiāna mērs.

Kas ir radiāns? Radiāna definīcijas pamatā jebkurā gadījumā ir aplis. 1 radiāna leņķis ir leņķis, kas izgriež loku no apļa, kura garums ir ( L) ir vienāds ar rādiusa garumu ( R). Mēs skatāmies bildes.

Tik mazs leņķis, gandrīz nekā no tā nav... Pārvietojam kursoru virs attēla (vai pieskaramies attēlam planšetdatorā) un redzam apmēram vienu radiāns. L=R

Vai jūtat atšķirību?

Viens radiāns ir daudz lielāks par vienu grādu. Cik reižu?

Apskatīsim nākamo attēlu. Uz kuras es uzzīmēju pusloku. Paplašinātais leņķis, protams, ir 180 °.

Un tagad es sagriezīšu šo pusloku radiānos! Mēs virzām kursoru virs attēla un redzam, ka 3 radiāni ar asti iekļaujas 180 ° leņķī.

Kurš var uzminēt, kas ir šī zirgaste!?

Jā! Šī aste ir 0.1415926... Sveika Pi, mēs tevi vēl neesam aizmirsuši!

Patiešām, 180 grādos ir 3,1415926 ... radiāni. Kā jau varat iedomāties, visu laiku rakstīt 3.1415926... ir neērti. Tāpēc šī bezgalīgā skaitļa vietā viņi vienmēr raksta vienkārši:

Un šeit ir numurs internetā

ir neērti rakstīt ... Tāpēc tekstā es to rakstu pēc nosaukuma - "Pi". Nejauciet...

Tagad ir diezgan jēgpilni uzrakstīt aptuvenu vienādību:

Vai precīza vienlīdzība:

Nosakiet, cik grādu ir vienā radiānā. Kā? Viegli! Ja 3,14 radiānos ir 180 grādi, tad 1 radiāns ir 3,14 reizes mazāks! Tas ir, mēs dalām pirmo vienādojumu (formula ir arī vienādojums!) Ar 3,14:

Šo attiecību ir noderīgi atcerēties. Vienā radiānā ir aptuveni 60°. Trigonometrijā bieži vien ir jāizdomā, jāizvērtē situācija. Šeit zināšanas ļoti palīdz.

Bet šīs tēmas galvenā prasme ir pārvēršot grādus radiānos un otrādi.

Ja leņķi norāda radiānos ar skaitli "pi", viss ir ļoti vienkārši. Mēs zinām, ka "pi" radiāni = 180°. Tātad "Pi" vietā mēs aizstājam radiānus - 180 °. Mēs iegūstam leņķi grādos. Samazinām samazināto, un atbilde ir gatava. Piemēram, mums ir jānoskaidro, cik daudz grādiem stūrī "Pi"/2 radiāns? Šeit mēs rakstām:

Vai arī eksotiskāka izteiksme:

Viegli, vai ne?

Apgrieztais tulkojums ir nedaudz sarežģītāks. Bet ne daudz. Ja leņķis ir norādīts grādos, mums ir jānoskaidro, kāds grāds ir radiānos, un jāreizina šis skaitlis ar grādu skaitu. Kas ir 1° radiānos?

Mēs skatāmies uz formulu un saprotam, ka, ja 180° = "Pi" radiāni, tad 1° ir 180 reizes mazāks. Vai, citiem vārdiem sakot, mēs dalām vienādojumu (arī formula ir vienādojums!) Ar 180. Nav nepieciešams "Pi" attēlot kā 3,14, tas vienmēr tiek rakstīts ar burtu. Mēs iegūstam, ka viens grāds ir vienāds ar:

Tas ir viss. Reiziniet grādu skaitu ar šo vērtību, lai iegūtu leņķi radiānos. Piemēram:

Vai arī līdzīgi:

Kā redzams, nesteidzīgā sarunā ar liriskām atkāpēm izrādījās, ka radiāni ir ļoti vienkārši. Jā, un tulkojums ir bez problēmām ... Un "Pī" ir pilnīgi pieļaujama lieta ... Tātad, no kurienes ir neskaidrības!?

Es atklāšu noslēpumu. Fakts ir tāds, ka trigonometriskajās funkcijās ir rakstīta grādu ikona. Ir vienmēr. Piemēram, sin35°. Tas ir 35. sinuss grādiem . Un radiānu ikona ( priecīgs) nav rakstīts! Viņš ir netiešs. Vai nu sagrāba matemātiķu slinkums, vai kas cits... Bet viņi nolēma nerakstīt. Ja sinusa iekšpusē nav ikonu - kotangenss, tad leņķis - radiānos ! Piemēram, cos3 ir trīs kosinuss radiāni .

Tas noved pie pārpratumiem ... Cilvēks redz "Pi" un uzskata, ka tas ir 180 °. Jebkurā laikā un jebkurā vietā. Starp citu, tas darbojas. Pagaidām, kamēr piemēri ir standarta. Bet Pī ir skaitlis! Skaitlis 3,14 nav grādi! Tas ir "Pi" radiāni = 180°!

Vēlreiz: "Pi" ir skaitlis! 3.14. Iracionāli, bet skaitlis. Tas pats, kas 5 vai 8. Varat, piemēram, veikt apmēram “Pi” darbības. Trīs soļi un nedaudz vairāk. Vai arī nopirkt "Pī" kilogramus saldumu. Ja pieķer izglītotu pārdevēju...

"Pi" ir skaitlis! Kas, es tevi sapratu ar šo frāzi? Vai tu jau visu saprati? Labi. Pārbaudīsim. Vai varat man pateikt, kurš skaitlis ir lielāks?

Vai arī kas ir mazāk?

Šis ir no virknes nedaudz nestandarta jautājumu, kas var iedzīt stuporā...

Ja arī jūs iekritāt stuporā, atcerieties burvestību: "Pi" ir skaitlis! 3.14. Pašā pirmajā sinusā ir skaidri norādīts, ka leņķis - grādos! Tāpēc nav iespējams aizstāt "Pi" par 180 °! "Pi" grādi ir aptuveni 3,14°. Tāpēc mēs varam rakstīt:

Otrajā sinusā nav simbolu. Tātad tur - radiāni! Šeit "Pi" aizstāšana ar 180 ° darbosies diezgan labi. Pārvēršot radiānus grādos, kā rakstīts iepriekš, mēs iegūstam:

Atliek salīdzināt šos divus sinusus. Kas. aizmirsu kā? Ar trigonometriskā apļa palīdzību, protams! Uzzīmējam apli, novelkam aptuvenos leņķus 60° un 1,05°. Mēs skatāmies uz šo leņķu sinusiem. Īsāk sakot, viss, kā jau tēmas beigās par trigonometrisko apli, ir nokrāsots. Uz apļa (pat greizā!) tas būs skaidri redzams sin60° ievērojami vairāk nekā sin1,05°.

Mēs darīsim tieši to pašu ar kosinusiem. Uz apļa mēs uzzīmējam leņķus apmēram 4 grādiem un 4 radiāns(atcerieties, kas ir aptuveni 1 radiāns?). Aplis pateiks visu! Protams, cos4 ir mazāks par cos4°.

Trenēsimies rīkoties ar leņķa mērījumiem.

Konvertējiet šos leņķus no grādiem radiānos:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Šīs vērtības jāievada radiānos (citā secībā!)

0

Starp citu, atbildes esmu speciāli iezīmējis divās rindās. Nu, izdomāsim, kādi stūri ir pirmajā rindā? Vai grādos vai radiānos?

Jā! Tās ir koordinātu sistēmas asis! Ja skatāties uz trigonometrisko apli, tad leņķa kustīgo pusi pie šīm vērtībām der tieši uz ass. Šīs vērtības ironiski ir jāzina. Un es ne velti atzīmēju 0 grādu (0 radiānu) leņķi. Un tad daži nekādi nevar atrast šo leņķi uz apļa ... Un attiecīgi viņi apjūk trigonometriskajās nulles funkcijās ... Cita lieta, ka kustīgās puses pozīcija pie nulles grādiem sakrīt ar pozīciju plkst. 360 °, tāpēc sakritības uz apļa visu laiku ir tuvumā.

Otrajā rindā ir arī speciāli leņķi... Tie ir 30°, 45° un 60°. Un kas viņos ir tik īpašs? Nekas īpašs. Vienīgā atšķirība starp šiem stūriem un visiem pārējiem ir tā, ka jums jāzina par šiem stūriem. visi. Un kur tie atrodas, un kādas ir šo leņķu trigonometriskās funkcijas. Teiksim vērtību sin100° tev nav jāzina. BET sin45°- lūdzu esiet laipns! Tās ir obligātas zināšanas, bez kurām trigonometrijā nav ko darīt... Bet vairāk par to nākamajā nodarbībā.

Līdz tam turpināsim vingrināties. Konvertējiet šos leņķus no radiāniem uz grādiem:

Jums vajadzētu iegūt šādus rezultātus (nekārtībā):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Vai notika? Tad mēs to varam pieņemt pārvēršot grādus radiānos un otrādi— tā vairs nav jūsu problēma.) Taču leņķu tulkošana ir pirmais solis, lai izprastu trigonometriju. Tajā pašā vietā jums joprojām ir jāstrādā ar sinusiem-kosinusiem. Jā, un ar pieskarēm arī kotangensiem ...

Otrais spēcīgais solis ir spēja noteikt jebkura leņķa stāvokli uz trigonometriskā apļa. Gan grādos, gan radiānos. Par šo prasmi es jums garlaicīgi došu mājienu visā trigonometrijā, jā ...) Ja jūs zināt visu (vai domājat, ka zināt visu) par trigonometrisko apli un leņķu skaitīšanu uz trigonometriskā apļa, varat to pārbaudīt ārā. Atrisiniet šos vienkāršos uzdevumus:

1. Kādā ceturksnī iekrīt stūri:

45°, 175°, 355°, 91°, 355°?

Viegli? Mēs turpinām:

2. Kurā ceturksnī iekrīt stūri:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Arī problēmu nav? Nu paskaties...)

3. Varat novietot stūrus ceturtdaļās:

Vai varēji? Nu, jūs dodat ..)

4. Uz kādām asīm stūris kritīs:

un stūris:

Vai tas arī ir viegli? HM...)

5. Kurā ceturksnī iekrīt stūri:

Un izdevās!? Nu tad es tiešām nezinu...)

6. Nosakiet, kurā ceturksnī iekrīt stūri:

1, 2, 3 un 20 radiāni.

Es sniegšu atbildi tikai uz pēdējā uzdevuma pēdējo jautājumu (tas ir nedaudz viltīgs). Pirmajā ceturksnī iekritīs 20 radiānu leņķis.

Pārējās atbildes nesniegšu mantkārības dēļ.) Tikai tad, ja tu neizlēma kaut ko šaubīties rezultātā, vai iztērēts uzdevumam Nr.4 vairāk nekā 10 sekundes tu slikti orientējies aplī. Tā būs jūsu problēma visās trigonometrijās. Labāk no tā (problēma, nevis trigonometrija!) uzreiz atbrīvoties. To var izdarīt tēmā: Praktiskais darbs ar trigonometrisko apli 555.nodaļā.

Tas stāsta, kā vienkārši un pareizi atrisināt šādus uzdevumus. Nu, šie uzdevumi, protams, ir atrisināti. Un ceturtais uzdevums tika atrisināts 10 sekundēs. Jā, tāpēc nolēmu, ka var jebkurš!

Ja esat pilnīgi pārliecināts par savām atbildēm un jūs neinteresē vienkārši un bez problēmām veidi, kā strādāt ar radiāniem, jūs nevarat apmeklēt 555. Es neuzstāju.)

Laba izpratne ir pietiekami labs iemesls, lai turpinātu!)

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Apskatīsim attēlu. Vektors \(AB \) "pagriezās" attiecībā pret punktu \(A \) par noteiktu summu. Tātad šīs rotācijas mērs attiecībā pret sākotnējo stāvokli būs leņķis \(\alpha \).

Kas vēl jums jāzina par leņķa jēdzienu? Nu, protams, leņķa vienības!

Leņķi gan ģeometrijā, gan trigonometrijā var izmērīt grādos un radiānos.

Leņķis \(1()^\circ \) (viens grāds) ir centrālais leņķis aplī, kura pamatā ir apļa loka, kas vienāds ar apļa \(\dfrac(1)(360) \) daļu.

Tātad visu apli veido \(360 \) riņķveida loku "gabali", vai arī apļa aprakstītais leņķis ir \(360()^\circ \) .

Tas nozīmē, ka augšējais attēls parāda leņķi \(\beta \), kas vienāds ar \(50()^\circ \) , tas ir, šī leņķa pamatā ir apļveida loka izmērs \(\dfrac(50)(360) ) \) no apkārtmēra.

Leņķis \(1 \) radiānos ir apļa centrālais leņķis, kura pamatā ir apļa loka garums, kas ir vienāds ar apļa rādiusu.

Tātad attēlā parādīts leņķis \(\gamma \), kas vienāds ar \(1 \) radiānu, tas ir, šī leņķa pamatā ir apļveida loka, kuras garums ir vienāds ar apļa rādiusu (garumu \ (AB \) ir vienāds ar garumu \(BB" \) vai rādiuss \(r \) ir vienāds ar loka garumu \(l \) ) Tādējādi loka garumu aprēķina pēc formulas:

\(l=\theta \cdot r \) , kur \(\theta \) ir centrālais leņķis radiānos.

Vai, zinot to, vai varat atbildēt, cik radiānos ir leņķis, ko raksturo aplis? Jā, šim nolūkam ir jāatceras apļa apkārtmēra formula. Šeit viņa ir:

\(L=2\pi \cdot r\)

Tagad salīdzināsim šīs divas formulas un iegūstam, ka apļa aprakstītais leņķis ir \(2\pi \) . Tas ir, korelējot vērtību grādos un radiānos, mēs iegūstam, ka \(2\pi =360()^\circ \) . Attiecīgi \(\pi =180()^\circ \) . Kā redzat, atšķirībā no "grādiem", vārds "radiāns" ir izlaists, jo mērvienība parasti ir skaidra no konteksta.

Trigonometrisko funkciju vērtību tabula

Piezīme. Šajā trigonometrisko funkciju vērtību tabulā tiek izmantota zīme √, lai apzīmētu kvadrātsakne. Daļas apzīmēšanai - simbols "/".

Skatīt arī noderīgi materiāli:

Priekš trigonometriskās funkcijas vērtības noteikšana, atrodiet to līnijas krustpunktā, kas norāda trigonometrisko funkciju. Piemēram, 30 grādu sinuss - mēs meklējam kolonnu ar virsrakstu sin (sinuss) un atrodam šīs tabulas kolonnas krustpunktu ar līniju "30 grādi", to krustpunktā mēs nolasām rezultātu - viens otrais. Līdzīgi mēs atrodam kosinuss 60 grādi, sinusa 60 grādi (kārtējo reizi sin (sinusa) kolonnas un 60 grādu rindas krustpunktā atrodam vērtību sin 60 = √3/2) utt. Tādā pašā veidā tiek atrastas citu "populāru" leņķu sinusu, kosinusu un tangenšu vērtības.

Pi sinuss, pi kosinuss, pi tangenss un citi leņķi radiānos

Zemāk esošā kosinusu, sinusu un pieskares tabula ir piemērota arī tādu trigonometrisko funkciju vērtību atrašanai, kuru arguments ir dots radiānos. Lai to izdarītu, izmantojiet otro leņķa vērtību kolonnu. Pateicoties tam, jūs varat konvertēt populāro leņķu vērtību no grādiem uz radiāniem. Piemēram, pirmajā rindā atradīsim 60 grādu leņķi un zem tā nolasīsim tā vērtību radiānos. 60 grādi ir vienādi ar π/3 radiāniem.

Skaitlis pi unikāli izsaka apļa apkārtmēra atkarību no leņķa pakāpes. Tātad pi radiāni ir vienādi ar 180 grādiem.

Jebkuru skaitli, kas izteikts pi (radiānā), var viegli pārvērst grādos, aizstājot skaitli pi (π) ar 180.

Piemēri:
1. sine pi.
sin π = grēks 180 = 0
tādējādi pi sinuss ir tāds pats kā 180 grādu sinuss un ir vienāds ar nulli.

2. kosinuss pi.
cos π = cos 180 = -1
tādējādi pi kosinuss ir tāds pats kā 180 grādu kosinuss un ir vienāds ar mīnus viens.

3. Pieskares pi
tg π = tg 180 = 0
tādējādi pi tangenss ir tāds pats kā 180 grādu tangenss un ir vienāds ar nulli.

Sinusa, kosinusa, pieskares vērtību tabula leņķiem no 0 līdz 360 grādiem (biežas vērtības)

leņķis α (grādi)	leņķis α radiānos (izmantojot pi)	grēks (sinuss)	cos (kosinuss)	tg (pieskare)	ctg (kotangenss)	sek (sekants)	cēlonis (kosekants)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ja trigonometrisko funkciju vērtību tabulā funkcijas vērtības vietā ir norādīta domuzīme (tangence (tg) 90 grādi, kotangente (ctg) 180 grādi), tad, kad dotā vērtība leņķa funkcijas pakāpes mēram nav noteiktas nozīmes. Ja domuzīmes nav, šūna ir tukša, tāpēc mēs vēl neesam ievadījuši vēlamo vērtību. Mūs interesē, pēc kādiem pieprasījumiem lietotāji pie mums nāk, un papildinām tabulu ar jaunām vērtībām, neskatoties uz to, ka ar pašreizējiem datiem par visbiežāk sastopamo leņķa vērtību kosinusu, sinusu un tangenšu vērtībām pietiek, lai atrisinātu lielāko daļu problēmas.

Trigonometrisko funkciju sin, cos, tg vērtību tabula populārākajiem leņķiem
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 grādi
(skaitliskās vērtības "saskaņā ar Bradis tabulām")

leņķa vērtība α (grādi)	leņķa α vērtība radiānos	grēks (sinuss)	cos (kosinuss)	tg (tangence)	ctg (kotangenss)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Leņķus mēra grādos vai radiānos. Ir svarīgi saprast attiecības starp šīm mērvienībām. Šo attiecību izpratne ļauj darboties ar leņķiem un veikt pāreju no grādiem uz radiāniem un otrādi. Šajā rakstā mēs iegūstam formulu grādu pārvēršanai radiānos un radiānus grādos, kā arī analizējam dažus prakses piemērus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Attiecība starp grādiem un radiāniem

Lai noteiktu sakarību starp grādiem un radiāniem, jums jāzina leņķa grāds un radiāna mērs. Piemēram, ņemsim centrālo leņķi, kas balstās uz apļa diametru ar rādiusu r. Lai aprēķinātu šī leņķa radiānu, loka garums ir jāsadala ar apļa rādiusa garumu. Aplūkotais leņķis atbilst loka garumam, kas vienāds ar pusi no apļa garuma π · r . Sadaliet loka garumu ar rādiusu un iegūstiet leņķa radiānu: π · r r = π rad.

Tātad attiecīgais leņķis ir π radiāni. No otras puses, tas ir taisns leņķis, kas vienāds ar 180 °. Tādējādi 180° = π rad.

Grādu attiecība pret radiāniem

Radiānu un grādu attiecību izsaka ar formulu

π radiāni = 180°

Formulas radiānu pārvēršanai grādos un otrādi

No iepriekš iegūtās formulas var iegūt citas formulas leņķu pārvēršanai no radiāniem grādos un no grādiem radiānos.

Izsakiet vienu radiānu grādos. Lai to izdarītu, mēs sadalām rādiusa kreiso un labo daļu ar pi.

1 rad \u003d 180 π ° - leņķa pakāpes mērs 1 radiānā ir 180 π.

Vienu grādu var izteikt arī radiānos.

1 ° = π 180 r a d

Varat veikt aptuvenus leņķu vērtību aprēķinus radiānos un otrādi. Lai to izdarītu, mēs ņemam skaitļa π vērtības līdz desmit tūkstošdaļām un aizstājam tās iegūtajās formulās.

1 r a d \u003d 180 π ° \u003d 180 3, 1416 ° \u003d 57, 2956 °

Tātad vienā radiānā ir aptuveni 57 grādi.

1 ° = π 180 rad = 3,1416 180 rad = 0,0175 rad

Viens grāds satur 0,0175 radiānus.

Formula radiānu pārvēršanai grādos

x ra d = x 180 π °

Lai pārvērstu leņķi no radiāniem grādos, reiziniet leņķi radiānos ar 180 un daliet ar pi.

Piemēri grādu pārvēršanai radiānos un radiānu pārvēršanai grādos

Apsveriet piemēru.

1. piemērs. Radiānu pārvēršana grādos

Pieņemsim, ka α = 3 , 2 rad. Jums jāzina šī leņķa pakāpes mērs.