Definīcija 1. Prizmatiskā virsma
Teorēma 1. Par prizmatiskas virsmas paralēliem posmiem
Definīcija 2. Prizmatiskas virsmas perpendikulārs griezums
Definīcija 3. Prizma
Definīcija 4. Prizmas augstums
Definīcija 5. Tiešā prizma
Teorēma 2. Prizmas sānu virsmas laukums
Paralēlspīnis:
Definīcija 6. Parallelelepiped
Teorēma 3. Par paralēlskaldņa diagonāļu krustpunktu
Definīcija 7. Labais paralēlskaldnis
Definīcija 8. Taisnstūra paralēlskaldnis
Definīcija 9. Paralēles izmēri
Definīcija 10. Kubs
Definīcija 11. Romboedrs
Teorēma 4. Par taisnstūra paralēlskaldņa diagonālēm
5. teorēma. Prizmas tilpums
6. teorēma. Taisnas prizmas tilpums
7. teorēma. Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums
prizma sauc daudzskaldnis, kurā divas skaldnes (pamatnes) atrodas paralēlās plaknēs, un malas, kas neatrodas šajās skaldnēs, ir paralēlas viena otrai.
Tiek sauktas citas sejas, izņemot pamatnes sānu.
Sānu virsmu un pamatņu malas sauc prizmas malas, malu galus sauc prizmas virsotnes. Sānu ribas sauc par malām, kas nepieder pie pamatiem. Sānu seju savienību sauc prizmas sānu virsma, un tiek saukta visu seju savienība pilna prizmas virsma. Prizmas augstums sauc par perpendikulu, kas nomests no augšējās pamatnes punkta uz apakšējās pamatnes plakni vai šī perpendikula garumu. 
taisna prizma sauc par prizmu, kurā sānu malas ir perpendikulāras pamatu plaknēm. 
pareizi sauc par taisnu prizmu (3. att.), kuras pamatnē atrodas regulārs daudzstūris.
Apzīmējumi:
l - sānu riba;
P - bāzes perimetrs;
S o - bāzes platība;
H - augstums;
P ^ - perpendikulārā griezuma perimetrs;
S b - sānu virsmas laukums;
V - tilpums;
S p - prizmas kopējās virsmas laukums.
|
V=SH |
*Tiek pieņemts, ka katras divas secīgās plaknes krustojas un ka pēdējā plakne krustojas ar pirmo.
1. teorēma . Prizmatiskas virsmas griezumi plaknēs, kas ir paralēlas viena otrai (bet ne paralēlas tās malām), ir vienādi daudzstūri.
Lai ABCDE un A"B"C"D"E ir prizmatiskas virsmas griezumi pa divām paralēlām plaknēm. Lai pārliecinātos, ka šie divi daudzstūri ir vienādi, pietiek parādīt, ka trijstūri ABC un A"B"C" ir vienādi. un tiem ir vienāds griešanās virziens, un tas pats attiecas uz trijstūriem ABD un A"B"D", ABE un A"B"E. Bet šo trīsstūru atbilstošās malas ir paralēlas (piemēram, AC ir paralēlas A "C") kā noteiktas plaknes krustošanās taisnes ar divām paralēlām plaknēm; no tā izriet, ka šīs malas ir vienādas (piemēram, AC ir vienādas ar A"C") kā paralelograma pretējās malas un ka šo malu veidotie leņķi ir vienādi un tiem ir vienāds virziens.
2. definīcija . Prizmatiskas virsmas perpendikulārs posms ir šīs virsmas griezums ar plakni, kas ir perpendikulāra tās malām. Pamatojoties uz iepriekšējo teorēmu, visas vienas prizmatiskās virsmas perpendikulārie posmi būs vienādi daudzstūri.
3. definīcija
. Prizma ir daudzskaldnis, ko ierobežo prizmatiska virsma un divas plaknes, kas ir paralēlas viena otrai (bet nav paralēlas prizmatiskās virsmas malām).
Sejas, kas atrodas šajās pēdējās plaknēs, tiek sauktas prizmu pamatnes; sejas, kas pieder pie prizmatiskas virsmas - sānu sejas; prizmatiskās virsmas malas - prizmas sānu malas. Saskaņā ar iepriekšējo teorēmu prizmas pamati ir vienādi daudzstūri. Visas prizmas sānu virsmas paralelogrami; visas sānu malas ir vienādas viena ar otru.
Acīmredzami, ja prizmas ABCDE pamatne un viena no malām AA" ir dota lielumā un virzienā, tad prizmu var konstruēt, zīmējot malas BB", CC", .., vienādas un paralēlas ar mala AA".
4. definīcija . Prizmas augstums ir attālums starp tās pamatu plaknēm (HH").
5. definīcija
. Prizmu sauc par taisni, ja tās pamati ir prizmas virsmas perpendikulāri griezumi. Šajā gadījumā prizmas augstums, protams, ir tā sānu riba; sānu malas būs taisnstūri.
Prizmas var klasificēt pēc sānu skaldņu skaita, kas vienāds ar daudzstūra malu skaitu, kas kalpo par tā pamatni. Tādējādi prizmas var būt trīsstūrveida, četrstūrveida, piecstūrveida utt.
2. teorēma
. Prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar sānu malas un perpendikulārā sekcijas perimetra reizinājumu.
Apzīmēsim doto prizmu ABCDEA"B"C"D"E un abcde tās perpendikulāro griezumu tā, lai nogriežņi ab, bc, .. būtu perpendikulāri tās sānu malām. Seja ABA"B" ir paralelograms; tās laukums ir vienāds ar bāzes AA reizinājumu ar augstumu, kas atbilst ab; virsmas laukums BCV "C" ir vienāds ar pamatnes BB reizinājumu ar augstumu bc utt. Tāpēc sānu virsma (ti, sānu virsmu laukumu summa) ir vienāds ar sānu malas reizinājumu, citiem vārdiem sakot, segmentu AA", BB", .. kopējo garumu ar summu ab+bc+cd+de+ea.
Skolas mācību programmā cietās ģeometrijas kursam trīsdimensiju figūru izpēte parasti sākas ar vienkāršu ģeometrisku ķermeni - prizmas daudzskaldni. Tās pamatu lomu pilda 2 vienādi daudzstūri, kas atrodas paralēlās plaknēs. Īpašs gadījums ir regulāra četrstūra prizma. Tās pamatnes ir 2 identiski regulāri četrstūri, kuriem malas ir perpendikulāras, un tiem ir paralelogramu (vai taisnstūru, ja prizma nav slīpa) forma.
Kā izskatās prizma
Parasta četrstūra prizma ir sešstūris, kura pamatnēs ir 2 kvadrāti, un sānu malas attēlo taisnstūri. Vēl viens šīs ģeometriskās figūras nosaukums ir taisns paralēlskaldnis.
Attēls, kas attēlo četrstūra prizmu, ir parādīts zemāk.
Bildē var arī redzēt svarīgākie elementi, kas veido ģeometrisku ķermeni. Tos parasti sauc par:
Dažreiz ģeometrijas problēmās var atrast sadaļas jēdzienu. Definīcija skanēs šādi: sadaļa ir visi tilpuma ķermeņa punkti, kas pieder griešanas plaknei. Sekcija ir perpendikulāra (šķērso figūras malas 90 grādu leņķī). Taisnstūra prizmai tiek ņemta vērā arī diagonāle (maksimālais izbūvējamo sekciju skaits ir 2), kas iet cauri 2 malām un pamatnes diagonālēm.
Ja griezums ir novilkts tā, lai griešanas plakne nebūtu paralēla ne pamatnēm, ne sānu virsmām, rezultāts ir nogriezta prizma.
Reducēto prizmatisko elementu atrašanai izmanto dažādas attiecības un formulas. Daži no tiem ir zināmi no planimetrijas kursa (piemēram, lai atrastu prizmas pamatnes laukumu, pietiek atcerēties kvadrāta laukuma formulu).
Virsmas laukums un tilpums
Lai noteiktu prizmas tilpumu, izmantojot formulu, jums jāzina tās pamatnes laukums un augstums:
V = Sprim h
Tā kā regulāras tetraedriskas prizmas pamatne ir kvadrāts ar malu a, Jūs varat uzrakstīt formulu sīkāk:
V = a² h
Ja mēs runājam par kubu - parastu prizmu ar vienādu garumu, platumu un augstumu, tilpumu aprēķina šādi:
Lai saprastu, kā atrast prizmas sānu virsmas laukumu, jums ir jāiedomājas tās slaucīšana.
No zīmējuma redzams, ka sānu virsmu veido 4 vienādi taisnstūri. Tās laukumu aprēķina kā pamatnes perimetra un figūras augstuma reizinājumu:
Sside = poz. h
Tā kā kvadrāta perimetrs ir P = 4a, formula iegūst šādu formu:
Sside = 4a h
Par kubu:
Sside = 4a²
Lai aprēķinātu prizmas kopējo virsmas laukumu, sānu laukumam pievieno 2 pamatlaukumus:
Pilns = Sside + 2Sbase
Piemērojot četrstūrveida regulārai prizmai, formulai ir šāda forma:
Pilns = 4a h + 2a²
Par kuba virsmas laukumu:
Pilns = 6a²
Zinot tilpumu vai virsmas laukumu, varat aprēķināt ģeometriskā ķermeņa atsevišķus elementus.
Prizmu elementu atrašana
Bieži vien ir problēmas, kurās ir dots apjoms vai ir zināma sānu virsmas laukuma vērtība, kur nepieciešams noteikt pamatnes malas garumu vai augstumu. Šādos gadījumos var iegūt formulas:
- pamatnes malas garums: a = Sside / 4h = √(V / h);
- augstums vai sānu ribu garums: h = Sside / 4a = V / a²;
- bāzes laukums: Sprim = V / h;
- sānu sejas zona: Sānu gr = Sside / 4.
Lai noteiktu, cik liela platība ir diagonālei, jums jāzina diagonāles garums un figūras augstums. Par kvadrātu d = a√2. Tāpēc:
Sdiag = ah√2
Lai aprēķinātu prizmas diagonāli, tiek izmantota formula:
dbalva = √(2a² + h²)
Lai saprastu, kā piemērot iepriekš minētās attiecības, varat praktizēt un atrisināt dažus vienkāršus uzdevumus.
Problēmu piemēri ar risinājumiem
Lūk, daži uzdevumi, kas parādās valsts gala eksāmenos matemātikā.
1. vingrinājums.
Smiltis ielej kastē, kas veidota kā regulāra četrstūra prizma. Tā līmeņa augstums ir 10 cm. Kāds būs smilšu līmenis, ja tās pārvietosiet tādas pašas formas traukā, bet ar 2 reizes garāku pamatnes garumu?
To vajadzētu argumentēt šādi. Pirmajā un otrajā traukā smilšu daudzums nemainījās, t.i., to tilpums tajos ir vienāds. Pamatnes garumu var noteikt kā a. Šajā gadījumā pirmajā lodziņā vielas tilpums būs:
V₁ = ha² = 10a²
Otrajai kastītei pamatnes garums ir 2a, bet smilšu līmeņa augstums nav zināms:
V₂ = h(2a)² = 4ha²
Ciktāl V₁ = V₂, izteicienus var pielīdzināt:
10a² = 4ha²
Samazinot abas vienādojuma puses par a², mēs iegūstam:
Rezultātā jaunais smilšu līmenis būs h = 10/4 = 2,5 cm.
2. uzdevums.
ABCDA₁B₁C₁D₁ ir regulāra prizma. Ir zināms, ka BD = AB₁ = 6√2. Atrodiet ķermeņa kopējo virsmas laukumu.
Lai būtu vieglāk saprast, kuri elementi ir zināmi, varat uzzīmēt figūru.
Tā kā mēs runājam par parasto prizmu, varam secināt, ka bāze ir kvadrāts ar diagonāli 6√2. Sānu virsmas diagonālei ir tāda pati vērtība, tāpēc arī sānu virsmai ir kvadrāta forma, kas vienāda ar pamatni. Izrādās, ka visi trīs izmēri – garums, platums un augstums – ir vienādi. Varam secināt, ka ABCDA₁B₁C₁D₁ ir kubs.
Jebkuras malas garums tiek noteikts caur zināmo diagonāli:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Kopējo virsmas laukumu nosaka pēc formulas kubam:
Pilns = 6a² = 6 6² = 216
3. uzdevums.
Telpa tiek remontēta. Ir zināms, ka tā grīdai ir kvadrāta forma ar platību 9 m². Istabas augstums ir 2,5 m. Kādas ir zemākās izmaksas par telpu tapsēšanu, ja 1 m² maksā 50 rubļus?
Tā kā grīda un griesti ir kvadrāti, tas ir, regulāri četrstūri, un tās sienas ir perpendikulāras horizontālām virsmām, varam secināt, ka tā ir regulāra prizma. Ir nepieciešams noteikt tā sānu virsmas laukumu.
Istabas garums ir a = √9 = 3 m.
Laukums tiks noklāts ar tapetēm Side = 4 3 2,5 = 30 m².
Šīs telpas tapešu izmaksas būs viszemākās 50 30 = 1500 rubļi.
Tātad, lai atrisinātu uzdevumus taisnstūra prizmai, pietiek ar iespēju aprēķināt kvadrāta un taisnstūra laukumu un perimetru, kā arī zināt tilpuma un virsmas laukuma atrašanas formulas.
Kā atrast kuba laukumu
Vispārīga informācija par taisnu prizmu
Par prizmas sānu virsmu (precīzāk, sānu virsmas laukumu) sauc summa sānu sejas zonas. Prizmas kopējā virsma ir vienāda ar sānu virsmas un pamatņu laukumu summu.
Teorēma 19.1. Taisnas prizmas sānu virsma ir vienāda ar pamatnes perimetra un prizmas augstuma reizinājumu, t.i., sānu malas garumu.
Pierādījums. Taisnas prizmas sānu malas ir taisnstūri. Šo taisnstūru pamati ir daudzstūra malas, kas atrodas prizmas pamatnē, un augstumi ir vienādi ar sānu malu garumu. No tā izriet, ka prizmas sānu virsma ir vienāda ar
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
kur a 1 un n ir pamatnes ribu garumi, p ir prizmas pamatnes perimetrs un I ir sānu ribu garums. Teorēma ir pierādīta.
Praktisks uzdevums
Uzdevums (22) . Slīpā prizmā sadaļā, perpendikulāri sānu malām un krustojot visas sānu malas. Atrodiet prizmas sānu virsmu, ja griezuma perimetrs ir p un sānu malas ir l.
Risinājums. Nozīmētā griezuma plakne sadala prizmu divās daļās (411. att.). Vienu no tiem pakļausim paralēlajam tulkojumam, kas apvieno prizmas pamatus. Šajā gadījumā iegūstam taisnu prizmu, kurā par pamatu kalpo sākotnējās prizmas posms un sānu malas ir vienādas ar l. Šai prizmai ir tāda pati sānu virsma kā oriģinālajai. Tādējādi sākotnējās prizmas sānu virsma ir vienāda ar pl.
Tēmas vispārinājums
Un tagad mēģināsim ar jums apkopot prizmas tēmu un atcerēties, kādas īpašības ir prizmai.
Prizmas īpašības
Pirmkārt, prizmai visi tās pamati ir vienādi daudzstūri;
Otrkārt, prizmai visas tās sānu skaldnes ir paralelogrami;
Treškārt, tādā daudzšķautņainā figūrā kā prizma visas sānu malas ir vienādas;
Tāpat jāatceras, ka daudzskaldņi, piemēram, prizmas, var būt taisni un slīpi.
Kas ir taisna prizma?
Ja prizmas sānu mala ir perpendikulāra tās pamatnes plaknei, tad šādu prizmu sauc par taisni.
Nebūs lieki atcerēties, ka taisnas prizmas sānu malas ir taisnstūri.
Kas ir slīpā prizma?
Bet, ja prizmas sānu mala neatrodas perpendikulāri tās pamatnes plaknei, tad varam droši teikt, ka šī ir slīpa prizma.
Kāda ir pareizā prizma?
Ja taisnas prizmas pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, tad šāda prizma ir regulāra.
Tagad atcerēsimies parastās prizmas īpašības.
Regulāras prizmas īpašības
Pirmkārt, regulāri daudzstūri vienmēr kalpo par regulāras prizmas pamatiem;
Otrkārt, ja ņemam vērā regulāras prizmas sānu skaldnes, tad tās vienmēr ir vienādi taisnstūri;
Treškārt, ja salīdzinām sānu ribu izmērus, tad pareizajā prizmā tie vienmēr ir vienādi.
Ceturtkārt, regulāra prizma vienmēr ir taisna;
Piektkārt, ja regulārā prizmā sānu malas ir kvadrātu formā, tad šādu figūru parasti sauc par pusregulāru daudzstūri.
Prizmas sadaļa
Tagad apskatīsim prizmas šķērsgriezumu:
Mājasdarbs
Un tagad mēģināsim konsolidēt pētīto tēmu, risinot problēmas.
Uzzīmēsim slīpu trīsstūrveida prizmu, kurā attālums starp tās malām būs: 3 cm, 4 cm un 5 cm, un šīs prizmas sānu virsma būs vienāda ar 60 cm2. Ar šiem parametriem atrodiet dotās prizmas sānu malu.
Vai zini, ka ģeometriskas figūras mūs nemitīgi ieskauj ne tikai ģeometrijas stundās, bet arī ikdienā ir priekšmeti, kas atgādina vienu vai otru ģeometrisku figūru.
Katrā mājā, skolā vai darbā ir dators, kura sistēmas vienība ir taisnas prizmas formā.
Ja paņemsiet vienkāršu zīmuli, jūs redzēsiet, ka zīmuļa galvenā daļa ir prizma.
Ejot pa pilsētas galveno ielu, redzam, ka zem kājām guļ flīze, kurai ir sešstūra prizmas forma.
A. V. Pogorelovs, Ģeometrija 7.-11.klasei, Mācību grāmata izglītības iestādēm
Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.
Personiskās informācijas vākšana un izmantošana
Personiskā informācija attiecas uz datiem, ko var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.
Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.
Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.
Kādu personas informāciju mēs apkopojam:
- Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.
Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:
- Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
- Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
- Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
- Ja piedalāties izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.
Izpaušana trešajām personām
Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.
Izņēmumi:
- Gadījumā, ja tas ir nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valsts iestāžu pieprasījumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrības interešu mērķiem.
- Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.
Personiskās informācijas aizsardzība
Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret nozaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.
Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī
Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.
Dažādas prizmas atšķiras viena no otras. Tajā pašā laikā viņiem ir daudz kopīga. Lai atrastu prizmas pamatnes laukumu, jums ir jāizdomā, kāda veida tā izskatās.
Vispārējā teorija
Prizma ir jebkurš daudzskaldnis, kura malām ir paralelograma forma. Turklāt jebkurš daudzskaldnis var atrasties tā pamatnē - no trijstūra līdz n-stūrim. Turklāt prizmas pamatnes vienmēr ir vienādas viena ar otru. Kas neattiecas uz sānu virsmām - tās var ievērojami atšķirties pēc izmēra.
Risinot problēmas, saskaras ne tikai ar prizmas pamatnes laukumu. Var būt nepieciešams zināt sānu virsmu, tas ir, visas sejas, kas nav pamatnes. Pilna virsma jau būs visu prizmu veidojošo seju savienība.
Dažreiz uzdevumos parādās augstumi. Tas ir perpendikulārs pamatnēm. Daudzskaldņa diagonāle ir segments, kas savieno pa pāriem jebkuras divas virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai.
Jāņem vērā, ka taisnas vai slīpas prizmas pamatnes laukums nav atkarīgs no leņķa starp tām un sānu virsmām. Ja tiem ir vienādi skaitļi augšējā un apakšējā virsmā, tad to laukumi būs vienādi.
trīsstūrveida prizma
Tā pamatnē ir figūra ar trim virsotnēm, tas ir, trīsstūris. Ir zināms, ka tas ir savādāk. Ja tad pietiek atgādināt, ka tā laukumu nosaka puse no kāju produkta.
Matemātiskais apzīmējums izskatās šādi: S = ½ av.
Lai atrastu pamatnes laukumu vispārējs skats, noder formulas: Gārnis un tas, kurā puse sānu tiek ņemta uz tai pievilkto augstumu.
Pirmā formula jāraksta šādi: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Šis ieraksts satur pusperimetru (p), tas ir, trīs malu summa dalīta ar divi.
Otrkārt: S = ½ n a * a.
Ja vēlaties uzzināt trijstūra prizmas pamatnes laukumu, kas ir regulārs, tad trīsstūris izrādās vienādmalu. Tam ir sava formula: S = ¼ a 2 * √3.
četrstūra prizma
Tās pamats ir jebkurš no zināmajiem četrstūriem. Tas var būt taisnstūris vai kvadrāts, paralēlskaldnis vai rombs. Katrā gadījumā, lai aprēķinātu prizmas pamatnes laukumu, jums būs nepieciešama sava formula.
Ja pamatne ir taisnstūris, tad tā laukumu nosaka šādi: S = av, kur a, b ir taisnstūra malas.
Ja runa ir par četrstūra prizmu, tad parastās prizmas pamatlaukumu aprēķina, izmantojot kvadrāta formulu. Jo tas ir viņš, kurš atrodas bāzē. S \u003d a 2.
Gadījumā, ja bāze ir paralēlskaldnis, būs nepieciešama šāda vienlīdzība: S \u003d a * n a. Gadās, ka ir dota paralēlskaldņa mala un viens no leņķiem. Pēc tam, lai aprēķinātu augstumu, jums būs jāizmanto papildu formula: na \u003d b * sin A. Turklāt leņķis A atrodas blakus malai "b", un augstums ir na pretējs šim leņķim.
Ja rombs atrodas prizmas pamatnē, tad tā laukuma noteikšanai būs nepieciešama tāda pati formula kā paralelogramam (jo tas ir īpašs gadījums). Bet jūs varat arī izmantot šo: S = ½ d 1 d 2. Šeit d 1 un d 2 ir divas romba diagonāles.
Regulāra piecstūra prizma
Šajā gadījumā daudzstūris tiek sadalīts trīsstūros, kuru apgabalus ir vieglāk noskaidrot. Lai gan gadās, ka figūras var būt ar dažādu virsotņu skaitu.
Tā kā prizmas pamatne ir regulārs piecstūris, to var sadalīt piecos vienādmalu trīsstūros. Tad prizmas pamatnes laukums ir vienāds ar viena šāda trīsstūra laukumu (formulu var redzēt iepriekš), reizināts ar pieci.
Regulāra sešstūra prizma
Saskaņā ar principu, kas aprakstīts piecstūra prizmai, pamata sešstūri ir iespējams sadalīt 6 vienādmalu trīsstūros. Šādas prizmas pamatnes laukuma formula ir līdzīga iepriekšējai. Tikai tajā jāreizina ar sešiem.
Formula izskatīsies šādi: S = 3/2 un 2 * √3.
Uzdevumi
Nr.1. Dota regulāra līnija, kuras diagonāle ir 22 cm, daudzskaldņa augstums ir 14 cm. Aprēķina prizmas pamatnes laukumu un visas virsmas laukumu.
Risinājums. Prizmas pamatne ir kvadrāts, bet tā mala nav zināma. Tās vērtību var atrast no kvadrāta diagonāles (x), kas ir saistīta ar prizmas diagonāli (d) un tās augstumu (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. No otras puses, šis segments "x" ir hipotenūza trīsstūrī, kura kājas ir vienādas ar kvadrāta malu. Tas ir, x 2 \u003d a 2 + a 2. Tādējādi izrādās, ka a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Nomainiet ciparu 22, nevis d, un aizstājiet “n” ar tā vērtību - 14, izrādās, ka kvadrāta mala ir 12 cm. Tagad ir viegli noskaidrot bāzes laukumu: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Lai uzzinātu visas virsmas laukumu, jums jāpievieno divreiz lielāka pamatlaukuma vērtība un četrkāršots mala. Pēdējo ir viegli atrast pēc taisnstūra formulas: reiziniet daudzskaldņa augstumu un pamatnes malu. Tas ir, 14 un 12, šis skaitlis būs vienāds ar 168 cm 2. Konstatēts, ka prizmas kopējais virsmas laukums ir 960 cm2.
Atbilde. Prizmas pamatnes laukums ir 144 cm2. Visa virsma - 960 cm 2 .
Nr. 2. Dana Pie pamatnes atrodas trijstūris ar malu 6 cm. Šajā gadījumā sānu skaldnes diagonāle ir 10 cm. Aprēķiniet laukumus: pamatne un sānu virsma.
Risinājums. Tā kā prizma ir regulāra, tās pamatne ir vienādmalu trīsstūris. Tāpēc tā laukums izrādās vienāds ar 6 kvadrātu reiz ¼ un kvadrātsakni no 3. Vienkāršs aprēķins noved pie rezultāta: 9√3 cm 2. Tas ir prizmas vienas pamatnes laukums.
Visas sānu malas ir vienādas un ir taisnstūri ar malām 6 un 10 cm. Lai aprēķinātu to laukumus, pietiek ar šo skaitļu reizināšanu. Pēc tam reiziniet tos ar trīs, jo prizmai ir tieši tik daudz sānu skaldņu. Tad sānu virsmas laukums tiek uztīts 180 cm 2 .
Atbilde. Laukumi: pamatne - 9√3 cm 2, prizmas sānu virsma - 180 cm 2.