Grafiks eksponenciālā funkcija ir līkne gluda līnija bez kinkiem, kuriem katrā punktā, caur kuru tas iziet, ir iespējams novilkt pieskārienu. Ir loģiski pieņemt, ka, ja ir iespējams uzzīmēt tangensu, tad funkcija būs diferencējama katrā tās definīcijas domēna punktā.
Parādīsim tajās pašās koordinātu asīs vairākus funkcijas y \u003d x a grafikus, For a \u003d 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4.
Punktā ar koordinātām (0;1). Šo tangenšu slīpuma leņķi būs attiecīgi aptuveni 35, 40, 48 un 51 grāds. Ir loģiski pieņemt, ka intervālā no 2 līdz 3 ir skaitlis, kurā pieskares slīpuma leņķis būs 45 grādi.
Sniegsim precīzu šī apgalvojuma formulējumu: ir tāds skaitlis, kas ir lielāks par 2 un mazāks par 3, apzīmēts ar burtu e, ka eksponenciālajai funkcijai y = e x punktā 0 ir atvasinājums, kas vienāds ar 1. Tas ir: (e ∆x -1) / ∆x ir tendence uz 1, jo ∆x ir tendence uz nulli.
Dotais numurs e ir iracionāls un tiek uzrakstīts kā bezgalīga neperiodiska decimāldaļdaļa:
e = 2,7182818284…
Tā kā skaitlis e ir pozitīvs un nav nulle, pastāv logaritms bāzes e. Šo logaritmu sauc naturālais logaritms. Apzīmēts ar ln(x) = log e (x).
Eksponenciālās funkcijas atvasinājums
Teorēma: Funkcija e x ir diferencējama katrā tās domēna punktā, un (e x)’ = e x .
Eksponenciālā funkcija a x ir diferencējama katrā tās definīcijas apgabala punktā, un turklāt (a x)’ = (a x)*ln(a).
Šīs teorēmas sekas ir fakts, ka eksponenciālā funkcija ir nepārtraukta jebkurā tās definīcijas jomā.
Piemērs: atrodiet funkcijas y = 2 x atvasinājumu.
Saskaņā ar eksponenciālās funkcijas atvasinājuma formulu mēs iegūstam:
(2x)' = (2x)*ln(2).
Atbilde: (2x)*ln(2).
Eksponenciālās funkcijas antiatvasinājums
Eksponenciālai funkcijai a x, kas dota uz reālo skaitļu kopas, antiatvasinājums būs funkcija (a x)/(ln(a)).
ln(a) ir kāda konstante, tad (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x jebkuram x. Mēs esam pierādījuši šo teorēmu.
Apsveriet piemēru, kā atrast antiderivatīvu eksponenciālo funkciju.
Piemērs: atrodiet funkcijas f(x) = 5 x antiatvasinājumu. Izmantosim augstāk minēto formulu un noteikumus, kā atrast antiatvasinājumus. Mēs iegūstam: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.
Šī nodarbība ir pirmā no video sērijām par integrāciju. Tajā mēs analizēsim, kas ir funkcijas antiatvasinājums, kā arī izpētīsim elementārās metodes šo ļoti antiatvasinājumu aprēķināšanai.
Patiesībā šeit nav nekā sarežģīta: būtībā viss ir atvasināts jēdziens, kas jums jau būtu jāzina. :)
Es to uzreiz atzīmēju, jo šī ir mūsu pirmā nodarbība jauna tēma, šodien nebūs sarežģītu aprēķinu un formulu, bet tas, ko mēs šodien pētīsim, veidos pamatu daudz sarežģītākiem aprēķiniem un struktūrām, aprēķinot sarežģītus integrāļus un laukumus.
Turklāt, sākot apgūt integrāciju un jo īpaši integrāļus, mēs netieši pieņemam, ka students jau vismaz pārzina atvasinājuma jēdzienus un viņam ir vismaz elementāras iemaņas to aprēķināšanā. Bez skaidras izpratnes par to integrācijā nav absolūti ko darīt.
Tomēr šeit ir viena no visbiežāk sastopamajām un mānīgākajām problēmām. Fakts ir tāds, ka, sākot aprēķināt savus pirmos antiatvasinājumus, daudzi studenti tos sajauc ar atvasinājumiem. Rezultātā eksāmenos un patstāvīgajā darbā tiek pieļautas stulbas un aizskarošas kļūdas.
Tāpēc tagad es nesniegšu skaidru antiderivatīva definīciju. Un pretī iesaku paskatīties, kā tas tiek izskatīts uz vienkārša konkrēta piemēra.
Kas ir primitīvs un kā tas tiek uzskatīts
Mēs zinām šo formulu:
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Šis atvasinājums tiek uzskatīts par elementāru:
\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
Apskatīsim tuvāk iegūto izteiksmi un izteiksim $((x)^(2))$:
\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]
Bet mēs to varam rakstīt arī šādi, saskaņā ar atvasinājuma definīciju:
\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]
Un tagad uzmanība: tas, ko mēs tikko pierakstījām, ir antiatvasinājuma definīcija. Bet, lai to pareizi uzrakstītu, jums ir jāraksta sekojošais:
Tādā pašā veidā rakstīsim šādu izteiksmi:
Ja mēs vispārinām šo noteikumu, mēs varam iegūt šādu formulu:
\[((x)^(n))\uz \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Tagad mēs varam formulēt skaidru definīciju.
Funkcijas antiatvasinājums ir funkcija, kuras atvasinājums ir vienāds ar sākotnējo funkciju.
Jautājumi par antiderivatīvo funkciju
Šķiet, ka diezgan vienkārša un saprotama definīcija. Taču, to dzirdot, vērīgajam studentam uzreiz radīsies vairāki jautājumi:
- Teiksim, šī formula ir pareiza. Taču šajā gadījumā, kad $n=1$, rodas problēmas: saucējā parādās “nulle”, un nav iespējams dalīt ar “nulle”.
- Formula ir ierobežota tikai ar pilnvarām. Kā aprēķināt antiatvasinājumu, piemēram, sinusu, kosinusu un jebkuru citu trigonometriju, kā arī konstantes.
- Eksistenciāls jautājums: vai vienmēr ir iespējams atrast antiatvasinājumu? Ja jā, kā ar antiatvasinājumu summu, starpību, produktu utt.?
Uz pēdējo jautājumu atbildēšu uzreiz. Diemžēl antiderivatīvs, atšķirībā no atvasinājuma, ne vienmēr tiek ņemts vērā. Tāda nav universāla formula, saskaņā ar kuru no jebkuras sākotnējās konstrukcijas mēs iegūsim funkciju, kas būs vienāda ar šo līdzīgu konstrukciju. Runājot par pilnvarām un konstantēm, mēs par to runāsim tagad.
Jaudas funkciju problēmu risināšana
\[((x)^(-1))\uz \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
Kā redzat, šī formula $((x)^(-1))$ nedarbojas. Rodas jautājums: kas tad darbojas? Vai mēs nevaram saskaitīt $((x)^(-1))$? Protams, ka varam. Sāksim tikai ar šo:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
Tagad padomāsim: kuras funkcijas atvasinājums ir vienāds ar $\frac(1)(x)$. Acīmredzot ikviens students, kurš ir vismaz nedaudz nodarbojies ar šo tēmu, atcerēsies, ka šī izteiksme ir vienāda ar naturālā logaritma atvasinājumu:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
Tāpēc mēs varam droši rakstīt sekojošo:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\uz \ln x\]
Šī formula ir jāzina, tāpat kā jaudas funkcijas atvasinājums.
Tātad, ko mēs zinām līdz šim:
- Jaudas funkcijai — $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- Konstantei - $=const\to \cdot x$
- Īpašs jaudas funkcijas gadījums - $\frac(1)(x)\to \ln x$
Un, ja mēs sākam reizināt un dalīt vienkāršākās funkcijas, kā tad aprēķināt produkta antiatvasinājumu vai koeficientu. Diemžēl analoģijas ar produkta vai koeficienta atvasinājumu šeit nedarbojas. Nav standarta formulas. Dažiem gadījumiem ir sarežģītas īpašas formulas – mēs ar tām iepazīsim turpmākajās video pamācībās.
Tomēr atcerieties: nav vispārējas formulas, kas būtu līdzīga koeficienta un reizinājuma atvasinājuma aprēķināšanas formulai.
Reālu problēmu risināšana
Uzdevums #1
Iesim katrs jaudas funkcijas skaitīt atsevišķi:
\[((x)^(2))\uz \frac(((x)^(3)))(3)\]
Atgriežoties pie mūsu izteiksmes, mēs rakstām vispārīgo konstrukciju:
Uzdevums #2
Kā jau teicu, primitīvi darbi un privāti "tukši cauri" netiek ņemti vērā. Tomēr šeit varat veikt šādas darbības:
Daļu esam sadalījuši divu daļskaitļu summā.
Aprēķināsim:
Labā ziņa ir tā, ka, zinot formulas antiatvasinājumu aprēķināšanai, jūs jau varat aprēķināt vairāk sarežģītas struktūras. Tomēr iesim uz priekšu un paplašināsim savas zināšanas vēl nedaudz. Fakts ir tāds, ka daudzas konstrukcijas un izteiksmes, kurām no pirmā acu uzmetiena nav nekāda sakara ar $((x)^(n))$, var attēlot kā pakāpi ar racionālu eksponentu, proti:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
Visas šīs metodes var un vajag kombinēt. Spēka izpausmes var
- reizināt (spēki tiek pievienoti);
- dalīt (grādi tiek atņemti);
- reizināt ar konstanti;
- utt.
Izteiksmju risināšana ar pakāpi ar racionālu eksponentu
1. piemērs
Saskaitīsim katru sakni atsevišķi:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\uz \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x)) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
Kopumā visu mūsu būvniecību var uzrakstīt šādi:
2. piemērs
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
Tāpēc mēs iegūsim:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\uz \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
Kopumā, apkopojot visu vienā izteiksmē, mēs varam rakstīt:
3. piemērs
Pirmkārt, ņemiet vērā, ka mēs jau esam aprēķinājuši $\sqrt(x)$:
\[\sqrt(x)\uz \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\uz \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
Pārrakstīsim:
Ceru, ka nevienu nepārsteigšu, ja teikšu, ka nupat pētītais ir tikai vienkāršākie antiatvasinājumu aprēķini, elementārākās konstrukcijas. Tagad apskatīsim nedaudz vairāk sarežģīti piemēri, kurā papildus tabulas antiatvasinājumiem jums joprojām ir jāatceras skolas mācību programma, proti, saīsinātās reizināšanas formulas.
Sarežģītāku piemēru risināšana
Uzdevums #1
Atgādiniet starpības kvadrāta formulu:
\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
Pārrakstīsim mūsu funkciju:
Tagad mums ir jāatrod šādas funkcijas antiatvasinājums:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\uz \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\uz \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
Mēs visu apkopojam kopējā dizainā:
Uzdevums #2
Šajā gadījumā mums ir jāatver atšķirības kubs. Atcerēsimies:
\[((\left(ab \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]
Ņemot vērā šo faktu, to var uzrakstīt šādi:
Nedaudz pārveidosim savu funkciju:
Mēs izskatām, kā vienmēr, katram terminam atsevišķi:
\[((x)^(-3))\uz \frac(((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\uz \frac(((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\uz \ln x\]
Uzrakstīsim iegūto konstrukciju:
Uzdevums #3
Augšā ir summas kvadrāts, atveram to:
\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x) )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\uz \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
Uzrakstīsim galīgo risinājumu:
Un tagad uzmanību! Ļoti svarīga lieta, ar ko saistīta lielākā daļa kļūdu un pārpratumu. Fakts ir tāds, ka līdz šim, skaitot antiatvasinājumus ar atvasinājumu palīdzību, dodot transformācijas, mēs nedomājām par to, ar ko ir vienāds konstantes atvasinājums. Bet konstantes atvasinājums ir vienāds ar "nulle". Un tas nozīmē, ka varat rakstīt šādas opcijas:
- $((x)^(2))\uz \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\uz \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\uz \frac(((x)^(3)))(3)+C$
Tas ir ļoti svarīgi saprast: ja funkcijas atvasinājums vienmēr ir vienāds, tad vienai un tai pašai funkcijai ir bezgalīgs skaits antiatvasinājumu. Mēs varam vienkārši pievienot jebkurus nemainīgus skaitļus saviem primitīviem un iegūt jaunus.
Nav nejaušība, ka nupat atrisināto uzdevumu skaidrojumā bija rakstīts “Pierakstiet vispārējā forma primitīvi." Tie. jau iepriekš tiek pieņemts, ka tādu ir nevis viens, bet vesels milzums. Bet patiesībā tie atšķiras tikai ar konstantu $ C $ beigās. Tāpēc savos uzdevumos mēs labosim to, ko neesam pabeiguši.
Vēlreiz mēs pārrakstām savas konstrukcijas:
Šādos gadījumos jāpiebilst, ka $C$ ir konstante — $C=const$.
Otrajā funkcijā mēs iegūstam šādu konstrukciju:
Un pēdējais:
Un tagad mēs patiešām saņēmām to, kas no mums tika prasīts problēmas sākotnējā stāvoklī.
Problēmu risināšana par antiatvasinājumu atrašanu ar noteiktu punktu
Tagad, kad mēs zinām par konstantēm un par antiatvasinājumu rakstīšanas īpatnībām, tas diezgan loģiski rodas nākamais veids problēmas, kad no visu antiatvasinājumu kopas nepieciešams atrast vienu un tikai tādu, kas izietu cauri dotajam punktam. Kāds ir šis uzdevums?
Fakts ir tāds, ka visi noteiktās funkcijas antiatvasinājumi atšķiras tikai ar to, ka tie ir nobīdīti vertikāli par kādu skaitli. Un tas nozīmē, ka neatkarīgi no tā, kuru koordinātu plaknes punktu mēs ņemtu, viens antiatvasinājums noteikti iet garām un turklāt tikai viens.
Tātad uzdevumi, kurus mēs tagad risināsim, ir formulēti šādi: nav viegli atrast antiatvasinājumu, zinot sākotnējās funkcijas formulu, bet gan izvēlēties tieši vienu no tiem, kas iet caur doto punktu, kura koordinātas jāsniedz problēmas stāvoklī.
1. piemērs
Vispirms aprēķināsim katru terminu:
\[((x)^(4))\uz \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\uz \frac(((x)^(4)))(4)\]
Tagad mēs savā konstrukcijā aizstājam šos izteicienus:
Šai funkcijai jāiet caur punktu $M\left(-1;4 \right)$. Ko tas nozīmē, ka tas iet caur punktu? Tas nozīmē, ka, ja $x$ vietā mēs visur liekam $-1$ un $F\left(x \right)$ vietā - $-4$, tad mums vajadzētu iegūt pareizo skaitlisko vienādību. Darām to:
Mēs redzam, ka mums ir vienādojums $C$, tāpēc mēģināsim to atrisināt:
Pierakstīsim pašu meklēto risinājumu:
2. piemērs
Pirmkārt, ir jāatver starpības kvadrāts, izmantojot saīsināto reizināšanas formulu:
\[((x)^(2))\uz \frac(((x)^(3)))(3)\]
Sākotnējā struktūra tiks uzrakstīta šādi:
Tagad atradīsim $C$: aizstājiet punkta $M$ koordinātas:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
Mēs izsakām $C$:
Atliek parādīt galīgo izteiksmi:
Trigonometrisko uzdevumu risināšana
Kā pēdējo akordu tikko analizētajam es ierosinu apsvērt vēl divus izaicinošus uzdevumus satur trigonometriju. Tajās tādā pašā veidā būs jāatrod visu funkciju antiatvasinājumi, pēc tam no šīs kopas izvēlieties to vienīgo, kas koordinātu plaknē iet caur punktu $M$.
Raugoties nākotnē, es vēlos atzīmēt, ka metode, kuru mēs tagad izmantosim, lai atrastu antiatvasinājumus trigonometriskās funkcijas, patiesībā, tas ir universāls pašpārbaudes paņēmiens.
Uzdevums #1
Atcerēsimies šādu formulu:
\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]
Pamatojoties uz to, mēs varam rakstīt:
Aizstāsim punkta $M$ koordinātas mūsu izteiksmē:
\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]
Pārrakstīsim izteiksmi, paturot prātā šo faktu:
Uzdevums #2
Šeit tas būs nedaudz grūtāk. Tagad jūs redzēsiet, kāpēc.
Atcerēsimies šo formulu:
\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Lai atbrīvotos no "mīnusa", jums jāveic šādas darbības:
\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Šeit ir mūsu dizains
Aizvietojiet punkta $M$ koordinātas:
Pierakstīsim galīgo konstrukciju:
Tas ir viss, ko es gribēju jums šodien pateikt. Mēs pētījām pašu terminu antiatvasinājumi, kā tos saskaitīt no elementārām funkcijām, kā arī to, kā atrast antiatvasinājumu, kas iet caur noteiktu punktu koordinātu plaknē.
Es ceru, ka šī nodarbība jums nedaudz palīdzēs to saprast grūta tēma. Jebkurā gadījumā tieši uz antiatvasinājumiem beztermiņa un nenoteiktie integrāļi, tāpēc tos noteikti ir nepieciešams saskaitīt. Tas man ir viss. Uz drīzu redzēšanos!
\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)
SatursSatura elementi
Atvasinājums, tangenss, antiatvasinājums, funkciju un atvasinājumu grafiki.
AtvasinājumsĻaujiet funkcijai \(f(x)\) būt definētai kādā punkta \(x_0\) tuvumā.
Funkcijas \(f\) atvasinājums punktā \(x_0\) sauc par limitu
\(f"(x_0)=\lim_(x\right arrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)
ja šī robeža pastāv.
Funkcijas atvasinājums punktā raksturo šīs funkcijas izmaiņu ātrumu noteiktā punktā.
| Funkcija | Atvasinājums |
| \(konst.\) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^n\) | \(n\cdot x^(n-1)\) |
| \(\dfrac(1)(x)\) | \(-\dfrac(1)(x^2)\) |
| \(\sqrt(x)\) | \(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\cdot \ln(a)\) |
| \(\ln(x)\) | \(\dfrac(1)(x)\) |
| \(\log_a(x)\) | \(\dfrac(1)(x\ln(a))\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tgx\) | \(\dfrac(1)(\cos^2 x)\) |
| \(\ctg x\) | \(-\dfrac(1)(\sin^2x)\) |
Diferencēšanas noteikumi\(f\) un \(g\) ir funkcijas atkarībā no mainīgā \(x\); \(c\) ir skaitlis.
2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)
3) \((f+g)"= f"+g"\)
4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)
5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)
6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) — kompleksās funkcijas atvasinājums
Atvasinājuma ģeometriskā nozīme Taisnas līnijas vienādojums- neparalēlo asi \(Oy\) var uzrakstīt kā \(y=kx+b\). Koeficientu \(k\) šajā vienādojumā sauc taisnas līnijas slīpums. Tas ir vienāds ar tangensu slīpuma leņķisšī taisnā līnija.
Taisns leņķis- leņķis starp \(Ox\) ass pozitīvo virzienu un doto taisni, mērot pozitīvo leņķu virzienā (tas ir, vismazākās rotācijas virzienā no \(Ox\) ass uz \ (Oy\) ass).
Funkcijas \(f(x)\) atvasinājums punktā \(x_0\) ir vienāds ar funkcijas grafika pieskares slīpumu dotajā punktā: \(f"(x_0)=\tg \alpha.\)
Ja \(f"(x_0)=0\), tad funkcijas \(f(x)\) grafika pieskare punktā \(x_0\) ir paralēla asij \(Ox\).
Pieskares vienādojums
Funkcijas \(f(x)\) diagrammas pieskares vienādojums punktā \(x_0\):
\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)
Funkciju monotonitāte Ja funkcijas atvasinājums ir pozitīvs visos intervāla punktos, tad funkcija šajā intervālā palielinās.
Ja funkcijas atvasinājums ir negatīvs visos intervāla punktos, tad funkcija šajā intervālā samazinās.
Minimālais, maksimālais un lēciena punkti pozitīvs uz negatīvsšajā brīdī \(x_0\) ir funkcijas \(f\) maksimālais punkts.
Ja funkcija \(f\) ir nepārtraukta punktā \(x_0\), un šīs funkcijas atvasinājuma vērtība \(f"\) mainās no negatīvs uz pozitīvsšajā brīdī \(x_0\) ir funkcijas \(f\) minimālais punkts.
Tiek izsaukti punkti, kuros atvasinājums \(f"\) ir vienāds ar nulli vai neeksistē kritiskie punkti funkcijas \(f\).
Funkcijas definīcijas apgabala \(f(x)\) iekšējie punkti, kur \(f"(x)=0\) var būt minimālais, maksimālais vai lēciena punkts.
Atvasinājuma fiziskā nozīme Ja materiāls punkts pārvietojas pa taisni un tā koordināte mainās atkarībā no laika saskaņā ar likumu \(x=x(t)\), tad šī punkta ātrums ir vienāds ar koordinātas laika atvasinājumu:
Paātrinājums materiālais punkts vienāds ar šī punkta ātruma atvasinājumu attiecībā pret laiku:
\(a(t)=v"(t).\)
Taisne y=3x+2 ir pieskares funkcijas y=-12x^2+bx-10 grafikam. Atrodiet b , ņemot vērā, ka pieskāriena punkta abscisa ir mazāka par nulli.
Rādīt risinājumuRisinājums
Lai x_0 ir funkcijas y=-12x^2+bx-10 grafika punkta abscisa, caur kuru iet šī grafika pieskare.
Atvasinājuma vērtība punktā x_0 ir vienāda ar pieskares slīpumu, ti, y"(x_0)=-24x_0+b=3. No otras puses, pieskares punkts pieder gan funkcijas grafikam, gan tangenss, ti -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Iegūstam vienādojumu sistēmu \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(gadījumi)
Atrisinot šo sistēmu, mēs iegūstam x_0^2=1, kas nozīmē vai nu x_0=-1, vai x_0=1. Atbilstoši abscisu stāvoklim pieskāriena punkti ir mazāki par nulli, tāpēc x_0=-1, tad b=3+24x_0=-21.
Atbilde
Stāvoklis
Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks (kas ir lauzta līnija, ko veido trīs taisnu līniju segmenti). Izmantojot attēlu, aprēķiniet F(9)-F(5), kur F(x) ir viens no f(x) antiatvasinājumiem.
Rādīt risinājumuRisinājums
Saskaņā ar Ņūtona-Leibnica formulu starpība F(9)-F(5), kur F(x) ir viens no funkcijas f(x) antiatvasinājumiem, ir vienāda ar līknes trapeces laukumu. ar funkcijas y=f(x) grafiku, taisnes y=0 , x=9 un x=5. Saskaņā ar grafiku mēs nosakām, ka norādītā līknes trapece ir trapece, kuras pamatnes ir vienādas ar 4 un 3 un augstums ir 3.
Tās platība ir vienāda ar \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.
Atbilde
Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. Profila līmenis". Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.
Stāvoklis
Attēlā parādīts grafiks y \u003d f "(x) - funkcijas f (x) atvasinājums, kas definēts intervālā (-4; 10). Atrodiet funkcijas f (x) samazināšanas intervālus. Jūsu atbildē , norādiet lielākās no tām garumu.
Risinājums
Kā zināms, funkcija f (x) samazinās uz tiem intervāliem, kuru katrā punktā atvasinājums f "(x) ir mazāks par nulli. Ņemot vērā, ka ir jāatrod garums lielākajam no tiem, trīs šādi intervāli dabiski atšķiras no skaitļa: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).
Lielākā no tām garums (5; 9) ir vienāds ar 4.
Atbilde
Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.
Stāvoklis
Attēlā parādīts y \u003d f "(x) grafiks - funkcijas f (x) atvasinājums, kas definēts intervālā (-8; 7). Atrodiet funkcijas f (x) maksimālo punktu skaitu, kas pieder pie intervāla [-6; -2].
.png)
Risinājums
Grafikā redzams, ka funkcijas f (x) atvasinājums f "(x) maina zīmi no plus uz mīnusu (šādos punktos būs maksimums) tieši vienā punktā (starp -5 un -4) no intervāla [ -6; -2 Tāpēc intervālā [-6;-2] ir tieši viens maksimālais punkts.
Atbilde
Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.
Stāvoklis
Attēlā parādīts intervālā (-2; 8) definētas funkcijas y=f(x) grafiks. Nosakiet punktu skaitu, kur funkcijas f(x) atvasinājums ir vienāds ar 0 .
Risinājums
Ja atvasinājums punktā ir vienāds ar nulli, tad šajā punktā uzzīmētās funkcijas grafika pieskare ir paralēla Ox asij. Tāpēc mēs atrodam tādus punktus, kuros funkcijas grafika pieskare ir paralēla Ox asij. Šajā diagrammā šādi punkti ir ekstremālie punkti (maksimālie vai minimālie punkti). Kā redzat, ir 5 galējie punkti.
Atbilde
Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.
Stāvoklis
Taisne y=-3x+4 ir paralēla funkcijas y=-x^2+5x-7 grafika pieskarei. Atrodiet saskares punkta abscisu.
Rādīt risinājumuRisinājums
Taisnes slīpums līdz funkcijas y=-x^2+5x-7 grafikam patvaļīgā punktā x_0 ir y"(x_0). Bet y"=-2x+5, tātad y"(x_0)=- 2x_0+5. Leņķiskais nosacījumā norādītais taisnes y=-3x+4 koeficients ir -3.Paralēlām līnijām ir vienādi slīpuma koeficienti.Tāpēc atrodam tādu vērtību x_0, ka =-2x_0 +5=-3.
Mēs iegūstam: x_0 = 4.
Atbilde
Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.
Stāvoklis
Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks un uz x ass atzīmētie punkti -6, -1, 1, 4. Kurā no šiem punktiem atvasinājuma vērtība ir mazākā? Lūdzu, norādiet šo punktu savā atbildē.