1. Eksponenciālā funkcija ir funkcija formā y(x) \u003d ax, atkarībā no eksponenta x, ar nemainīgu pakāpes a bāzes vērtību, kur a > 0, a ≠ 0, xϵR (R ir reālo skaitļu kopa).
Apsveriet funkcijas grafiks, ja bāze neizpilda nosacījumu: a>0
a) a< 0
Ja< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
Ja a = 0, funkcija y = ir definēta un tai ir nemainīga vērtība 0
c) a \u003d 1
Ja a = 1 - funkcija y = ir definēta, un tās nemainīgā vērtība ir 1
Funkciju domēns (OOF) Pieļaujamo funkciju vērtību apgabals (ODZ) 3. Funkcijas nulles (y = 0) 4. Punkti, kur krustojas ar y asi (x = 0) 5. Palielinoša, samazinoša funkcija Ja , tad funkcija f(x) palielinās 6. Pāra, nepāra funkcijas Funkcija y = nav simetriska pret 0y asi un izcelsmi, tāpēc tā nav ne pāra, ne nepāra. (vispārējā funkcija) 7. Funkcijai y \u003d nav ekstremitāšu 8. Grāda īpašības ar reālu eksponentu: Ļaujiet a > 0; a≠1 Tad xϵR; yϵR: Pakāpju monotonitātes īpašības: ja tad Ja a> 0, tad . 9. Funkcijas relatīvā atrašanās vieta Jo lielāka ir bāze a, jo tuvāk x un y asīm a > 1, a = 20 1. piemērs Eksponenciālā funkcija
Formas y = a funkcija x , kur a ir lielāka par nulli un a nav vienāda ar vienu, sauc par eksponenciālu funkciju. Eksponenciālās funkcijas galvenās īpašības: 1. Eksponenciālās funkcijas domēns būs reālo skaitļu kopa. 2. Eksponenciālās funkcijas diapazons būs visu pozitīvo reālo skaitļu kopa. Dažreiz šī kopa īsuma labad tiek apzīmēta kā R+. 3. Ja eksponenciālajā funkcijā bāze a ir lielāka par vienu, tad funkcija pieaugs visā definīcijas jomā. Ja eksponenciālā funkcija bāzei a apmierina šādu nosacījumu 0 4. Būs spēkā visas grādu pamatīpašības. Galvenās grādu īpašības attēlo šādas vienādības: a x *a y = a (x+y) ;
(a x )/(a y ) = a (x-y) ;
(a*b) x = (a x )*(a y );
(a/b) x = a x /b x ;
(a x )
y = a (x*y) .
Šīs vienādības būs derīgas visām x un y reālajām vērtībām. 5. Eksponenciālās funkcijas grafiks vienmēr iet caur punktu ar koordinātām (0;1) 6. Atkarībā no tā, vai eksponenciālā funkcija palielinās vai samazinās, tās grafikam būs viens no diviem veidiem. Nākamajā attēlā parādīts pieaugošas eksponenciālās funkcijas grafiks: a>0. Sekojošais attēls ir dilstošās eksponenciālās funkcijas grafiks: 0 Gan pieaugošās eksponenciālās funkcijas grafiks, gan dilstošās eksponenciālās funkcijas grafiks atbilstoši piektajā rindkopā aprakstītajai īpašībai iet caur punktu (0; 1). 7. Eksponenciālai funkcijai nav ekstrēma punktu, tas ir, citiem vārdiem sakot, tai nav funkcijas minimālā un maksimālā punkta. Ja ņemam vērā funkciju kādā noteiktā segmentā, šī intervāla beigās funkcijai būs minimālās un maksimālās vērtības. 8. Funkcija nav pāra vai nepāra. Eksponenciālā funkcija ir vispārīga funkcija. To var redzēt arī no grafikiem, neviens no tiem nav simetrisks ne pret Oy asi, ne pret izcelsmi. Logaritms
Logaritmi vienmēr ir uzskatīti par sarežģītu tēmu skolas matemātikas kursā. Ir daudz dažādu logaritma definīciju, taču nez kāpēc lielākā daļa mācību grāmatu izmanto vissarežģītāko un neveiksmīgāko no tiem. Mēs definēsim logaritmu vienkārši un skaidri. Šim nolūkam izveidosim tabulu: Tātad, mums ir divas pilnvaras. Ja ņemat skaitli no apakšējās rindas, tad varat viegli atrast jaudu, līdz kurai jums ir jāpalielina divi, lai iegūtu šo skaitli. Piemēram, lai iegūtu 16, jums jāpaaugstina divi līdz ceturtajai pakāpei. Un, lai iegūtu 64, jums jāpaaugstina divi līdz sestajai pakāpei. To var redzēt no tabulas. Un tagad - faktiski logaritma definīcija: Definīcija Logaritms bāze a no argumenta x ir jauda, līdz kurai skaitlis jāpalielina a lai iegūtu numuru x. Apzīmējums log a x = b Piemēram, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (2. bāzes logaritms no 8 ir trīs, jo 2 3 = 8). Tikpat labi varētu reģistrēt 2 64 = 6, jo 2 6 = 64. Tiek izsaukta darbība, lai atrastu skaitļa logaritmu noteiktai bāzeilogaritms
. Tāpēc pievienosim mūsu tabulai jaunu rindu: Diemžēl ne visi logaritmi tiek izskatīti tik vienkārši. Piemēram, mēģiniet atrast log 2 5. Skaitlis 5 nav tabulā, bet loģika nosaka, ka logaritms atradīsies kaut kur intervālā. Jo 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Šādus skaitļus sauc par iracionāliem: skaitļus aiz komata var rakstīt bezgalīgi, un tie nekad neatkārtojas. Ja logaritms izrādās neracionāls, labāk to atstāt šādi: log 2 5, log 3 8, log 5 100. Ir svarīgi saprast, ka logaritms ir izteiksme ar diviem mainīgajiem (bāze un arguments). Sākumā daudzi cilvēki sajauc, kur ir pamats un kur ir arguments. Lai izvairītos no kaitinošiem pārpratumiem, vienkārši apskatiet attēlu: Mūsu priekšā ir nekas vairāk kā logaritma definīcija. Atcerieties: logaritms ir spēks , uz kuru jums ir jāpaaugstina bāze, lai iegūtu argumentu. Tā ir bāze, kas tiek pacelta līdz jaudai - attēlā tā ir izcelta sarkanā krāsā. Izrādās, ka pamatne vienmēr ir apakšā! Šo brīnišķīgo likumu saviem skolēniem izstāstu jau pirmajā stundā – un nav apjukuma. Mēs izdomājām definīciju - atliek iemācīties skaitīt logaritmus, t.i. atbrīvoties no "baļķa" zīmes. Sākumā mēs to atzīmējam No definīcijas izriet divi svarīgi fakti: Argumentam un bāzei vienmēr jābūt lielākam par nulli. Tas izriet no pakāpes definīcijas ar racionālu eksponentu, līdz kuram tiek reducēta logaritma definīcija. Bāzei ir jāatšķiras no vienotības, jo jebkuras jaudas vienība joprojām ir vienība.Šī iemesla dēļ jautājums “uz kādu spēku jāpaceļ viens, lai iegūtu divus” ir bezjēdzīgs. Nav tādas pakāpes! Tādi ierobežojumi sauca derīgs diapazons(ODZ). Izrādās, ka logaritma ODZ izskatās šādi: log a x = b ⇒
x > 0, a > 0, a ≠ 1. Ievērojiet to skaitam nav ierobežojumu b (logaritma vērtība) nepārklājas. Piemēram, logaritms var būt negatīvs: log 2 0,5 = −1, jo 0,5 = 2–1. Taču tagad mēs skatāmies tikai uz skaitliskām izteiksmēm, kur nav nepieciešams zināt logaritma ODZ. Visus ierobežojumus problēmu sastādītāji jau ņēmuši vērā. Bet, kad stājas spēkā logaritmiski vienādojumi un nevienādības, IDD prasības kļūs obligātas. Patiešām, pamatā un argumentācijā var būt ļoti spēcīgas konstrukcijas, kas ne vienmēr atbilst iepriekš minētajiem ierobežojumiem. Tagad apsveriet ģenerāli logaritmu aprēķināšanas shēma. Tas sastāv no trim soļiem: Iesniegt fondu a un arguments x kā jauda ar mazāko iespējamo bāzi, kas ir lielāka par vienu. Pa ceļam labāk ir atbrīvoties no decimāldaļskaitļiem; Izlemiet par mainīgo b vienādojums: x = a b ; Saņemts numurs b būs atbilde. Tas ir viss! Ja logaritms izrādīsies neracionāls, tas būs redzams jau pirmajā solī. Prasība, ka bāzei jābūt lielākai par vienu, ir ļoti svarīga: tas samazina kļūdu iespējamību un ievērojami vienkāršo aprēķinus. Līdzīgi ir ar decimāldaļskaitļiem: ja tos uzreiz pārveidosit par parastajiem, kļūdu būs daudzkārt mazāk. Apskatīsim, kā šī shēma darbojas, izmantojot konkrētus piemērus: Aprēķiniet logaritmu: log 5 25 Attēlosim bāzi un argumentu kā piecu pakāpju: 5 = 5 1 ; 25 = 52; Izveidosim un atrisināsim vienādojumu: Saņemta atbilde: 2. Aprēķiniet logaritmu: Attēlosim bāzi un argumentu kā trīs pakāpju: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4; Izveidosim un atrisināsim vienādojumu: Saņēmu atbildi: -4. −4
Aprēķiniet logaritmu: log 4 64 Attēlosim bāzi un argumentu kā divu pakāpju: 4 = 2 2 ; 64 = 26; Izveidosim un atrisināsim vienādojumu: Saņemta atbilde: 3. Aprēķiniet logaritmu: log 16 1 Attēlosim bāzi un argumentu kā divu pakāpju: 16 = 2 4 ; 1 = 20; Izveidosim un atrisināsim vienādojumu: Saņemta atbilde: 0. Aprēķiniet logaritmu: log 7 14 Attēlosim bāzi un argumentu kā septiņu pakāpju: 7 = 7 1 ; 14 nav attēlots kā septiņi, jo 7 1< 14 < 7 2 ; No iepriekšējās rindkopas izriet, ka logaritms netiek ņemts vērā; Atbilde ir bez izmaiņām: žurnāls 7 14. žurnāls 7 14 Neliela piezīme par pēdējo piemēru. Kā pārliecināties, ka skaitlis nav precīzs cita skaitļa pakāpe? Ļoti vienkārši - vienkārši sadaliet to galvenajos faktoros. Ja paplašināšanā ir vismaz divi atšķirīgi faktori, skaitlis nav precīza jauda. Uzziniet, vai skaitļa precīzās pilnvaras ir: 8; 48; 81; 35; četrpadsmit. 8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - precīzs grāds, jo ir tikai viens reizinātājs; 8, 81 - precīzs grāds; 48, 35, 14 - Nr. Ņemiet vērā arī to, ka paši pirmskaitļi vienmēr ir paši precīzas pilnvaras. Decimālais logaritms
Daži logaritmi ir tik izplatīti, ka tiem ir īpašs nosaukums un apzīmējums. Definīcija Decimālais logaritms no argumenta x ir logaritms līdz 10. bāzei, t.i. jauda, līdz kurai jums jāpalielina skaitlis 10, lai iegūtu skaitli x. Apzīmējums lg x Piemēram, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - utt. Turpmāk, kad mācību grāmatā parādās tāda frāze kā “Atrast lg 0.01”, ziniet, ka tā nav drukas kļūda. Šis ir decimālais logaritms. Tomēr, ja neesat pieradis pie šāda apzīmējuma, vienmēr varat to pārrakstīt: Viss, kas attiecas uz parastajiem logaritmiem, attiecas arī uz decimāldaļām. naturālais logaritms
Ir vēl viens logaritms, kuram ir savs apzīmējums. Savā ziņā tas ir pat svarīgāks par decimāldaļu. Šis ir dabiskais logaritms. Definīcija naturālais logaritms no argumenta x ir bāzes logaritms e , t.i. jauda, līdz kurai cipars jāpalielina e lai iegūtu numuru x. Apzīmējums ln x Daudzi jautās: kāds ir cipars e? Tas ir neracionāls skaitlis, tā precīzu vērtību nevar atrast un pierakstīt. Šeit ir tikai pirmie skaitļi: Mēs neiedziļināsimies, kas ir šis numurs un kāpēc tas ir vajadzīgs. Vienkārši atcerieties, ka e ir naturālā logaritma bāze: Tādējādi ln e = 1; log e 2 = 2; 16. gadā = 16 - utt. No otras puses, ln 2 ir iracionāls skaitlis. Kopumā jebkura racionāla skaitļa naturālais logaritms ir iracionāls. Protams, izņemot vienotību: ln 1 = 0. Dabiskajiem logaritmiem ir spēkā visi noteikumi, kas ir spēkā parastajiem logaritmiem. Logaritmu pamatīpašības Logaritmus, tāpat kā jebkuru skaitli, var saskaitīt, atņemt un pārveidot visos iespējamos veidos. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc par pamata īpašībām. Šie noteikumi ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienā dienā. Tātad sāksim. Logaritmu saskaitīšana un atņemšana
Apsveriet divus logaritmus ar vienu un to pašu bāzi: log a x un log a y . Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un: žurnāls a x +baļķis a y = baļķis a (
x ·
y );
žurnāls a x −log a y = baļķis a (
x :
y ).
Tātad, logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un starpība ir koeficienta logaritms. Lūdzu, ņemiet vērā: galvenais šeit ir tās pašas bāzes. Ja bāzes atšķiras, šie noteikumi nedarbojas! Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek ņemtas vērā (skatiet nodarbību "
"). Apskatiet piemērus un skatiet: Atrodiet izteiksmes vērtību: log 6 4 + log 6 9. Tā kā logaritmu bāzes ir vienādas, mēs izmantojam summas formulu: Atrodiet izteiksmes vērtību: log 2 48 − log 2 3. Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu: Atrodiet izteiksmes vērtību: log 3 135 − log 3 5. Atkal, bāzes ir vienādas, tāpēc mums ir: Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no "sliktiem" logaritmiem, kas netiek apskatīti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām izrādās diezgan normāli skaitļi. Daudzi testi ir balstīti uz šo faktu. Jā, tā kontrole - līdzīgi izteicieni visā nopietnībā (dažkārt - praktiski bez izmaiņām) tiek piedāvāti eksāmenā. Eksponenta noņemšana no logaritma
Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ko darīt, ja logaritma bāzē vai argumentā ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem: Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko viņu pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties – dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu. Protams visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots ODZ logaritms: a > 0, a ≠ 1, x > 0 jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā. Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 7 49 6 . Atbrīvosimies no argumenta pakāpes pēc pirmās formulas: Atrodiet izteiksmes vērtību: Ņemiet vērā, ka saucējs ir logaritms, kura bāze un arguments ir precīzas pakāpes: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Mums ir: Es domāju, ka pēdējais piemērs ir jāprecizē. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju. Viņi uzrādīja tur esošā logaritma bāzi un argumentu grādu veidā un izņēma rādītājus - viņi ieguva “trīsstāvu” daļu. Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājam un saucējam ir vienāds skaitlis: log 2 7. Tā kā log 2 7 ≠ 0, mēs varam samazināt daļu - 2/4 paliks saucējā. Saskaņā ar aritmētikas noteikumiem četriniekus var pārsūtīt uz skaitītāju, kas arī tika izdarīts. Rezultāts ir atbilde: 2. Pāreja uz jaunu pamatu
Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja bāzes atšķiras? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras? Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu bāzi. Mēs tos formulējam teorēmas veidā: Teorēma Ļaujiet logaritmam reģistrēties a x . Tad jebkuram skaitlim c tā, lai c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa: Jo īpaši, ja mēs ieliekam c = x, mēs iegūstam: No otrās formulas izriet, ka logaritma bāzi un argumentu var apmainīt, bet visa izteiksme ir “apgriezta”, t.i. logaritms ir saucējā.
Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. Novērtēt, cik tie ir ērti, var tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības. Tomēr ir uzdevumi, kurus nemaz nevar atrisināt, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem: Atrodiet izteiksmes vērtību: log 5 16 log 2 25. Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti ir precīzi eksponenti. Izņemsim rādītājus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5; Tagad apgriezīsim otro logaritmu: Tā kā reizinājums nemainās no faktoru permutācijas, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un pēc tam izdomājām logaritmus. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 9 100 lg 3. Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no rādītājiem: Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi: Pamatlogaritmiskā identitāte
Bieži vien risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā formulas mums palīdzēs: Pirmajā gadījumā numurs n kļūst par argumenta eksponentu. Numurs n var būt pilnīgi jebkas, jo tā ir tikai logaritma vērtība. Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. To sauc šādi:logaritmiskā identitāte.
Patiešām, kas notiks, ja skaitlis b palielinās līdz tādai pakāpei, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: tas ir tas pats cipars a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu - daudzi cilvēki tajā "karājas". Tāpat kā jaunās bāzes konvertēšanas formulas, arī pamata logaritmiskā identitāte dažreiz ir vienīgais iespējamais risinājums. Uzdevums Atrodiet izteiksmes vērtību: Risinājums Ņemiet vērā, ka log 25 64 = log 5 8 - tikko izņēma kvadrātu no bāzes un logaritma argumentu. Ņemot vērā noteikumus jaudu reizināšanai ar to pašu bāzi, mēs iegūstam: 200
Ja kāds nezina, šis bija īsts eksāmena uzdevums :) Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle
Noslēgumā es sniegšu divas identitātes, kuras ir grūti nosaukt par īpašībām - drīzāk tās ir sekas no logaritma definīcijas. Viņi pastāvīgi tiek atrasti problēmās un pārsteidzošā kārtā rada problēmas pat "progresīviem" studentiem. log a a = 1 ir logaritmiskā vienība. Vienreiz par visām reizēm atcerieties: logaritms uz jebkuru bāzi a no šīs bāzes pati par sevi ir vienāda ar vienu. log a 1 = 0 ir logaritmiskā nulle. Pamatne a var būt jebkas, bet ja arguments ir viens - logaritms ir nulle! jo a 0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas. Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Uzmanības koncentrācija: Definīcija. Funkcija
sugas sauc eksponenciālā funkcija
. komentēt. Bāzes izslēgšana a skaitļi 0; 1 un negatīvas vērtības a izskaidrojams ar šādiem apstākļiem: Pati analītiskā izteiksme a xšajos gadījumos tas saglabā savu nozīmi un ar to var saskarties problēmu risināšanā. Piemēram, izteiksmei x y punkts x = 1; y = 1
ievada pieņemamo vērtību diapazonu. Izveidojiet funkciju grafikus: un . Eksponenciālās funkcijas īpašības Kad tabula ir aizpildīta, paralēli aizpildīšanai tiek risināti uzdevumi. Uzdevuma numurs 1. (Lai atrastu funkcijas domēnu). Kādas argumentu vērtības ir derīgas funkcijām: Uzdevuma numurs 2. (Lai atrastu funkcijas diapazonu). Attēlā parādīts funkcijas grafiks. Norādiet funkcijas darbības jomu un darbības jomu: Uzdevuma numurs 3. (Lai norādītu salīdzināšanas intervālus ar mērvienību). Salīdziniet katru no šīm pilnvarām ar vienu: Uzdevums numurs 4. (Izpētīt monotonitātes funkciju). Salīdziniet reālos skaitļus pēc lieluma m Un n ja: Uzdevums numurs 5. (Izpētīt monotonitātes funkciju). Izdariet secinājumu par pamatu a, ja: y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) — 4x Kā eksponenciālo funkciju grafiki ir viens pret otru, ja x > 0, x = 0, x<
0? Vienā koordinātu plaknē tiek attēloti funkciju grafiki: y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x . Kā eksponenciālo funkciju grafiki ir viens pret otru, ja x > 0, x = 0, x<
0? Numurs e Tam ir īpaša loma matemātiskajā analīzē. Eksponenciālā funkcija
ar pamatni e, sauc par eksponentu
un apzīmēts y = e x. Pirmās pazīmes cipariem
e viegli atcerēties: divi, komats, septiņi, Ļeva Tolstoja dzimšanas gads - divas reizes, četrdesmit pieci, deviņdesmit, četrdesmit pieci.
Mājasdarbs: Kolmogorovs 35. lpp.; Nr.445-447; 451; 453. Atkārtojiet algoritmu, lai izveidotu funkciju grafikus, kas satur mainīgo zem moduļa zīmes. Zināšanu hipermārkets >>Matemātika >>Matemātika 10. klase >> Eksponenciālā funkcija, tās īpašības un grafiks Apsveriet izteiksmi 2x un atrodiet tās vērtības dažādām mainīgā x racionālām vērtībām, piemēram, ja x=2; Kopumā neatkarīgi no tā, kādu racionālu vērtību mēs piešķiram mainīgajam x, mēs vienmēr varam aprēķināt atbilstošo izteiksmes skaitlisko vērtību 2x. Tādējādi var runāt par eksponenciālu funkcijas y=2 x definēts uz racionālo skaitļu kopas Q: Apskatīsim dažas šīs funkcijas īpašības. 1. īpašums. ir pieaugoša funkcija. Mēs veicam pierādīšanu divos posmos. Pēdējās nevienādības kreisajā pusē ir , bet labajā pusē 1. Tādējādi pēdējo nevienādību var pārrakstīt kā Otrā fāze. Lai x 1 un x 2 ir skaitļi, un x 1 un x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования: (atšķirību x 2 -x 1 apzīmējām ar burtu r). Tā kā r ir pozitīvs racionāls skaitlis, tad ar to, kas tika pierādīts pirmajā posmā, 2 r > 1, t.i., 2 r -1 >0. Arī skaitlis 2x" ir pozitīvs, kas nozīmē, ka reizinājums 2x-1 (2 Г -1) arī ir pozitīvs. Tādējādi esam pierādījuši, ka nevienlīdzība 2 Xr -2x "\u003e 0. Tātad no nevienlīdzības x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая. 2. īpašums. ierobežots no apakšas un nav ierobežots no augšas. Tas, ka šai funkcijai nav vislielākā nozīme, ir acīmredzams, jo, kā mēs tikko redzējām, tā nav ierobežota no augšas. Bet tas ir ierobežots no apakšas, kāpēc tam nav mazākās vērtības? Pieņemsim, ka 2r ir funkcijas mazākā vērtība (r ir kāds racionāls eksponents). Paņemiet racionālu skaitli q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции. Tas viss ir labi, jūs sakāt, bet kāpēc mēs funkciju y-2 x aplūkojam tikai racionālo skaitļu kopā, kāpēc mēs to, tāpat kā citas zināmās funkcijas, neuzskatām uz visu skaitļu līniju vai uz kādu nepārtrauktu skaitļu līnija? Kas mūs attur? Padomāsim par situāciju. Skaitļu līnija satur ne tikai racionālos, bet arī iracionālos skaitļus. Iepriekš pētītajām funkcijām tas mūs netraucēja. Piemēram, funkcijas y \u003d x 2 vērtības vienlīdz viegli atradām gan racionālām, gan iracionālām x vērtībām: pietika ar dotās x vērtības kvadrātu. Bet ar funkciju y \u003d 2 x situācija ir sarežģītāka. Ja argumentam x ir dota racionāla vērtība, tad principā x var aprēķināt (atgriezties uz rindkopas sākumu, kur mēs to darījām). Un ja argumentam x tiek dota iracionāla vērtība? Kā, piemēram, aprēķināt? Mēs to vēl nezinām. Ir zināms, ka 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... . Ir skaidrs, ka 1,732 = 1,7320 un 1,732050 = 1,73205. Lai izvairītos no šādiem atkārtojumiem, mēs atmetam tos secības dalībniekus, kas beidzas ar skaitli 0. Tad mēs iegūstam pieaugošu secību: 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... . Attiecīgi palielinās arī secība. Visi šīs secības dalībnieki ir pozitīvi skaitļi, kas mazāki par 22, t.i. šī secība ir ierobežota. Saskaņā ar Veierštrāsa teorēmu (sk. § 30), ja secība ir pieaugoša un ierobežota, tad tā saplūst. Turklāt no 30.§ mēs zinām, ka, ja secība saplūst, tad tikai līdz vienai robežai. Šo vienoto ierobežojumu tika uzskatīts par skaitliskās izteiksmes vērtību. Un tas nekas, ka ir ļoti grūti atrast pat aptuvenu skaitliskās izteiksmes 2 vērtību; ir svarīgi, lai tas būtu konkrēts skaitlis (galu galā mēs nebaidījāmies teikt, ka, piemēram, tas ir racionāla vienādojuma sakne, Atzīmēsim punktus koordinātu plaknē (194. att.), tie iezīmē noteiktu līniju, novelkam to (195. att.). Funkcijas y-2 x uzskaitīto īpašību stingri pierādījumi tiek doti augstākās matemātikas kursā. Dažas no šīm īpašībām, kuras mēs vienā vai otrā pakāpē apspriedām iepriekš, dažas no tām skaidri parāda konstruētais grafiks (sk. 195. att.). Piemēram, funkcijas paritātes vai nepāra neesamība ir ģeometriski saistīta ar grafa simetrijas trūkumu attiecīgi ap y asi vai izcelsmi. Jebkurai funkcijai formā y=a x, kur a >1, ir līdzīgas īpašības. Uz att. 196 vienā koordinātu sistēmā ir konstruēti funkciju grafiki y=2 x, y=3 x, y=5 x. Tagad apskatīsim funkciju, izveidosim tai vērtību tabulu: 1) Definīcija. Skata funkciju sauc par eksponenciālo funkciju. Funkcijas y \u003d a x grafiks a> 1 ir parādīts attēlā. 201 un par 0<а < 1 - на рис. 202. attēlā parādītā līkne. 201 vai 202 sauc par eksponentu. Faktiski matemātiķi pašu eksponenciālo funkciju parasti sauc par y = a x. Tātad termins "eksponents" tiek lietots divās nozīmēs: gan eksponenciālās funkcijas nosaukumam, gan eksponenciālās funkcijas grafika nosaukumam. Parasti pēc nozīmes ir skaidrs, vai mēs runājam par eksponenciālu funkciju vai tās grafiku. Pievērsiet uzmanību eksponenciālās funkcijas y \u003d ax grafika ģeometriskajai iezīmei: x ass ir diagrammas horizontālā asimptote. Tiesa, šis apgalvojums parasti tiek precizēts šādi. Citiem vārdiem sakot Šie ir jaudas funkciju piemēri; Kopumā y \u003d x r, kur r ir konkrēts skaitlis, ir jaudas funkcija (arguments x ir ietverts pakāpes bāzē); Uzbrūkoša "eksotiska" funkcija, piemēram, y = x, netiek uzskatīta ne par eksponenciālu, ne par spēka likumu (to dažreiz sauc par eksponenciālā jaudas funkciju). Otra svarīga piezīme. Parasti netiek uzskatīta eksponenciāla funkcija ar bāzi a = 1 vai ar bāzi a, kas apmierina nevienlīdzību a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0un a Fakts ir tāds, ka, ja a \u003d 1, tad jebkurai vērtībai x vienādība Ix \u003d 1 ir patiesa. Tādējādi eksponenciālā funkcija y \u003d a "par a \u003d 1" deģenerējas "konstantā funkcijā y \". u003d 1 - tas nav interesanti. Ja a \u003d 0, tad 0x \u003d 0 jebkurai pozitīvai x vērtībai, t.i., mēs iegūstam funkciju y \u003d 0, kas definēta x\u003e 0 - tas arī nav interesanti.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках. Pirms pāriet pie piemēru risināšanas, mēs atzīmējam, ka eksponenciālā funkcija ievērojami atšķiras no visām līdz šim pētītajām funkcijām. Lai rūpīgi izpētītu jaunu objektu, tas ir jāapsver no dažādiem leņķiem, dažādās situācijās, tāpēc piemēru būs daudz. Risinājums, a) Atzīmējot funkciju y \u003d 2 x un y \u003d 1 grafikus vienā koordinātu sistēmā, mēs novērojam (203. att.), ka tām ir viens kopīgs punkts (0; 1). Tātad vienādojumam 2x = 1 ir viena sakne x = 0. Tātad no vienādojuma 2x = 2° mēs saņēmām x = 0. b) Konstruējot funkciju y \u003d 2 x un y \u003d 4 grafikus vienā koordinātu sistēmā, mēs novērojam (203. att.), ka tām ir viens kopīgs punkts (2; 4). Tātad vienādojumam 2x = 4 ir viena sakne x = 2. Tātad no vienādojuma 2 x \u003d 2 2 mēs saņēmām x \u003d 2. c) un d) Pamatojoties uz tiem pašiem apsvērumiem, mēs secinām, ka vienādojumam 2 x \u003d 8 ir viena sakne, un, lai to atrastu, attiecīgo funkciju grafikus nevar izveidot; skaidrs, ka x=3, jo 2 3 =8. Līdzīgi mēs atrodam vienīgo vienādojuma sakni Risinājums. Varat rīkoties šādi: izveidojiet funkcijas y-3 x grafiku, pēc tam izstiepiet to no x ass ar koeficientu 3 un pēc tam paceliet iegūto grafiku uz augšu par 2 mēroga vienībām. Bet ērtāk ir izmantot faktu, ka 3-3* \u003d 3 * + 1, un tāpēc attēlojiet funkciju y \u003d 3 x * 1 + 2. Pārejam, kā jau vairākkārt šādos gadījumos darījām, uz palīgkoordinātu sistēmu ar sākumpunktu punktā (-1; 2) - punktētās līnijas x = - 1 un 1x = 2 attēlā. 207. "Pievienosim" funkciju y=3* jaunai koordinātu sistēmai. Lai to izdarītu, mēs atlasām funkcijas kontroles punktus 4. piemērs Atrisiniet vienādojumu un nevienādības: Risinājums, a) Konstruēsim vienā koordinātu sistēmā funkciju y=5* un y=6-x grafikus (208. att.). Tie krustojas vienā punktā; spriežot pēc zīmējuma, tas ir punkts (1; 5). Pārbaude parāda, ka faktiski punkts (1; 5) apmierina gan vienādojumu y = 5*, gan vienādojumu y=6x. Šī punkta abscisa kalpo kā vienīgā dotā vienādojuma sakne. Tātad vienādojumam 5 x = 6-x ir viena sakne x = 1. b) un c) Eksponents y-5x atrodas virs taisnes y=6-x, ja x>1, - tas skaidri redzams att. 208. Līdz ar to nevienādības 5*>6-x atrisinājumu var uzrakstīt šādi: x>1. Un nevienādības atrisinājums 5x<6 - х можно записать так: х < 1. 5. piemērs Dota funkcija 
2. Apsveriet eksponenciālo funkciju sīkāk:
0
Ja , tad funkcija f(x) samazinās
Funkcija y= , pie 0
Tas izriet no pakāpes monotonitātes īpašībām ar reālu eksponentu.
b > 0; b≠1
Piemēram:
Eksponenciālā funkcija ir nepārtraukta jebkurā punktā ϵ R.
Ja a0, tad eksponenciālā funkcija iegūst formu, kas ir tuvu y = 0.
Ja a1, tad tālāk no asīm x un y, un grafiks iegūst formu, kas ir tuvu funkcijai y \u003d 1.
Sižets y=
kur a ir bāze, x ir arguments, b Kas īsti ir logaritms.
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nav precīza jauda, jo ir divi faktori: 3 un 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - precīzs grāds;
35 = 7 5 - atkal nav precīzs grāds;
14 \u003d 7 2 - atkal nav precīzs grāds;
log x = log 10 x
e = 2,718281828459...
ln x = log e x
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Eksponenciālās funkcijas grafiks
y= a x, a > 1
y= a x , 0< a < 1
Eksponenciālās funkcijas īpašības
y= a x, a > 1
y= a x , 0< a <
1
2. Funkciju vērtību diapazons
3. Intervāli salīdzināšanai ar mērvienību
plkst x> 0, a x
>
1
plkst x > 0, 0< a x < 1
plkst x < 0, 0< a x < 1
plkst x < 0, a x
>
1
4. Pāra, nepāra.
Funkcija nav ne pāra, ne nepāra (vispārīga funkcija).
5. Monotonija.
monotoni palielinās par R
monotoni samazinās par R
6. Galējības.
Eksponenciālajai funkcijai nav ekstrēmu.
7.Asimptote
O ass x ir horizontāla asimptote.
8. Par jebkurām īstām vērtībām x Un y;
Numurs
viena no svarīgākajām konstantēm matemātikā. Pēc definīcijas tā vienāds ar secības robežu
ar neierobežotu
palielinot n
. Apzīmējums e ieviests Leonards Eilers
1736. gadā. Viņš aprēķināja šī skaitļa pirmos 23 ciparus decimāldaļās, un pats skaitlis tika nosaukts Napier "ne-vienādranga skaitlis" vārdā.
Pirmais solis. Pierādīsim, ja r ir pozitīvs racionāls skaitlis, tad 2 r >1.
Ir iespējami divi gadījumi: 1) r - dabiskais skaitlis, r = n; 2) parastais neredukējamais frakcija, 
Tādējādi jebkurā gadījumā pastāv nevienādība 2 r > 1, kā nepieciešams.
Funkcijas robeža no apakšas izriet no nevienādības 2 x > 0, kas ir derīga jebkurai x vērtībai no funkcijas domēna. Tajā pašā laikā, lai kādu pozitīvo skaitli M ņemtu, vienmēr var izvēlēties tādu rādītāju x, lai izpildītos nevienādība 2 x > M - kas raksturo funkcijas neierobežotību no augšas. Sniegsim dažus piemērus. 
3. īpašums. nav ne minimālās, ne maksimālās vērtības.
Matemātiķi ir atraduši izeju; tā viņi runāja.
Apsveriet racionālu skaitļu secību - skaitļa decimāldaļas tuvinājumus pēc deficīta:
trigonometriskā vienādojuma sakne, īsti nedomājot par to, kas īsti ir šie skaitļi: 
Tātad, mēs noskaidrojām, kādu nozīmi matemātiķi piešķir simbolam 2 ^. Līdzīgi var noteikt, kas ir un vispār kas ir a a, kur a ir iracionāls skaitlis un a > 1.
Bet kā tad, kad 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Tagad mēs varam runāt ne tikai par pakāpēm ar patvaļīgiem racionālajiem eksponentiem, bet arī par pakāpēm ar patvaļīgiem reālajiem eksponentiem. Ir pierādīts, ka grādiem ar jebkuriem reāliem eksponentiem ir visas ierastās grādu īpašības: reizinot grādus ar vienādām bāzēm, eksponentus saskaita, dalot atņem, pakāpi paaugstinot līdz pakāpei, reizina utt. . Bet vissvarīgākais ir tas, ka tagad mēs varam runāt par funkciju y-ax, kas definēta visu reālo skaitļu kopā.
Atgriezīsimies pie funkcijas y \u003d 2 x, izveidosim tās grafiku. Lai to izdarītu, mēs sastādīsim funkciju vērtību tabulu \u200b\u200d 2 x:
Funkcijas īpašības y - 2 x:
1)
2) nav ne pāra, ne nepāra; 248
3) palielinās;
5) nav ne lielākās, ne mazākās vērtības;
6) nepārtraukts;
7)
8) izliekta uz leju.
Atzīmēsim punktus koordinātu plaknē (197. att.), tie iezīmē noteiktu līniju, novelkam to (198. att.).
Funkciju īpašības
2) nav ne pāra, ne nepāra;
3) samazinās;
4) neierobežots no augšas, ierobežots no apakšas;
5) nav ne lielākās, ne mazākās vērtības;
6) nepārtraukts;
7)
8) izliekta uz leju.
Jebkura funkcija formā y \u003d a x, kur O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций 
Lūdzu, ņemiet vērā: funkciju diagrammas 
tie. y \u003d 2 x, simetriski pret y asi (201. att.). Tās ir vispārīgā apgalvojuma sekas (sk. 13. §): funkciju y = f(x) un y = f(-x) grafiki ir simetriski pret y asi. Līdzīgi, funkciju grafiki y \u003d 3 x un
Apkopojot teikto, definēsim eksponenciālā funkcija un izcelt tās svarīgākās īpašības.
Eksponenciālās funkcijas y \u003d a x galvenās īpašības
X ass ir funkcijas grafika horizontālā asimptote
Pirmā svarīgā piezīme. Skolēni bieži jauc terminus: jaudas funkcija, eksponenciālā funkcija. Salīdzināt:
ir eksponenciālu funkciju piemēri.
y \u003d a", kur a ir konkrēts skaitlis (pozitīvs un atšķiras no 1), ir eksponenciāla funkcija (arguments x ir ietverts eksponentā).
1. piemērs 
Tātad no vienādojuma 2x = 2 3 mēs saņēmām x = 3, un no vienādojuma 2 x = 2 x mēs saņēmām x = -4.
e) Funkcijas y \u003d 2 x grafiks atrodas virs funkcijas y \u003d 1 grafika x\u003e 0 - tas ir labi nolasīts attēlā. 203. Tādējādi nevienādības 2x > 1 risinājums ir intervāls
f) Funkcijas y \u003d 2 x grafiks atrodas zem funkcijas y \u003d 4 grafika pie x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Jūs droši vien pamanījāt, ka visu secinājumu pamatā, kas izdarīti, risinot 1. piemēru, bija funkcijas y \u003d 2 x monotoniskuma (palielinājuma) īpašība. Līdzīga argumentācija ļauj mums pārbaudīt divu nākamo teorēmu derīgumu. 
, taču tās veidosim nevis vecajā, bet gan jaunajā koordinātu sistēmā (šie punkti atzīmēti 207. att.). Tad konstruēsim eksponentu pa punktiem – tas būs vajadzīgais grafs (skat. 207. att.).
Lai segmentā [-2, 2] atrastu dotās funkcijas lielākās un mazākās vērtības, mēs izmantojam faktu, ka dotā funkcija palielinās, un tāpēc tā ņem tās mazākās un lielākās vērtības attiecīgi pa kreisi un segmenta labie gali.
Tātad:
Atbilde: a) x = 1; b)x>1; c) x<1.
Pierādiet to 
Risinājums. Pēc nosacījuma Mums ir.