EKSPONENTIĀLĀS UN LOGARITMISKĀS FUNKCIJAS VIII
§ 179 Eksponenciālās funkcijas pamatīpašības
Šajā sadaļā mēs pētīsim eksponenciālās funkcijas galvenās īpašības
y = a x (1)
Atgādiniet to zem a formulā (1) mēs domājam jebkuru fiksētu pozitīvu skaitli, kas nav 1.
1. īpašums. Eksponenciālās funkcijas domēns ir visu reālo skaitļu kopa.
Patiešām, pozitīvi a izteiksme a x definēts jebkuram reālam skaitlim X .
2. īpašums. Eksponenciālā funkcijaņem tikai pozitīvas vērtības.
Patiešām, ja X > 0, tad, kā tika pierādīts 176. pantā,
a x > 0.
Ja X <. 0, то
a x =
kur - X jau lielāks par nulli. Tātad a - x > 0. Bet tad
a x = > 0.
Visbeidzot, plkst X = 0
a x = 1.
Eksponenciālās funkcijas 2. īpašībai ir vienkārša grafiskā interpretācija. Tas slēpjas faktā, ka šīs funkcijas grafiks (sk. 246. un 247. att.) atrodas pilnībā virs x ass.
3. īpašums. Ja a >1, tad plkst X > 0 a x > 1, un plkst X < 0 a x < 1. Ja a < 1, тak, gluži otrādi, X > 0 a x < 1, un plkst X < 0 a x > 1.
Šī eksponenciālās funkcijas īpašība nodrošina arī vienkāršu ģeometrisku interpretāciju. Plkst a > 1 (246. att.) līknes y = a x atrodas virs līnijas plkst = 1 plkst X > 0 un zem taisnes plkst = 1 plkst X < 0.
Ja a < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = a x atrodas zem līnijas plkst = 1 plkst X > 0 un virs šīs taisnes pie X < 0.
Ļaujiet mums sniegt stingru pierādījumu par 3. īpašumu. Ļaujiet būt a > 1 un X ir patvaļīgs pozitīvs skaitlis. Ļaujiet mums to parādīt
a x > 1.
Ja numurs X racionāls ( X = m / n ), tad a x = a m / n = n √a m .
Ciktāl a > 1, tad a m > 1, bet skaitļa, kas lielāks par vienu, sakne acīmredzami ir arī lielāka par 1.
Ja X iracionāli, tad ir pozitīvi racionāli skaitļi X" un X" , kas kalpo kā skaitļa decimāldaļas tuvinājumi x :
X"< х < х" .
Bet tad pēc pakāpes definīcijas ar iracionālu eksponentu
a x" < a x < a x"" .
Kā parādīts iepriekš, numurs a x" Vairāk par vienu. Tāpēc numurs a x , vairāk par a x" , jābūt arī lielākam par 1,
Tātad, mēs to esam parādījuši a >1 un patvaļīgi pozitīvs X
a x > 1.
Ja numurs X bija negatīvs, tad mēs būtu
a x =
kur ir numurs X būtu pozitīvi. Tātad a - x > 1. Tāpēc
a x = < 1.
Tādējādi plkst a > 1 un patvaļīgi negatīvs x
a x < 1.
Gadījums, kad 0< a < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.
4. īpašums. Ja x = 0, tad neatkarīgi no a a x =1.
Tas izriet no nulles pakāpes definīcijas; jebkura skaitļa, kas nav nulle, nulles pakāpe ir vienāda ar 1. Grafiski šī īpašība ir izteikta faktā, ka jebkuram a līkne plkst = a x (sk. 246. un 247. att.) šķērso asi plkst punktā ar 1. ordinātu.
5. īpašums. Plkst a >1 eksponenciālā funkcija = a x monotoni pieaug, un par a < 1 - monotoni samazinās.
Šis īpašums nodrošina arī vienkāršu ģeometrisku interpretāciju.
Plkst a > 1 (246. att.) līkne plkst = a x ar izaugsmi X paceļas arvien augstāk un augstāk, un a < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.
Sniegsim stingru 5. īpašuma pierādījumu.
Ļaujiet būt a > 1 un X 2 > X viens . Ļaujiet mums to parādīt
a x 2 > a x 1
Ciktāl X 2 > X 1., tad X 2 = X 1 + d , kur d ir kaut kāds pozitīvs skaitlis. Tātad
a x 2 - a x 1 = a x 1 + d - a x 1 = a x 1 (a d - 1)
Atbilstoši eksponenciālās funkcijas 2.īpašībai a x 1 > 0. Kopš d > 0, tad ar eksponenciālās funkcijas 3. rekvizītu a d > 1. Abi faktori produktā a x 1 (a d - 1) ir pozitīvas, tāpēc šis produkts pats par sevi ir pozitīvs. nozīmē, a x 2 - a x 1 > 0 vai a x 2 > a x 1 , kas bija jāpierāda.
Tātad, plkst a > 1 funkcija plkst = a x monotoni pieaug. Līdzīgi tiek pierādīts, ka a < 1 функция plkst = a x monotoni samazinās.
Sekas. Ja viena un tā paša pozitīvā skaitļa, kas nav 1, divas pakāpes ir vienādas, tad arī to eksponenti ir vienādi.
Citiem vārdiem sakot, ja
a b = a c (a > 0 un a =/= 1),
b = c .
Patiešām, ja skaitļi b un ar nebija vienādi, tad funkcijas monotonitātes dēļ plkst = a x vairums no tiem atbilstu a >1 ir lielāks, un pie a < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или a b > a c , vai a b < a c . Abi šie nosacījumi ir pretrunā ar nosacījumu a b = a c . Atliek atzīt, ka b = c .
6. īpašums. Ja > 1, tad ar neierobežotu argumentācijas pieaugumu X (X -> ∞ ) funkciju vērtības plkst = a x arī augt bezgalīgi (plkst -> ∞ ). Ar neierobežotu argumentācijas samazināšanos X (X -> -∞ ) šīs funkcijas vērtībām ir tendence uz nulli, vienlaikus paliekot pozitīvas (plkst->0; plkst > 0).
Ņemot vērā iepriekš pierādīto funkcijas monotonitāti plkst = a x , mēs varam teikt, ka izskatāmajā gadījumā funkcija plkst = a x monotoni palielinās no 0 līdz ∞ .
Ja 0 <a < 1, tad ar neierobežotu argumenta x (x -> ∞) pieaugumu, funkcijas y \u003d a x vērtībām ir tendence uz nulli, vienlaikus paliekot pozitīvas (plkst->0; plkst > 0). Ar neierobežotu argumenta x samazināšanos (X -> -∞ ) šīs funkcijas vērtības pieaug uz nenoteiktu laiku (plkst -> ∞ ).
Funkcijas monotonības dēļ y = cirvis mēs varam teikt, ka šajā gadījumā funkcija plkst = a x monotoni samazinās no ∞ uz 0.
Eksponenciālās funkcijas 6. īpašība ir skaidri atspoguļota 246. un 247. attēlā. Mēs to stingri nepierādīsim.
Mums tikai jānosaka eksponenciālās funkcijas diapazons y = cirvis (a > 0, a =/= 1).
Iepriekš mēs pierādījām, ka funkcija y = cirvis ņem tikai pozitīvas vērtības un vai nu monotoni palielinās no 0 līdz ∞ (pie a > 1), vai monotoni samazinās no ∞ uz 0 (pie 0< a <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = cirvis kad mainīsi kādu lēcienu? Vai tam ir vajadzīgas pozitīvas vērtības? Uz šo jautājumu tiek atbildēts pozitīvi. Ja a > 0 un a =/= 1, tad neatkarīgi no pozitīva skaitļa plkst 0 ir jāatrod X 0, tāds
a x 0 = plkst 0 .
(Funkcijas monotonitātes dēļ y = cirvis norādītā vērtība X 0, protams, būtu vienīgais.)
Šī fakta pierādījums ir ārpus mūsu programmas darbības jomas. Tās ģeometriskā interpretācija ir tāda, ka jebkuram pozitīva vērtība plkst 0 funkciju grafiks y = cirvis jākrustojas ar līniju plkst = plkst 0 un turklāt tikai vienā punktā (248. att.).
No tā varam izdarīt šādu secinājumu, ko formulējam īpašuma 7 formā.
7. īpašums. Eksponenciālās funkcijas izmaiņu laukums y \u003d a x (a > 0, a =/= 1)ir visu pozitīvo skaitļu kopa.
Vingrinājumi
1368. Atrast definīcijas jomas sekojošas funkcijas:
1369. Kurš no dotajiem skaitļiem ir lielāks par 1 un kurš mazāks par 1:
1370. Uz kāda eksponenciālās funkcijas īpašības pamata var apgalvot, ka
a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; b) (4/3) 1,3 > (4/3) 1,2
1371. Kurš skaitlis ir lielāks:
a) π - √3 vai (1 / π ) - √3; c) (2/3) 1 + √6 vai (2/3) √2 + √5 ;
b) ( π / 4) 1 + √3 vai ( π / 4) 2; d) (√3 ) √2 - √5 vai (√3) √3 - 2 ?
1372. Vai nevienādības ir ekvivalentas:
1373. Ko var teikt par skaitļiem X un plkst , ja a x = un y , kur a ir dots pozitīvs skaitlis?
1374. 1) Vai tas ir iespējams starp visām funkcijas vērtībām plkst = 2x izcelt:
2) Vai tas ir iespējams starp visām funkciju vērtībām plkst = 2 | x| izcelt:
a) lielākā vērtība; b) mazākā vērtība?
Vairākuma lēmums matemātikas uzdevumi kaut kādā veidā saistīts ar skaitlisko, algebrisko vai funkcionālo izteiksmju pārveidošanu. Tas jo īpaši attiecas uz risinājumu. USE variantos matemātikā šāda veida uzdevumi jo īpaši ietver uzdevumu C3. Mācīšanās risināt C3 uzdevumus ir svarīga ne tikai veiksmīgas darbības dēļ nokārtojot eksāmenu, bet arī tāpēc, ka šī prasme noder, apgūstot matemātikas kursu augstākajā izglītībā.
Veicot uzdevumus C3, jums ir jāizlemj Dažādi vienādojumi un nevienādības. Starp tiem ir racionāli, iracionāli, eksponenciāli, logaritmiski, trigonometriski, kas satur moduļus ( absolūtās vērtības), kā arī kombinētās. Šajā rakstā ir apskatīti galvenie eksponenciālo vienādojumu un nevienādību veidi, kā arī dažādas metodes savus lēmumus. Lasiet par cita veida vienādojumu un nevienādību risināšanu zem virsraksta "" rakstos, kas veltīti C3 problēmu risināšanas metodēm no plkst. IZMANTOT opcijas matemātika.
Pirms turpināt konkrētu analīzi eksponenciālie vienādojumi un nevienādības, kā matemātikas pasniedzējam, es iesaku jums papildināt dažus teorētiskos materiālus, kas mums būs nepieciešami.
Eksponenciālā funkcija
Kas ir eksponenciāla funkcija?
Skatīšanas funkcija y = a x, kur a> 0 un a≠ 1, zvanīts eksponenciālā funkcija.
Galvenā eksponenciālās funkcijas īpašības y = a x:
Eksponenciālās funkcijas grafiks
Eksponenciālās funkcijas grafiks ir izstādes dalībnieks:
Eksponenciālo funkciju grafiki (eksponenti)
Eksponenciālo vienādojumu risinājums
indikatīvs sauc par vienādojumiem, kuros nezināmais mainīgais ir atrodams tikai jebkuru pakāpju eksponentos.
Risinājumiem eksponenciālie vienādojumi jums jāzina un jāprot izmantot šādu vienkāršo teorēmu:
1. teorēma. eksponenciālais vienādojums a f(x) = a g(x) (kur a > 0, a≠ 1) ir līdzvērtīgs vienādojumam f(x) = g(x).
Turklāt ir lietderīgi atcerēties pamatformulas un darbības ar grādiem:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
1. piemērs Atrisiniet vienādojumu:
Lēmums: izmantojiet iepriekš minētās formulas un aizstāšanu:
Tad vienādojums kļūst:
Saņemts diskriminants kvadrātvienādojums pozitīvi:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Tas nozīmē, ka šim vienādojumam ir divas saknes. Mēs tos atrodam:
Atgriežoties pie aizstāšanas, mēs iegūstam:
Otrajam vienādojumam nav sakņu, jo eksponenciālā funkcija ir stingri pozitīva visā definīcijas jomā. Atrisināsim otro:
Ņemot vērā 1. teorēmā teikto, mēs pārejam pie ekvivalentā vienādojuma: x= 3. Tā būs uzdevuma atbilde.
Atbilde: x = 3.
2. piemērs Atrisiniet vienādojumu:
Lēmums: teritorijas ierobežojumi atļautās vērtības vienādojumam nav, jo radikālajai izteiksmei ir jēga jebkurai vērtībai x(eksponenciālā funkcija y = 9 4 -x pozitīva un nav vienāda ar nulli).
Atrisinām vienādojumu ar līdzvērtīgām transformācijām, izmantojot spēku reizināšanas un dalīšanas noteikumus:
Pēdējā pāreja tika veikta saskaņā ar 1. teorēmu.
Atbilde:x= 6.
3. piemērs Atrisiniet vienādojumu:
Lēmums: abas sākotnējā vienādojuma puses var dalīt ar 0,2 x. Šī pāreja būs līdzvērtīga, jo šī izteiksme jebkurai vērtībai ir lielāka par nulli x(eksponenciālā funkcija ir stingri pozitīva savā jomā). Tad vienādojums iegūst šādu formu:
Atbilde: x = 0.
4. piemērs Atrisiniet vienādojumu:
Lēmums: mēs vienkāršojam vienādojumu līdz elementāram ar līdzvērtīgām pārveidojumiem, izmantojot raksta sākumā dotos jaudu dalīšanas un reizināšanas noteikumus:
Abas vienādojuma puses dalot ar 4 x, tāpat kā iepriekšējā piemērā, ir līdzvērtīga transformācija, jo šī izteiksme nevienai vērtībai nav vienāda ar nulli x.
Atbilde: x = 0.
5. piemērs Atrisiniet vienādojumu:
Lēmums: funkcija y = 3x, kas atrodas vienādojuma kreisajā pusē, palielinās. Funkcija y = —x-2/3, kas atrodas vienādojuma labajā pusē, samazinās. Tas nozīmē, ka, ja šo funkciju grafiki krustojas, tad ne vairāk kā vienā punktā. Šajā gadījumā ir viegli uzminēt, ka grafiki krustojas punktā x= -1. Citu sakņu nebūs.
Atbilde: x = -1.
6. piemērs Atrisiniet vienādojumu:
Lēmums: mēs vienkāršojam vienādojumu ar līdzvērtīgām transformācijām, visur paturot prātā, ka eksponenciālā funkcija jebkurai vērtībai ir stingri lielāka par nulli x un izmantojot produkta un daļējo jaudu aprēķināšanas noteikumus, kas norādīti raksta sākumā:
Atbilde: x = 2.
Eksponenciālo nevienādību risināšana
indikatīvs sauc par nevienādībām, kurās nezināmais mainīgais ir ietverts tikai dažu pakāpju eksponentos.
Risinājumiem eksponenciālās nevienlīdzības nepieciešamas šādas teorēmas zināšanas:
2. teorēma. Ja a> 1, tad nevienlīdzība a f(x) > a g(x) ir līdzvērtīgs tādas pašas nozīmes nevienādībai: f(x) > g(x). Ja 0< a < 1, то eksponenciālā nevienlīdzība a f(x) > a g(x) ir ekvivalents nevienādībai ar pretēju nozīmi: f(x) < g(x).
7. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību:
Lēmums: attēlo sākotnējo nevienlīdzību formā:
Sadaliet abas šīs nevienādības puses ar 3 2 x, un (funkcijas pozitīvās īpašības dēļ y= 3 2x) nevienlīdzības zīme nemainīsies:
Izmantosim aizstāšanu:
Tad nevienlīdzība iegūst šādu formu:
Tātad nevienlīdzības risinājums ir intervāls:
pārejot uz apgriezto aizstāšanu, mēs iegūstam:
Kreisā nevienādība, pateicoties eksponenciālās funkcijas pozitivitātei, tiek izpildīta automātiski. Izmantojot izdevību zināms īpašums logaritmu, mēs pārejam uz ekvivalento nevienādību:
Tā kā pakāpes bāze ir skaitlis, kas ir lielāks par vienu, ekvivalents (pēc 2. teorēmas) būs pāreja uz šādu nevienādību:
Tātad mēs beidzot saņemam atbilde:
8. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību:
Lēmums: izmantojot spēku reizināšanas un dalīšanas īpašības, nevienādību pārrakstām formā:
Ieviesīsim jaunu mainīgo:
Ar šo aizstāšanu nevienlīdzība izpaužas šādā formā:
Daļas skaitītāju un saucēju reiziniet ar 7, iegūstam šādu ekvivalentu nevienādību:
Tātad nevienlīdzību apmierina šādas mainīgā vērtības t:
Tad, atgriežoties pie aizstāšanas, mēs iegūstam:
Tā kā pakāpes bāze šeit ir lielāka par vienu, ir ekvivalents (pēc teorēmas 2) pāriet uz nevienādību:
Beidzot saņemam atbilde:
9. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību:
Lēmums:
Mēs sadalām abas nevienlīdzības puses ar izteiksmi:
Tas vienmēr ir lielāks par nulli (jo eksponenciālā funkcija ir pozitīva), tāpēc nevienlīdzības zīme nav jāmaina. Mēs iegūstam:
t , kas atrodas intervālā:
Pārejot uz apgriezto aizstāšanu, mēs atklājam, ka sākotnējā nevienlīdzība sadalās divos gadījumos:
Pirmajai nevienādībai nav atrisinājumu eksponenciālās funkcijas pozitivitātes dēļ. Atrisināsim otro:
10. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību:
Lēmums:
Parabolas zari y = 2x+2-x 2 ir vērsti uz leju, tāpēc no augšas to ierobežo vērtība, ko tā sasniedz savā virsotnē:
Parabolas zari y = x 2 -2x+2, kas atrodas rādītājā, ir vērsti uz augšu, kas nozīmē, ka no apakšas to ierobežo vērtība, ko tas sasniedz augšpusē:
Tajā pašā laikā funkcija izrādās ierobežota no apakšas y = 3 x 2 -2x+2 vienādojuma labajā pusē. Tā sasniedz mazāko vērtību tajā pašā punktā kā parabola indeksā, un šī vērtība ir vienāda ar 3 1 = 3. Tātad sākotnējā nevienādība var būt patiesa tikai tad, ja funkcija kreisajā pusē un funkcija labajā pusē ir vērtība , vienāda ar 3 (šo funkciju diapazonu krustpunkts ir tikai šis skaitlis). Šis nosacījums ir izpildīts vienā punktā x = 1.
Atbilde: x= 1.
Lai uzzinātu, kā atrisināt eksponenciālie vienādojumi un nevienlīdzības jums ir pastāvīgi jāapmāca viņu risinājums. Šajā sarežģītajā jautājumā dažādi mācību līdzekļi, problēmu grāmatas priekš elementārā matemātika, konkursa uzdevumu krājumi, matemātikas nodarbības skolā, kā arī individuālas sesijas ar profesionālu pasniedzēju. Es no sirds novēlu jums veiksmi sagatavošanās procesā un izcilus rezultātus eksāmenā.
Sergejs Valerijevičs
P.S. Cienījamie viesi! Lūgums komentāros nerakstīt pieprasījumus savu vienādojumu risināšanai. Diemžēl man tam vispār nav laika. Šādi ziņojumi tiks dzēsti. Lūdzu, izlasiet rakstu. Iespējams, tajā atradīsi atbildes uz jautājumiem, kas neļāva pašam atrisināt savu uzdevumu.
Atrodiet izteiksmes vērtību dažādām mainīgā x=2 racionālām vērtībām; 0; -3; -
Ņemiet vērā, ka neatkarīgi no tā, kādu skaitli mēs aizstājam x vietā, jūs vienmēr varat atrast vērtību dotā izteiksme. Līdz ar to mēs apsveram eksponenciālu funkciju (y vienāds ar trīs ar x jaudu), kas definēta kopā racionālie skaitļi: .
Izveidosim šīs funkcijas grafiku, izveidojot tās vērtību tabulu.
Tērēsim gluda līnija iet caur šiem punktiem (1. att.)
Izmantojot šīs funkcijas grafiku, apsveriet tās īpašības:
3. Palielinās visā definīcijas apgabalā.
- diapazonā no nulles līdz plus bezgalībai.
8. Funkcija ir izliekta uz leju.
Ja vienā koordinātu sistēmā veidot funkciju grafikus; y=(y ir vienāds ar divi ar x pakāpju, y ir vienāds ar pieci ar x pakāpi, y ir vienāds ar septiņiem ar x pakāpju), jūs varat redzēt, ka tiem ir tādas pašas īpašības kā y=(y vienāds ar trīs ar x pakāpi) ( .2. att.), tas ir, visas funkcijas formā y = (y ir vienāds ar a ar x pakāpju, ar lielāku par vienu) būs šādas īpašības
Uzzīmēsim funkciju:
1. Tā vērtību tabulas sastādīšana.
Iegūtos punktus atzīmējam koordinātu plaknē.
Novelkam gludu līniju, kas iet caur šiem punktiem (3. att.).
Izmantojot šīs funkcijas grafiku, mēs norādām tās īpašības:
1. Definīcijas apgabals ir visu reālo skaitļu kopa.
2. Nav ne pāra, ne nepāra.
3. Samazinās visā definīcijas jomā.
4. Nav ne lielāko, ne mazāko vērtību.
5. Ierobežots no apakšas, bet ne ierobežots no augšas.
6. Nepārtraukta visā definīcijas jomā.
7. vērtību diapazons no nulles līdz plus bezgalībai.
8. Funkcija ir izliekta uz leju.
Līdzīgi, ja vienā koordinātu sistēmā veidot funkciju grafikus; y=(y ir vienāds ar vienu sekundi ar x pakāpju, y ir vienāds ar vienu piektdaļu ar x pakāpi, y ir vienāds ar vienu septīto daļu ar x pakāpju), jūs varat redzēt, ka tiem ir tādas pašas īpašības kā y= (y vienāds ar vienu trešdaļu no x) (4. att.), tas ir, visas funkcijas, kuru forma ir y \u003d (y ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar a līdz pakāpei x, ar lielāku par nulli, bet mazāku par vienu) piemīt šādas īpašības
Konstruēsim funkciju grafikus vienā koordinātu sistēmā
tas nozīmē, ka arī funkciju y=y= grafiki būs simetriski (y ir vienāds ar a ar x un y pakāpju vienāds ar vienu dalīts ar a ar pakāpju x), lai iegūtu tādu pašu a vērtību.
Mēs apkopojam teikto, sniedzot eksponenciālās funkcijas definīciju un norādot tās galvenās īpašības:
Definīcija: Funkciju formā y \u003d, kur (y ir vienāds ar a ar x pakāpju, kur a ir pozitīva un atšķiras no viena), sauc par eksponenciālu funkciju.
Jāatceras atšķirības starp eksponenciālo funkciju y= un jaudas funkciju y=, a=2,3,4,…. gan fonētiski, gan vizuāli. Eksponenciālā funkcija X ir grāds un jaudas funkcijai X ir pamats.
1. piemērs: atrisiniet vienādojumu (trīs līdz x pakāpei ir vienāds ar deviņiem)
(y vienāds ar trīs ar x pakāpju un y ir vienāds ar deviņiem) 7. att
Ņemiet vērā, ka tiem ir viens kopīgs punkts M (2; 9) (em ar koordinātām divas; deviņas), kas nozīmē, ka punkta abscisa būs šī vienādojuma sakne. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir viena sakne x = 2.
2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu
Vienā koordinātu sistēmā konstruēsim divus funkcijas y \u003d grafikus (y ir vienāds ar pieci ar x pakāpju un y ir vienāds ar vienu divdesmit piekto) 8. att. Grafiki krustojas vienā punktā T (-2; (te ar koordinātām mīnus divi; viena divdesmit piektā). Līdz ar to vienādojuma sakne ir x \u003d -2 (skaitlis mīnus divi).
3. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību
Vienā koordinātu sistēmā mēs izveidojam divus funkcijas y \u003d grafikus
(y ir vienāds ar trīs ar x pakāpju un y ir vienāds ar divdesmit septiņiem).
9. att. Funkcijas grafiks atrodas virs funkcijas y=kad grafika
x Tāpēc nevienlīdzības risinājums ir intervāls (no mīnus bezgalības līdz trīs)
4. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību
Vienā koordinātu sistēmā mēs izveidosim divus funkcijas y \u003d grafikus (y ir vienāds ar vienu ceturtdaļu no x pakāpes un y ir vienāds ar sešpadsmit). (10. att.). Grafiki krustojas vienā punktā K (-2;16). Tas nozīmē, ka nevienādības atrisinājums ir intervāls (-2; (no mīnus divi līdz plus bezgalība), jo funkcijas y \u003d grafiks atrodas zem funkcijas grafika pie x
Mūsu argumentācija ļauj mums pārbaudīt šādu teorēmu derīgumu:
1. punkts: Ja ir patiess tad un tikai tad, ja m=n.
2. teorēma: Ja ir patiesa tad un tikai tad, tad nevienlīdzība ir patiesa tad un tikai tad (*. att.)
4. teorēma: Ja ir patiesa tad un tikai tad, ja (** att.), nevienādība ir patiesa tad un tikai tad, ja 3. teorēma: Ja ir patiesa tad un tikai tad, ja m=n.
5. piemērs. Uzzīmējiet funkciju y=
Mēs modificējam funkciju, piemērojot pakāpes īpašību y=
Celsim papildu sistēma koordinātas un iekšā jauna sistēma koordinātes, uzzīmēsim funkciju y \u003d (y ir vienāds ar divi ar x pakāpju) 11. att.
6. piemērs. Atrisiniet vienādojumu
Vienā koordinātu sistēmā mēs izveidojam divus funkcijas y \u003d grafikus
(Y ir vienāds ar septiņiem x pakāpē un Y ir vienāds ar astoņiem mīnus x) 12. att.
Grafiki krustojas vienā punktā E (1; (e ar koordinātām viena; septiņas). Līdz ar to vienādojuma sakne ir x = 1 (x vienāds ar vienu).
7. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību
Vienā koordinātu sistēmā mēs izveidojam divus funkcijas y \u003d grafikus
(Y ir vienāds ar vienu ceturtdaļu no x pakāpes un Y ir vienāds ar x plus pieci). Funkcijas y \u003d grafiks atrodas zem funkcijas y \u003d x + 5 at grafika, nevienlīdzības risinājums ir intervāls x (no mīnus viens līdz plus bezgalībai).
Doti atsauces dati par eksponenciālo funkciju - pamatīpašības, grafiki un formulas. Tiek aplūkoti šādi jautājumi: definīcijas joma, vērtību kopa, monotonitāte, apgrieztā funkcija, atvasinājums, integrālis, paplašināšana in jaudas sērijas un attēlošana ar komplekso skaitļu palīdzību.
Definīcija
Eksponenciālā funkcija ir n skaitļu reizinājuma vispārinājums, kas vienāds ar a:
y (n) = a n = a a a a,
uz reālo skaitļu kopu x :
y (x) = x.
Šeit a ir fiksēts reālais skaitlis, ko sauc eksponenciālās funkcijas bāze.
Tiek saukta arī eksponenciāla funkcija ar bāzi a eksponenciāls a bāzei.
Vispārināšana tiek veikta šādi.
Dabiskajam x = 1, 2, 3,...
, eksponenciālā funkcija ir x faktoru reizinājums:
.
Turklāt tam ir īpašības (1,5-8) (), kas izriet no skaitļu reizināšanas noteikumiem. Pie nulles un negatīvām veselu skaitļu vērtībām eksponenciālo funkciju nosaka ar formulām (1.9-10). Racionālo skaitļu daļējām vērtībām x = m/n to nosaka pēc formulas (1.11). Faktiski eksponenciālā funkcija ir definēta kā secības ierobežojums:
,
kur ir patvaļīga racionālu skaitļu secība, kas konverģē uz x : .
Izmantojot šo definīciju, eksponenciālā funkcija ir definēta visiem , un tā atbilst īpašībām (1,5-8), kā arī dabiskajam x .
Stingrs eksponenciālās funkcijas definīcijas matemātiskais formulējums un tās īpašību pierādījums ir sniegts lapā "Eksponenciālās funkcijas īpašību definīcija un pierādījumi".
Eksponenciālās funkcijas īpašības
Eksponenciālajai funkcijai y = a x reālo skaitļu kopai () ir šādas īpašības:
(1.1)
ir definēts un nepārtraukts , visiem ;
(1.2)
kad a ≠ 1
ir daudz nozīmju;
(1.3)
stingri palielinās pie , stingri samazinās pie ,
ir nemainīgs pie ;
(1.4)
pie ;
pie ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Citas noderīgas formulas
.
Formula konvertēšanai uz eksponenciālu funkciju ar atšķirīgu jaudas bāzi:
Ja b = e , mēs iegūstam eksponenciālās funkcijas izteiksmi eksponenta izteiksmē:
Privātās vērtības
, , , , .
Attēlā parādīti eksponenciālās funkcijas grafiki
y (x) = x
četrām vērtībām grādu bāzes:a= 2
, a = 8
, a = 1/2
un a = 1/8
. Var redzēt, ka par > 1
eksponenciālā funkcija monotoni pieaug. Jo lielāka ir pakāpes a bāze, jo spēcīgāka ir izaugsme. Plkst 0
< a < 1
eksponenciālā funkcija monotoni samazinās. Jo mazāks eksponents a, jo spēcīgāks samazinājums.
Augošā, dilstošā
Eksponenciālā funkcija pie ir stingri monotona, tāpēc tai nav ekstrēmu. Tās galvenās īpašības ir parādītas tabulā.
| y = a x , a > 1 | y = x, 0 < a < 1 | |
| Domēns | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Vērtību diapazons | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monotons | palielinās monotoni | monotoni samazinās |
| Nulles, y= 0 | Nē | Nē |
| Krustošanās punkti ar y asi, x = 0 | y= 1 | y= 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Apgrieztā funkcija
Eksponenciālas funkcijas apgrieztā vērtība ar pakāpes a bāzi ir logaritms pret bāzi a.
Ja tad
.
Ja tad
.
Eksponenciālās funkcijas diferenciācija
Lai diferencētu eksponenciālu funkciju, tās bāze jāsamazina līdz skaitlim e, jāpiemēro atvasinājumu tabula un diferenciācijas likums sarežģīta funkcija.
Lai to izdarītu, jums ir jāizmanto logaritmu īpašība
un formula no atvasinājumu tabulas:
.
Dota eksponenciāla funkcija:
.
Mēs to nogādājam bāzē e:
Mēs piemērojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu. Lai to izdarītu, mēs ieviešam mainīgo
Tad
No atvasinājumu tabulas mums ir (aizstāt mainīgo x ar z ):
.
Tā kā ir konstante, z atvasinājums attiecībā pret x ir
.
Saskaņā ar sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu:
.
Eksponenciālās funkcijas atvasinājums
.
N-tās kārtas atvasinājums:
.
Formulu atvasināšana >>>
Eksponenciālās funkcijas diferencēšanas piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
y= 35 x
Lēmums
Mēs izsakām eksponenciālās funkcijas bāzi ar skaitli e.
3 = e log 3
Tad
.
Mēs ieviešam mainīgo
.
Tad
No atvasinājumu tabulas mēs atrodam:
.
Ciktāl 5ln 3 ir konstante, tad z atvasinājums attiecībā pret x ir:
.
Saskaņā ar sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu mums ir:
.
Atbilde
Integrāls
Izteiksmes komplekso skaitļu izteiksmē
Apsveriet kompleksā skaitļa funkciju z:
f (z) = az
kur z = x + iy ; i 2 = - 1
.
Komplekso konstanti a izsakām ar moduli r un argumentu φ:
a = r e i φ
Tad
.
Arguments φ nav unikāli definēts. AT vispārējs skats
φ = φ 0 + 2 pn,
kur n ir vesels skaitlis. Tāpēc funkcija f (z) ir arī neskaidrs. Bieži tiek uzskatīts par tā galveno nozīmi
.
Sērijas paplašināšana
.
Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un augstskolu studentiem, Lan, 2009.