Ierobežojumi visiem matemātikas studentiem sagādā daudz nepatikšanas. Lai atrisinātu limitu, dažkārt nākas izmantot daudz triku un no dažādiem risinājumiem izvēlēties tieši to, kas ir piemērots konkrētajam piemēram.

Šajā rakstā mēs nepalīdzēsim izprast jūsu spēju robežas vai izprast kontroles robežas, bet gan mēģināsim atbildēt uz jautājumu: kā izprast robežas augstākajā matemātikā? Izpratne nāk ar pieredzi, tāpēc tajā pašā laikā mēs sniegsim dažus detalizēti piemēri risinājumu robežas ar paskaidrojumiem.

Robežas jēdziens matemātikā

Pirmais jautājums ir: kāda ir robeža un kāda robeža? Var runāt par skaitlisko secību un funkciju robežām. Mūs interesē funkcijas robežas jēdziens, jo tieši ar tiem studenti saskaras visbiežāk. Bet vispirms, visvairāk vispārīga definīcija ierobežojums:

Pieņemsim, ka ir daži mainīgs. Ja šī vērtība pārmaiņu procesā bezgalīgi tuvojas noteiktam skaitlim a , tad a ir šīs vērtības robeža.

Funkcijai, kas definēta kādā intervālā f(x)=y ierobežojums ir skaits A , uz kuru funkcija tiecas kad X tiecas uz noteiktu punktu a . Punkts a pieder intervālam, kurā funkcija ir definēta.

Tas izklausās apgrūtinoši, bet tas ir uzrakstīts ļoti vienkārši:

Lim- no angļu valodas ierobežojums- ierobežojums.

Robežas definīcijai ir arī ģeometrisks skaidrojums, taču šeit mēs neiedziļināsimies teorijā, jo mūs vairāk interesē jautājuma praktiskā, nevis teorētiskā puse. Kad mēs to sakām X tiecas uz kādu vērtību, kas nozīmē, ka mainīgais nepieņem skaitļa vērtību, bet tuvojas tai bezgalīgi tuvu.

Atvedīsim konkrēts piemērs. Izaicinājums ir atrast robežu.

Lai atrisinātu šo piemēru, mēs aizstājam vērtību x=3 par funkciju. Mēs iegūstam:

Starp citu, ja jūs interesē, izlasiet atsevišķu rakstu par šo tēmu.

Piemēros X var tendence uz jebkuru vērtību. Tas var būt jebkurš skaitlis vai bezgalība. Šeit ir piemērs, kad X tiecas uz bezgalību:

Intuitīvi ir skaidrs, ka jo lielāks skaitlis saucējā, jo mazāka vērtība tiks uzņemta funkcijai. Tātad, ar neierobežotu izaugsmi X nozīmē 1/x samazināsies un tuvosies nullei.

Kā redzat, lai atrisinātu ierobežojumu, funkcijā vienkārši jāaizstāj vērtība, pēc kuras tiekties X . Tomēr šis ir vienkāršākais gadījums. Bieži vien robežas atrašana nav tik acīmredzama. Robežās pastāv veida nenoteiktības 0/0 vai bezgalība/bezgalība . Ko darīt šādos gadījumos? Izmantojiet trikus!

Neskaidrības iekšienē

Formas bezgalība/bezgalība nenoteiktība

Lai ir ierobežojums:

Ja funkcijā mēģinām aizvietot bezgalību, mēs iegūstam bezgalību gan skaitītājā, gan saucējā. Kopumā ir vērts teikt, ka šādu nenoteiktību risināšanā ir zināms mākslas elements: jums ir jāpamana, kā jūs varat pārveidot funkciju tā, lai nenoteiktība pazustu. Mūsu gadījumā mēs dalām skaitītāju un saucēju ar X vecākajā pakāpē. Kas notiks?

No piemēra, kas jau aplūkots iepriekš, mēs zinām, ka termini, kas satur x saucējā, mēdz būt nulle. Tad ierobežojuma risinājums ir:

Lai atklātu tipa neskaidrības bezgalība/bezgalība daliet skaitītāju un saucēju ar X augstākajā pakāpē.

Starp citu! Mūsu lasītājiem tagad ir 10% atlaide

Cits nenoteiktības veids: 0/0

Kā vienmēr, aizstāšana vērtību funkcijā x=-1 dod 0 skaitītājā un saucējā. Paskatieties nedaudz uzmanīgāk, un jūs to pamanīsit mūsu skaitītājā kvadrātvienādojums. Atradīsim saknes un rakstīsim:

Samazināsim un iegūsim:

Tātad, ja saskaraties ar tipu neskaidrībām 0/0 - faktorizēt skaitītāju un saucēju.

Lai atvieglotu piemēru risināšanu, šeit ir tabula ar dažu funkciju ierobežojumiem:

L'Hopital likums iekšā

Vēl viens spēcīgs veids, kā novērst abu veidu nenoteiktības. Kāda ir metodes būtība?

Ja limitā ir nenoteiktība, mēs ņemam skaitītāja un saucēja atvasinājumu, līdz nenoteiktība pazūd.

Vizuāli L'Hopital noteikums izskatās šādi:

Svarīgs punkts : ir jābūt robežai, kurā skaitītāja un saucēja vietā ir atvasinājumi no skaitītāja un saucēja.

Un tagad reāls piemērs:

Pastāv tipiska nenoteiktība 0/0 . Ņemiet skaitītāja un saucēja atvasinājumus:

Voila, nenoteiktība tiek novērsta ātri un eleganti.

Mēs ceram, ka jums izdosies šo informāciju lietderīgi izmantot praksē un rast atbildi uz jautājumu "kā atrisināt robežas augstākajā matemātikā". Ja jums ir jāaprēķina secības robeža vai funkcijas robeža kādā punktā un šim darbam nav laika no vārda "absolūti", skatiet ātru un detalizētu risinājumu.

Doti galveno teorēmu un skaitlisko secību ar ierobežojumiem īpašību paziņojumi. Ietver secības definīciju un tās ierobežojumu. Aplūkotas aritmētiskās darbības ar sekvencēm, ar nevienādībām saistītās īpašības, konverģences kritēriji, bezgalīgi mazu un bezgalīgi lielu secību īpašības.

Secības

Skaitliskā secība sauc par likumu (noteikumu), saskaņā ar kuru katram dabiskajam skaitlim tiek piešķirts skaitlis.
Numurs tiek izsaukts n-tais biedrs vai secības elements.
Turpinājumā pieņemsim, ka secības elementi ir reāli skaitļi.

ierobežots, ja eksistē tāds skaitlis M, ka visiem reālajiem n .

augšējā seja secības sauc par mazākajiem skaitļiem, kas ierobežo secību no augšas. Tas ir, šis ir skaitlis s, kuram visiem n un jebkuram , ir tāds virknes elements, kas pārsniedz s′ : .

apakšējā seja sekvences nosauc lielāko no skaitļiem, kas ierobežo secību no apakšas. Tas ir, šis ir skaitlis i, kuram visiem n un jebkuram , ir tāds virknes elements, kas ir mazāks par i : .

Augšējo malu sauc arī precīza augšējā robeža, un apakšējā robeža precīza apakšējā robeža. Augšējo un apakšējo robežu jēdzieni ir derīgi ne tikai sekvencēm, bet arī jebkurām kopām reāli skaitļi.

Secības robežas noteikšana

Skaitli a sauc par secības robežu, ja kādam pozitīvam skaitlim eksistē tāds naturāls skaitlis N , atkarībā no , ka visiem naturālajiem skaitļiem nevienādība
.
Secības ierobežojums ir apzīmēts šādi:
.
Vai plkst.

Izmantojot eksistences un universāluma loģiskos simbolus, robežas definīciju var uzrakstīt šādi:
.

Atvērts intervāls (a - ε, a + ε) sauc par punkta a ε apkārtni.

Tiek izsaukta secība, kurai ir ierobežojums konverģenta secība. Ir arī teikts, ka secība saplūst uz a. Tiek izsaukta secība, kurai nav ierobežojumu atšķiras.

punkts a nav secības ierobežojums, ja eksistē tāds, ka jebkuram naturālam n eksistē tāds dabisks m >n, kas
.
.
Tas nozīmē, ka var izvēlēties tādu ε - punkta a apkārtni, ārpus kura atradīsies bezgalīgi daudz secības elementu.

Secību galīgo robežu īpašības

Pamatīpašības

Punkts a ir secības robeža tad un tikai tad, ja atrodas ārpus jebkuras šī punkta apkārtnes ierobežots elementu skaits sekvences vai tukša kopa.

Ja skaitlis a nav secības robeža , tad ir tāda punkta a apkārtne , ārpus kuras atrodas bezgalīgs skaits secības elementu.

Unikalitātes teorēma skaitļu virknes robežai. Ja secībai ir ierobežojums, tā ir unikāla.

Ja secībai ir ierobežota robeža, tad tā ierobežots.

Ja katrs secības elements ir vienāds ar to pašu skaitli C:, tad šai secībai ir robeža, kas vienāda ar skaitli C.

Ja secība pievienojiet, nometiet vai mainiet pirmos m elementus, tad tas neietekmēs tā konverģenci.

Pamatīpašību pierādījumi norādīts lapā
Sekvenču galīgo robežu pamatīpašības >>> .

Aritmētika ar ierobežojumiem

Ļaujiet ir ierobežotas robežas un secības un . Un lai C ir konstante, tas ir, dots skaitlis. Tad
;
;
;
, ja .
Koeficienta gadījumā tiek pieņemts, ka visiem n .

Ja tad .

Pierādījums aritmētiskās īpašības norādīts lapā
Sekvenču galīgo robežu aritmētiskās īpašības >>> .

Īpašības, kas saistītas ar nevienlīdzību

Ja secības elementi, sākot no kāda skaitļa, apmierina nevienādību , tad šīs secības robeža a apmierina arī nevienādību .

Ja secības elementi, sākot no kāda skaitļa, pieder slēgtam intervālam (segmentam) , tad šim intervālam pieder arī robeža a: .

Ja un un sekvenču elementi, sākot no kāda skaitļa, apmierina nevienlīdzību , Tad .

Ja un, sākot no kāda skaitļa, , tad .
Jo īpaši, ja, sākot no kāda skaitļa, , tad
ja tad ;
ja tad .

Ja un , tad .

Ļaujiet un . Ja < b , tad ir tāds naturāls skaitlis N, ka visiem n > N nevienlīdzība ir apmierināta.

Ar nevienādībām saistīto īpašību pierādījumi norādīts lapā
Ar >>> nevienādībām saistīto secību robežu īpašības.

Bezgalīgi mazas un bezgalīgi mazas secības

Bezgalīgi maza secība

Secība sauc par bezgalīgi mazu secību ja tā robeža ir nulle:
.

Summa un starpība ierobežots bezgalīgi mazu secību skaits ir bezgalīgi maza secība.

Ierobežotas secības reizinājums līdz bezgalīgi mazam ir bezgalīgi maza secība.

Galīga skaitļa reizinājums bezgalīgi mazas secības ir bezgalīgi maza secība.

Lai secībai būtu robeža a , ir nepieciešams un pietiekami, ka , kur ir bezgalīgi maza secība.

Bezgalīgi mazu secību īpašību pierādījumi norādīts lapā
Bezgalīgi mazas sekvences - definīcija un īpašības >>> .

Bezgalīgi liela secība

Secība sauc par bezgalīgu secību, ja kādam pozitīvam skaitlim eksistē tāds naturāls skaitlis N , atkarībā no , ka visiem naturālajiem skaitļiem nevienādība
.
Šajā gadījumā rakstiet
.
Vai plkst.
Viņi saka, ka tas tiecas uz bezgalību.

Ja , sākot no kāda skaitļa N , tad
.
Ja tad
.

Ja secības ir bezgalīgi lielas, tad, sākot no kāda skaitļa N , tiek definēta secība, kas ir bezgalīgi maza. Ja ir bezgalīgi maza secība ar elementiem, kas nav nulle, tad secība ir bezgalīgi liela.

Ja secība ir bezgalīgi liela un secība ir ierobežota, tad
.

Ja secības elementu absolūtās vērtības no apakšas ierobežo pozitīvs skaitlis () un ir bezgalīgi mazas ar elementiem, kas nav nulle, tad
.

Detaļās bezgalīgi lielas secības definīcija ar piemēriem norādīts lapā
Bezgalīgi lielas secības definīcija >>> .
Bezgalīgi lielu secību īpašību pierādījumi norādīts lapā
Bezgala lielu secību īpašības >>> .

Secības konverģences kritēriji

Monotoniskas sekvences

Secība tiek saukta stingri palielinās, ja uz visiem n ir spēkā šāda nevienlīdzība:
.
Attiecīgi par stingri samazinās secībā, pastāv šāda nevienlīdzība:
.
Priekš nesamazinās:
.
Priekš nepalielinoties:
.

No tā izriet, ka stingri pieaugoša secība arī nesamazinās. Stingri dilstoša secība arī nepalielinās.

Secība tiek saukta vienmuļš ja tas nesamazinās vai nepalielinās.

Monotonu secību vismaz vienā pusē ierobežo . Nesamazējoša secība ir ierobežota no apakšas: . Nepieaugoša secība ir ierobežota no augšas: .

Veierštrāsa teorēma. Lai nesamazināmai (nepieaugošai) secībai būtu ierobežota robeža, ir nepieciešams un pietiekami, lai tā būtu ierobežota no augšas (no apakšas). Šeit M ir kāds skaitlis.

Tā kā jebkura nesamazinoša (nepieaugoša) secība ir ierobežota no apakšas (no augšas), Veierštrāsa teorēmu var pārfrāzēt šādi:

Lai monotonai secībai būtu ierobežota robeža, ir nepieciešams un pietiekami, ka tā ir ierobežota: .

Monotoniska neierobežota secība Tā ir bezgalīga robeža, ir vienāds ar secību, kas nesamazinās un nepalielinās.

Veierštrāsa teorēmas pierādījums norādīts lapā
Veierštrāsa teorēma par monotonas secības robežu >>> .

Košī kritērijs secību konverģencei

Cauchy stāvoklis. Secība atbilst Košī nosacījumam, ja kādam eksistē tāds naturāls skaitlis, kāds ir visiem naturālie skaitļi n un m atbilst nosacījumam , nevienādībai
.
Tiek sauktas arī secības, kas apmierina Košī nosacījumu fundamentālās sekvences.

Košī kritērijs secību konverģencei. Lai secībai būtu ierobežota robeža, ir nepieciešams un pietiekami, lai tā atbilstu Košī nosacījumam.

Košī konverģences kritērija pierādījums norādīts lapā
Košī konverģences kritērijs secībai >>> .

Sekas

Bolcāno-Veijerštrāsa teorēma. No jebkuras ierobežotas secības var atšķirt konverģentu apakšsekvenci. Un no jebkuras neierobežotas secības — bezgala liela apakšsecība, kas saplūst uz vai uz .

Bolcāno-Veijerštrāsa teorēmas pierādījums norādīts lapā
Bolcāno–Veijerštrāsa teorēma >>> .

Definīcijas, teorēmas un apakšsecību un daļējo ierobežojumu īpašības ir apskatītas lapā
Sekvenču apakšsekvences un daļējās robežas >>>.

Atsauces:
CM. Nikoļskis. Matemātiskās analīzes kurss. 1. sējums. Maskava, 1983. gads.
L.D. Kudrjavcevs. Matemātiskās analīzes kurss. 1. sējums. Maskava, 2003. g.
V.A. Zorihs. Matemātiskā analīze. 1. daļa. Maskava, 1997. gads.
V.A. Iļjins, E.G. Pozņaka. Matemātiskās analīzes pamati. 1. daļa. Maskava, 2005.

Lēmums tiešsaistes funkciju ierobežojumi. Atrodiet funkcijas vai funkcionālās secības robežvērtību punktā, aprēķiniet ierobežojoši funkcijas vērtība bezgalībā. noteikt skaitļu rindas konverģenci, un, pateicoties mūsu, var paveikt daudz vairāk tiešsaistes pakalpojums- . Mēs ļaujam ātri un precīzi atrast funkciju ierobežojumus tiešsaistē. Tu ieej pats funkciju mainīgais un robežu, uz kādu tas tiecas, mūsu pakalpojums veic visus aprēķinus jūsu vietā, sniedzot precīzu un vienkāršu atbildi. Un priekš ierobežojumu atrašana tiešsaistē jūs varat ievadīt gan skaitliskās sērijas, gan analītiskās funkcijas, kas satur konstantes burtiskā izteiksmē. Šajā gadījumā atrastās funkcijas ierobežojums ietvers šīs konstantes kā nemainīgus argumentus izteiksmē. Mūsu pakalpojums atrisina jebkuru izaicinošus uzdevumus pēc atrašanās vietas ierobežojumi tiešsaistē, pietiek norādīt funkciju un punktu, kurā nepieciešams aprēķināt funkciju ierobežojums. Datortehnika ierobežojumi tiešsaistē, tu vari izmantot dažādas metodes un to risinājuma noteikumus, vienlaikus salīdzinot rezultātu ar limita risinājums tiešsaistē vietnē www.site, kas novedīs pie veiksmīgas uzdevuma izpildes - jūs izvairīsities no savām kļūdām un drukas kļūdām. Vai arī varat mums pilnībā uzticēties un izmantot mūsu rezultātu savā darbā bez tēriņiem papildu pūles un laiks funkcijas robežas neatkarīgiem aprēķiniem. Mēs atļaujam ievadīt robežvērtības, piemēram, bezgalību. Jāievada ciparu secības un kopīgs termins www.vietne aprēķinās vērtību ierobežojums tiešsaistē līdz plus vai mīnus bezgalībai.

Viens no matemātiskās analīzes pamatjēdzieniem ir funkciju ierobežojums un secības ierobežojums punktā un bezgalībā ir svarīgi spēt pareizi atrisināt robežas. Ar mūsu pakalpojumu tas nebūs grūti. Tiek pieņemts lēmums ierobežojumi tiešsaistē dažu sekunžu laikā atbilde ir precīza un pilnīga. Aprēķinu izpēte sākas ar pāreja līdz robežai, robežas tiek izmantoti gandrīz visās augstākās matemātikas sadaļās, tāpēc ir lietderīgi, ja pa rokai ir serveris ierobežot risinājumus tiešsaistē kura ir vietne.

Ierobežojumu teorija- viena no matemātiskās analīzes sadaļām, kuru var apgūt, citas gandrīz neaprēķina robežas. Jautājums par robežu atrašanu ir diezgan vispārīgs, jo ir desmitiem triku limita risinājumi dažāda veida. Tās pašas robežas var atrast gan pēc L'Hopital likuma, gan bez tā. Gadās, ka grafiks bezgalīgi mazu funkciju sērijā ļauj ātri iegūt vēlamo rezultātu. Ir virkne triku un triku, kas ļauj atrast jebkuras sarežģītības funkcijas robežu. Šajā rakstā mēs centīsimies izprast galvenos ierobežojumu veidus, ar kuriem visbiežāk saskaras praksē. Šeit mēs nesniegsim robežas teoriju un definīciju, internetā ir daudz resursu, kur tas tiek košļāts. Tāpēc taisīsim praktiskus aprēķinus, tieši šeit tu sāc "Nezinu! Nezinu kā! Mūs nemācīja!"

Limitu aprēķins ar aizstāšanas metodi

1. piemērs Atrodiet funkcijas robežu
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Risinājums: teorētiski šāda veida piemērus aprēķina ar parasto aizstāšanu

Ierobežojums ir 18.11.
Šādās robežās nav nekā sarežģīta un gudra - viņi atbildē aizstāja vērtību, aprēķināja, pierakstīja robežu. Tomēr, pamatojoties uz šādiem ierobežojumiem, ikvienam tiek mācīts, ka, pirmkārt, funkcijā ir jāaizstāj vērtība. Turklāt robežas sarežģī, ievieš bezgalības, nenoteiktības un tamlīdzīgu jēdzienu.

Robeža ar nenoteiktību tipa bezgalība dalīta ar bezgalību. Nenoteiktības atklāšanas metodes

2. piemērs Atrodiet funkcijas robežu
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=bezgalība).
Risinājums: tiek dota robeža formas polinomam, kas dalīts ar polinomu, un mainīgajam ir tendence uz bezgalību

Vienkārša vērtības aizstāšana, kurai mainīgajam jāatrod robežas, nepalīdzēs, mēs iegūstam formas bezgalības nenoteiktību, kas dalīta ar bezgalību.
Pot theory of limits Limejuma aprēķināšanas algoritms ir atrast lielāko "x" pakāpi skaitītājā vai saucējā. Tālāk uz tā tiek vienkāršots skaitītājs un saucējs un tiek atrasts funkcijas limits

Tā kā vērtībai ir tendence uz nulli, kad mainīgais sasniedz bezgalību, tie tiek ignorēti vai tiek ierakstīti pēdējā izteiksmē kā nulles

Tūlīt no prakses jūs varat iegūt divus secinājumus, kas ir mājiens aprēķinos. Ja mainīgajam ir tendence uz bezgalību un skaitītāja pakāpe ir lielāka par saucēja pakāpi, tad robeža ir vienāda ar bezgalību. Pretējā gadījumā, ja polinoms saucējā ir augstāks nekā skaitītājā, ierobežojums ir nulle.
Ierobežojuma formulu var uzrakstīt kā

Ja mums ir parasta baļķa formas funkcija bez daļām, tad tās robeža ir vienāda ar bezgalību

nākamais veids ierobežojumi attiecas uz funkciju uzvedību tuvu nullei.

3. piemērs Atrodiet funkcijas robežu
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Risinājums: šeit nav jāizņem polinoma vadošais reizinātājs. Tieši otrādi, ir jāatrod mazākā skaitītāja un saucēja pakāpe un jāaprēķina robeža

x^2 vērtība; x tiecas uz nulli, kad mainīgais tiecas uz nulli Tāpēc tie tiek atstāti novārtā, tādējādi mēs iegūstam

ka robeža ir 2.5.

Tagad Tu zini kā atrast funkcijas robežu polinoms, kas dalīts ar polinomu, ja mainīgajam ir tendence uz bezgalību vai 0. Bet šī ir tikai neliela un vienkārša piemēru daļa. No šī materiāla jūs uzzināsit kā atklāt funkcijas robežu nenoteiktības.

Robeža ar 0/0 tipa nenoteiktību un tā aprēķināšanas metodes

Tūlīt visi atceras likumu, saskaņā ar kuru jūs nevarat dalīt ar nulli. Tomēr ierobežojumu teorija šajā kontekstā nozīmē bezgalīgi mazas funkcijas.
Apskatīsim dažus piemērus ilustrēšanai.

4. piemērs Atrodiet funkcijas robežu
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Risinājums: aizstājot saucējā mainīgā x = -1 vērtību, iegūstam nulli, to pašu iegūstam skaitītājā. Tātad mums ir formas nenoteiktība 0/0.
Ar šādu nenoteiktību ir viegli tikt galā: jums ir jāfaktorizē polinoms vai, pareizāk sakot, jāizvēlas koeficients, kas funkciju pārvērš par nulli.

Pēc sadalīšanas funkcijas robežu var uzrakstīt kā

Tā ir visa funkcijas robežas aprēķināšanas tehnika. Mēs darām to pašu, ja ir polinoma formas robeža, kas dalīta ar polinomu.

5. piemērs Atrodiet funkcijas robežu
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Risinājums: parāda tiešo aizstāšanu
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
kas mums ir tipa nenoteiktība 0/0.
Sadaliet polinomus ar koeficientu, kas ievada singularitāti


Ir skolotāji, kas māca, ka 2. kārtas polinomi, tas ir, "kvadrātvienādojumu" veids ir jāatrisina caur diskriminantu. Bet reālā prakse rāda, ka tas ir garāks un sarežģītāks, tāpēc atbrīvojieties no funkcijām robežās saskaņā ar norādīto algoritmu. Tādējādi mēs ierakstām funkciju formā galvenie faktori un skaitīt līdz robežai

Kā redzat, šādu limitu aprēķināšanā nav nekā sarežģīta. Polinomus prot dalīt robežu pētīšanas brīdī, vismaz pēc programmas jau vajadzētu nokārtot.
Starp uzdevumiem, kas paredzēti tipa nenoteiktība 0/0 ir tādi, kuros jāpiemēro saīsinātās reizināšanas formulas. Bet, ja jūs tos nezināt, dalot polinomu ar monomu, jūs varat iegūt vēlamo formulu.

6. piemērs Atrodiet funkcijas robežu
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Risinājums: mums ir 0/0 tipa nenoteiktība. Skaitītājā mēs izmantojam saīsinātās reizināšanas formulu

un aprēķiniet vēlamo limitu

Nenoteiktības atklāšanas metode, reizinot ar konjugātu

Metode tiek piemērota robežām, kurās iracionālas funkcijas rada nenoteiktību. Skaitītājs vai saucējs aprēķina punktā pagriežas uz nulli, un nav zināms, kā atrast robežu.

7. piemērs Atrodiet funkcijas robežu
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Lēmums: Attēlosim mainīgo ierobežojuma formulā

Aizvietojot, iegūstam 0/0 tipa nenoteiktību.
Saskaņā ar robežu teoriju šīs singularitātes apiešanas shēma sastāv no iracionālas izteiksmes reizināšanas ar tās konjugātu. Lai izteiksme paliktu nemainīga, saucējs jādala ar to pašu vērtību

Ar kvadrātu starpības likumu mēs vienkāršojam skaitītāju un aprēķinām funkcijas robežu

Mēs vienkāršojam terminus, kas rada singularitāti limitā, un veicam aizstāšanu

8. piemērs Atrodiet funkcijas robežu
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Risinājums: Tiešā aizstāšana parāda, ka robežai ir singularitāte formā 0/0.

Lai paplašinātu, reiziniet un dalītu ar konjugātu ar skaitītāju

Pierakstiet kvadrātu starpību

Mēs vienkāršojam terminus, kas ievieš singularitāti, un atrodam funkcijas robežu

9. piemērs Atrodiet funkcijas robežu
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Risinājums: Formulā aizstājiet divnieku

gūt nenoteiktība 0/0.
Saucējs jāreizina ar konjugāta izteiksmi un skaitītājā jāatrisina kvadrātvienādojums vai jāfaktorizē, ņemot vērā singularitāti. Tā kā ir zināms, ka 2 ir sakne, tad otro sakni atrod Vieta teorēma

Tādējādi mēs rakstām skaitītāju formā

un ielieciet limitu

Samazinot kvadrātu starpību, mēs atbrīvojamies no pazīmēm skaitītājā un saucējā

Iepriekšminētajā veidā jūs varat atbrīvoties no singularitātes daudzos piemēros, un pielietojums ir jāpamana visur, kur dotā sakņu atšķirība aizstāšanas laikā pārvēršas par nulli. Citu veidu ierobežojumi attiecas eksponenciālās funkcijas, bezgalīgi mazas funkcijas, logaritmi, vienskaitļa robežas un citi paņēmieni. Bet par to varat lasīt tālāk esošajos rakstos par ierobežojumiem.

Tiem, kas vēlas uzzināt, kā atrast ierobežojumus šajā rakstā, mēs par to runāsim. Teorijā neiedziļināsimies, to parasti pasniedz pasniedzēju lekcijās. Tāpēc "garlaicīgā teorija" ir jāiekļauj jūsu piezīmju grāmatiņās. Ja nē, tad var lasīt no bibliotēkas paņemtās mācību grāmatas izglītības iestāde vai citos tiešsaistes resursos.

Tātad robežas jēdziens ir diezgan svarīgs augstākās matemātikas kursa izpētē, it īpaši, ja jūs saskaraties ar integrāļa aprēķinu un saprotat attiecības starp robežu un integrāli. Pašreizējā materiālā tiks izskatīts vienkārši piemēri, kā arī to risināšanas veidi.

Risinājumu piemēri

1. piemērs

Aprēķināt a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Lēmums

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Mēs bieži saņemam šos ierobežojumus, lūdzot palīdzību to risināšanā. Mēs nolēmām tos izcelt kā atsevišķu piemēru un paskaidrot, ka šīs robežas, kā likums, vienkārši ir jāatceras. Ja nevarat atrisināt savu problēmu, nosūtiet to mums. Mēs sniegsim detalizētu risinājumu. Varēsiet iepazīties ar aprēķina gaitu un apkopot informāciju. Tas palīdzēs jums savlaicīgi saņemt kredītu no skolotāja!

Atbilde

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1) (x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 ) (x) = 0 $ $

Ko darīt ar formas nenoteiktību: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

3. piemērs

Atrisiniet $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Lēmums

Kā vienmēr, mēs sākam, aizstājot vērtību $ x $ izteiksmē zem ierobežojuma zīmes. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Ko tālāk? Kādam vajadzētu būt rezultātam? Tā kā šī ir nenoteiktība, tā vēl nav atbilde, un mēs turpinām aprēķinu. Tā kā skaitītājos ir polinoms, mēs to sadalām faktoros, izmantojot pazīstamo formulu $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Atcerējās? labi! Tagad uz priekšu un pielieto to dziesmai :) Mēs iegūstam, ka skaitītājs $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Mēs turpinām risināt, ņemot vērā iepriekš minēto transformāciju: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Atbilde

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Pieņemsim robežu pēdējos divos piemēros līdz bezgalībai un ņemsim vērā nenoteiktību: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

5. piemērs

Aprēķināt $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Lēmums

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ko darīt? Kā būt? Nekrīti panikā, jo neiespējamais ir iespējams. Ir nepieciešams izņemt iekavas gan skaitītājā, gan saucējā X un pēc tam to samazināt. Pēc tam mēģiniet aprēķināt limitu. Mēģina... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Izmantojot definīciju no 2. piemēra un aizstājot bezgalību ar x, mēs iegūstam: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Atbilde

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritms limitu aprēķināšanai

Tātad, īsi apkoposim analizētos piemērus un izveidosim algoritmu ierobežojumu risināšanai:

1. Aizstāj punktu x izteiksmē aiz robežzīmes. Ja tiek iegūts noteikts skaitlis jeb bezgalība, tad robeža ir pilnībā atrisināta. Pretējā gadījumā mums ir nenoteiktība: "nulle dalīta ar nulli" vai "bezgalība dalīta ar bezgalību" un pārejiet pie nākamajām instrukcijas rindkopām.
2. Lai novērstu nenoteiktību "nulle dalīt ar nulli", jums ir jāfaktorizē skaitītājs un saucējs. Samazināt līdzīgu. Aizstāj punktu x izteiksmē zem ierobežojuma zīmes.
3. Ja nenoteiktība ir "bezgalība dalīta ar bezgalību", tad mēs izņemam gan lielākās pakāpes skaitītājā, gan saucējā x. Mēs saīsinām x. Mēs aizstājam x vērtības no zem robežas atlikušajā izteiksmē.

Šajā rakstā jūs iepazināties ar limitu risināšanas pamatiem, kas bieži tiek izmantoti kursā. Matemātiskā analīze. Protams, tie nav visi eksaminētāju piedāvātie problēmu veidi, bet tikai vienkāršākie ierobežojumi. Nākamajos rakstos mēs runāsim par cita veida uzdevumiem, taču vispirms jums ir jāapgūst šī nodarbība, lai turpinātu. Apspriedīsim, ko darīt, ja ir saknes, grādi, pētīsim bezgalīgi mazas ekvivalentas funkcijas, brīnišķīgas robežas, L'Hopitāla likumu.

Ja nevarat patstāvīgi noteikt ierobežojumus, nekrītiet panikā. Mēs vienmēr esam priecīgi palīdzēt!