Šis raksts ir detalizētas informācijas apkopojums, kas attiecas uz tēmu par sakņu īpašībām. Ņemot vērā tēmu, mēs sāksim ar īpašībām, izpētīsim visus formulējumus un sniegsim pierādījumus. Lai nostiprinātu tēmu, mēs apsvērsim n-tās pakāpes īpašības.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Sakņu īpašības
Mēs runāsim par īpašumiem.
- Īpašums reizināti skaitļi a un b, kas tiek attēlots kā vienādība a · b = a · b . To var attēlot kā reizinātājus, pozitīvus vai vienādus ar nulli a 1 , a 2 , … , a k kā a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
- no privātā a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, to var uzrakstīt arī šādā formā a b = a b ;
- Īpašība no skaitļa spēka a ar pāra eksponentu a 2 m = a m jebkuram skaitlim a, piemēram, īpašība no skaitļa kvadrāta a 2 = a .
Jebkurā no uzrādītajiem vienādojumiem var apmainīt daļas pirms un pēc domuzīmes, piemēram, vienādība a · b = a · b tiek pārveidota kā a · b = a · b . Vienlīdzības īpašības bieži izmanto, lai vienkāršotu sarežģītus vienādojumus.
Pirmo īpašību pierādījums ir balstīts uz kvadrātsaknes definīciju un pakāpju īpašībām ar dabiskais rādītājs. Lai pamatotu trešo īpašību, ir jāatsaucas uz skaitļa moduļa definīciju.
Vispirms jāpierāda kvadrātsaknes a · b = a · b īpašības. Saskaņā ar definīciju ir jāņem vērā, ka a b ir skaitlis, pozitīvs vai vienāds ar nulli, kas būs vienāds ar a b būvniecības laikā kvadrātā. Izteiksmes a · b vērtība ir pozitīva vai vienāda ar nulli kā nenegatīvu skaitļu reizinājums. Reizināto skaitļu pakāpes īpašība ļauj attēlot vienādību formā (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Pēc kvadrātsaknes definīcijas a 2 \u003d a un b 2 \u003d b, tad a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.
Līdzīgā veidā to var pierādīt no produkta k reizinātāji a 1 , a 2 , … , a k būs vienāds ar produktu kvadrātsaknes no šiem reizinātājiem. Patiešām, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .
No šīs vienādības izriet, ka a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .
Apskatīsim dažus piemērus, lai pastiprinātu tēmu.
1. piemērs
3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 un 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0. 2 (1).
Jāpierāda koeficienta aritmētiskās kvadrātsaknes īpašība: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Īpašība ļauj uzrakstīt vienādību a: b 2 = a 2: b 2 un a 2: b 2 = a: b , savukārt a: b ir pozitīvs skaitlis vai vienāds ar nulli. Šī izteiksme un kļūt par pierādījumu.
Piemēram, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 un 30, 121 = 30, 121.
Apsveriet skaitļa kvadrāta kvadrātsaknes īpašību. To var uzrakstīt kā vienādību kā a 2 = a Lai pierādītu šo īpašību, ir nepieciešams detalizēti apsvērt vairākas vienādības a ≥ 0 un plkst a< 0 .
Acīmredzot, ja a ≥ 0, vienādība a 2 = a ir patiesa. Plkst a< 0 vienādība a 2 = - a būs patiesa. Patiesībā, šajā gadījumā − a > 0 un (− a) 2 = a 2 . Varam secināt, ka a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.
Apskatīsim dažus piemērus.
2. piemērs
5 2 = 5 = 5 un - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36.
Pierādītā īpašība palīdzēs attaisnot 2 m = a m , kur a- īsts un m-dabiskais skaitlis. Patiešām, eksponēšanas īpašība ļauj mums aizstāt pakāpi a 2 m izteiksme (am) 2, tad a 2 · m = (a m) 2 = a m .
3. piemērs
3 8 = 3 4 = 3 4 un (- 8 , 3) 14 = - 8, 3 7 = (8 , 3) 7 .
N-tās saknes īpašības
Vispirms jums jāapsver n-tās pakāpes sakņu galvenās īpašības:
- Īpašums no skaitļu reizinājuma a un b, kas ir pozitīvi vai vienādi ar nulli, var tikt izteikti kā vienādība a b n = a n b n , šī īpašība ir derīga reizinājumam k cipariem a 1 , a 2 , … , a k kā a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
- no daļskaitlis ir īpašība a b n = a n b n , kur a ir jebkurš reāls skaitlis, kas ir pozitīvs vai vienāds ar nulli, un b ir pozitīvs reālais skaitlis;
- Jebkuram a un pāra skaitļi n = 2 m a 2 m 2 m = a ir patiess, un nepāra n = 2 m - 1 ir izpildīta vienādība a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
- Ieguves īpašība no a m n = a n m , kur a- jebkurš skaitlis, pozitīvs vai vienāds ar nulli, n un m ir naturāli skaitļi, šo īpašību var attēlot arī kā . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
- Jebkuram nenegatīvam a un patvaļīgam n un m, kas ir dabiski, var definēt arī taisnīgo vienādību a m n · m = a n ;
- pakāpes īpašums n no skaitļa spēka a, kas ir pozitīvs vai vienāds ar nulli, dabiskais grāds m, definēts ar vienādību a m n = a n m ;
- Salīdzinājuma īpašība, kurai ir vienādi eksponenti: jebkuriem pozitīviem skaitļiem a un b tāds, ka a< b , nevienlīdzība a n< b n ;
- Salīdzināšanas īpašums, kam piemīt tie paši skaitļi sakne: ja m un n- naturālie skaitļi, kas m > n, pēc tam plkst 0 < a < 1 nevienādība a m > a n ir spēkā, un priekš a > 1 a m< a n .
Iepriekš minētie vienādojumi ir spēkā, ja daļas pirms un pēc vienādības zīmes ir apgrieztas. Tos var izmantot arī šajā formā. To bieži izmanto izteiksmju vienkāršošanas vai pārveidošanas laikā.
Iepriekš minēto saknes īpašību pierādījums ir balstīts uz definīciju, pakāpes īpašībām un skaitļa moduļa definīciju. Šīs īpašības ir jāpierāda. Bet viss ir kārtībā.
- Vispirms no reizinājuma a · b n = a n · b n pierādīsim n-tās pakāpes saknes īpašības. Priekš a un b , kas ir pozitīvs vai nulle , arī vērtība a n · b n ir pozitīva vai vienāda ar nulli, jo tā ir nenegatīvu skaitļu reizināšanas rezultāts. Dabiskā spēka produkta īpašība ļauj uzrakstīt vienādību a n · b n n = a n n · b n n . Pēc saknes definīcijas n pakāpe a n n = a un b n n = b , tāpēc a n · b n n = a · b . Rezultātā iegūtā vienlīdzība ir tieši tā, kas bija jāpierāda.
Produktam šī īpašība ir pierādīta līdzīgi k faktori: nenegatīviem skaitļiem a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .
Šeit ir saknes īpašuma izmantošanas piemēri n th pakāpe no produkta: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 un 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .
- Pierādīsim koeficienta a b n = a n b n saknes īpašību. Plkst a ≥ 0 un b > 0 nosacījums a n b n ≥ 0 ir izpildīts, un a n b n n = a n n b n n = a b .
Parādīsim piemērus:
4. piemērs
8 27 3 = 8 3 27 3 un 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .
- Nākamajam solim ir jāpierāda n-tās pakāpes īpašības no skaitļa līdz pakāpei n. Mēs to attēlojam kā vienādību a 2 m 2 m = a un 2 m - 1 2 m - 1 = a jebkuram reālam a un dabiski m. Plkst a ≥ 0 iegūstam a = a un a 2 m = a 2 m, kas pierāda vienādību a 2 m 2 m = a, un vienādība a 2 m - 1 2 m - 1 = a ir acīmredzama. Plkst a< 0 iegūstam attiecīgi a = - a un a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Pēdējā skaitļa transformācija ir spēkā atbilstoši grāda īpašībai. Tas pierāda, ka vienādība a 2 m 2 m \u003d a un 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a būs patiesa, jo - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m tiek uzskatīts par nepāra vērtību. grāds - 1 jebkuram skaitlim c , pozitīva vai vienāda ar nulli.
Lai apkopotu saņemto informāciju, apsveriet dažus piemērus, izmantojot īpašumu:
5. piemērs
7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 un (- 3 , 39) 5 5 = - 3, 39 .
- Pierādīsim šādu vienādību a m n = a n · m . Lai to izdarītu, ir jāmaina skaitļi pirms vienādības zīmes un pēc tās vietās a n · m = a m n . Tas norādīs pareizo ierakstu. Priekš a , kas ir pozitīvs vai vienāds ar nulli , no formas a m n ir pozitīvs skaitlis vai nulle. Pievērsīsimies īpašībai paaugstināt spēku par spēku un definīciju. Ar to palīdzību jūs varat pārveidot vienādības formā a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Tas pierāda uzskatīto saknes īpašību no saknes.
Citas īpašības tiek pierādītas līdzīgi. Tiešām, . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .
Piemēram, 7 3 5 = 7 5 3 un 0 . 0009 6 = 0 . 0009 2 2 6 = 0 . 0009 24 .
- Pierādīsim šādu īpašību a m n · m = a n . Lai to izdarītu, ir jāparāda, ka n ir skaitlis, kas ir pozitīvs vai vienāds ar nulli. Paaugstinot līdz pakāpei n m ir a m. Ja numurs a tad ir pozitīvs vai nulle n th grāds no vidus a ir pozitīvs skaitlis vai vienāds ar nulli Turklāt a n · m n = a n n m , kas bija jāpierāda.
Lai nostiprinātu iegūtās zināšanas, apsveriet dažus piemērus.
- Pierādīsim šādu īpašību - formas a m n = a n m pakāpju saknes īpašību. Ir skaidrs, ka plkst a ≥ 0 pakāpe a n m ir nenegatīvs skaitlis. Turklāt viņa n-th pakāpe ir vienāda ar a m, patiešām, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Tas pierāda grāda apsvērto īpašību.
Piemēram, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .
- Mums tas jāpierāda visiem pozitīviem skaitļiem a un b a< b . Apsveriet nevienlīdzību a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Tāpēc n< b n при a< b .
Piemēram, mēs dodam 12 4< 15 2 3 4 .
- Apsveriet saknes īpašību n-th grāds. Pirmkārt, apsveriet nevienlīdzības pirmo daļu. Plkst m > n un 0 < a < 1 taisnība a m > a n . Pieņemsim, ka a m ≤ a n . Īpašības vienkāršos izteiksmi līdz a n m · n ≤ a m m · n . Tad atbilstoši pakāpes īpašībām ar naturālo eksponentu ir izpildīta nevienādība a n m n m n ≤ a m m n m n, tas ir, a n ≤ a m. Vērtība, kas iegūta plkst m > n un 0 < a < 1 neatbilst iepriekš norādītajām īpašībām.
Tādā pašā veidā to var pierādīt m > n un a > 1 nosacījums a m< a n .
Lai labotu iepriekš minētās īpašības, apsveriet dažas konkrēti piemēri. Apsveriet nevienlīdzības, izmantojot konkrētus skaitļus.
6. piemērs
0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Saknes pakāpe n no reāla skaitļa a, kur n- naturāls skaitlis, tādu reālo skaitli sauc x, n kura th jauda ir vienāda ar a.
pakāpes sakne n no numura a norādīts ar simbolu. Saskaņā ar šo definīciju.
Saknes atrašana n th grāds no vidus a sauc par sakņu ekstrakciju. Numurs a sauc par saknes skaitli (izteiksmi), n- saknes rādītājs. Par nepāra n ir sakne n-th pakāpe jebkuram reālam skaitlim a. Pat n ir sakne n-th pakāpe tikai nenegatīvam skaitlim a. Lai novērstu saknes neskaidrību n th grāds no vidus a, tiek ieviests aritmētiskās saknes jēdziens n th grāds no vidus a.
N pakāpes aritmētiskās saknes jēdziens
Ja n- naturālais skaitlis ir lielāks par 1 , tad pastāv, un tikai viens, nevis negatīvs skaitlis X, lai vienlīdzība būtu spēkā. Šis numurs X sauc par aritmētisko sakni n nenegatīva skaitļa pakāpe a un ir apzīmēts. Numurs a sauc par saknes numuru n- saknes rādītājs.
Tātad, saskaņā ar definīciju, apzīmējums , kur , nozīmē, pirmkārt, to un, otrkārt, to , t.i. .
Pakāpes jēdziens ar racionālu eksponentu
Grāds ar naturālo eksponentu: let a ir reāls skaitlis un n ir naturāls skaitlis, kas ir lielāks par vienu n-skaitļa pakāpe a izsaukt darbu n reizinātāji, no kuriem katrs ir vienāds ar a, t.i. . Numurs a- grāda bāze, n- eksponents. Eksponents ar nulles eksponentu: pēc definīcijas, ja , tad . Skaitļa nulles jauda 0 nav jēgas. Jauda ar negatīvu veselu eksponentu: pēc definīcijas, ja un n ir naturāls skaitlis, tad . Pakāpe ar daļskaitli: pēc definīcijas, ja un n- dabiskais skaitlis, m ir vesels skaitlis, tad .
Darbības ar saknēm.
Visās zemāk esošajās formulās simbols nozīmē aritmētiskā sakne(radikālā izteiksme ir pozitīva).
1. Vairāku faktoru reizinājuma sakne ir vienāda ar šo faktoru sakņu reizinājumu:
2. Attiecības sakne ir vienāda ar dividendes un dalītāja sakņu attiecību:
3. Paaugstinot sakni līdz pakāpei, pietiek ar saknes skaitli palielināt līdz šim pakāpei: 
4. Ja jūs palielinat saknes pakāpi par n reizēm un vienlaikus paaugstināsit saknes skaitli līdz n pakāpei, tad saknes vērtība nemainīsies: 
5. Ja saknes pakāpi samazina par n-ām reizēm un vienlaikus izņem no radikālskaitļa n-tās pakāpes sakni, tad saknes vērtība nemainīsies:
Pakāpes jēdziena paplašināšana. Līdz šim esam apsvēruši grādus tikai ar naturālo rādītāju; bet darbības ar pakāpēm un saknēm var izraisīt arī negatīvus, nulles un daļskaitļus. Visiem šiem eksponentiem nepieciešama papildu definīcija.
Grāds ar negatīvu eksponentu. Skaitļa jaudu ar negatīvu (veselu) eksponentu definē kā vienu dalītu ar tā paša skaitļa jaudu ar eksponentu, kas vienāds ar absolūtā vērtība negatīvs rādītājs: 
Tagad formulu a m: a n \u003d a m - n var izmantot ne tikai m, kas ir lielāks par n, bet arī m, kas mazāks par n.
PIEMĒRS a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3 .
Ja vēlamies, lai formula a m: a n = a m - n būtu derīga m = n , mums ir jādefinē nulles pakāpe.
Grāds ar nulles eksponentu. Jebkura skaitļa, kas nav nulle ar nulles eksponentu, pakāpe ir 1.
PIEMĒRI. 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3/5) 0 = 1.
Grāds ar daļskaitli. Lai palielinātu reālo skaitli a līdz pakāpei m / n, jums ir jāizņem n-tās pakāpes sakne no šī skaitļa m-tā pakāpiena:
Par izteicieniem, kuriem nav jēgas. Ir vairāki šādi izteicieni.
1. gadījums
Kur a ≠ 0 nepastāv.
Patiešām, ja pieņemam, ka x ir noteikts skaitlis, tad saskaņā ar dalīšanas operācijas definīciju mums ir: a = 0 · x, t.i. a = 0, kas ir pretrunā ar nosacījumu: a ≠ 0
2. gadījums
Jebkurš numurs.
Patiešām, ja pieņemam, ka šī izteiksme ir vienāda ar kādu skaitli x, tad saskaņā ar dalīšanas operācijas definīciju mums ir: 0 = 0 · x . Bet šī vienādība attiecas uz jebkuru skaitli x, kas bija jāpierāda.
Tiešām,
Risinājums. Apsveriet trīs galvenos gadījumus:
1) x = 0 — šī vērtība neapmierina šo vienādojumu
2) ja x > 0 iegūstam: x / x = 1, t.i. 1 = 1, no kā izriet, ka x ir jebkurš skaitlis; bet ņemot vērā, ka mūsu gadījumā x > 0, atbilde ir x > 0;
3) pie x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
šajā gadījumā risinājuma nav. Tātad x > 0.
Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.
Personiskās informācijas vākšana un izmantošana
Personiskā informācija attiecas uz datiem, ko var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.
Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.
Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.
Kādu personas informāciju mēs apkopojam:
- Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.
Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:
- Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikālus piedāvājumus, akcijas un citi pasākumi un gaidāmie pasākumi.
- Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
- Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
- Ja piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.
Izpaušana trešajām personām
Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.
Izņēmumi:
- Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas kārtību, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai lūgumiem no plkst. valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sabiedrības interešu apsvērumu dēļ.
- Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.
Personiskās informācijas aizsardzība
Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret nozaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.
Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī
Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.
Apsveicam: šodien mēs analizēsim saknes - vienu no prātīgākajām tēmām 8. klasē. :)
Daudzi cilvēki apjūk par saknēm nevis tāpēc, ka tās ir sarežģītas (kas ir sarežģīti - pāris definīcijas un vēl pāris īpašības), bet gan tāpēc, ka lielākajā daļā skolu mācību grāmatu saknes tiek definētas caur tādiem mežonīgiem burtiem, ka to var tikai paši mācību grāmatu autori. saproti šo skribelēšanu. Un arī tad tikai ar pudeli laba viskija. :)
Tāpēc tagad es sniegšu vispareizāko un kompetentāko saknes definīciju - vienīgo, kas jums patiešām ir jāatceras. Un tikai tad es paskaidrošu: kāpēc tas viss ir nepieciešams un kā to pielietot praksē.
Bet vispirms atcerieties vienu svarīgs punkts, par kuru daudzi mācību grāmatu sastādītāji nez kāpēc “aizmirst”:
Saknes var būt pāra pakāpes (mūsu iecienītākā $\sqrt(a)$, kā arī jebkura $\sqrt(a)$ un pat $\sqrt(a)$) un nepāra pakāpe (jebkura $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ utt.). Un nepāra pakāpes saknes definīcija nedaudz atšķiras no pāra.
Šeit šajā sasodītā “nedaudz savādākā” slēpjas, iespējams, 95% no visām ar saknēm saistītajām kļūdām un pārpratumiem. Tāpēc vienreiz un uz visiem laikiem noskaidrosim terminoloģiju:
Definīcija. Pat sakne n no skaitļa $a$ ir jebkurš nav negatīvs skaitlis $b$, lai $((b)^(n))=a$. Un nepāra pakāpes sakne no tā paša skaitļa $a$ parasti ir jebkurš skaitlis $b$, kuram spēkā ir tā pati vienādība: $((b)^(n))=a$.
Jebkurā gadījumā sakne tiek apzīmēta šādi:
\(a)\]
Skaitli $n$ šādā apzīmējumā sauc par saknes eksponentu, bet skaitli $a$ par radikālo izteiksmi. Konkrēti, par $n=2$ mēs iegūstam savu “mīļāko” kvadrātsakni (starp citu, šī ir pāra pakāpes sakne), un par $n=3$ iegūstam kubiksakni (nepāra pakāpi), kas bieži sastopams arī problēmās un vienādojumos.
Piemēri. Klasiski kvadrātsakņu piemēri:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(līdzināt)\]
Starp citu, $\sqrt(0)=0$ un $\sqrt(1)=1$. Tas ir diezgan loģiski, jo $((0)^(2))=0$ un $((1)^(2))=1$.
Bieži sastopamas arī kubiskās saknes - nebaidieties no tām:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(līdzināt)\]
Nu, pāris "eksotiski piemēri":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(līdzināt)\]
Ja nesaprotat, kāda ir atšķirība starp pāra un nepāra pakāpi, vēlreiz izlasiet definīciju. Tas ir ļoti svarīgi!
Tikmēr mēs apsvērsim vienu nepatīkamu sakņu iezīmi, kuras dēļ mums vajadzēja ieviest atsevišķu definīciju pāra un nepāra eksponentiem.
Kāpēc mums vispār vajadzīgas saknes?
Pēc definīcijas izlasīšanas daudzi skolēni jautās: "Ko matemātiķi smēķēja, kad viņi to izdomāja?" Un tiešām: kāpēc mums ir vajadzīgas visas šīs saknes?
Lai atbildētu uz šo jautājumu, atgriezīsimies uz brīdi pamatklases. Atcerieties: tajos tāli laiki kad koki bija zaļāki un pelmeņi garšīgāki, mūsu galvenās rūpes bija pareizi reizināt skaitļus. Nu, kaut kas garā "pieci reiz pieci - divdesmit pieci", tas arī viss. Bet galu galā skaitļus var reizināt nevis pa pāriem, bet gan trīskāršos, četrinieku un parasti veselās kopās:
\[\begin(līdzināt) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(līdzināt)\]
Tomēr tas nav galvenais. Triks ir atšķirīgs: matemātiķi ir slinki cilvēki, tāpēc viņiem bija jāpieraksta desmit piecinieku reizinājums šādi:
Tāpēc viņi nāca klajā ar grādiem. Kāpēc gan neierakstīt faktoru skaitu kā virsrakstu, nevis garu virkni? Kā šis:
Tas ir ļoti ērti! Visi aprēķini tiek samazināti vairākas reizes, un jūs nevarat iztērēt piezīmju grāmatiņu pergamenta loksnes, lai pierakstītu kādu 5 183. Šādu ierakstu sauca par skaitļa pakāpi, tajā tika atrasts īpašību ķekars, taču laime izrādījās īslaicīga.
Pēc grandioza iedzeršanas, kas tika organizēta tikai par grādu "atklāšanu", kāds īpaši nomākts matemātiķis pēkšņi jautāja: "Ko darīt, ja mēs zinām skaitļa pakāpi, bet nezinām pašu skaitli?" Patiešām, ja mēs zinām, ka, piemēram, noteikts skaitlis $b$ dod 243 uz 5. pakāpi, tad kā mēs varam uzminēt, ar ko ir vienāds pats skaitlis $b$?
Šī problēma izrādījās daudz globālāka, nekā varētu šķist no pirmā acu uzmetiena. Jo izrādījās, ka lielākajai daļai "gatavu" grādu šādu "sākotnējo" skaitļu nav. Spriediet paši:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(līdzināt)\]
Ko darīt, ja $((b)^(3))=50 $? Izrādās, ka jāatrod noteikts skaitlis, kuru, reizinot ar sevi trīs reizes, mēs iegūsim 50. Bet kāds ir šis skaitlis? Tas nepārprotami ir lielāks par 3, jo 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. T.i. šis skaitlis ir kaut kur starp trīs un četriem, bet ar ko tas ir vienāds - FIG jūs sapratīsit.
Tieši tāpēc matemātiķi izdomāja $n$-th saknes. Tāpēc tika ieviesta radikālā ikona $\sqrt(*)$. Lai apzīmētu to pašu skaitli $b$, kas norādītajā pakāpē dos mums iepriekš zināmu vērtību
\[\sqrt[n](a)=b\Labā bultiņa ((b)^(n))=a\]
Es nestrīdos: bieži šīs saknes ir viegli apsvērtas - mēs redzējām vairākus šādus piemērus iepriekš. Tomēr vairumā gadījumu, ja jūs domājat par patvaļīgu skaitli un pēc tam mēģināt no tā iegūt patvaļīgas pakāpes sakni, jūs saskaraties ar nežēlīgu kļūdu.
Kas ir tur! Pat visvienkāršāko un pazīstamāko $\sqrt(2)$ nevar attēlot mūsu parastajā formā - kā veselu skaitli vai daļskaitli. Un, ja jūs ievadīsit šo skaitli kalkulatorā, jūs redzēsit šo:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Kā redzat, aiz komata ir bezgalīga skaitļu virkne, kas nepakļaujas nekādai loģikai. Jūs, protams, varat noapaļot šo skaitli, lai ātri salīdzinātu ar citiem skaitļiem. Piemēram:
\[\sqrt(2)=1,4142...\aptuveni 1,4 \lt 1,5\]
Vai arī šeit ir vēl viens piemērs:
\[\sqrt(3)=1,73205...\aptuveni 1,7 \gt 1,5\]
Taču visi šie noapaļojumi, pirmkārt, ir diezgan aptuveni; un otrkārt, jāprot strādāt arī ar aptuvenām vērtībām, pretējā gadījumā var pieķert kaudzi nepārprotamu kļūdu (starp citu, salīdzināšanas un noapaļošanas prasmes obligāti tiek pārbaudītas profila eksāmenā).
Tāpēc nopietnā matemātikā nevar iztikt bez saknēm - tie ir vienādi visu reālo skaitļu kopas $\mathbb(R)$ pārstāvji, tāpat kā daļskaitļi un veseli skaitļi, kurus mēs jau sen zinām.
Tas, ka sakni nav iespējams attēlot kā daļu no formas $\frac(p)(q)$, nozīmē, ka šī sakne nav racionāls skaitlis. Šādus skaitļus sauc par iracionāliem, un tos nevar precīzi attēlot, kā vien ar radikāļu vai citu tam īpaši izstrādātu konstrukciju palīdzību (logaritmi, grādi, robežas utt.). Bet par to vairāk citreiz.
Apsveriet dažus piemērus, kur pēc visiem aprēķiniem atbildē joprojām paliks neracionāli skaitļi.
\[\begin(līdzināt) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\apmēram 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\apmēram -12599... \\ \end(līdzināt)\]
Protams, pēc izskats sakne ir gandrīz neiespējama uzminēt, kādi skaitļi nāks aiz komata. Tomēr ir iespējams aprēķināt ar kalkulatoru, taču pat vismodernākais datuma kalkulators mums sniedz tikai dažus pirmos ciparus neracionāls skaitlis. Tāpēc daudz pareizāk ir atbildes rakstīt kā $\sqrt(5)$ un $\sqrt(-2)$.
Tam tie tika izdomāti. Lai būtu viegli pierakstīt atbildes.
Kāpēc ir vajadzīgas divas definīcijas?
Uzmanīgais lasītājs droši vien jau ir pamanījis, ka visas piemēros norādītās kvadrātsaknes ir ņemtas no pozitīviem skaitļiem. Nu vismaz no nulles. Bet kuba saknes mierīgi izvelk no pilnīgi jebkura skaitļa – pat pozitīva, pat negatīva.
Kāpēc tas notiek? Apskatiet funkcijas $y=((x)^(2))$ grafiku:
Grafiks kvadrātiskā funkcija dod divas saknes: pozitīvo un negatīvo Mēģināsim aprēķināt $\sqrt(4)$, izmantojot šo grafiku. Lai to izdarītu, grafikā tiek novilkta horizontāla līnija $y=4$ (atzīmēta ar sarkanu), kas krusto parabolu divos punktos: $((x)_(1))=2$ un $((x) _(2)) = -2 $. Tas ir diezgan loģiski, jo
Ar pirmo skaitli viss ir skaidrs - tas ir pozitīvs, tāpēc tā ir sakne:
Bet ko tad darīt ar otro punktu? Vai 4 ir divas saknes vienlaikus? Galu galā, ja skaitli −2 kvadrātā, mēs iegūstam arī 4. Kāpēc tad neierakstīt $\sqrt(4)=-2$? Un kāpēc skolotāji uz tādiem ierakstiem skatās tā, it kā gribētu tevi apēst? :)
Problēma ir tāda, ka, ja netiks izvirzīti papildu nosacījumi, tad četriniekam būs divas kvadrātsaknes - pozitīva un negatīva. Un jebkuram pozitīvam skaitlim būs arī divi no tiem. Bet negatīviem skaitļiem vispār nebūs sakņu - to var redzēt no tā paša grafika, jo parabola nekad nenokrīt zem ass y, t.i. neņem negatīvas vērtības.
Līdzīga problēma rodas visām saknēm ar vienmērīgu eksponentu:
- Stingri sakot, katram pozitīvajam skaitlim būs divas saknes ar pāra eksponentu $n$;
- No negatīviem skaitļiem sakne ar pat $n$ netiek izvilkta vispār.
Tāpēc pāra saknes $n$ definīcija īpaši nosaka, ka atbildei ir jābūt nenegatīvam skaitlim. Tā mēs atbrīvojamies no neskaidrības.
Bet nepāra $n$ tādu problēmu nav. Lai to redzētu, apskatīsim funkcijas $y=((x)^(3))$ grafiku:
Kubiskā parabola iegūst jebkuru vērtību, tāpēc kuba sakni var ņemt no jebkura skaitļa No šīs diagrammas var izdarīt divus secinājumus:
- Kubiskās parabolas zari, atšķirībā no parastās, iet līdz bezgalībai abos virzienos - gan uz augšu, gan uz leju. Tāpēc neatkarīgi no tā, kādā augstumā mēs novelkam horizontālu līniju, šī līnija noteikti krustosies ar mūsu grafiku. Tāpēc kuba sakni vienmēr var ņemt, absolūti no jebkura skaitļa;
- Turklāt šāds krustojums vienmēr būs unikāls, tāpēc jums nav jādomā, kuru skaitli uzskatīt par “pareizo” sakni un kuru vērtēt. Tāpēc nepāra pakāpes sakņu definīcija ir vienkāršāka nekā pāra pakāpei (nav nenegatīvisma prasības).
Žēl, ka lielākajā daļā mācību grāmatu šīs vienkāršās lietas nav izskaidrotas. Tā vietā mūsu smadzenes sāk planēt ar visu veidu aritmētiskām saknēm un to īpašībām.
Jā, es nestrīdos: kas ir aritmētiskā sakne - jums arī jāzina. Un es par to sīkāk runāšu atsevišķā nodarbībā. Šodien arī par to runāsim, jo bez tā visas pārdomas par $n$-tās daudzveidības saknēm būtu nepilnīgas.
Bet vispirms jums ir skaidri jāsaprot definīcija, ko es sniedzu iepriekš. Citādi terminu pārpilnības dēļ galvā sāksies tāds bardaks, ka beigās vispār neko nesapratīsi.
Un viss, kas jums jāsaprot, ir atšķirība starp pāra un nepāra skaitļiem. Tāpēc vēlreiz apkoposim visu, kas jums patiešām jāzina par saknēm:
- Pāra sakne pastāv tikai no nenegatīva skaitļa un pati vienmēr ir nenegatīvs skaitlis. Negatīviem skaitļiem šāda sakne nav definēta.
- Bet nepāra pakāpes sakne pastāv no jebkura skaitļa un pati var būt jebkurš skaitlis: pozitīviem skaitļiem tas ir pozitīvs, un negatīviem skaitļiem, kā norāda vāciņš, tas ir negatīvs.
Vai tas ir grūti? Nē, tas nav grūti. Skaidrs? Jā, tas ir skaidrs! Tāpēc tagad nedaudz praktizēsimies ar aprēķiniem.
Pamatīpašības un ierobežojumi
Saknēm ir daudz dīvainu īpašību un ierobežojumu - tā būs atsevišķa nodarbība. Tāpēc tagad mēs apsvērsim tikai vissvarīgāko "mikroshēmu", kas attiecas tikai uz saknēm ar vienmērīgu eksponentu. Mēs rakstām šo īpašību formulas veidā:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]
Citiem vārdiem sakot, ja mēs paaugstināsim skaitli līdz pāra pakāpei un pēc tam izņemsim no tā tās pašas pakāpes sakni, mēs iegūsim nevis sākotnējo skaitli, bet gan tā moduli. Šī ir vienkārša teorēma, kuru ir viegli pierādīt (pietiek atsevišķi aplūkot nenegatīvos $x$ un pēc tam atsevišķi apsvērt negatīvos). Skolotāji par to nemitīgi runā, tas ir dots katrā skolas mācību grāmatā. Bet, tiklīdz runa ir par iracionālu vienādojumu (t.i., vienādojumu, kas satur radikāļa zīmi) risināšanu, skolēni kopā aizmirst šo formulu.
Lai detalizēti izprastu problēmu, uz minūti aizmirsīsim visas formulas un mēģināsim saskaitīt divus skaitļus uz priekšu:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Tas ir ļoti vienkārši piemēri. Pirmo piemēru atrisinās lielākā daļa cilvēku, bet otrajā gadījumā daudzi paliek. Lai bez problēmām atrisinātu šādas nedienas, vienmēr apsveriet procedūru:
- Pirmkārt, skaitlis tiek palielināts līdz ceturtajai pakāpei. Nu, tas ir diezgan vienkārši. Tiks iegūts jauns skaitlis, kuru var atrast pat reizināšanas tabulā;
- Un tagad no šī jaunā skaitļa ir nepieciešams izvilkt ceturtās pakāpes sakni. Tie. nav sakņu un grādu "samazināšanas" - tās ir secīgas darbības.
Tiksim galā ar pirmo izteiksmi: $\sqrt(((3)^(4)))$. Acīmredzot vispirms ir jāaprēķina izteiksme zem saknes:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Tad mēs iegūstam skaitļa 81 ceturto sakni:
Tagad darīsim to pašu ar otro izteiksmi. Pirmkārt, mēs paaugstinām skaitli −3 līdz ceturtajai pakāpei, kurai tas jāreizina ar sevi 4 reizes:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ pa kreisi (-3 \right)=81\]
Mēs saņēmām pozitīvu skaitli, jo kopējais mīnusu skaits produktā ir 4 gabali, un tie visi viens otru atstās (galu galā mīnus ar mīnusu dod plusu). Pēc tam vēlreiz izņemiet sakni:
Principā šo rindu nevarēja uzrakstīt, jo nav prāta, ka atbilde būs tāda pati. Tie. vienādas jaudas vienmērīga sakne "sadedzina" mīnusus, un šajā ziņā rezultāts neatšķiras no parastā moduļa:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(līdzināt)\]
Šie aprēķini labi saskan ar pāra pakāpes saknes definīciju: rezultāts vienmēr nav negatīvs, un radikālā zīme vienmēr ir arī nenegatīvs skaitlis. Pretējā gadījumā sakne nav definēta.
Piezīme par darbību secību
- Apzīmējums $\sqrt(((a)^(2)))$ nozīmē, ka vispirms skaitli $a$ mēs kvadrātā un pēc tam iegūstam kvadrātsakni no iegūtās vērtības. Tāpēc mēs varam būt pārliecināti, ka nenegatīvs skaitlis vienmēr atrodas zem saknes zīmes, jo $((a)^(2))\ge 0$ tik un tā;
- Bet apzīmējums $((\left(\sqrt(a) \right)))^(2))$, gluži pretēji, nozīmē, ka mēs vispirms izņemam sakni no noteikta skaitļa $a$ un tikai pēc tam rezultātu kvadrātā. Tāpēc skaitlis $a$ nekādā gadījumā nevar būt negatīvs - tā ir definīcijā iestrādāta obligāta prasība.
Tādējādi nekādā gadījumā nevajadzētu neapdomīgi samazināt saknes un pakāpes, tādējādi it kā "vienkāršojot" sākotnējo izteiksmi. Jo, ja zem saknes ir negatīvs skaitlis un tā eksponents ir pāra, mēs iegūsim daudz problēmu.
Tomēr visas šīs problēmas attiecas tikai uz vienmērīgiem rādītājiem.
Mīnusa zīmes noņemšana zem saknes zīmes
Protams, saknēm ar nepāra eksponentiem ir arī sava iezīme, kas principā neeksistē pāriem. Proti:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Īsāk sakot, no nepāra pakāpes sakņu zīmes varat izņemt mīnusu. Tas ir ļoti noderīgs īpašums, kas ļauj "izmest" visus mīnusus:
\[\begin(līdzināt) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(līdzināt)\]
Šis vienkāršais īpašums ievērojami vienkāršo daudzus aprēķinus. Tagad jums nav jāuztraucas: kā būtu, ja negatīva izteiksme nonāk zem saknes un saknes grāds ir vienmērīgs? Pietiek "izmest" visus mīnusus ārpus saknēm, pēc tam tos var reizināt savā starpā, sadalīt un vispār izdarīt daudzas aizdomīgas lietas, kas "klasisko" sakņu gadījumā mūs garantēti novedīs pie kļūdas. .
Un te parādās cita definīcija – tā pati, ar kuru lielākā daļa skolu sāk iracionālu izteicienu izpēti. Un bez kura mūsu argumentācija būtu nepilnīga. Iepazīstieties!
aritmētiskā sakne
Uz brīdi pieņemsim, ka zem saknes zīmes var atrasties tikai pozitīvi skaitļi vai, ārkārtējos gadījumos, nulle. Novērtēsim pāra / nepāra rādītājus, punktus par visām iepriekš sniegtajām definīcijām - mēs strādāsim tikai ar nenegatīviem skaitļiem. Ko tad?
Un tad mēs iegūstam aritmētisko sakni - tā daļēji krustojas ar mūsu "standarta" definīcijām, bet tomēr atšķiras no tām.
Definīcija. Nenegatīva skaitļa $n$. pakāpes aritmētiskā sakne ir nenegatīvs skaitlis $b$ tā, ka $((b)^(n))=a$.
Kā redzat, paritāte mūs vairs neinteresē. Tā vietā parādījās jauns ierobežojums: radikālā izteiksme tagad vienmēr nav negatīva, un pati sakne arī nav negatīva.
Lai labāk saprastu, kā aritmētiskā sakne atšķiras no parastās, apskatiet mums jau pazīstamos kvadrātveida un kubiskās parabolas grafikus:
Saknes meklēšanas apgabals - nenegatīvi skaitļi Kā redzat, turpmāk mūs interesē tikai tie grafiku gabali, kas atrodas pirmajā koordinātu ceturksnī - kur koordinātas $x$ un $y$ ir pozitīvas (vai vismaz nulle). Jums vairs nav jāskatās uz indikatoru, lai saprastu, vai mums ir tiesības sakņot negatīvu skaitli vai nav. Jo negatīvos skaitļus principā vairs neuzskata.
Jūs varat jautāt: "Nu, kāpēc mums ir vajadzīga tik kastrēta definīcija?" Vai arī: "Kāpēc mēs nevaram iztikt ar iepriekš sniegto standarta definīciju?"
Nu, es došu tikai vienu īpašumu, kura dēļ jaunā definīcija kļūst piemērota. Piemēram, kāpināšanas noteikums:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Lūdzu, ņemiet vērā: mēs varam paaugstināt radikālo izteiksmi līdz jebkurai pakāpei un tajā pašā laikā reizināt saknes eksponentu ar tādu pašu jaudu - un rezultāts būs tāds pats skaitlis! Šeit ir daži piemēri:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(līdzināt)\]
Nu, kas tur slikts? Kāpēc mēs to nevarējām izdarīt agrāk? Lūk, kāpēc. Apsveriet vienkāršu izteiksmi: $\sqrt(-2)$ ir skaitlis, kas ir diezgan normāls mūsu klasiskajā izpratnē, bet absolūti nepieņemams no aritmētiskās saknes viedokļa. Mēģināsim to pārvērst:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Kā redzat, pirmajā gadījumā mēs izņēmām mīnusu no zem radikāļa (mums ir visas tiesības, jo rādītājs ir nepāra), bet otrajā mēs izmantojām iepriekš minēto formulu. Tie. no matemātikas viedokļa viss notiek pēc noteikumiem.
WTF?! Kā viens un tas pats skaitlis var būt gan pozitīvs, gan negatīvs? Nevar būt. Vienkārši kāpināšanas formula, kas lieliski darbojas pozitīviem skaitļiem un nullei, negatīvu skaitļu gadījumā sāk radīt pilnīgu ķecerību.
Šeit, lai atbrīvotos no šādas neskaidrības, viņi izdomāja aritmētiskās saknes. Viņiem ir veltīta atsevišķa liela nodarbība, kurā mēs detalizēti apsveram visas to īpašības. Tāpēc tagad pie tiem nekavēsimies – nodarbība tik un tā izrādījās par garu.
Algebriskā sakne: tiem, kas vēlas uzzināt vairāk
Ilgi domāju: taisīt šo tēmu atsevišķā rindkopā vai nē. Galu galā es nolēmu aizbraukt no šejienes. Šis materiāls ir paredzēts tiem, kuri vēlas vēl labāk izprast saknes - ne vairs vidējā “skolas”, bet gan olimpiādei pietuvinātā līmenī.
Tātad: papildus "klasiskajai" definīcijai $n$-tās pakāpes saknei no skaitļa un ar to saistītajam dalījumam pāra un nepāra rādītājos, ir vairāk "pieaugušo" definīcija, kas nav atkarīga no paritātes un citi smalkumi vispār. To sauc par algebrisko sakni.
Definīcija. Jebkuras $a$ algebriskā $n$-tā sakne ir visu skaitļu $b$ kopa, kurā $((b)^(n))=a$. Šādām saknēm nav vispāratzīta apzīmējuma, tāpēc vienkārši uzvelciet augšpusē domuzīmi:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
Būtiskā atšķirība no standarta definīcija, kas norādīts nodarbības sākumā, ir tāds, ka algebriskā sakne nav konkrēts skaitlis, bet gan kopa. Tā kā mēs strādājam ar reāli skaitļi, šim komplektam ir tikai trīs veidi:
- Tukšs komplekts. Rodas, ja no negatīva skaitļa jāatrod pāra pakāpes algebriskā sakne;
- Komplekts, kas sastāv no viena elementa. Šajā kategorijā ietilpst visas nepāra pakāpju saknes, kā arī pāra pakāpju saknes no nulles;
- Visbeidzot, komplektā var iekļaut divus skaitļus — tos pašus $((x)_(1))$ un $((x)_(2))=-((x)_(1))$, ko redzējām diagrammas kvadrātiskā funkcija. Attiecīgi šāda izlīdzināšana ir iespējama tikai tad, ja no pozitīva skaitļa iegūst pāra pakāpes sakni.
Pēdējais gadījums ir pelnījis sīkāku apsvērumu. Saskaitīsim pāris piemērus, lai saprastu atšķirību.
Piemērs. Aprēķināt izteiksmes:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Risinājums. Pirmā izteiksme ir vienkārša:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\(2;-2 \right\)\]
Tie ir divi skaitļi, kas ir daļa no komplekta. Jo katrs no tiem kvadrātā dod četrinieku.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
Šeit mēs redzam komplektu, kas sastāv tikai no viena skaitļa. Tas ir diezgan loģiski, jo saknes eksponents ir nepāra.
Visbeidzot, pēdējais izteiciens:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Mēs saņēmām tukšu komplektu. Jo nav neviena reāla skaitļa, kuru paaugstinot līdz ceturtajai (tas ir, pat!) jaudai, mēs iegūsim negatīvu skaitli −16.
Beigu piezīme. Lūdzu, ņemiet vērā: ne nejauši es visur atzīmēju, ka mēs strādājam ar reāliem skaitļiem. Jo ir arī kompleksie skaitļi - tur pilnīgi iespējams izrēķināt $\sqrt(-16)$ un daudz ko citu.
Tomēr mūsdienu skolas matemātikas programmā sarežģīti skaitļi gandrīz nekad nav atrodami. Tie ir izlaisti lielākajā daļā mācību grāmatu, jo mūsu ierēdņi uzskata, ka tēma ir "pārāk grūti saprotama".
- Naturālās pakāpes n>=2 aritmētiskā sakne no nenegatīva skaitļa a ir kāds nenegatīvs skaitlis, kuru paaugstinot līdz pakāpei n, iegūst skaitli a.
Var pierādīt, ka jebkuram nenegatīvam a un naturālam n vienādojumam x^n=a būs viena nenegatīva sakne. Tieši šo sakni sauc par n-tās pakāpes aritmētisko sakni no skaitļa a.
N-tās pakāpes aritmētisko sakni no skaitļa a apzīmē šādi n√a. Skaitli a šajā gadījumā sauc par saknes izteiksmi.
Otrās pakāpes aritmētisko sakni sauc par kvadrātsakni, bet trešās pakāpes aritmētisko sakni sauc par kubsakni.
N-tās pakāpes aritmētiskās saknes pamatīpašības
- 1. (n√a)^n = a.
Piemēram, (5√2)^5 = 2.
Šī īpašība tieši izriet no n-tās pakāpes aritmētiskās saknes definīcijas.
Ja a ir lielāks vai vienāds ar nulli, b ir lielāks par nulli un n, m ir daži naturāli skaitļi, kuros n ir lielāks vai vienāds ar 2 un m ir lielāks vai vienāds ar 2, tad šādas īpašības ir patiesas :
- 2. n√(a*b)= n√a*n√b.
Piemēram, 4√27 * 4√3 = 4√(27*3) = 4√81 =4√(3^4) = 3.
- 3. n√(a/b) = (n√a)/(n√b).
Piemēram, 3√(256/625) :3√(4/5) = 3√((256/625) : (4/5)) = (3√(64))/(3√(125)) = 4/5.
- 4. (n√a)^m = n√(a^m).
Piemēram, 7√(5^21) = 7√((5^7)^3)) = (7√(5^7))^3 = 5^3 = 125.
- 5. m√(n√a) = (n*m) √a.
Piemēram, 3√(4√4096) = 12√4096 = 12√(2^12) = 2.
Ņemiet vērā, ka rekvizītā 2 skaitlis b var būt vienāds ar nulli, bet īpašībā 4 skaitlis m var būt jebkurš vesels skaitlis, ja a>0.
Otrā īpašuma pierādījums
Visas pēdējās četras īpašības tiek pierādītas līdzīgi, tāpēc mēs aprobežojamies ar tikai otrās pierādīšanu: n√(a*b)= n√a*n√b.
Izmantojot aritmētiskās saknes definīciju, pierāda, ka n√(a*b)= n√a*n√b.
Lai to izdarītu, mēs pierādam divus faktus, ka n√a*n√b. Lielāks par nulli vai vienāds ar to, un (n√a*n√b.)^n = ab.
- 1. n√a*n√b ir lielāka vai vienāda ar nulli, jo gan a, gan b ir lielākas vai vienādas ar nulli.
- 2. (n√a*n√b)^n = a*b, jo (n√a*n√b)^n = (n√a)^n *(n√b)^n = a* b.
Q.E.D. Tātad īpašums ir patiess. Šīs īpašības ļoti bieži būs jāizmanto, vienkāršojot izteiksmes, kas satur aritmētiskās saknes.