Ieraksti ar atzīmi "grāda īpašību piemēri ar naturālo eksponentu". Grāds un tā īpašības. Visaptverošs ceļvedis (2019)

2. video nodarbība: Grāds ar dabisko indikatoru un tā īpašībām

Lekcija:

Grāds ar dabisku indikatoru

Zem grāds kāds skaitlis "a" ar kādu indikatoru "n" saprast skaitļa reizinājumu "a" pats "n" vienreiz.

Runājot par grādu ar dabisku rādītāju, tas nozīmē, ka skaitlis "n" jābūt veselam skaitlim, nevis negatīvam.

a- grāda bāze, kas parāda, kurš skaitlis jāreizina ar sevi,

n- eksponents - tas norāda, cik reižu bāze jāreizina ar sevi.

Piemēram:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

Šajā gadījumā pakāpes bāze ir skaitlis "8", eksponents ir skaitlis "4", pakāpes vērtība ir skaitlis "4096".

Lielākā un izplatītākā kļūda, aprēķinot grādu, ir eksponenta reizināšana ar bāzi – TĀ NAV TAISNĪBA!

Ja runa ir par pakāpi ar dabisko eksponentu, tas nozīmē, ka tikai eksponents (n) tam vajadzētu būt dabiskais skaitlis.

Par bāzi var izmantot jebkuru ciparu ciparu rindā.

Piemēram,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Matemātisku darbību, kas tiek veikta ar bāzi un eksponentu, sauc par eksponenci.

Saskaitīšana/atņemšana ir pirmā posma matemātiskā darbība, reizināšana/dalīšana ir otrā posma darbība, kāpināšana ir trešā posma matemātiskā darbība, tas ir, viena no augstākajām.

Šī matemātisko darbību hierarhija nosaka secību aprēķinā. Ja šī darbība notiek uzdevumos starp iepriekšējiem diviem, tad tā tiek veikta vispirms.

Piemēram:

15 + 6 *2 2 = 39

AT šis piemērs vispirms jāpaaugstina 2 līdz jaudai, tas ir

tad reiziniet rezultātu ar 6, tas ir

Grāds ar naturālo rādītāju tiek izmantots ne tikai konkrētiem aprēķiniem, bet arī apzīmējumu ērtībai lieli cipari. Šajā gadījumā tiek izmantots arī jēdziens "standarta numura forma". Šis apzīmējums nozīmē noteikta skaitļa reizināšanu no 1 līdz 9 ar pakāpju bāzi, kas vienāda ar 10 ar kādu eksponentu.

piemēram, lai ierakstītu Zemes rādiusu standarta forma izmantojiet šādu apzīmējumu:

6400000 m = 6,4 x 10 6 m,

un, piemēram, Zemes masu raksta šādi:

pakāpes īpašības

Lai atvieglotu piemēru risināšanu ar grādiem, ir jāzina to galvenās īpašības:

1. Ja nepieciešams reizināt divas jaudas, kurām ir vienāda bāze, tad šajā gadījumā bāze ir jāatstāj nemainīga un jāpievieno rādītāji.

a n * a m = a n+m

Piemēram:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Ja ir nepieciešams sadalīt divus grādus, kuriem ir vienāda bāze, tad šajā gadījumā bāze ir jāatstāj nemainīga, un rādītāji jāatņem. Lūdzu, ņemiet vērā, ka operācijām ar pakāpēm ar naturālo eksponentu dividendes eksponentam ir jābūt lielākam par dalītāja eksponentu. Pretējā gadījumā šīs darbības koeficients būs skaitlis ar negatīvu eksponentu.

a n / a m = a n-m

Piemēram,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Ja ir nepieciešams palielināt vienu jaudu uz otru, rezultāta bāze paliek tāds pats skaitlis, un eksponenti tiek reizināti.

(a n) m = a n*m

Piemēram,

4. Ja ir nepieciešams paaugstināt patvaļīgu skaitļu reizinājumu līdz noteiktai pakāpei, tad mēs varam izmantot noteiktu sadalījuma likumu, kurā mēs iegūstam dažādu bāzu reizinājumu vienā un tajā pašā pakāpē.

(a * b) m = a m * b m

Piemēram,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Līdzīgu īpašību var izmantot, lai sadalītu spēkus, citiem vārdiem sakot, lai palielinātu parasto dubultnieku par spēku.

(a / b) m = a m / b m

6. Jebkurš skaitlis, kas tiek palielināts līdz eksponentam vienāds ar vienu, vienāds ar sākotnējo skaitli.

a 1 = a

Piemēram,

7. Palielinot jebkuru skaitli līdz pakāpei, kura eksponents ir nulle, šī aprēķina rezultāts vienmēr būs viens.

un 0 = 1

piemēram,

es Darbs n faktori, no kuriem katrs ir vienāds ar a sauca n-skaitļa pakāpe a un apzīmēts an.

Piemēri. Uzrakstiet produktu kā grādu.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+ppk-ppkkk.

Lēmums.

1) mmmm=m 4, jo pēc pakāpes definīcijas četru faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar m, gribas m ceturtais spēks.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5 5 5 5 ccc=5 4 c 3; 4) ppkk+ppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3 .

II. Darbību, ar kuru tiek atrasts vairāku vienādu faktoru reizinājums, sauc par eksponenci. Skaitli, kas tiek paaugstināts līdz pakāpei, sauc par jaudas bāzi. Skaitli, kas norāda uz kādu jaudu bāze ir pacelta, sauc par eksponentu. Tātad, an- grāds, a- grāda bāze n- eksponents. Piemēram:

2 3 — tas ir grāds. Numurs 2 - pakāpes bāze, eksponents ir vienāds ar 3 . Grāda vērtība 2 3 vienāds 8, kā 2 3 = 2 2 2 = 8.

Piemēri. Uzrakstiet šādas izteiksmes bez eksponenta.

5) 4 3 ; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3 -b 3; 8) 2a 4 + 3b 2 .

Lēmums.

5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III. un 0 =1 Jebkurš skaitlis (izņemot nulli) līdz nullei ir vienāds ar vienu. Piemēram, 25 0 =1.
IV. a 1 = aJebkurš skaitlis ar pirmo pakāpi ir vienāds ar sevi.

v. a m∙ a n= a m + n Reizinot pilnvaras ar tādi paši pamatojumi bāze ir atstāta tā pati, un indikatori saskaitīt.

Piemēri. Vienkāršot:

9) a a 3 a 7; 10) b 0 + b 2 b 3; 11) c 2 c 0 c c 4 .

Lēmums.

9) a 3 un 7=a 1+3+7 =a 11; 10) b 0 + b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 \u003d c 2+1+4 \u003d c 7 .

VI. a m: a n= a m - nDalot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, bāze paliek nemainīga, un dalītāja eksponents tiek atņemts no dividendes eksponenta.

Piemēri. Vienkāršot:

12) a 8: a 3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .

12) a 8: a 3=a 8-3 =a 5; 13) m11:m4=m 11-4 =m 7; četrpadsmit ) 5 6:5 4 =5 2 = 5 5 = 25.

VII. (a m) n= amn Palielinot jaudu līdz pakāpei, bāze paliek nemainīga, un eksponenti tiek reizināti.

Piemēri. Vienkāršot:

15) (a 3) 4 ; 16) (s 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3 4 =a 12; 16) (c) 5) 2=c 5 2 = c 10 .

Piezīme, kas, tā kā produkts nemainās no faktoru permutācijas, tad:

15) (a 3) 4 = (a 4) 3; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

Ves II. (a ∙ b) n =a n ∙ b n Paaugstinot produktu līdz jaudu, katrs no faktoriem tiek paaugstināts līdz šai pakāpei.

§ 1 Grāds ar naturālo eksponentu

Atcerēsimies tādu mums zināmu darbību kā vairāku vienādu terminu pievienošanu. Piemēram, 5 + 5 + 5. Matemātiķis aizstās šādu ierakstu ar īsāku:

5 ∙ 3. Vai 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 tiks rakstīts kā 7 ∙ 6

Un rakstot a + a + a + ... + a (kur n termini a) - netiks rakstīts vispār, bet rakstīs a ∙ n. Tādā pašā veidā matemātiķis ilgi nerakstīs vairāku identisku faktoru reizinājumu. Produkts 2 ∙ 2 ∙ 2 tiks rakstīts kā 23 (2 līdz trešajai pakāpei). Un reizinājums 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 kā 46 (4 līdz sestajai pakāpei). Bet, ja nepieciešams, varat aizstāt īsu ierakstu ar garāku. Piemēram, 74 (no 7 līdz ceturtajai pakāpei) tiek rakstīts kā 7∙7∙7∙7. Tagad dosim definīciju.

Apzīmējums an (kur n ir naturāls skaitlis) ir n faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar a.

Pats ieraksts an tiek saukts par skaitļa a pakāpi, skaitlis a ir pakāpes bāze, skaitlis n ir eksponents.

Apzīmējumu an var lasīt kā "a līdz n pakāpei" vai kā "a līdz en pakāpei". Ierakstus a2 (a otrā pakāpē) var nolasīt kā "a kvadrātā", bet ierakstu a3 (a trešajā pakāpē) var nolasīt kā "kubu". Vēl viens īpašs gadījums ir grāds ar eksponentu 1. Šeit ir jāņem vērā sekojošais:

Skaitļa a pakāpe ar eksponentu 1 ir pats skaitlis. Tie. a1 = a.

Jebkurš 1. jauda ir 1.

Tagad apskatīsim dažas pilnvaras ar 10. bāzi.

Vai esat ievērojuši, ka desmit pakāpes ir viens ar tikpat nullēm kā eksponents? Kopumā 10n = 100..0 (kur apzīmējumā ir n nulles).

§ 2 Piemēri par nodarbības tēmu

Piemērs 1. Ierakstiet reizinājumu (-2)∙(-2)∙(-2)∙(-2) kā pakāpju.

Tā kā ir 4 identiski faktori, no kuriem katrs ir vienāds ar -2, mums ir apzīmējums (-2)4.

Piemērs2. Aprēķināt 1.52.

Indekss 2 saka, ka mums ir jāatrod divu vienādu faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar 1,5. Tie. aprēķiniet reizinājumu 1,5∙1,5 = 2,25.

Piemērs 3. Aprēķiniet reizinājumu 102 ∙ (-1)3.

Vispirms mēs aprēķinām 102 = 100. Tad mēs aprēķinām (-1)3 = -1. Un visbeidzot, reiziniet ar 100 un -1. Mēs saņemam -100.

Izmantotās literatūras saraksts:

1. Mordkovičs A.G., Algebra 7. klase 2 daļās, 1. daļa, Mācību grāmata izglītības iestādēm / A.G. Mordkovičs. - 10. izdevums, pārstrādāts - Maskava, "Mnemosyne", 2007. gads
2. Mordkovičs A.G., Algebra 7. klase 2 daļās, 2. daļa, Uzdevumu grāmata izglītības iestādēm / [A.G. Mordkovičs un citi]; rediģēja A.G. Mordkovičs - 10. izdevums, pārstrādāts - Maskava, "Mnemosyne", 2007
3. VIŅA. Tulčinskaja, algebra 7. klase. Blitz aptauja: ceļvedis izglītības iestāžu audzēkņiem, 4.izdevums, labots un papildināts, Maskava, Mnemozina, 2008.g.
4. Aleksandrova L.A., Algebra 7. klase. Tematisks verifikācijas darbs iekšā jauna forma izglītības iestāžu audzēkņiem, rediģēja A.G. Mordkovičs, Maskava, "Mnemosyne", 2011
5. Aleksandrova L.A. Algebra 7. klase. Patstāvīgais darbs izglītības iestāžu audzēkņiem, redakcijā A.G. Mordkovičs - 6. izdevums, stereotipisks, Maskava, "Mnemosyne", 2010

Pēc skaitļa pakāpes noteikšanas ir loģiski runāt pakāpes īpašības. Šajā rakstā mēs sniegsim skaitļa pakāpes pamatīpašības, vienlaikus pieskaroties visiem iespējamiem eksponentiem. Šeit mēs sniegsim visu pakāpes īpašību pierādījumus, kā arī parādīsim, kā šīs īpašības tiek izmantotas, risinot piemērus.

Lapas navigācija.

Pakāpju īpašības ar naturālajiem rādītājiem

Pēc pakāpes definīcijas ar naturālo eksponentu a n pakāpe ir n faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar a. Pamatojoties uz šo definīciju, un izmantojot reizināšanas īpašības reāli skaitļi , mēs varam iegūt un pamatot sekojošo pakāpes īpašības ar naturālo eksponentu:

1. pakāpes galvenā īpašība a m ·a n =a m+n , tās vispārinājums ;
2. parciālo pakāpju īpašība ar vienādām bāzēm a m:a n =a m−n ;
3. produkta pakāpes īpašība (a b) n =a n b n , tās paplašinājums ;
4. koeficients īpašums natūrā (a:b) n =a n:b n ;
5. paaugstināšana (a m) n =a m n , tās vispārinājums (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
6. grādu salīdzināšana ar nulli:
   • ja a>0 , tad a n >0 jebkuram naturālam n ;
   • ja a=0, tad a n=0;
   • ja<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0, ja a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. ja a un b ir pozitīvi skaitļi un a
8. ja m un n ir tādi naturāli skaitļi, ka m>n , tad pie 0 0 nevienādība a m >a n ir patiesa.

Mēs nekavējoties atzīmējam, ka visas rakstiskās vienādības ir identisks noteiktos apstākļos, un to labās un kreisās daļas var tikt nomainītas. Piemēram, galvenā īpašība daļai a m a n = a m + n ar izteicienu vienkāršošana bieži lieto formā a m+n = a m a n .

Tagad aplūkosim katru no tiem sīkāk.

Sāksim ar divu pakāpju ar vienādām bāzēm reizinājuma īpašību, ko sauc grāda galvenais īpašums: jebkuram reālam skaitlim a un jebkuriem naturāliem skaitļiem m un n vienādība a m ·a n =a m+n ir patiesa.

Pierādīsim grāda galveno īpašību. Pēc pakāpes definīcijas ar naturālo eksponentu pakāpju reizinājumu ar vienādām formas a m a n bāzēm var uzrakstīt kā reizinājumu. Pateicoties reizināšanas īpašībām, iegūto izteiksmi var uzrakstīt kā , un šis reizinājums ir a pakāpe ar naturālo eksponentu m+n , tas ir, a m+n . Tas pabeidz pierādījumu.

Sniegsim piemēru, kas apstiprina grāda galveno īpašību. Ņemsim grādus ar vienādām bāzēm 2 un naturālajām pakāpēm 2 un 3, atbilstoši pakāpes galvenajai īpašībai varam uzrakstīt vienādību 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Pārbaudīsim tā derīgumu, kam mēs aprēķinām izteiksmju 2 2 · 2 3 un 2 5 vērtības. Veicot kāpināšanu, mēs esam 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 un 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, jo tiek iegūtas vienādas vērtības, tad vienādība 2 2 2 3 \u003d 2 5 ir pareiza, un tā apstiprina grāda galveno īpašību.

Pakāpes galveno īpašību, pamatojoties uz reizināšanas īpašībām, var vispārināt ar trīs vai vairāku pakāpju reizinājumu ar vienādām bāzēm un naturālajiem eksponentiem. Tātad jebkuram naturālu skaitļu skaitam k n 1 , n 2 , …, n k vienādība a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Piemēram, (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Jūs varat pāriet uz nākamo grādu īpašību ar dabisku indikatoru - daļēju pilnvaru īpašums ar vienādiem pamatiem: jebkuram reālam skaitlim, kas nav nulle, un patvaļīgiem naturāliem skaitļiem m un n, kas apmierina nosacījumu m>n , vienādība a m:a n =a m−n ir patiesa.

Pirms sniegt pierādījumus par šo īpašumu, pārrunāsim izziņas papildu nosacījumu nozīmi. Nosacījums a≠0 nepieciešams, lai izvairītos no dalīšanas ar nulli, jo 0 n =0, un, iepazīstoties ar dalīšanu, vienojāmies, ka ar nulli dalīt nav iespējams. Nosacījums m>n tiek ieviests, lai mēs netiktu tālāk par naturālajiem eksponentiem. Patiešām, m>n eksponents a m-n ir naturāls skaitlis, pretējā gadījumā tas būs nulle (kas notiek m-n ) vai negatīvs skaitlis(kas notiek, kad m

Pierādījums. Daļas galvenā īpašība ļauj uzrakstīt vienādību a m−n a n =a (m−n)+n =a m. No iegūtās vienādības a m−n ·a n =a m un no tā izriet, ka m−n ir a m un a n pakāpju koeficients. Tas pierāda daļēju pilnvaru īpašību ar vienādām bāzēm.

Ņemsim piemēru. Ņemsim divus grādus ar vienādām bāzēm π un naturālajiem eksponentiem 5 un 2, pakāpes aplūkotā īpašība atbilst vienādībai π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Tagad apsveriet produkta pakāpes īpašums: jebkuru divu reālu skaitļu a un b reizinājuma dabiskā pakāpe n ir vienāda ar pakāpju a n un b n reizinājumu, tas ir, (a b) n =a n b n .

Patiešām, pēc pakāpes definīcijas ar naturālo eksponentu mums tas ir . Pēdējo reizinājumu, pamatojoties uz reizināšanas īpašībām, var pārrakstīt kā , kas ir vienāds ar a n b n .

Šeit ir piemērs: .

Šī īpašība attiecas uz trīs vai vairāku faktoru reizinājuma pakāpi. Tas ir, k faktoru reizinājuma dabiskās jaudas īpašība n ir uzrakstīta kā (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

Skaidrības labad mēs parādām šo īpašumu ar piemēru. Trīs faktoru reizinājumam ar pakāpju 7 mums ir .

Nākamais īpašums ir dabas īpašums: reālo skaitļu a un b , b≠0 attiecība pret naturālo pakāpju n ir vienāda ar pakāpju a n un b n koeficientu, tas ir, (a:b) n =a n:b n .

Pierādīšanu var veikt, izmantojot iepriekšējo īpašumu. Tātad (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, un vienādība (a:b) n b n =a n nozīmē, ka (a:b) n ir a n koeficients, kas dalīts ar b n .

Uzrakstīsim šo rekvizītu, izmantojot konkrētu skaitļu piemēru: .

Tagad parunāsim paaugstināšanas īpašība: jebkuram reālam skaitlim a un jebkuriem naturāliem skaitļiem m un n pakāpē a m līdz pakāpei n ir vienāda ar a pakāpju ar eksponentu m·n , tas ir, (a m) n =a m·n .

Piemēram, (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6 .

Jaudas īpašības pakāpē pierādījums ir šāda vienādību ķēde: .

Aplūkojamo īpašumu var paplašināt līdz pakāpei pakāpes ietvaros un tā tālāk. Piemēram, jebkuriem naturāliem skaitļiem p, q, r un s, vienādība . Lai iegūtu lielāku skaidrību, šeit ir piemērs ar konkrētiem skaitļiem: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Atliek pakavēties pie pakāpju salīdzināšanas īpašībām ar dabisko eksponentu.

Mēs sākam, pierādot nulles un pakāpes salīdzināšanas īpašību ar naturālo eksponentu.

Vispirms pamatosim, ka a n >0 jebkuram a>0 .

Divu pozitīvu skaitļu reizinājums ir pozitīvs skaitlis, kā izriet no reizināšanas definīcijas. Šis fakts un reizināšanas īpašības ļauj apgalvot, ka jebkura skaita pozitīvu skaitļu reizināšanas rezultāts arī būs pozitīvs skaitlis. Un jauda a ar naturālo eksponentu n pēc definīcijas ir n faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar a. Šie argumenti ļauj mums apgalvot, ka jebkurai pozitīvai bāzei a n pakāpe ir pozitīvs skaitlis. Pamatojoties uz pierādīto īpašību 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 un .

Ir pilnīgi skaidrs, ka jebkuram naturālam n ar a=0 a n pakāpe ir nulle. Patiešām, 0 n =0·0·…·0=0. Piemēram, 0 3 = 0 un 0 762 = 0 .

Pāriesim pie negatīvām bāzēm.

Sāksim ar gadījumu, kad eksponents ir pāra skaitlis, apzīmē to kā 2 m , kur m ir naturāls skaitlis. Tad . Katram no formas a·a reizinājumiem ir vienāds ar skaitļu a un a moduļu reizinājumu, tāpēc ir pozitīvs skaitlis. Tāpēc arī produkts būs pozitīvs. un grāds a 2 m . Šeit ir piemēri: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 un .

Visbeidzot, ja a bāze ir negatīvs skaitlis un eksponents ir nepāra skaitlis 2 m−1, tad . Visi reizinājumi a·a ir pozitīvi skaitļi, šo pozitīvo skaitļu reizinājums arī ir pozitīvs, un to reizinot ar atlikušo negatīvo skaitli a iegūst negatīvu skaitli. Sakarā ar šo īpašību (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Mēs pievēršamies īpašībai salīdzināt grādus ar tiem pašiem naturālajiem eksponentiem, kam ir šāds formulējums: no diviem grādiem ar vienādiem naturālajiem eksponentiem n ir mazāks par to, kura bāze ir mazāka, un vairāk par to, kuras bāze ir lielāka. Pierādīsim to.

Nevienlīdzība a n nevienādību īpašības nevienlīdzība tiek pierādīta formā a n .

Atliek pierādīt pēdējo no uzskaitītajām pilnvaru īpašībām ar dabiskajiem eksponentiem. Formulēsim to. No diviem grādiem ar naturālajiem rādītājiem un vienādām pozitīvajām bāzēm, mazāk par vienu, grāds ir lielāks, kura rādītājs ir mazāks; un no diviem grādiem ar dabiskajiem rādītājiem un vienādām bāzēm, kas ir lielākas par vienu, pakāpe, kuras rādītājs ir lielāks, ir lielāks. Mēs vēršamies pie šī īpašuma pierādījuma.

Pierādīsim, ka m>n un 0 0 sākotnējā nosacījuma m>n dēļ, no kā izriet, ka pie 0

Atliek pierādīt īpašuma otro daļu. Pierādīsim, ka m>n un a>1 gadījumā a m >a n ir patiess. Atšķirība a m −a n pēc n izņemšanas no iekavām iegūst formu a n ·(a m−n −1) . Šis reizinājums ir pozitīvs, jo a>1 a n pakāpe ir pozitīvs skaitlis, un starpība a m-n -1 ir pozitīvs skaitlis, jo m-n>0 sākotnējā nosacījuma dēļ, un, ja a>1, m-n pakāpe ir lielāka par vienu . Tāpēc a m − a n >0 un a m >a n , kas bija jāpierāda. Šo īpašību ilustrē nevienlīdzība 3 7 >3 2 .

Pakāpju īpašības ar veseliem eksponentiem

Tā kā pozitīvi veseli skaitļi ir naturāli skaitļi, tad visas pakāpju īpašības ar pozitīviem veseliem skaitļiem precīzi sakrīt ar pakāpju īpašībām ar naturālajiem eksponentiem, kas uzskaitīti un pierādīti iepriekšējā punktā.

Pakāpi ar negatīvu veselu eksponentu, kā arī pakāpi ar nulles eksponentu mēs definējām tā, lai visas pakāpes īpašības ar naturālajiem eksponentiem, kas izteiktas ar vienādībām, paliktu spēkā. Tāpēc visas šīs īpašības ir spēkā gan nulles eksponentiem, gan negatīviem eksponentiem, savukārt, protams, grādu bāzes nav nulles.

Tātad jebkuriem reāliem un nulles skaitļiem a un b, kā arī jebkuriem veseliem skaitļiem m un n ir taisnība grādu īpašības ar veseliem eksponentiem:

1. a m a n \u003d a m + n;
2. a m: a n = a m−n ;
3. (a b) n = a n b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n = a m n ;
6. ja n ir pozitīvs vesels skaitlis, a un b ir pozitīvi skaitļi, un a b-n;
7. ja m un n ir veseli skaitļi un m>n , tad pie 0 1 nevienādība a m >a n ir izpildīta.

Ja a=0, pakāpēm a m un a n ir jēga tikai tad, ja gan m, gan n ir pozitīvi veseli skaitļi, tas ir, naturāli skaitļi. Tātad tikko uzrakstītās īpašības ir spēkā arī gadījumos, kad a=0 un skaitļi m un n ir pozitīvi veseli skaitļi.

Nav grūti pierādīt katru no šīm īpašībām, šim nolūkam pietiek izmantot pakāpes definīcijas ar naturālu un veselu eksponentu, kā arī darbību īpašības ar reāliem skaitļiem. Piemēram, pierādīsim, ka jaudas īpašība attiecas gan uz pozitīviem veseliem skaitļiem, gan uz nepozitīviem veseliem skaitļiem. Lai to izdarītu, mums jāparāda, ka, ja p ir nulle vai naturāls skaitlis un q ir nulle vai naturāls skaitlis, tad vienādības (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) un (a-p)-q =a (-p) (-q). Darīsim to.

Pozitīvajiem p un q vienādība (a p) q =a p·q tika pierādīta iepriekšējā apakšnodaļā. Ja p=0, tad mums ir (a 0) q =1 q =1 un a 0 q =a 0 =1, no kurienes (a 0) q =a 0 q . Līdzīgi, ja q=0, tad (a p) 0 =1 un a p 0 =a 0 =1, no kurienes (a p) 0 =a p 0 . Ja gan p=0, gan q=0, tad (a 0) 0 =1 0 =1 un a 0 0 =a 0 =1, no kurienes (a 0) 0 =a 0 0.

Tagad pierādīsim, ka (a −p) q =a (−p) q . Pēc pakāpes definīcijas ar negatīvu veselu eksponentu , tad . Pēc koeficienta īpašības pakāpē mums ir . Tā kā 1 p =1·1·…·1=1 un , tad . Pēdējā izteiksme pēc definīcijas ir formas a −(p q) pakāpe, kuru, pamatojoties uz reizināšanas noteikumiem, var uzrakstīt kā (−p) q .

Līdzīgi .

Un .

Ar to pašu principu visas pārējās pakāpes īpašības var pierādīt ar veselu eksponentu, kas uzrakstīts vienādību formā.

Pierakstīto īpašību priekšpēdējā ir vērts pakavēties pie nevienādības a −n >b −n pierādījuma, kas ir patiess jebkuram negatīvam veselam skaitlim −n un jebkuram pozitīvam a un b, kuram nosacījums a . Tā kā ar nosacījumu a 0 . Produkts a n ·b n ir pozitīvs arī kā pozitīvo skaitļu a n un b n reizinājums. Tad iegūtā daļa ir pozitīva kā pozitīvo skaitļu b n − a n un a n b n koeficients. Tātad, no kurienes a −n >b −n , kas bija jāpierāda.

Pēdējā pakāpju īpašība ar veseliem eksponentiem tiek pierādīta tāpat kā analoģiskā pakāpju īpašība ar naturālajiem eksponentiem.

Pakāpju īpašības ar racionāliem eksponentiem

Mēs definējām pakāpi ar daļēju eksponentu, paplašinot pakāpes īpašības ar veselu eksponentu. Citiem vārdiem sakot, grādiem ar daļskaitļa eksponentiem ir tādas pašas īpašības kā grādiem ar veseliem eksponentiem. Proti:

Pakāpju īpašību pierādījums ar daļskaitļa eksponentiem balstās uz pakāpes definīciju ar daļskaitli, uz un uz pakāpes īpašībām ar veselu eksponentu. Sniegsim pierādījumus.

Pēc pakāpes definīcijas ar daļēju eksponentu un , tad . Aritmētiskās saknes īpašības ļauj uzrakstīt šādas vienādības. Turklāt, izmantojot pakāpes īpašību ar veselu eksponentu, mēs iegūstam , no kurienes pēc pakāpes definīcijas ar daļēju eksponentu mēs iegūstam , un iegūtās pakāpes eksponentu var pārvērst šādi: . Tas pabeidz pierādījumu.

Otrā pakāpju īpašība ar daļējiem eksponentiem tiek pierādīta tieši tādā pašā veidā:

Pārējās vienādības tiek pierādītas ar līdzīgiem principiem:

Pievēršamies nākamā īpašuma pierādījumam. Pierādīsim, ka jebkuram pozitīvam a un b , a b p . Racionālo skaitli p rakstām kā m/n , kur m ir vesels skaitlis un n ir naturāls skaitlis. Nosacījumi lpp<0 и p>0 šajā gadījumā būs līdzvērtīgs nosacījumiem m<0 и m>0 attiecīgi. Ja m>0 un a

Tāpat par m<0 имеем a m >b m , no kurienes , tas ir, un a p >b p .

Atliek pierādīt pēdējo no uzskaitītajiem īpašumiem. Pierādīsim, ka racionāliem skaitļiem p un q , p>q pie 0 0 – nevienādība a p >a q . Mēs vienmēr varam samazināt racionālos skaitļus p un q līdz kopsaucējam, iegūsim parastās daļskaitļus un, kur m 1 un m 2 ir veseli skaitļi, bet n ir naturāls skaitlis. Šajā gadījumā nosacījums p>q atbildīs nosacījumam m 1 >m 2, kas izriet no . Pēc tam pēc pakāpju salīdzināšanas ar vienādām bāzēm un naturālajiem eksponentiem pie 0 1 – nevienādība a m 1 >a m 2 . Šīs nevienlīdzības sakņu īpašību ziņā var pārrakstīt attiecīgi kā un . Un pakāpes definīcija ar racionālu eksponentu ļauj pāriet uz nevienādībām un attiecīgi. No tā mēs izdarām galīgo secinājumu: p>q un 0 0 – nevienādība a p >a q .

Pakāpju īpašības ar iracionāliem eksponentiem

No tā, kā tiek definēts grāds ar iracionālu eksponentu, var secināt, ka tam piemīt visas pakāpes īpašības ar racionāliem eksponentiem. Tātad jebkuram a>0 , b>0 un iracionālajiem skaitļiem p un q ir taisnība grādu īpašības ar iracionāliem eksponentiem:

1. a p a q = a p + q;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. jebkuriem pozitīviem skaitļiem a un b , a 0 nevienlīdzība a p b p ;
7. neracionāliem skaitļiem p un q , p>q pie 0 0 – nevienādība a p >a q .

No tā mēs varam secināt, ka pakāpēm ar jebkuriem reāliem eksponentiem p un q pie a>0 ir vienādas īpašības.

Bibliogrāfija.

• Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātikas Zh mācību grāmata 5 šūnām. izglītības iestādēm.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 7 šūnām. izglītības iestādēm.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. izglītības iestādēm.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 9 šūnām. izglītības iestādēm.
• Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. uc Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11.klasei.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem).

Definīcija būs šāda formula grādi ar dabisku indikatoru(a ir eksponenta un atkārtotā faktora bāze, un n ir eksponents, kas parāda, cik reižu faktors atkārtojas):

Šī izteiksme nozīmē, ka skaitļa a jauda ar naturālo indeksu n ir n faktoru reizinājums, ja katrs no faktoriem ir vienāds ar a.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - grāda bāze,

5 — eksponents,

1419857 ir grādu vērtība.

Eksponents ar nulles eksponentu ir 1 , ja \neq 0 :

a^0=1 .

Piemēram: 2^0=1

Ja nepieciešams ierakstīt lielu skaitu, parasti tiek izmantota jauda 10.

Piemēram, viens no senākajiem dinozauriem uz Zemes dzīvoja apmēram pirms 280 miljoniem gadu. Viņa vecumu raksta šādi: 2,8 \cdot 10^8 .

Katru skaitli, kas ir lielāks par 10, var uzrakstīt kā \cdot 10^n , ja vien 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют skaitļa standarta forma.

Šādu skaitļu piemēri: 6978=6,978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5.

Varat teikt gan “a uz n-to pakāpi”, gan “n-to skaitļa a pakāpi” un “a līdz n pakāpei”.

4^5 — "četri līdz 5 pakāpei" vai "4 līdz piektajai pakāpei" vai arī varat teikt "skaitļa 4 piektā pakāpe"

Šajā piemērā 4 ir pakāpes bāze, 5 ir eksponents.

Tagad mēs sniedzam piemēru ar daļskaitļiem un negatīviem skaitļiem. Lai izvairītos no neskaidrībām, iekavās ir ierasts rakstīt citas bāzes, nevis naturālos skaitļus:

(7,38)^2 , \left(\frac 12 \right)^7, (-1)^4 utt.

Ievērojiet arī atšķirību:

(-5)^6 — nozīmē negatīva skaitļa –5 ar naturālo eksponentu 6 pakāpju.

5^6 - atbilst pretējam skaitlim 5^6 .

Pakāpju īpašības ar naturālo eksponentu

Galvenā grāda īpašība

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

Bāze paliek nemainīga, bet eksponenti tiek pievienoti.

Piemēram: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Daļēju pilnvaru īpašums ar vienādiem pamatiem

a^n: a^k=a^(n-k), ja n > k .

Eksponenti tiek atņemti, bet bāze paliek nemainīga.

Šis ierobežojums n > k tiek ieviests, lai nepārsniegtu dabiskos eksponentus. Patiešām, ja n > k, eksponents a^(n-k) būs naturāls skaitlis, pretējā gadījumā tas būs vai nu negatīvs skaitlis (k< n ), либо нулем (k-n ).

Piemēram: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Jaudas paaugstināšanas īpašība

(a^n)^k=a^(nk)

Bāze paliek nemainīga, tiek reizināti tikai eksponenti.

Piemēram: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

Produkta paaugstināšanas īpašība

Katrs koeficients tiek palielināts līdz pakāpei n.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Piemēram: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Daļas paaugstināšanas īpašība

\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0

Gan daļskaitļa skaitītājs, gan saucējs tiek palielināts līdz pakāpei. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)