Belgorodas Valsts universitāte
KRĒSLS algebra, skaitļu teorija un ģeometrija
Darba tēma: Eksponenciālo spēku vienādojumi un nevienādības.
Diplomdarbs Fizikas un matemātikas fakultātes students
Pārraugs:
______________________________
Recenzents: ___________________________________
________________________
Belgoroda. 2006. gads
| Ievads | 3 | ||
| Priekšmets es | Literatūras analīze par pētāmo tēmu. | ||
| Priekšmets II. | Funkcijas un to īpašības, ko izmanto eksponenciālo pakāpju vienādojumu un nevienādību risināšanā. | ||
| I.1. | Jaudas funkcija un tās īpašības. | ||
| I.2. | Eksponenciālā funkcija un tās īpašības. | ||
| Priekšmets III. | Eksponenciālo un jaudas vienādojumu risinājums, algoritms un piemēri. | ||
| Priekšmets IV. | Eksponenciālo-jaudu nevienādību risināšana, risinājuma plāns un piemēri. | ||
| Priekšmets v. | Pieredze nodarbību vadīšanā ar skolēniem par tēmu: "Eksponenciālo spēku vienādojumu un nevienādību risinājums." | ||
| v. 1. | Mācību materiāls. | ||
| v. 2. | Uzdevumi patstāvīgam risinājumam. | ||
| Secinājums. | Secinājumi un piedāvājumi. | ||
| Bibliogrāfija. | |||
| Lietojumprogrammas | |||
Ievads.
"... prieks redzēt un saprast..."
A. Einšteins.
Šajā darbā es centos nodot savu pieredzi, strādājot par matemātikas skolotāju, vismaz zināmā mērā nodot savu attieksmi pret tās mācīšanu - cilvēka lietu, kurā un ir pārsteidzoši savijas. matemātikas zinātne, un pedagoģija, un didaktika, un psiholoģija, un pat filozofija.
Man bija iespēja strādāt ar bērniem un absolventiem, ar bērniem, kas stāvēja pie intelektuālās attīstības stabiem: tiem, kuri bija reģistrēti pie psihiatra un kurus patiešām interesēja matemātika.
Man bija jāatrisina daudzas metodiskas problēmas. Mēģināšu runāt par tiem, kurus izdevās atrisināt. Bet vēl vairāk - tas nebija iespējams, un tajos, kas šķiet atrisināti, parādās jauni jautājumi.
Taču vēl svarīgākas par pašu pieredzi ir skolotājas pārdomas un šaubas: kāpēc ir tieši tā, šī pieredze?
Un vasara tagad ir citādāka, un izglītības kārta ir kļuvusi interesantāka. “Zem Jupiteriem” vairs nav mītiska meklējumi optimāla sistēma mācot "visi un viss", un pats bērns. Bet tad - ar nepieciešamību - un skolotājs.
Skolas algebras kursā un analīzes sākumā, 10. - 11. klase, kārtojot eksāmenu vidusskolas kursam un iestājeksāmenos universitātēs, ir vienādojumi un nevienādības, kuru pamatā ir nezināmais un eksponenti - tie ir eksponenciāli. -jaudu vienādojumi un nevienādības.
Viņiem skolā tiek pievērsta maza uzmanība, mācību grāmatās praktiski nav uzdevumu par šo tēmu. Tomēr to risināšanas tehnikas apgūšana, man šķiet, ir ļoti noderīga: tas palielina garīgo un Radošās prasmes studenti, mūsu priekšā paveras pilnīgi jauni apvāršņi. Risinot problēmas, skolēni apgūst pirmās prasmes pētnieciskais darbs, viņu matemātiskā kultūra ir bagātināta, viņu spēja loģiskā domāšana. Skolēniem veidojas tādas personības īpašības kā mērķtiecība, mērķtiecība, patstāvība, kas viņiem noderēs turpmākajā dzīvē. Un arī notiek mācību materiāla atkārtošana, paplašināšana un dziļa asimilācija.
Es sāku strādāt pie šīs sava promocijas darba pētījuma tēmas ar kursa darba rakstīšanu. Kuras gaitā padziļināti pētīju un analizēju matemātisko literatūru par šo tēmu, noskaidroju piemērotāko metodi eksponenciālo spēku vienādojumu un nevienādību risināšanai.
Tas slēpjas apstāklī, ka papildus vispārpieņemtajai pieejai, risinot eksponenciālo pakāpju vienādojumus (bāze tiek ņemta lielāka par 0) un risinot tās pašas nevienādības (bāze tiek ņemta lielāka par 1 vai lielāka par 0, bet mazāka par 1), tiek ņemti vērā arī gadījumi, kad bāzes ir negatīvas, ir 0 un 1.
Studentu rakstisko eksāmenu darbu analīze parāda, ka eksponenciālā jaudas funkcijas argumenta negatīvās vērtības jautājuma atspoguļojuma trūkums skolu mācību grāmatās viņiem rada vairākas grūtības un rada kļūdas. Un viņiem ir problēmas arī iegūto rezultātu sistematizācijas stadijā, kur, pārejot uz vienādojumu - sekas vai nevienlīdzība - sekas, var parādīties svešas saknes. Lai novērstu kļūdas, mēs izmantojam pārbaudi pēc sākotnējā vienādojuma jeb nevienādības un eksponenciālo jaudas vienādojumu risināšanas algoritmu vai eksponenciālo jaudas nevienādību risināšanas plānu.
Lai skolēni sekmīgi nokārtotu gala un iestājeksāmenus, manuprāt, vairāk uzmanības jāpievērš eksponenciālo-pakāpju vienādojumu un nevienādību risināšanai klasē vai papildus izvēles priekšmetos un pulciņos.
Tādējādi priekšmets , mana disertācija ir definēta šādi: "Eksponenciālo spēku vienādojumi un nevienādības."
Mērķi klātesošs darbs ir:
1. Analizējiet literatūru par šo tēmu.
2. Sniedziet pilnīgu eksponenciālo pakāpju vienādojumu un nevienādību risinājuma analīzi.
3. Sniedziet pietiekamu skaitu dažādu veidu piemēru par šo tēmu.
4. Pārbaudīt stundu, izvēles un apļa nodarbības kā tiks uztvertas piedāvātās metodes eksponenciālo pakāpju vienādojumu un nevienādību risināšanai. Sniedziet atbilstošus ieteikumus šīs tēmas izpētei.
Priekšmets mūsu pētījums ir izstrādāt paņēmienu eksponenciālo spēku vienādojumu un nevienādību risināšanai.
Pētījuma mērķis un priekšmets prasīja šādu uzdevumu risinājumu:
1. Izpētiet literatūru par tēmu: "Eksponenciālo spēku vienādojumi un nevienādības."
2. Apgūt eksponenciālo spēku vienādojumu un nevienādību risināšanas metodes.
3. Izvēlieties mācību materiālu un izstrādājiet vingrinājumu sistēmu dažādos līmeņos par tēmu: "Eksponenciālo spēku vienādojumu un nevienādību risināšana."
Promocijas darba gaitā tika analizēti vairāk nekā 20 raksti, kas veltīti dažādu metožu pielietošanai eksponenciālo spēku vienādojumu un nevienādību risināšanai. No šejienes mēs iegūstam.
Diplomdarba plāns:
Ievads.
I nodaļa. Literatūras analīze par pētāmo tēmu.
II nodaļa. Funkcijas un to īpašības, ko izmanto eksponenciālo pakāpju vienādojumu un nevienādību risināšanā.
II.1. Jaudas funkcija un tās īpašības.
II.2. Eksponenciālā funkcija un tās īpašības.
III nodaļa. Eksponenciālo un jaudas vienādojumu risinājums, algoritms un piemēri.
IV nodaļa. Eksponenciālo-jaudu nevienādību risināšana, risinājuma plāns un piemēri.
V nodaļa. Pieredze nodarbību vadīšanā ar skolēniem par šo tēmu.
1. Mācību materiāls.
2. Uzdevumi patstāvīgam risinājumam.
Secinājums. Secinājumi un piedāvājumi.
Izmantotās literatūras saraksts.
I nodaļā analizētā literatūra
Eksponenciālie vienādojumi un nevienādības ir tie vienādojumi un nevienādības, kuru eksponentā ir ietverts nezināmais.
Eksponenciālo vienādojumu risinājums bieži vien ir vienādojuma a x \u003d a b atrisināšana, kur a > 0, a ≠ 1, x ir nezināms. Šim vienādojumam ir viena sakne x \u003d b, jo ir patiesa šāda teorēma:
Teorēma. Ja a > 0, a ≠ 1 un a x 1 = a x 2, tad x 1 = x 2.
Pamatosim apsvērto apgalvojumu.
Pieņemsim, ka vienādība x 1 = x 2 nav izpildīta, t.i. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, tad eksponenciālā funkcija y \u003d a x palielinās un līdz ar to nevienādība a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. Abos gadījumos mēs ieguvām pretrunu nosacījumam a x 1 = a x 2 .
Apskatīsim vairākus uzdevumus.
Atrisiniet vienādojumu 4 ∙ 2 x = 1.
Lēmums.
Mēs rakstām vienādojumu formā 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 x = -2.
Atbilde. x = -2.
Atrisiniet vienādojumu 2 3x ∙ 3 x = 576.
Lēmums.
Tā kā 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, vienādojumu var uzrakstīt formā 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 vai formā 24 x \u003d 2.
No šejienes mēs iegūstam x = 2.
Atbilde. x = 2.
Atrisiniet vienādojumu 3 x + 1 - 2∙3 x - 2 = 25.
Lēmums.
Kreisajā pusē iekavējot kopējo koeficientu 3 x - 2, mēs iegūstam 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25,
no kurienes 3 x - 2 = 1, t.i. x - 2 = 0, x = 2.
Atbilde. x = 2.
Atrisiniet vienādojumu 3 x = 7 x.
Lēmums.
Tā kā 7 x ≠ 0, vienādojumu var uzrakstīt kā 3 x / 7 x = 1, tātad (3/7) x = 1, x = 0.
Atbilde. x = 0.
Atrisiniet vienādojumu 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0.
Lēmums.
Aizstājot 3 x \u003d a, šis vienādojums tiek reducēts uz kvadrātvienādojumu a 2 - 4a - 45 \u003d 0.
Atrisinot šo vienādojumu, mēs atrodam tā saknes: a 1 \u003d 9 un 2 \u003d -5, no kurienes 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5.
Vienādojumam 3 x \u003d 9 ir sakne 2, un vienādojumam 3 x \u003d -5 nav sakņu, jo eksponenciālā funkcija nevar iegūt negatīvas vērtības.
Atbilde. x = 2.
Lēmums eksponenciālās nevienlīdzības bieži vien ir jāatrisina nevienādības a x > a b vai a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания eksponenciālā funkcija.
Apskatīsim dažus uzdevumus.
Atrisiniet 3 x nevienādību< 81.
Lēmums.
Nevienādību rakstām formā 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, tad funkcija y \u003d 3 x palielinās.
Tāpēc par x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Tādējādi par x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Atbilde. X< 4.
Atrisiniet nevienādību 16 x +4 x - 2 > 0.
Lēmums.
Apzīmējiet 4 x \u003d t, tad mēs iegūstam kvadrātveida nevienlīdzība t2 + t-2 > 0.
Šī nevienlīdzība attiecas uz t< -2 и при t > 1.
Tā kā t = 4 x, mēs iegūstam divas nevienādības 4 x< -2, 4 х > 1.
Pirmajai nevienādībai nav atrisinājuma, jo 4 x > 0 visiem x ∈ R.
Otro nevienādību rakstām formā 4 x > 4 0 , no kurienes x > 0.
Atbilde. x > 0.
Grafiski atrisiniet vienādojumu (1/3) x = x - 2/3.
Lēmums.
1) Uzzīmēsim funkciju y \u003d (1/3) x un y \u003d x - 2/3 grafikus.
2) Pamatojoties uz mūsu attēlu, varam secināt, ka aplūkoto funkciju grafiki krustojas punktā ar abscisu x ≈ 1. Pārbaude pierāda, ka
x \u003d 1 - šī vienādojuma sakne:
(1/3) 1 = 1/3 un 1 - 2/3 = 1/3.
Citiem vārdiem sakot, mēs esam atraduši vienu no vienādojuma saknēm. 
3) Atrodiet citas saknes vai pierādiet, ka tādu nav. Funkcija (1/3) x samazinās, un funkcija y \u003d x - 2/3 palielinās. Tāpēc, ja x > 1, pirmās funkcijas vērtības ir mazākas par 1/3, bet otrās ir lielākas par 1/3; pie x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 un x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
Atbilde. x = 1.
Ņemiet vērā, ka no šīs problēmas risinājuma jo īpaši izriet, ka nevienādība (1/3) x > x – 2/3 ir izpildīta x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.
Vairākuma lēmums matemātikas uzdevumi kaut kādā veidā saistīts ar skaitlisko, algebrisko vai funkcionālo izteiksmju pārveidošanu. Tas jo īpaši attiecas uz risinājumu. USE variantos matemātikā šāda veida uzdevumi jo īpaši ietver uzdevumu C3. Mācīšanās risināt C3 uzdevumus ir svarīga ne tikai veiksmīgas darbības dēļ nokārtojot eksāmenu, bet arī tāpēc, ka šī prasme noder, apgūstot matemātikas kursu augstākajā izglītībā.
Veicot uzdevumus C3, jums ir jāizlemj Dažādi vienādojumi un nevienādības. Starp tiem ir racionāli, iracionāli, eksponenciāli, logaritmiski, trigonometriski, kas satur moduļus ( absolūtās vērtības), kā arī kombinētās. Šajā rakstā ir apskatīti galvenie eksponenciālo vienādojumu un nevienādību veidi, kā arī dažādas metodes savus lēmumus. Par cita veida vienādojumu un nevienādību risināšanu lasiet virsrakstā "" rakstos, kas veltīti C3 problēmu risināšanas metodēm no plkst. IZMANTOT opcijas matemātika.
Pirms turpināt konkrētu analīzi eksponenciālie vienādojumi un nevienādības, kā matemātikas pasniedzējam, es iesaku jums papildināt dažus teorētiskos materiālus, kas mums būs nepieciešami.
Eksponenciālā funkcija
Kas ir eksponenciāla funkcija?
Skatīšanas funkcija y = a x, kur a> 0 un a≠ 1, zvanīts eksponenciālā funkcija.
Galvenā eksponenciālās funkcijas īpašības y = a x:
Eksponenciālās funkcijas grafiks
Eksponenciālās funkcijas grafiks ir izstādes dalībnieks:
Eksponenciālo funkciju grafiki (eksponenti)
Eksponenciālo vienādojumu risinājums
indikatīvs sauc par vienādojumiem, kuros nezināmais mainīgais ir atrodams tikai jebkuru pakāpju eksponentos.
Par risinājumiem eksponenciālie vienādojumi jums jāzina un jāprot izmantot šādu vienkāršo teorēmu:
1. teorēma. eksponenciālais vienādojums a f(x) = a g(x) (kur a > 0, a≠ 1) ir līdzvērtīgs vienādojumam f(x) = g(x).
Turklāt ir lietderīgi atcerēties pamatformulas un darbības ar grādiem:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
1. piemērs Atrisiniet vienādojumu:
Lēmums: izmantojiet iepriekš minētās formulas un aizstāšanu:
Tad vienādojums kļūst:
Iegūtā kvadrātvienādojuma diskriminants ir pozitīvs:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Tas nozīmē, ka šim vienādojumam ir divas saknes. Mēs tos atrodam:
Atgriežoties pie aizstāšanas, mēs iegūstam:
Otrajam vienādojumam nav sakņu, jo eksponenciālā funkcija ir stingri pozitīva visā definīcijas jomā. Atrisināsim otro:
Ņemot vērā 1. teorēmā teikto, mēs pārejam pie ekvivalentā vienādojuma: x= 3. Tā būs uzdevuma atbilde.
Atbilde: x = 3.
2. piemērs Atrisiniet vienādojumu:
Lēmums: teritorijas ierobežojumi atļautās vērtības vienādojumam nav, jo radikālajai izteiksmei ir jēga jebkurai vērtībai x(eksponenciālā funkcija y = 9 4 -x pozitīva un nav vienāda ar nulli).
Atrisinām vienādojumu ar līdzvērtīgām transformācijām, izmantojot spēku reizināšanas un dalīšanas noteikumus:
Pēdējā pāreja tika veikta saskaņā ar 1. teorēmu.
Atbilde:x= 6.
3. piemērs Atrisiniet vienādojumu:
Lēmums: abas sākotnējā vienādojuma puses var dalīt ar 0,2 x. Šī pāreja būs līdzvērtīga, jo šī izteiksme jebkurai vērtībai ir lielāka par nulli x(eksponenciālā funkcija ir stingri pozitīva savā jomā). Tad vienādojums iegūst šādu formu:
Atbilde: x = 0.
4. piemērs Atrisiniet vienādojumu:
Lēmums: mēs vienkāršojam vienādojumu līdz elementāram ar līdzvērtīgām pārveidojumiem, izmantojot raksta sākumā dotos jaudu dalīšanas un reizināšanas noteikumus:
Abas vienādojuma puses dalot ar 4 x, tāpat kā iepriekšējā piemērā, ir līdzvērtīga transformācija, jo dotā izteiksme nevienai vērtībai nav vienāda ar nulli x.
Atbilde: x = 0.
5. piemērs Atrisiniet vienādojumu:
Lēmums: funkcija y = 3x, kas atrodas vienādojuma kreisajā pusē, palielinās. Funkcija y = —x-2/3, kas atrodas vienādojuma labajā pusē, samazinās. Tas nozīmē, ka, ja šo funkciju grafiki krustojas, tad ne vairāk kā vienā punktā. Šajā gadījumā ir viegli uzminēt, ka grafiki krustojas punktā x= -1. Citu sakņu nebūs.
Atbilde: x = -1.
6. piemērs Atrisiniet vienādojumu:
Lēmums: mēs vienkāršojam vienādojumu ar līdzvērtīgām transformācijām, visur paturot prātā, ka eksponenciālā funkcija jebkurai vērtībai ir stingri lielāka par nulli x un izmantojot produkta un daļējo jaudu aprēķināšanas noteikumus, kas norādīti raksta sākumā:
Atbilde: x = 2.
Eksponenciālo nevienādību risināšana
indikatīvs sauc par nevienādībām, kurās nezināmais mainīgais ir ietverts tikai dažu pakāpju eksponentos.
Par risinājumiem eksponenciālās nevienlīdzības nepieciešamas šādas teorēmas zināšanas:
2. teorēma. Ja a> 1, tad nevienlīdzība a f(x) > a g(x) ir līdzvērtīgs tādas pašas nozīmes nevienādībai: f(x) > g(x). Ja 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) ir ekvivalents nevienādībai ar pretēju nozīmi: f(x) < g(x).
7. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību:
Lēmums: attēlo sākotnējo nevienlīdzību formā:
Sadaliet abas šīs nevienādības daļas ar 3 2 x, un (funkcijas pozitīvās īpašības dēļ y= 3 2x) nevienlīdzības zīme nemainīsies:
Izmantosim aizstāšanu:
Tad nevienlīdzība iegūst šādu formu:
Tātad nevienlīdzības risinājums ir intervāls:
pārejot uz apgriezto aizstāšanu, mēs iegūstam:
Kreisā nevienādība, pateicoties eksponenciālās funkcijas pozitivitātei, tiek izpildīta automātiski. Izmantojot izdevību zināms īpašums logaritmu, mēs pārejam uz ekvivalento nevienādību:
Tā kā pakāpes bāze ir skaitlis, kas ir lielāks par vienu, ekvivalents (pēc teorēmas 2) būs pāreja uz šādu nevienādību:
Tātad mēs beidzot saņemam atbilde:
8. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību:
Lēmums: izmantojot spēku reizināšanas un dalīšanas īpašības, nevienādību pārrakstām formā:
Ieviesīsim jaunu mainīgo:
Ar šo aizstāšanu nevienlīdzība izpaužas šādā formā:
Daļas skaitītāju un saucēju reiziniet ar 7, iegūstam šādu ekvivalentu nevienādību:
Tātad nevienlīdzību apmierina šādas mainīgā vērtības t:
Tad, atgriežoties pie aizstāšanas, mēs iegūstam:
Tā kā pakāpes bāze šeit ir lielāka par vienu, ir ekvivalents (pēc teorēmas 2) pāriet uz nevienādību:
Beidzot saņemam atbilde:
9. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību:
Lēmums:
Mēs sadalām abas nevienlīdzības puses ar izteiksmi:
Tas vienmēr ir lielāks par nulli (jo eksponenciālā funkcija ir pozitīva), tāpēc nevienlīdzības zīme nav jāmaina. Mēs iegūstam:
t , kas atrodas intervālā:
Pārejot uz apgriezto aizstāšanu, mēs atklājam, ka sākotnējā nevienlīdzība sadalās divos gadījumos:
Pirmajai nevienādībai nav atrisinājumu eksponenciālās funkcijas pozitivitātes dēļ. Atrisināsim otro:
10. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību:
Lēmums:
Parabolas zari y = 2x+2-x 2 ir vērsti uz leju, tāpēc no augšas to ierobežo vērtība, ko tā sasniedz savā virsotnē:
Parabolas zari y = x 2 -2x+2, kas atrodas rādītājā, ir vērsti uz augšu, kas nozīmē, ka no apakšas to ierobežo vērtība, ko tas sasniedz augšpusē:
Tajā pašā laikā funkcija izrādās ierobežota no apakšas y = 3 x 2 -2x+2 vienādojuma labajā pusē. Tā sasniedz mazāko vērtību tajā pašā punktā kā parabola indeksā, un šī vērtība ir vienāda ar 3 1 = 3. Tātad sākotnējā nevienādība var būt patiesa tikai tad, ja funkcija kreisajā pusē un funkcija labajā pusē ir vērtība , vienāda ar 3 (šo funkciju diapazonu krustpunkts ir tikai šis skaitlis). Šis nosacījums ir izpildīts vienā punktā x = 1.
Atbilde: x= 1.
Lai uzzinātu, kā atrisināt eksponenciālie vienādojumi un nevienādības, jums ir pastāvīgi jāapmāca viņu risinājums. Šajā sarežģītajā jautājumā dažādi mācību līdzekļi, problēmu grāmatas priekš elementārā matemātika, konkursa uzdevumu krājumi, matemātikas nodarbības skolā, kā arī individuālas sesijas ar profesionālu pasniedzēju. Es no sirds novēlu jums veiksmi sagatavošanās procesā un izcilus rezultātus eksāmenā.
Sergejs Valerijevičs
P.S. Cienījamie viesi! Lūgums komentāros nerakstīt pieprasījumus savu vienādojumu risināšanai. Diemžēl man tam vispār nav laika. Šādi ziņojumi tiks dzēsti. Lūdzu, izlasiet rakstu. Iespējams, tajā atradīsi atbildes uz jautājumiem, kas neļāva pašam atrisināt savu uzdevumu.
un x = b ir vienkāršākais eksponenciālais vienādojums. Viņā a lielāks par nulli un a nav vienāds ar vienu.
Eksponenciālo vienādojumu risinājums
No eksponenciālās funkcijas īpašībām mēs zinām, ka tās vērtību diapazons ir ierobežots ar pozitīviem reāliem skaitļiem. Tad, ja b = 0, vienādojumam nav atrisinājumu. Tāda pati situācija notiek vienādojumā, kur b
Tagad pieņemsim, ka b>0. Ja eksponenciālā funkcijā bāze a lielāka par vienu, tad funkcija palielināsies visā definīcijas jomā. Ja eksponenciālajā funkcijā bāzei a darīts nākamais nosacījums 0 Pamatojoties uz to un izmantojot saknes teorēmu, mēs iegūstam, ka vienādojumam a x = b ir viena sakne, ja b>0 un pozitīvs a nē vienāds ar vienu. Lai to atrastu, jums ir jāattēlo b formā b = a c . Apsveriet šādu piemēru: atrisiniet vienādojumu 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 25. Apzīmēsim 25 kā 5 2, mēs iegūstam: 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 5 2 . Vai kas ir līdzvērtīgs: x 2 - 2 * x - 1 = 2. Atrisinām saņemto kvadrātvienādojums ar kādu no zināmajām metodēm. Mēs iegūstam divas saknes x = 3 un x = -1. Atbilde: 3;-1. Atrisināsim vienādojumu 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Veiksim aizstāšanu: t=2 x un iegūsim šādu kvadrātvienādojumu: t 2 — 5*t + 4 = 0. Tagad mēs atrisinām vienādojumus 2 x = 1 un 2 x = 4. Atbilde: 0;2. Vienkāršāko eksponenciālo nevienādību risinājuma pamatā ir arī pieaugošo un samazinošo funkciju īpašības. Ja eksponenciālajā funkcijā bāze a ir lielāka par vienu, tad funkcija pieaugs visā definīcijas jomā. Ja eksponenciālajā funkcijā bāzei a ir izpildīts šāds nosacījums 0 Apsveriet piemēru: atrisiniet nevienādību (0,5) (7 - 3*x)< 4. Ņemiet vērā, ka 4 = (0,5) 2 . Tad nevienlīdzība iegūst formu (0,5) (7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Mēs iegūstam: 7 - 3*x>-2. No šejienes: x<3. Atbilde: x<3. Ja nevienādībā bāze būtu lielāka par vienu, tad, atbrīvojoties no bāzes, nevienlīdzības zīme nebūtu jāmaina.
Tad ir skaidrs, ka ar būs vienādojuma a x = a c risinājums.
Mēs atrisinām šo vienādojumu ar jebkuru no zināmajām metodēm. Mēs iegūstam saknes t1 = 1 t2 = 4Eksponenciālo nevienādību risināšana