Apskatīsim tēmu par izteiksmju pārveidošanu ar pakāpēm, taču vispirms pakavēsimies pie vairākām transformācijām, kuras var veikt ar jebkādām izteiksmēm, ieskaitot spēka izteiksmes. Mēs iemācīsimies atvērt iekavas, dot līdzīgus terminus, strādāt ar bāzi un eksponentu, izmantot grādu īpašības.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kas ir spēka izteiksmes?

Skolas kursos daži cilvēki lieto frāzi "spēka izteiksmes", taču šis termins pastāvīgi atrodams kolekcijās, lai sagatavotos eksāmenam. Vairumā gadījumu šī frāze apzīmē izteiksmes, kuru ierakstos ir grādi. Tas ir tas, ko mēs atspoguļosim savā definīcijā.

1. definīcija

Spēka izpausme ir izteiksme, kas satur grādus.

Sniegsim vairākus spēka izteiksmju piemērus, sākot no pakāpes ar dabiskais rādītājs un beidzot ar grādu ar reālu eksponentu.

Vienkāršākās pakāpju izteiksmes var uzskatīt par skaitļa pakāpēm ar naturālu eksponentu: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Kā arī pakāpēm ar nulles eksponentu: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Un pakāpes ar negatīvu veselu skaitļu pakāpēm: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Ir nedaudz grūtāk strādāt ar grādu, kam ir racionālie un iracionālie eksponenti: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikators var būt mainīgs 3 x - 54 - 7 3 x - 58 vai logaritms x 2 l g x − 5 x l g x.

Mēs esam risinājuši jautājumu par to, kas ir varas izpausmes. Tagad apskatīsim to transformāciju.

Galvenie spēka izteiksmju transformāciju veidi

Vispirms apskatīsim izteiksmes pamata identitātes transformācijas, kuras var veikt ar spēka izteiksmēm.

1. piemērs

Aprēķiniet jaudas izteiksmes vērtību 2 3 (4 2–12).

Risinājums

Visas pārvērtības veiksim, ievērojot darbību secību. Šajā gadījumā mēs sāksim ar darbību veikšanu iekavās: aizstāsim grādu ar ciparu vērtību un aprēķināsim starpību starp diviem skaitļiem. Mums ir 2 3 (4 2–12) = 2 3 (16–12) = 2 3 4.

Mums atliek nomainīt grādu 2 3 tā nozīme 8 un aprēķiniet produktu 8 4 = 32. Šeit ir mūsu atbilde.

Atbilde: 2 3 (4 2–12) = 32 .

2. piemērs

Vienkāršojiet izteiksmi ar spējām 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Risinājums

Izteiciens, kas mums dots problēmas nosacījumā, satur līdzīgus terminus, kurus mēs varam ienest: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Atbilde: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

3. piemērs

Izteikt izteiksmi ar pakāpēm 9 - b 3 · π - 1 2 kā reizinājumu.

Risinājums

Attēlosim skaitli 9 kā spēku 3 2 un izmantojiet saīsināto reizināšanas formulu:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Atbilde: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

Un tagad pāriesim pie identisku transformāciju analīzes, kuras var īpaši attiecināt uz spēka izteiksmēm.

Darbs ar bāzi un eksponentu

Bāzes vai eksponenta pakāpei var būt skaitļi, mainīgie un dažas izteiksmes. Piemēram, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 un . Ir grūti strādāt ar šādiem ierakstiem. Daudz vienkāršāk ir identiski aizstāt izteiksmi pakāpes bāzē vai izteiksmi eksponentā vienlīdzīga izteiksme.

Pakāpes un rādītāja transformācijas tiek veiktas saskaņā ar mums zināmiem noteikumiem atsevišķi viens no otra. Pats galvenais, ka transformāciju rezultātā tiek iegūta izteiksme, kas ir identiska sākotnējam.

Transformāciju mērķis ir vienkāršot sākotnējo izteiksmi vai iegūt problēmas risinājumu. Piemēram, iepriekš sniegtajā piemērā (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 varat veikt darbības, lai pārietu uz grādu 4 , 1 1 , 3 . Atverot iekavas, mēs varam ievietot līdzīgus terminus grāda pamatnē (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) un iegūt spēka izteiksmi vienkārša forma a 2 (x + 1).

Jaudas īpašību izmantošana

Pakāpju īpašības, kas rakstītas kā vienādības, ir viens no galvenajiem rīkiem izteiksmju pārveidošanai ar pakāpēm. Šeit mēs piedāvājam galvenos, ņemot vērā to a un b ir kādi pozitīvi skaitļi, un r un s- patvaļīgi reālie skaitļi:

2. definīcija

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

Gadījumos, kad mums ir darīšana ar naturāliem, veseliem skaitļiem, pozitīviem eksponentiem, ierobežojumi attiecībā uz skaitļiem a un b var būt daudz mazāk stingri. Tā, piemēram, ja ņemam vērā vienlīdzību a m a n = a m + n, kur m un n ir naturāli skaitļi, tad tā būs taisnība jebkurai a vērtībai, gan pozitīvai, gan negatīvai, kā arī a = 0.

Grādu īpašības var lietot bez ierobežojumiem gadījumos, kad grādu bāzes ir pozitīvas vai satur mainīgos lielumus, laukums atļautās vērtības kas ir tāds, ka uz tā pamata pieņem tikai pozitīvas vērtības. Faktiski skolas matemātikas programmas ietvaros skolēna uzdevums ir izvēlēties atbilstošo īpašību un pareizi to pielietot.

Gatavojoties uzņemšanai augstskolās, var rasties uzdevumi, kuros neprecīza rekvizītu piemērošana novedīs pie ODZ sašaurināšanās un citām risinājuma grūtībām. Šajā sadaļā mēs apskatīsim tikai divus šādus gadījumus. Plašāku informāciju par tēmu var atrast tēmā "Izteiksmju pārveidošana, izmantojot eksponenta īpašības".

4. piemērs

Pārstāvēt izteiksmi a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 kā grāds ar pamatu a.

Risinājums

Sākumā mēs izmantojam eksponēšanas īpašību un pārveidojam otro faktoru, izmantojot to (a 2)–3. Tad izmantojam spēku reizināšanas un dalīšanas īpašības ar tā pati bāze:

a 2 , 5 a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a - 3 , 5 - ( - 5 , 5 ) = a 2 .

Atbilde: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2 .

Jaudas izteiksmju pārveidošanu atbilstoši grādu īpašībai var veikt gan no kreisās puses uz labo, gan pretējā virzienā.

5. piemērs

Atrodiet jaudas izteiksmes vērtību 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Risinājums

Ja piemērosim vienlīdzību (a b) r = a r b r, no labās puses uz kreiso, tad iegūstam reizinājumu formā 3 7 1 3 21 2 3 un tad 21 1 3 21 2 3 . Saskaitīsim eksponentus, reizinot pakāpes ar vienādām bāzēm: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Ir vēl viens veids, kā veikt transformācijas:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Atbilde: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

6. piemērs

Dota spēka izteiksme a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6, ievadiet jaunu mainīgo t = a 0, 5.

Risinājums

Iedomājieties grādu a 1, 5 kā a 0, 5 3. Pakāpes rekvizīta izmantošana grādos (a r) s = a r s no labās puses uz kreiso un iegūstiet (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Iegūtajā izteiksmē varat viegli ieviest jaunu mainīgo t = a 0, 5: gūt t 3 - t - 6.

Atbilde: t 3 − t − 6 .

Pārvērš daļskaitļus, kas satur pakāpes

Mēs parasti strādājam ar diviem pakāpju izteiksmju variantiem ar daļskaitļiem: izteiksme ir daļskaitlis ar pakāpi vai satur šādu daļskaitli. Šādām izteiksmēm bez ierobežojumiem ir piemērojamas visas pamata daļu transformācijas. Tos var samazināt, pārcelt uz jaunu saucēju, strādāt atsevišķi ar skaitītāju un saucēju. Ilustrēsim to ar piemēriem.

7. piemērs

Vienkāršojiet jaudas izteiksmi 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Risinājums

Mums ir darīšana ar daļskaitli, tāpēc veiksim transformācijas gan skaitītājā, gan saucējā:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Daļas priekšā ielieciet mīnusu, lai mainītu saucēja zīmi: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Atbilde: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Daļskaitļi, kas satur pakāpes, tiek samazināti līdz jaunam saucējam tāpat kā racionālās daļas. Lai to izdarītu, jums jāatrod papildu koeficients un jāreizina ar to daļskaitļa skaitītājs un saucējs. Ir nepieciešams izvēlēties papildu faktoru tā, lai tas nepazustu nevienai mainīgo vērtībām no sākotnējās izteiksmes ODZ mainīgajiem.

8. piemērs

Savelciet daļskaitļus uz jaunu saucēju: a) a + 1 a 0, 7 līdz saucējam a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 līdz saucējam x + 8 y 1 2 .

Risinājums

a) Izvēlamies koeficientu, kas ļaus mums reducēt līdz jaunam saucējam. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , tāpēc kā papildu faktoru ņemam a 0, 3. Mainīgā lieluma a pieņemamo vērtību diapazons ietver visu pozitīvo vērtību kopu reāli skaitļi. Šajā jomā grāds a 0, 3 uz nulli neiet.

Reizināsim daļskaitļa skaitītāju un saucēju ar a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Pievērsiet uzmanību saucējam:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Reiziniet šo izteiksmi ar x 1 3 + 2 · y 1 6, iegūstam kubu x 1 3 un 2 · y 1 6 summu, t.i. x + 8 · y 1 2 . Šis ir mūsu jaunais saucējs, pie kura mums jāpievieno sākotnējā daļa.

Tātad mēs atradām papildu koeficientu x 1 3 + 2 · y 1 6 . Par mainīgo lielumu pieņemamo vērtību diapazonu x un y izteiksme x 1 3 + 2 y 1 6 nepazūd, tāpēc ar to varam reizināt daļskaitļa skaitītāju un saucēju:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 g 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 g 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 g 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Atbilde: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 g 1 2 .

9. piemērs

Samaziniet daļu: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Risinājums

a) izmantojiet lielāko kopsaucējs(gcd), ar kuru var samazināt skaitītāju un saucēju. Skaitļiem 30 un 45 tas ir 15 . Varam arī samazināt x 0, 5 + 1 un uz x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Mēs iegūstam:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Šeit identisku faktoru klātbūtne nav acīmredzama. Jums būs jāveic dažas transformācijas, lai skaitītājā un saucējā iegūtu vienādus faktorus. Lai to izdarītu, mēs paplašinām saucēju, izmantojot kvadrātu atšķirības formulu:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Atbilde: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Galvenās darbības ar daļskaitļiem ietver samazināšanu līdz jaunam saucējam un daļskaitļu samazināšanu. Abas darbības tiek veiktas saskaņā ar vairākiem noteikumiem. Saskaitot un atņemot daļskaitļus, vispirms daļskaitļi tiek reducēti līdz kopsaucējam, pēc tam ar skaitītājiem tiek veiktas darbības (saskaitīšana vai atņemšana). Saucējs paliek nemainīgs. Mūsu darbību rezultāts ir jauna daļa, kuras skaitītājs ir skaitītāju reizinājums, bet saucējs ir saucēju reizinājums.

10. piemērs

Veiciet darbības x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Risinājums

Sāksim ar to daļskaitļu atņemšanu, kas ir iekavās. Savedīsim tos pie kopsaucēja:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Atņemsim skaitītājus:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Tagad mēs reizinām daļskaitļus:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Samazināsim par pakāpi x 1 2, mēs iegūstam 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Turklāt jūs varat vienkāršot jaudas izteiksmi saucējā, izmantojot kvadrātu atšķirības formulu: kvadrāti: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Atbilde: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

11. piemērs

Vienkāršojiet jaudas izteiksmi x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Risinājums

Mēs varam samazināt daļu par (x 2 , 7 + 1) 2. Mēs iegūstam daļu x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Turpināsim pārveidot x pakāpju x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Tagad varat izmantot jaudas dalīšanas īpašību ar tādām pašām bāzēm: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Mēs pārejam no pēdējā produkta uz frakciju x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Atbilde: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Vairumā gadījumu ir ērtāk pārnest reizinātājus ar negatīviem eksponentiem no skaitītāja uz saucēju un otrādi, mainot eksponenta zīmi. Šī darbība vienkāršo turpmāko lēmumu. Dosim piemēru: jaudas izteiksmi (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 var aizstāt ar x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Izteicienu pārvēršana ar saknēm un pakāpēm

Uzdevumos ir jaudas izteiksmes, kas satur ne tikai grādus ar daļskaitļiem, bet arī saknes. Šādus izteicienus vēlams reducēt tikai uz saknēm vai tikai uz pilnvarām. Vēlama ir pāreja uz grādiem, jo ​​ar tiem ir vieglāk strādāt. Šāda pāreja ir īpaši izdevīga, ja sākotnējās izteiksmes mainīgo DPV ļauj aizstāt saknes ar pakāpēm, nepiekļūstot modulim vai nesadalot DPV vairākos intervālos.

12. piemērs

Izteikt izteiksmi x 1 9 x x 3 6 kā pakāpju.

Risinājums

Derīgs mainīgā diapazons x nosaka divas nevienādības x ≥ 0 un x · x 3 ≥ 0 , kas nosaka kopu [ 0 , + ∞) .

Šajā komplektā mums ir tiesības pāriet no saknēm uz spējām:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Izmantojot grādu īpašības, mēs vienkāršojam iegūto jaudas izteiksmi.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Atbilde: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Pakāpju konvertēšana ar mainīgajiem eksponentā

Šīs transformācijas ir diezgan vienkārši izdarāmas, ja pareizi izmantojat grāda īpašības. Piemēram, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

Mēs varam aizstāt pakāpes reizinājumu, kurā tiek atrasta kāda mainīgā un skaitļa summa. Kreisajā pusē to var izdarīt ar pirmo un pēdējo vārdu izteiksmes kreisajā pusē:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .

Tagad sadalīsim abas vienādojuma puses ar 7 2 x. Šai izteiksmei mainīgā x ODZ ir tikai pozitīvas vērtības:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Samazināsim daļskaitļus ar pakāpēm, iegūstam: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Visbeidzot, pakāpju attiecība ar vienādiem eksponentiem tiek aizstāta ar attiecību pakāpēm, kas noved pie vienādojuma 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , kas ir ekvivalents 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-2 = 0.

Mēs ieviešam jaunu mainīgo t = 5 7 x , kas samazina sākotnējā eksponenciālā vienādojuma atrisinājumu līdz atrisinājumam kvadrātvienādojums 5 t 2 - 3 t - 2 = 0 .

Izteiksmju konvertēšana ar pakāpēm un logaritmiem

Problēmās atrodamas arī izteiksmes, kas satur pakāpju un logaritmus. Šādu izteiksmju piemēri ir: 1 4 1 - 5 log 2 3 vai log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Šādu izteiksmju transformācija tiek veikta, izmantojot iepriekš minētās logaritmu pieejas un īpašības, kuras mēs detalizēti analizējām tēmā "Logaritmisko izteiksmju transformācija".

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Matemātikas kalkulators tiešsaistē v.1.0

Kalkulators veic šādas darbības: saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu, dalīšanu, strādāšanu ar decimāldaļām, saknes izvilkšanu, paaugstināšanu līdz pakāpei, procentu aprēķināšanu un citas darbības.

Risinājums:

Kā lietot matemātikas kalkulatoru

Atslēga	Apzīmējums	Paskaidrojums
5	cipari 0-9	Arābu cipari. Ievadiet naturālus veselus skaitļus, nulli. Lai iegūtu negatīvu veselu skaitli, nospiediet taustiņu +/-
.	semikolu)	Decimāldaļas atdalītājs. Ja pirms punkta (komata) nav cipara, kalkulators pirms punkta automātiski aizstās ar nulli. Piemēram: tiks rakstīts .5 - 0,5
+	plus zīme	Skaitļu saskaitīšana (veseli, decimāldaļskaitļi)
-	mīnusa zīme	Skaitļu atņemšana (veseli, decimāldaļskaitļi)
÷	sadalījuma zīme	Skaitļu dalīšana (veseli, decimāldaļskaitļi)
X	reizināšanas zīme	Skaitļu reizināšana (veseli skaitļi, decimāldaļas)
√	sakne	Saknes izvilkšana no skaitļa. Nospiežot pogu "sakne" vēlreiz, sakne tiek aprēķināta no rezultāta. Piemēram: kvadrātsakne no 16 = 4; kvadrātsakne no 4 = 2
x2	kvadrātveida	Skaitļa kvadrāts. Vēlreiz nospiežot pogu "Kvadrātvērtība", rezultāts ir kvadrātā.Piemēram: kvadrāts 2 = 4; kvadrāts 4 = 16
1/x	frakcija	Izvade decimāldaļās. Skaitītājā 1, saucējā ievada skaitlis
%	procentiem	Iegūstiet skaitļa procentus. Lai strādātu, jāievada: skaitlis, no kura tiks aprēķināts procents, zīme (plus, mīnus, dalīt, reizināt), cik procentu skaitliskā formā, poga "%"
(	atveriet kronšteinu	Atvērtas iekavas, lai iestatītu vērtēšanas prioritāti. Nepieciešamas slēgtās iekavas. Piemērs: (2+3)*2=10
)	slēgta kronšteina	Slēgta iekava, lai iestatītu vērtēšanas prioritāti. Obligāti atvērta kronšteina
±	plus mīnuss	Maina zīmi uz pretējo
=	vienāds	Parāda risinājuma rezultātu. Tāpat virs kalkulatora laukā "Risinājums" tiek parādīti starpaprēķini un rezultāts.
←	rakstzīmes dzēšana	Dzēš pēdējo rakstzīmi
AR	atiestatīt	Atiestatīšanas poga. Pilnībā atiestata kalkulatoru uz "0"

Tiešsaistes kalkulatora algoritms ar piemēriem

Papildinājums.

Vesela skaitļa pievienošana naturālie skaitļi { 5 + 7 = 12 }

Pievienojot visu dabisko un negatīvi skaitļi { 5 + (-2) = 3 }

Decimāldaļa saskaitīšana daļskaitļi { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Atņemšana.

Veselu naturālu skaitļu atņemšana ( 7 - 5 = 2 )

Veselu naturālu un negatīvu skaitļu atņemšana ( 5 - ( -2) = 7 )

Decimāldaļu daļskaitļu atņemšana ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )

Reizināšana.

Veselu naturālu skaitļu reizinājums ( 3 * 7 = 21 )

Veselu naturālu un negatīvu skaitļu reizinājums ( 5 * (-3) = -15 )

Decimāldaļskaitļu reizinājums ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Divīzija.

Veselu naturālu skaitļu dalījums ( 27/3 = 9 )

Veselu naturālu un negatīvu skaitļu dalījums ( 15 / (-3) = -5 )

Decimāldaļu daļskaitļu dalīšana ( 6.2 / 2 = 3.1 )

Saknes izvilkšana no skaitļa.

Vesela skaitļa saknes izvilkšana ( sakne(9) = 3)

Saknes izvilkšana no decimāldaļskaitļi( sakne(2.5) = 1.58 )

Saknes izņemšana no skaitļu summas ( sakne(56 + 25) = 9)

Skaitļu starpības saknes iegūšana ( sakne (32–7) = 5)

Skaitļa kvadrāts.

Vesela skaitļa kvadrāts ( (3) 2 = 9 )

Kvadrātzīmes aiz komata ( (2.2) 2 = 4,84 )

Pārvērst par decimāldaļskaitļiem.

Skaitļa procentuālās daļas aprēķināšana

Palielināt 230 par 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Samaziniet skaitli 510 par 35% ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )

18% no skaitļa 140 ir ( 140 * 0,18 = 25,2 )

Izteiksmes, izteiksmju konvertēšana

Spēka izteiksmes (izteiksmes ar pilnvarām) un to transformācija

Šajā rakstā mēs runāsim par izteiksmju pārveidošanu ar pilnvarām. Pirmkārt, mēs pievērsīsimies transformācijām, kas tiek veiktas ar jebkāda veida izteiksmēm, tostarp jaudas izteiksmēm, piemēram, atverot iekavas, samazinot līdzīgus terminus. Un tad mēs analizēsim transformācijas, kas īpaši raksturīgas izteiksmēm ar pakāpēm: strādājot ar bāzi un eksponentu, izmantojot grādu īpašības utt.

Lapas navigācija.

Kas ir spēka izteiksmes?

Termins "spēka izteiksmes" praktiski nav atrodams skolu matemātikas mācību grāmatās, bet tas bieži parādās uzdevumu krājumos, kas īpaši paredzēti, lai sagatavotos, piemēram, vienotajam valsts eksāmenam un OGE. Izanalizējot uzdevumus, kuros jāveic jebkādas darbības ar spēka izteiksmēm, kļūst skaidrs, ka spēka izteiksmes tiek saprastas kā izteiksmes, kuru ierakstos ir pakāpes. Tāpēc jūs varat izmantot šādu definīciju:

Definīcija.

Spēka izpausmes ir izteicieni, kas satur spēkus.

Atvedīsim spēka izteiksmes piemēri. Turklāt mēs tos attēlosim atbilstoši tam, kā notiek uzskatu attīstība no pakāpes ar dabisku rādītāju līdz pakāpei ar reālu rādītāju.

Kā zināms, vispirms notiek iepazīšanās ar skaitļa pakāpi ar naturālo eksponentu, šajā posmā pirmās vienkāršākās pakāpju izteiksmes tipam 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 utt.

Nedaudz vēlāk tiek pētīta skaitļa pakāpe ar veselu eksponentu, kā rezultātā parādās pakāpes izteiksmes ar negatīvu veselu skaitļu pakāpēm, piemēram: 3 −2, , a -2 +2 b -3 + c 2 .

Vecākajās klasēs atkal atgriežas pie grādiem. Tur tiek ieviesta pakāpe ar racionālu eksponentu, kas noved pie atbilstošo jaudas izteiksmju parādīšanās: , , utt. Visbeidzot tiek aplūkoti grādi ar iracionāliem eksponentiem un tos saturošas izteiksmes: , .

Lieta neaprobežojas tikai ar uzskaitītajām jaudas izteiksmēm: tālāk mainīgais iekļūst eksponentā, un ir, piemēram, tādas izteiksmes 2 x 2 +1 vai . Un pēc iepazīšanās sāk parādīties izteiksmes ar pakāpēm un logaritmiem, piemēram, x 2 lgx −5 x lgx.

Tātad, mēs izdomājām jautājumu par to, kas ir spēka izteiksmes. Tālāk mēs uzzināsim, kā tos pārveidot.

Galvenie spēka izteiksmju transformāciju veidi

Izmantojot spēka izteiksmes, jūs varat veikt jebkuru no izteiksmju pamata identitātes pārveidojumiem. Piemēram, varat atvērt iekavas, nomainīt skaitliskās izteiksmes savas vērtības, ienes līdzīgus nosacījumus utt. Protams, šajā gadījumā ir jāievēro pieņemtā darbību veikšanas kārtība. Sniegsim piemērus.

Piemērs.

Aprēķināt jaudas izteiksmes vērtību 2 3 ·(4 2 −12) .

Risinājums.

Atbilstoši darbību secībai mēs vispirms veicam darbības iekavās. Tur, pirmkārt, 4 2 jaudu aizstājam ar tā vērtību 16 (ja nepieciešams, skat.), otrkārt, aprēķinām starpību 16−12=4 . Mums ir 2 3 (4 2–12) = 2 3 (16–12) = 2 34.

Iegūtajā izteiksmē 2 3 jaudu aizstājam ar tā vērtību 8 , pēc kuras aprēķinām reizinājumu 8·4=32 . Šī ir vēlamā vērtība.

Tātad, 2 3 (4 2 -12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Atbilde:

2 3 (4 2–12) = 32 .

Piemērs.

Vienkāršojiet spēka izteiksmes 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Risinājums.

Acīmredzot šī izteiksme satur līdzīgus terminus 3 · a 4 · b − 7 un 2 · a 4 · b − 7 , un mēs varam tos samazināt: .

Atbilde:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Piemērs.

Izsakiet izteiksmi ar pilnvarām kā produktu.

Risinājums.

Lai tiktu galā ar uzdevumu, var attēlot skaitli 9 kā pakāpju 3 2 un pēc tam izmantot saīsināto reizināšanas formulu, kvadrātu starpību:

Atbilde:

Ir arī vairākas identiskas transformācijas, kas raksturīgas spēka izteiksmēm. Tālāk mēs tos analizēsim.

Darbs ar bāzi un eksponentu

Ir grādi, kuru pamatā un/vai rādītājā nav tikai skaitļi vai mainīgie, bet gan dažas izteiksmes. Kā piemēru rakstīsim (2+0.3 7) 5−3.7 un (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Strādājot ar šādām izteiksmēm, ir iespējams aizstāt gan izteiksmi pakāpes bāzē, gan izteiksmi rādītājā ar identiski vienādu izteiksmi tās mainīgo DPV. Citiem vārdiem sakot, saskaņā ar mums zināmajiem noteikumiem mēs varam atsevišķi konvertēt grāda bāzi un atsevišķi - rādītāju. Ir skaidrs, ka šīs transformācijas rezultātā tiek iegūta izteiksme, kas ir identiski vienāda ar sākotnējo.

Šādas transformācijas ļauj mums vienkāršot izteicienus ar spēku vai sasniegt citus mums vajadzīgos mērķus. Piemēram, augstāk minētajā pakāpju izteiksmē (2+0.3 7) 5−3.7 var veikt darbības ar skaitļiem bāzē un eksponentā, kas ļaus pāriet uz pakāpju 4.1 1.3. Un pēc iekavas atvēršanas un līdzīgu terminu ievietošanas pakāpes (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) bāzē mēs iegūstam vienkāršākas formas pakāpju izteiksmi a 2·(x+1) ) .

Jaudas īpašību izmantošana

Viens no galvenajiem instrumentiem izteiksmju pārveidošanai ar pilnvarām ir vienādības, kas atspoguļo . Atgādināsim galvenos. Jebkuriem pozitīviem skaitļiem a un b un patvaļīgiem reāliem skaitļiem r un s ir spēkā šādas jaudas īpašības:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Ņemiet vērā, ka naturālajiem, veseliem skaitļiem un pozitīviem eksponentiem ierobežojumi attiecībā uz skaitļiem a un b var nebūt tik stingri. Piemēram, naturāliem skaitļiem m un n vienādība a m ·a n =a m+n ir patiesa ne tikai pozitīvajiem a , bet arī negatīvajiem, un a=0 .

Skolā galvenā uzmanība spēka izpausmju transformācijā ir vērsta tieši uz spēju izvēlēties atbilstošu īpašību un pareizi to pielietot. Šajā gadījumā grādu bāzes parasti ir pozitīvas, kas ļauj bez ierobežojumiem izmantot grādu īpašības. Tas pats attiecas uz izteiksmju pārveidošanu, kas satur mainīgos pakāpju bāzēs - mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību diapazons parasti ir tāds, ka bāzes ņem tikai pozitīvas vērtības, kas ļauj brīvi izmantot īpašības grādu. Kopumā jums pastāvīgi jājautā sev, vai šajā gadījumā ir iespējams pielietot kādu grādu īpašību, jo neprecīza īpašību izmantošana var izraisīt ODZ sašaurināšanos un citas nepatikšanas. Šie punkti ir detalizēti un ar piemēriem apskatīti rakstā izteiksmju transformācija, izmantojot grādu īpašības. Šeit mēs aprobežojamies ar dažiem vienkāršiem piemēriem.

Piemērs.

Izteikt izteiksmi a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kā pakāpju ar bāzi a .

Risinājums.

Pirmkārt, mēs pārveidojam otro koeficientu (a 2) -3 ar īpašību palielināt jaudu par jaudu: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Šajā gadījumā sākotnējā jaudas izteiksme būs 2.5 ·a −6:a −5.5 . Acīmredzot atliek izmantot pilnvaru reizināšanas un dalīšanas īpašības ar to pašu bāzi, kas mums ir
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5-6:a-5,5 =a-3,5:a-5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Atbilde:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Jaudas īpašības tiek izmantotas, pārveidojot jaudas izteiksmes gan no kreisās uz labo, gan no labās uz kreiso.

Piemērs.

Atrodiet jaudas izteiksmes vērtību.

Risinājums.

Vienādība (a·b) r =a r ·b r, kas piemērota no labās uz kreiso pusi, ļauj pāriet no sākotnējās izteiksmes uz formas reizinājumu un tālāk. Un, reizinot jaudas ar to pašu bāzi, rādītāji summējas: .

Sākotnējās izteiksmes transformāciju bija iespējams veikt citā veidā:

Atbilde:

.

Piemērs.

Ja jaudas izteiksme a 1,5 −a 0,5 −6 , ievadiet jaunu mainīgo t=a 0,5 .

Risinājums.

Pakāpi a 1,5 var attēlot kā 0,5 3 un tālāk, pamatojoties uz pakāpes īpašību pakāpē (a r) s =a r s, kas piemērota no labās uz kreiso pusi, pārvērst to formā (a 0,5) 3 . Pa šo ceļu, a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Tagad ir viegli ieviest jaunu mainīgo t=a 0.5 , iegūstam t 3 −t−6 .

Atbilde:

t 3 −t−6 .

Pārvērš daļskaitļus, kas satur pakāpes

Pakāpju izteiksmes var saturēt daļskaitļus ar pakāpēm vai attēlot šādas daļas. Jebkurš pamata daļskaitļu pārveidojums, kas ir raksturīgs jebkura veida frakcijām, ir pilnībā piemērojams šādām daļām. Tas ir, daļskaitļus, kas satur grādus, var samazināt, reducēt līdz jaunam saucējam, strādāt atsevišķi ar to skaitītāju un atsevišķi ar saucēju utt. Lai ilustrētu iepriekš minētos vārdus, apsveriet vairāku piemēru risinājumus.

Piemērs.

Vienkāršojiet jaudas izteiksmi .

Risinājums.

Šī jaudas izteiksme ir daļa. Strādāsim ar tā skaitītāju un saucēju. Skaitītājā atveram iekavas un vienkāršojam pēc tam iegūto izteiksmi, izmantojot pakāpju īpašības, un saucējā uzrāda līdzīgus terminus:

Un mēs arī mainām saucēja zīmi, ieliekot mīnusu daļskaitļa priekšā: .

Atbilde:

.

Pakāpju daļskaitļu samazināšana līdz jaunam saucējam tiek veikta līdzīgi kā racionālu daļu samazināšana līdz jaunam saucējam. Tajā pašā laikā tiek atrasts arī papildu koeficients un ar to tiek reizināts daļas skaitītājs un saucējs. Veicot šo darbību, ir vērts atcerēties, ka samazināšana līdz jaunam saucējam var izraisīt DPV sašaurināšanos. Lai tas nenotiktu, ir nepieciešams, lai papildu faktors nepazustu nevienai mainīgo vērtībām no sākotnējās izteiksmes ODZ mainīgajiem.

Piemērs.

Pārnes daļskaitļus uz jaunu saucēju: a) uz saucēju a, b) uz saucēju.

Risinājums.

a) Šajā gadījumā ir diezgan viegli izdomāt, kāds papildu faktors palīdz sasniegt vēlamo rezultātu. Šis ir reizinātājs a 0,3, jo a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Ņemiet vērā, ka mainīgā a pieņemamo vērtību diapazonā (tā ir visu pozitīvo reālo skaitļu kopa) pakāpe a 0,3 nepazūd, tāpēc mums ir tiesības reizināt dotās daļskaitļa skaitītāju un saucēju. ar šo papildu faktoru:

b) Uzmanīgāk aplūkojot saucēju, mēs atklājam, ka

un reizinot šo izteiksmi ar, tiks iegūta kubu summa un , tas ir, . Un tas ir jaunais saucējs, uz kuru mums ir jāatved sākotnējā daļa.

Tātad mēs atradām papildu faktoru. Izteiksme nepazūd mainīgo x un y pieņemamo vērtību diapazonā, tāpēc ar to varam reizināt daļskaitļa skaitītāju un saucēju:

Atbilde:

a) , b) .

Arī pakāpes saturošo daļskaitļu samazināšanā nav nekā jauna: skaitītājs un saucējs tiek attēlots kā noteikts faktoru skaits, un tiek samazināti vieni un tie paši skaitītāja un saucēja faktori.

Piemērs.

Samaziniet daļu: a) , b).

Risinājums.

a) Pirmkārt, skaitītāju un saucēju var samazināt par skaitļiem 30 un 45, kas ir vienāds ar 15. Tāpat, protams, jūs varat samazināt par x 0,5 +1 un par . Lūk, kas mums ir:

b) Šajā gadījumā tie paši faktori skaitītājā un saucējā nav uzreiz redzami. Lai tos iegūtu, ir jāveic iepriekšējas transformācijas. Šajā gadījumā tie sastāv no saucēja sadalīšanas faktoros pēc kvadrātu atšķirības formulas:

Atbilde:

a)

b) .

Daļskaitļu samazināšanu līdz jaunam saucējam un daļskaitļu samazināšanu galvenokārt izmanto, lai veiktu darbības ar daļskaitļiem. Darbības tiek veiktas saskaņā ar zināmi noteikumi. Saskaitot (atņemot) daļskaitļus, tie tiek reducēti līdz kopsaucējam, pēc tam tiek pievienoti (atņemti) skaitītāji, un saucējs paliek nemainīgs. Rezultātā tiek iegūta daļa, kuras skaitītājs ir skaitītāju reizinājums, bet saucējs ir saucēju reizinājums. Dalīšana ar daļskaitli ir reizināšana ar tās apgriezto vērtību.

Piemērs.

Izpildiet norādītās darbības .

Risinājums.

Pirmkārt, mēs atņemam iekavās esošās daļas. Lai to izdarītu, mēs tos apvienojam ar kopsaucēju, kas ir , pēc tam atņemiet skaitītājus:

Tagad mēs reizinām daļskaitļus:

Acīmredzot ir iespējams samazinājums par jaudu x 1/2, pēc kura mums ir .

Varat arī vienkāršot jaudas izteiksmi saucējā, izmantojot kvadrātu atšķirības formulu: .

Atbilde:

Piemērs.

Vienkāršojiet jaudas izteiksmi .

Risinājums.

Acīmredzot šo daļu var samazināt par (x 2,7 +1) 2, tas dod daļu . Skaidrs, ka ar x pakāpēm ir jādara vēl kaut kas. Lai to izdarītu, mēs pārvēršam iegūto frakciju produktā. Tas dod mums iespēju izmantot spēku dalīšanas īpašību ar vienādām bāzēm: . Un procesa beigās mēs pārejam no pēdējā produkta uz frakciju.

Atbilde:

.

Un mēs piebilstam, ka ir iespējams un daudzos gadījumos vēlams pārnest faktorus ar negatīviem eksponentiem no skaitītāja uz saucēju vai no saucēja uz skaitītāju, mainot eksponenta zīmi. Šādas pārvērtības bieži vien vienkāršo turpmākās darbības. Piemēram, jaudas izteiksmi var aizstāt ar .

Izteicienu pārvēršana ar saknēm un pakāpēm

Bieži vien izteiksmēs, kurās ir nepieciešamas dažas transformācijas, kopā ar grādiem ar daļskaitļa eksponentiem, ir arī saknes. Lai pārvērstu šādu izteiksmi par pareizais veids, vairumā gadījumu pietiek iet tikai pie saknēm vai tikai pie spējām. Bet, tā kā ir ērtāk strādāt ar grādiem, tie parasti pārvietojas no saknēm uz grādiem. Tomēr ir ieteicams veikt šādu pāreju, ja sākotnējās izteiksmes mainīgo ODZ ļauj aizstāt saknes ar grādiem bez nepieciešamības piekļūt modulim vai sadalīt ODZ vairākos intervālos (mēs to detalizēti apspriedām pants, pāreja no saknēm uz pakāpēm un otrādi Pēc iepazīšanās ar grādu ar racionālo eksponentu tiek ieviests grāds ar iracionālo rādītāju, kas ļauj runāt par grādu ar patvaļīgu reālo rādītāju.Šajā posmā skola sāk mācīties eksponenciālā funkcija, ko analītiski dod grāds, uz kura pamata ir skaitlis, un rādītājā - mainīgais. Tātad mēs saskaramies ar eksponenciālām izteiksmēm, kas satur skaitļus pakāpes bāzē, bet eksponentā - izteiksmes ar mainīgajiem, un dabiski rodas nepieciešamība veikt šādu izteiksmju transformācijas.

Jāteic, ka norādītā tipa izteiksmju transformācija parasti ir jāveic risinot eksponenciālie vienādojumi un eksponenciālās nevienlīdzības , un šīs pārvērtības ir pavisam vienkāršas. Lielākajā daļā gadījumu tie ir balstīti uz grāda īpašībām un galvenokārt ir vērsti uz jauna mainīgā ieviešanu nākotnē. Vienādojums ļaus mums tos parādīt 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Pirmkārt, eksponenti, kuru eksponentos tiek atrasta kāda mainīgā lieluma (vai izteiksmes ar mainīgajiem) un skaitļa summa, tiek aizstāti ar reizinājumiem. Tas attiecas uz izteiksmes pirmo un pēdējo vārdu kreisajā pusē:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Tālāk abas vienādības daļas tiek dalītas ar izteiksmi 7 2 x , kas ņem tikai pozitīvas vērtības no mainīgā x ODZ sākotnējam vienādojumam (šī ir standarta tehnika šāda veida vienādojumu risināšanai, mēs neesam runājot par to tagad, tāpēc koncentrējieties uz turpmākajām izteicienu transformācijām ar pilnvarām ):

Tagad tiek atceltas daļas ar pakāpēm, kas dod .

Visbeidzot, pakāpju attiecība ar vienādiem eksponentiem tiek aizstāta ar attiecību pakāpēm, kas noved pie vienādojuma , kas ir līdzvērtīgs . Veiktās transformācijas ļauj ieviest jaunu mainīgo, kas reducē sākotnējā eksponenciālā vienādojuma atrisinājumu līdz kvadrātvienādojuma atrisinājumam

I. V. Boikovs, L. D. Romanova Uzdevumu krājums, lai sagatavotos eksāmenam. 1. daļa. Penza 2003. gads.

Algebrisko izteiksmi, kuras ierakstā kopā ar saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas operācijām izmanto arī dalīšanu burtiskās izteiksmēs, sauc par daļēju algebrisko izteiksmi. Tādi ir, piemēram, izteicieni

Par algebrisko daļu saucam algebrisku izteiksmi, kurai ir divu veselu skaitļu dalījuma koeficients algebriskās izteiksmes(piemēram, monomi vai polinomi). Tādi ir, piemēram, izteicieni

trešais no izteicieniem).

Daļējo algebrisko izteiksmju identitātes transformācijas lielākoties ir paredzētas, lai tās attēlotu formā algebriskā daļa. Lai atrastu kopsaucēju, tiek izmantota daļskaitļu saucēju faktorizācija - termini, lai atrastu to mazāko kopīgo daudzkārtni. Samazinot algebriskās daļas, var tikt pārkāpta izteiksmju stingra identitāte: ir jāizslēdz lielumu vērtības, pie kurām izzūd faktors, ar kuru tiek veikts samazinājums.

Sniegsim daļskaitļu algebrisko izteiksmju identisku transformāciju piemērus.

1. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi

Visus terminus var reducēt līdz kopsaucējam (ir ērti mainīt zīmi pēdējā vārda saucējā un zīmi tā priekšā):

Mūsu izteiksme ir vienāda ar vienu visām vērtībām, izņemot šīs vērtības, tā nav definēta un frakciju samazināšana ir nelikumīga).

Piemērs 2. Attēlojiet izteiksmi kā algebrisku daļu

Risinājums. Izteicienu var uzskatīt par kopsaucēju. Mēs secīgi atrodam:

Vingrinājumi

1. Atrodiet algebrisko izteiksmju vērtības norādītajām parametru vērtībām:

2. Faktorizēt.

Eksponents tiek izmantots, lai atvieglotu skaitļa reizināšanas ar sevi operācijas uzrakstīšanu. Piemēram, rakstīšanas vietā varat rakstīt 4 5 (\displaystyle 4^(5))(šādas pārejas skaidrojums sniegts šī raksta pirmajā sadaļā). Eksponenti atvieglo garu rakstīšanu vai sarežģīti izteicieni vai vienādojumi; arī pilnvaras ir viegli pievienot un atņemt, kā rezultātā tiek vienkāršota izteiksme vai vienādojums (piemēram, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Piezīme: ja jums ir jāizlemj eksponenciālais vienādojums(šādā vienādojumā nezināmais atrodas eksponentā), lasiet .

Soļi

Vienkāršu uzdevumu risināšana ar pilnvarām

Reiziniet eksponenta bāzi ar to skaitu, kas ir vienāds ar eksponentu. Ja jums ir manuāli jāatrisina problēma ar eksponentiem, pārrakstiet eksponentu kā reizināšanas darbību, kur eksponenta bāze tiek reizināta ar sevi. Piemēram, ņemot vērā grādu 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Šajā gadījumā 3. pakāpes bāze jāreizina ar sevi 4 reizes: 3*3*3*3 (\displaystyle 3*3*3*3). Šeit ir citi piemēri:

Pirmkārt, reiziniet pirmos divus skaitļus. Piemēram, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displeja stils 4*4*4*4*4). Neuztraucieties – aprēķinu process nav tik sarežģīts, kā šķiet no pirmā acu uzmetiena. Vispirms reiziniet pirmos divus četrkāršus un pēc tam aizstājiet tos ar rezultātu. Kā šis:

• 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displeja stils 4*4=16)

1. Reiziniet rezultātu (mūsu piemērā 16) ar nākamais numurs. Katrs nākamais rezultāts proporcionāli palielināsies. Mūsu piemērā reiziniet 16 ar 4. Šādi:

   • 4 5 = 16 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^ (5) = 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displeja stils 16*4=64)
   • 4 5 = 64 × 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Turpiniet reizināt pirmo divu skaitļu reizināšanas rezultātu ar nākamo skaitli, līdz iegūstat galīgo atbildi. Lai to izdarītu, reiziniet pirmos divus skaitļus un pēc tam reiziniet rezultātu ar nākamo skaitli pēc kārtas. Šī metode ir piemērota jebkuram grādam. Mūsu piemērā jums vajadzētu iegūt: 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 (\displaystyle 4^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024) .

2. Atrisiniet tālāk norādītās problēmas. Pārbaudiet savu atbildi ar kalkulatoru.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Kalkulatorā meklējiet atslēgu ar apzīmējumu "exp" vai " x n (\displaystyle x^(n))", vai "^". Ar šo taustiņu jūs paaugstināsit skaitli pakāpē. Ir praktiski neiespējami manuāli aprēķināt grādu ar lielu eksponentu (piemēram, grādu 9 15 (\displaystyle 9^(15))), taču kalkulators var viegli tikt galā ar šo uzdevumu. Operētājsistēmā Windows 7 standarta kalkulatoru var pārslēgt uz inženierijas režīmu; lai to izdarītu, noklikšķiniet uz "Skatīt" -\u003e "Inženierzinātnes". Lai pārslēgtos uz parasto režīmu, noklikšķiniet uz "Skatīt" -\u003e "Parasti".

   • Pārbaudiet saņemto atbildi, izmantojot meklētājprogrammu (Google vai Yandex). Izmantojot datora tastatūras taustiņu "^", ievadiet izteiksmi meklētājprogrammā, kas uzreiz parādīs pareizo atbildi (un, iespējams, ieteiks līdzīgus izteicienus izpētei).

   Pakāpju saskaitīšana, atņemšana, reizināšana

   1. Pakāpes var pievienot un atņemt tikai tad, ja tām ir vienāda bāze. Ja jums ir jāpievieno jaudas ar vienādām bāzēm un eksponentiem, tad saskaitīšanas darbību varat aizstāt ar reizināšanas darbību. Piemēram, ņemot vērā izteiksmi 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Atcerieties, ka grāds 4 5 (\displaystyle 4^(5)) var attēlot kā 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); tātad, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displeja stils 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(kur 1+1 =2). Tas ir, saskaitiet līdzīgu grādu skaitu un pēc tam reiziniet šo grādu ar šo skaitli. Mūsu piemērā paaugstiniet 4 līdz piektajai pakāpei un pēc tam reiziniet rezultātu ar 2. Atcerieties, ka saskaitīšanas darbību var aizstāt ar reizināšanas darbību, piemēram, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Šeit ir citi piemēri:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5–4 5 + 2 = 2 (\displeja stils 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Reizinot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, tiek pievienoti to eksponenti (bāze nemainās). Piemēram, ņemot vērā izteiksmi x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Šajā gadījumā jums vienkārši jāpievieno indikatori, atstājot bāzi nemainīgu. Pa šo ceļu, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Šeit ir šī noteikuma vizuāls skaidrojums:

      Paaugstinot jaudu līdz pakāpei, eksponenti tiek reizināti. Piemēram, ņemot vērā grādu. Tā kā eksponenti tiek reizināti, tad (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displeja stils (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Šī noteikuma nozīme ir tāda, ka jūs reizinat spēku (x 2) (\displaystyle (x^(2))) uz sevi piecas reizes. Kā šis:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^ (2))^ (5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displeja stils (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Tā kā bāze ir vienāda, eksponenti vienkārši summējas: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displeja stils (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Eksponents ar negatīvu eksponentu jāpārvērš daļdaļā (apgrieztajā pakāpē). Tas nav svarīgi, ja jūs nezināt, kas ir savstarpējs. Ja jums tiek piešķirts grāds ar negatīvu eksponentu, piemēram, 3–2 (\displaystyle 3^(-2)), ierakstiet šo pakāpju daļskaitļa saucējā (skaitītājā ielieciet 1) un padariet eksponentu pozitīvu. Mūsu piemērā: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1) (3^(2)))). Šeit ir citi piemēri:

      Sadalot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, tiek atņemti to eksponenti (bāze nemainās). Dalīšanas darbība ir pretēja reizināšanas darbībai. Piemēram, ņemot vērā izteiksmi 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Atņemiet eksponentu saucējā no eksponenta skaitītājā (bāzi nemainiet). Pa šo ceļu, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4)))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Gādu saucējā var ierakstīt šādi: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1) (4^(2)))) = 4–2 (\displaystyle 4^(-2)). Atcerieties, ka daļa ir skaitlis (pakāpe, izteiksme) ar negatīvu eksponentu.

   4. Tālāk ir sniegti daži izteicieni, kas palīdzēs jums uzzināt, kā atrisināt jaudas problēmas. Iepriekš minētie izteicieni attiecas uz šajā sadaļā sniegto materiālu. Lai redzētu atbildi, vienkārši iezīmējiet tukšo vietu aiz vienādības zīmes.

      Problēmu risināšana ar daļskaitļa eksponentiem

      1. Pakāpe ar daļēju eksponentu (piemēram, ) tiek pārveidota par saknes ekstrakcijas darbību. Mūsu piemērā: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Nav svarīgi, kāds skaitlis ir daļējā eksponenta saucējā. Piemēram, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) ir "x" ceturtā sakne x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

      2. Ja eksponents ir nepareiza frakcija, tad šādu jaudu var sadalīt divās pakāpēs, lai vienkāršotu problēmas risinājumu. Šeit nav nekā sarežģīta - vienkārši atcerieties noteikumu par spēku pavairošanu. Piemēram, ņemot vērā grādu. Pārvērtiet šo eksponentu par sakni, kuras eksponents ir vienāds ar daļējā eksponenta saucēju, un pēc tam paaugstiniet šo sakni līdz eksponentam, kas vienāds ar daļēja eksponenta skaitītāju. Lai to izdarītu, atcerieties to 5 3 (\displaystyle (\frac (5) (3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1) (3)))*5). Mūsu piemērā:

         • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
         • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1) (3))=(\sqrt[(3)](x)))
         • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
      3. Dažiem kalkulatoriem ir poga eksponentu aprēķināšanai (vispirms jāievada bāze, pēc tam jānospiež poga un pēc tam jāievada eksponents). To apzīmē kā ^ vai x^y.
      4. Atcerieties, ka jebkurš skaitlis ir vienāds ar pirmo pakāpi, piemēram, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Turklāt jebkurš skaitlis, kas reizināts vai dalīts ar vienu, ir vienāds ar sevi, piemēram, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) un 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
      5. Ziniet, ka pakāpe 0 0 neeksistē (šādai pakāpei nav risinājuma). Mēģinot atrisināt šādu grādu kalkulatorā vai datorā, jūs saņemsit kļūdu. Bet atcerieties, ka jebkurš skaitlis līdz nulles pakāpei ir vienāds ar 1, piemēram, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
      6. Augstākajā matemātikā, kas darbojas ar iedomātiem skaitļiem: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), kur i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e ir konstante, kas aptuveni vienāda ar 2,7; a ir patvaļīga konstante. Šīs vienlīdzības pierādījumus var atrast jebkurā augstākās matemātikas mācību grāmatā.

      Brīdinājumi

      • Palielinoties eksponentam, tā vērtība ievērojami palielinās. Tāpēc, ja atbilde tev šķiet nepareiza, patiesībā tā var izrādīties patiesa. To var pārbaudīt, uzzīmējot jebkuru eksponenciālā funkcija, piemēram, 2 x .