Atrisinot uzdevumus un dažus izteicienus, ne vienmēr tiek sniegtas skaidras skaitliskās atbildes. Pat triviālu aprēķinu gadījumā var nonākt pie noteiktas konstrukcijas, ko sauc par izteiksmi ar mainīgo.
Piemēram, apsveriet divas praktiskas problēmas. Pirmajā gadījumā mums ir ražotne, kas ik dienu ražo 5 tonnas piena. Jānoskaidro, cik daudz piena augs saražo p dienās.
Otrajā gadījumā ir taisnstūris, kura platums ir 5 cm un garums p cm. Atrodiet figūras laukumu.
Protams, ja rūpnīca saražo piecas tonnas dienā, tad p dienās, pēc vienkāršākās matemātiskās loģikas, tā saražos 5r tonnas piena. No otras puses, taisnstūra laukums ir vienāds ar tā malu reizinājumu - tas ir, šajā gadījumā tas ir 5p. Citiem vārdiem sakot, divās triviālās problēmās ar dažādi apstākļi, atbilde ir viena vesela izteiksme - 5p. Šādus monomālus sauc par izteiksmi ar mainīgo, jo papildus skaitliskajai daļai tie satur kādu burtu, ko sauc par nezināmo, vai mainīgo. Šis elements ir norādīts mazie burti latīņu alfabēts, visbiežāk, x vai y, lai gan tam nav nozīmes.
Mainīgā iezīme ir tāda, ka praksē tas var iegūt jebkuru vērtību. Aizstāšana dažādi skaitļi, mēs iegūsim gala risinājumu saviem uzdevumiem, piemēram, pirmajam:
p = 2 dienas, iekārta saražo 5p = 10 tonnas piena;
p = 4 dienas, iekārta saražo 5p = 20 tonnas piena;
Vai arī otrajam:
p \u003d 10 cm, figūras laukums ir 5p \u003d 50 cm2
p \u003d 20 cm, figūras laukums ir 5p \u003d 100 cm2
Ir svarīgi saprast, ka p nav dažu atsevišķu vērtību kopa, bet gan visa kopa, kas matemātiski atbildīs problēmas stāvoklim. Mainīgā galvenā loma ir aizstāt trūkstošo elementu stāvoklī. Jebkurš matemātiska problēma jāiekļauj dažas konstrukcijas un jāparāda attiecības starp šīm konstrukcijām nosacījumā. Ja ar kāda objekta vērtību nepietiek, tā vietā tiek ieviests mainīgais. Tajā pašā laikā tā ir abstrakta paša nosacījuma elementa aizstāšana (ar skaitļa vai izteiksmes attēlotā kaut kā daudzuma), nevis ar funkcionāliem savienojumiem.
Ja mēs uzskatām izteiksmi formā 5p par neitrālu un neatkarīgu objektu, tad p vērtība tajā var iegūt jebkuras vērtības, faktiski p šeit ir vienāds ar visu kopu. reāli skaitļi.
Bet mūsu uzdevumos atbildei tiek uzlikti noteikti matemātiski ierobežojumi 5p formā, kas izriet no nosacījumiem. Piemēram, dienas un dienas nevar būt negatīvas, tāpēc p abās problēmās vienmēr ir nulle vai vairāk no tā. Turklāt dienas nevar būt daļskaitlis - pirmajam uzdevumam ir derīgas tikai tās p vērtības, kas ir pozitīvi veseli skaitļi.
Pirmajā uzdevumā: p ir vienāds ar visu pozitīvo veselo skaitļu galīgo kopu;
Otrajā uzdevumā: p ir vienāds ar visu pozitīvo skaitļu galīgo kopu.
Izteiksmēs var vienlaikus iekļaut divus mainīgos, piemēram:
Šajā gadījumā binomiālu attēlo divi monomi, no kuriem katram ir mainīgs savā sastāvā, un šie mainīgie ir atšķirīgi, tas ir, neatkarīgi viens no otra. Šīs izteiksmes vērtību var pilnībā aprēķināt tikai tad, ja ir abu mainīgo lielumu vērtība. Piemēram, ja x = 2 un y = 4, tad:
2x + 3y \u003d 4 + 12 \u003d 16 (x \u003d 2, y \u003d 4)
Ir vērts atzīmēt, ka šajā izteiksmē nav matemātisku vai loģisku ierobežojumu mainīgā vērtībām - gan x, gan y pieder visai reālo skaitļu kopai.
Vispārīgi runājot, visu skaitļu kopu, kad mainīgo aizstājot, izteiksme saglabā nozīmi un derīgumu, sauc par mainīgā definīcijas (vai vērtības) domēnu.
Abstraktos piemēros, kas nav saistīti ar reālām problēmām, mainīgā lieluma apjoms visbiežāk ir vienāds ar visu reālo skaitļu kopu vai arī ir ierobežots ar dažām konstrukcijām, piemēram, daļskaitli. Kā zināms, kad dalītājs ir nulle, visa daļa zaudē savu nozīmi. Tāpēc mainīgais formas izteiksmē:
nevar būt vienāds ar pieci, jo tad:
7x / (x - 5) \u003d 7x / 0 (x \u003d 5)
Un daļa zaudēs savu nozīmi. Tāpēc šai izteiksmei mainīgajam x ir definīcijas domēns - visu skaitļu kopa, izņemot 5.
Mūsu video pamācībā ir atzīmēts arī īpašs mainīgo izmantošanas gadījums, kad tie apzīmē vienu un to pašu numuru. Piemēram, skaitļus 54, 30, 78 var norādīt, izmantojot mainīgo a vai konstrukciju ab (ar horizontālu joslu augšpusē, lai atšķirtu no produkta), kur b norāda vienības (attiecīgi 4, 0, 8). ), un desmitiem (attiecīgi 5, 3, 7).
Apsvērsim nelielu problēmu, kas bieži sastopama dažādos žurnālos un burvju trikos.
Burvis lūdz uzminēt noteiktu skaitli. Tad viņš lūdz to reizināt ar trīs un rezultātam pievienot sešus. Tad viņš lūdz saņemto summu dalīt ar trīs un iegūto skaitli atņemt no rezultāta. Pēc tam viņš pasaka pareizo atbildi.
Kā tas notiek, vai tā tiešām ir maģija?
Nē, patiesībā ir vieglāk. Padomāsim par skaitli 5. Tagad mēs veiksim visas darbības, ko burvis mums piedāvāja.
- 1. 5*3=15.
- 2. 15+6=21.
- 3. 21:3=7.
- 4. 7-5=2.
Mēs saņēmām divus atbildi. To pašu risinājumu mēs varētu uzrakstīt kā skaitlisku izteiksmi (5 * 3 + 6): 3 - 5. Un tā vērtība būtu skaitlis 2.
Tagad pieņemsim, ka esam iedomājušies skaitli 3. Rezultāts būtu skaitliska izteiksme (3 * 3 + 6): 3 - 3. Un tā vērtība būtu skaitlis 2.
Atkal divi. Rodas doma, ka nekāda viltība te nav, un katrā ziņā tiks iegūts skaitlis 2. Mēģināsim šo pārbaudīt. Apzīmēsim izdomāto skaitli ar burtu x un pierakstīsim visas darbības, kuras burvis lūdza veikt vajadzīgajā secībā.
- Mēs iegūstam (x * 3 + 6): 3 -x.
- (x * 3 + 6): 3 - x \u003d x + 2-x \u003d 2.
Izrādās, ka mūsu iecerētais skaitlis vispār nespēlē nekādu lomu, tas jebkurā gadījumā tiks samazināts.
Problēmas analīzē mēs saņēmām izteiksmi (x * 3 + 6): 3 -x, ko raksta, izmantojot burtu, kas apzīmē jebkuru skaitli, ciparus 3 un 6, iekavas un darbības zīmes. Šādu izteiksmi sauc par algebrisko izteiksmi vai izteiksmi ar mainīgo.
Izteiksmes definēšana ar mainīgo
- Algebrisko izteiksmi vai izteiksmi ar mainīgo sauc par jebkuru jēgpilnu apzīmējumu, kas sastāv no burtiem, kas apzīmē jebkuru ciparu, ciparus un darbības zīmes.
Piemēram, šādi ieraksti būtu algebriskas izteiksmes:
- 2*(x+y),
- 34*a–13*a*x,
- (123-65 * a): 3 +4.
Ja katra algebriskajā izteiksmē iekļautā burta vietā mēs aizstājam noteiktu skaitlisko vērtību un pēc tam veicam visas darbības, rezultāts būs noteikts skaitlis. Šo numuru sauc nozīmē algebriskā izteiksme.
Piemēram, algebriskās izteiksmes 5*a+2*x-7 vērtība ar a=2 un x=3 būs skaitlis 9, jo 5*2+2*3 -7 = 9.
Problēmā, kuru mēs izskatījām sākumā, algebriskās izteiksmes vērtība (x * 3 + 6): 3 - x būs skaitlis 2 jebkurai mainīgā x vērtībai.
Tiek izsauktas izteiksmes, kas sastāv no cipariem, darbības zīmēm un iekavām skaitliskās izteiksmes. Tiek izsaukts skaitlis, kas ir visu darbību veikšanas rezultāts skaitliskā izteiksmē skaitliskās izteiksmes vērtība. O skaitliskās izteiksmes kuriem nav nozīmes, saka, ka tādi ir nav jēgas.
Skaitļu salīdzināšanai tiek izmantotas zīmes. 
,
,
,
,
. Šajā gadījumā dubultās formas nevienādības 
utt. Nevienlīdzības, kas izmanto zīmes 
un 
, zvanīja stingri, kas izmanto zīmes 
un 
,
–nav stingri.
Izteiksmes, kas sastāv no cipariem, burtiem, darbības zīmēm un iekavām, sauc par burtiskām izteiksmēm vai mainīgas izteiksmes vai ar mainīgajiem. Mainīgo vērtību kopa, kurai izteiksmei ar mainīgo ir skaitliska vērtība (ir jēga), tiek saukta derīgs diapazonsšīs izteiksmes mainīgais.
Ciparu rakstīšanai tiek izmantotas mainīgās izteiksmes noteikta veida. Piemēram, ieraksts 
nozīmē jebkuru trīsciparu skaitli, kam ir 
simtiem 
desmitiem un 
vienības, t.i. 
. Izmantojot burtiskās izteiksmes, ir ērti pierakstīt matemātiskos noteikumus, likumus, definīcijas. Piemēram, moduļa definīcija(absolūtā vērtība) cipariem
var uzrakstīt šādi: 
.
Statistikas elementi
Tiek izsaukta skaitļu virkne, kas iegūta statistiskā pētījuma rezultātā statistiskais paraugs vai vienkārši paraugu ņemšana, un katrs šīs sērijas numurs ir opciju paraugi. Tiek izsaukts skaitļu skaits rindā apjoms paraugi. Tiek izsaukta parauga ierakstīšana, kad nākamā opcija nav mazāka par iepriekšējo pasūtītas datu sērijas(vai variācijas sērijas).
Izlases vidējais aritmētiskais sauc par visu izlases variantu summas un variantu skaita koeficientu (t.i., visu variantu un variantu summas koeficientu apjoms paraugi). Tiek izsaukts viena un tā paša varianta gadījumu skaits izlasē biežumsšo iespēju. Tiek izsaukts paraugs ar visaugstāko frekvenci modes paraugu ņemšana. Atšķirību starp lielāko un mazāko paraugu sauc lielā mērogā paraugi. Ja sakārtotajā datu sērijā ir nepāra variantu skaits, tad tiek izsaukts varianta vidējā rādītājs mediāna. Ja sakārtotajā rindā ir pāra skaits variantu, tad varianta divu vidējo aritmētisko vidējo sauc mediāna.
Sagatavošanas iespēja
Problēmu nosacījumu rakstīšana, izmantojot matemātikā pieņemto apzīmējumu, noved pie tā saukto matemātisko izteiksmju parādīšanās, kuras vienkārši sauc par izteiksmēm. Šajā rakstā mēs detalizēti runāsim par skaitliskās, burtiskās un mainīgās izteiksmes: sniegsim definīcijas un sniegsim katra veida izteicienu piemērus.
Lapas navigācija.
Skaitliskās izteiksmes - kas tas ir?
Iepazīšanās ar skaitliskām izteiksmēm sākas gandrīz no pirmajām matemātikas stundām. Bet to nosaukumu - skaitliskās izteiksmes - viņi oficiāli iegūst nedaudz vēlāk. Piemēram, ja sekojat M. I. Moro kursam, tas notiek 2. klases matemātikas mācību grāmatas lappusēs. Tur skaitlisko izteiksmju attēlojums dots šādi: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6) , 1+1+1+1+1 utt. - tas ir viss skaitliskās izteiksmes, un, ja izpildīsim norādītās darbības izteiksmē, tad atradīsim izteiksmes vērtība.
Var secināt, ka šajā matemātikas studiju posmā skaitliskās izteiksmes sauc par ierakstiem, kuriem ir matemātiska nozīme, kas sastāv no skaitļiem, iekavām un saskaitīšanas un atņemšanas zīmēm.
Nedaudz vēlāk, pēc iepazīšanās ar reizināšanu un dalīšanu, ciparu izteiksmju ieraksti sāk saturēt zīmes "·" un ":". Šeit ir daži piemēri: 6 4, (2+5) 2, 6:2, (9 3):3 utt.
Un vidusskolā skaitļu izteiksmju ierakstu dažādība aug kā sniega bumba, kas ripo no kalna. Tie šķiet parasti un decimāldaļas, jaukti skaitļi un negatīvi skaitļi, grādiem, saknēm, logaritmiem, sinusiem, kosinusiem un tā tālāk.
Apkoposim visu informāciju skaitliskās izteiksmes definīcijā:
Definīcija.
Skaitliskā izteiksme ir skaitļu, aritmētisko darbību zīmju, daļskaitļu zīmju, sakņu zīmju (radikāļu), logaritmu, trigonometrisko, apgriezto trigonometrisko un citu funkciju apzīmējumu, kā arī iekavu un citu īpašu matemātisko simbolu kombinācija, kas sastādīta saskaņā ar pieņemtajiem noteikumiem. matemātika.
Izskaidrosim visas izteiktās definīcijas sastāvdaļas.
Ciparu izteiksmēs var piedalīties pilnīgi visi skaitļi: no dabīgiem līdz reāliem un pat sarežģītiem. Tas ir, skaitliskās izteiksmēs var satikties
Ar aritmētisko darbību zīmēm viss ir skaidrs - tās ir attiecīgi saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas zīmes, kurām ir forma "+", "−", "·" un ":". Skaitliskās izteiksmēs var būt viena no šīm rakstzīmēm, dažas no tām vai visas vienlaikus un vairākas reizes. Šeit ir piemēri skaitliskām izteiksmēm ar tām: 3+6 , 2.2+3.3+4.4+5.5 , 41–2 4:2–5+12 3 2:2:3:12–1/12.
Kas attiecas uz iekavām, ir gan skaitliskās izteiksmes, kurās ir iekavas, gan izteiksmes bez tām. Ja skaitliskā izteiksmē ir iekavas, tad tās būtībā ir
Un dažreiz iekavām skaitliskās izteiksmēs ir kāds konkrēts, atsevišķi norādīts īpašs mērķis. Piemēram, jūs varat satikties kvadrātiekavās apzīmējot skaitļa veselo daļu, tātad skaitliskā izteiksme +2 nozīmē, ka skaitlis 2 tiek pievienots skaitļa veselajai daļai 1,75.
No skaitliskās izteiksmes definīcijas ir arī skaidrs, ka izteiksme var saturēt , , log , ln , lg , apzīmējumus utt. Šeit ir piemēri skaitliskām izteiksmēm ar tām: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 un 
.
Dalījumu skaitliskās izteiksmēs var apzīmēt ar . Šajā gadījumā ir skaitliskas izteiksmes ar daļskaitļiem. Šeit ir šādu izteiksmju piemēri: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 un 
.
Kā īpašus matemātiskos simbolus un apzīmējumus, kas atrodami skaitliskās izteiksmēs, mēs dodam. Piemēram, parādīsim skaitlisko izteiksmi ar moduli 
.
Kas ir burtiski izteicieni?
Literāro izteiksmju jēdziens tiek dots gandrīz uzreiz pēc iepazīšanās ar skaitliskām izteiksmēm. Tas ir ievadīts šādi. Noteiktā skaitliskā izteiksmē viens no skaitļiem netiek pierakstīts, bet tā vietā tiek likts aplis (vai kvadrāts, vai kas tamlīdzīgs), un teikts, ka apli var aizstāt ar noteiktu skaitli. Ņemsim ierakstu kā piemēru. Ja kvadrāta vietā ievietojat, piemēram, skaitli 2, tad iegūstat skaitlisku izteiksmi 3 + 2. Tātad, nevis apļi, kvadrāti utt. piekrita rakstīt vēstules, un tādus izteicienus ar burtiem sauca burtiski izteicieni. Atgriezīsimies pie mūsu piemēra, ja šajā ierakstā kvadrāta vietā ievietojam burtu a, tad iegūstam formas 3+a burtisku izteiksmi.
Tātad, ja pieļaujam burtu klātbūtni skaitliskā izteiksmē, kas apzīmē dažus skaitļus, tad iegūstam tā saukto burtisko izteiksmi. Sniegsim atbilstošu definīciju.
Definīcija.
Tiek izsaukta izteiksme, kas satur burtus, kas apzīmē dažus ciparus burtiskā izteiksme.
No šī definīcija ir skaidrs, ka burtiskā izteiksme būtībā atšķiras no skaitliskās izteiksmes ar to, ka tajā var būt burti. Parasti burtiskās izteiksmēs tiek izmantoti mazie latīņu alfabēta burti (a, b, c, ...), un, apzīmējot leņķus, mazie grieķu alfabēta burti (α, β, γ, ...).
Tātad burtiskās izteiksmes var sastāvēt no cipariem, burtiem un saturēt visus matemātiskos simbolus, ko var atrast skaitliskās izteiksmēs, piemēram, iekavas, saknes zīmes, logaritmus, trigonometriskās un citas funkcijas utt. Atsevišķi mēs uzsveram, ka burtiskā izteiksmē ir vismaz viens burts. Bet tajā var būt arī vairāki vienādi vai atšķirīgi burti.
Tagad mēs sniedzam dažus burtisku izteicienu piemērus. Piemēram, a+b ir burtiska izteiksme ar burtiem a un b . Šeit ir vēl viens burtiskās izteiksmes 5 x 3 −3 x 2 +x−2,5 piemērs. Un mēs sniedzam burtiskas izteiksmes piemēru komplekss tips: 
.
Izteiksmes ar mainīgajiem
Ja burtiskā izteiksmē burts apzīmē vērtību, kas nepieņem kādu konkrētu vērtību, bet var pieņemt dažādas nozīmes, tad šo vēstuli sauc mainīgs un izteicienu sauc mainīga izteiksme.
Definīcija.
Izteiksme ar mainīgajiem ir burtiska izteiksme, kurā burti (visi vai daži) apzīmē lielumus, kas iegūst dažādas vērtības.
Piemēram, izteiksmē x 2 −1 burts x var iegūt jebkuras dabiskās vērtības no intervāla no 0 līdz 10, tad x ir mainīgais, un izteiksme x 2 −1 ir izteiksme ar mainīgo x .
Ir vērts atzīmēt, ka izteiksmē var būt vairāki mainīgie. Piemēram, ja mēs uzskatām x un y par mainīgajiem, tad izteiksme 
ir izteiksme ar diviem mainīgajiem x un y .
Kopumā pāreja no burtiskas izteiksmes jēdziena uz izteiksmi ar mainīgajiem notiek 7. klasē, kad viņi sāk apgūt algebru. Līdz šim burtiski izteicieni ir modelējuši dažus konkrētus uzdevumus. Algebrā viņi sāk aplūkot izteiksmi vispārīgāk, nesaistoties ar konkrētu uzdevumu, saprotot, ka dotā izteiksme piemērots plašam uzdevumu klāstam.
Noslēdzot šo punktu, pievērsīsim uzmanību vēl vienam punktam: saskaņā ar izskats burtiskā izteiksme, nav iespējams zināt, vai tajā esošie burti ir mainīgie vai nav. Tāpēc nekas neliedz mums šos burtus uzskatīt par mainīgajiem. Šajā gadījumā pazūd atšķirība starp terminiem "burtiskā izteiksme" un "izteiksme ar mainīgajiem".
Bibliogrāfija.
- Matemātika. 2 šūnas Proc. vispārējai izglītībai iestādes ar adj. uz elektronu. pārvadātājs. Plkst.2, 1.daļa / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltjukova un citi] - 3. izd. - M.: Izglītība, 2012. - 96 lpp.: ill. - (Krievijas skola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Matemātika: studijas. 5 šūnām. vispārējā izglītība institūcijas / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 lpp.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Algebra: mācību grāmata 7 šūnām. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 17. izd. - M. : Izglītība, 2008. - 240 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M. : Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.