Starp dažādajām algebrā aplūkotajām izteiksmēm monomālu summas ieņem nozīmīgu vietu. Šeit ir šādu izteicienu piemēri:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Monomu summu sauc par polinomu. Polinoma terminus sauc par polinoma terminiem. Monomiālus klasificē arī kā polinomus, uzskatot, ka mononoms ir polinoms, kas sastāv no viena locekļa.

Piemēram, polinoms
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
var vienkāršot.

Visus terminus attēlosim monomu veidā standarta skats:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Iesniegsim līdzīgus terminus iegūtajā polinomā:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultāts ir polinoms, kura visi termini ir standarta formas monomi, un starp tiem nav līdzīgu. Tādus polinomus sauc standarta formas polinomi.

Aiz muguras polinoma pakāpe standarta veidlapas veidlapā, ir augstākās no tās locekļu pilnvarām. Tādējādi binomiālam \(12a^2b - 7b\) ir trešā pakāpe, bet trinomim \(2b^2 -7b + 6\) ir otrā pakāpe.

Parasti standarta formas polinomu termini, kas satur vienu mainīgo, ir sakārtoti eksponentu dilstošā secībā. Piemēram:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Vairāku polinomu summu var pārveidot (vienkāršot) standarta formas polinomā.

Dažreiz polinoma termini ir jāsadala grupās, katru grupu iekļaujot iekavās. Tā kā pievienojošās iekavas ir atverošo iekavu apgrieztā transformācija, to ir viegli formulēt iekavu atvēršanas noteikumi:

Ja pirms iekavām ir zīme “+”, tad iekavās ietvertos terminus raksta ar tādām pašām zīmēm.

Ja pirms iekavām ir zīme “-”, tad iekavās ietvertos terminus raksta ar pretējām zīmēm.

Monoma un polinoma reizinājuma transformācija (vienkāršošana).

Izmantojot reizināšanas sadales īpašību, jūs varat pārveidot (vienkāršot) monoma un polinoma reizinājumu polinomā. Piemēram:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Monoma un polinoma reizinājums ir identiski vienāds ar šī monoma un katra polinoma skaitļa reizinājumu summu.

Šis rezultāts parasti tiek formulēts kā likums.

Lai reizinātu monomu ar polinomu, šis monoms ir jāreizina ar katru polinoma vārdu.

Mēs jau esam izmantojuši šo noteikumu vairākas reizes, lai reizinātu ar summu.

Polinomu reizinājums. Divu polinomu reizinājuma transformācija (vienkāršošana).

Kopumā divu polinoma reizinājums ir identiski vienāds ar viena polinoma katra vārda reizinājumu un otra polinoma katra vārda reizinājumu.

Parasti tiek izmantots šāds noteikums.

Lai reizinātu polinomu ar polinomu, jums ir jāreizina katrs viena polinoma termins ar otru un jāsaskaita iegūtie produkti.

Saīsinātās reizināšanas formulas. Summa kvadrāti, kvadrātu atšķirības un atšķirības

Ar dažām izteiksmēm algebriskajās transformācijās nākas saskarties biežāk nekā ar citām. Iespējams, visizplatītākās izteiksmes ir \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) un \(a^2 - b^2 \), t.i., summas kvadrāts, kvadrāts kvadrātu atšķirība un atšķirība. Jūs pamanījāt, ka šo izteiksmju nosaukumi šķiet nepilnīgi, piemēram, \((a + b)^2 \), protams, nav tikai summas kvadrāts, bet arī a un b summas kvadrāts. . Taču a un b summas kvadrāts negadās īpaši bieži, parasti burtu a un b vietā tajā ir dažādas, dažkārt diezgan sarežģītas izteiksmes.

Izteiksmes \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) var viegli konvertēt (vienkāršot) standarta formas polinomos; patiesībā jūs jau esat saskāries ar šo uzdevumu, reizinot polinomus:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Ir lietderīgi atcerēties iegūtās identitātes un lietot tās bez starpaprēķiniem. To palīdz īsi verbāli formulējumi.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - summas kvadrāts ir vienāds ar kvadrātu summu un dubultreizinājumu.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - starpības kvadrāts ir vienāds ar kvadrātu summu bez dubultā reizinājuma.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - kvadrātu starpība ir vienāda ar starpības un summas reizinājumu.

Šīs trīs identitātes ļauj transformācijās aizstāt tās kreisās daļas ar labajām un otrādi - labās puses daļas ar kreisajām. Visgrūtākais ir saskatīt atbilstošās izteiksmes un saprast, kā tajos tiek aizstāti mainīgie a un b. Apskatīsim vairākus saīsināto reizināšanas formulu izmantošanas piemērus.

Ciparus un izteiksmes, kas veido sākotnējo izteiksmi, var aizstāt ar identiski vienādām izteiksmēm. Šāda sākotnējās izteiksmes transformācija noved pie izteiksmes, kas tai ir identiski vienāda.

Piemēram, izteiksmē 3+x skaitli 3 var aizstāt ar summu 1+2, kā rezultātā tiks iegūta izteiksme (1+2)+x, kas ir identiski vienāda ar sākotnējo izteiksmi. Vēl viens piemērs: izteiksmē 1+a 5 jaudu a 5 var aizstāt ar identiski vienādu reizinājumu, piemēram, ar formu a·a 4. Tādējādi mēs iegūsim izteiksmi 1+a·a 4 .

Šī transformācija neapšaubāmi ir mākslīga un parasti ir sagatavošanās dažām turpmākām pārvērtībām. Piemēram, summā 4 x 3 +2 x 2, ņemot vērā pakāpes īpašības, terminu 4 x 3 var attēlot kā reizinājumu 2 x 2 2 x. Pēc šīs transformācijas sākotnējā izteiksme būs 2 x 2 2 x+2 x 2. Acīmredzot terminiem iegūtajā summā ir kopīgs koeficients 2 x 2, tāpēc mēs varam veikt šādu transformāciju - iekavu iekavu. Pēc tā nonākam pie izteiksmes: 2 x 2 (2 x+1) .

Viena un tā paša skaitļa pievienošana un atņemšana

Vēl viena izteiksmes mākslīga transformācija ir viena un tā paša skaitļa vai izteiksmes saskaitīšana un vienlaicīga atņemšana. Šī transformācija ir identiska, jo būtībā tā ir līdzvērtīga nulles pievienošanai, un nulles pievienošana nemaina vērtību.

Apskatīsim piemēru. Ņemsim izteiksmi x 2 +2·x. Ja pievienosit tam vienu un atņemsit vienu, tas ļaus nākotnē veikt vēl vienu identisku transformāciju - kvadrātā binomiāls: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1-1=(x+1) 2 -1.

Bibliogrāfija.

• Algebra: mācību grāmata 7. klasei vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 17. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 240 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičs A.G. Algebra. 7. klase. 2 stundās.1.daļa.Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs. - 17. izd., pievienot. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.

Skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas pamatīpašības.

Saskaitīšanas komutatīva īpašība: terminu pārkārtošana nemaina summas vērtību. Jebkuriem skaitļiem a un b vienādība ir patiesa

Saskaitīšanas kombinētā īpašība: lai divu skaitļu summai pievienotu trešo skaitli, pirmajam skaitlim var pievienot otrā un trešā summa. Jebkuriem skaitļiem a, b un c vienādība ir patiesa

Reizināšanas komutatīva īpašība: faktoru pārkārtošana nemaina reizinājuma vērtību. Jebkuriem skaitļiem a, b un c vienādība ir patiesa

Reizināšanas kombinētā īpašība: lai reizinātu divu skaitļu reizinājumu ar trešo skaitli, pirmo skaitli var reizināt ar otrā un trešā reizinājumu.

Jebkuriem skaitļiem a, b un c vienādība ir patiesa

Sadales īpašība: lai reizinātu skaitli ar summu, varat reizināt šo skaitli ar katru vārdu un pievienot rezultātus. Jebkuriem skaitļiem a, b un c vienādība ir patiesa

No saskaitīšanas komutatīvajām un kombinatīvajām īpašībām izriet: jebkurā summā jūs varat pārkārtot terminus, kā vēlaties, un patvaļīgi apvienot tos grupās.

1. piemērs Aprēķināsim summu 1,23+13,5+4,27.

Lai to izdarītu, ir ērti apvienot pirmo termiņu ar trešo. Mēs iegūstam:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

No reizināšanas komutatīvajām un kombinatīvajām īpašībām izriet: jebkurā produktā jūs varat jebkurā veidā pārkārtot faktorus un patvaļīgi apvienot tos grupās.

2. piemērs Atradīsim reizinājuma vērtību 1,8·0,25·64·0,5.

Apvienojot pirmo faktoru ar ceturto un otro ar trešo, mēs iegūstam:

1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.

Sadales īpašība ir patiesa arī tad, ja skaitli reizina ar trīs vai vairāku vārdu summu.

Piemēram, jebkuriem skaitļiem a, b, c un d vienādība ir patiesa

a(b+c+d)=ab+ac+reklāma.

Mēs zinām, ka atņemšanu var aizstāt ar saskaitīšanu, pievienojot minējumam pretējo apakšdaļas skaitli:

Tas ļauj izmantot skaitlisku izteiksmi tips a-b uzskatīt par skaitļu a un -b summu, skaitliskā izteiksme formā a+b-c-d uzskatāma par skaitļu a, b, -c, -d uc summu. Aplūkotās darbību īpašības ir spēkā arī šādām summām.

3. piemērs Atradīsim izteiksmes vērtību 3,27-6,5-2,5+1,73.

Šī izteiksme ir skaitļu 3,27, -6,5, -2,5 un 1,73 summa. Pielietojot saskaitīšanas īpašības, iegūstam: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

4. piemērs Aprēķināsim reizinājumu 36·().

Reizinātāju var uzskatīt par skaitļu un - summu. Izmantojot reizināšanas sadales īpašību, mēs iegūstam:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Identitātes

Definīcija. Divas izteiksmes, kuru atbilstošās vērtības ir vienādas jebkurai mainīgo vērtībai, sauc par identiski vienādām.

Definīcija. Vienādību, kas attiecas uz jebkuru mainīgo vērtību, sauc par identitāti.

Atradīsim izteiksmju 3(x+y) un 3x+3y vērtības, ja x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Mēs saņēmām tādu pašu rezultātu. No sadalījuma īpašības izriet, ka kopumā jebkurām mainīgo vērtībām atbilstošās izteiksmju vērtības 3(x+y) un 3x+3y ir vienādas.

Tagad apskatīsim izteiksmes 2x+y un 2xy. Ja x=1, y=2, tām ir vienādas vērtības:

Tomēr jūs varat norādīt x un y vērtības tā, lai šo izteiksmju vērtības nebūtu vienādas. Piemēram, ja x=3, y=4, tad

Izteiksmes 3(x+y) un 3x+3y ir identiski vienādas, bet izteiksmes 2x+y un 2xy nav identiski vienādas.

Vienādība 3(x+y)=x+3y, kas attiecas uz visām x un y vērtībām, ir identitāte.

Patiesas skaitliskās vienādības tiek uzskatītas arī par identitātēm.

Tādējādi identitātes ir vienādības, kas izsaka skaitļu darbību pamatīpašības:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Var sniegt citus identitātes piemērus:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Izteiksmju identiskas transformcijas

Vienas izteiksmes aizstāšanu ar citu identiski vienādu izteiksmi sauc par identisku transformāciju vai vienkārši izteiksmes transformāciju.

Identiskas izteiksmju transformācijas ar mainīgajiem tiek veiktas, pamatojoties uz skaitļu darbību īpašībām.

Lai atrastu izteiksmes xy-xz vērtību noteiktām x, y, z vērtībām, jums jāveic trīs darbības. Piemēram, ar x=2.3, y=0.8, z=0.2 mēs iegūstam:

xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.

Šo rezultātu var iegūt, veicot tikai divas darbības, ja izmantojat izteiksmi x(y-z), kas ir identiski vienāda ar izteiksmi xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.

Mēs esam vienkāršojuši aprēķinus, aizstājot izteiksmi xy-xz ar identiski vienādu izteiksmi x(y-z).

Identiskas izteiksmju transformācijas tiek plaši izmantotas izteiksmju vērtību aprēķināšanā un citu problēmu risināšanā. Dažas identiskas pārvērtības jau ir nācies veikt, piemēram, līdzīgu terminu atnešana, atvēršanas iekavas. Atgādināsim šo pārveidojumu veikšanas noteikumus:

lai iegūtu līdzīgus terminus, jums jāpievieno to koeficienti un rezultāts jāreizina ar kopējo burtu daļu;

ja pirms iekavām ir plus zīme, tad iekavas var izlaist, saglabājot katra termina zīmi iekavās;

Ja pirms iekavām ir mīnusa zīme, tad iekavas var izlaist, mainot katra iekavās ievietotā termina zīmi.

1. piemērs Uzrādīsim līdzīgus terminus summā 5x+2x-3x.

Izmantosim noteikumu līdzīgu terminu samazināšanai:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Šīs transformācijas pamatā ir reizināšanas sadales īpašība.

2. piemērs Atvērsim iekavas izteiksmē 2a+(b-3c).

Izmantojot kārtulu iekavu atvēršanai, pirms kuras ir plus zīme:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Veiktā transformācija ir balstīta uz asociatīvais īpašums papildinājums.

3. piemērs Atvērsim iekavas izteiksmē a-(4b-c).

Izmantosim kārtulu, lai atvērtu iekavas, pirms kurām ir mīnusa zīme:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Veiktā transformācija balstās uz reizināšanas sadales īpašību un saskaitīšanas kombinatorisko īpašību. Parādīsim to. Iedomāsimies iekšā šo izteicienu otrais termins -(4b-c) produkta veidā (-1) (4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Izmantojot norādītās darbību īpašības, mēs iegūstam:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Skaitliskās un algebriskās izteiksmes. Izteiksmju konvertēšana.

Kas ir izteiksme matemātikā? Kāpēc mums ir nepieciešami izteiksmju reklāmguvumi?

Jautājums, kā saka, ir interesants... Fakts ir tāds, ka šie jēdzieni ir visas matemātikas pamatā. Visa matemātika sastāv no izteiksmēm un to pārveidojumiem. Nav ļoti skaidrs? Ļauj man paskaidrot.

Pieņemsim, ka jūsu priekšā ir ļauns piemērs. Ļoti liels un ļoti sarežģīts. Pieņemsim, ka tev padodas matemātika un ne no kā nebaidies! Vai varat sniegt atbildi uzreiz?

Tev vajadzēs izlemtšis piemērs. Konsekventi, soli pa solim, šis piemērs vienkāršot. Protams, saskaņā ar noteiktiem noteikumiem. Tie. darīt izteiksmes konvertēšana. Jo veiksmīgāk jūs veicat šīs pārvērtības, jo spēcīgāks esat matemātikā. Ja jūs nezināt, kā veikt pareizās pārvērtības, jūs nevarēsit tās veikt matemātikā. Nekas...

Lai izvairītos no tik neērtas nākotnes (vai tagadnes...), nav slikti izprast šo tēmu.)

Vispirms noskaidrosim kas ir izteiksme matemātikā. Kas notika skaitliskā izteiksme un kas ir algebriskā izteiksme.

Kas ir izteiksme matemātikā?

Izteiksme matemātikā- tas ir ļoti plašs jēdziens. Gandrīz viss, ar ko mēs nodarbojamies matemātikā, ir matemātisko izteiksmju kopums. Jebkuri piemēri, formulas, daļskaitļi, vienādojumi un tā tālāk - tas viss sastāv no matemātiskās izteiksmes.

3+2 ir matemātiska izteiksme. s 2 - d 2- šī ir arī matemātiska izteiksme. Gan veselā daļa, gan pat viens skaitlis ir matemātiskas izteiksmes. Piemēram, vienādojums ir šāds:

5x + 2 = 12

sastāv no divām matemātiskām izteiksmēm, kas savienotas ar vienādības zīmi. Viena izteiksme ir kreisajā pusē, otra labajā pusē.

IN vispārējs skats jēdziens " matemātiskā izteiksme"tiek izmantots, visbiežāk, lai izvairītos no muldēšanas. Jums jautās, kas, piemēram, ir parasta daļdaļa? Un kā atbildēt?!

Pirmā atbilde: "Šī ir... mmmmmm... tāda lieta... kurā... Vai es varu uzrakstīt daļskaitli labāk? Kuru tu vēlies?"

Otrā atbilde: " Kopējā frakcija- tas ir (jautri un priecīgi!) matemātiskā izteiksme , kas sastāv no skaitītāja un saucēja!"

Otrais variants būs kaut kā iespaidīgāks, vai ne?)

Tas ir frāzes mērķis matemātiskā izteiksme "ļoti labi. Gan pareizi, gan pamatīgi. Bet par praktisks pielietojums ir labi jāpārzina specifiski izteiksmju veidi matemātikā .

Konkrētais veids ir cits jautājums. Šis Tā ir pavisam cita lieta! Katram matemātiskās izteiksmes veidam ir mans noteikumu un paņēmienu kopums, kas jāizmanto, pieņemot lēmumu. Darbam ar frakcijām - viens komplekts. Darbam ar trigonometriskām izteiksmēm - otrais. Darbam ar logaritmiem - trešais. Un tā tālāk. Kaut kur šie noteikumi sakrīt, kaut kur tie krasi atšķiras. Bet nebaidieties no šiem biedējošajiem vārdiem. Attiecīgajās sadaļās apgūsim logaritmus, trigonometriju un citas mistiskas lietas.

Šeit mēs apgūsim (vai - atkārtosim, atkarībā no tā, kurš...) divus galvenos matemātisko izteiksmju veidus. Skaitliskās izteiksmes un algebriskās izteiksmes.

Skaitliskās izteiksmes.

Kas notika skaitliskā izteiksme? Tas ir ļoti vienkāršs jēdziens. Pats nosaukums norāda, ka tas ir izteiciens ar cipariem. Tā tas ir. Matemātisku izteiksmi, kas sastāv no skaitļiem, iekavām un aritmētiskajiem simboliem, sauc par skaitlisko izteiksmi.

7-3 ir skaitliska izteiksme.

(8+3.2) 5.4 ir arī skaitliska izteiksme.

Un šis briesmonis:

arī skaitliskā izteiksme, jā...

Regulārs numurs, daļskaitlis, jebkurš aprēķina piemērs bez X un citiem burtiem - tās visas ir skaitliskās izteiksmes.

Galvenā zīme skaitliski izteicieni - tajā nav burtu. Nav. Tikai cipari un matemātiskie simboli (ja nepieciešams). Tas ir vienkārši, vai ne?

Un ko jūs varat darīt ar skaitliskām izteiksmēm? Skaitliskās izteiksmes parasti var saskaitīt. Lai to izdarītu, gadās, ka jāatver iekavas, jāmaina zīmes, jāsaīsina, jāsamaina termini – t.i. darīt izteiksmes konversijas. Bet vairāk par to zemāk.

Šeit mēs aplūkosim tik smieklīgu gadījumu, kad ar skaitlisko izteiksmi tev nekas nav jādara. Nu vispār nekā! Šī patīkamā operācija - neko nedarīt)- tiek izpildīts, kad izteiksme nav jēgas.

Kad skaitliskai izteiksmei nav jēgas?

Ir skaidrs, ka, ja mēs redzam kaut kādu abrakadabru sev priekšā, piemēram

tad mēs neko nedarīsim. Jo nav skaidrs, ko ar to darīt. Kaut kādas muļķības. Varbūt saskaiti plusiņus...

Bet ir ārēji diezgan pieklājīgi izteicieni. Piemēram šis:

(2+3) : (16 - 28)

Tomēr arī šis izteiciens nav jēgas! Tā vienkāršā iemesla dēļ, ka otrajās iekavās - ja skaita - jūs saņemat nulli. Bet jūs nevarat dalīt ar nulli! Šī ir aizliegta darbība matemātikā. Tāpēc arī ar šo izteicienu nekas nav jādara. Jebkuram uzdevumam ar šādu izteiksmi atbilde vienmēr būs viena un tā pati: "Izteicienam nav nozīmes!"

Lai sniegtu šādu atbildi, protams, bija jārēķina, kas būs iekavās. Un dažreiz iekavās ir daudz lietu... Nu, tur neko nevar darīt.

Matemātikā nav tik daudz aizliegto darbību. Šajā tēmā ir tikai viens. Dalīšana ar nulli. Papildu ierobežojumi, kas rodas saknēs un logaritmos, tiek apspriesti attiecīgajās tēmās.

Tātad, priekšstats par to, kas tas ir skaitliskā izteiksme- dabūju. Koncepcija skaitliskajai izteiksmei nav jēgas- sapratu. Ejam tālāk.

Algebriskās izteiksmes.

Ja skaitliskā izteiksmē parādās burti, šī izteiksme kļūst par... Izteiksme kļūst par... Jā! Tas kļūst algebriskā izteiksme. Piemēram:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Tādus izteicienus sauc arī burtiski izteicieni. Or izteiksmes ar mainīgajiem. Tas ir praktiski viens un tas pats. Izteiksme 5a + c, piemēram, gan burtiskā, gan algebriskā, un izteiksme ar mainīgajiem.

Koncepcija algebriskā izteiksme - plašāks par skaitlisko. Tas ietilpst un visas skaitliskās izteiksmes. Tie. skaitliskā izteiksme arī ir algebriska izteiksme, tikai bez burtiem. Katra siļķe ir zivs, bet ne katra zivs ir siļķe...)

Kāpēc alfabētiski- Tas ir skaidrs. Nu tā kā ir burti... Frāze izteiksme ar mainīgajiem Tas arī nav ļoti mulsinoši. Ja saproti, ka cipari ir paslēpti zem burtiem. Zem burtiem var paslēpties visādi skaitļi... Un 5, un -18, un vēl jebkas. Tas ir, vēstule var būt aizvietot ieslēgts dažādi skaitļi. Tāpēc burti tiek saukti mainīgie.

Izteiksmē y+5, Piemēram, plkst - mainīgs daudzums. Vai arī viņi vienkārši saka " mainīgs", bez vārda "lielums". Atšķirībā no pieci, kas ir nemainīga vērtība. Vai vienkārši - nemainīgs.

Jēdziens algebriskā izteiksme nozīmē, ka, lai strādātu ar šo izteiksmi, jums ir jāizmanto likumi un noteikumi algebra. Ja aritmētika tad strādā ar konkrētiem skaitļiem algebra- ar visiem cipariem uzreiz. Vienkāršs piemērs skaidrībai.

Aritmētikā mēs to varam uzrakstīt

Bet, ja mēs rakstām šādu vienādību ar algebriskām izteiksmēm:

a + b = b + a

tūlīt izlemsim Visi jautājumiem. Priekš visi cipari insults. Par visu bezgalīgo. Jo zem burtiem A Un b netieši Visi cipariem. Un ne tikai skaitļus, bet pat citas matemātiskas izteiksmes. Lūk, kā darbojas algebra.

Kad algebriskajai izteiksmei nav jēgas?

Viss par skaitlisko izteiksmi ir skaidrs. Tur nevar dalīt ar nulli. Un ar burtiem var uzzināt, ar ko mēs dalāmies?!

Ņemsim, piemēram, šo izteiksmi ar mainīgajiem:

2: (A - 5)

Vai tas izklausās sakarīgi? Kas zina? A- jebkurš numurs...

Jebkurš, jebkurš... Bet ir viena nozīme A, kam šis izteiciens tieši tā nav jēgas! Un kāds ir šis numurs? Jā! Šis ir 5! Ja mainīgais A aizstāt (viņi saka "aizstāj") ar skaitli 5, iekavās jūs saņemat nulli. Kuru nevar sadalīt. Tātad izrādās, ka mūsu izteiksme nav jēgas, Ja a = 5. Bet par citām vērtībām A vai tas izklausās sakarīgi? Vai varat aizstāt citus skaitļus?

Noteikti. Šādos gadījumos viņi vienkārši saka, ka izteiksme

2: (A - 5)

ir jēga jebkurām vērtībām A, izņemot a = 5 .

Viss skaitļu kopums, kas Var tiek izsaukta aizvietošana ar doto izteiksmi novads pieņemamām vērtībām šo izteicienu.

Kā redzat, nav nekā sarežģīta. Apskatīsim izteiksmi ar mainīgajiem un noskaidrosim: pie kādas mainīgā vērtības tiek iegūta aizliegtā darbība (dalīšana ar nulli)?

Un tad noteikti apskatiet uzdevuma jautājumu. Ko viņi jautā?

nav jēgas, mūsu aizliegtā nozīme būs atbilde.

Ja jautā, kādā mainīgā vērtībā izteiksme ir nozīme(sajūti atšķirību!), atbilde būs visi pārējie skaitļi izņemot aizliegto.

Kāpēc mums ir vajadzīga izteiciena nozīme? Viņš ir, viņa nav... Kāda starpība?! Lieta tāda, ka vidusskolā šis jēdziens kļūst ļoti svarīgs. Ārkārtīgi svarīgi! Tas ir pamats tādiem stabiliem jēdzieniem kā pieņemamo vērtību joma vai funkcijas joma. Bez tā jūs vispār nevarēsit atrisināt nopietnus vienādojumus vai nevienlīdzības. Kā šis.

Izteiksmju konvertēšana. Identitātes transformācijas.

Tikām iepazīstināti ar skaitliskām un algebriskām izteiksmēm. Mēs sapratām, ko nozīmē frāze “izteicienam nav nozīmes”. Tagad mums ir jāizdomā, kas tas ir izteiksmju transformācija. Atbilde ir vienkārša, līdz apkaunošanai.) Šī ir jebkura darbība ar izteiksmi. Tas ir viss. Jūs veicat šīs pārvērtības kopš pirmās klases.

Ņemsim foršo skaitlisko izteiksmi 3+5. Kā to var pārvērst? Jā, ļoti vienkārši! Aprēķināt:

Šis aprēķins būs izteiksmes transformācija. Jūs varat rakstīt vienu un to pašu izteiksmi atšķirīgi:

Šeit mēs vispār neko neskaitījām. Tikko pierakstīja izteiksmi citā formā. Tas arī būs izteiksmes pārveidojums. Jūs varat to uzrakstīt šādi:

Un arī šī ir izteiksmes transformācija. Jūs varat veikt tik daudz šādu pārveidojumu, cik vēlaties.

Jebkurš darbība uz izteiksmi jebkura tā rakstīšanu citā formā sauc par izteiksmes pārveidošanu. Un tas arī viss. Viss ir ļoti vienkārši. Bet šeit ir viena lieta ļoti svarīgs noteikums. Tik svarīgi, ka to var droši saukt galvenais noteikums visa matemātika. Pārkāpjot šo noteikumu neizbēgami noved pie kļūdām. Vai mēs tajā iesaistāmies?)

Pieņemsim, ka mēs nejauši pārveidojām savu izteiksmi, piemēram:

Pārvēršana? Noteikti. Mēs uzrakstījām izteicienu citā formā, kas šeit ir nepareizi?

Tas tā nav.) Lieta tāda, ka pārvērtības "izlases veidā" matemātika vispār neinteresē.) Visa matemātika ir veidota uz transformācijām, kurās izskats, bet izteiciena būtība nemainās. Trīs plus pieci var rakstīt jebkurā formā, bet tam jābūt astoņiem.

Pārvērtības, izteicieni, kas nemaina būtību tiek saukti identisks.

Tieši tā identitātes transformācijas un ļauj mums soli pa solim pārveidoties sarežģīts piemērs vienkāršā izteiksmē, paturot piemēra būtība. Ja mēs pieļaujam kļūdu transformāciju ķēdē, mēs veicam NE identisku transformāciju, tad mēs izlemsim cits piemērs. Ar citām atbildēm, kas nav saistītas ar pareizajām.)

Tas ir galvenais noteikums jebkuru uzdevumu risināšanai: transformāciju identitātes saglabāšana.

Piemērs ar skaitliskā izteiksme Atnesu 3+5 skaidrības labad. IN algebriskās izteiksmes Identiskas transformācijas tiek dotas ar formulām un noteikumiem. Pieņemsim, ka algebrā ir formula:

a(b+c) = ab + ac

Tas nozīmē, ka jebkurā piemērā mēs varam izteiksmes vietā a(b+c) droši rakstiet izteicienu ab + ac. Un otrādi. Šis identiska transformācija. Matemātika dod mums iespēju izvēlēties starp šīm divām izteiksmēm. Un kuru rakstīt - no kura konkrēts piemērs atkarīgs.

Vēl viens piemērs. Viena no svarīgākajām un nepieciešamākajām transformācijām ir daļskaitļa pamatīpašība. Varat apskatīt saiti, lai iegūtu sīkāku informāciju, bet šeit es tikai atgādināšu noteikumu: Ja daļskaitļa skaitītāju un saucēju reizina (dala) ar to pašu skaitli vai izteiksmi, kas nav vienāda ar nulli, daļa nemainīsies.Šeit ir identitātes transformāciju piemērs, izmantojot šo īpašumu:

Kā jūs droši vien uzminējāt, šo ķēdi var turpināt bezgalīgi...) Ļoti svarīgs īpašums. Tieši tas ļauj pārvērst visu veidu monstrus par baltiem un pūkainiem.)

Ir daudz formulu, kas nosaka identiskas transformācijas. Bet vissvarīgākie ir diezgan saprātīgs skaits. Viena no pamata transformācijām ir faktorizēšana. To izmanto visā matemātikā - no pamatskolas līdz progresīvam. Sāksim ar viņu. Nākamajā nodarbībā.)

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.