Pieņemsim, ka Ahillejs skrien desmit reizes ātrāk par bruņurupuci un atpaliek no tā tūkstoš soļu. Laikā, kurā Ahillejs noskrien šo distanci, bruņurupucis rāpo simts soļus tajā pašā virzienā. Kad Ahillejs būs noskrējis simts soļus, bruņurupucis rāpos vēl desmit soļus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahillejs nekad nepanāks bruņurupuci.
Šī argumentācija kļuva par loģisku šoku visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgels, Gilberts... Viņi visi vienā vai otrā veidā uzskatīja par Zenona aporijām. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ... diskusijas turpinās arī šobrīd, zinātnieku aprindās vēl nav izdevies nonākt pie vienota viedokļa par paradoksu būtību... matemātiskā analīze, kopu teorija, jaunas fizikālās un filozofiskās pieejas; neviens no tiem nekļuva par vispārpieņemtu problēmas risinājumu ..."[Wikipedia," Zeno's Aporas "]. Visi saprot, ka tiek muļķoti, bet neviens nesaprot, kas ir maldināšana.
No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri demonstrēja pāreju no vērtības uz. Šī pāreja nozīmē konstantu piemērošanu. Cik saprotu, matemātiskais aparāts mainīgo mērvienību pielietošanai vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav pielietots Zenona aporijai. Mūsu ierastās loģikas pielietojums ieved mūs slazdā. Mēs, domāšanas inerces dēļ, piemērojam konstantas laika vienības abpusējai vērtībai. AR fiziskais punkts Acīm šķiet, ka laiks palēninās, līdz tas pilnībā apstājas brīdī, kad Ahillejs panāk bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahillejs vairs nevar apdzīt bruņurupuci.
Ja pagriežam loģiku, pie kuras esam pieraduši, viss nostājas savās vietās. Ahillejs skrien līdzi nemainīgs ātrums. Katrs nākamais tā ceļa posms ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi tās pārvarēšanai pavadītais laiks ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējā. Ja šajā situācijā pielietojam jēdzienu "bezgalība", tad pareizi būtu teikt "Ahillejs bezgala ātri apsteigs bruņurupuci".
Kā izvairīties no šīs loģiskās lamatas? Palieciet nemainīgās laika vienībās un nepārslēdzieties uz abpusējām vērtībām. Zenona valodā tas izskatās šādi:
Laikā, kas vajadzīgs Ahillam, lai noskrietu tūkstoš soļu, bruņurupucis rāpo simts soļus tajā pašā virzienā. Nākamajā laika intervālā, kas ir vienāds ar pirmo, Ahillejs noskrien vēl tūkstoš soļu, bet bruņurupucis rāpos simts soļus. Tagad Ahillejs ir astoņsimt soļus priekšā bruņurupucim.
Šī pieeja adekvāti apraksta realitāti bez jebkādiem loģiskiem paradoksiem. Bet tā nav pilnīgs risinājums Problēmas. Einšteina izteikums par gaismas ātruma nepārvaramību ir ļoti līdzīgs Zenona aporijai "Ahillejs un bruņurupucis". Mums vēl ir jāpēta, jāpārdomā un jāatrisina šī problēma. Un risinājums jāmeklē nevis bezgala lielos skaitļos, bet mērvienībās.
Vēl viena interesanta Zenona aporija stāsta par lidojošu bultu:
Lidojoša bulta ir nekustīga, jo katrā laika brīdī tā atrodas miera stāvoklī, un, tā kā tā atrodas miera stāvoklī, tā vienmēr atrodas miera stāvoklī.
Šajā aporijā loģiskais paradokss tiek pārvarēts ļoti vienkārši - pietiek precizēt, ka katrā laika brīdī lidojošā bultiņa atpūšas dažādos telpas punktos, kas patiesībā ir kustība. Šeit ir jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas fotogrāfijas uz ceļa nav iespējams noteikt ne tās kustības faktu, ne attālumu līdz tai. Lai noteiktu automašīnas kustības faktu, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no viena un tā paša punkta dažādos laika punktos, taču tās nevar izmantot attāluma noteikšanai. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas vienlaikus uzņemtas no dažādiem telpas punktiem, taču no tām nevar noteikt kustības faktu (protams, joprojām ir nepieciešami papildu dati aprēķiniem, trigonometrija jums palīdzēs). Uz ko es vēlos koncentrēties Īpaša uzmanība, ir tas, ka divi punkti laikā un divi punkti telpā ir dažādas lietas, kuras nevajadzētu sajaukt, jo tās sniedz dažādas izpētes iespējas.
Trešdiena, 2018. gada 4. jūlijs
Ļoti labi atšķirības starp komplektu un multikopu ir aprakstītas Vikipēdijā. Mēs skatāmies.
Kā redzat, "komplektā nevar būt divi identiski elementi", bet, ja komplektā ir identiski elementi, tad šādu kopu sauc par "multisetu". Saprātīgas būtnes nekad nesapratīs šādu absurda loģiku. Tas ir runājošu papagaiļu un apmācītu pērtiķu līmenis, kurā vārda "pilnībā" nav prāta. Matemātiķi darbojas kā parasti pasniedzēji, sludinot mums savas absurdās idejas.
Savulaik inženieri, kas būvēja tiltu, tilta testu laikā atradās laivā zem tilta. Ja tilts sabruka, viduvējais inženieris nomira zem viņa radītajām drupām. Ja tilts varēja izturēt slodzi, talantīgais inženieris uzbūvēja citus tiltus.
Neatkarīgi no tā, kā matemātiķi slēpjas aiz frāzes "piedomājiet pie manis, es esmu mājā", vai drīzāk "matemātika pēta abstraktus jēdzienus", ir viena nabassaite, kas tos nesaraujami saista ar realitāti. Šī nabassaite ir nauda. Piemērojams matemātiskā teorija kopas pašiem matemātiķiem.
Mēs ļoti labi mācījāmies matemātiku un tagad sēžam pie kases, maksājam algas. Šeit pie mums nāk matemātiķis pēc savas naudas. Mēs viņam noskaitām visu summu un izklājam uz sava galda dažādās kaudzēs, kurās saliekam viena un tā paša nomināla banknotes. Tad no katras kaudzes paņemam vienu rēķinu un iedodam matemātiķim viņa "matemātisko algu komplektu". Mēs izskaidrojam matemātiku, ka pārējos rēķinus viņš saņems tikai tad, kad pierādīs, ka kopa bez identiskiem elementiem nav vienāda ar kopu ar identiskiem elementiem. Šeit sākas jautrība.
Pirmkārt, derēs deputātu loģika: "uz citiem to var attiecināt, bet uz mani nē!" Tālāk sāksies garantijas, ka uz viena un tā paša nomināla banknotēm ir dažādi banknošu numuri, kas nozīmē, ka tās nevar uzskatīt par identiskiem elementiem. Nu algu skaitām monētās - uz monētām nav ciparu. Šeit matemātiķis sāks konvulsīvi atcerēties fiziku: dažādas monētas pieejams dažāda summa netīrumi, kristāla struktūra un katras monētas atomu izvietojums ir unikāls...
Un tagad man ir visinteresantākais jautājums: kur ir tā robeža, aiz kuras multikopas elementi pārvēršas par kopas elementiem un otrādi? Tāda līnija neeksistē – visu izlemj šamaņi, zinātne te ne tuvu nav.
Apskatīt šeit. Mēs izvēlamies futbola stadionus ar vienādu laukuma laukumu. Lauku platība ir vienāda, kas nozīmē, ka mums ir multikopa. Bet, ja ņemam vērā vienu un to pašu stadionu nosaukumus, sanāk daudz, jo nosaukumi ir dažādi. Kā redzat, viena un tā pati elementu kopa vienlaikus ir gan kopa, gan multikopa. Cik pareizi? Un te matemātiķis-šamanis-šullers izņem no piedurknes trumpa dūzi un sāk mums stāstīt vai nu par komplektu, vai par multisetu. Jebkurā gadījumā viņš mūs pārliecinās, ka viņam ir taisnība.
Lai saprastu, kā mūsdienu šamaņi darbojas ar kopu teoriju, saistot to ar realitāti, pietiek atbildēt uz vienu jautājumu: kā vienas kopas elementi atšķiras no citas kopas elementiem? Es jums parādīšu bez jebkādiem "iedomājams kā viens veselums" vai "nav iedomājams kā vienots veselums".
Svētdiena, 2018. gada 18. marts
Skaitļa ciparu summa ir šamaņu deja ar tamburīnu, kam nav nekāda sakara ar matemātiku. Jā, matemātikas stundās mums māca atrast skaitļa ciparu summu un to izmantot, bet viņi tam ir šamaņi, lai mācītu pēcnācējiem savas prasmes un gudrības, citādi šamaņi vienkārši izmirs.
Vai jums ir nepieciešams pierādījums? Atveriet Wikipedia un mēģiniet atrast lapu "Ciparu summa". Viņa neeksistē. Matemātikā nav formulas, pēc kuras var atrast jebkura skaitļa ciparu summu. Galu galā skaitļi ir grafiski simboli, ar kuriem mēs rakstām skaitļus, un matemātikas valodā uzdevums izklausās šādi: "Atrodiet grafisko simbolu summu, kas attēlo jebkuru skaitli." Matemātiķi nevar atrisināt šo problēmu, bet šamaņi to var izdarīt elementāri.
Izdomāsim, ko un kā mēs darām, lai atrastu dotā skaitļa ciparu summu. Un tā, pieņemsim, ka mums ir skaitlis 12345. Kas jādara, lai atrastu šī skaitļa ciparu summu? Apsvērsim visas darbības secībā.
1. Uzrakstiet numuru uz papīra lapas. Ko mēs esam izdarījuši? Mēs esam pārveidojuši skaitli par skaitļa grafisko simbolu. Šī nav matemātiska darbība.
2. Mēs sagriezām vienu saņemto attēlu vairākos attēlos, kuros ir atsevišķi cipari. Attēla izgriešana nav matemātiska darbība.
3. Pārvērtiet atsevišķas grafiskās rakstzīmes skaitļos. Šī nav matemātiska darbība.
4. Saskaitiet iegūtos skaitļus. Tagad tā ir matemātika.
Skaitļa 12345 ciparu summa ir 15. Tie ir "griešanas un šūšanas kursi" no šamaņiem, kurus izmanto matemātiķi. Bet tas vēl nav viss.
No matemātikas viedokļa nav nozīmes, kurā skaitļu sistēmā mēs rakstām skaitli. Tātad, iekšā dažādas sistēmas rēķinot, viena un tā paša skaitļa ciparu summa būs atšķirīga. Matemātikā skaitļu sistēma tiek norādīta kā apakšindekss pa labi no skaitļa. Ar lielu skaitu 12345 es nevēlos mānīt galvu, apsveriet skaitli 26 no raksta par. Rakstīsim šo skaitli binārā, oktālā, decimālā un heksadecimālā skaitļu sistēmā. Mēs neapskatīsim katru soli zem mikroskopa, mēs to jau esam izdarījuši. Apskatīsim rezultātu.
Kā redzat, dažādās skaitļu sistēmās viena un tā paša skaitļa ciparu summa ir atšķirīga. Šim rezultātam nav nekāda sakara ar matemātiku. Tas ir tāpat, kā taisnstūra laukuma atrašana metros un centimetros sniegtu pilnīgi atšķirīgus rezultātus.
Nulle visās skaitļu sistēmās izskatās vienādi, un tai nav ciparu summas. Šis ir vēl viens arguments par labu tam, ka . Jautājums matemātiķiem: kā matemātikā apzīmē to, kas nav skaitlis? Kas, matemātiķiem, neeksistē nekas cits kā skaitļi? Šamaņiem es to varu atļauties, bet zinātniekiem nē. Realitāte nav tikai skaitļi.
Iegūtais rezultāts jāuzskata par pierādījumu tam, ka skaitļu sistēmas ir skaitļu mērvienības. Jo mēs nevaram salīdzināt skaitļus ar dažādas vienības mērījumi. Ja vienas un tās pašas darbības ar dažādām viena un tā paša lieluma mērvienībām noved pie dažādiem rezultātiem pēc to salīdzināšanas, tad tam nav nekāda sakara ar matemātiku.
Kas ir īstā matemātika? Tas ir tad, kad matemātiskas darbības rezultāts nav atkarīgs no skaitļa vērtības, izmantotās mērvienības un no tā, kurš šo darbību veic.
Ak! Vai šī nav sieviešu tualete?
- Jauna sieviete! Šī ir laboratorija dvēseļu nenoteiktā svētuma izpētei, kad tās tiek paceltas debesīs! Nimbs virsū un bulta uz augšu. Kāda vēl tualete?
Sieviete... Oreols augšpusē un bulta uz leju ir vīrietis.
Ja jūsu acu priekšā vairākas reizes dienā mirgo šāds dizaina mākslas darbs,
Tad nav pārsteidzoši, ka pēkšņi savā automašīnā atrodat dīvainu ikonu:
Es personīgi pielieku pūles, lai kakājošā cilvēkā redzētu mīnus četrus grādus (viena bilde) (vairāku bilžu sastāvs: mīnusa zīme, cipars četri, grādu apzīmējums). Un es neuzskatu šo meiteni par muļķi, kas nezina fiziku. Viņai vienkārši ir loka stereotips par grafisko attēlu uztveri. Un matemātiķi mums to visu laiku māca. Šeit ir piemērs.
1A nav "mīnus četri grādi" vai "viens a". Tas ir "pooping man" jeb skaitlis "divdesmit seši" heksadecimālajā skaitļu sistēmā. Tie cilvēki, kuri pastāvīgi strādā šajā ciparu sistēmā, automātiski uztver ciparu un burtu kā vienu grafisku simbolu.
Parasto daļu reizināšana
Apsveriet piemēru.
Lai uz šķīvja ir $\frac(1)(3)$ daļa no ābola. Mums jāatrod tā daļa $\frac(1)(2)$. Nepieciešamā daļa ir daļskaitļu $\frac(1)(3)$ un $\frac(1)(2)$ reizināšanas rezultāts. Divu parasto daļskaitļu reizināšanas rezultāts ir parastā daļa.
Divu parasto daļskaitļu reizināšana
Noteikums parasto daļskaitļu reizināšanai:
Daļdaļas reizināšanas rezultāts ir daļa, kuras skaitītājs ir vienāds ar reizināto daļu skaitītāju reizinājumu, un saucējs ir vienāds ar saucēju reizinājumu:
1. piemērs
Reiziniet parastās daļskaitļus $\frac(3)(7)$ un $\frac(5)(11)$.
Risinājums.
Izmantosim parasto daļskaitļu reizināšanas likumu:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Atbilde:$\frac(15)(77)$
Ja daļskaitļu reizināšanas rezultātā ir atceļams vai nē pareiza frakcija, tad jums tas ir jāvienkāršo.
2. piemērs
Reiziniet daļas $\frac(3)(8)$ un $\frac(1)(9)$.
Risinājums.
Mēs izmantojam kārtulu parasto daļskaitļu reizināšanai:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Rezultātā ieguvām reducējamu daļskaitli (pamatojoties uz dalīšanu ar $3$. Daļas skaitītāju un saucēju izdalot ar $3$, iegūstam:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Īss risinājums:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1)(24)\]
Atbilde:$\frac(1)(24).$
Reizinot daļskaitļus, varat samazināt skaitītājus un saucējus, lai atrastu to reizinājumu. Šajā gadījumā daļas skaitītājs un saucējs tiek sadalīts galvenie faktori, pēc kā tiek samazināti atkārtotie faktori un tiek atrasts rezultāts.
3. piemērs
Aprēķiniet daļu $\frac(6)(75)$ un $\frac(15)(24)$ reizinājumu.
Risinājums.
Izmantosim formulu parasto daļskaitļu reizināšanai:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Acīmredzot skaitītājs un saucējs satur skaitļus, kurus pa pāriem var samazināt par skaitļiem $2$, $3$ un $5$. Mēs sadalām skaitītāju un saucēju vienkāršos faktoros un veicam samazinājumu:
'
Atbilde:$\frac(1)(20).$
Reizinot daļskaitļus, var piemērot komutācijas likumu:
Daļas reizināšana ar naturālu skaitli
reizināšanas noteikums kopējā frakcija ieslēgts dabiskais skaitlis:
Daļas reizināšanas rezultāts ar naturālu skaitli ir daļskaitlis, kurā skaitītājs ir vienāds ar reizinātās daļas skaitītāja reizinājumu ar naturālo skaitli, un saucējs ir vienāds ar reizinātās daļas saucēju:
kur $\frac(a)(b)$ ir parasta daļa, $n$ ir naturāls skaitlis.
4. piemērs
Reiziniet daļu $\frac(3)(17)$ ar $4$.
Risinājums.
Izmantosim parastu daļskaitļa reizināšanas noteikumu ar naturālu skaitli:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Atbilde:$\frac(12)(17).$
Neaizmirstiet par reizināšanas rezultāta pārbaudi, lai noteiktu frakcijas saraujamību vai nepareizu daļu.
5. piemērs
Reiziniet daļu $\frac(7)(15)$ ar $3$.
Risinājums.
Izmantosim formulu daļskaitļa reizināšanai ar naturālu skaitli:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Pēc dalīšanas ar skaitli $3$) var noteikt, ka iegūto daļu var samazināt:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Rezultāts ir nepareiza frakcija. Ņemsim visu daļu:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Īss risinājums:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Bija iespējams arī samazināt daļskaitļus, aizstājot skaitļus skaitītājā un saucējā ar to izvērsumiem par pirmfaktoriem. Šajā gadījumā risinājumu var uzrakstīt šādi:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Atbilde:$1\frac(2)(5).$
Reizinot daļu ar naturālu skaitli, varat izmantot komutatīvo likumu:
Parasto frakciju dalījums
Dalīšanas operācija ir reizināšanas apgrieztā vērtība, un tās rezultāts ir daļskaitlis, ar kuru jums jāreizina zināma daļa, lai iegūtu zināmu divu daļu reizinājumu.
Divu parasto frakciju dalījums
Parasto daļskaitļu dalīšanas noteikums: Acīmredzot iegūtās frakcijas skaitītāju un saucēju var sadalīt vienkāršos faktoros un samazināt:
'
Rezultātā mēs saņēmām nepareizu daļskaitli, no kuras mēs atlasām veselo skaitļu daļu:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Atbilde:$1\frac(5)(9).$
Vesela skaitļa reizināšana ar daļskaitli ir vienkāršs uzdevums. Bet ir smalkumi, kurus jūs, iespējams, sapratāt skolā, bet pēc tam esat aizmirsis.
Kā reizināt veselu skaitli ar daļu - daži termini
Ja atceraties, kas ir skaitītājs un saucējs un kā pareiza daļdaļa atšķiras no nepareizās, izlaidiet šo rindkopu. Tas ir paredzēts tiem, kuri ir pilnībā aizmirsuši teoriju.
Skaitītājs ir augšējā daļa daļdaļas ir tas, ko mēs sadalām. Saucējs ir apakšējais. Tas ir tas, ko mēs dalāmies.
Pareiza daļa ir tā, kuras skaitītājs ir mazāks par saucēju. Nepareiza daļa ir daļa, kuras skaitītājs ir lielāks vai vienāds ar saucēju.
Kā reizināt veselu skaitli ar daļskaitli
Noteikums vesela skaitļa reizināšanai ar daļskaitli ir ļoti vienkāršs - mēs reizinām skaitītāju ar veselu skaitli un nepieskaramies saucējam. Piemēram: divi reizināti ar vienu piektdaļu - mēs iegūstam divas piektdaļas. Četras reizes trīs sešpadsmitdaļas ir divpadsmit sešpadsmitdaļas.
Samazinājums
Otrajā piemērā iegūto daļu var samazināt.
Ko tas nozīmē? Ņemiet vērā, ka gan šīs daļas skaitītājs, gan saucējs dalās ar četri. Sadaliet abus skaitļus ar kopīgs dalītājs un sauc - samaziniet daļu. Mēs saņemam trīs ceturtdaļas.
Nepareizas frakcijas
Bet pieņemsim, ka mēs reizinām četras reizes divas piektdaļas. Ieguva astoņas piektdaļas. Šis nepareiza frakcija.
Tas ir jānoved līdz pareiza forma. Lai to izdarītu, jums no tā jāizvēlas vesela daļa.
Šeit jums ir jāizmanto dalīšana ar atlikumu. Mēs iegūstam vienu un trīs atlikušajā daļā.
Viena vesela un trīs piektdaļas ir mūsu pareizā daļa.
Izlabot trīsdesmit piecas astotdaļas ir nedaudz grūtāk.Vistuvākais skaitlis trīsdesmit septiņiem, kas dalās ar astoņi, ir trīsdesmit divi. Sadalot, mēs iegūstam četrus. Mēs atņemam trīsdesmit divus no trīsdesmit pieciem - mēs iegūstam trīs. Rezultāts: četras veselas un trīs astotdaļas.
Skaitītāja un saucēja vienādība. Un šeit viss ir ļoti vienkārši un skaisti. Ja skaitītājs un saucējs ir vienādi, rezultāts ir tikai viens.
) un saucēju ar saucēju (iegūstam produkta saucēju).
Daļskaitļu reizināšanas formula:
Piemēram:
Pirms turpināt skaitītāju un saucēju reizināšanu, ir jāpārbauda, vai nav iespējams samazināt daļu. Ja jums izdosies samazināt daļu, tad jums būs vieglāk turpināt veikt aprēķinus.
Parastās daļdaļas dalīšana ar daļskaitli.
Daļu dalījums, kas ietver naturālu skaitli.
Tas nav tik biedējoši, kā šķiet. Tāpat kā saskaitīšanas gadījumā, mēs pārvēršam veselu skaitli par daļu, kuras saucējā ir vienība. Piemēram:
Jaukto frakciju reizināšana.
Daļskaitļu (jaukto) reizināšanas noteikumi:
- pārvērst jauktās frakcijas nepareizās;
- reizināt daļskaitļu skaitītājus un saucējus;
- mēs samazinām frakciju;
- ja iegūstam nepareizo daļu, tad nepareizo daļu pārvēršam par jauktu.
Piezīme! Lai pavairot jauktā frakcija uz citu jauktu daļskaitli, vispirms tās jāpārveido nepareizo daļskaitļu formā un pēc tam jāreizina saskaņā ar parasto daļskaitļu reizināšanas noteikumu.
Otrs veids, kā reizināt daļu ar naturālu skaitli.
Ērtāk ir izmantot otro metodi parastās daļas reizināšanai ar skaitli.
Piezīme! Lai daļdaļu reizinātu ar naturālu skaitli, ir nepieciešams dalīt daļas saucējs ar šo skaitli un atstāt skaitītāju nemainīgu.
No iepriekš minētā piemēra ir skaidrs, ka šo opciju ir ērtāk izmantot, ja daļdaļas saucējs tiek dalīts bez atlikuma ar naturālu skaitli.
Daudzlīmeņu frakcijas.
Vidusskolā bieži tiek atrastas trīsstāvu (vai vairāk) frakcijas. Piemērs:
Lai iegūtu šādu daļu parastajā formā, tiek izmantots dalījums 2 punktos:
Piezīme! Dalot daļskaitļus, ļoti svarīga ir dalīšanas secība. Esiet uzmanīgi, šeit ir viegli apjukt.
Piezīme, Piemēram:
Dalot vienu ar jebkuru daļskaitli, rezultāts būs tā pati daļa, tikai apgriezta:
Praktiski padomi daļskaitļu reizināšanai un dalīšanai:
1. Pats svarīgākais darbā ar daļskaitļiem ir precizitāte un uzmanība. Veiciet visus aprēķinus uzmanīgi un precīzi, koncentrēti un skaidri. Labāk ir pierakstīt dažas papildu rindiņas melnrakstā, nekā apjukt aprēķinos savā galvā.
2. Uzdevumos ar dažādi veidi frakcijas - dodieties uz parasto frakciju formu.
3. Samazinām visas frakcijas, līdz vairs nav iespējams samazināt.
4. Daudzstāvu daļskaitļu izteiksmes mēs veidojam parastos, izmantojot dalījumu pa 2 punktiem.
5. Mēs domās sadalām vienību daļā, vienkārši apgriežot daļu.
Nodarbības satursDaļu pievienošana ar vienādiem saucējiem
Frakciju pievienošana ir divu veidu:
- Daļu pievienošana ar vienādiem saucējiem
- Daļskaitļu pievienošana ar dažādiem saucējiem
Sāksim ar daļskaitļu pievienošanu ar vienādiem saucējiem. Šeit viss ir vienkārši. Lai pievienotu daļskaitļus ar vienādiem saucējiem, jāpievieno to skaitītāji un saucējs nav jāmaina. Piemēram, pievienosim daļskaitļus un . Mēs pievienojam skaitītājus un atstājam nemainītu saucēju:
Šo piemēru var viegli saprast, ja domājam par picu, kas ir sadalīta četrās daļās. Ja picai pievienojat picu, jūs iegūsit picu:
2. piemērs Pievienojiet frakcijas un .
Atbilde ir nepareiza daļa. Ja pienāk uzdevuma beigas, tad ir ierasts atbrīvoties no nepareizajām daļskaitļiem. Lai atbrīvotos no nepareizas frakcijas, tajā jāatlasa visa daļa. Mūsu gadījumā veselā skaitļa daļa tiek piešķirta viegli - divi dalīti ar divi ir vienādi ar vienu:
Šo piemēru var viegli saprast, ja domājam par picu, kas ir sadalīta divās daļās. Ja pievienosiet picai vairāk picu, jūs iegūsit vienu veselu picu:
3. piemērs. Pievienojiet frakcijas un .
Vēlreiz pievienojiet skaitītājus un atstājiet saucēju nemainīgu:
Šo piemēru var viegli saprast, ja domājam par picu, kas ir sadalīta trīs daļās. Ja picai pievienojat vairāk picu, jūs iegūsit picas:
4. piemērs Atrodiet izteiksmes vērtību 
Šis piemērs ir atrisināts tieši tāpat kā iepriekšējie. Skaitītāji jāpievieno un saucējs jāatstāj nemainīgs:
Mēģināsim attēlot mūsu risinājumu, izmantojot attēlu. Ja pievienojat picas picai un pievienojat vairāk picu, jūs saņemsiet 1 veselu picu un vairāk picu.
Kā redzat, daļskaitļu pievienošana ar vienādiem saucējiem nav grūta. Pietiek saprast šādus noteikumus:
- Lai pievienotu daļskaitļus ar vienu un to pašu saucēju, jāpievieno to skaitītāji un saucējs nav jāmaina;
Daļskaitļu pievienošana ar dažādiem saucējiem
Tagad mēs uzzināsim, kā pievienot daļskaitļus ar dažādiem saucējiem. Saskaitot daļskaitļus, to daļskaitļu saucējiem ir jābūt vienādiem. Bet tie ne vienmēr ir vienādi.
Piemēram, daļskaitļus var pievienot, jo tiem ir vienādi saucēji.
Bet frakcijas nevar pievienot uzreiz, jo šīm frakcijām ir dažādi saucēji. Šādos gadījumos daļskaitļi jāsamazina līdz vienam un tam pašam (kopsaucējam).
Ir vairāki veidi, kā samazināt daļskaitļus līdz vienam un tam pašam saucējam. Šodien mēs apsvērsim tikai vienu no tiem, jo pārējās metodes iesācējam var šķist sarežģītas.
Šīs metodes būtība slēpjas faktā, ka tiek meklēts pirmais (LCM) no abu daļskaitļu saucējiem. Tad LCM tiek dalīts ar pirmās daļas saucēju un iegūts pirmais papildu koeficients. Viņi dara to pašu ar otro daļskaitli - LCM tiek dalīts ar otrās daļas saucēju un tiek iegūts otrs papildu koeficients.
Tad daļskaitļu skaitītājus un saucējus reizina ar to papildu koeficientiem. Šo darbību rezultātā daļskaitļi, kuriem bija dažādi saucēji, pārvēršas par daļām, kurām ir vienādi saucēji. Un mēs jau zinām, kā šādas frakcijas pievienot.
1. piemērs. Pievienojiet frakcijas un
Pirmkārt, mēs atrodam abu daļskaitļu saucēju mazāko kopīgo daudzkārtni. Pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3, bet otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 2. Šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir 6
LCM (2 un 3) = 6
Tagad atgriezieties pie daļām un . Pirmkārt, mēs sadalām LCM ar pirmās daļas saucēju un iegūstam pirmo papildu koeficientu. LCM ir skaitlis 6, un pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3. Sadaliet 6 ar 3, iegūstam 2.
Iegūtais skaitlis 2 ir pirmais papildu faktors. Mēs to pierakstām līdz pirmajai daļai. Lai to izdarītu, virs frakcijas izveidojam nelielu slīpu līniju un virs tās pierakstām atrasto papildu faktoru:
Mēs darām to pašu ar otro frakciju. Mēs sadalām LCM ar otrās daļas saucēju un iegūstam otro papildu koeficientu. LCM ir skaitlis 6, un otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 2. Sadaliet 6 ar 2, iegūstam 3.
Iegūtais skaitlis 3 ir otrs papildu faktors. Mēs to rakstām uz otro daļu. Atkal mēs izveidojam nelielu slīpu līniju virs otrās frakcijas un virs tās ierakstām atrasto papildu koeficientu:
Tagad mēs visi esam gatavi pievienot. Atliek reizināt daļskaitļu skaitītājus un saucējus ar to papildu koeficientiem:
Paskatieties uzmanīgi, pie kā esam nonākuši. Mēs nonācām pie secinājuma, ka daļskaitļi, kuriem bija dažādi saucēji, pārvērtās par daļām, kurām bija vienādi saucēji. Un mēs jau zinām, kā šādas frakcijas pievienot. Pabeigsim šo piemēru līdz beigām:
Tādējādi piemērs beidzas. Lai pievienotu izrādās.
Mēģināsim attēlot mūsu risinājumu, izmantojot attēlu. Ja pievienojat picas picai, jūs saņemsiet vienu veselu picu un vēl vienu sesto daļu no picas:
Daļskaitļu samazināšanu līdz vienam un tam pašam (kopsaucējam) var attēlot arī, izmantojot attēlu. Saliekot daļskaitļus un pie kopsaucēja, iegūstam daļskaitļus un . Šīs divas frakcijas attēlos vienādas picas šķēles. Vienīgā atšķirība būs tāda, ka šoreiz tās tiks sadalītas vienādās daļās (samazinātas līdz vienam un tam pašam saucējam).
Pirmajā zīmējumā ir redzama daļa (četri gabali no sešiem), bet otrajā attēlā - daļa (trīs gabali no sešiem). Saliekot šos gabalus kopā mēs iegūstam (septiņus gabalus no sešiem). Šī daļa ir nepareiza, tāpēc tajā esam izcēluši veselo skaitļu daļu. Rezultāts bija (viena vesela pica un vēl sestā pica).
Ņemiet vērā, ka esam krāsojuši dots piemērs pārāk detalizēts. IN izglītības iestādēm nav pieņemts rakstīt tik detalizēti. Jums ir jāspēj ātri atrast abu saucēju un to papildu faktoru LCM, kā arī ātri reizināt ar skaitītājiem un saucējiem atrastos papildu faktorus. Mācoties skolā, mums šis piemērs būtu jāraksta šādi:
Bet ir arī aizmugurējā puse medaļas. Ja matemātikas studiju pirmajos posmos netiek veiktas detalizētas piezīmes, tad šāda veida jautājumi “No kurienes nāk šis skaitlis?”, “Kāpēc daļskaitļi pēkšņi pārvēršas par pilnīgi atšķirīgām daļskaitļiem? «.
Lai atvieglotu daļskaitļu pievienošanu ar dažādiem saucējiem, varat izmantot tālāk sniegtos soli pa solim sniegtos norādījumus.
- Atrast daļskaitļu saucēju LCM;
- Sadaliet LCM ar katras frakcijas saucēju un iegūstiet papildu reizinātāju katrai daļai;
- Daļskaitļu skaitītājus un saucējus reiziniet ar to papildu koeficientiem;
- Pievienojiet daļskaitļus, kuriem ir vienādi saucēji;
- Ja atbilde izrādījās nepareiza daļa, atlasiet visu tās daļu;
2. piemērs Atrodiet izteiksmes vērtību 
.
Izmantosim iepriekš sniegtos norādījumus.
1. solis. Atrodiet daļu saucēju LCM
Atrodiet abu daļu saucēju LCM. Daļskaitļu saucēji ir skaitļi 2, 3 un 4
2. darbība. Sadaliet LCM ar katras frakcijas saucēju un iegūstiet papildu reizinātāju katrai daļai
Sadaliet LCM ar pirmās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 2. Sadaliet 12 ar 2, iegūstam 6. Mēs ieguvām pirmo papildu koeficientu 6. Mēs to rakstām virs pirmās daļdaļas:
Tagad mēs sadalām LCM ar otrās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3. Sadaliet 12 ar 3, iegūstam 4. Mēs ieguvām otro papildu koeficientu 4. Mēs to rakstām virs otrās daļdaļas:
Tagad mēs dalām LCM ar trešās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un trešās daļdaļas saucējs ir skaitlis 4. Sadaliet 12 ar 4, iegūstam 3. Mēs ieguvām trešo papildu koeficientu 3. Mēs to rakstām virs trešās daļdaļas:
3. solis. Reiziniet daļskaitļu skaitītājus un saucējus ar saviem papildu faktoriem
Skaitītājus un saucējus reizinām ar mūsu papildu faktoriem:
4. darbība. Pievienojiet daļskaitļus, kuriem ir vienādi saucēji
Mēs nonācām pie secinājuma, ka daļskaitļi, kuriem bija dažādi saucēji, pārvērtās par daļām, kurām ir vienādi (kopsaucēji). Atliek šīs frakcijas pievienot. Saskaitiet:
Papildinājums neietilpa vienā rindā, tāpēc atlikušo izteiksmi pārvietojām uz nākamo rindiņu. Matemātikā tas ir atļauts. Ja izteiksme neietilpst vienā rindā, tā tiek pārnesta uz nākamo rindu, un pirmās rindas beigās un jaunas rindas sākumā ir jāliek vienādības zīme (=). Otrajā rindā esošā vienādības zīme norāda, ka šis ir izteiksmes turpinājums, kas bija pirmajā rindā.
5. solis. Ja atbilde izrādījās nepareiza daļa, atlasiet tajā visu daļu
Mūsu atbilde ir nepareiza daļa. Mums ir jāizceļ visa tā daļa. Mēs izceļam:
Saņēma atbildi
Daļskaitļu ar vienādiem saucējiem atņemšana
Ir divi daļskaitļu atņemšanas veidi:
- Daļskaitļu ar vienādiem saucējiem atņemšana
- Daļskaitļu ar dažādiem saucējiem atņemšana
Vispirms uzzināsim, kā atņemt daļskaitļus ar vienādiem saucējiem. Šeit viss ir vienkārši. Lai no vienas daļdaļas atņemtu citu, no pirmās daļdaļas skaitītāja ir jāatņem otrās daļdaļas skaitītājs un saucējs jāatstāj tāds pats.
Piemēram, atradīsim izteiksmes vērtību. Lai atrisinātu šo piemēru, ir jāatņem otrās daļdaļas skaitītājs no pirmās daļdaļas skaitītāja un saucējs jāatstāj nemainīgs. Darām to:
Šo piemēru var viegli saprast, ja domājam par picu, kas ir sadalīta četrās daļās. Ja jūs izgriežat picas no picas, jūs saņemsiet picas:
2. piemērs Atrodiet izteiksmes vērtību.
Atkal no pirmās daļdaļas skaitītāja atņemiet otrās daļas skaitītāju un atstājiet saucēju nemainīgu:
Šo piemēru var viegli saprast, ja domājam par picu, kas ir sadalīta trīs daļās. Ja jūs izgriežat picas no picas, jūs saņemsiet picas:
3. piemērs Atrodiet izteiksmes vērtību 
Šis piemērs ir atrisināts tieši tāpat kā iepriekšējie. No pirmās daļas skaitītāja jums jāatņem atlikušo daļu skaitītāji:
Kā redzat, daļskaitļu ar vienādiem saucējiem atņemšanā nav nekā sarežģīta. Pietiek saprast šādus noteikumus:
- Lai no vienas daļdaļas atņemtu citu, no pirmās daļdaļas skaitītāja ir jāatņem otrās daļdaļas skaitītājs un saucējs jāatstāj nemainīgs;
- Ja atbilde izrādījās nepareiza daļdaļa, tad tajā ir jāatlasa visa daļa.
Daļskaitļu ar dažādiem saucējiem atņemšana
Piemēram, daļu var atņemt no daļskaitļa, jo šīm daļām ir vienādi saucēji. Bet daļu no daļskaitļa nevar atņemt, jo šīm daļām ir dažādi saucēji. Šādos gadījumos daļskaitļi jāsamazina līdz vienam un tam pašam (kopsaucējam).
Kopsaucējs tiek atrasts pēc tā paša principa, ko izmantojām, saskaitot daļskaitļus ar dažādiem saucējiem. Vispirms atrodiet abu daļskaitļu saucēju LCM. Tad LCM tiek dalīts ar pirmās daļdaļas saucēju un iegūts pirmais papildu koeficients, kas tiek uzrakstīts virs pirmās daļdaļas. Līdzīgi LCM tiek dalīts ar otrās daļdaļas saucēju un tiek iegūts otrs papildu koeficients, kas tiek uzrakstīts virs otrās daļas.
Pēc tam frakcijas tiek reizinātas ar to papildu faktoriem. Šo darbību rezultātā daļskaitļi, kuriem bija dažādi saucēji, pārvēršas daļās, kurām ir vienādi saucēji. Un mēs jau zinām, kā šādas daļas atņemt.
1. piemērs Atrodiet izteiksmes vērtību:
Šīm daļdaļām ir dažādi saucēji, tāpēc jums tie jāsavieno ar vienu un to pašu (kopsaucēju).
Pirmkārt, mēs atrodam abu frakciju saucēju LCM. Pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3, bet otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 4. Šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir 12
LCM (3 un 4) = 12
Tagad atpakaļ pie frakcijām un
Atradīsim papildu koeficientu pirmajai daļai. Lai to izdarītu, mēs sadalām LCM ar pirmās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3. Sadaliet 12 ar 3, iegūstam 4. Mēs rakstām četrinieku virs pirmās daļas:
Mēs darām to pašu ar otro frakciju. Mēs dalām LCM ar otrās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 4. Sadaliet 12 ar 4, iegūstam 3. Otrajai daļai ierakstiet trīskāršu:
Tagad mēs visi esam gatavi atņemšanai. Atliek reizināt frakcijas ar to papildu faktoriem:
Mēs nonācām pie secinājuma, ka daļskaitļi, kuriem bija dažādi saucēji, pārvērtās par daļām, kurām bija vienādi saucēji. Un mēs jau zinām, kā šādas daļas atņemt. Pabeigsim šo piemēru līdz beigām:
Saņēma atbildi
Mēģināsim attēlot mūsu risinājumu, izmantojot attēlu. Ja jūs izgriežat picas no picas, jūs saņemat picas.
Šī ir detalizēta risinājuma versija. Esot skolā, mums šis piemērs būtu jārisina īsākā veidā. Šāds risinājums izskatītos šādi:
Daļskaitļu samazināšanu un kopsaucēju var attēlot arī, izmantojot attēlu. Saliekot šīs daļskaitļus kopsaucējā, iegūstam daļskaitļus un . Šīs frakcijas tiks attēlotas ar vienām un tām pašām picas šķēlītēm, taču šoreiz tās tiks sadalītas vienādās daļās (samazinātas līdz vienam un tam pašam saucējam):
Pirmajā zīmējumā ir redzama daļa (astoņi gabali no divpadsmit), bet otrajā attēlā - daļa (trīs gabali no divpadsmit). Nogriežot trīs gabalus no astoņiem gabaliem, mēs iegūstam piecus gabalus no divpadsmit. Daļa apraksta šos piecus gabalus.
2. piemērs Atrodiet izteiksmes vērtību 
Šīm daļdaļām ir dažādi saucēji, tāpēc vispirms tās jāsavieno ar vienu un to pašu (kopsaucēju).
Atrodiet šo daļskaitļu saucēju LCM.
Daļskaitļu saucēji ir skaitļi 10, 3 un 5. Šo skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Tagad mēs atrodam papildu faktorus katrai frakcijai. Lai to izdarītu, mēs sadalām LCM ar katras frakcijas saucēju.
Atradīsim papildu koeficientu pirmajai daļai. LCM ir skaitlis 30, un pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 10. Sadaliet 30 ar 10, iegūstam pirmo papildu koeficientu 3. Mēs to rakstām virs pirmās daļas:
Tagad mēs atrodam papildu koeficientu otrajai daļai. Sadaliet LCM ar otrās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 30, un otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3. Sadaliet 30 ar 3, iegūstam otro papildu koeficientu 10. Mēs to rakstām virs otrās daļas:
Tagad mēs atrodam papildu koeficientu trešajai daļai. Sadaliet LCM ar trešās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 30, un trešās daļdaļas saucējs ir skaitlis 5. Sadaliet 30 ar 5, iegūstam trešo papildu koeficientu 6. Mēs to rakstām virs trešās daļas:
Tagad viss ir gatavs atņemšanai. Atliek reizināt frakcijas ar to papildu faktoriem:
Mēs nonācām pie secinājuma, ka daļskaitļi, kuriem bija dažādi saucēji, pārvērtās par daļām, kurām ir vienādi (kopsaucēji). Un mēs jau zinām, kā šādas daļas atņemt. Pabeigsim šo piemēru.
Piemēra turpinājums neiederēsies vienā rindā, tāpēc mēs pārceļam turpinājumu uz nākamo rindiņu. Neaizmirstiet par vienādības zīmi (=) jaunajā rindā:
Atbilde izrādījās pareiza daļa, un mums šķiet, ka viss ir piemērots, taču tas ir pārāk apgrūtinoši un neglīti. Mums vajadzētu to atvieglot. Ko var darīt? Jūs varat samazināt šo daļu.
Lai samazinātu daļu, tās skaitītājs un saucējs jāsadala ar (gcd) skaitļiem 20 un 30.
Tātad, mēs atrodam skaitļu 20 un 30 GCD:
Tagad mēs atgriežamies pie mūsu piemēra un dalām frakcijas skaitītāju un saucēju ar atrasto GCD, tas ir, ar 10
Saņēma atbildi
Daļdaļas reizināšana ar skaitli
Lai reizinātu daļu ar skaitli, jums jāreizina dotās daļas skaitītājs ar šo skaitli un saucējs jāatstāj tāds pats.
1. piemērs. Reiziniet daļu ar skaitli 1.
Daļas skaitītāju reiziniet ar skaitli 1
Ierakstu var saprast tā, ka aizņem pusi 1 reizi. Piemēram, ja ņemat picu vienu reizi, jūs saņemsiet picu
No reizināšanas likumiem mēs zinām, ka, ja reizinātājs un reizinātājs tiek apmainīti, reizinājums nemainīsies. Ja izteiksme ir uzrakstīta kā , reizinājums joprojām būs vienāds ar . Atkal darbojas vesela skaitļa un daļskaitļa reizināšanas noteikums:
Šo ierakstu var saprast kā pusi no vienības. Piemēram, ja ir 1 vesela pica un mēs ņemam pusi no tās, tad mums būs pica:
2. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību
Daļdaļas skaitītāju reiziniet ar 4
Atbilde ir nepareiza daļa. Ņemsim veselu daļu no tā:
Izteicienu var saprast kā ņemt divas ceturtdaļas 4 reizes. Piemēram, ja jūs ēdat picas 4 reizes, jūs saņemat divas veselas picas.
Un, ja mēs apmainām reizinātāju un reizinātāju pa vietām, mēs iegūstam izteiksmi. Tas arī būs vienāds ar 2. Šo izteiksmi var saprast kā divas picas no četrām veselām picām:
Daļskaitļu reizināšana
Lai reizinātu daļskaitļus, jāreizina to skaitītāji un saucēji. Ja atbilde ir nepareiza daļa, tajā ir jāatlasa visa daļa.
1. piemērs Atrodiet izteiksmes vērtību.
Saņēma atbildi. Šo frakciju vēlams samazināt. Frakciju var samazināt par 2. Tad gala šķīdumam būs šāda forma:
Izteicienu var saprast kā picas paņemšanu no puspicas. Pieņemsim, ka mums ir puse picas:
Kā paņemt divas trešdaļas no šīs pusītes? Vispirms šī puse jāsadala trīs vienādās daļās:
Un paņemiet divus no šiem trim gabaliem:
Mēs paņemsim picu. Atcerieties, kā izskatās pica, kas sadalīta trīs daļās:
Vienai šķēlei no šīs picas un divām mūsu paņemtajām šķēlītēm būs vienādi izmēri:
Citiem vārdiem sakot, mēs runājam par to pašu picas izmēru. Tāpēc izteiksmes vērtība ir
2. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību
Reiziniet pirmās daļdaļas skaitītāju ar otrās daļas skaitītāju un pirmās daļas saucēju ar otrās daļdaļas saucēju:
Atbilde ir nepareiza daļa. Ņemsim veselu daļu no tā:
3. piemērs Atrodiet izteiksmes vērtību
Reiziniet pirmās daļdaļas skaitītāju ar otrās daļas skaitītāju un pirmās daļas saucēju ar otrās daļdaļas saucēju:
Atbilde izrādījās pareiza daļdaļa, bet būs labi, ja to samazinās. Lai samazinātu šo daļskaitli, šīs daļas skaitītājs un saucējs jādala ar skaitļu 105 un 450 lielāko kopīgo dalītāju (GCD).
Tātad, atradīsim skaitļu 105 un 450 GCD:
Tagad mēs dalām mūsu tagad atrastās atbildes uz GCD skaitītāju un saucēju, tas ir, ar 15
Vesela skaitļa attēlošana kā daļdaļa
Jebkuru veselu skaitli var attēlot kā daļskaitli. Piemēram, skaitli 5 var attēlot kā . No tā pieci nemainīs savu nozīmi, jo izteiciens nozīmē "skaitlis pieci dalīts ar vienu", un tas, kā jūs zināt, ir vienāds ar pieci:
Apgrieztie skaitļi
Tagad mēs iepazīsimies ar interesanta tēma matemātikā. To sauc par "apgrieztajiem skaitļiem".
Definīcija. Atgriezties uz numurua ir skaitlis, kas reizināts ara dod vienību.
Aizstāsim šo definīciju mainīgā vietā a numuru 5 un mēģiniet izlasīt definīciju:
Atgriezties uz numuru 5 ir skaitlis, kas reizināts ar 5 dod vienību.
Vai ir iespējams atrast skaitli, kuru reizinot ar 5, tiek iegūts viens? Izrādās, ka var. Apzīmēsim piecus kā daļskaitli:
Pēc tam reiziniet šo daļu ar sevi, vienkārši samainiet skaitītāju un saucēju. Citiem vārdiem sakot, reizināsim daļu ar sevi, tikai apgrieztu:
Kāds tam būs rezultāts? Ja turpināsim risināt šo piemēru, mēs iegūstam vienu:
Tas nozīmē, ka skaitļa 5 apgrieztā vērtība ir skaitlis, jo, reizinot 5 ar vienu, tiek iegūts viens.
Apgriezto vērtību var atrast arī jebkuram citam veselam skaitlim.
Varat arī atrast apgriezto vērtību jebkurai citai daļskaitlim. Lai to izdarītu, pietiek ar to apgriezt.
Daļas dalīšana ar skaitli
Pieņemsim, ka mums ir puse picas:
Sadalīsim to vienādi starp diviem. Cik picu katrs saņems?
Redzams, ka pēc pusi picas sadalīšanas tika iegūti divi vienādi gabali, no kuriem katrs veido picu. Tātad visi saņem picu.
Frakciju dalīšana tiek veikta, izmantojot apgrieztās vērtības. Apgrieztie skaitļiļauj aizstāt dalīšanu ar reizināšanu.
Lai dalītu daļu ar skaitli, šī daļa jāreizina ar dalītāja apgriezto skaitli.
Izmantojot šo noteikumu, mēs pierakstīsim savas picas puses sadalījumu divās daļās.
Tātad, jums ir jāsadala daļa ar skaitli 2. Šeit dividende ir daļa, un dalītājs ir 2.
Lai dalītu daļu ar skaitli 2, šī daļa jāreizina ar dalītāja 2 apgriezto vērtību. Dalītāja 2 apgrieztā vērtība ir daļdaļa. Tātad jums ir jāreizina ar