Pie vārda "frakcijas" daudzas zosāda skrien. Jo atceros skolu un uzdevumus, kas tika risināti matemātikā. Tas bija pienākums, kas bija jāpilda. Bet ko darīt, ja uzdevumus, kas satur pareizās un nepareizās daļskaitļus, uztveram kā mīklu? Galu galā daudzi pieaugušie izlemj digitālo un Japāņu krustvārdu mīklas. Saproti noteikumus un viss. Te tāpat. Atliek tikai iedziļināties teorijā – un viss nostāsies savās vietās. Un piemēri pārvērtīsies par veidu, kā trenēt smadzenes.
Kādi frakciju veidi pastāv?
Sāksim ar to, kas tas ir. Daļskaitlis ir skaitlis, kuram ir kāda daļa no viena. To var rakstīt divās formās. Pirmo sauc par parasto. Tas ir, tāds, kuram ir horizontāls vai slīps gājiens. Tas ir vienāds ar dalījuma zīmi.
Šādā apzīmējumā skaitli virs domuzīmes sauc par skaitītāju, un zem tā sauc par saucēju.
Starp parastajām frakcijām izšķir pareizās un nepareizās frakcijas. Pirmajam modulo skaitītājs vienmēr ir mazāks par saucēju. Nepareizos tā sauc, jo viņiem ir pretējais. Pareizas daļas vērtība vienmēr ir mazāka par vienu. Lai gan nepareizais vienmēr ir lielāks par šo skaitli.
Ir arī jaukti skaitļi, tas ir, tie, kuriem ir vesels skaitlis un daļēja daļa.
Otrs ierakstu veids ir decimālzīme. Par viņas atsevišķu sarunu.
Kāda ir atšķirība starp nepareizām daļskaitļiem un jauktiem skaitļiem?
Principā nekas. Tas ir tikai atšķirīgs tā paša skaitļa apzīmējums. Nepareizas frakcijas pēc vienkāršām darbībām viegli kļūst jaukti skaitļi. Un otrādi.
Tas viss ir atkarīgs no konkrētās situācijas. Dažreiz uzdevumos ir ērtāk izmantot nepareizu daļskaitli. Un dažreiz tas ir jāpārtulko jauktā skaitā, un tad piemērs tiks atrisināts ļoti vienkārši. Tāpēc, ko lietot: nepareizas daļskaitļi, jaukti skaitļi - ir atkarīgs no problēmas risinātāja novērojumiem.
Jauktais skaitlis tiek salīdzināts arī ar veselās daļas un daļējās daļas summu. Turklāt otrais vienmēr ir mazāks par vienotību.
Kā jauktu skaitli attēlot kā nepareizu daļskaitli?
Ja vēlaties veikt kādu darbību ar vairākiem cipariem, kas ir ierakstīti dažādi veidi, tad jums tie ir jāpadara vienādi. Viena no metodēm ir attēlot skaitļus kā nepareizas daļskaitļus.
Šim nolūkam jums būs jāievēro šāds algoritms:
- reizināt saucēju ar veselu daļu;
- rezultātam pievieno skaitītāja vērtību;
- uzraksti atbildi virs rindas;
- atstājiet saucēju to pašu.
Šeit ir piemēri, kā no jauktiem skaitļiem rakstīt nepareizas daļskaitļus:
- 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
- 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.
Kā uzrakstīt nepareizu daļskaitli kā jauktu skaitli?
Nākamā metode ir pretēja iepriekš aprakstītajai. Tas ir, kad visi jauktie skaitļi tiek aizstāti ar nepareizām daļskaitļiem. Darbību algoritms būs šāds:
- daliet skaitītāju ar saucēju, lai iegūtu atlikumu;
- jauktā veselā skaitļa daļas vietā ierakstiet koeficientu;
- pārējā daļa jānovieto virs līnijas;
- dalītājs būs saucējs.
Šādas transformācijas piemēri:
76/14; 76:14 = 5 ar atlikušo 6; atbilde ir 5 veseli skaitļi un 6/14; daļējā daļa šajā piemērā ir jāsamazina par 2, jūs saņemat 3/7; galīgā atbilde ir 5 veseli 3/7.
108/54; pēc dalīšanas koeficientu 2 iegūst bez atlikuma; tas nozīmē, ka ne visas nepareizās daļskaitļus var attēlot kā jauktu skaitli; atbilde ir vesels skaitlis - 2.
Kā pārvērst veselu skaitli nepareizā daļskaitlī?
Ir situācijas, kad šāda rīcība ir nepieciešama. Lai iegūtu nepareizas daļskaitļus ar iepriekš noteiktu saucēju, jums būs jāveic šāds algoritms:
- reiziniet veselu skaitli ar vēlamo saucēju;
- ierakstiet šo vērtību virs līnijas;
- novietojiet saucēju zem tā.
Vienkāršākais variants ir tad, kad saucējs vienāds ar vienu. Tad nav jāvairo. Pietiek tikai uzrakstīt veselu skaitli, kas norādīts piemērā, un zem rindas novietot vienību.
Piemērs: izveidojiet 5 nepareizu daļskaitli ar saucēju 3. Reizinot 5 ar 3, jūs iegūstat 15. Šis skaitlis būs saucējs. Uzdevuma atbilde ir daļdaļa: 15/3.
Divas pieejas uzdevumu risināšanai ar dažādiem skaitļiem
Piemērā ir jāaprēķina divu skaitļu summa un starpība, kā arī reizinājums un koeficients: 2 veseli skaitļi 3/5 un 14/11.
Pirmajā pieejā jauktais skaitlis tiks attēlots kā nepareiza daļdaļa.
Pēc iepriekš aprakstīto darbību veikšanas tiek iegūta šāda vērtība: 13/5.
Lai uzzinātu summu, jums jāsamazina daļskaitļi līdz vienam un tam pašam saucējam. 13/5, reizināts ar 11, kļūst par 143/55. Un 14/11 pēc reizināšanas ar 5 iegūs formu: 70/55. Lai aprēķinātu summu, jums tikai jāsaskaita skaitītāji: 143 un 70, un pēc tam pierakstiet atbildi ar vienu saucēju. 213/55 - šis nepareiza frakcija uzdevuma atbilde.
Meklējot atšķirību, tiek atņemti šie paši skaitļi: 143 - 70 = 73. Atbilde ir daļskaitlis: 73/55.
Reizinot 13/5 un 14/11, jums nav jānoved uz kopsaucējs. Vienkārši reiziniet skaitītājus un saucējus pa pāriem. Atbilde būs: 182/55.
Tāpat ar sadalīšanu. Priekš pareizs lēmums dalīšana jāaizstāj ar reizināšanu un jāpagriež dalītājs: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.
Otrajā pieejā Nepareiza daļa kļūst par jauktu skaitli.
Pēc algoritma darbību veikšanas 14/11 pārvērtīsies par jauktu skaitli ar veselu skaitļa daļu 1 un daļēju daļu no 3/11.
Aprēķinot summu, jums atsevišķi jāpievieno vesels skaitlis un daļdaļas. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Galīgā atbilde ir veselas 3 48/55. Pirmajā piegājienā bija daļa 213/55. Jūs varat pārbaudīt pareizību, pārvēršot to par jauktu skaitli. Pēc 213 dalīšanas ar 55, koeficients ir 3, bet atlikums ir 48. Ir viegli redzēt, ka atbilde ir pareiza.
Atņemot, zīme "+" tiek aizstāta ar "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Lai pārbaudītu atbildi no iepriekšējās pieejas, tā jāpārvērš par jauktu skaitli: 73 dala ar 55, un jūs iegūstat koeficientu 1 un atlikumu 18.
Lai atrastu reizinājumu un koeficientu, ir neērti izmantot jauktus skaitļus. Šeit vienmēr ir ieteicams pāriet uz nepareizajām frakcijām.
Šis raksts ir par parastās frakcijas. Šeit mēs iepazīsimies ar veseluma daļas jēdzienu, kas mūs novedīs pie parastās daļas definīcijas. Tālāk mēs pakavēsimies pie pieņemtā apzīmējuma parastajām daļām un sniegsim daļskaitļu piemērus, teiksim par daļskaitļa skaitītāju un saucēju. Pēc tam mēs sniegsim pareizo un nepareizo, pozitīvo un negatīvo daļu definīcijas, kā arī ņemsim vērā daļskaitļu atrašanās vietu koordinātu starā. Noslēgumā mēs uzskaitām galvenās darbības ar daļskaitļiem.
Lapas navigācija.
Kopuma akcijas
Vispirms mēs iepazīstinām akciju koncepcija.
Pieņemsim, ka mums ir kāds objekts, kas sastāv no vairākām absolūti identiskām (tas ir, vienādām) daļām. Skaidrības labad varat iedomāties, piemēram, ābolu, kas sagriezts vairākās vienādās daļās, vai apelsīnu, kas sastāv no vairākām vienādām šķēlītēm. Katra no šīm vienādajām daļām, kas veido visu objektu, tiek saukta daļa no kopuma vai vienkārši akcijas.
Ņemiet vērā, ka akcijas ir atšķirīgas. Paskaidrosim šo. Pieņemsim, ka mums ir divi āboli. Sagriežam pirmo ābolu divās vienādās daļās, bet otro – 6 vienādās daļās. Skaidrs, ka pirmā ābola daļa atšķirsies no otrā ābola daļas.
Atkarībā no akciju skaita, kas veido visu objektu, šīm akcijām ir savi nosaukumi. Analizēsim kopīgu vārdus. Ja objekts sastāv no divām daļām, jebkuru no tām sauc par visa objekta otro daļu; ja objekts sastāv no trim daļām, tad jebkuru no tām sauc par vienu trešo daļu utt.
Vienam sekundes sitienam ir īpašs nosaukums - puse. Viena trešdaļa tiek izsaukta trešais, un viens četrkāršs - ceturksnis.
Īsuma labad tālāk akciju apzīmējumi. Viena otrā akcija ir apzīmēta kā vai 1/2, viena trešdaļa - kā vai 1/3; viena ceturtā daļa - like vai 1/4 utt. Ņemiet vērā, ka apzīmējums ar horizontālu joslu tiek izmantots biežāk. Lai konsolidētu materiālu, sniegsim vēl vienu piemēru: ieraksts apzīmē simt sešdesmit septīto daļu no visa.
Akcijas jēdziens dabiski sniedzas no objektiem līdz lielumiem. Piemēram, viens no garuma mēriem ir metrs. Lai mērītu garumus, kas mazāki par metru, var izmantot metra daļas. Tātad jūs varat izmantot, piemēram, pusmetru vai desmito vai tūkstošdaļu no metra. Līdzīgi tiek piemērotas arī citu daudzumu daļas.
Daļskaitļi, definīcijas un daļskaitļu piemēri
Lai aprakstītu akciju skaitu, tiek izmantots parastās frakcijas. Sniegsim piemēru, kas ļaus tuvoties parasto daļskaitļu definīcijai.
Ļaujiet apelsīnam sastāvēt no 12 daļām. Katra akcija šajā gadījumā ir viena divpadsmitā daļa no vesela apelsīna, tas ir, . Apzīmēsim divus sitienus kā , trīs sitienus kā un tā tālāk, 12 sitienus kā . Katru no šiem ierakstiem sauc par parasto daļskaitli.
Tagad dosim ģenerāli parasto daļskaitļu definīcija.
Parasto daļskaitļu izteiktā definīcija ļauj mums ienest parasto daļskaitļu piemēri: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Un šeit ir ieraksti 
neatbilst parasto daļskaitļu izteiktajai definīcijai, tas ir, tās nav parastās frakcijas.
Skaitītājs un saucējs
Ērtības labad mēs izšķiram parastās frakcijas skaitītājs un saucējs.
Definīcija.
Skaitītājs parastā daļa (m / n) ir naturāls skaitlis m.
Definīcija.
Saucējs parastā daļa (m / n) ir naturāls skaitlis n.
Tātad skaitītājs atrodas virs daļskaitļu joslas (pa kreisi no slīpsvītras), un saucējs atrodas zem daļskaitļu joslas (pa labi no slīpsvītras). Piemēram, ņemsim parasto daļskaitli 17/29, šīs daļdaļas skaitītājs ir skaitlis 17, bet saucējs ir skaitlis 29.
Atliek apspriest parastās daļskaitļa skaitītājā un saucējā ietverto nozīmi. Daļas saucējs parāda, no cik daļām sastāv viena vienība, skaitītājs savukārt norāda šādu daļu skaitu. Piemēram, daļskaitļa 12/5 saucējs 5 nozīmē, ka viens vienums sastāv no piecām daļām, bet skaitītājs 12 nozīmē, ka tiek ņemtas 12 šādas daļas.
Dabiskais skaitlis kā daļskaitlis ar saucēju 1
Parastās daļas saucējs var būt vienāds ar vienu. Šajā gadījumā mēs varam pieņemt, ka objekts ir nedalāms, citiem vārdiem sakot, tas ir kaut kas vesels. Šādas daļskaitļa skaitītājs norāda, cik veselu priekšmetu ir ņemts. Pa šo ceļu, kopējā frakcija formai m/1 ir naturāla skaitļa m nozīme. Šādi mēs pamatojām vienādību m/1=m .
Pārrakstīsim pēdējo vienādību šādi: m=m/1 . Šī vienādība ļauj mums attēlot jebkuru naturālu skaitli m kā parastu daļskaitli. Piemēram, skaitlis 4 ir daļskaitlis 4/1, bet skaitlis 103498 ir daļa 103498/1.
Tātad, jebkuru naturālu skaitli m var attēlot kā parastu daļskaitli ar saucēju 1 kā m/1, un jebkuru parasto daļskaitli no formas m/1 var aizstāt ar naturālu skaitli m.
Daļu josla kā dalījuma zīme
Sākotnējā objekta attēlojums n daļu formā nav nekas vairāk kā sadalīšana n vienādās daļās. Pēc tam, kad prece ir sadalīta n daļās, mēs to varam sadalīt vienādi starp n cilvēkiem - katrs saņems vienu daļu.
Ja mums sākotnēji ir m identiski objekti, no kuriem katrs ir sadalīts n daļās, tad mēs varam vienādi sadalīt šos m objektus starp n cilvēkiem, piešķirot katrai personai vienu daļu no katra no m objektiem. Šajā gadījumā katrai personai būs m daļas 1/n, un m daļas 1/n dod parasto daļu m/n. Tādējādi parasto daļskaitli m/n var izmantot, lai attēlotu m vienību sadalījumu starp n cilvēkiem.
Tātad mēs ieguvām skaidru saikni starp parastajām daļām un dalīšanu (skatiet vispārējo ideju par naturālo skaitļu dalīšanu). Šīs attiecības tiek izteiktas šādi: Daļas joslu var saprast kā dalījuma zīmi, tas ir, m/n=m:n.
Ar parastās daļskaitļa palīdzību var uzrakstīt rezultātu, dalot divus naturālie skaitļi, kuriem veselu skaitļu dalīšana netiek veikta. Piemēram, 5 ābolu dalīšanas ar 8 cilvēkiem rezultātu var uzrakstīt kā 5/8, tas ir, katrs iegūs piecas astotdaļas no ābola: 5:8=5/8.
Vienādas un nevienādas parastās daļas, daļskaitļu salīdzinājums
Diezgan dabiska darbība ir parasto daļskaitļu salīdzināšana, jo skaidrs, ka 1/12 no apelsīna atšķiras no 5/12, un 1/6 no ābola ir tāda pati kā otra 1/6 no šī ābola.
Divu parasto daļskaitļu salīdzināšanas rezultātā iegūst vienu no rezultātiem: daļas ir vai nu vienādas, vai nav vienādas. Pirmajā gadījumā mums ir vienādas kopīgās daļas, un otrajā nevienādas kopīgās daļas. Sniegsim vienādu un nevienādu parasto daļskaitļu definīciju.
Definīcija.
vienāds, ja vienādība a d=b c ir patiesa.
Definīcija.
Divas parastās frakcijas a/b un c/d nav vienāds, ja vienādība a d=b c nav izpildīta.
Šeit ir daži vienādu daļskaitļu piemēri. Piemēram, parastā daļdaļa 1/2 ir vienāda ar daļskaitli 2/4, jo 1 4=2 2 (ja nepieciešams, skatiet naturālo skaitļu reizināšanas noteikumus un piemērus). Skaidrības labad varat iedomāties divus identiskus ābolus, pirmais tiek pārgriezts uz pusēm, bet otrais - 4 daļās. Ir skaidrs, ka divas ceturtdaļas no ābola ir 1/2 daļa. Citi vienādu parasto daļskaitļu piemēri ir daļskaitļi 4/7 un 36/63, kā arī daļskaitļu pāris 81/50 un 1620/1000.
Un parastās daļskaitļi 4/13 un 5/14 nav vienādi, jo 4 14 = 56 un 13 5 = 65, tas ir, 4 14 ≠ 13 5. Vēl viens nevienlīdzīgu kopējo daļskaitļu piemērs ir daļskaitļi 17/7 un 6/4.
Ja, salīdzinot divas parastās daļskaitļus, izrādās, ka tie nav vienādi, tad, iespējams, vajadzēs noskaidrot, kura no šīm parastajām daļām mazāk cits, un kurš vairāk. Lai to noskaidrotu, tiek izmantots parasto daļskaitļu salīdzināšanas noteikums, kura būtība ir savest salīdzināmās daļskaitļus līdz kopsaucējam un pēc tam salīdzināt skaitītājus. Sīkāka informācija par šo tēmu ir apkopota rakstā daļskaitļu salīdzinājums: noteikumi, piemēri, risinājumi.
Daļskaitļi
Katra daļa ir rekords daļskaitlis. Tas ir, daļdaļa ir tikai daļskaitļa “apvalks”, tā izskats, un visa semantiskā slodze ir ietverta precīzi daļskaitlī. Tomēr īsuma un ērtības labad daļskaitļa un daļskaitļa jēdziens tiek apvienots un vienkārši saukts par daļskaitli. Šeit der pārfrāzēt labi zināmo teicienu: sakām daļskaitli – domājam daļskaitlis, mēs sakām daļskaitli - mēs domājam daļskaitli.
Daļas uz koordinātu stara
Visiem daļskaitļiem, kas atbilst parastajām daļskaitļiem, ir sava unikāla vieta uz , tas ir, starp daļām un koordinātu stara punktiem ir savstarpēja atbilstība.
Lai nokļūtu punktā, kas atbilst daļai m / n uz koordinātu stara, ir nepieciešams atlikt m segmentus no sākuma pozitīvā virzienā, kuru garums ir 1 / n daļa no vienības segmenta. Šādus segmentus var iegūt, sadalot vienu segmentu n vienādās daļās, ko vienmēr var izdarīt, izmantojot kompasu un lineālu.
Piemēram, uz koordinātu stara parādīsim punktu M, kas atbilst daļai 14/10. Nozares garums ar galiem punktā O un tam tuvākajā punktā, kas atzīmēts ar nelielu domuzīmi, ir 1/10 no vienības segmenta. Punkts ar koordinātu 14/10 tiek noņemts no sākuma ar 14 šādiem segmentiem.
Vienādas daļas atbilst vienam un tam pašam daļskaitlim, tas ir, vienādas daļas ir viena un tā paša punkta koordinātas uz koordinātu stara. Piemēram, viens punkts atbilst koordinātām 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 uz koordinātu stara, jo visas rakstītās daļas ir vienādas (tas atrodas attālumā no vienības segmenta puses, atlikts no plkst. izcelsme pozitīvā virzienā).
Horizontālā un pa labi vērstā koordinātu starā punkts, kura koordināte ir liela daļa, atrodas pa labi no punkta, kura koordināte ir mazāka daļa. Tāpat punkts ar mazāko koordinātu atrodas pa kreisi no punkta ar lielāko koordinātu.
Pareizās un nepareizās daļskaitļi, definīcijas, piemēri
Starp parastajām frakcijām ir pareizās un nepareizās frakcijas. Šajā iedalījumā pamatā ir skaitītāja un saucēja salīdzinājums.
Sniegsim pareizu un nepareizo parasto daļskaitļu definīciju.
Definīcija.
Pareiza frakcija ir parasta daļa, kuras skaitītājs ir mazāks par saucēju, tas ir, ja m Definīcija.
Nepareiza frakcija ir parasta daļa, kurā skaitītājs ir lielāks vai vienāds ar saucēju, tas ir, ja m≥n, tad parastā daļa ir nepareiza. Šeit ir daži pareizu daļskaitļu piemēri: 1/4 , , 32 765/909 003 . Patiešām, katrā no uzrakstītajām parastajām daļām skaitītājs ir mazāks par saucēju (ja nepieciešams, skatiet rakstu naturālo skaitļu salīdzinājumu), tāpēc tie ir pareizi pēc definīcijas. Un šeit ir nepareizo daļskaitļu piemēri: 9/9, 23/4,. Patiešām, pirmās rakstītās parastās daļas skaitītājs ir vienāds ar saucēju, un atlikušajās daļās skaitītājs ir lielāks par saucēju. Ir arī pareizas un nepareizas daļskaitļu definīcijas, kuru pamatā ir daļskaitļu salīdzināšana ar vienu. Definīcija. pareizi ja tas ir mazāks par vienu. Definīcija. Parasto daļu sauc nepareizi, ja tas ir vienāds ar vienu vai lielāks par 1 . Tātad parastā daļa 7/11 ir pareiza, jo 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 un 27/27 = 1 . Padomāsim, kā parastās daļskaitļi, kuru skaitītājs ir lielāks vai vienāds ar saucēju, ir pelnījuši šādu nosaukumu - "nepareizi". Kā piemēru ņemsim nepareizo daļskaitli 9/9. Šī daļa nozīmē, ka tiek ņemtas deviņas objekta daļas, kas sastāv no deviņām daļām. Tas ir, no pieejamajām deviņām akcijām mēs varam izveidot veselu tēmu. Tas ir, nepareizā daļa 9/9 būtībā dod veselu objektu, tas ir, 9/9 = 1. Parasti nepareizas daļskaitļi ar skaitītāju, kas vienāds ar saucēju, apzīmē vienu veselu objektu, un šādu daļu var aizstāt ar naturālu skaitli 1. Tagad apsveriet nepareizās frakcijas 7/3 un 12/4. Ir pilnīgi skaidrs, ka no šīm septiņām trešdaļām mēs varam izveidot divus veselus objektus (viens vesels objekts ir 3 daļas, tad, lai sastādītu divus veselus objektus, mums vajag 3 + 3 = 6 daļas) un viena trešā daļa joprojām būs. Tas ir, nepareizā daļa 7/3 būtībā nozīmē 2 vienības un pat 1/3 no šādas vienības daļas. Un no divpadsmit ceturkšņiem mēs varam izgatavot trīs veselus objektus (trīs objektus ar četrām daļām katrā). Tas ir, daļa 12/4 būtībā nozīmē 3 veselus objektus. Aplūkotie piemēri liek izdarīt šādu secinājumu: nepareizās daļskaitļus var aizstāt vai nu ar naturāliem skaitļiem, kad skaitītājs tiek dalīts ar saucēju (piemēram, 9/9=1 un 12/4=3), vai ar naturālu skaitli un pareizu daļskaitli, ja skaitītājs nedalās vienmērīgi ar saucēju (piemēram, 7/3=2+1/3 ). Varbūt tieši tas ir tas, ko nepareizās frakcijas ir pelnījušas šādu nosaukumu - “nepareizi”. Īpaši interesanti ir nepareizas daļskaitļa attēlojums kā naturāla skaitļa un pareizas daļskaitļa summa (7/3=2+1/3). Šo procesu sauc par veselas skaitļa daļas izņemšanu no nepareizas daļskaitļa, un tas ir pelnījis atsevišķu un rūpīgāku apsvērumu. Ir arī vērts atzīmēt, ka pastāv ļoti cieša saistība starp nepareizām daļskaitļiem un jauktiem skaitļiem. Katra parasta daļa atbilst pozitīvam daļskaitlim (skat. rakstu pozitīvie un negatīvie skaitļi). Tas ir, parastās frakcijas ir pozitīvas frakcijas. Piemēram, parastās daļskaitļi 1/5, 56/18, 35/144 ir pozitīvas daļas. Kad nepieciešams uzsvērt daļskaitļa pozitivitāti, tad tai priekšā liek plusa zīmi, piemēram, +3/4, +72/34. Ja parastas daļskaitļa priekšā ievietojat mīnusa zīmi, tad šis ieraksts atbildīs negatīvam daļskaitļam. Šajā gadījumā var runāt par negatīvās daļas. Šeit ir daži negatīvo daļskaitļu piemēri: −6/10 , −65/13 , −1/18 . Pozitīvās un negatīvās daļas m/n un −m/n ir pretēji skaitļi. Piemēram, daļskaitļi 5/7 un −5/7 ir pretējas daļas. Pozitīvas daļas, tāpat kā pozitīvi skaitļi kopumā, apzīmē pieaugumu, ienākumus, kādas vērtības izmaiņas uz augšu utt. Negatīvās daļas atbilst izdevumiem, parādiem, jebkuras vērtības izmaiņām samazinājuma virzienā. Piemēram, negatīvu daļu -3/4 var interpretēt kā parādu, kura vērtība ir 3/4. Uz horizontālās un pa labi vērstās negatīvās daļas atrodas pa kreisi no atskaites punkta. Koordinātu taisnes punkti, kuru koordinātes ir pozitīvā daļa m/n un negatīvā daļa −m/n, atrodas vienādā attālumā no sākuma, bet punkta O pretējās pusēs. Šeit ir vērts pieminēt formas 0/n daļas. Šīs daļas ir vienādas ar skaitli nulle, tas ir, 0/n=0 . Pozitīvās frakcijas, negatīvās daļas un 0/n daļas apvienojas, veidojot racionālus skaitļus. Vienu darbību ar parastajām daļskaitļiem - daļskaitļu salīdzināšanu - mēs jau aplūkojām iepriekš. Ir definētas vēl četras aritmētikas darbības ar daļskaitļiem- daļu saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana. Pakavēsimies pie katra no tiem. Darbību ar daļskaitļiem vispārējā būtība ir līdzīga atbilstošo darbību ar naturāliem skaitļiem būtībai. Zīmēsim analoģiju. Daļskaitļu reizināšana var uzskatīt par darbību, kurā no daļskaitļa tiek atrasta daļa. Lai precizētu, ņemsim piemēru. Pieņemsim, ka mums ir 1/6 no ābola un mums ir jāņem 2/3 no tā. Mums vajadzīgā daļa ir daļskaitļu 1/6 un 2/3 reizināšanas rezultāts. Divu parasto daļskaitļu reizināšanas rezultāts ir parasta daļa (kas konkrētā gadījumā ir vienāda ar naturālu skaitli). Tālāk mēs iesakām izpētīt rakstu daļu reizināšanas informāciju - noteikumus, piemērus un risinājumus. Bibliogrāfija. Studējot visu zinātņu karalieni – matemātiku, katrs kādā brīdī saskaras ar daļskaitļiem. Lai gan šis jēdziens (tāpat kā paši daļskaitļu veidi vai matemātiskās darbības ar tiem) nemaz nav grūts, pret to jāizturas uzmanīgi, jo reālajā dzīvē ārpus skolas tas ļoti noderēs. Tātad, atsvaidzināsim savas zināšanas par daļskaitļiem: kas tie ir, kam tie paredzēti, kādi veidi tie ir un kā ar tiem veikt dažādas aritmētiskās darbības. Daļskaitļi matemātikā ir skaitļi, no kuriem katrs sastāv no vienas vai vairākām vienības daļām. Šādas frakcijas sauc arī par parastajām vai vienkāršām. Parasti tos raksta kā divus skaitļus, kurus atdala ar horizontālu vai slīpsvītru, to sauc par "daļskaitli". Piemēram: ½, ¾. Augšējais vai pirmais no šiem skaitļiem ir skaitītājs (parāda, cik skaitļa daļas ir ņemtas), bet apakšējā vai otrā ir saucējs (rāda, cik daļās vienība ir sadalīta). Daļveida josla faktiski darbojas kā dalījuma zīme. Piemēram, 7:9=7/9 Tradicionāli parastās daļskaitļi ir mazāki par vienu. Lai gan decimāldaļas var būt lielākas par to. Kam domātas frakcijas? Jā, par visu, jo reālajā pasaulē ne visi skaitļi ir veseli skaitļi. Piemēram, divas skolnieces kafejnīcā kopā nopirka vienu gardu šokolādes tāfelīti. Kad viņi grasījās dalīt desertu, viņi satika draugu un nolēma pacienāt arī viņu. Tomēr tagad ir pareizi jāsadala šokolādes tāfelīte, ņemot vērā, ka tā sastāv no 12 kvadrātiem. Sākumā meitenes gribēja visu sadalīt vienādi, un tad katra dabūja četrus gabalus. Bet, pārdomājuši, viņi nolēma draudzeni pacienāt nevis 1/3, bet 1/4 šokolādes. Un tā kā skolnieces slikti mācījās daļskaitļus, viņas neņēma vērā, ka šādā situācijā viņiem būtu 9 gabali, kas ir ļoti slikti sadalīti divās daļās. Šis diezgan vienkāršais piemērs parāda, cik svarīgi ir pareizi atrast skaitļa daļu. Bet dzīvē tādu gadījumu ir daudz vairāk. Visas matemātiskās daļas ir sadalītas divos lielos ciparos: parastajā un decimāldaļā. Pirmā no tām iezīmes tika aprakstītas iepriekšējā punktā, tāpēc tagad ir vērts pievērst uzmanību otrajam. Decimāldaļa ir pozicionāls apzīmējums skaitļa daļai, kas fiksēts ar komatu atdalītā burtā bez domuzīmes vai slīpsvītras. Piemēram: 0,75, 0,5. Faktiski decimāldaļdaļa ir identiska parastajai daļai, tomēr tās saucējs vienmēr ir viens, kam seko nulles - no tā izriet arī tās nosaukums. Skaitlis pirms komata ir vesela skaitļa daļa, un viss pēc komata ir daļskaitļa daļa. Jebkuru vienkāršu daļskaitli var pārvērst decimāldaļā. Tātad iepriekšējā piemērā norādītās decimāldaļas var uzrakstīt kā parastās: ¾ un ½. Ir vērts atzīmēt, ka gan decimāldaļas, gan parastās daļas var būt gan pozitīvas, gan negatīvas. Ja pirms tiem ir zīme "-", šī daļa ir negatīva, ja "+" - tad pozitīva. Ir tādi vienkāršo daļskaitļu veidi. Atšķirībā no vienkāršas, decimāldaļdaļa ir sadalīta tikai 2 veidos. Veikt dažādas aritmētiskas manipulācijas ar daļskaitļiem ir nedaudz grūtāk nekā ar parastajiem skaitļiem. Taču, ja apgūsi pamatnoteikumus, ar tiem jebkuru piemēru atrisināt nebūs grūti. Piemēram: 2/3+3/4. Viņiem mazākais kopīgais reizinājums būs 12, tāpēc ir nepieciešams, lai šis skaitlis būtu katrā saucējā. Lai to izdarītu, mēs reizinām pirmās daļdaļas skaitītāju un saucēju ar 4, izrādās 8/12, mēs darām to pašu ar otro vārdu, bet tikai reizinim ar 3 - 9/12. Tagad jūs varat viegli atrisināt piemēru: 8/12+9/12= 17/12. Rezultātā iegūtā daļa ir nepareiza vērtība, jo skaitītājs ir lielāks par saucēju. To var un vajag pārvērst par pareizo jaukto, dalot 17:12 = 1 un 5/12. Ja pievieno jauktās daļas, vispirms darbības tiek veiktas ar veseliem skaitļiem un pēc tam ar daļskaitļiem. Ja piemērā ir decimāldaļdaļa un parasts, ir nepieciešams, lai abi kļūtu vienkārši, pēc tam pievienojiet tos vienam un tam pašam saucējam un pievienojiet tos. Piemēram, 3.1+1/2. Skaitli 3.1 var uzrakstīt kā jauktu daļskaitli no 3 un 1/10 vai kā nepareizu - 31/10. Terminu kopsaucējs būs 10, tāpēc skaitītājs un saucējs 1/2 jāreizina ar 5 pēc kārtas, izrādās 5/10. Tad var viegli visu izrēķināt: 31/10+5/10=35/10. Iegūtais rezultāts ir nepareiza saraušanās daļa, mēs to ievedam normālā formā, samazinot to par 5: 7/2=3 un 1/2 vai decimāldaļu - 3,5. Saskaitot 2 zīmes aiz komata, ir svarīgi, lai aiz komata būtu vienāds ciparu skaits. Ja tas tā nav, jums vienkārši jāpievieno nepieciešamais nulles skaits, jo decimāldaļdaļā to var izdarīt nesāpīgi. Piemēram, 3,5+3,005. Lai atrisinātu šo uzdevumu, pirmajam skaitlim jāpievieno 2 nulles un pēc tam jāsaskaita: 3,500 + 3,005 = 3,505. Atņemot daļskaitļus, ir vērts darīt to pašu, ko pievienojot: samazināt līdz kopsaucējam, atņemt vienu skaitītāju no cita, ja nepieciešams, pārvērst rezultātu jauktā daļskaitlī. Piemēram: 16/20-5/10. Kopsaucējs būs 20. Līdz šim saucējam jāatved otrā daļa, abas tās daļas reizinot ar 2, iegūst 10/20. Tagad varat atrisināt piemēru: 16/20-10/20= 6/20. Taču šis rezultāts attiecas uz reducējamām daļām, tāpēc ir vērts abas daļas dalīt ar 2 un rezultāts ir 3/10. Daļskaitļu dalīšana un reizināšana ir daudz vienkāršākas darbības nekā saskaitīšana un atņemšana. Fakts ir tāds, ka, veicot šos uzdevumus, nav jāmeklē kopsaucējs. Lai reizinātu daļskaitļus, jums vienkārši pārmaiņus jāreizina abi skaitītāji kopā un pēc tam abi saucēji. Samaziniet iegūto rezultātu, ja frakcija ir samazināta vērtība. Piemēram: 4/9x5/8. Pēc alternatīvas reizināšanas rezultāts ir 4x5/9x8=20/72. Šādu daļu var samazināt par 4, tāpēc piemērā galīgā atbilde ir 5/18. Daļskaitļu dalīšana ir arī vienkārša darbība, patiesībā tā joprojām ir to reizināšana. Lai dalītu vienu daļu ar citu, jums ir jāapgriež otrā daļa un jāreizina ar pirmo. Piemēram, daļskaitļu dalījums 5/19 un 5/7. Lai atrisinātu piemēru, jums ir jāsamaina otrās daļdaļas saucējs un skaitītājs un jāreizina: 5/19x7/5=35/95. Rezultātu var samazināt par 5 – izrādās 7/19. Ja jums ir nepieciešams dalīt daļu ar pirmskaitli, tehnika nedaudz atšķiras. Sākotnēji ir vērts rakstīt šo skaitli kā nepareizu daļskaitli un pēc tam dalīt saskaņā ar to pašu shēmu. Piemēram, 2/13:5 jāraksta kā 2/13:5/1. Tagad jums ir jāapgriež 5/1 un jāreizina iegūtās daļas: 2/13x1/5 = 2/65. Dažreiz jums ir jāsadala jauktas frakcijas. Ar tiem jārīkojas tāpat kā ar veseliem skaitļiem: pārvērtiet tos nepareizās daļskaitļos, apgrieziet dalītāju un visu reiziniet. Piemēram, 8 ½: 3. Visu pārvēršana nepareizās daļās: 17/2: 3/1. Tam seko 3/1 apvēršana un reizināšana: 17/2x1/3= 17/6. Tagad jums vajadzētu tulkot nepareizo daļu pareizajā - 2 veseli skaitļi un 5/6. Tātad, noskaidrojot, kas ir daļskaitļi un kā ar tiem var veikt dažādas aritmētiskās darbības, jums jācenšas par to neaizmirst. Galu galā cilvēki vienmēr vairāk tiecas sadalīt kaut ko daļās, nevis pievienot, tāpēc jums ir jāspēj to izdarīt pareizi. Frakcija matemātikā skaitlis, kas sastāv no vienas vai vairākām vienības daļām (daļdaļām). Daļskaitļi ir daļa no racionālo skaitļu lauka. Daļskaitļi ir sadalīti 2 formātos atkarībā no to rakstīšanas veida: parasts laipns un decimālzīme . Daļas skaitītājs- skaitlis, kas parāda paņemto akciju skaitu (atrodas daļdaļas augšpusē - virs līnijas). Daļas saucējs- skaitlis, kas parāda, cik daļās iekārta ir sadalīta (atrodas zem līnijas - apakšējā daļā). , savukārt, ir sadalīti: pareizi un nepareizi, sajaukts un salikts cieši saistīti ar mērvienībām. 1 metrs satur 100 cm, kas nozīmē, ka 1 m ir sadalīts 100 vienādās daļās. Tādējādi 1 cm = 1/100 m (viens centimetrs ir vienāds ar vienu simtdaļu no metra). vai 3/5 (trīs piektdaļas), šeit 3 ir skaitītājs, 5 ir saucējs. Ja skaitītājs ir mazāks par saucēju, tad daļa ir mazāka par vienu un tiek izsaukta pareizi: Ja skaitītājs ir vienāds ar saucēju, daļa ir vienāda ar vienu. Ja skaitītājs ir lielāks par saucēju, daļa ir lielāka par vienu. Abos gadījumos tiek izsaukta daļa nepareizi: Lai izolētu lielāko veselo skaitli, kas ietverts nepareizā daļā, skaitītājs jādala ar saucēju. Ja dalīšanu veic bez atlikuma, tad ņemtā nepareizā daļa ir vienāda ar koeficientu: Ja dalīšanu veic ar atlikumu, tad (nepilnīgais) koeficients dod vēlamo veselo skaitli, atlikums kļūst par daļdaļas skaitītāju; daļdaļas saucējs paliek nemainīgs. Tiek izsaukts skaitlis, kas satur veselu skaitli un daļēju daļu sajaukts. Daļēja daļa jaukts numurs var būt nepareiza frakcija. Tad no daļdaļas var izvilkt lielāko veselo skaitli un jaukto skaitli attēlot tā, lai daļdaļa kļūtu par pareizu daļskaitli (vai pazūd pavisam). 326. Aizpildiet tukšumus. 1) Ja daļskaitļa skaitītājs ir vienāds ar saucēju, tad daļa ir vienāda ar 1. 327. Izrakstīt no daļskaitļiem 1/20, 16/9, 7/2, 14/28.10/10, 5/32.11/2: 1) kārtīgās daļskaitļus; 2) nepareizās daļskaitļi. 1) 1/20, 14/23, 5/32 2) 19/9, 7/2, 10/10, 11/2 328. Izdomā un pieraksti: 1) 5 pareizās daļskaitļus; 2) nepareizās daļskaitļi. 1) ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6 2) 3/2, 4/2, 5/2 ju 6/2, 7/2 329. Pierakstiet visas pareizās daļskaitļus ar saucēju 9. 1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9. 330. Pierakstiet visus nepareizos daļskaitļus ar skaitītāju 9. 9/1,9/2, 9/3, 9/4, 9/5, 9/6, 9/7, 9/8, 9/9. 331. Divas identiskas sloksnes tika sadalītas 7 vienādās daļās. Krāsojiet 4/7 no vienas sloksnes un 6/7 no otras. Salīdziniet iegūtās frakcijas: 4/7< 6/7. Formulējiet noteikumu, lai salīdzinātu daļskaitļus ar vienādiem saucējiem: no divām daļām ar vienādiem saucējiem tā, kurai ir lielāks skaitītājs, ir lielāka. 332. Divas identiskas sloksnes tika sadalītas daļās. Viena sloksne tika sadalīta 7 vienādās daļās, bet otra - 5 vienādās daļās. Krāsojiet 3/7 no pirmās sloksnes un 3/5 no otrās. Salīdziniet iegūtās frakcijas: 3/7< /5. Formulējiet noteikumu, lai salīdzinātu daļskaitļus ar vienādiem skaitītājiem: no divām daļām ar vienādiem skaitītājiem tā, kurai ir mazāks saucējs, ir lielāka. 333. Aizpildiet tukšumus. 1) Visas pareizās daļskaitļus ir mazākas par 1, bet nepareizās frakcijas ir lielākas par 1 vai vienādas ar 1. 2) Katra nepareizā daļa ir lielāka par jebkuru pareizo daļu, un katra pareizā daļa ir mazāka par jebkuru nepareizo daļu. 3) Uz divu daļskaitļu koordinātu kūļa lielākā daļa atrodas pa labi no mazākās. 334. Apvelciet pareizos apgalvojumus. 335. Salīdziniet skaitļus. 2)17/25>14/25 4)24/51>24/53 336. Kura no daļskaitļiem 10/11, 16/4, 18/17, 24/24, 2005/207, 310/303, 39/40 ir lielāka par 1? Atbilde: 16/4, 18/17, 310/303 337. Sakārtot frakcijas 5/29, 7/29, 4/29, 25/29, 17/29, 13/29. Atbilde: 29.29., 17.29., 29.13., 29.07., 29.05., 29.04. 338. Atzīmē uz koordinātu kūļa visus skaitļus, kas ir daļskaitļi ar saucēju 5, kas atrodas starp skaitļiem 0 un 3. Kuri no atzīmētajiem skaitļiem ir pareizi un kuri nepareizi? 0 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5 10/5 11/5 12/5 13/5 14/5 Atbilde: 1) pareizie daļskaitļi: 1/5, 2/5, 3/5, 4/5. 2) nepareizās daļskaitļi: 5/5, 6/5, 7/5, 8/5, 9/5, 10/5, 11/5, 12/5, 13/5, 14/5. 339. Atrodiet visas x dabiskās vērtības, kurām ir pareiza daļa x/8. Atbilde: 1,2,3,4,5,6,7 340. Atrodiet dabiskus izteiksmes x, kurām daļskaitlis 11/x būs neregulārs. Atbilde: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 341. 1) Tukšajās šūnās ieraksti skaitļus tā, lai veidojas pareiza daļa. 2) Ievadiet skaitļus tukšajās šūnās, lai veidotos nepareiza daļa. 342. Uzbūvē un apzīmē nogriežņu, kura garums ir: 1) 9/8 no segmenta AB garuma; 2) 10/8 no segmenta AB garuma; 3) 7/4 no segmenta AB garuma; 4) posma AB garums. Saša izlasīja 42:6*7= 49 lpp Atbilde: 49 lpp 344. Atrodiet visas x dabiskās vērtības, kurām ir patiesa nevienādība: 1) x/15<7/15; 2) 10/x>10/9. Atbilde: 1) 1,2,3,4,5,6; 2) 1,2,3,4,5,6,7,8. 345. Izmantojot skaitļus 1,4,5,7 un daļskaitļa rindu, pierakstiet visus iespējamos īstos daļskaitļus. Atbilde: ¼, 1/5,1/7,4/5,4/7,5/7. 346. Atrodiet visas m dabas vērtības, kurām ir pareiza 4m+5/17. 4m+5<17; 4m<12; m<3. Atbilde: m =1; 2. 347. Atrodiet visas a dabas vērtības, kurām daļskaitlis 10/a ir nepareizs un daļa 7/a ir pareiza. a≤10 un a >7, t.i. 7 Atbilde: a = 8,9,10 348. Naturālie skaitļi a, b, c un d, lai a Pozitīvās un negatīvās frakcijas
Darbības ar daļskaitļiem
Viņas Majestāte frakcija: kas tas ir
Daļskaitļu veidi: parastā un decimāldaļskaitļa
Parasto frakciju apakštipi
Decimāldaļas apakšsugas
Frakciju pievienošana
Daļskaitļu atņemšana
Daļskaitļu reizināšana
Kā sadalīt daļskaitļus
2) Daļskaitli a/b (a un b ir naturāli skaitļi) sauc par pareizu, ja a< b
3) Daļa a/b (a un b ir naturāli skaitļi) tiek saukta par nepareizu, ja a >b vai a =b.
4) 9/14 ir pareiza daļa, jo 9< 14.
5) 7/5 ir nepareiza daļa, jo 7 > 5.
6) 16/16 ir nepareiza daļskaitļa, jo 16=16.