Lai veiktu faktorizāciju, ir jāvienkāršo izteiksmes. Tas ir nepieciešams, lai varētu vēl vairāk samazināt. Polinoma sadalīšanai ir jēga, ja tā pakāpe ir vismaz divas. Polinomu ar pirmo pakāpi sauc par lineāru.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Rakstā tiks apskatīti visi sadalīšanās jēdzieni, teorētiskā bāze un metodes polinoma faktorinēšanai.
Teorija
1. teorēmaJa jebkurš polinoms ar pakāpi n, kam ir forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0, tiek attēloti kā reizinājums ar nemainīgu koeficientu ar vislielāko jaudu an un n lineārie koeficienti (x - xi), i = 1, 2, ..., n, tad P n (x) = an (x - xn) (x - xn - 1) ... ... · (X - x 1), kur x i, i = 1, 2,…, n - tās ir polinoma saknes.
Teorēma paredzēta kompleksa tipa x i, i = 1, 2,…, n saknēm un kompleksajiem koeficientiem a k, k = 0, 1, 2,…, n. Tas ir jebkuras sadalīšanās pamatā.
Ja formas a k, k = 0, 1, 2, ..., n koeficienti ir reāli skaitļi, tad sarežģītas saknes, kas satiksies konjugētos pāros. Piemēram, saknes x 1 un x 2, kas attiecas uz polinomu formā P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0 tiek uzskatīti par kompleksu konjugātu, tad pārējās saknes ir reālas, no kā iegūstam, ka polinoms iegūst formu P n (x) = an (x - xn) (x - xn - 1) ·. ... ... (X - x 3) x 2 + p x + q, kur x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2).
komentēt
Polinoma saknes var atkārtot. Apsveriet algebras teorēmas pierādījumu, kas izriet no Bezout teorēmas.
Algebras galvenā teorēma
2. teorēmaJebkuram polinomam ar pakāpi n ir vismaz viena sakne.
Bezout teorēma
Pēc polinoma formas P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + dalīšanas. ... ... + a 1 x + a 0 uz (x - s), tad iegūstam atlikumu, kas ir vienāds ar polinomu punktā s, tad iegūstam
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s), kur Q n - 1 (x) ir n - 1 pakāpes polinoms.
Secinājums no Bezout teorēmas
Ja polinoma P n (x) sakni uzskata par s, tad P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x). Šis secinājums ir pietiekams, ja to izmanto, lai aprakstītu risinājumu.
Kvadrātveida trinoma koeficients
Kvadrātveida trinomu ar formu a x 2 + b x + c var sadalīt lineārie faktori... tad mēs iegūstam, ka a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2), kur x 1 un x 2 ir saknes (sarežģītas vai reālas).
No tā ir skaidrs, ka pati paplašināšanās samazinās līdz risinājumam kvadrātvienādojums pēc tam.
1. piemērs
Faktorizēt kvadrātveida trinomu.
Risinājums
Atrodiet vienādojuma 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 saknes. Lai to izdarītu, pēc formulas jāatrod diskriminanta vērtība, tad iegūstam D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Tāpēc mums tas ir
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
No tā mēs iegūstam, ka 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Lai veiktu pārbaudi, ir jāpaplašina skavas. Tad mēs iegūstam formas izteiksmi:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Pēc pārbaudes mēs nonākam pie sākotnējās izteiksmes. Tas ir, mēs varam secināt, ka sadalīšana tiek veikta pareizi.
2. piemērs
Koeficients kvadrātveida trinomu formā 3 x 2 - 7 x - 11.
Risinājums
Mēs iegūstam, ka ir jāaprēķina iegūtais kvadrātvienādojums formā 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Lai atrastu saknes, jums ir jānosaka diskriminanta vērtība. Mēs to sapratām
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
No tā mēs iegūstam, ka 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
3. piemērs
Pareizināt polinomu 2 x 2 + 1.
Risinājums
Tagad jums jāatrisina kvadrātvienādojums 2 x 2 + 1 = 0 un jāatrod tā saknes. Mēs to sapratām
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Šīs saknes sauc par komplekso konjugātu, kas nozīmē, ka pašu sadalīšanos var attēlot kā 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
4. piemērs
Sadaliet kvadrātveida trinomu x 2 + 1 3 x + 1.
Risinājums
Vispirms jums jāatrisina kvadrātvienādojums formā x 2 + 1 3 x + 1 = 0 un jāatrod tā saknes.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 ix 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i
Saņēmuši saknes, mēs rakstām
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
komentēt
Ja diskriminanta vērtība ir negatīva, tad polinomi paliek otrās kārtas polinomi. No tā izriet, ka mēs tos nesadalīsim lineāros faktoros.
Metodes tādu polinomu faktorinēšanai, kuru pakāpe ir augstāka par diviem
Sadalīšanās pieņem universāla metode... Lielākā daļa gadījumu ir balstīti uz Bezout teorēmas secinājumu. Lai to izdarītu, jums ir jāizvēlas saknes vērtība x 1 un jāsamazina tās pakāpe, dalot ar polinomu ar 1, dalot ar (x - x 1). Iegūtajam polinomam ir jāatrod sakne x 2, un meklēšanas process ir ciklisks, līdz mēs iegūstam pilnīgu sadalīšanos.
Ja sakne nav atrasta, tad tiek izmantotas citas faktoringa metodes: grupēšana, papildu termini. Šajā tēmā tiek pieņemts vienādojumu risinājums ar augstākas pakāpes un veselu skaitļu koeficienti.
Kopējā faktora faktorēšana
Aplūkosim gadījumu, kad brīvais termins ir vienāds ar nulli, tad polinoma forma kļūst par P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + 1 x.
Var redzēt, ka šāda polinoma sakne būs vienāda ar x 1 = 0, tad polinomu var attēlot kā izteiksmi P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 +... + a 1)
Šī metode tiek uzskatīta par kopīgā faktora izņemšanu no iekavām.
5. piemērs
Trešās pakāpes polinomu faktors 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Risinājums
Mēs redzam, ka x 1 = 0 ir dotā polinoma sakne, tad mēs varam ņemt x ārpus visas izteiksmes iekavām. Mēs iegūstam:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Mēs pievēršamies kvadrātveida trinoma 4 x 2 + 8 x - 1 sakņu atrašanai. Atradīsim diskriminantu un saknes:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Tad no tā izriet
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 xx - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 xx + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Sākumā apskatīsim dekompozīcijas metodi, kas satur veselu skaitļu koeficientus formā P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0, kur koeficients pie lielākās jaudas ir 1.
Ja polinomam ir integrālas saknes, tās tiek uzskatītas par brīvā vārda dalītājiem.
6. piemērs
Paplašiniet izteiksmi f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Risinājums
Apsveriet, vai ir veselas saknes. Ir nepieciešams pierakstīt skaitļa dalītājus - 18. Mēs iegūstam ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. No tā izriet, ka šim polinomam ir integrālas saknes. Jūs varat pārbaudīt Hornera shēmu. Tas ir ļoti ērti un ļauj ātri iegūt polinoma izplešanās koeficientus:
No tā izriet, ka x = 2 un x = - 3 ir sākotnējā polinoma saknes, ko var attēlot kā formas reizinājumu:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Mēs pārejam pie kvadrātveida trinoma formas x 2 + 2 x + 3 sadalīšanas.
Tā kā diskriminants ir negatīvs, tas nozīmē, ka nav īstu sakņu.
Atbilde: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
komentēt
Hornera shēmas vietā ir atļauts izmantot polinoma saknes atlasi un dalījumu ar polinomu. Mēs turpinām apsvērt tāda polinoma izvēršanu, kas satur veselus skaitļu koeficientus formā P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0, no kuriem vecākais ir vienāds ar vienu.
Šis gadījums notiek racionālām daļskaitļiem.
7. piemērs
Koeficients f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15.
Risinājums
Jāmaina mainīgais y = 2 x, jādodas uz polinomu ar koeficientiem, kas vienādi ar 1 augstākajā pakāpē. Jums jāsāk, reizinot izteiksmi ar 4. Mēs to sapratām
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Ja iegūtajai formai g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ir veselas saknes, tad tās atrodot starp brīvā vārda dalītājiem. Ieraksts notiks šādā formā:
± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15, ± 20, ± 30, ± 60
Turpināsim ar funkcijas g (y) aprēķināšanu šajos punktos, lai rezultātā iegūtu nulli. Mēs to sapratām
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (-5) = (-5) 3 + 19 (-5) 2 + 82 (-5) + 60
Iegūstam, ka y = - 5 ir vienādojuma sakne ar formu y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, kas nozīmē, ka x = y 2 = - 5 2 ir sākotnējās funkcijas sakne.
8. piemērs
Ir nepieciešams dalīt ar kolonnu 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 ar x + 5 2.
Risinājums
Rakstīsim un saņemsim:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Dalītāju pārbaude prasīs daudz laika, tāpēc izdevīgāk ir veikt iegūtā kvadrātveida trinoma formas x 2 + 7 x + 3 faktorizāciju. Pielīdziniet nullei un atrodiet diskriminantu.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
No tā izriet, ka
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Mākslīgie triki polinoma faktorinēšanai
Racionālas saknes nav raksturīgas visiem polinomiem. Lai to izdarītu, jums ir jāizmanto īpašas metodes reizinātāju atrašanai. Bet ne visus polinomus var izvērst vai attēlot kā produktu.
Grupēšanas metode
Dažkārt var grupēt polinoma terminus, lai atrastu kopējo faktoru un novietotu to ārpus iekavām.
9. piemērs
Faktorizējiet polinomu x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Risinājums
Tā kā koeficienti ir veseli skaitļi, tad saknes, domājams, var būt arī veseli skaitļi. Lai pārbaudītu, ņemiet vērtības 1, - 1, 2 un - 2, lai aprēķinātu polinoma vērtību šajos punktos. Mēs to sapratām
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Līdz ar to ir skaidrs, ka nav sakņu, ir jāizmanto cita sadalīšanas un šķīduma metode.
Ir nepieciešams grupēt:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Pēc sākotnējā polinoma grupēšanas tas ir jāattēlo kā divu reizinājums kvadrātveida trinomiāli... Lai to izdarītu, mums ir jāveic faktorizēšana. mēs to saņemam
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
komentēt
Grupēšanas vienkāršība nenozīmē, ka ir pietiekami viegli izvēlēties terminus. Nav konkrēta risinājuma, tāpēc ir jāizmanto īpašas teorēmas un noteikumi.
10. piemērs
Pareizināt polinomu x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.
Risinājums
Dotajam polinomam nav integrālu sakņu. Nepieciešams terminus sagrupēt. Mēs to sapratām
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Pēc faktoringa mēs to iegūstam
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2-5 2
Saīsināto reizināšanas formulu un Ņūtona binoma izmantošana polinoma faktorinēšanai
Pēc izskata bieži vien ne vienmēr ir skaidrs, kura metode ir jāizmanto sadalīšanās laikā. Pēc transformāciju veikšanas jūs varat izveidot līniju, kas sastāv no Paskāla trīsstūra, pretējā gadījumā tos sauc par Ņūtona binomiālu.
11. piemērs
Pareizināt polinomu x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Risinājums
Ir nepieciešams pārvērst izteiksmi formā
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Izteiksme x + 1 4 norāda summas koeficientu secību iekavās.
Tādējādi mums ir x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
Pēc kvadrātu starpības piemērošanas mēs iegūstam
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Apsveriet izteiksmi otrajā iekavās. Skaidrs, ka zirgu tur nav, tāpēc vēlreiz jāpiemēro kvadrātu starpības formula. Mēs iegūstam formas izteiksmi
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
12. piemērs
Koeficients x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6.
Risinājums
Veiksim izteiksmes transformāciju. Mēs to sapratām
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Nepieciešams piemērot kubu starpības saīsinātas reizināšanas formulu. Mēs iegūstam:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Mainīgo aizstāšanas metode polinoma faktorinēšanai
Mainot mainīgo, pakāpe tiek samazināta un polinoms tiek sadalīts faktoros.
13. piemērs
Koeficients polinomu formā x 6 + 5 x 3 + 6.
Risinājums
Saskaņā ar nosacījumu ir skaidrs, ka ir nepieciešams veikt aizstāšanu y = x 3. Mēs iegūstam:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Iegūtā kvadrātvienādojuma saknes ir vienādas ar y = - 2 un y = - 3, tad
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Nepieciešams piemērot formulu kubu summas saīsinātai reizināšanai. Mēs iegūstam formas izteiksmes:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Tas ir, mēs saņēmām nepieciešamo sadalīšanos.
Iepriekš apskatītie gadījumi palīdzēs dažādos veidos apsvērt un faktorizēt polinomu.
Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter
Polinomu faktorizācija ir identitātes transformācija, kuras rezultātā polinoms tiek pārveidots par vairāku faktoru reizinājumu - polinomiem vai monomiem.
Ir vairāki veidi, kā faktorēt polinomus.
1. metode. Kopējā faktora izņemšana no iekavām.
Šī transformācija ir balstīta uz sadales reizināšanas likumu: ac + bc = c (a + b). Transformācijas būtība ir izvēlēties kopējo faktoru abās aplūkojamajās komponentēs un "izņemt" to no iekavām.
Pareizināt polinomu 28x3 - 35x4.
Risinājums.
1. Atrodiet elementus 28x 3 un 35x 4 kopīgs dalītājs... 28 un 35 tas būtu 7; x 3 un x 4 - x 3. Citiem vārdiem sakot, mūsu kopējais koeficients ir 7x3.
2. Katrs no elementiem tiek attēlots kā faktoru reizinājums, no kuriem viens
7x3: 28x3 - 35x4 = 7x3 ∙ 4 - 7x3 ∙ 5x.
3. Izņemiet kopējo faktoru
7x3: 28x3 - 35x4 = 7x3 ∙ 4 - 7x3 ∙ 5x = 7x3 (4 - 5x).
2. metode. Saīsināto reizināšanas formulu izmantošana. Šīs metodes apguves "prasme" ir pamanīt izteiksmē vienu no saīsinātās reizināšanas formulām.
Polinoma koeficients x 6–1.
Risinājums.
1 TO šo izteicienu mēs varam piemērot kvadrātu atšķirības formulu. Lai to izdarītu, mēs attēlojam x 6 kā (x 3) 2 un 1 kā 1 2, t.i. 1. Izteiksmei būs šāda forma:
(x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).
2. Iegūtajai izteiksmei varam pielietot kubu summas un starpības formulu:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Tātad,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
3. metode. Grupēšana. Grupēšanas metode sastāv no polinoma komponentu apvienošanas tā, lai ar tiem būtu viegli veikt darbības (saskaitīšana, atņemšana, kopējā faktora noņemšana).
Pareizināt polinomu x 3 - 3x 2 + 5x - 15.
Risinājums.
1. Sagrupēsim komponentus šādi: 1. ar 2. un 3. ar 4.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).
2. Iegūtajā izteiksmē ievietojiet kopējos faktorus ārpus iekavām: x 2 pirmajā gadījumā un 5 otrajā.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).
3. Izņemiet kopējo koeficientu x - 3 un iegūstiet:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) (x 2 + 5).
Tātad,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 = (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) ∙ (x 2 + 5) ).
Sakārtosim materiālu.
Koeficients polinomu a 2 - 7ab + 12b 2.
Risinājums.
1. Monomu 7ab attēlosim kā summu 3ab + 4ab. Izteiksmei būs šāda forma:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2. 
Atvērsim iekavas un iegūsim:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2.
2. Sagrupēsim polinoma komponentus šādi: 1. ar 2. un 3. ar 4.. Mēs iegūstam:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).
3. Izņemsim no iekavām izplatītākos faktorus:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) = a (a - 3b) - 4b (a - 3b).
4. Izņemiet kopējo faktoru (a–3b):
a (a - 3b) - 4b (a - 3b) = (a - 3 b) ∙ (a - 4b).
Tātad,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a (a - 3b) - 4b (a - 3b) =
= (a - 3 b) ∙ (a - 4b).
vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.
Ko darīt, ja, risinot uzdevumu no eksāmena vai iestājeksāmenā matemātikā, saņēmāt polinomu, kuru nevar faktorizēt, izmantojot standarta metodes, kuras apguvāt skolā? Šajā rakstā matemātikas pasniedzējs pastāstīs par vienu efektīvu veidu, kas ir ārpus skolas mācību programmas darbības jomas, bet ar kuru nebūs grūti iekļaut polinomu faktoros. Izlasiet šo rakstu līdz beigām un noskatieties pievienoto video pamācību. Iegūtās zināšanas noderēs eksāmenā.
Polinoma dalīšanas faktorizācija
Ja esat saņēmis polinomu, kas ir lielāks par otro pakāpi, un varējāt uzminēt mainīgā lieluma vērtību, kurā šis polinoms kļūst vienāds ar nulli(piemēram, šī vērtība ir vienāda), esiet uzmanīgi! Šo polinomu var dalīt ar.
Piemēram, ir viegli redzēt, ka ceturtās pakāpes polinoms pazūd plkst. Tas nozīmē, ka to var dalīt bez atlikuma ar, tādējādi iegūstot trešās pakāpes polinomu (mazāk par vienu). Tas ir, lai to attēlotu šādā formā:
kur A, B, C un D- daži skaitļi. Paplašināsim iekavas:
Tā kā koeficientiem vienādās pakāpēs jābūt vienādiem, mēs iegūstam:
Tātad mēs saņēmām:
Uz priekšu. Pietiek atkārtot dažus mazus veselus skaitļus, lai redzētu, ka trešās pakāpes polinoms atkal dalās ar. Tādējādi tiek iegūts otrās pakāpes polinoms (par vienu mazāks). Tad pāriesim pie jaunā ieraksta:
kur E, F un G- daži skaitļi. Atkal atveram iekavas un nonākam pie šādas izteiksmes:
Atkal, no nosacījuma par koeficientu vienādību vienādās pakāpēs, mēs iegūstam:
Tad mēs iegūstam:
Tas nozīmē, ka sākotnējo polinomu var faktorizēt šādi:
Principā, ja vēlas, izmantojot kvadrātu starpības formulu, rezultātu var uzrādīt arī šādā formā:
Tik vienkārši un efektīva metode faktoringa polinomi. Atcerieties to, tas var noderēt eksāmenā vai matemātikas olimpiādē. Pārbaudiet, vai esat iemācījušies izmantot šo metodi. Mēģiniet pats atrisināt nākamo problēmu.
Faktorizēt polinomu:
Rakstiet savas atbildes komentāros.
Sagatavoja Sergejs Valerijevičs
Šajā rakstā jūs atradīsit visu nepieciešamo informāciju atbildot uz jautājumu kā skaitļus ieskaitīt primārajos faktoros... Vispirms dots vispārēja ideja par skaitļa sadalīšanos pirmfaktoros ir doti dekompozīcijas piemēri. Tālāk ir parādīta skaitļa faktorizācijas pirmfaktoros kanoniskā forma. Pēc tam tiek dots algoritms patvaļīgu skaitļu sadalīšanai pirmfaktoros un doti skaitļu sadalīšanas piemēri, izmantojot šo algoritmu. Apsvērts arī alternatīvi veidi kas ļauj ātri sadalīt mazus veselus skaitļus galvenajos faktoros, izmantojot dalāmības kritērijus un reizināšanas tabulas.
Lapas navigācija.
Ko nozīmē skaitļa iekļaušana galvenajos faktoros?
Pirmkārt, izdomāsim, kas ir galvenie faktori.
Ir skaidrs, ka, tā kā šajā frāzē ir vārds “faktori”, tad ir dažu skaitļu reizinājums, un kvalificējošais vārds “vienkāršs” nozīmē, ka katrs faktors ir pirmskaitlis. Piemēram, reizinājumam, kura forma ir 2 · 7 · 7 · 23, ir četri galvenie koeficienti: 2, 7, 7 un 23.
Ko nozīmē skaitļa iekļaušana galvenajos faktoros?
Tas nozīmē, ka dotais numurs ir jāattēlo kā primāro faktoru reizinājums, un šī reizinājuma vērtībai ir jābūt vienādai ar sākotnējo skaitli. Piemēram, apsveriet trīs pirmskaitļu 2, 3 un 5 reizinājumu, tas ir vienāds ar 30, tātad 30 faktorizācija pirmskaitļos ir 2 · 3 · 5. Parasti skaitļa sadalīšanu pirmfaktoros raksta kā vienādību, mūsu piemērā tas būs šādi: 30 = 2 · 3 · 5. Atsevišķi uzsveram, ka paplašināšanas galvenie faktori var atkārtoties. To skaidri parāda šāds piemērs: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Bet formas 45 = 3 · 15 attēlojums nav primārā faktorizācija, jo skaitlis 15 ir salikts.
Rodas šāds jautājums: "Kādi skaitļi vispār var tikt sadalīti pirmfaktoros"?
Meklējot atbildi uz to, mēs sniedzam šādu argumentāciju. Pirmskaitļi pēc definīcijas ir starp tiem, kas ir lielāki par vieniem. Ņemot vērā šo faktu un, var apgalvot, ka vairāku primāro faktoru reizinājums ir pozitīvs vesels skaitlis, kas ir lielāks par vienu. Tāpēc primārā faktorizācija notiek tikai pozitīviem veseliem skaitļiem, kas ir lielāki par 1.
Bet vai visi veselie skaitļi, kas ir lielāki par vienu, tiek iekļauti primārajos faktoros?
Ir skaidrs, ka primāros veselos skaitļus nevar sadalīt primārajos faktoros. Tas ir tāpēc, ka pirmskaitļiem ir tikai divi pozitīvi dalītāji – viens un paši, tāpēc tos nevar attēlot kā divu vai vairāk pirmskaitļi. Ja veselu skaitli z varētu attēlot kā pirmskaitļu a un b reizinājumu, tad dalāmības jēdziens ļautu secināt, ka z dalās gan ar a, gan ar b, kas nav iespējams skaitļa z vienkāršības dēļ. Tomēr tiek uzskatīts, ka jebkurš pirmskaitlis pats par sevi ir tā paplašinājums.
Kā ar saliktajiem skaitļiem? Vai saliktie skaitļi sadalās pirmfaktoros un vai visi saliktie skaitļi ir pakļauti šādai sadalīšanai? Uz vairākiem šiem jautājumiem apstiprinoši atbild aritmētikas galvenā teorēma. Aritmētikas galvenā teorēma nosaka, ka jebkuru veselu skaitli a, kas ir lielāks par 1, var sadalīt pirmkoeficientu p 1, p 2, ..., pn reizinājumā, un sadalījumam ir forma a = p 1 p 2 .. Dekompozīcija ir unikāla, ja neņem vērā faktoru secību
Kanoniskā primārā faktorizācija
Skaitļa paplašināšanā var atkārtoties pirmfaktori. Dublētus primāros faktorus var uzrakstīt kompaktāk, izmantojot. Pieņemsim, ka skaitļa izvērsumā pirmfaktors p 1 notiek s 1 reizes, pirmfaktors p 2 - s 2 reizes un tā tālāk, p n - s n reizes. Tad skaitļa a primāro faktorizāciju var uzrakstīt kā a = p 1 s 1 p 2 s 2… p n s n... Šis ierakstīšanas veids ir tā sauktais kanoniskā primārā faktorizācija.
Sniegsim piemēru skaitļa kanoniskajai faktorizācijai pirmfaktoros. Pastāstiet mums par sadalīšanos 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, tā kanoniskais apzīmējums ir 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2.
Kanoniskā skaitļa faktorizācija pirmfaktoros ļauj atrast visus skaitļa dalītājus un skaitļa dalītāju skaitu.
Algoritms skaitļa iekļaušanai primārajos faktoros
Lai veiksmīgi risinātu problēmu, kas saistīta ar skaitļu iekļaušanu pirmskaitļos, jums ir ļoti labi jāpārzina informācija rakstā par pirmskaitļiem un saliktajiem skaitļiem.
Vesela skaitļa pozitīva un lielāka par vienu skaitli a sadalīšanās procesa būtība ir skaidra no aritmētikas galvenās teorēmas pierādījuma. Ideja ir secīgi atrast skaitļu a, a 1, a 2, ..., a n-1 mazākos pirmskaitļu dalītājus p 1, p 2, ..., pn, kas ļauj iegūt vienādību sēriju a = p 1 · a 1, kur a 1 = a: p 1, a = p 1 a 1 = p 1 p 2 a 2, kur a 2 = a 1: p 2,…, a = p 1 p 2… = a n-1: pn. Ja iegūstam a n = 1, tad vienādība a = p 1 · p 2 ·… · p n dos mums nepieciešamo skaitļa a sadalīšanos pirmfaktoros. Šeit jāatzīmē, ka p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤… ≤ p n.
Atliek izdomāt, kā katrā solī atrast mazākos primāros faktorus, un mums būs algoritms skaitļa iekļaušanai galvenajos faktoros. Pirmskaitļu tabula palīdzēs mums atrast pirmskaitļus. Parādīsim, kā to izmantot, lai iegūtu mazāko skaitļa z pirmdalītāju.
Secīgi no pirmskaitļu tabulas ņemam pirmskaitļus (2, 3, 5, 7, 11 un tā tālāk) un dalām ar tiem doto skaitli z. Pirmais pirmskaitlis z, kas dalīts ar vienu veselu skaitli, būs tā mazākais pirmskaitlis. Ja skaitlis z ir pirmskaitlis, tad tā mazākais pirmskaitļa dalītājs būs pats skaitlis z. Šeit jāatgādina, ka, ja z nav pirmskaitlis, tad tā mazākais pirmskaitļa dalītājs nepārsniedz skaitli, kur ir no z. Tādējādi, ja starp pirmskaitļiem, kas nepārsniedz skaitļa z, nebija neviena skaitļa dalītāja, tad varam secināt, ka z ir pirmskaitlis (sīkāk skatīt teorijas sadaļu zem virsraksta šis skaitlis ir pirmskaitlis vai salikts).
Piemēram, mēs parādīsim, kā atrast 87 mazāko primāro dalītāju. Mēs ņemam numuru 2. Sadaliet 87 ar 2, iegūstam 87: 2 = 43 (pārējais 1) (ja nepieciešams, skatiet rakstu). Tas ir, dalot 87 ar 2, tiek iegūts atlikums 1, tāpēc 2 nav 87 dalītājs. Mēs ņemam nākamo pirmskaitli no pirmskaitļu tabulas, kas ir 3. Mēs sadalām 87 ar 3, iegūstam 87: 3 = 29. Tādējādi 87 vienmērīgi dalās ar 3, tāpēc 3 ir mazākais 87 primārais dalītājs.
Ņemiet vērā, ka vispārīgā gadījumā, lai skaitli a iekļautu pirmskaitļos, mums ir nepieciešama pirmskaitļu tabula līdz skaitlim, kas nav mazāks par. Mums būs jāatsaucas uz šo tabulu katrā solī, tāpēc jums tai ir jābūt pie rokas. Piemēram, lai 95 iedalītu primārajos faktoros, pietiek ar tabulu ar pirmskaitļiem līdz 10 (jo 10 ir lielāks par). Un, lai sadalītu skaitli 846 653, jums jau būs nepieciešama pirmskaitļu tabula līdz 1000 (jo 1000 ir vairāk nekā).
Tagad mums ir pietiekami daudz informācijas, lai rakstītu pirmfaktorizācijas algoritms... Skaitļa a sadalīšanas algoritms ir šāds:
- Secīgi izejot cauri skaitļiem no pirmskaitļu tabulas, mēs atrodam skaitļa a mazāko pirmskaitļu dalītāju p 1, pēc kura aprēķinām a 1 = a: p 1. Ja a 1 = 1, tad skaitlis a ir primārais, un tas pats par sevi ir tā primārā faktorizācija. Ja a 1 nav vienāds ar 1, tad mums ir a = p 1 · a 1 un pārejam pie nākamās darbības.
- Atrodiet mazāko pirmskaitļu dalītāju p 2 no a 1, lai to izdarītu, mēs secīgi atkārtojam skaitļus no pirmskaitļu tabulas, sākot ar p 1, un pēc tam aprēķiniet a 2 = a 1: p 2. Ja a 2 = 1, tad nepieciešamajai skaitļa a faktorizācijai pirmfaktoros ir forma a = p 1 · p 2. Ja a 2 nav vienāds ar 1, tad mums ir a = p 1 · p 2 · a 2 un pārejiet pie nākamās darbības.
- Pārejot cauri skaitļiem no pirmskaitļu tabulas, sākot ar p 2, mēs atrodam skaitļa a 2 mazāko pirmskaitļa dalītāju p 3, pēc kura mēs aprēķinām a 3 = a 2: p 3. Ja a 3 = 1, tad nepieciešamajai skaitļa a faktorizācijai pirmfaktoros ir forma a = p 1 · p 2 · p 3. Ja 3 nav vienāds ar 1, tad mums ir a = p 1 · p 2 · p 3 · a 3 un pārejiet pie nākamās darbības.
- Atrodiet n-1 mazāko pirmskaitļu dalītāju p n, izejot cauri pirmskaitļiem, sākot ar p n-1, un arī a n = a n-1: p n, un a n ir vienāds ar 1. Šis solis ir pēdējais algoritma solis, šeit iegūstam nepieciešamo skaitļa a sadalīšanos pirmfaktoros: a = p 1 · p 2 ·… · p n.
Skaidrības labad visi rezultāti, kas iegūti katrā algoritma solī skaitļa sadalīšanai pirmfaktoros, ir parādīti šādas tabulas veidā, kurā pa kreisi no vertikālās līnijas ir skaitļi a, a 1, a 2 Kolonnā secīgi raksta , ..., an, bet pa labi no rindas - attiecīgie vismazāk pirmskaitļa dalītāji p 1, p 2,…, pn.
Atliek tikai aplūkot dažus piemērus iegūtā algoritma pielietošanai skaitļu sadalīšanai pirmfaktoros.
Galvenā faktoringa piemēri
Tagad mēs detalizēti analizēsim piemēri skaitļu iekļaušanai pirmfaktoros... Dekompozīcijā mēs izmantosim iepriekšējās rindkopas algoritmu. Sāksim ar vienkāršiem gadījumiem un pakāpeniski tos sarežģīsim, lai saskartos ar visām iespējamām niansēm, kas rodas, ierēķinot skaitļus primārajos faktoros.
Piemērs.
Sadaliet 78 galvenajos faktoros.
Risinājums.
Sākam meklēt skaitļa a = 78 pirmo mazāko pirmskaitļa dalītāju p 1. Lai to izdarītu, mēs sākam secīgi atkārtot pirmskaitļus no pirmskaitļu tabulas. Mēs ņemam skaitli 2 un dalām ar to 78, iegūstam 78: 2 = 39. Skaitlis 78 tika dalīts ar 2 bez atlikuma, tāpēc p 1 = 2 ir pirmais atrastais 78 pirmdalītājs. Šajā gadījumā a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Tātad mēs nonākam pie vienādības a = p 1 · a 1, kuras forma ir 78 = 2 · 39. Acīmredzot 1 = 39 atšķiras no 1, tāpēc mēs pārejam pie algoritma otrā posma.
Tagad mēs meklējam skaitļa a 1 = 39 mazāko pirmreizējo dalītāju p 2. Mēs sākam atkārtot skaitļus no pirmskaitļu tabulas, sākot ar p 1 = 2. Sadaliet 39 ar 2, iegūstam 39: 2 = 19 (pārējais. 1). Tā kā 39 nedalās ar 2, 2 nav tā dalītājs. Tad ņemam nākamais numurs no pirmskaitļu tabulas (skaitlis 3) un dalot ar 39, iegūstam 39: 3 = 13. Tāpēc p 2 = 3 ir mazākais skaitļa 39 pirmais dalītājs, savukārt a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Mums ir vienādība a = p 1 · p 2 · a 2 formā 78 = 2 · 3 · 13. Tā kā 2 = 13 atšķiras no 1, pārejiet uz nākamo algoritma darbību.
Šeit mums jāatrod skaitļa a 2 = 13 mazākais pirmreizējais dalītājs. Meklējot mazāko pirmskaitļu dalītāju p 3 no 13, mēs secīgi atkārtosim skaitļus no pirmskaitļu tabulas, sākot ar p 2 = 3. Skaitlis 13 nav dalāms ar 3, jo 13: 3 = 4 (pārējais 1), arī 13 nedalās ar 5, 7 un 11, jo 13: 5 = 2 (pārējais 3), 13: 7 = 1 (6. atpūta) un 13:11 = 1 (2. atpūta). Nākamais pirmskaitlis ir 13, un 13 ar to dalās bez atlikuma, tāpēc mazākais pirmskaitlis p 3 no 13 ir pats skaitlis 13, un a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Tā kā a 3 = 1, šis algoritma solis ir pēdējais, un nepieciešamajai 78 faktorizācijai pirmfaktoros ir forma 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3).
Atbilde:
78 = 2 3 13.
Piemērs.
Uzrādiet skaitli 83 006 kā galveno faktoru reizinājumu.
Risinājums.
Pirmajā algoritma solī skaitļa sadalīšanai pirmfaktoros mēs atrodam p 1 = 2 un a 1 = a: p 1 = 83 006: 2 = 41 503, no kurienes 83 006 = 2 · 41 503.
Otrajā solī mēs noskaidrojam, ka 2, 3 un 5 nav skaitļa a 1 = 41 503 pirmskaitļi, un skaitlis 7 ir, jo 41 503: 7 = 5 929. Mums ir p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41 503: 7 = 5 929. Tādējādi 83 006 = 2 7 5 929.
Mazākais primārais koeficients 2 = 5 929 ir 7, jo 5 929: 7 = 847. Tādējādi p 3 = 7, a 3 = a 2: p 3 = 5 929: 7 = 847, no kurienes 83 006 = 2 7 7 847.
Tad mēs atklājam, ka skaitļa a 3 = 847 mazākais pirmreizējais dalītājs p 4 ir 7. Tad a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, tātad 83 006 = 2 7 7 7 7 121.
Tagad mēs atrodam skaitļa a 4 = 121 mazāko pirmreizējo dalītāju, tas ir skaitlis p 5 = 11 (jo 121 dalās ar 11 un nedalās ar 7). Tad a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11 un 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.
Visbeidzot, mazākais galvenais koeficients a 5 = 11 ir p 6 = 11. Tad a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. Tā kā a 6 = 1, tad šis algoritma solis skaitļa sadalīšanai pirmfaktoros ir pēdējais, un nepieciešamais sadalījums ir formā 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.
Iegūto rezultātu var uzrakstīt kā skaitļa kanonisko faktorizāciju pirmfaktoros 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.
Atbilde:
83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2 991 ir pirmskaitlis. Patiešām, tam nav neviena pirmdalītāja, kas nepārsniedz (var aptuveni novērtēt kā, jo ir acīmredzams, ka 991<40 2
), то есть, наименьшим делителем числа 991
является оно само. Тогда p 3 =991
и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1
. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289
на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991
.
Atbilde:
897 924 289 = 937 967 991.
Dalāmības kritēriju izmantošana pirmfaktorizācijā
Vienkāršos gadījumos skaitli var sadalīt galvenajos faktoros, neizmantojot sadalīšanas algoritmu no šī raksta pirmās daļas. Ja skaitļi nav lieli, tad to sadalīšanai pirmfaktoros bieži vien pietiek zināt dalāmības kritērijus. Šeit ir daži piemēri skaidrības labad.
Piemēram, mums ir jāiekļauj 10 primārajos faktoros. No reizināšanas tabulas mēs zinām, ka 2 · 5 = 10, un skaitļi 2 un 5 acīmredzami ir pirmskaitļi, tāpēc 10 primārā faktorizācija ir 10 = 2 · 5.
Vēl viens piemērs. Izmantojot reizināšanas tabulu, koeficientu 48 veido primārajos faktoros. Mēs zinām, ka seši astoņi ir četrdesmit astoņi, tas ir, 48 = 6 · 8. Tomēr ne 6, ne 8 nav pirmskaitļi. Bet mēs zinām, ka divreiz trīs ir seši un divreiz četri ir astoņi, tas ir, 6 = 2 · 3 un 8 = 2 · 4. Tad 48 = 6 8 = 2 3 2 4. Atliek atcerēties, ka divi reiz divi ir četri, tad iegūstam nepieciešamo sadalīšanos pirmfaktoros 48 = 2 · 3 · 2 · 2 · 2. Mēs rakstām šo sadalījumu kanoniskā formā: 48 = 2 4 · 3.
Bet, sadalot skaitli 3 400 pirmfaktoros, varat izmantot dalāmības kritērijus. Dalāmība ar 10, 100 ļauj mums apgalvot, ka 3400 dalās ar 100, savukārt 3400 = 34100 un 100 dalās ar 10, savukārt 100 = 1010, tāpēc 3400 = 341010. Un, pamatojoties uz dalāmības kritēriju ar 2, var apgalvot, ka katrs no faktoriem 34, 10 un 10 dalās ar 2, mēs iegūstam 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5... Visi iegūtā sadalīšanās faktori ir pirmie, tāpēc šī sadalīšanās ir vēlamā. Atliek tikai pārkārtot faktorus, lai tie būtu augošā secībā: 3400 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 17. Mēs arī ierakstām šī skaitļa kanonisko faktorizāciju pirmfaktoros: 3 400 = 2 3 · 5 2 · 17.
Sadalot doto skaitli pirmfaktoros, pēc kārtas var izmantot gan dalāmības kritērijus, gan reizināšanas tabulu. Attēlosim skaitli 75 kā primāro faktoru reizinājumu. Dalamība ar 5 ļauj mums apgalvot, ka 75 dalās ar 5, un mēs iegūstam, ka 75 = 5 15. Un no reizināšanas tabulas mēs zinām, ka 15 = 3 · 5, tāpēc 75 = 5 · 3 · 5. Šī ir vajadzīgā primārā faktorizācija 75.
Bibliogrāfija.
- Viļenkins N. Ja. un cita matemātika. 6. klase: mācību grāmata izglītības iestādēm.
- Vinogradovs I.M. Skaitļu teorijas pamati.
- Mihelovičs Sh.Kh. Skaitļu teorija.
- Kuļikovs L.Ja. un citi.Uzdevumu krājums algebrā un skaitļu teorijā: mācību grāmata fizikas un matemātikas studentiem. pedagoģisko institūtu specialitātes.