Противоположные числа определение
Противоположные числа определение:
Два числа называются противоположными, если они отличаются только знаками.
Примеры противоположных чисел
Примеры противоположных чисел.
1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45
Отсюда понятно как находить число, противоположное данному: просто поменяйте знак числа.
Противоположное число числу 3 есть число минус три.
Пример. Числа противоположные данным.
Дано: числа 1; 5; 8; 9.
Найти числа противоположные данным.
Для решения этого задания просто меняем знаки заданный чисел:
Составим таблицу противоположных чисел:
| 1 | 5 | 8 | 9 |
| -1 | -5 | -8 | -9 |
Число противоположное нулю
Число противоположное нулю есть само число ноль.
Итак, противоположное число числу 0 - это 0.
Противоположные целые числа
Противоположные целые числа отличаются только знаками.
Примеры противоположных целых чисел.
10 -10
20 -20
125 -125
Пара противоположных чисел
Когда говорят о притивоположных числах всегда имеют ввиду пару противоположных чисел.
Число противоположно другому числу. И у каждого числа имеется только одно противоположное число.
Числа, противоположные натуральным
Числа, противоположные натуральным - это целые отрицательные числа.
Составим таблицу противоположных чисел для первых пяти натуральных чисел:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| -1 | -2 | -3 | -4 | -5 |
Сумма противоположных чисел
Сумма противоположных чисел равна нулю. Ведь противоположные числа отличаются только знаком.
Тема
Тип урока
- изучение и первичное усвоение нового материала
Цели урока
Познакомиться с определениями положительных и отрицательных, противоположных чисел
Находить противоположные числа при решении упражнений, при решении уравнений
Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Задачи урока
Узнать, что такое противоположные числа
Научиться использовать это понятие при решении задач
Проверить умение учащихся решать задачи.
План урока
1. Введение.
2. Теоретическая часть
3. Практическая часть.
4. Домашнее задание.
Введение
Посмотрите на картинки и охарактеризуйте одним слово в чем отличие на них.
На картинках изображены противоположности.
– это два числа, равные по абсолютной величине, но имеющие разные знаки, напр. 5 и -5.
Теоретическая часть
Для начала давайте вспомним, что такое отрицательные числа . Посмотри видео :
Точки с координатами 5 и -5 одинаково удалены от точки O и находятся по разные стороны от нее. Чтобы попасть из точки O в эти точки надо пройти одинаковые расстояния, но в противоположных направлениях. Числа 5 и -5 называются противоположными числами : 5 противоположно -5, а -5 противоположно 5.
Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами .
Например, противоположными числами будут 35 и -35, так как число 35 = +35, значит, числа 35 и -35 отличаются только знаками. Противоположными числами также будут 0,8 и -0,8, ¾ и -¾ .
Свойства противоположных чисел
1). Для каждого числа есть только одно противоположное ему число.
2). Число 0 противоположно самому себе.
3). Число, противоположное числу а, обозначают -а. Если а = -7,8, то -а = 7,8; если а = 8,3, то -а = -8,3; если а = 0, то -а = 0.
4). Запись «-(-15)» означает число, противоположное числу -15. Так как число, противоположное числу -15, равно 15, то -(-15) = 15. Вообще -(-а) = а.
Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами .
Противоположное число n" по отношению к числу n - это число, которое при сложении с n даёт нуль.
n + n" = 0
Это равенство можно переписать следующим образом:
n + n" − n = 0 − n либоn" = − n
Таким образом, противоположные числа имеют одинаковые модули, но противоположные знаки.
В соответствии с этим число, противоположное числу n, обозначают − n. Когда число является положительным, то противоположное ему число будет отрицательным, и наоборот.
1. Приведите примеры противоположных чисел.
2. Изобразите их на координатной прямой.
3. Назовите число, противоположное -3,6; 7; 0; 8/9; -1/2
Практическая часть
Пример
1) Отметьте на координатной прямой точки А(2), В(-2), С(+4), D(-3), Е(-5,2), F(5,2), G(-6), H(7). 2) Среди этих точек найдите и укажите симметричные относительно точки О(0). Что можно сказать о координатах симметричных точек?
Точки, симметричные относительно точки О(0): A(2) и B(-2), E(- 5,2) и F(5,2)
Координаты симметричных точек – это числа, которые отличаются только знаком. Такие числа называют противоположными.
Отметьте на координатной прямой точки А(-3), B(+6), С(+4,2), D(+3), Е(-4,2), F(-6) Что можно сказать об эти числах?
Из чисел 15; 2,5; – 2,5; – 18; 0; 45; – 45 выберите: а) натуральные числа; б) целые числа; в) отрицательные числа; г) положительные числа; д) противоположные числа.
1) Запишите число, противоположное числу а.
2) Укажите число, противоположное числу а, если:
а=5, а=-3, а=0, а=-2/5;
А =6, -а= - 2, -а=3,4.
1) Вспомните, что означает запись: - (- а).
2) Поставьте вместо * такое число, чтобы получилось верное равенство: а) - (- 5) = *; б) 3 = – *.
Домашнее задание
1). Заполнить таблицу:
2). Найди: а) -m,
если m = -8,
если m = -16
если -k = 27
если -k = -35
если с = 41
если с = -3,6
3). Сколько пар противоположных чисел расположено между числами -7,2 и 3,6. Отметьте на координатной прямой.
4). Узнайте фамилию выдающегося ученого Франции:
А знаете ли вы, где в повседневной жизни мы сталкиваемся с положительными и отрицательными числами?
Список использованных источников
1. Математическая энциклопедия (в 5 томах). - М.: Советская Энциклопедия, 2002. - Т. 1.
2. «Новейший справочник школьника» «ДОМ XXI век» 2008 г.
3. Конспект урока на тему "Противоположные числа" Автор: Петрова В. П., учитель математики (5-9 класс), г. Киев
4. Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы
5 и -5 (рис. 61) одинаково удалены от точки О и находятся по разные стороны от нее. Чтобы попасть из точки О в эти точки, надо пройти одинаковые расстояния, но в противоположных направлениях. Числа 5 и -5 называются противоположными числами: 5 противоположно - 5, а -5 противоположно 5.
Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.
Например, противоположными числами будут 8 и -8, так как число 8 = + 8, значит, числа 8 и - 8 отличаются только знаками. Противоположными числами также будут
Для каждого числа есть только одно противоположное ему число.
Число 0 противоположно самому себе.
Число, противоположное числу о, обозначают -а. Если а=-7,8, то -а = 7,8; если а = 8,3, то - а= -8,3; если а = 0, то -а = 0. Запись « - (-15)» означает число, противоположное числу -15. Так как число, противоположное числу -15, равно 15, то -(- 15) = 15. Вообще -(- а)=а.
Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами.
? Какие числа называют противоположными?
Число b противоположно числу а. Какое число противоположно числу b?
Какое число противоположно нулю?
Существует ли число, имеющее два противоположных ему числа?
Какие числа называют целыми?
К 910. Найдите числа, противоположные числам:
911. Поставьте вместо такое число, чтобы получилось верное равенство:
912. Найдите значение выражения:
913. Найдите координаты точек А, В и С (рис. 62).
914. Каким числом является - х, если х:
а) отрицательное; б) нуль; в) положительное?
915. Заполните пустые места в таблице и отметьте на координатной прямой
точки, имеющие своими координатами числа полученной таблицы.
916. Решите уравнение:
а) - х = 607; б) - а = 30,4; в) - y= -3
917. Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами:
П
918. Вычислите усно:
919. Между какими целыми числами на координатной прямой расположено число: 2,6; -3: 0; -6; -8
920. Найдите числа, которые на координатной прямой находятся на расстоянии: а) 6 единиц от числа -9; б) 10 единиц от числа 4; в) 10 единиц от числа -4; г) 100 единиц от числа 0.
921. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок длину 4 клеток тетради, и отметьте на этой прямой точки , F(2,25).
А
922. Отметьте на «линии времени» следующие события из истории математики:
а) Книга «Начала» была написана Евклидом в III в. до н. э.
б) Теория чисел зародилась в Древней Греции в VI в. до н. э.
в) Десятичные дроби появились в Китае в III в.
г) Теория отношений и пропорций была разработана в Древней Греции в IV в. до н. э.
д) Позиционная десятичная система счисления распространилась в странах Востока в IX в. Сколько веков назад произошли эти события? Сравните «линию времени» и координатную прямую.
923. Укажите пары взаимно обратных чисел:
924. Витя купил 2,4 кг моркови. Сколько моркови купил Коля, если известно, что он купил:
а) на 0,7 кг больше Вити; е) того, что купил Витя;
б) на 0,9 кг меньше Вити; ж) 0,5 того, что купил Витя;
в) в 3 раза больше Вити; з) 20% того, что купил Витя;
г) в 1,2 раза меньше Вити; и) 120% того, что купил Витя;
д) того, что купил Витя; к) на 20% больше того, что купил Витя?
925. Решите задачу:
1) Кирпичный завод должен был изготовить для строительства Дворца культуры 270 тыс. штук кирпича. В первую
неделю он изготовил задания, во вторую неделю он изготовил на 10% больше, чем в первую неделю. Сколько тысяч штук кирпича осталось изготовить заводу?
2) Колхоз продал государству за три дня 434 т зерна. В первыи день он продал этого количества, во второй день -на 10% меньше, чем в первый день, а в третий день - остальное зерно. Сколько тонн зерна продал колхоз в третий день?
926. Ноты отличаются по длительности их звучания. Знаком обозначают целую, ноту вдвое короче - половинную , шестнадцатую .
Проверьте равенство длительностей:
Д
927. Какие числа противоположны числам:
928. Запишите все натуральные числа, меньшие 5, и числа, им противоположные.
929. Найдите значение:
930. Во второй день со склада выдали в 2 раза больше проволоки, чем в первый день, а в третий день в 3 раза больше, чем в первый. Сколько килограммов проволоки выдали в эти три дня, если в первый день выдали на 30 кг меньше, чем в третий?
931. В колхозе на поливных землях собирали с гектара 60,8 ц пшеницы. Замена старого сорта пшеницы новым дает прибавку урожая на 25%. Сколько теперь пшеницы собирает колхоз с 23 га поливного поля?
932. Составьте по каждой схеме уравнение и решите его:
933. Найдите значение выражения:
Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы
Интересное понятие из школьного курса обучения - это противоположные числа, рассматривать которые можно как математически, так и геометрически. Понимание данной темы упрощает изучение математики, позволяет быстрее справляться с некоторыми задачами - поэтому мы рассмотрим, какие числа называются противоположными, и какие правила для них работают.
В чем заключается суть термина?
Чтобы понять смысл противоположных чисел, на минуту обратимся к геометрии. Нарисуем прямую координат и отметим на ней нулевую точку, а затем поставим еще две отметки на прямой - например, «2» с правой стороны и «-2» с левой стороны от нуля. Само собой, от обеих точек расстояние до начала координат будет совершенно одинаковым - и это легко проверяется измерениями. «2» и «-2» отстоят от нуля на одно и то же расстояние, но в разных направлениях - соответственно, они являются полностью противоположными друг другу.
В этом и заключается суть. Числа могут быть сколько угодно большими или маленькими, целыми или дробными. Однако каждое из них обладает неким числом, составляющим его полную противоположность. Определение можно дать следующее - если на прямой координат от двух точек, поставленных по обе стороны от нуля, можно отложить к началу отсчета равное расстояние - эти точки, а точнее, соответствующие им числа, будут противоположны.
Какие правила можно вывести из определения?
Стоит запомнить несколько безусловных утверждений, касающихся рассматриваемой темы:
- Принцип противоположности для двух чисел работает в обе стороны. Например, числу 3 противоположно число -3 - и поэтому числу -3 противоположно только число 3, а не какое-нибудь другое.
- У числа не может быть двух противоположностей - таковая всегда только одна.
- Противоположными друг другу могут быть числа с разными знаками. Если число положительное, то его противоположное число будет со знаком «минус» - например, 5 и -5. То же самое работает и в обратную сторону - для числа со знаком «минус» противоположным всегда будет то, что со знаком «плюс» - например, -6 и 6.
- Два противоположных числа имеют одинаковое абсолютное значение, или модуль. Иными словами, если для числа 4
§ 1 Понятие положительного числа
В этом уроке Вы узнаете, какие числа называются противоположными, как найти противоположное число, а еще, что такое целые и рациональные числа.
Начнем с практической работы. На координатной прямой отметим точки А(2) и В(-2). Они симметричны и центром симметрии данных точек является начало координат О(0), так как расстояние ОА=ОВ.
Мы видим, что координаты точек, симметричных относительно начала координат - это числа, которые отличаются только знаком. Такие числа называют противоположными.
Есть еще одно определение противоположных чисел. Чему равны модули чисел 2 и -2? Равны 2. Следовательно, противоположные числа - это числа, имеющие одинаковые модули, но отличающиеся знаком.
Для обозначения числа, противоположного данному числу, используют знак минус, который записывают перед данным числом. То есть число, противоположное числу a, записывается как −a. Например, числу 0,24 противоположно число −0,24, числу -25 противоположно число −(−25), но числу -25 на координатной прямой противоположно 25, значит -(-25) = 25. Из этого следует, что -(-а) = а и а =-(-а).
§ 2 Свойства противоположных чисел
Выделим некоторые свойства противоположных чисел.
Число, противоположное положительному числу, отрицательно, а число, противоположное отрицательному числу, положительно. Это и понятно, так как точки координатной прямой, соответствующие противоположным числам, находятся по разные стороны от начала отсчета.
Если число a противоположно числу b, то b противоположно a - это следует из свойства симметричности точек на координатной прямой.
Обратимся к координатной прямой. Сколько точек можно отметить на координатной прямой, симметричных данной относительно начала координат? Только одну. Значит, для каждого числа есть только одно противоположное число.
Лишь одно число противоположно самому себе - это число 0, поскольку 0=-0 (поэтому -0 писать не принято).
Числа с общим признаком образуют множество (или группу), каждое множество имеет свое название.
Вспомним, числа, которые мы используем при счете, называются натуральными, они образуют множество натуральных чисел.
Каждому натуральному числу можно найти противоположное число. Натуральные числа, числа им противоположные, и число 0 называют целыми числами.
Положительными или отрицательными могут быть и дробные числа. Все целые числа и все дроби называют рациональными числами. Говорят также, что все вместе они образуют множество рациональных чисел.
Выделим еще две группы чисел. Возьмем координатную прямую. Если убрать часть прямой, на которой находятся отрицательные числа, останется луч с положительными числами и началом отсчета числом 0. Оставшиеся числа называют неотрицательными, то есть числа, которые больше или равны 0. Следовательно, неположительные числа - это все отрицательные числа и число 0, то есть числа, которые меньше или равны 0.
Сегодня мы узнали, что такое противоположные, целые, рациональные, неотрицательные, неположительные числа, научились находить число, противоположное данному.
Список использованной литературы:
- Математика.6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича //автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина 2009 г.
- Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013 г.
- Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013 г.
- Справочник по математике - http://lyudmilanik.com.ua
- Справочник для учащихся в средней школе http://shkolo.ru