Открытый урок по алгебре и началам анализа по теме: «Зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла» (10 класс)
Цель: восприятие учащимися и первичное осознание нового учебного материала, осмысливание связей и отношений в объектах изучения
Образовательная : вывод формул зависимости между синусом и косинусом одного и того же угла (числа); обучение применению этих формул для вычисления значений синуса, косинуса по заданному значению одного из них.
Развивающая : учить анализировать, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать, определять и объяснять понятия, развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в различных ситуациях; развивать грамотную математическую речь учащихся, умение давать лаконичные формулировки
Воспитательная: воспитание добросовестного отношения к труду и положительного отношения к знаниям, воспитывать у учащихся аккуратность, умение слушать, высказывать свое мнение; культуру поведения.
Здоровье-сберегающая : создание комфортного психологического климата на уроке, атмосферы сотрудничества: ученик – учитель.
Знания и умения: определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса); знаков тригонометрических функций по четвертям; множества значений тригонометрических функций; основных формул тригонометрии. У мение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания; работать с простыми дробями; выполнять преобразование тригонометрических выражений.
Ход урока
Организационный момент:
Проверить готовность учащихся к уроку. Открытие на компьютерах сайта учителя(Приложение 1).
Устная работа по пройденной теме : «Знаки синуса, косинуса и тангенса»
На доске:
Задание:
Расставить номера четвертей координатной плоскости и определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Самостоятельная работа по теме: «Знаки синуса, косинуса и тангенса»
Учащиеся открывают на сайте раздел «Задания к уроку по тригонометрии». Самопроверка
(Учащиеся выполняют задание №1, проверяют свои работы и оцениваю себя)
Объяснение нового материала
На доске:
х = … α , … ≤ cos α≤ … 2)* tg α = , α≠ …
y = … α, … ≤ sin α≤ … ctg α = , α≠ …
Задание: дописать формулы
Учитель : «Мы с вами изучили каждое понятие отдельно. Как вы считаете какую тему далее логично изучить?»
( Предполагаемый ответ: «Зависимость между этими понятиями»)
Формулируется тема урока: «Зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла»
Учитель : «Есть несколько путей решения этой проблемы»
Используя уравнение единичной окружностиИспользуя теорему Пифагора
Учитель : «Давайте рассмотрим оба и выберем наиболее рациональный»
На доске:
Учащиеся выводят равенство cos 2 α + sin 2 α = 1
Учитель : «Мы получили равенство справедливое при любых значениях, входящих в него букв. Как называют такие равенства?»
( Предполагаемый ответ : тождества)
Учитель : «Вспомните, как называется тождество cos 2 α + sin 2 α = 1 »
Закрепление изученного материала
А) Учитель: «Откройте учебник стр.147, № 457(2;4)»(вызванные учащиеся решают у доски)
Б) Учитель: «Приступите к выполнению задания №2. Работаем по вариантам» (Обсуждение полученных результатов)
На доске:
1 вариант 2 вариант
Учитель: «В данных формулах перед корнем стоят знаки « ±» . От чего зависит какой знак ставить в формуле?»
(Предполагаемый ответ: «От того, в какой четверти расположен угол поворота точки P(1;0)»)
В) Учитель: «Приступите к выполнению задания №3». (Учащиеся решают задания, проверка на доске)
Подведение итогов урока
Учитель: «Молодцы! Итог урока мы подведем с помощью кроссворда» (Задание 4) (Учащиеся работают в парах за компьютером)
7) Рефлексия в форме анкетирования (приложение 2)
Учитель: «Сделайте вывод о своей работе на уроке, заполнив тест».
§25, №456, 457(1;3),460(1;3).
Доклад
Попробуем отыскать зависимость между основными тригонометрическими функциями одного и того же угла.
Соотношение между косинусом и синусом одного и того же угла
На следующем рисунке представлена система координат Оху с изображенной в ней частью единичной полуокружности ACB с центром в точке О. Эта часть является дугой единичной окружности. Единичная окружность описывается уравнением
- x 2 +y 2 =1.
Как уже известно ординату у и абсциссу х можно представить в виде синуса и косинуса угла по следующим формулам:
- sin(a) = у,
- cos(a) = х.
Подставив эти значения в уравнения единичной окружности имеем следующее равенство
- (sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,
Данное равенство, выполняется при любых значениях угла а. Оно называется основное тригонометрическое тождество.
Из основного тригонометрического тождества, можно выразить одну функцию через другую.
- sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
- cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).
Знак в правой части этой формулы определяется знаком выражения, которое стоит в левой части этой формулы.
Например.
Вычислить sin(a), если cos(a)=-3/5 и pi Воспользуемся формулой приведенной выше: Так как pi Теперь, попробуем найти зависимость, между тангенсом и котангенсов. По определению tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a). Перемножим эти равенства, получим tg(a)*ctg(a) =1. Из этого равенства можно выразить одну функцию через другую. Получим: Следует понимать, что эти равенства справедливы лишь тогда, когда tg и ctg существуют, то есть для любых а, кроме а=k*pi/2, при любом целом k. Теперь попробуем используя основное тригонометрическое тождество найти зависимости между тангенсом и косинусом. Поделим основное тригонометрическое тождество, на (cos(a)) 2 . (cos(a) не равен нулю, иначе бы тангенс не существовал бы. Получим следующее равенство ((sin(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2 . Разделив почленно получаем: Как уже отмечалось выше, эта формула верна если cos(a) не равен нулю, то есть для всех углов а, кроме а=pi/2 +pi*k, при любом целом k. В этой статье мы всесторонне рассмотрим . Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую. Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения. Навигация по странице.
Иногда говорят не об основных тригонометрических тождествах, перечисленных в таблице выше, а об одном единственном основном тригонометрическом тождестве
вида То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества. Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его. Основное тригонометрическое тождество очень часто используется при преобразовании тригонометрических выражений
. Оно позволяет сумму квадратов синуса и косинуса одного угла заменять единицей. Не менее часто основное тригонометрическое тождество используется и в обратном порядке: единица заменяется суммой квадратов синуса и косинуса какого-либо угла. Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида и Благодаря такой очевидности тождеств и В заключение этого пункта следует отметить, что тождества и Еще более очевидным тригонометрическим тождеством, чем два предыдущих, является тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла вида Доказательство формулы Итак, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, есть . Тригонометрические тождества
— это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая. tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот. При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке. tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y
является синус, а абсциссой x
— косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
, а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
— будет являться котангенсом. Добавим, что только для таких углов \alpha
, при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
. Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
является справедливой для углов \alpha
, которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z
, а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
— для угла \alpha
, отличного от \pi z
, z
— является целым числом. tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha
, которые отличны от \frac{\pi}{2} z
. Иначе или котангенс или тангенс не будут определены. Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x}
, а ctg \alpha=\frac{x}{y}
. Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1
. Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами. tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha}
— сумма квадрата тангенса угла \alpha
и 1
, равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha
, отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z
. 1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha}
— сумма 1
и квадрат котангенса угла \alpha
, равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha
, отличного от \pi z
. Найдите \sin \alpha
и tg \alpha
, если \cos \alpha=-\frac12
и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi
; Показать решение
Решение
Функции \sin \alpha
и \cos \alpha
связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1
. Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12
, получим: \sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Это уравнение имеет 2
решения: \sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi
. Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2}
. Для того, чтобы найти tg \alpha
, воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3
Найдите \cos \alpha
и ctg \alpha
, если и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi
. Показать решение
Решение
Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1
данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2}
, получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1
. Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14
. По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi
. Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12
. Для того, чтобы найти ctg \alpha
, воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
. Соответствующие величины нам известны. ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3}
. А синуса график волна за волной Из студенческой песни.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УРОКА: ЗДОРОВЬЕ СБЕРЕГАЮЩАЯ: создание комфортного
психологического климата на уроке, атмосферы
сотрудничества: ученик – учитель. МЕТОДИЧЕСКОЕ ОСНАЩЕНИЕ УРОКА: МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ БАЗА: кабинет
математики. ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УРОКА: учебник,
тетрадь, плакаты по теме урока, таблицы,
компьютер, диски, экран, проектор. МЕТОДЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: групповая и
индивидуальная работа за партой и у доски. ТИП УРОКА: урок усвоения новых знаний. ХОД УРОКА
1. Организационный момент: приветствие,
проверка явки учащихся, заполнение журнала. 2. Проверка готовности учащихся к уроку: настрой
учащихся на работу, доведение до них плана урока. 3. Анализ ошибок домашнего задания. На экране -
картинка с верно выполненным домашним заданием.
Каждый ученик проверяет с подробным фронтальным
объяснением и отмечает правильность выполнения
в рабочей карте урока. РАБОЧАЯ КАРТА УРОКА. С/о – самооценка. О/т – оценка товарища. 4. Актуализация знаний, подготовка к восприятию
нового материала. Следующий этап нашего урока-диктант.
Записываем кратко ответы – чертеж у нас на
слайде. Диктант (устное повторение необходимых
сведений): 1. Дайте определение: 2. Дайте определение: 3. Записать знаки синуса, косинуса, тангенса,
котангенса для углов, полученных поворотом точки
Р(1;0) на угол 4. Для всех этих углов указать четверти
координатной плоскости. Ребята проверяют диктант по слайду вместе с
учителем, объясняя каждое высказывание и
выставляя себе оценку в рабочую карту урока. 5. Из истории тригонометрии. Современный вид
тригонометрии придал крупнейший математик 18
столетия Леонард Эйлер
– швейцарец по
происхождению, долгие годы работавший в России и
являвшийся членом Петербургской академии наук.
Он ввел известные определения
тригонометрических функций, сформулировал и
доказал формулы приведения, с которыми вам еще
предстоит встретиться, выделил классы четных и
нечетных функций. 6. Введение нового материала: Главное не просто сообщить учащимся конечные
выводы, а сделать учащихся как бы участниками
научного поиска: поставив вопрос, так, чтобы они,
разбудив свою любознательность, включились в
исследование, что способствует достижению более
высокого уровня умственного развития учащихся. Поэтому при введении нового материала я создаю
проблемную ситуацию – как легче и рациональней
установить зависимость между синусом и
косинусом одного и того же угла – через
уравнение единичной окружности или через
теорему Пифагора. Класс разбивается по вариантам на первый и
второй вариант – на экране слайд с условием и
чертежами, решения пока нет. 1 вариант устанавливает зависимость между
синусом и косинусом через уравнение окружности с
центром в начале координат и радиусом, равным 1x 2 +y 2 =1;
sin 2 +cos 2 =1. 2 вариант устанавливает зависимость между
синусом и косинусом через теорему Пифагора – в
прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов: OB 2 +AB 2 =OA 2
- и получаем sin 2 +cos 2 =1. Сравнивают результаты, делают выводы: главный
– равенство выполняется при любых значениях
входящих в него букв? Ученики должны ответить,
что это тождество (на слайде показывается верное решение, как для
первого, так и для второго вариантов). Мы получили равенство справедливое при любых
значениях входящих в него букв. Как называются
такие равенства? Правильно – тождества. Вспомним – какие еще тождества мы с вами знаем
в алгебре – формулы сокращенного умножения: a 2 -b 2 =(a-b)(a+b), (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 , (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 2 , (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 3 -b 3 , a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2), a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2). Следующая проблема – а для чего мы вывели
основное тригонометрическое тождество – sin 2 +cos 2 =1. Правильно – для нахождения по одному
известному нам значению синуса, косинуса или
тангенса – значений всех остальных функций. Вот теперь мы с вами всегда сможем пользоваться
основным тригонометрическим тождеством, но
главное – для одного и того же аргумента. Применение полученных знаний: 1 ВАРИАНТ – выразить синус через косинус угла. 2 вариант – выразить косинус через синус угла.
На слайде верный ответ Вопрос учителя – никто не забыл проставить
знаки +и - ? Каким может быть угол? – любым. В этих формулах знак перед корнем зависит от
чего? от того, в какой четверти расположен угол
(аргумент) тригонометрической функции, которую
мы определяем. Выполняем у доски 2 ученика №457. – 1 – й вариант -
1, 2-й вариант - 2. На слайде – верное решение. Самостоятельная работа на узнавание основного
тригонометрического тождества 1. найти значение выражения: 2. выразить число 1 через угол a
, если Идет взаимопроверка – по готовому слайду и
оценивание работ – как самооценкой, так и
оценкой товарища. 6. Закрепление нового материала (по технологии
Г.Е.Хазанкина – технология опорных задач). ЗАДАЧА 1. Вычислить ……….., если
…………………………………………………………………. 1 ученик у доски самостоятельно – затем слайд с
правильным решением. ЗАДАЧА 2. Вычислить…………….,
если……………………………………………………………….. 2-й ученик у доски, затем слайд с верным
решением. 7. Физкультминутка.Я знаю, что вы уже взрослые и
считаете, что совсем не устали, особенно сейчас,
когда урок идет так активно, что время для нас
как –бы и удлиняется– по теории относительности
А.Эйнштейна, но давайте проведем гимнастику для
сосудов головного мозга: Выясним теперь зависимость между тангенсом и
котангенсом……………………………………………………………………………………………………… Идет новое исследование на тему – каким может
быть угол во втором тригонометрическом
тождестве? ГЛАВНОЕ – ВЫЯСНЕНИЕ МНОЖЕСТВА, НА КОТОРОМ ЭТИ
РАВЕНСТВА ВЫПОЛНЯЮТСЯ. ОТМЕТИТЬ НА РИСУНКЕ
ТОЧКИ, В КОТОРЫХ ТАНГЕНС И КОТЕНГЕНС УГЛА НЕ
СУЩЕСТВУЕТ. 3-й ученик у доски. Равенства справедливы
при………………………. ЗАДАЧА3. Вычислить………, если…………………………. ЗАДАЧА 4. Вычислить…………….. если
……………………………………………………………… Остальные учащиеся работают у себя в тетрадях. 1
ОПОРА……………………………………………………………………………………………… 2
ОПОРА……………………………………………………………………………………………… 3 ОПОРА. Применение основного
тригонометрического тождества к решению задач. 8. Кроссворд. Анатоль Франс сказал как-то:
“Учиться надо весело… Чтобы переваривать
знания, надо поглощать их с аппетитом”. Для проверки знаний по данной теме вам
предлагается кроссворд. Проверив кроссворд, ребята выставляют себе
оценки в рабочую карту урока. Учитель выставляет
оценки тем ученикам, которые особенно активно
проявили себя на уроке. Итог – средний балл за
работу на уроке. 9. Инструктаж учителя по выполнению домашнего
задания. 10. Подведение учителем итогов урока. 11. Домашнее задание: параграф 25 (до задачи 5), №459
(четные), 460 (четные), 463*(4). Учебник Ш.А Алимов
“Алгебра и начала анализа”., 10-11,
“Просвещение”., М., 2005г.Соотношение между тангенсом и котангенсом одного и того же угла
Связь между синусом и косинусом одного угла
. Объяснение этому факту достаточно простое: равенства получаются из основного тригонометрического тождества после деления обеих его частей на и соответственно, а равенства 
и 
следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Подробнее об этом поговорим в следующих пунктах.Тангенс и котангенс через синус и косинус
сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть, 
, а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть, 
. часто определения тангенса и котангенса дают не через отношение абсциссы и ординаты, а через отношение синуса и косинуса. Так тангенсом угла называют отношение синуса к косинусу этого угла, а котангенсом – отношение косинуса к синусу. имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула справедлива для любых , отличных от (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула - для всех , отличных от , где z
- любое .Связь между тангенсом и котангенсом
. Понятно, что оно имеет место для любых углов , отличных от , в противном случае либо тангенс, либо котангенс не определены. очень просто. По определению и , откуда 
. Можно было доказательство провести и немного иначе. Так как и , то 
.Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус
Зависимость между тангенсом и котангенсом
Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом
Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств
Пример 1
Пример 2
По оси абсцисс убегает.
