Pabarazitë që përmbajnë funksionet trigonometrike, në zgjidhje reduktohen në mosbarazimet më të thjeshta të formës cos (t)> a, sint (t) = a dhe të ngjashme. Dhe tashmë po zgjidhen pabarazitë më të thjeshta. Konsideroni në shembuj të ndryshëm mënyra për të zgjidhur pabarazitë më të thjeshta trigonometrike.
Shembulli 1... Zgjidhet pabarazia sin (t)> = -1/2.
Vizatoni një rreth njësi. Meqenëse sin (t) është, sipas përkufizimit, koordinata y, shënoni pikën y = -1 / 2 në boshtin Oy. Vizatoni një vijë të drejtë përmes saj paralel me boshtin Ox. Në pikat e prerjes së drejtëzës me grafikun e rrethit njësi, shënoni pikat Pt1 dhe Pt2. Origjinën e koordinatave me pikat Pt1 dhe Pt2 e lidhim me dy segmente.
Zgjidhja e kësaj pabarazie do të jenë të gjitha pikat e rrethit njësi të vendosura mbi këto pika. Me fjalë të tjera, zgjidhja do të jetë harku l .. Tani është e nevojshme të tregohen kushtet në të cilat një pikë arbitrare do t'i përkasë harkut l.
Pt1 shtrihet në gjysmërrethin e djathtë, ordinata e saj është -1/2, pastaj t1 = harksin (-1/2) = - pi / 6. Për të përshkruar pikën Pt1, mund të shkruani formulën e mëposhtme:
t2 = pi - hark (-1/2) = 7 * pi / 6. Si rezultat, marrim pabarazinë e mëposhtme për t:
Ne mbajmë shenjat e pabarazisë. Dhe meqenëse funksioni i sinusit është periodik, do të thotë që zgjidhjet do të përsëriten çdo 2 * pi. Ne ia shtojmë këtë kusht pabarazisë që rezulton për t dhe shkruajmë përgjigjen.
Përgjigje: -pi / 6 + 2 * pi * n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Shembulli 2. Zgjidhja e pabarazisë cos (t)<1/2.
Le të vizatojmë një rreth njësi. Meqenëse, sipas përkufizimit, cos (t) është koordinata x, shënoni pikën x = 1/2 në grafik në boshtin Ox.
Vizatoni një vijë të drejtë përmes kësaj pike paralele me boshtin Oy. Në pikat e prerjes së drejtëzës me grafikun e rrethit njësi, shënoni pikat Pt1 dhe Pt2. Origjinën e koordinatave me pikat Pt1 dhe Pt2 e lidhim me dy segmente.
Zgjidhje do të jenë të gjitha pikat e rrethit njësi që i përkasin harkut l .. Le të gjejmë pikat t1 dhe t2.
t1 = arccos (1/2) = pi / 3.
t2 = 2 * pi - arccos (1/2) = 2 * pi-pi / 3 = 5 * pi / 6.
Ne morëm pabarazinë për t: pi / 3 Meqenëse kosinusi është një funksion periodik, zgjidhjet do të përsëriten çdo 2 * pi. Ne ia shtojmë këtë kusht pabarazisë që rezulton për t dhe shkruajmë përgjigjen. Përgjigje: pi / 3 + 2 * pi * n Shembulli 3. Zgjidhja e pabarazisë tg (t)< = 1. Periudha e tangjentes është pi. Le të gjejmë zgjidhje që i përkasin intervalit (-pi / 2; pi / 2) gjysmërrethi djathtas. Më tej, duke përdorur periodicitetin e tangjentes, shkruajmë të gjitha zgjidhjet e kësaj pabarazie. Le të vizatojmë një rreth njësi dhe të shënojmë vijën tangjente mbi të. Nëse t është zgjidhje e pabarazisë, atëherë ordinata e pikës Т = tg (t) duhet të jetë më e vogël ose e barabartë me 1. Një grup pikash të tilla do të përbëjnë rrezen AT. Bashkësia e pikave Pt, të cilat do t'u përgjigjen pikave të kësaj rreze - harku l. Për më tepër, pika P (-pi / 2) nuk i përket këtij harku. zgjidhje e pabarazisë në modalitet online zgjidhje pothuajse çdo pabarazi e dhënë online... Matematikore pabarazitë në internet për të zgjidhur matematikën. Gjeni shpejt zgjidhje e pabarazisë në modalitet online... Faqja www.site ju lejon të gjeni zgjidhje pothuajse çdo e dhënë algjebrike, trigonometrike ose pabarazi transcendentale në internet... Kur studioni pothuajse çdo degë të matematikës në faza të ndryshme, duhet të zgjidhni pabarazitë në internet... Për të marrë një përgjigje menjëherë, dhe më e rëndësishmja një përgjigje të saktë, ju duhet një burim që ju lejon ta bëni këtë. Falë faqes së internetit www.site zgjidhje për pabarazinë në internet do të duhen disa minuta. Avantazhi kryesor i www.site në zgjidhjen e matematikës pabarazitë në internetështë shpejtësia dhe saktësia e përgjigjes së dhënë. Faqja është në gjendje të zgjidhë çdo pabarazitë algjebrike në internet, pabarazitë trigonometrike në internet, pabarazitë transcendentale në internet, dhe pabarazitë me parametra të panjohur në modalitet online. Pabarazitë shërbejnë si një aparat i fuqishëm matematikor Zgjidhjet detyra praktike. Me ndihmë pabarazitë matematikore ju mund të shprehni fakte dhe marrëdhënie që mund të duken konfuze dhe komplekse në shikim të parë. Sasi të panjohura pabarazitë mund të gjendet duke formuluar problemin në matematikore gjuha në formë pabarazitë dhe vendosin detyra e marrë në modalitet online në faqen e internetit www.site. Çdo pabarazia algjebrike, pabarazia trigonometrike ose pabarazitë që përmban transcendentale ju funksionon lehtësisht vendosin online dhe merrni përgjigjen e saktë. Duke studiuar shkencat e natyrës, në mënyrë të pashmangshme hasni nevojën zgjidhje për pabarazitë... Në këtë rast, përgjigja duhet të jetë e saktë dhe duhet marrë menjëherë në modalitet online... Prandaj për zgjidhja e pabarazive matematikore në internet ne rekomandojmë faqen e internetit www.site, e cila do të bëhet kalkulatori juaj i pazëvendësueshëm zgjidhja e pabarazive algjebrike në internet, pabarazitë trigonometrike në internet, dhe pabarazitë transcendentale në internet ose pabarazitë me parametra të panjohur. Për detyra praktike të gjetjes së zgjidhjeve inetravol për të ndryshme pabarazitë matematikore burimi www .. Duke zgjidhur pabarazitë në internet vetë, është e dobishme të kontrolloni përgjigjen që keni marrë duke përdorur zgjidhje online të pabarazive në faqen e internetit www.site. Është e nevojshme të shënohet pabarazia saktë dhe të merret menjëherë zgjidhje online, pas së cilës mbetet vetëm të krahasoni përgjigjen me zgjidhjen tuaj të pabarazisë. Do të duhet më pak se një minutë për të kontrolluar përgjigjen, mjaft zgjidhni pabarazinë në internet dhe krahasoni përgjigjet. Kjo do t'ju ndihmojë të shmangni gabimet në vendimi dhe korrigjoni përgjigjen në kohë për zgjidhja e pabarazive në internet qoftë algjebrike, trigonometrike, transcendentale ose pabarazia me parametra të panjohur. Pabarazitë janë marrëdhënie të formës a ›b, ku a dhe b janë shprehje që përmbajnë të paktën një ndryshore. Pabarazitë mund të jenë strikte - ‹,› dhe jo të rrepta - ≥, ≤. Pabarazitë trigonometrike janë shprehje të formës: F (x) ›a, F (x)‹ a, F (x) ≤ a, F (x) ≥ a, në të cilat F (x) përfaqësohet nga një ose më shumë funksione trigonometrike . Një shembull i pabarazisë më të thjeshtë trigonometrike është: sin x ‹1/2. Pranohet zgjidhja grafike e problemeve të tilla; për këtë janë zhvilluar dy metoda. Për të gjetur intervalin që plotëson kushtet e pabarazisë sin x ‹1/2, duhet të kryeni hapat e mëposhtëm: Kur shenjat e forta janë të pranishme në një shprehje, pikat e kryqëzimit nuk janë zgjidhje. Meqenëse periudha më e vogël pozitive e sinusoidit është 2π, ne e shkruajmë përgjigjen si më poshtë: Nëse shenjat e shprehjes nuk janë strikte, atëherë intervali i zgjidhjeve duhet të mbyllet në kllapa katrore -. Përgjigja e problemit mund të shkruhet gjithashtu si një pabarazi tjetër: Probleme të ngjashme mund të zgjidhen lehtësisht me ndihmën e rrethit trigonometrik. Algoritmi për gjetjen e përgjigjeve është shumë i thjeshtë: Le të analizojmë hapat e zgjidhjes duke përdorur shembullin e pabarazisë sin x ›1/2. Pikat α dhe β janë shënuar në rreth - vlera Pikat e harkut të vendosura sipër α dhe β janë intervali për zgjidhjen e pabarazisë së dhënë. Nëse keni nevojë të zgjidhni shembullin për cos, atëherë harku i përgjigjeve do të vendoset në mënyrë simetrike me boshtin OX, dhe jo OY. Për të marrë në konsideratë ndryshimin midis intervaleve të zgjidhjeve për sin dhe cos, mund të përdorni diagramet më poshtë në tekst. Zgjidhjet grafike për pabarazitë tangjente dhe kotangjente do të ndryshojnë si nga sinusi ashtu edhe nga kosinusi. Kjo është për shkak të vetive të funksioneve. Tangjentja e harkut dhe kotangjentja e harkut janë tangjente me rrethin trigonometrik, dhe periudha minimale pozitive për të dy funksionet është π. Për të përdorur shpejt dhe saktë metodën e dytë, duhet të mbani mend se në cilin bosht janë paraqitur vlerat e sin, cos, tg dhe ctg. Tangjentja tangjente shkon paralelisht me boshtin OY. Nëse vendosni vlerën e arctan a në rrethin e njësisë, atëherë pika e dytë e kërkuar do të vendoset në tremujorin diagonal. Këndet Janë pikat e ndërprerjes për funksionin, siç priret grafiku, por nuk arrin kurrë. Në rastin e një kotangjente, tangjentja shkon paralelisht me boshtin OX dhe funksioni ndërpritet në pikat π dhe 2π. Nëse argumenti i një funksioni pabarazie përfaqësohet jo vetëm nga një ndryshore, por nga një shprehje e tërë që përmban një të panjohur, atëherë ne tashmë po flasim për një pabarazi komplekse. Kursi dhe rendi i zgjidhjes së tij janë disi të ndryshme nga metodat e përshkruara më sipër. Supozoni se është e nevojshme të gjendet një zgjidhje për pabarazinë e mëposhtme: Zgjidhja grafike parashikon ndërtimin e një sinusoidi të zakonshëm y = sin x për vlerat e zgjedhura në mënyrë arbitrare të x. Le të llogarisim një tabelë me koordinata për pikat e rrotullimit të grafikut: Rezultati duhet të jetë një kthesë e bukur. Për lehtësinë e gjetjes së një zgjidhjeje, zëvendësoni argumentin e funksionit kompleks Algoritmi për zgjidhjen e inekuacioneve trigonometrike më të thjeshta dhe njohja e mënyrave të zgjidhjes së mosbarazimeve trigonometrike. Mësuesit e kategorisë më të lartë të kualifikimit: Shirko F.M. Përparimi i vendbanimit, MOBU-SOSH Nr. 6 Sankina L.S. Armavir, CHOU SOSH "Rruga e Re" Nuk ka metoda universale për mësimin e disiplinave të ciklit natyror dhe matematikor. Secili mësues gjen mënyrat e tij të mësimdhënies, të pranueshme vetëm për të. Përvoja jonë shumëvjeçare e mësimdhënies tregon se studentët mund të mësojnë më lehtë materialin që kërkon përqendrim të vëmendjes dhe mbajtjen e një sasie të madhe informacioni në kujtesë, nëse u mësohet të përdorin algoritme në aktivitetet e tyre në fazën fillestare të të mësuarit të një teme komplekse. Sipas mendimit tonë, një temë e tillë është tema e zgjidhjes së pabarazive trigonometrike. Pra, para se të fillojmë me nxënësit të identifikojmë teknikat dhe metodat për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike, përpunojmë dhe konsolidojmë algoritmin për zgjidhjen e pabarazive më të thjeshta trigonometrike. Algoritmi për zgjidhjen e pabarazive më të thjeshta trigonometrike
Ne shënojmë pika në boshtin përkatës ( për
mëkat
x- aksi ОУ, përcos
x- Aksi OX) Rivendosni pingulin me boshtin, i cili do të presë rrethin në dy pika. Së pari në rreth ne nënshkruajmë një pikë që i përket intervalit të gamës së vlerave të funksionit të harkut sipas përcaktimit. Duke u nisur nga pika e shënuar, hijeni një hark rrethor që korrespondon me pjesën e hijezuar të boshtit. Kushtojini vëmendje të veçantë drejtimit të anashkalimit. Nëse kalimi bëhet në drejtim të akrepave të orës (d.m.th. ka një kalim në 0), atëherë pika e dytë në rreth do të jetë negative, nëse në drejtim të kundërt, do të jetë pozitive. Ne e shkruajmë përgjigjen në formën e një intervali, duke marrë parasysh shpeshtësinë e funksionit. Le të shohim se si funksionon algoritmi duke përdorur shembuj.
1)
mëkat
≥ 1/2;
Zgjidhja: Vizatoni rrethin e njësisë .; Ne shënojmë pikën ½ në boshtin OU. Ne rivendosim pingul me boshtin, e cila e pret rrethin në dy pika. Me përkufizimin e arksinës, ne shënojmë së pari pika π / 6. Hije pjesën e boshtit që i përgjigjet dhënë pabarazi mbi pikën ½. Hije harkun e një rrethi që korrespondon me pjesën e hijezuar të boshtit. Kalimi kryhet në të kundërt të akrepave të orës, kemi marrë pikën 5π / 6. Përgjigjen e shkruajmë në formë intervali, duke marrë parasysh shpeshtësinë e funksionit; Përgjigje:x; [π / 6 + 2π n, 5π / 6 + 2π n], n Z. Pabarazia më e thjeshtë zgjidhet duke përdorur të njëjtin algoritëm nëse nuk ka vlerë tabele në rekordin e përgjigjeve. Nxënësit, në orët e para, duke zgjidhur pabarazitë në dërrasën e zezë, shqiptojnë me zë çdo hap të algoritmit. 2) 5
cos
x
– 1 ≥ 0;
R 5 cos x – 1 ≥ 0; cos
x ≥ 1/5; Vizatoni rrethin e njësisë. Shënoni në boshtin OX një pikë me një koordinatë 1/5. Ne rivendosim pingul me boshtin, i cili e pret rrethin në dy pika. Së pari në rreth ne nënshkruajmë një pikë që i përket intervalit të diapazonit të vlerave të arkkosinës sipas përcaktimit (0; π). Ne e hijezojmë pjesën e boshtit që korrespondon me këtë pabarazi. Duke u nisur nga një pikë e nënshkruar
harqe 1/5, hijeni një hark rrethor që korrespondon me pjesën e hijezuar të boshtit. Kalimi kryhet në drejtim të akrepave të orës (d.m.th. ka një kalim në 0), që do të thotë se pika e dytë në rreth do të jetë negative - harqe 1/5. Përgjigjen e shkruajmë në formën e një intervali, duke marrë parasysh periodicitetin e funksionit, nga një vlerë më e ulët në një vlerë më të madhe. Përgjigje: x [-harqe 1/5 + 2π n, harqe 1/5 + 2π n], n Z. Pyetjet e mëposhtme kontribuojnë në përmirësimin e aftësisë për zgjidhjen e pabarazive trigonometrike: “Si do të zgjidhim një grup pabarazish?”; “Si ndryshon një pabarazi nga një tjetër?”; “Si është e ngjashme një pabarazi me një tjetër?”; Si do të ndryshonte përgjigjja nëse jepej një pabarazi e rreptë? ”; Si do të ndryshonte përgjigjja nëse në vend të shenjës "" do të kishte një shenjë " Detyra e analizimit të listës së pabarazive nga pikëpamja e mënyrave për t'i zgjidhur ato ju lejon të përcaktoni njohjen e tyre. Nxënësve u ofrohen pabarazi që duhen trajtuar në mësim. Pyetje: Theksoni pabarazitë që kërkojnë përdorimin e transformimeve ekuivalente kur zvogëloni pabarazinë trigonometrike në atë më të thjeshtë? Përgjigju 1, 3, 5. Pyetje: Cilat janë pabarazitë në të cilat dëshironi të trajtoni një argument kompleks si të thjeshtë? Përgjigje: 1, 2, 3, 5, 6. Pyetje: Cilat janë pabarazitë ku mund të zbatohen formulat trigonometrike? Përgjigje: 2, 3, 6. Pyetje: Cilat janë pabarazitë ku mund të aplikoni metodën e prezantimit të një ndryshoreje të re? Përgjigje: 6. Detyra e analizimit të listës së pabarazive nga pikëpamja e mënyrave për t'i zgjidhur ato ju lejon të përcaktoni njohjen e tyre. Kur zhvilloni aftësi, është e rëndësishme të veçoni fazat e zbatimit të tij dhe t'i formuloni ato në një formë të përgjithshme, e cila paraqitet në algoritmin për zgjidhjen e pabarazive më të thjeshta trigonometrike.Metoda 1 - Zgjidhja e pabarazive duke vizatuar një funksion
Metoda 2 - Zgjidhja e pabarazive trigonometrike duke përdorur rrethin njësi
Pabarazi trigonometrike komplekse
zgjidhje:në