Mësimi publik në algjebër dhe parimet e analizës me temën: "Marrëdhënia midis sinusit dhe kosinusit të të njëjtit kënd" (klasa 10)
Synimi: perceptimi dhe ndërgjegjësimi fillestar i nxënësve për të renë material edukativ, të kuptuarit e lidhjeve dhe marrëdhënieve në objektet e studimit
arsimore : nxjerrja e formulave për lidhjen ndërmjet sinusit dhe kosinusit të të njëjtit kënd (numër); Mësoni të përdorni këto formula për të llogaritur vlerat e sinusit dhe kosinusit nga një vlerë e caktuar e njërës prej tyre.
Zhvillimore : Mësoni të analizoni, krahasoni, ndërtoni analogji, të përgjithësoni dhe sistemoni, të provoni dhe të kundërshtoni, të përcaktoni dhe të shpjegoni konceptet, të zhvilloni dhe përmirësoni aftësinë për të zbatuar njohuritë ekzistuese të studentëve në situata të ndryshme; zhvilloni fjalimin kompetent matematikor të studentëve, aftësinë për të dhënë formulime lakonike
Edukative: nxitja e një qëndrimi të ndërgjegjshëm ndaj punës dhe i një qëndrimi pozitiv ndaj njohurive, duke rrënjosur tek studentët saktësinë, aftësinë për të dëgjuar dhe për të shprehur mendimet e tyre; kultura e sjelljes.
Shpëtim shëndetësor : krijimi i një klime të rehatshme psikologjike në klasë, një atmosferë bashkëpunimi: nxënës - mësues.
Njohuritë dhe aftësitë: përkufizimet e funksioneve bazë trigonometrike (sinus, kosinus); shenjat e funksioneve trigonometrike sipas tremujorëve; grupe vlerash të funksioneve trigonometrike; formulat bazë të trigonometrisë.Uaftësia për të zgjedhur formulën e duhur për të zgjidhur një problem specifik; punë me thyesa të thjeshta; Shndërroni shprehjet trigonometrike.
Gjatë orëve të mësimit
Koha e organizimit:
Kontrolloni gatishmërinë e nxënësve për mësimin. Hapja e faqes së internetit të mësuesit në kompjuter (Shtojca 1).
Punë gojore për temën e trajtuar : "Shenjat e sinusit, kosinusit dhe tangjentes"
Në tavolinë:
Ushtrimi:
Renditni numrat e katërtave të planit koordinativ dhe përcaktoni shenjat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës.
Punë e pavarur me temën: "Shenjat e sinusit, kosinusit dhe tangjentes"
Nxënësit hapin rubrikën “Detyra për mësimin e trigonometrisë” në faqen e internetit. Vetëtestimi
(Nxënësit kryejnë detyrën nr. 1, kontrollojnë punën e tyre dhe vlerësojnë veten)
Shpjegimi i materialit të ri
Në tavolinë:
x = … α , … ≤ cos α≤ … 2)* tan α = , α≠ …
y= … α, … ≤ mëkat α≤ … ctg α = , α≠ …
Ushtrimi: shtoni formula
Mësues : “Ti dhe unë kemi studiuar secilin koncept veç e veç. Cila temë mendoni se është logjike të studiohet më pas?”
( Përgjigje e sugjeruar: "Varësia midis këtyre koncepteve")
Tema e mësimit është formuluar: "Marrëdhënia midis sinusit dhe kosinusit të të njëjtit kënd"
Mësues : "Ka disa mënyra për të zgjidhur këtë problem"
Duke përdorur ekuacionin e rrethit njësiDuke përdorur teoremën e Pitagorës
Mësues : "Le t'i shikojmë të dyja dhe të zgjedhim atë më racionalen"
Në tavolinë:
Nxënësit nxjerrin barazicos 2 α + mëkat 2 α = 1
Mësues : “Ne kemi marrë një barazi që është e drejtë për çdo vlerë të shkronjave të përfshira në të. Si quhen barazi të tilla?
( Përgjigje e sugjeruar : identitetet)
Mësues : “Mos harroni si quhet identiteticos 2 α + mëkat 2 α = 1 »
Përforcimi i materialit të mësuar
Një mësues: “Hape teksti shkollor f.147, nr.457 (2;4)” (nxënësit e thirrur zgjidhin në tabelë)
B) Mësues: “Vazhdo me detyrën nr. 2. Ne jemi duke punuar për opsionet" (Diskutimi i rezultateve të marra)
Në tavolinë:
Opsioni 1 Opsioni 2
Mësues: "Në këto formula, rrënjët paraprihen nga shenjat"±» . Çfarë përcakton se cila shenjë të vendoset në formulë?”
(Përgjigje e sugjeruar: “Nga cili tremujor ndodhet këndi i rrotullimit të pikës P(1;0)”)
B) Mësuesi: "Vazhdo me detyrën numër 3." (Nxënësit zgjidhin probleme, kontrollojnë në tabelë)
Duke përmbledhur mësimin
Mësues: "Te lumte! Do ta përmbledhim mësimin me ndihmën e fjalëkryqit” (Detyra 4) (Nxënësit punojnë në dyshe në kompjuter)
7) Reflektimi në formën e një pyetësori (Shtojca 2)
Mësues: "Përmblidhni performancën tuaj në klasë duke përfunduar testin."
§25, Nr. 456, 457(1;3),460(1;3).
Raportoni
Le të përpiqemi të gjejmë marrëdhënien midis kryesore funksionet trigonometrike të njëjtin kënd.
Lidhja midis kosinusit dhe sinusit të të njëjtit kënd
Figura e mëposhtme tregon sistemin e koordinatave Oxy me pjesën e gjysmërrethit të njësisë ACB të paraqitur në të me qendër në pikën O. Kjo pjesë është harku i rrethit të njësisë. Rrethi njësi përshkruhet nga ekuacioni
- x 2 +y 2 =1.
Siç dihet tashmë, ordinata y dhe abshisa x mund të përfaqësohen si sinus dhe kosinus i këndit duke përdorur formulat e mëposhtme:
- sin(a) = y,
- cos(a) = x.
Duke i zëvendësuar këto vlera në ekuacionet e rrethit njësi kemi barazinë e mëposhtme
- (sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,
Kjo barazi është e vërtetë për çdo vlerë të këndit a. Quhet identiteti themelor trigonometrik.
Nga kryesore identiteti trigonometrik, ju mund të shprehni një funksion përmes një tjetri.
- sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
- cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).
Shenja në anën e djathtë të kësaj formule përcaktohet nga shenja e shprehjes në anën e majtë të kësaj formule.
Për shembull.
Llogaritni sin(a) nëse cos(a)=-3/5 dhe pi Le të përdorim formulën e dhënë më sipër: Që nga pi Tani, le të përpiqemi të gjejmë marrëdhënien midis tangjentës dhe kotangjentës. Sipas përkufizimit, tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a). Le t'i shumëzojmë këto barazi dhe të marrim tg(a)*ctg(a) =1. Nga kjo barazi mund të shprehet një funksion përmes një tjetri. Ne marrim: Duhet të kuptohet se këto barazi janë të vlefshme vetëm kur ekzistojnë tg dhe ctg, pra për çdo a, përveç a = k*pi/2, për çdo numër të plotë k. Tani le të përpiqemi, duke përdorur identitetin bazë trigonometrik, të gjejmë marrëdhënien midis tangjentes dhe kosinusit. Le të ndajmë identitetin kryesor trigonometrik me (cos(a)) 2. (cos(a) nuk është e barabartë me zero, përndryshe tangjentja nuk do të ekzistonte. Ne marrim barazinë e mëposhtme ((sin(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2. Duke e ndarë termin me term, marrim: Siç u përmend më lart, kjo formulë është e saktë nëse cos(a) nuk është e barabartë me zero, domethënë për të gjitha këndet a, përveç a=pi/2 +pi*k, për çdo numër të plotë k. Në këtë artikull do të bëjmë një vështrim gjithëpërfshirës. Identitetet bazë trigonometrike janë barazitë që krijojnë një lidhje midis sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi dhe lejojnë që dikush të gjejë cilindo nga këto funksione trigonometrike përmes një tjetri të njohur. Le të rendisim menjëherë identitetet kryesore trigonometrike që do të analizojmë në këtë artikull. Le t'i shkruajmë ato në një tabelë dhe më poshtë do të japim rezultatet e këtyre formulave dhe do të japim shpjegimet e nevojshme. Navigimi i faqes. Ndonjëherë ata nuk flasin për identitetet kryesore trigonometrike të renditura në tabelën e mësipërme, por për një të vetme identiteti bazë trigonometrik lloj Kjo do të thotë, është barazia që paraqet interes të veçantë, të cilës i është dhënë emri i identitetit kryesor trigonometrik. Para se të vërtetojmë identitetin kryesor trigonometrik, japim formulimin e tij: shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit të një këndi është identikisht e barabartë me një. Tani le ta vërtetojmë. Identiteti bazë trigonometrik përdoret shumë shpesh kur konvertimin e shprehjeve trigonometrike. Ai lejon që shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit të një këndi të zëvendësohet me një. Jo më rrallë, identiteti bazë trigonometrik përdoret në rend të kundërt: njësia zëvendësohet nga shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit të çdo këndi. Identitetet që lidhin tangjenten dhe kotangjenten me sinusin dhe kosinusin e një këndi të shikimit dhe Falë dukshmërisë së tillë të identiteteve dhe Në përfundim të këtij paragrafi, duhet theksuar se identitetet dhe Një identitet trigonometrik edhe më i dukshëm se dy të mëparshmet është identiteti që lidh tangjenten dhe kotangjenten e një këndi të formës. Vërtetim i formulës Pra, tangjentja dhe kotangjentja e të njëjtit kënd në të cilin kanë kuptim janë . Identitete trigonometrike- këto janë barazi që vendosin një marrëdhënie midis sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi, i cili ju lejon të gjeni ndonjë nga këto funksione, me kusht që të dihet ndonjë tjetër. tg \alfa = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alfa = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha) tg \alfa \cdot ctg \alfa = 1 Ky identitet thotë se shuma e katrorit të sinusit të një këndi dhe katrorit të kosinusit të një këndi është e barabartë me një, gjë që në praktikë bën të mundur llogaritjen e sinusit të një këndi kur dihet kosinusi i tij dhe anasjelltas. . Gjatë konvertimit të shprehjeve trigonometrike, ky identitet përdoret shumë shpesh, i cili ju lejon të zëvendësoni shumën e katrorëve të kosinusit dhe sinusit të një këndi me një dhe gjithashtu të kryeni operacionin e zëvendësimit në rend të kundërt. tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace Këto identitete formohen nga përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentit dhe kotangjentit. Në fund të fundit, nëse e shikoni, atëherë me përkufizim ordinata y është një sinus, dhe abshisa x është një kosinus. Atëherë tangjentja do të jetë e barabartë me raportin \frac(y)(x)=\frac(\sin \alfa)(\cos \alfa), dhe raporti \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- do të jetë një kotangjent. Le të shtojmë se vetëm për kënde të tilla \alfa në të cilat funksionet trigonometrike të përfshira në to kanë kuptim, identitetet do të qëndrojnë, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Për shembull: tg \alfa = \frac(\sin \alfa)(\cos \alfa)është e vlefshme për këndet \alfa që janë të ndryshme nga \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- për një kënd \alfa të ndryshëm nga \pi z, z është një numër i plotë. tg \alpha \cdot ctg \alfa=1 Ky identitet është i vlefshëm vetëm për këndet \alfa që janë të ndryshme nga \frac(\pi)(2) z. Përndryshe, as kotangjentja ose tangjenta nuk do të përcaktohet. Bazuar në pikat e mësipërme, marrim se tg \alfa = \frac(y)(x), A ctg \alfa=\frac(x)(y). Nga kjo rrjedh se tg \alfa \cdot ctg \alfa = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Kështu, tangjentja dhe kotangjentja e të njëjtit kënd në të cilin kanë kuptim janë numra reciprokisht të anasjelltë. tg^(2) \alfa + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alfa)- shuma e katrorit të tangjentes së këndit \alfa dhe 1 është e barabartë me katrorin e anasjelltë të kosinusit të këtij këndi. Ky identitet është i vlefshëm për të gjithë \alfat përveç \frac(\pi)(2)+ \pi z. 1+ctg^(2) \alfa=\frac(1)(\sin^(2)\alfa)- shuma e 1 dhe katrorit të kotangjentes së këndit \alfa është e barabartë me katrorin e anasjelltë të sinusit të këndit të dhënë. Ky identitet është i vlefshëm për çdo \alfa të ndryshme nga \pi z. Gjeni \sin \alpha dhe tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Dhe \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
; Trego zgjidhje Zgjidhje Funksionet \sin \alpha dhe \cos \alpha lidhen me formulën \sin^(2)\alfa + \cos^(2) \alfa = 1. Zëvendësimi në këtë formulë \cos \alfa = -\frac12, marrim: \sin^(2)\alfa + \majtas (-\frac12 \djathtas)^2 = 1 Ky ekuacion ka 2 zgjidhje: \sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2) Sipas kushteve \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. Në tremujorin e dytë sinusi është pozitiv, pra \sin \alfa = \frac(\sqrt 3)(2). Për të gjetur tan \alpha, ne përdorim formulën tg \alfa = \frac(\sin \alfa)(\cos \alfa) tg \alfa = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3 Gjeni \cos \alpha dhe ctg \alpha nëse dhe \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. Trego zgjidhje Zgjidhje Zëvendësimi në formulë \sin^(2)\alfa + \cos^(2) \alfa = 1 numri i dhënë \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), marrim \majtas (\frac(\sqrt3)(2)\djathtas)^(2) + \cos^(2) \alfa = 1. Ky ekuacion ka dy zgjidhje \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14. Sipas kushteve \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi
. Në tremujorin e dytë kosinusi është negativ, pra \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12. Për të gjetur ctg \alpha, ne përdorim formulën ctg \alfa = \frac(\cos \alfa)(\sin \alpha). Ne i dimë vlerat përkatëse. ctg \alfa = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3). Dhe grafiku sinus është valë për valë Nga një këngë studentore. QËLLIMET DHE OBJEKTIVAT E MËSIMIT: KURSIMI I SHËNDETIT: krijimi i një klime të rehatshme psikologjike në klasë, një atmosferë bashkëpunimi: nxënës - mësues. PAJISJET METODOLOGJIKE TË ORËS MËSIMORE: BAZË MATERIALE DHE TEKNIKE: salla e matematikës. MBËSHTETJE DIDAKTIKE PËR MËSIMIN: tekst, fletore, postera me temën e mësimit, tabela, kompjuter, disqe, ekran, projektor. METODAT E AKTIVITETIT: punë në grup dhe individuale në tavolinë dhe në dërrasën e zezë. LLOJI I ORËS MËSIMORE: mësim mbi mësimin e njohurive të reja. GJATË KLASËVE 1. Momenti organizativ: përshëndetje, kontrollim i frekuentimit të studentëve, plotësimi i regjistrit. 2. Kontrollimi i gatishmërisë së nxënësve për mësimin: vendosja e nxënësve në humor për punë, sjellja e planit të mësimit tek ata. 3. Analiza e gabimeve të detyrave të shtëpisë. Në ekran është një foto e detyrave të shtëpisë të përfunduara saktë. Çdo nxënës kontrollon me një shpjegim të detajuar ballor dhe shënon korrektësinë e ekzekutimit në fletën e punës së mësimit. KARTELA E PUNËS TË MËSIMIT. S/o – vetëvlerësim. O/t – vlerësim i një shoku. 4. Përditësimi i njohurive, përgatitja për të perceptuar materiale të reja. Faza tjetër e mësimit tonë është diktimi. Përgjigjet i shkruajmë shkurt - e kemi vizatimin në rrëshqitje. Diktim (përsëritje gojore e informacionit të nevojshëm): 1. Përcaktoni: 2. Përcaktoni: 3. Shkruani shenjat e sinusit, kosinusit, tangjentës, kotangjentes për këndet e fituara nga rrotullimi i pikës P(1;0) me një kënd. 4. Për të gjitha këto kënde, tregoni çerekun e planit koordinativ. Fëmijët kontrollojnë diktimin në rrëshqitje së bashku me mësuesin, duke shpjeguar çdo deklaratë dhe duke i dhënë vetes një notë në kartën e mësimit. 5. Nga historia e trigonometrisë. Forma moderne e trigonometrisë u dha nga matematikani më i madh i shekullit të 18-të Leonard Euler- Zviceran me origjinë, i cili punoi në Rusi për shumë vite dhe ishte anëtar i Akademisë së Shkencave të Shën Petersburgut. Ai prezantoi përkufizime të njohura të funksioneve trigonometrike, formuloi dhe vërtetoi formulat e reduktimit që nuk i keni hasur ende, dhe identifikoi klasa të funksioneve çift dhe tek. 6. Prezantimi i materialit të ri: Gjëja kryesore nuk është vetëm të informohen studentët për përfundimet përfundimtare, por t'i bëjnë studentët, si të thuash, pjesëmarrës në një kërkim shkencor: duke shtruar pyetjen në mënyrë që, pasi zgjojnë kureshtjen e tyre, ata të përfshihen në kërkim, gjë që ndihmon. për të arritur një nivel më të lartë të zhvillimit mendor të nxënësve. Prandaj, kur prezantoj materialin e ri, krijoj një situatë problematike - si mund të jetë më e lehtë dhe më racionale të vendoset marrëdhënia midis sinusit dhe kosinusit të të njëjtit kënd - përmes ekuacionit të rrethit të njësisë ose përmes teoremës së Pitagorës. Klasa është e ndarë në opsione në opsionin e parë dhe të dytë - në ekran ka një rrëshqitje me kushtet dhe vizatimet, nuk ka ende zgjidhje. Opsioni 1 vendos marrëdhënien midis sinusit dhe kosinusit nëpërmjet ekuacionit të një rrethi me qendër në origjinë dhe një rreze të barabartë me 1x 2 +y 2 =1; sin 2 + cos 2 =1. Opsioni 2 vendos marrëdhënien midis sinusit dhe kosinusit përmes teoremës së Pitagorës - në një trekëndësh kënddrejtë, katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve: OB 2 + AB 2 = OA 2 - dhe marrim mëkatin 2 +cos 2 =1. Ata krahasojnë rezultatet dhe nxjerrin përfundime: gjëja kryesore është se barazia është e vërtetë për çdo vlerë të shkronjave të përfshira në të? Studentët duhet të përgjigjen se ky është një identitet (sllajdi tregon zgjidhjen e saktë si për opsionin e parë ashtu edhe për të dytën). Ne kemi marrë një barazi që është e vlefshme për çdo vlerë të shkronjave të përfshira në të. Si quhen barazi të tilla? Kjo është e drejtë - identitetet. Le të kujtojmë se cilat identitete të tjera njohim në algjebër - formulat e shkurtuara të shumëzimit: a 2 -b 2 =(a-b)(a+b), (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2, (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 2, (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 3 -b 3, a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2), a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2). Problemi tjetër është përse kemi nxjerrë identitetin kryesor trigonometrik - sin 2 +cos 2 =1. Kjo është e drejtë - për të gjetur nga një vlerë e njohur e sinusit, kosinusit ose tangjentes - vlerat e të gjitha funksioneve të tjera. Tani ju dhe unë mund të përdorim gjithmonë identitetin bazë trigonometrik, por gjëja kryesore është për të njëjtin argument. Zbatimi i njohurive të marra: OPTION 1 - shprehni sinusin përmes kosinusit të këndit. Opsioni 2 - shprehni kosinusin përmes sinusit të këndit. Përgjigja e saktë është në rrëshqitje Pyetja e mësuesit: a ka harruar dikush të vendosë shenjat + dhe -? Cili mund të jetë këndi? - kushdo. Në këto formula, nga çfarë varet shenja përpara rrënjës? në cilin kuadrant ndodhet këndi (argumenti) i funksionit trigonometrik që po përcaktojmë. Performojme ne bordin 2 nxenesit nr 457. – Opsioni i parë - 1, opsioni i dytë - 2. Sllajdi tregon zgjidhjen e duhur. Punë e pavarur për njohjen e identitetit bazë trigonometrik 1. Gjeni kuptimin e shprehjes: 2. shprehni numrin 1 përmes një këndi a, Nëse Ekziston një kontroll i ndërsjellë - në rrëshqitjen e përfunduar dhe vlerësimi i punës - si nga vetëvlerësimi ashtu edhe nga vlerësimi i një miku. 6. Konsolidimi i materialit të ri (sipas teknologjisë së G.E. Khazankin - teknologjia e detyrave mbështetëse). DETYRA 1. Llogarit ……….. nëse …………………………………………………………………… 1 nxënës në tabelë në mënyrë të pavarur - më pas një rrëshqitje me zgjidhjen e duhur. DETYRA 2. Llogaritni……………., nëse…………………………………………………………….. Nxënësi i dytë në tabelë, më pas një rrëshqitje me zgjidhjen e duhur. 7. Minuta e edukimit fizik Unë e di që ju jeni tashmë i rritur dhe mendoni se nuk jeni fare të lodhur, sidomos tani, kur mësimi po vazhdon aq aktivisht saqë koha na duket se po zgjatet, sipas teorisë së A. Ajnshtajnit. relativiteti, por le të bëjmë gjimnastikë për enët cerebrale: Le të zbulojmë tani marrëdhënien midis tangjentes dhe kotangjentes………………………………………………………………………………………………………… ………………………… Ekziston një studim i ri mbi temën - cili mund të jetë këndi në identitetin e dytë trigonometrik? Gjëja KRYESORE ËSHTË TË PËRCAKTOJSH SETIN NË TË CILIN PËRMBUSHEN KËTO BARAZI. SHENJONI PIKAT NË FIGURË NË TË CILAT NUK EKZISTOJNË TANGJEN DHE KOTEGJENTET E KËNDIT. Nxënësi i tretë në dërrasën e zezë. Barazitë janë të vlefshme për …………………………. DETYRA 3. Llogaritni……… nëse………………………………. DETYRA 4. Llogaritni…………….. nëse………………………………………………………………… Pjesa tjetër e nxënësve punojnë në fletoret e tyre. 1 MBËSHTETJE………………………………………………………………………………………… 2 MBËSHTETJE………………………………………………………………………………………………………………… 3 MBËSHTETJE. Zbatimi i identitetit bazë trigonometrik në zgjidhjen e problemeve. 8. Fjalëkryq. Anatole France dikur tha: "Mësimi duhet të jetë argëtues... Për të tretur njohuritë, duhet ta përthithni atë me oreks." Për të testuar njohuritë tuaja mbi këtë temë, ju ofrohet një fjalëkryq. Pasi kontrollojnë fjalëkryqin, fëmijët i japin vetes notat në hartën e mësimit. Mësuesi/ja u jep nota atyre nxënësve që ishin veçanërisht aktivë në mësim. Rezultati është rezultati mesatar për punën në mësim. 9. Udhëzimi i mësuesit për plotësimin e detyrave të shtëpisë. 10. Mësuesi/ja përmbledh mësimin. 11. Detyrë shtëpie: paragrafi 25 (përpara problemës 5), nr 459 (çift), 460 (çift), 463*(4). Libër mësuesi nga Sh.A Alimov “Algjebra dhe fillimet e analizës”, 10-11, “Iluminizmi”, M., 2005.Marrëdhënia midis tangjentes dhe kotangjentes së të njëjtit kënd
Lidhja midis sinusit dhe kosinusit të një këndi
. Shpjegimi për këtë fakt është mjaft i thjeshtë: barazitë përftohen nga identiteti kryesor trigonometrik pasi pjesëtohen të dyja pjesët e tij me dhe, përkatësisht, dhe barazitë. 
Dhe 
vijoni nga përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentit. Ne do të flasim për këtë më në detaje në paragrafët e mëposhtëm.Tangjente dhe kotangjente përmes sinusit dhe kosinusit
ndiqen menjëherë nga përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentit. Në të vërtetë, sipas përkufizimit, sinusi është ordinata e y, kosinusi është abshisa e x, tangjentja është raporti i ordinatës me abshisën, d.m.th. 
, dhe kotangjentja është raporti i abshisës me ordinatën, d.m.th. 
.Tangjentja dhe kotangjentja shpesh përcaktohen jo përmes raportit të abshisës dhe ordinatës, por përmes raportit të sinusit dhe kosinusit. Pra, tangjentja e një këndi është raporti i sinusit me kosinusin e këtij këndi, dhe kotangjentja është raporti i kosinusit me sinusin.zënë vend për të gjitha këndet në të cilat funksionet trigonometrike të përfshira në to kanë kuptim. Pra formula është e vlefshme për çdo , përveç (përndryshe emëruesi do të ketë zero, dhe ne nuk e kemi përcaktuar ndarjen me zero), dhe formula - për të gjitha , të ndryshme nga , ku z është çdo .Marrëdhënia midis tangjentes dhe kotangjentes
. Është e qartë se ajo vlen për çdo kënd tjetër përveç , përndryshe as tangjentja ose kotangjentja nuk janë të përcaktuara.shume e thjeshte. Sipas definicionit dhe prej nga 
. Prova mund të ishte kryer pak më ndryshe. Që nga viti , Kjo 
.Gjetja e tangjentes dhe kotangjentes duke përdorur sinusin dhe kosinusin
Marrëdhënia midis tangjentes dhe kotangjentes
Marrëdhëniet midis tangjentës dhe kosinusit, kotangjentit dhe sinusit
Shembuj me zgjidhje të problemeve duke përdorur identitete trigonometrike
Shembulli 1
Shembulli 2
Boshti x ikën.
