Encuentra todas las raíces de la ecuación que pertenecen al intervalo. Resolver ecuaciones trigonométricas y métodos para seleccionar raíces en un intervalo dado

27. Selecciona las raíces en un segmento dado

28. 10. Resuelva la ecuación 2sen2x =4cos x –senx+1 Halle sus raíces en el intervalo [/2; 3/2]

29. Selecciona las raíces usando un círculo

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Para resolver con éxito ecuaciones trigonométricas conveniente de usar método de reducción a problemas previamente resueltos. Veamos cuál es la esencia de este método.

En cualquier problema propuesto, debe ver el problema resuelto previamente y luego, utilizando transformaciones equivalentes sucesivas, intente reducir el problema que se le ha presentado a uno más simple.

Entonces, al resolver ecuaciones trigonométricas, generalmente forman una secuencia finita de ecuaciones equivalentes, cuyo último eslabón es una ecuación con una solución obvia. Solo es importante recordar que si no se forman las habilidades para resolver las ecuaciones trigonométricas más simples, resolver ecuaciones más complejas será difícil e ineficaz.

Además, al resolver ecuaciones trigonométricas, nunca debe olvidarse de la posibilidad de que existan varias soluciones.

Ejemplo 1. Encuentra el número de raíces de la ecuación cos x = -1/2 en el intervalo.

Solución:

yo camino Tracemos las gráficas de las funciones y = cos x y y = -1/2 y encontremos el número de sus puntos comunes en el intervalo (Fig. 1).

Dado que las gráficas de funciones tienen dos puntos comunes en el intervalo, la ecuación contiene dos raíces en este intervalo.

Yo camino. Usando el círculo trigonométrico (Fig. 2), encontramos el número de puntos que pertenecen al intervalo en el que cos x = -1/2. La figura muestra que la ecuación tiene dos raíces.

Vía III. Usando la fórmula de las raíces de la ecuación trigonométrica, resolvemos la ecuación cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k es un número entero (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k es un número entero (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k es un número entero (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k es un número entero (k € Z).

Las raíces 2π/3 y -2π/3 + 2π pertenecen al intervalo, k es un número entero. Por lo tanto, la ecuación tiene dos raíces en un intervalo dado.

Respuesta: 2.

En el futuro, las ecuaciones trigonométricas serán resueltas por uno de los métodos propuestos, lo que en muchos casos no excluye el uso de otros métodos.

Ejemplo 2. Encontrar el número de soluciones de la ecuación tg (x + π/4) = 1 en el intervalo [-2π; 2π].

Solución:

Usando la fórmula de las raíces de la ecuación trigonométrica, obtenemos:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k es un número entero (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k es un número entero (k € Z);

x = πk, k es un número entero (k € Z);

El intervalo [-2π; 2π] pertenecen a los números -2π; -π; 0; π; 2π. Entonces, la ecuación tiene cinco raíces en un intervalo dado.

Respuesta: 5.

Ejemplo 3. Hallar el número de raíces de la ecuación cos 2 x + sen x cos x = 1 en el intervalo [-π; π].

Solución:

Dado que 1 = sen 2 x + cos 2 x (identidad trigonométrica básica), la ecuación original se convierte en:

cos 2 x + sen x cos x = sen 2 x + cos 2 x;

sen 2 x - sen x cos x \u003d 0;

sen x(sen x - cos x) = 0. El producto es igual a cero, lo que significa que al menos uno de los factores debe ser igual a cero, por lo tanto:

sen x \u003d 0 o sen x - cos x \u003d 0.

Dado que el valor de la variable, en el que cos x = 0, no son las raíces de la segunda ecuación (el seno y el coseno del mismo número no pueden ser iguales a cero al mismo tiempo), dividimos ambas partes de la segunda ecuación por cos x:

sen x = 0 o sen x / cos x - 1 = 0.

En la segunda ecuación, usamos el hecho de que tg x = sen x / cos x, entonces:

sin x = 0 o tg x = 1. Usando fórmulas, tenemos:

x = πk o x = π/4 + πk, k es un número entero (k € Z).

De la primera serie de raíces al intervalo [-π; π] pertenecen a los números -π; 0; π. De la segunda serie: (π/4 – π) y π/4.

Así, las cinco raíces de la ecuación original pertenecen al intervalo [-π; π].

Respuesta: 5.

Ejemplo 4. Encontrar la suma de las raíces de la ecuación tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 en el intervalo [-π; 1.1π].

Solución:

Reescribamos la ecuación de la siguiente forma:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 y hacer un cambio.

Sea tg x + сtgx = a. Elevemos al cuadrado ambos lados de la ecuación:

(tg x + сtg x) 2 = un 2 . Expandamos los paréntesis:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = un 2 .

Dado que tg x сtgx \u003d 1, entonces tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, lo que significa

tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.

Ahora la ecuación original se ve así:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Usando el teorema de Vieta, obtenemos que a = -1 o a = -2.

Haciendo la sustitución inversa, tenemos:

tg x + сtgx = -1 o tg x + сtgx = -2. Resolvamos las ecuaciones obtenidas.

tgx + 1/tgx = -1 o tgx + 1/tgx = -2.

Por la propiedad de dos números mutuamente recíprocos, determinamos que la primera ecuación no tiene raíces, y de la segunda ecuación tenemos:

tg x = -1, es decir x = -π/4 + πk, k es un número entero (k ∈ Z).

El intervalo [-π; 1,1π] las raíces pertenecen: -π/4; -π/4 + π. Su suma:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Respuesta: π/2.

Ejemplo 5. Hallar la media aritmética de las raíces de la ecuación sen 3x + sen x = sen 2x en el intervalo [-π; 0.5π].

Solución:

Usamos la fórmula sen α + sen β = 2 sen ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), entonces

sen 3x + sen x = 2 sen ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2 sen 2x cos x y la ecuación se convierte en

2sen 2x cos x = sen 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Sacamos el factor común sin 2x entre paréntesis

sen 2x(2cos x - 1) = 0. Resolvamos la ecuación resultante:

sin 2x \u003d 0 o 2cos x - 1 \u003d 0;

sen 2x = 0 o cos x = 1/2;

2x = πk o x = ±π/3 + 2πk, k es un número entero (k € Z).

Así tenemos raíces

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k es un número entero (k ∈ Z).

El intervalo [-π; 0.5π] pertenecen a las raíces -π; -π/2; 0; π/2 (de la primera serie de raíces); π/3 (de la segunda serie); -π/3 (de la tercera serie). Su media aritmética es:

(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.

Respuesta: -π/6.

Ejemplo 6. Encontrar el número de raíces de la ecuación sen x + cos x = 0 en el intervalo [-1.25π; 2π].

Solución:

Esta ecuación es una ecuación homogénea de primer grado. Dividamos sus dos partes por cosx (el valor de la variable, en el que cos x = 0, no son las raíces de esta ecuación, ya que el seno y el coseno del mismo número no pueden ser iguales a cero al mismo tiempo). La ecuación original se ve así:

x = -π/4 + πk, k es un número entero (k ∈ Z).

Brecha [-1.25π; 2π] tienen raíces -π/4; (-π/4 + π); y (-π/4 + 2π).

Así, tres raíces de la ecuación pertenecen al intervalo dado.

Respuesta: 3.

Aprenda a hacer lo más importante: presentar claramente un plan para resolver el problema, y ​​luego cualquier ecuación trigonométrica estará sobre su hombro.

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¡A sus órdenes!

13. Resuelve la ecuación 3-4cos 2 x=0. Encuentra la suma de sus raíces pertenecientes al intervalo .

Bajemos el grado del coseno por la fórmula: 1+cos2α=2cos 2 α. Obtenemos una ecuación equivalente:

3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Dividimos ambos lados de la ecuación por (-2) y obtenemos la ecuación trigonométrica más simple:

14. Encuentre la progresión geométrica b 5 si b 4 =25 y b 6 =16.

Cada miembro de la progresión geométrica, a partir del segundo, es igual a la media aritmética de los miembros adyacentes:

(segundo norte) 2 = segundo norte-1 ∙b norte+1 . Tenemos (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25 16 ⇒ b 5 =±5 4 ⇒ b 5 =±20.

15. Encuentra la derivada de la función: f(x)=tgx-ctgx.

16. Encuentra los valores mayor y menor de la función y(x)=x 2 -12x+27

en el segmento.

Para encontrar los valores mayor y menor de una función y=f(x) en el segmento, debe encontrar los valores de esta función en los extremos del segmento y en los puntos críticos que pertenecen a este segmento, y luego elegir el mayor y el menor de todos los valores obtenidos.

Encontremos los valores de la función en x=3 y en x=7, es decir en los extremos del segmento.

y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;

y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.

Encuentra la derivada de esta función: y'(x)=(x 2 -12x+27)' =2x-12=2(x-6); el punto crítico x=6 pertenece al intervalo dado. Encuentra el valor de la función en x=6.

y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. Y ahora elegimos entre los tres valores obtenidos: 0; -8 y -9 son los más grandes y los más pequeños: como mucho. =0; en la contratación =-9.

17. Encuentre la forma general de antiderivadas para la función:

Este intervalo es el dominio de definición de esta función. Las respuestas deben comenzar con F(x), no con f(x) porque estamos buscando una antiderivada. Por definición, la función F(x) es antiderivada de la función f(x) si se cumple la igualdad: F’(x)=f(x). Entonces puedes encontrar derivadas de las respuestas propuestas hasta que obtengas esta función. Una solución estricta es el cálculo de la integral de una función dada. Aplicamos fórmulas:

19. Compón la ecuación de una recta que contenga la mediana BD del triángulo ABC si sus vértices son A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6).

Para compilar la ecuación de una línea recta, necesitas saber las coordenadas de 2 puntos de esta línea recta, y solo sabemos las coordenadas del punto B. Como la mediana BD divide el lado opuesto por la mitad, el punto D es el punto medio del segmento AC. Los puntos medios de un segmento son las semisumas de las coordenadas correspondientes de los extremos del segmento. Encontremos las coordenadas del punto D.

20. Calcular:

24. El área de un triángulo regular en la base de un prisma recto es

Este problema es el inverso del problema 24 de la opción 0021.

25. Encuentra un patrón e inserta el número que falta: 1; 4; nueve; dieciséis; …

Obviamente este numero 25 , ya que se nos da una sucesión de cuadrados de números naturales:

1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …

¡Buena suerte y éxito a todos!