Centrado en un punto A.
α
es un ángulo expresado en radianes.
Definición
Seno es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto opuesto |BC| a la longitud de la hipotenusa |AC|.
Coseno (cos α) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente |AB| a la longitud de la hipotenusa |AC|.
Designaciones aceptadas
;
;
.
;
;
.
Gráfico de la función seno, y = sen x
Gráfico de la función coseno, y = cos x
Propiedades del seno y el coseno
Periodicidad
Funciones y= pecado x y y= porque x periódico con un punto 2pi.
Paridad
La función seno es impar. La función coseno es par.
Dominio de definición y valores, extremos, aumento, disminución
Las funciones seno y coseno son continuas en su dominio de definición, es decir, para todo x (ver la prueba de continuidad). Sus principales propiedades se presentan en la tabla (n - entero).
| y= pecado x | y= porque x | |
| Alcance y continuidad | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Rango de valores | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| ascendente | ||
| Descendente | ||
| Máximos, y= 1 | ||
| Mínimos, y = - 1 | ||
| ceros, y= 0 | ||
| Puntos de intersección con el eje y, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Fórmulas básicas
Suma de seno y coseno al cuadrado
Fórmulas de seno y coseno para suma y diferencia
;
;
Fórmulas para el producto de senos y cosenos
Fórmulas de suma y diferencia
Expresión de seno a través de coseno
;
;
;
.
Expresión de coseno a través de seno
;
;
;
.
Expresión en términos de tangente
; .
Para , tenemos:
;
.
En :
;
.
Tabla de senos y cosenos, tangentes y cotangentes
Esta tabla muestra los valores de senos y cosenos para algunos valores del argumento. 
Expresiones a través de variables complejas
;
fórmula de Euler
Expresiones en términos de funciones hiperbólicas
;
;
Derivados
; . Derivación de fórmulas > > >
Derivadas de orden n:
{ -∞ <
x < +∞ }
secante, cosecante
funciones inversas
funciones inversas al seno y al coseno son el arcoseno y el arcocoseno, respectivamente.
Arcoseno, arcoseno
arcocoseno, arccos
Referencias:
EN. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes de Instituciones de Educación Superior, Lan, 2009.
>> Periodicidad de las funciones y = sen x, y = cos x
§ 11. Periodicidad de las funciones y \u003d sen x, y \u003d cos x
En los párrafos anteriores, hemos utilizado siete propiedades funciones: dominio de definición, par o impar, monotonicidad, acotación, valores máximos y mínimos, continuidad, rango de funciones. Usamos estas propiedades para construir un gráfico de función (como fue, por ejemplo, en § 9), o para leer el gráfico construido (como fue, por ejemplo, en § 10). Ahora ha llegado un momento favorable para introducir una (octava) propiedad más de las funciones, que es perfectamente visible en la construcción anterior. gráficos funciones y \u003d sin x (ver Fig. 37), y \u003d cos x (ver Fig. 41).
Definición. Una función se llama periódica si existe un número T distinto de cero tal que para cualquier x de los conjuntos, el doble igualdad:
El número T que satisface la condición indicada se denomina período de la función y \u003d f (x).
Se sigue que, dado que para cualquier x, las igualdades son verdaderas:
entonces las funciones y \u003d sen x, y \u003d cos x son periódicas y el número 2 PAGS sirve como periodo de ambas funciones.
La periodicidad de una función es la octava propiedad prometida de las funciones.
Ahora mire el gráfico de la función y \u003d sen x (Fig. 37). Para construir una sinusoide, basta con construir una de sus ondas (en un segmento y luego desplazar esta onda a lo largo del eje x por Como resultado, usando una onda, construiremos el gráfico completo.
Miremos desde el mismo punto de vista el gráfico de la función y \u003d cos x (Fig. 41). Vemos que aquí también, para trazar un gráfico, es suficiente trazar primero una onda (por ejemplo, en el segmento
Y luego muévelo a lo largo del eje x por
Resumiendo, llegamos a la siguiente conclusión.
Si la función y \u003d f (x) tiene un período T, entonces para trazar el gráfico de la función, primero debe trazar una rama (onda, parte) del gráfico en cualquier intervalo de longitud T (la mayoría de las veces, toman un intervalo con extremos en puntos y luego desplazar esta rama a lo largo del eje x hacia la derecha y hacia la izquierda a T, 2T, ZT, etc.
Una función periódica tiene infinitos períodos: si T es un período, entonces 2T es un período, 3T es un período y -T es un período; en general, un período es cualquier número de la forma KT, donde k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Por lo general, si es posible, intentan destacar el período positivo más pequeño, se llama período principal.
Entonces, cualquier número de la forma 2pc, donde k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, es el período de las funciones y \u003d sinn x, y \u003d cos x; 2p es el período principal de ambas funciones.
Ejemplo. Encuentre el período principal de una función:
a) Sea T el período principal de la función y \u003d sin x. Pongamos
Para que el número T sea el período de la función, debe cumplirse la identidad Ho, ya que estamos hablando de encontrar el período principal, obtenemos
B) Sea T el periodo principal de la función y = cos 0.5x. Sea f(x)=cos 0.5x. Entonces f (x + T) \u003d cos 0.5 (x + T) \u003d cos (0.5x + 0.5 T).
Para que el número T sea el período de la función, se debe satisfacer la identidad cos (0.5x + 0.5T) = cos 0.5x.
Entonces, 0.5t = 2pp. Pero como estamos hablando de encontrar el período principal, obtenemos 0.5T = 2 l, T = 4l.
Una generalización de los resultados obtenidos en el ejemplo es la siguiente declaración: período principal de la función 
AG Álgebra de Mordkovich Grado 10
Contenido de la lección resumen de la lección marco de apoyo lección presentación métodos acelerativos tecnologías interactivas Práctica tareas y ejercicios autoexamen talleres, capacitaciones, casos, búsquedas deberes preguntas de discusión preguntas retóricas de los estudiantes Ilustraciones audio, video clips y multimedia fotografías, imágenes gráficas, tablas, esquemas de humor, anécdotas, chistes, cómics, parábolas, refranes, crucigramas, citas Complementos resúmenes artículos fichas para inquisitivos chuletas libros de texto básicos y adicionales glosario de términos otros Mejorar los libros de texto y las lecciones.corregir errores en el libro de texto actualizar un fragmento en el libro de texto elementos de innovación en la lección reemplazar el conocimiento obsoleto por otros nuevos Solo para profesores lecciones perfectas plan de calendario para el año pautas programas de debate Lecciones integradasPropósito: generalizar y sistematizar el conocimiento de los estudiantes sobre el tema "Periodicidad de las funciones"; formar habilidades para aplicar las propiedades de una función periódica, encontrar el período positivo más pequeño de una función, trazar funciones periódicas; promover el interés por el estudio de las matemáticas; cultivar la observación, la precisión.
Equipo: computadora, proyector multimedia, tarjetas de tareas, diapositivas, relojes, mesas de adorno, elementos de artesanía popular.
“Las matemáticas son lo que la gente usa para controlar la naturaleza y a sí mismos”
UN. Kolmogorov
durante las clases
I. Etapa organizativa.
Comprobación de la preparación de los estudiantes para la lección. Presentación del tema y objetivos de la lección.
II. Comprobación de la tarea.
Verificamos la tarea de acuerdo con muestras, discutimos los puntos más difíciles.
tercero Generalización y sistematización del conocimiento.
1. Trabajo frontal oral.
Cuestiones de teoría.
1) Formar la definición del periodo de la función
2) ¿Cuál es el período positivo más pequeño de las funciones y=sin(x), y=cos(x)
3). ¿Cuál es el período positivo más pequeño de las funciones y=tg(x), y=ctg(x)
4) Usa el círculo para probar la corrección de las relaciones:
y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z
sin(x+2π n)=senx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, norte ∈ Z
5) ¿Cómo trazar una función periódica?
ejercicios orales.
1) Demostrar las siguientes relaciones
a) pecado(740º) = pecado(20º)
B) coseno(54º) = coseno(-1026º)
C) pecado(-1000º) = pecado(80º )
2. Demostrar que el ángulo de 540º es uno de los periodos de la función y= cos(2x)
3. Demostrar que el ángulo de 360º es uno de los periodos de la función y=tg(x)
4. Transforma estas expresiones para que los ángulos incluidos en ellas no superen los 90º en valor absoluto.
a) tg375º
B) ctg530º
C) pecado1268º
D) cos(-7363º)
5. ¿Dónde te encontraste con las palabras PERÍODO, PERIODICIDAD?
Respuestas de los alumnos: Un período en la música es una construcción en la que se enuncia un pensamiento musical más o menos completo. Período geológico- parte de una era y se divide en épocas con un período de 35 a 90 millones de años.
La vida media de una sustancia radiactiva. Fracción periódica. Los periódicos son publicaciones impresas que aparecen en fechas estrictamente definidas. sistema periodico Mendeleev.
6. Las figuras muestran partes de las gráficas de funciones periódicas. Defina el período de la función. Determine el período de la función.
Respuesta: T=2; T=2; T=4; T=8.
7. ¿En qué parte de su vida se ha encontrado con la construcción de elementos repetitivos?
Los estudiantes responden: Elementos de ornamentos, arte popular.
IV. Resolución colectiva de problemas.
(Resolución de problemas en diapositivas).
Consideremos una de las formas de estudiar una función para la periodicidad.
Este método pasa por alto las dificultades asociadas con la demostración de que uno u otro período es el más pequeño, y tampoco hay necesidad de abordar cuestiones sobre operaciones aritméticas en funciones periódicas y sobre la periodicidad de una función compleja. El razonamiento se basa únicamente en la definición de una función periódica y en el siguiente hecho: si T es el período de la función, entonces nT(n? 0) es su período.
Problema 1. Encuentra el periodo positivo más pequeño de la función f(x)=1+3(x+q>5)
Solución: Supongamos que el período T de esta función. Entonces f(x+T)=f(x) para todo x ∈ D(f), es decir
1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)
Sea x=-0.25 obtenemos
(T)=0<=>T=n, n ∈ Z
Hemos obtenido que todos los periodos de la función considerada (si es que existen) están entre enteros. Elija entre estos números el número positivo más pequeño. Esta 1 . Vamos a comprobar si en realidad es un período 1 .
f(x+1)=3(x+1+0.25)+1
Dado que (T+1)=(T) para cualquier T, entonces f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), es decir 1 - período f. Como 1 es el menor de todos los enteros positivos, entonces T=1.
Tarea 2. Muestre que la función f(x)=cos 2 (x) es periódica y encuentre su período principal.
Tarea 3. Encuentra el período principal de la función
f(x)=sen(1.5x)+5cos(0.75x)
Supongamos el período T de la función, entonces para cualquier X el radio
sen1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sen(1.5x)+5cos(0.75x)
Si x=0 entonces
sen(1.5T)+5cos(0.75T)=sen0+5cos0
sen(1.5T)+5cos(0.75T)=5
Si x=-T, entonces
sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)
5= - sen(1.5T)+5cos(0.75T)
| sen(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sen(1.5Т)+5cos(0.75Т)=5 |
Sumando, obtenemos:
10cos(0.75T)=10
2π n, n € Z
Elijamos de todos los números "sospechosos" para el período el positivo más pequeño y verifiquemos si es un período para f. Este número
f(x+)=sen(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)=sen(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)
Por lo tanto, es el período principal de la función f.
Tarea 4. Comprobar si la función f(x)=sin(x) es periódica
Sea T el periodo de la función f. Entonces para cualquier x
sen|x+T|=sen|x|
Si x=0, entonces sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.
Suponer. Que para algún n el número π n es un periodo
función considerada π n>0. Entonces sin|π n+x|=sin|x|
Esto implica que n debe ser par e impar al mismo tiempo, lo cual es imposible. Por lo tanto, esta función no es periódica.
Tarea 5. Comprobar si la función es periódica
f(x)= 
Sea T el periodo f, entonces
, por lo tanto senT=0, T=π n, n € Z. Supongamos que para algún n el número π n es de hecho el período de la función dada. Entonces el número 2π n también será un período
Como los numeradores son iguales, también lo son sus denominadores, entonces
Por lo tanto, la función f no es periódica.
Trabajo en equipo.
Tareas para el grupo 1.
Tareas para el grupo 2.
Comprueba si la función f es periódica y encuentra su período principal (si existe).
f(x)=cos(2x)+2sen(2x)
Tareas para el grupo 3.
Al final del trabajo, los grupos presentan sus soluciones.
VI. Resumiendo la lección.
Reflexión.
El maestro les da a los estudiantes tarjetas con dibujos y se ofrece a pintar sobre parte del primer dibujo de acuerdo con la medida en que, según les parece, han dominado los métodos de estudio de la función por periodicidad, y en parte del segundo dibujo. , de acuerdo con su contribución al trabajo en la lección.
VIII. Tarea
una). Compruebe si la función f es periódica y encuentre su período principal (si existe)
B). f(x)=x 2 -2x+4
C). f(x)=2tg(3x+5)
2). La función y=f(x) tiene un periodo T=2 y f(x)=x 2 +2x para x € [-2; 0]. Encuentra el valor de la expresión -2f(-3)-4f(3,5)
Literatura/
- Mordkovich A.G.Álgebra y el comienzo del análisis con estudio en profundidad.
- Matemáticas. Preparación para el examen. ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
- Sheremetyeva T.G. , Tarasova E. A.Álgebra y análisis inicial para los grados 10-11.
Un número T tal que para cualquier x F(x + T) = F(x). Este número T se llama el período de la función.
Puede haber varios periodos. Por ejemplo, la función F = const toma el mismo valor para cualquier valor del argumento y, por lo tanto, cualquier número puede considerarse su período.
Por lo general, está interesado en el período distinto de cero más pequeño de la función. Por brevedad, se le llama simplemente un período.
Un ejemplo clásico de funciones periódicas es la trigonométrica: seno, coseno y tangente. Su periodo es el mismo e igual a 2π, es decir, sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) y así sucesivamente. Sin embargo, por supuesto, las funciones trigonométricas no son las únicas periódicas.
Con respecto a las funciones básicas simples, la única forma de establecer su periodicidad o no periodicidad es a través de cálculos. Pero para funciones complejas ya hay varios reglas simples.
Si F(x) es de periodo T, y se define una derivada para ella, entonces esta derivada f(x) = F′(x) es también una función periódica de periodo T. Después de todo, el valor de la derivada en el el punto x es igual a la tangente de la tangente de la gráfica de su antiderivada en este punto al eje x, y como se repite periódicamente, debe repetirse. Por ejemplo, la derivada de la función sen(x) es cos(x) y es periódica. Tomando la derivada de cos(x) te da -sin(x). La periodicidad se mantiene sin cambios.
Sin embargo, lo contrario no siempre es cierto. Así, la función f(x) = const es periódica, pero su antiderivada F(x) = const*x + C no lo es.
Si F(x) es una función periódica con período T, entonces G(x) = a*F(kx + b), donde a, b y k son constantes y k no es igual a cero, también una función periódica, y su periodo es T/k. Por ejemplo, sin(2x) es una función periódica y su período es π. Visualmente, esto se puede representar de la siguiente manera: al multiplicar x por algún número, se comprimen las funciones horizontalmente exactamente tantas veces
Si F1(x) y F2(x) son funciones periódicas y sus períodos son iguales a T1 y T2, respectivamente, entonces la suma de estas funciones también puede ser periódica. Sin embargo, su período no será una simple suma de los períodos T1 y T2. Si el resultado de la división T1/T2 es número racional, entonces la suma de las funciones es periódica, y su periodo es igual al mínimo común múltiplo (MCM) de los periodos T1 y T2. Por ejemplo, si el período de la primera función es 12 y el período de la segunda es 15, entonces el período de su suma será MCM (12, 15) = 60.
Visualmente, esto se puede representar de la siguiente manera: las funciones vienen con diferentes "anchos de paso", pero si la relación de sus anchos es racional, entonces más pronto o (más precisamente, a través del MCM de pasos), volverán a ser iguales, y su suma comenzará un nuevo período.
Sin embargo, si la razón de períodos , entonces la función total no será periódica en absoluto. Por ejemplo, sea F1(x) = x mod 2 (el resto de x dividido por 2) y F2(x) = sin(x). T1 aquí será igual a 2, y T2 es igual a 2π. La razón del período es π - numero irracional. Por tanto, la función sen(x) + x mod 2 no es periódica.
Fuentes:
- Teoría de funciones
Muchas funciones matemáticas tienen una característica que facilita su construcción: esta es periodicidad, es decir, la repetibilidad del gráfico en la cuadrícula de coordenadas a intervalos regulares.
Instrucción
Las funciones periódicas más conocidas de las matemáticas son la sinusoide y la onda coseno. Estas funciones tienen un período ondulatorio y básico igual a 2P. También un caso especial de una función periódica es f(x)=const. Cualquier número es adecuado para la posición x, esta función no tiene un punto principal, ya que es una línea recta.
En general, una función es periódica si hay un número entero N que no es cero y cumple la regla f(x)=f(x+N), asegurando así la repetibilidad. El período de la función es el número N más pequeño, pero no cero. Es decir, por ejemplo, la función sin x es igual a la función sin (x + 2PN), donde N \u003d ± 1, ± 2, etc.
A veces, una función puede tener un multiplicador (por ejemplo, sen 2x), que aumentará o disminuirá el período de la función. Para encontrar el periodo
La lección en video "Periodicidad de las funciones y \u003d sen x, y \u003d cos x" revela el concepto de periodicidad de una función, considera una descripción de ejemplos de resolución de problemas que utilizan el concepto de periodicidad de una función. Esta lección en video es una ayuda visual para explicar el tema a los estudiantes. Además, este manual puede convertirse en una parte independiente de la lección, liberando al maestro para el trabajo individual con los estudiantes.
La visibilidad en la presentación de este tema es muy importante. Para representar el comportamiento de una función, graficando, se debe visualizar. No siempre es posible realizar construcciones con pizarra y tiza de forma que sean comprensibles para todos los alumnos. En el video tutorial, es posible, al construir, resaltar partes de la imagen con color, realizar transformaciones usando animación. Por lo tanto, las construcciones se vuelven más comprensibles para la mayoría de los estudiantes. Además, las posibilidades de la lección en video contribuyen a una mejor memorización del material.
La demostración comienza introduciendo el tema de la lección, así como recordando a los estudiantes el material aprendido en lecciones anteriores. En particular, se resume la lista de propiedades que se han identificado en las funciones y = sen x, así como y = cos x. Entre las propiedades de las funciones consideradas, se observan el dominio de definición, el rango de valores, la uniformidad (rareza), otras características: limitación, monotonicidad, continuidad, puntos del valor más pequeño (mayor). Se informa a los estudiantes que en esta lección se estudia una propiedad más de una función: la periodicidad.
Se presenta la definición de una función periódica y=f(x), donde xϵX, en la que se cumple la condición f(x-Т)= f(x)= f(x+Т) para algún Т≠0. De lo contrario, el número T se llama período de la función.
Para las funciones seno y coseno consideradas, el cumplimiento de la condición se verifica mediante las fórmulas de reducción. Es obvio que la forma de la identidad sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) corresponde a la forma de la expresión que define la condición para la periodicidad de la función. La misma igualdad se puede observar para coseno coseno(x-2π)= cos x= cos (x+2π). Por lo tanto, estas funciones trigonométricas son periódicas.
Se observa además cómo la propiedad de periodicidad ayuda a trazar funciones periódicas. Se considera la función y \u003d sen x. Se construye un plano de coordenadas en la pantalla, en el que las abscisas de -6π a 8π están marcadas con un paso de π. Una parte del gráfico de seno se traza en el plano, representado por una onda en el segmento. La figura muestra cómo se forma la gráfica de la función en todo el dominio de definición desplazando el fragmento construido y obteniendo una sinusoide larga.
Se construye un gráfico de la función y \u003d cos x utilizando la propiedad de su periodicidad. Para hacer esto, se construye un plano de coordenadas en la figura, en el que se representa un fragmento del gráfico. Se observa que, por lo general, dicho fragmento se construye en el intervalo [-π/2;3π/2]. Similar al gráfico de la función seno, la construcción del gráfico coseno se realiza desplazando el fragmento. Como resultado de la construcción, se forma una sinusoide larga.
Trazar una función periódica tiene características que se pueden usar. Por lo tanto, se dan en forma generalizada. Se observa que para construir un gráfico de tal función, primero se construye una rama del gráfico en un cierto intervalo de longitud T. Luego es necesario desplazar la rama construida hacia la derecha y hacia la izquierda por T, 2T, 3T, etc al mismo tiempo, se señala una característica más del período: para cualquier número entero k≠0, el número kT es también el período de la función. Sin embargo, T se llama el período principal, ya que es el más pequeño de todos. Para funciones trigonométricas seno y coseno, el período principal es 2π. Sin embargo, 4π, 6π, etc. también son períodos.
Además, se propone considerar encontrar el período principal de la función y \u003d cos 5x. La solución comienza con la suposición de que T es el período de la función. Por tanto, es necesario cumplir la condición f(x-T)= f(x)= f(x+T). En esta identidad, f (x) \u003d cos 5x, y f (x + T) \u003d cos 5 (x + T) \u003d cos (5x + 5T). En este caso, cos (5x + 5T) \u003d cos 5x, por lo tanto 5T \u003d 2πn. Ahora podemos encontrar Т=2π/5. Problema resuelto.
En la segunda tarea, es necesario encontrar el período principal de la función y=sin(2x/7). Se supone que el periodo principal de la función T. para esta función f(x)= sin(2x/7), y después del periodo f(x+T)=sin(2x/7)(x+T)= sen(2x/7 +(2/7)T). después de la reducción obtenemos (2/7)T=2πn. Sin embargo, necesitamos encontrar el período principal, así que tomamos el valor más pequeño (2/7)T=2π, de donde encontramos T=7π. Problema resuelto.
Al final de la demostración, se resumen los resultados de los ejemplos, formando una regla para determinar el período principal de la función. Se observa que para las funciones y=sinkx e y=coskx los periodos principales son 2π/k.
La lección en video "Periodicidad de las funciones y \u003d sin x, y \u003d cos x" se puede usar en una lección de matemáticas tradicional para aumentar la efectividad de la lección. Además, este material se recomienda para el uso de un maestro que la educación a distancia para mejorar la claridad de la explicación. El video se puede recomendar al estudiante rezagado para profundizar la comprensión del tema.
INTERPRETACIÓN DEL TEXTO:
"Periodicidad de las funciones y = cos x, y = sen x".
Para graficar las funciones y = sen x e y = cos x, se usaron las propiedades de las funciones:
1 Alcance,
2 área de valor,
3 par o impar,
4 monotonía,
5 limitación,
6 continuidad,
7 valor mayor y menor.
Hoy estudiaremos una propiedad más: la periodicidad de una función.
DEFINICIÓN. La función y \u003d f (x), donde x ϵ X (y es igual a eff de x, donde x pertenece al conjunto x), se llama periódica si existe un número T distinto de cero tal que para cualquier x de el conjunto X la doble igualdad es verdadera: f (x - T) \u003d f (x) \u003d f (x + T) (ef de x menos te es igual a ef de x y es igual a ef de x más te ). El número T que satisface esta doble igualdad se llama periodo de la función
Y como el seno y el coseno están definidos en toda la recta numérica y para cualquier x se cumplen las igualdades sen (x - 2π) = sen x = sen (x + 2π) (el seno de x menos dos pi es igual al seno de x y es igual al seno de x más dos pi ) y
cos (x- 2π)= cos x = cos (x+ 2π) (el coseno de x menos dos pi es igual al coseno de x y es igual al coseno de x más dos pi), entonces seno y coseno son funciones periódicas con un periodo de 2π.
La periodicidad le permite trazar rápidamente un gráfico de función. De hecho, para trazar la función y \u003d sin x, es suficiente trazar una onda (la mayoría de las veces en un segmento (de cero a dos pi), y luego desplazar la parte construida del gráfico a lo largo del eje de abscisas a la derecha y la izquierda por 2π, luego por 4π y así sucesivamente para obtener una onda sinusoidal.
(muestra el desplazamiento a la izquierda y a la derecha en 2π, 4π)
Análogamente para la gráfica de la función
y \u003d cos x, solo construimos una onda con mayor frecuencia en el segmento [; ] (de menos pi por dos a tres pi por dos).
Resumamos lo que se dijo anteriormente y saquemos una conclusión: para trazar un gráfico de una función periódica con un período T, primero debe trazar una rama (u onda, o parte) del gráfico en cualquier intervalo de longitud T (la mayoría de las veces este es un intervalo con extremos en los puntos 0 y T o - y (menos te por dos y te por dos), y luego cambia esta rama a lo largo del eje x (x) a la derecha y a la izquierda por T, 2T, 3T, etc. .
Obviamente, si la función es periódica con periodo T, entonces para cualquier entero k0 (pero no cero) un número de la forma kT(ka te) es también el período de esta función. Por lo general, intentan aislar el período positivo más pequeño, que se denomina período principal.
Como el período de las funciones y \u003d cos x, y \u003d sin x, uno podría tomar - 4π, 4π, - 6π, 6π, etc. (menos cuatro pi, cuatro pi, menos seis pi, seis pi, y así sobre). Pero el número 2π es el período principal de ambas funciones.
Considere ejemplos.
EJEMPLO 1. Encuentre el período principal de la función y \u003d cos5x (y es igual al coseno de cinco x).
Solución. Sea T el periodo principal de la función y = cos5x. Pongamos
f (x) \u003d cos5x, luego f (x + T) \u003d cos5 (x + T) \u003d cos (5x + 5T) (ef de x más te es igual al coseno de cinco veces la suma de x y te es igual al coseno de la suma de cinco x y cinco te).
cos (5x + 5T) = cos5x. Por lo tanto, 5T= 2πn (cinco te es igual a dos pi en), pero según la condición, debe encontrar el período principal, lo que significa 5T= 2π. Obtenemos T=
(el periodo de esta función es dos pi dividido por cinco).
Respuesta: T=.
EJEMPLO 2. Encuentre el período principal de la función y \u003d sin (y es igual al seno del cociente de dos x por siete).
Solución. Sea T el período principal de la función y \u003d sin. Pongamos
f (x) \u003d sin, luego f (x + T) \u003d sin (x + T) \u003d sin (x + T) (ef de x más te es igual al seno del producto de dos séptimos y el suma de x y te es igual al seno de la suma de dos séptimos x y dos séptimos te).
Para que el número T sea el período de la función, se debe satisfacer la identidad
pecado (x + T) \u003d pecado. Por lo tanto, T= 2πn (dos séptimos te es igual a dos pi en), pero según la condición, debes encontrar el período principal, lo que significa que T= 2π. Obtenemos T=7
(el período de esta función es siete pi).
Respuesta: T=7.
Resumiendo los resultados obtenidos en los ejemplos, podemos concluir: el período principal de las funciones y \u003d sin kx o y \u003d cos kx (y es igual al seno ka x o y es igual al coseno ka x) es igual a ( dos pi dividido por ka).