En este artículo, mostraremos cómo definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de ángulo y número en trigonometría. Aquí hablaremos sobre notación, daremos ejemplos de registros, daremos ilustraciones gráficas. En conclusión, trazamos un paralelo entre las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente en trigonometría y geometría.
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Definición de seno, coseno, tangente y cotangente
Sigamos cómo se forma el concepto de seno, coseno, tangente y cotangente en el curso de matemáticas escolares. En las lecciones de geometría, se da la definición de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Y posteriormente se estudia la trigonometría, que se refiere al seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de giro y del número. Damos todas estas definiciones, damos ejemplos y damos los comentarios necesarios.
Ángulo agudo en un triángulo rectángulo
Del curso de geometría se conocen las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Se dan como la razón de los lados de un triángulo rectángulo. Te presentamos sus formulaciones.
Definición.
Seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa.
Definición.
Coseno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.
Definición.
Tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al cateto adyacente.
Definición.
Cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente al cateto opuesto.
Allí también se introduce la notación de seno, coseno, tangente y cotangente: sen, cos, tg y ctg, respectivamente.
Por ejemplo, si ABC es un triángulo rectángulo con un ángulo recto C, entonces el seno del ángulo agudo A es igual a la razón del cateto opuesto BC a la hipotenusa AB, es decir, sen∠A=BC/AB.
Estas definiciones le permiten calcular los valores de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo a partir de las longitudes conocidas de los lados de un triángulo rectángulo, así como a partir de los valores conocidos de seno, coseno, tangente, cotangente y la longitud de uno de los lados, hallar las longitudes de los otros lados. Por ejemplo, si supiéramos que en un triángulo rectángulo el cateto AC es 3 y la hipotenusa AB es 7 , entonces podríamos calcular el coseno del ángulo agudo A por definición: cos∠A=AC/AB=3/7 .
Ángulo de rotación
En trigonometría, comienzan a observar el ángulo de manera más amplia: introducen el concepto de ángulo de rotación. El ángulo de rotación, a diferencia de un ángulo agudo, no está limitado a marcos de 0 a 90 grados, el ángulo de rotación en grados (y en radianes) se puede expresar mediante cualquier número real de −∞ a +∞.
Bajo esta luz, las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente ya no son un ángulo agudo, sino un ángulo de magnitud arbitraria: el ángulo de rotación. Se dan a través de las coordenadas x e y del punto A 1 , al que pasa el llamado punto inicial A(1, 0) después de que gira un ángulo α alrededor del punto O, el comienzo de un sistema de coordenadas cartesiano rectangular y el centro del círculo unitario.
Definición.
Seno de ángulo de rotaciónα es la ordenada del punto A 1 , es decir, senα=y .
Definición.
coseno del ángulo de rotaciónα se llama la abscisa del punto A 1 , es decir, cosα=x .
Definición.
Tangente del ángulo de rotaciónα es el cociente entre la ordenada del punto A 1 y su abscisa, es decir, tgα=y/x .
Definición.
La cotangente del ángulo de rotación.α es la razón de la abscisa del punto A 1 a su ordenada, es decir, ctgα=x/y .
El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo α, ya que siempre podemos determinar la abscisa y la ordenada de un punto, que se obtiene girando el punto de partida el ángulo α. Y la tangente y la cotangente no están definidas para ningún ángulo. La tangente no está definida para aquellos ángulos α en los que el punto inicial va a un punto de abscisa cero (0, 1) o (0, −1) , y esto tiene lugar en los ángulos 90°+180° k , k∈Z (π /2+π krad). De hecho, para tales ángulos de rotación, la expresión tgα=y/x no tiene sentido, ya que contiene una división por cero. En cuanto a la cotangente, no está definida para tales ángulos α en los que el punto de partida va a un punto con ordenada cero (1, 0) o (−1, 0) , y este es el caso de los ángulos 180° k , k ∈Z (π k rad).
Entonces, el seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo de rotación, la tangente está definida para todos los ángulos excepto 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), y la cotangente es para todos los ángulos excepto 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).
Las notaciones que ya conocemos aparecen en las definiciones sin, cos, tg y ctg, también se utilizan para denotar el seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación (a veces se puede encontrar la notación tan y cot correspondiente a tangente y cotangente). Entonces el seno del ángulo de rotación de 30 grados se puede escribir como sen30°, los registros tg(−24°17′) y ctgα corresponden a la tangente del ángulo de rotación −24 grados 17 minutos y la cotangente del ángulo de rotación α . Recuerda que al escribir la medida de un ángulo en radianes, a menudo se omite la notación "rad". Por ejemplo, el coseno de un ángulo de rotación de tres pi rads generalmente se denota cos3 π.
Como conclusión de este párrafo, vale la pena señalar que al hablar sobre el seno, el coseno, la tangente y la cotangente del ángulo de rotación, a menudo se omite la frase "ángulo de rotación" o la palabra "rotación". Es decir, en lugar de la frase "seno del ángulo de rotación alfa", generalmente se usa la frase "seno del ángulo de alfa", o incluso más corto: "seno de alfa". Lo mismo se aplica al coseno, la tangente y la cotangente.
Digamos también que las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son consistentes con las definiciones recién dadas para el seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo de rotación que va de 0 a 90 grados Justificaremos esto.
Números
Definición.
Seno, coseno, tangente y cotangente de un número t es un número igual al seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación en t radianes, respectivamente.
Por ejemplo, el coseno de 8 π es, por definición, un número igual al coseno de un ángulo de 8 π rad. Y el coseno del ángulo es 8 π rad igual a uno, por lo tanto, el coseno del número 8 π es igual a 1 .
Hay otro enfoque para la definición del seno, coseno, tangente y cotangente de un número. Consiste en el hecho de que cada Número Real t se asigna a un punto en el círculo unitario centrado en el origen del sistema de coordenadas rectangulares, y el seno, el coseno, la tangente y la cotangente se definen en términos de las coordenadas de este punto. Detengámonos en esto con más detalle.
Mostremos cómo se establece la correspondencia entre los números reales y los puntos de la circunferencia:
- al número 0 se le asigna el punto de partida A(1, 0) ;
- un número positivo t está asociado con un punto en el círculo unitario, al que llegaremos si nos movemos alrededor del círculo desde el punto inicial en sentido antihorario y recorremos un camino de longitud t;
- numero negativo t corresponde a un punto de la circunferencia unitaria, al que llegaremos si recorremos la circunferencia desde el punto inicial en el sentido de las agujas del reloj y recorremos un camino de longitud |t| .
Ahora pasemos a las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente del número t. Supongamos que el número t corresponde a un punto del círculo A 1 (x, y) (por ejemplo, el número &pi/2; corresponde al punto A 1 (0, 1) ).
Definición.
El seno de un número t es la ordenada del punto del círculo unitario correspondiente al número t, es decir, sint=y.
Definición.
El coseno de un número t se llama abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t, es decir, cost=x.
Definición.
Tangente de un número t es la razón de la ordenada a la abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t, es decir, tgt=y/x. En otra formulación equivalente, la tangente del número t es la relación entre el seno de este número y el coseno, es decir, tgt=sint/cost.
Definición.
Cotangente de un numero t es la razón de la abscisa a la ordenada del punto del círculo unitario correspondiente al número t, es decir, ctgt=x/y. Otra formulación es la siguiente: la tangente del número t es la razón del coseno del número t al seno del número t: ctgt=cost/sint.
Aquí observamos que las definiciones que se acaban de dar concuerdan con la definición dada al comienzo de esta subsección. En efecto, el punto del círculo unitario correspondiente al número t coincide con el punto obtenido al girar el punto inicial un ángulo de t radianes.
También vale la pena aclarar este punto. Digamos que tenemos una entrada sin3. ¿Cómo entender si se trata del seno del número 3 o del seno del ángulo de rotación de 3 radianes? Esto suele quedar claro por el contexto; de lo contrario, probablemente no importe.
Funciones trigonométricas de argumento angular y numérico
De acuerdo con las definiciones dadas en el párrafo anterior, cada ángulo de rotación α corresponde a un valor bien definido de sen α , así como al valor de cos α . Además, todos los ángulos de rotación distintos de 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) corresponden a los valores tgα , y distintos de 180° k , k∈Z (π k rad ) son los valores de ctgα. Por lo tanto senα, cosα, tgα y ctgα son funciones del ángulo α. En otras palabras, estas son funciones del argumento angular.
Del mismo modo, podemos hablar de las funciones seno, coseno, tangente y cotangente de un argumento numérico. De hecho, cada número real t corresponde a un valor bien definido de sint , así como de cost . Además, todos los números que no sean π/2+π·k , k∈Z corresponden a los valores tgt , y los números π·k , k∈Z corresponden a los valores ctgt .
Las funciones seno, coseno, tangente y cotangente se denominan funciones trigonométricas básicas.
Por lo general, queda claro por el contexto que estamos tratando con funciones trigonométricas de un argumento angular o un argumento numérico. De lo contrario, podemos considerar la variable independiente como una medida del ángulo (el argumento del ángulo) y como un argumento numérico.
Sin embargo, la escuela estudia principalmente funciones numéricas, es decir, funciones cuyos argumentos, así como sus correspondientes valores de función, son números. Por lo tanto, si estamos hablando de funciones, entonces es recomendable considerar funciones trigonométricas Funciones de argumentos numéricos.
Conexión de definiciones de geometría y trigonometría.
Si consideramos el ángulo de rotación α de 0 a 90 grados, entonces los datos en el contexto de la trigonometría de la definición de seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación son totalmente consistentes con las definiciones de seno, coseno , tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, que se dan en el curso de geometría. Justifiquemos esto.
Dibujar en un rectángulo sistema cartesiano Oxy coordina el círculo unitario. Tenga en cuenta el punto de partida A(1, 0) . Girémoslo en un ángulo α que va de 0 a 90 grados, obtenemos el punto A 1 (x, y) . Dejemos caer la perpendicular A 1 H desde el punto A 1 al eje Ox.
Es fácil ver que en un triángulo rectángulo el ángulo A 1 OH es igual al ángulo de rotación α, la longitud del cateto OH adyacente a este ángulo es igual a la abscisa del punto A 1, es decir, |OH |=x, la longitud del cateto A 1 H opuesto al ángulo es igual a la ordenada del punto A 1 , es decir, |A 1 H|=y , y la longitud de la hipotenusa OA 1 es igual a uno , ya que es el radio del círculo unitario. Entonces, por definición de la geometría, el seno de un ángulo agudo α en un triángulo rectángulo A 1 OH es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa, es decir, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Y por definición de trigonometría, el seno del ángulo de rotación α es igual a la ordenada del punto A 1, es decir, senα=y. Esto demuestra que la definición del seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es equivalente a la definición del seno del ángulo de rotación α para α de 0 a 90 grados.
De manera similar, se puede demostrar que las definiciones de coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo α son consistentes con las definiciones de coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación α.
Bibliografía.
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- Álgebra y empezar Análisis matemático. Grado 10: libro de texto. para educación general instituciones: básico y perfil. niveles / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; edición A. B. Zhizhchenko. - 3ra ed. - I.: Educación, 2010. - 368 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
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- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemáticas (un manual para aspirantes a escuelas técnicas): Proc. subsidio.- M.; Más alto escuela, 1984.-351 p., il.
Le permite establecer una serie de resultados característicos - propiedades del seno, coseno, tangente y cotangente. En este artículo, veremos tres propiedades principales. El primero de ellos indica los signos del seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo α, según qué cuarto de ángulo coordenado sea α. A continuación, consideramos la propiedad de periodicidad, que establece la invariancia de los valores del seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo α cuando este ángulo cambia en un número entero de revoluciones. La tercera propiedad expresa la relación entre los valores del seno, coseno, tangente y cotangente de los ángulos opuestos α y −α.
Si está interesado en las propiedades de las funciones de seno, coseno, tangente y cotangente, puede estudiarlas en la sección correspondiente del artículo.
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Signos de seno, coseno, tangente y cotangente en cuartos
A continuación en este párrafo se encontrará la frase "ángulo I, II, III y IV del cuarto coordenado". Vamos a explicar qué son estos rincones.
Tomemos un círculo unitario, marquemos el punto inicial A(1, 0) en él y lo giremos alrededor del punto O en un ángulo α, mientras asumimos que llegamos al punto A 1 (x, y) .
Ellos dijeron eso el ángulo α es el ángulo I , II , III , IV del cuarto de coordenadas si el punto A 1 se encuentra en los trimestres I, II, III, IV, respectivamente; si el ángulo α es tal que el punto A 1 se encuentra en cualquiera de las líneas de coordenadas Ox u Oy , entonces este ángulo no pertenece a ninguno de los cuatro cuartos.
Para mayor claridad, presentamos una ilustración gráfica. Los dibujos a continuación muestran ángulos de rotación de 30, -210, 585 y -45 grados, que son los ángulos I, II, III y IV de los cuartos de coordenadas, respectivamente.
esquinas 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … grados no pertenecen a ninguno de los cuartos de coordenadas.
Ahora averigüemos qué signos tienen los valores de seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación α, dependiendo de qué cuarto de ángulo es α.
Para seno y coseno, esto es fácil de hacer.
Por definición, el seno del ángulo α es la ordenada del punto A 1 . Es obvio que en los cuartos de coordenadas I y II es positivo, y en los cuartos III y IV es negativo. Así, el seno del ángulo α tiene signo más en los cuartos I y II, y signo menos en los cuartos III y VI.
A su vez, el coseno del ángulo α es la abscisa del punto A 1 . En los trimestres I y IV es positivo, y en los trimestres II y III es negativo. Por lo tanto, los valores del coseno del ángulo α en los cuartos I y IV son positivos, y en los cuartos II y III son negativos.
Para determinar los signos por cuartos de tangente y cotangente, debe recordar sus definiciones: tangente es la relación entre la ordenada del punto A 1 y la abscisa, y cotangente es la relación entre la abscisa del punto A 1 y la ordenada. entonces desde reglas de división de números con lo mismo y diferentes signos se sigue que la tangente y la cotangente tienen signo más cuando los signos de abscisa y ordenada del punto A 1 son iguales, y tienen signo menos cuando los signos de abscisa y ordenada del punto A 1 son diferentes. Por lo tanto, la tangente y la cotangente del ángulo tienen un signo + en los cuartos de coordenadas I y III, y un signo menos en los cuartos II y IV.
Efectivamente, por ejemplo, en el primer cuarto, tanto la abscisa x como la ordenada y del punto A 1 son positivas, entonces tanto el cociente x/y como el cociente y/x son positivos, por lo tanto, la tangente y la cotangente tienen signos + . Y en el segundo cuarto, la abscisa x es negativa, y la ordenada y es positiva, por lo tanto, tanto x / y como y / x son negativas, por lo que la tangente y la cotangente tienen un signo menos.
Pasemos a la siguiente propiedad de seno, coseno, tangente y cotangente.
Propiedad de periodicidad
Ahora analizaremos, quizás, la propiedad más obvia del seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo. Consiste en lo siguiente: cuando el ángulo cambia en un número entero de vueltas completas, los valores del seno, coseno, tangente y cotangente de este ángulo no cambian.
Esto es comprensible: cuando el ángulo cambia en un número entero de revoluciones, siempre llegaremos del punto inicial A al punto A 1 en el círculo unitario, por lo tanto, los valores de seno, coseno, tangente y cotangente permanecen sin cambios, ya que las coordenadas del punto A 1 no cambian.
Usando fórmulas, la propiedad considerada de seno, coseno, tangente y cotangente se puede escribir de la siguiente manera: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα, ctg(α+2 π z)=ctgα, donde α es el ángulo de rotación en radianes, z es cualquiera, valor absoluto que indica el número de revoluciones completas por las que cambia el ángulo α, y el signo del número z indica el sentido de giro.
Si el ángulo de rotación α se expresa en grados, estas fórmulas se reescribirán como sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360° z)=ctgα .
Pongamos ejemplos del uso de esta propiedad. Por ejemplo, 
, porque 
, pero 
. Aquí hay otro ejemplo: o .
Esta propiedad, junto con las fórmulas de reducción, se usa con mucha frecuencia al calcular los valores del seno, coseno, tangente y cotangente de ángulos "grandes".
La propiedad considerada de seno, coseno, tangente y cotangente a veces se denomina propiedad de periodicidad.
Propiedades de senos, cosenos, tangentes y cotangentes de ángulos opuestos
Sea А 1 el punto obtenido como resultado de la rotación del punto inicial А(1, 0) alrededor del punto O por el ángulo α , y el punto А 2 es el resultado de la rotación del punto А por el ángulo −α opuesto al ángulo α .
La propiedad de senos, cosenos, tangentes y cotangentes de ángulos opuestos se basa en un hecho bastante obvio: los puntos A 1 y A 2 mencionados anteriormente o coinciden (en) o están ubicados simétricamente alrededor del eje Ox. Es decir, si el punto A 1 tiene coordenadas (x, y) , entonces el punto A 2 tendrá coordenadas (x, −y) . A partir de aquí, según las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente, anotamos las igualdades y.
Comparándolos llegamos a relaciones entre senos, cosenos, tangentes y cotangentes de ángulos opuestos α y −α de la forma .
Esta es la propiedad considerada en forma de fórmulas.
Pongamos ejemplos del uso de esta propiedad. Por ejemplo, las igualdades y 
.
Solo queda señalar que la propiedad de senos, cosenos, tangentes y cotangentes de ángulos opuestos, como la propiedad anterior, se usa a menudo al calcular los valores de seno, coseno, tangente y cotangente, y le permite escapar por completo desde ángulos negativos.
Bibliografía.
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Comenzamos nuestro estudio de trigonometría con un triángulo rectángulo. Definamos qué son el seno y el coseno, así como la tangente y la cotangente de un ángulo agudo. Estos son los fundamentos de la trigonometría.
Recordar que ángulo recto es un ángulo igual a 90 grados. En otras palabras, la mitad de la esquina desplegada.
Esquina filosa- menos de 90 grados.
Ángulo obtuso- mayor de 90 grados. En relación con tal ángulo, "contundente" no es un insulto, sino un término matemático :-)
Dibujemos un triángulo rectángulo. Generalmente se denota un ángulo recto. Tenga en cuenta que el lado opuesto a la esquina se denota con la misma letra, solo que pequeña. Entonces, se denota el lado opuesto al ángulo A.
Un ángulo se denota con la letra griega correspondiente.
Hipotenusa Un triángulo rectángulo es el lado opuesto al ángulo recto.
Piernas- lados opuestos esquinas agudas.
El cateto opuesto a la esquina se llama opuesto(relativo al ángulo). La otra pierna, que se encuentra a un lado de la esquina, se llama adyacente.
Seno El ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:
Cosenoángulo agudo en un triángulo rectángulo - la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Tangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el cateto opuesto y el adyacente:
Otra definición (equivalente): la tangente de un ángulo agudo es la relación entre el seno de un ángulo y su coseno:
Cotangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el cateto adyacente y el opuesto (o, de manera equivalente, la relación entre el coseno y el seno):
Preste atención a las proporciones básicas para seno, coseno, tangente y cotangente, que se dan a continuación. Nos serán útiles para resolver problemas.
Probemos algunos de ellos.
Bien, hemos dado definiciones y fórmulas escritas. Pero, ¿por qué necesitamos seno, coseno, tangente y cotangente?
Lo sabemos la suma de los angulos de cualquier triangulo es.
Conocemos la relación entre fiestas triángulo rectángulo. Este es el teorema de Pitágoras: .
Resulta que conociendo dos ángulos en un triángulo, puedes encontrar el tercero. Conociendo dos lados en un triángulo rectángulo, puedes encontrar el tercero. Entonces, para los ángulos, su proporción, para los lados, los suyos. Pero, ¿qué hacer si en un triángulo rectángulo se conocen un ángulo (excepto el recto) y un lado, pero necesita encontrar otros lados?
Esto es a lo que se enfrentaba la gente en el pasado, haciendo mapas de la zona y del cielo estrellado. Después de todo, no siempre es posible medir directamente todos los lados de un triángulo.
Seno, coseno y tangente - también se les llama funciones trigonométricas del ángulo- dar la razón entre fiestas Y esquinas triángulo. Conociendo el ángulo, puedes encontrar todas sus funciones trigonométricas usando tablas especiales. Y sabiendo los senos, cosenos y tangentes de los ángulos de un triángulo y uno de sus lados, puedes encontrar el resto.
También dibujaremos una tabla de valores de seno, coseno, tangente y cotangente para ángulos "buenos" de a.
Observe los dos guiones rojos en la tabla. Para los valores correspondientes de los ángulos, la tangente y la cotangente no existen.
Analicemos varios problemas de trigonometría del Banco de tareas FIPI.
1. En un triángulo, el ángulo es , . Encontrar .
El problema se resuelve en cuatro segundos.
En la medida en , .
2. En un triángulo, el ángulo es , , . Encontrar .
Hallemos por el teorema de Pitágoras.
Problema resuelto.
A menudo, en los problemas hay triángulos con ángulos y o con ángulos y . ¡Memoriza las proporciones básicas para ellos de memoria!
Para un triángulo con ángulos y el cateto opuesto al ángulo en es igual a la mitad de la hipotenusa.
Un triángulo con ángulos y es isósceles. En él, la hipotenusa es veces más grande que el cateto.
Consideramos problemas para resolver triángulos rectángulos, es decir, para encontrar lados o ángulos desconocidos. ¡Pero eso no es todo! EN USAR opciones en matemáticas hay muchos problemas donde aparece el seno, coseno, tangente o cotangente del ángulo exterior del triángulo. Más sobre esto en el siguiente artículo.
Cuando se consideraron las tareas para resolver un triángulo rectángulo, prometí presentar una técnica para memorizar las definiciones de seno y coseno. Al usarlo, siempre recordará rápidamente qué cateto pertenece a la hipotenusa (adyacente u opuesto). Decidí no posponerlo indefinidamente, material necesario a continuación, por favor vea
El hecho es que he observado repetidamente cómo los estudiantes de los grados 10-11 tienen dificultad para recordar estas definiciones. Recuerdan muy bien que el cateto se refiere a la hipotenusa, pero cuál- olvidar y confundido. El precio de un error, como sabrás en el examen, es una puntuación perdida.
La información que voy a presentar directamente a las matemáticas no tiene nada que ver. Se asocia con el pensamiento figurativo y con los métodos de conexión verbal-lógica. Así es, yo mismo, de una vez por todas recordédatos de definicion Si aún los olvida, con la ayuda de las técnicas presentadas, siempre es fácil de recordar.
Déjame recordarte las definiciones de seno y coseno en un triángulo rectángulo:
Coseno El ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa:
Seno El ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:
Entonces, ¿qué asociaciones te evoca la palabra coseno?
Probablemente cada uno tiene el suyoRecuerda el enlace:
Por lo tanto, inmediatamente tendrá una expresión en su memoria:
«… razón del cateto ADYACENTE a la hipotenusa».
El problema con la definición de coseno está resuelto.
Si necesita recordar la definición del seno en un triángulo rectángulo, al recordar la definición del coseno, puede establecer fácilmente que el seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Después de todo, solo hay dos patas, si la pierna adyacente está "ocupada" por el coseno, entonces solo queda el lado opuesto para el seno.
¿Qué pasa con la tangente y la cotangente? Misma confusión. Los estudiantes saben que esta es la proporción de piernas, pero el problema es recordar cuál se refiere a cuál, ya sea opuesto a adyacente o viceversa.
Definiciones:
Tangente un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al adyacente:
Cotangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente al opuesto:
¿Cómo recordar? Hay dos maneras. Uno también usa una conexión verbal-lógica, el otro, una matemática.
MÉTODO MATEMÁTICO
Existe tal definición: la tangente de un ángulo agudo es la relación entre el seno de un ángulo y su coseno:
* Recordando la fórmula, siempre puedes determinar que la tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al adyacente.
Igualmente.La cotangente de un ángulo agudo es la razón del coseno de un ángulo a su seno:
¡Entonces! Recordando estas fórmulas, siempre puedes determinar que:
- la tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al adyacente
- la cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente al opuesto.
MÉTODO LÓGICO-VERBAL
Sobre la tangente. Recuerda el enlace:
Es decir, si necesita recordar la definición de la tangente, usando esta conexión lógica, puede recordar fácilmente qué es
"... la relación entre el cateto opuesto y el adyacente"
Si se trata de cotangente, al recordar la definición de tangente, puede expresar fácilmente la definición de cotangente:
"... la relación entre el cateto adyacente y el opuesto"
Hay una técnica interesante para memorizar tangente y cotangente en el sitio " Tándem matemático " , Mira.
MÉTODO UNIVERSAL
Puedes simplemente moler.Pero como muestra la práctica, gracias a las conexiones lógico-verbales, una persona recuerda información durante mucho tiempo, y no solo matemática.
Espero que el material te haya sido de utilidad.
Atentamente, Alexander Krutitskikh
P.D: Le agradecería que hablara del sitio en las redes sociales.
Una de las ramas de las matemáticas con las que los escolares se enfrentan a mayores dificultades es la trigonometría. No es de extrañar: para dominar libremente esta área de conocimiento, necesita pensamiento espacial, la capacidad de encontrar senos, cosenos, tangentes, cotangentes usando fórmulas, simplificar expresiones y poder usar el número pi en los cálculos. Además, debe poder aplicar la trigonometría al probar teoremas, y esto requiere una memoria matemática desarrollada o la capacidad de deducir cadenas lógicas complejas.
Orígenes de la trigonometría
El conocimiento de esta ciencia debe comenzar con la definición del seno, el coseno y la tangente del ángulo, pero primero debe descubrir qué hace la trigonometría en general.
Históricamente, el principal objeto de estudio de esta sección ciencia matemática eran triángulos rectángulos. La presencia de un ángulo de 90 grados permite realizar varias operaciones que permiten determinar los valores de todos los parámetros de la figura considerada utilizando dos lados y un ángulo o dos ángulos y un lado. En el pasado, las personas notaron este patrón y comenzaron a usarlo activamente en la construcción de edificios, navegación, astronomía e incluso arte.
Primera etapa
Inicialmente, la gente hablaba de la relación de los ángulos y los lados exclusivamente en el ejemplo de los triángulos rectángulos. Luego se descubrieron fórmulas especiales que hicieron posible expandir los límites de uso en La vida cotidiana esta rama de las matemáticas.
El estudio de trigonometría en la escuela de hoy comienza con triángulos rectángulos, después de lo cual los estudiantes de física utilizan el conocimiento adquirido y resuelven problemas abstractos. ecuaciones trigonométricas, trabajo con el que se inicia en el bachillerato.
trigonometría esférica
Más tarde, cuando la ciencia alcanzó el siguiente nivel de desarrollo, las fórmulas con seno, coseno, tangente y cotangente comenzaron a usarse en geometría esférica, donde se aplican diferentes reglas y la suma de los ángulos en un triángulo siempre es mayor a 180 grados. Esta sección no se estudia en la escuela, pero es necesario saber sobre su existencia, al menos porque la superficie de la tierra, y la superficie de cualquier otro planeta, es convexa, lo que significa que cualquier marca de superficie tendrá "forma de arco" en espacio tridimensional.
Tome el globo y el hilo. Conecte el hilo a cualquiera de los dos puntos del globo para que quede tenso. Presta atención: ha adquirido la forma de un arco. Es con tales formas que trata la geometría esférica, que se usa en geodesia, astronomía y otros campos teóricos y aplicados.
Triángulo rectángulo
Habiendo aprendido un poco sobre las formas de usar la trigonometría, volvamos a la trigonometría básica para comprender mejor qué son el seno, el coseno y la tangente, qué cálculos se pueden realizar con su ayuda y qué fórmulas usar.
En primer lugar, es necesario entender los conceptos relacionados con triángulo rectángulo. Primero, la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo de 90 grados. Ella es la más larga. Recordemos que, según el teorema de Pitágoras, su valor numérico es igual a la raíz de la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
Por ejemplo, si dos lados miden 3 y 4 centímetros respectivamente, la longitud de la hipotenusa será de 5 centímetros. Por cierto, los antiguos egipcios lo sabían hace unos cuatro mil quinientos años.
Los dos lados restantes que forman un ángulo recto se llaman catetos. Además, debemos recordar que la suma de los ángulos de un triángulo en sistema rectangular coordenada es 180 grados.
Definición
Finalmente, con una sólida comprensión de la base geométrica, podemos pasar a la definición de seno, coseno y tangente de un ángulo.
El seno de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto (es decir, el lado opuesto al ángulo deseado) y la hipotenusa. El coseno de un ángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.
¡Recuerda que ni el seno ni el coseno pueden ser mayores que uno! ¿Por qué? Porque la hipotenusa es por defecto la más larga, por muy largo que sea el cateto, será más corto que la hipotenusa, lo que significa que su razón siempre será menor que uno. Así, si obtienes un seno o coseno con un valor mayor a 1 en la respuesta al problema, busca un error en los cálculos o en el razonamiento. Esta respuesta es claramente incorrecta.
Finalmente, la tangente de un ángulo es la razón del lado opuesto al lado adyacente. El mismo resultado dará la división del seno por el coseno. Mira: de acuerdo con la fórmula, dividimos la longitud del lado por la hipotenusa, luego dividimos por la longitud del segundo lado y multiplicamos por la hipotenusa. Así, obtenemos la misma razón que en la definición de tangente.
La cotangente, respectivamente, es la relación entre el lado adyacente a la esquina y el lado opuesto. Obtenemos el mismo resultado dividiendo la unidad por la tangente.
Entonces, hemos considerado las definiciones de lo que son seno, coseno, tangente y cotangente, y podemos tratar con fórmulas.
Las fórmulas más simples
En trigonometría, uno no puede prescindir de fórmulas: ¿cómo encontrar seno, coseno, tangente, cotangente sin ellos? Y esto es exactamente lo que se requiere al resolver problemas.
La primera fórmula que debes saber al comenzar a estudiar trigonometría dice que la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es igual a uno. Esta fórmula es una consecuencia directa del teorema de Pitágoras, pero ahorra tiempo si quieres saber el valor del ángulo, no del lado.
Muchos estudiantes no recuerdan la segunda fórmula, que también es muy popular para resolver problemas escolares: la suma de uno y el cuadrado de la tangente de un ángulo es igual a uno dividido por el cuadrado del coseno del ángulo. Mire más de cerca: después de todo, esta es la misma declaración que en la primera fórmula, solo que ambos lados de la identidad se dividieron por el cuadrado del coseno. Resulta que una simple operación matemática no fórmula trigonométrica completamente irreconocible. Recuerde: sabiendo lo que es el seno, el coseno, la tangente y la cotangente, las reglas de conversión y algunas fórmulas básicas, puede obtener en cualquier momento la información necesaria más fórmulas complejas en un trozo de papel.
Fórmulas de doble ángulo y adición de argumentos
Dos fórmulas más que debes aprender están relacionadas con los valores del seno y el coseno para la suma y diferencia de los ángulos. Se muestran en la siguiente figura. Tenga en cuenta que en el primer caso, el seno y el coseno se multiplican ambas veces, y en el segundo, se suma el producto por pares del seno y el coseno.
También hay fórmulas asociadas con argumentos de doble ángulo. Se derivan completamente de los anteriores: como práctica, intente obtenerlos usted mismo, tomando el ángulo alfa igual al ángulo beta.
Finalmente, tenga en cuenta que las fórmulas de doble ángulo se pueden convertir para reducir el grado de seno, coseno, tangente alfa.
teoremas
Los dos teoremas principales en trigonometría básica son el teorema del seno y el teorema del coseno. Con la ayuda de estos teoremas, puede comprender fácilmente cómo encontrar el seno, el coseno y la tangente y, por lo tanto, el área de la figura y el tamaño de cada lado, etc.
El teorema del seno establece que como resultado de dividir la longitud de cada uno de los lados del triángulo por el valor del ángulo opuesto, obtenemos el mismo numero. Además, este número será igual a dos radios del círculo circunscrito, es decir, el círculo que contiene todos los puntos del triángulo dado.
El teorema del coseno generaliza el teorema de Pitágoras, proyectándolo sobre cualquier triángulo. Resulta que de la suma de los cuadrados de los dos lados, reste su producto, multiplicado por el doble coseno del ángulo adyacente a ellos; el valor resultante será igual al cuadrado del tercer lado. Así, el teorema de Pitágoras resulta ser un caso especial del teorema del coseno.
Errores por falta de atención
Incluso sabiendo qué es el seno, el coseno y la tangente, es fácil equivocarse por descuido o error en los cálculos más simples. Para evitar tales errores, conozcamos a los más populares.
En primer lugar, no debe convertir fracciones ordinarias a decimales hasta obtener el resultado final; puede dejar la respuesta en el formulario fracción común a menos que la condición establezca lo contrario. Tal transformación no puede llamarse un error, pero debe recordarse que en cada etapa de la tarea pueden aparecer nuevas raíces que, según la idea del autor, deben reducirse. En este caso, perderá el tiempo en cosas innecesarias. Operaciones matemáticas. Esto es especialmente cierto para valores como la raíz de tres o dos, porque ocurren en tareas en cada paso. Lo mismo se aplica al redondeo de números "feos".
Además, tenga en cuenta que el teorema del coseno se aplica a cualquier triángulo, ¡pero no al teorema de Pitágoras! Si por error te olvidas de restar el doble del producto de los lados multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos, no solo obtendrás un resultado completamente erróneo, sino que también demostrarás una completa incomprensión del tema. Esto es peor que un error por descuido.
En tercer lugar, no confunda los valores para ángulos de 30 y 60 grados para senos, cosenos, tangentes, cotangentes. Recuerda estos valores, porque el seno de 30 grados es igual al coseno de 60, y viceversa. Es fácil confundirlos, por lo que inevitablemente obtendrá un resultado erróneo.
Solicitud
Muchos estudiantes no tienen prisa por comenzar a estudiar trigonometría porque no entienden su significado aplicado. ¿Qué es seno, coseno, tangente para un ingeniero o astrónomo? Son conceptos gracias a los cuales se puede calcular la distancia a estrellas lejanas, predecir la caída de un meteorito, enviar una sonda de investigación a otro planeta. Sin ellos, es imposible construir un edificio, diseñar un automóvil, calcular la carga en la superficie o la trayectoria de un objeto. ¡Y estos son solo los ejemplos más obvios! Después de todo, la trigonometría de una forma u otra se usa en todas partes, desde la música hasta la medicina.
Finalmente
Entonces eres seno, coseno, tangente. Puede usarlos en cálculos y resolver con éxito problemas escolares.
Toda la esencia de la trigonometría se reduce al hecho de que los parámetros desconocidos deben calcularse a partir de los parámetros conocidos del triángulo. Hay seis parámetros en total: las longitudes de tres lados y las magnitudes de tres ángulos. Toda la diferencia en las tareas radica en el hecho de que se dan diferentes datos de entrada.
Cómo encontrar el seno, el coseno, la tangente en función de las longitudes conocidas de los catetos o la hipotenusa, ya lo sabe. Dado que estos términos no significan más que una razón, y una razón es una fracción, el objetivo principal del problema trigonométrico es encontrar las raíces de una ecuación ordinaria o un sistema de ecuaciones. Y aquí te ayudarán las matemáticas escolares ordinarias.