La función se incrementa al incremento del argumento, que tiende a cero. Para encontrarlo, usa la tabla de derivadas. Por ejemplo, la derivada de la función y = x3 será igual a y’ = x2.
Iguale esta derivada a cero (en este caso x2=0).
Encuentra el valor de la variable dada. Estos serán los valores para los cuales esta derivada será igual a 0. Para hacer esto, sustituya números arbitrarios en la expresión en lugar de x, en los que toda la expresión se convertirá en cero. Por ejemplo:
2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1
Aplicar los valores obtenidos sobre la recta de coordenadas y calcular el signo de la derivada para cada uno de los obtenidos. Los puntos se marcan en la línea de coordenadas, que se toman como origen. Para calcular el valor en los intervalos, sustituya valores arbitrarios que coincidan con los criterios. Por ejemplo, para la función anterior hasta el intervalo -1, puede elegir el valor -2. Para -1 a 1, puede elegir 0, y para valores mayores que 1, elija 2. Sustituya estos números en la derivada y encuentre el signo de la derivada. En este caso, la derivada con x = -2 será igual a -0,24, es decir negativo y habrá un signo menos en este intervalo. Si x=0, entonces el valor será igual a 2, y se pone un signo en este intervalo. Si x=1, entonces la derivada también será igual a -0.24 y se pone un menos.
Si al pasar por un punto de la línea de coordenadas, la derivada cambia de signo de menos a más, entonces este es un punto mínimo, y si de más a menos, entonces este es un punto máximo.
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Para encontrar la derivada, existen servicios en línea que calculan los valores requeridos y muestran el resultado. En dichos sitios, puede encontrar un derivado de hasta 5 pedidos.
Fuentes:
- Uno de los servicios para el cálculo de derivados
- punto máximo de la función
Los puntos máximos de la función junto con los puntos mínimos se denominan puntos extremos. En estos puntos, la función cambia su comportamiento. Los extremos se determinan en intervalos numéricos limitados y siempre son locales.
Instrucción
Proceso de búsqueda extremos locales se llama función y se realiza analizando las derivadas primera y segunda de la función. Antes de comenzar la exploración, asegúrese de que el rango especificado de valores de argumentos pertenezca a valores permitidos. Por ejemplo, para la función F=1/x, el valor del argumento x=0 no es válido. O para la función Y=tg(x), el argumento no puede tener el valor x=90°.
Asegúrese de que la función Y sea diferenciable en todo el intervalo dado. Encuentre la primera derivada Y". Es obvio que antes de alcanzar el punto máximo local, la función crece, y al pasar por el máximo, la función se vuelve decreciente. La primera derivada en su significado físico caracteriza la tasa de cambio de la función. Mientras la función aumenta, la tasa de este proceso es un valor positivo.Al pasar por el máximo local, la función comienza a disminuir y la tasa del proceso de cambio de la función se vuelve negativa.La transición de la tasa de cambio de la función a través de cero ocurre en el punto del máximo local.
Por ejemplo, la función Y \u003d -x² + x + 1 en el segmento de -1 a 1 tiene una derivada continua Y "\u003d -2x + 1. En x \u003d 1/2, la derivada es cero, y cuando pasando por este punto, la derivada cambia de signo de "+" a "-".La segunda derivada de la función Y"=-2. Construya un gráfico punto por punto de la función Y=-x²+x+1 y verifique si el punto con la abscisa x=1/2 es un máximo local en un segmento dado del eje numérico.
A partir de este artículo, el lector aprenderá qué es un valor extremo de un valor funcional, así como las características de su uso en actividades practicas. El estudio de tal concepto es extremadamente importante para comprender los fundamentos de las matemáticas superiores. Este tema es fundamental para un estudio más profundo del curso.
En contacto con
¿Qué es un extremo?
En el curso escolar se dan muchas definiciones del concepto de "extremum". Este artículo tiene la intención de brindar la comprensión más profunda y clara del término para aquellos que desconocen el tema. Así, el término se entiende en qué medida el intervalo funcional adquiere un valor mínimo o máximo en un determinado conjunto.
El extremo es tanto el valor mínimo de la función como el máximo al mismo tiempo. Hay un punto mínimo y un punto máximo, es decir, los valores extremos del argumento en el gráfico. Las principales ciencias en las que se utiliza este concepto:
- Estadísticas;
- Control de maquina;
- econometría.
Los puntos extremos juegan un papel importante en la determinación de la secuencia de una función dada. El sistema de coordenadas en el gráfico en en su mejor momento muestra el cambio en la posición extrema dependiendo del cambio en la funcionalidad.
Extremos de la función derivada
También existe tal cosa como un "derivado". Es necesario determinar el punto extremo. Es importante no confundir los puntos mínimo o máximo con los valores mayor y menor. Son conceptos diferentes, aunque puedan parecer similares.
El valor de la función es el factor principal para determinar cómo encontrar el punto máximo. La derivada no se forma a partir de los valores, sino exclusivamente a partir de su posición extrema en un orden u otro.
La propia derivada se determina en función de los datos de los puntos extremos, y no del valor mayor o menor. En las escuelas rusas, la línea entre estos dos conceptos no está claramente trazada, lo que afecta la comprensión de este tema en general.
Consideremos ahora algo como un "extremo agudo". Hasta la fecha, existe un valor mínimo agudo y un valor máximo agudo. La definición se da de acuerdo con la clasificación rusa de puntos críticos de una función. El concepto de punto extremo es la base para encontrar puntos críticos en un gráfico.
Para definir tal concepto, se utiliza el teorema de Fermat. Es fundamental en el estudio puntos extremos y da una idea clara de su existencia de una forma u otra. Para garantizar la extrema, es importante crear ciertas condiciones para disminuir o aumentar en el gráfico.
Para responder con precisión a la pregunta "cómo encontrar el punto máximo", debe seguir estas disposiciones:
- Encontrar el área exacta de definición en el gráfico.
- Buscar la derivada de una función y un punto extremo.
- Resolver desigualdades estándar para el dominio del argumento.
- Ser capaz de demostrar en qué funciones un punto de una gráfica es definido y continuo.
¡Atención! Búsqueda punto crítico La función es posible solo en el caso de la existencia de una derivada de al menos segundo orden, lo que está asegurado por una alta proporción de la presencia de un punto extremo.
Condición necesaria para el extremo de la función.
Para que exista un extremo, es importante que haya tanto puntos mínimos como puntos máximos. Si esta regla se observa solo parcialmente, entonces se viola la condición para la existencia de un extremum.
Cada función en cualquier posición debe diferenciarse para identificar sus nuevos significados. Es importante comprender que el caso en que un punto desaparece no es el principio fundamental para encontrar un punto diferenciable.
Un extremo agudo, así como un mínimo de una función, es un aspecto extremadamente importante de la decisión. problema matematico utilizando valores extremos. Para comprender mejor este componente, es importante referirse a los valores tabulares para la asignación del funcional.
| Una exploración completa del significado. | Trazar un valor |
| 1. Determinación de puntos de aumento y disminución de valores. 2. Búsqueda de puntos de quiebre, extremos e intersección con ejes de coordenadas. 3. El proceso de determinar los cambios de posición en el gráfico. 4. Determinación del índice y dirección de convexidad y convexidad, teniendo en cuenta la presencia de asíntotas. 5. Elaboración de un cuadro resumen del estudio en cuanto a la determinación de sus coordenadas. 6. Hallar intervalos de aumento y disminución de puntos extremos y agudos. 7. Determinación de la convexidad y concavidad de la curva. 8. Construir un gráfico basado en el estudio te permite encontrar un mínimo o un máximo. |
El elemento principal, cuando es necesario trabajar con extremos, es la construcción exacta de su gráfico. Los maestros de escuela no suelen dedicar tanto aspecto importante máxima atención, lo cual es una grave violación del proceso educativo. El gráfico se construye solo sobre la base de los resultados del estudio de datos funcionales, la definición de extremos agudos, así como los puntos en el gráfico. Los extremos nítidos de la derivada de una función se muestran en un gráfico de valores exactos utilizando el procedimiento estándar para determinar las asíntotas. |
77419. Encuentra el punto máximo de la función y \u003d x 3 -48x + 17
Encontremos los ceros de la derivada:
Saquemos las raíces:
Determinemos los signos de la derivada de la función sustituyendo los valores de los intervalos en la derivada resultante y representemos el comportamiento de la función en la figura:
Encontramos que en el punto –4, la derivada cambia su signo de positivo a negativo. Así, el punto x=-4 es el punto máximo deseado.
Respuesta: -4
77423. Encuentra el punto máximo de la función y \u003d x 3 -3x 2 +2
Encuentre la derivada de la función dada:
Igualar la derivada a cero y resolver la ecuación:
En el punto x=0, la derivada cambia de signo de positivo a negativo, lo que significa que ese es el punto máximo.
77427. Encuentra el punto máximo de la función y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3
Encuentre la derivada de la función dada:
Cuando igualamos la derivada a cero y resolvemos la ecuación:
Determinemos los signos de la derivada de la función y dibujemos en la figura los intervalos de aumento y disminución de la función sustituyendo los valores de cada intervalo en la expresión derivada:
En el punto x=-1, la derivada cambia de signo de positivo a negativo, lo que significa que ese es el punto máximo buscado.
Respuesta 1
77431. Encuentra el punto máximo de la función y \u003d x 3 -5x 2 + 7x -5
Encontremos la derivada de la función:
Encontremos los ceros de la derivada:
3x 2 - 10x + 7 = 0
3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0
3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0
3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0
En el punto x = 1, la derivada cambia de signo de positivo a negativo, lo que significa que ese es el punto máximo buscado.
77435. Encuentra el punto máximo de la función y \u003d 7 + 12x - x 3
Encontremos la derivada de la función:
Encontremos los ceros de la derivada:
12 - 3x 2 = 0
decidir ecuación cuadrática obtenemos:
*Estos son los puntos máximos (mínimos) posibles de la función.
Construyamos un eje numérico, marcamos los ceros de la derivada. Determinamos los signos de la derivada sustituyendo un valor arbitrario de cada intervalo en la expresión de la derivada de la función y representamos esquemáticamente el aumento y la disminución en los intervalos:
12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0
12 – 3∙0 2 = 12 > 0
12 – 3∙3 2 = –15 < 0
En el punto x = 2, la derivada cambia de signo de positivo a negativo, lo que significa que ese es el punto máximo buscado.
*Para la misma función, el punto mínimo es el punto x = - 2.
77439. Encuentra el punto máximo de la función y \u003d 9x 2 -x 3
Encontremos la derivada de la función:
Encontremos los ceros de la derivada:
18x -3x 2 = 0
3x(6 - x) = 0
Resolviendo la ecuación obtenemos:
*Estos son los puntos máximos (mínimos) posibles de la función.
Construyamos un eje numérico, marcamos los ceros de la derivada. Determinamos los signos de la derivada sustituyendo un valor arbitrario de cada intervalo en la expresión de la derivada de la función y representamos esquemáticamente el aumento y la disminución en los intervalos:
18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0
18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0
18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0
En el punto x=6, la derivada cambia de signo de positivo a negativo, lo que significa que ese es el punto máximo buscado.
*Para la misma función, el punto mínimo es x = 0.
El algoritmo para encontrar estos puntos ya se ha discutido más de una vez, lo repetiré brevemente:
1. Encuentra la derivada de la función.
2. Encuentra los ceros de la derivada (igualamos la derivada a cero y resolvemos la ecuación).
3. A continuación, construimos un eje numérico, marcamos los puntos encontrados en él y determinamos los signos de la derivada en los intervalos obtenidos. *Esto se hace sustituyendo valores arbitrarios de los intervalos en la derivada.
Si no está completamente familiarizado con las propiedades de la derivada para el estudio de funciones, asegúrese de estudiar el artículo.« ». Repita también la tabla de derivadas y reglas de diferenciación (disponible en el mismo artículo). Considere las tareas:
77431. Encuentra el punto máximo de la función y \u003d x 3 -5x 2 + 7x -5.
Encontremos la derivada de la función:
Encontremos los ceros de la derivada:
3x 2 - 10x + 7 = 0
y(0)" = 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0
y(2)" = 3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0
y(3)" = 3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0
En el punto x = 1, la derivada cambia de signo de positivo a negativo, lo que significa que ese es el punto máximo buscado.
Respuesta 1
77432. Encuentra el punto mínimo de la función y \u003d x 3 + 5x 2 + 7x–5.
Encontremos la derivada de la función:
Encontremos los ceros de la derivada:
3x 2 + 10x + 7 = 0
Resolviendo la ecuación cuadrática obtenemos:
Determinamos los signos de la derivada de la función en los intervalos y los marcamos en el dibujo. Sustituimos un valor arbitrario de cada intervalo en la expresión derivada:
y(–3 ) " = 3∙(–3) 2 + 10∙(–3) + 7 = 4 > 0
y(–2 ) "= 3∙(–2) 2 + 10∙(–2) + 7 = –1 < 0
y(0) "= 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0
En el punto x \u003d -1, la derivada cambia su signo de negativo a positivo, lo que significa que este es el punto mínimo deseado.
Respuesta 1
77435. Encuentra el punto máximo de la función y \u003d 7 + 12x - x 3
Encontremos la derivada de la función:
Encontremos los ceros de la derivada:
12 - 3x 2 = 0
×2 = 4
Resolviendo la ecuación obtenemos:
*Estos son los puntos máximos (mínimos) posibles de la función.
Determinamos los signos de la derivada de la función en los intervalos y los marcamos en el dibujo. Sustituimos un valor arbitrario de cada intervalo en la expresión derivada:
y(–3 ) "= 12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0
y(0) "= 12 – 3∙0 2 = 12 > 0
y( 3 ) "= 12 – 3∙3 2 = –15 < 0
En el punto x = 2, la derivada cambia de signo de positivo a negativo, lo que significa que ese es el punto máximo buscado.
Respuesta: 2
*Para la misma función, el punto mínimo es el punto x = - 2.
77439. Encuentra el punto máximo de la función y \u003d 9x 2 - x 3.
Encontremos la derivada de la función:
Encontremos los ceros de la derivada:
18x -3x 2 = 0
3x(6 - x) = 0
Resolviendo la ecuación obtenemos:
Determinamos los signos de la derivada de la función en los intervalos y los marcamos en el dibujo. Sustituimos un valor arbitrario de cada intervalo en la expresión derivada:
y(–1 ) "= 18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0
y(1) "= 18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0
y(7) "= 18∙7 –3∙7 2 = –1< 0
En el punto x = 6, la derivada cambia de signo de positivo a negativo, lo que significa que ese es el punto máximo buscado.
Respuesta: 6
*Para la misma función, el punto mínimo es x = 0.
77443. Encuentra el punto máximo de la función y \u003d (x 3 / 3) -9x -7.
Encontremos la derivada de la función:
Encontremos los ceros de la derivada:
x 2 - 9 = 0
×2 = 9
Resolviendo la ecuación obtenemos:
Determinamos los signos de la derivada de la función en los intervalos y los marcamos en el dibujo. Sustituimos un valor arbitrario de cada intervalo en la expresión derivada:
y(–4 ) "= (–4) 2 – 9 > 0
y(0) "= 0 2 – 9 < 0
y(4) "= 4 2 – 9 > 0
En el punto x \u003d - 3, la derivada cambia su signo de positivo a negativo, lo que significa que este es el punto máximo deseado.
Respuesta: - 3
9 - x 2 \u003d 0
×2 = 9
Resolviendo la ecuación obtenemos:
Determinamos los signos de la derivada de la función en los intervalos y los marcamos en el dibujo. Sustituimos un valor arbitrario de cada intervalo en la expresión derivada:
y(–4 ) "= 9 – (–4) 2 < 0
y(0 Solución .
Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!
Atentamente, Alexander Krutitskikh.
P.D: Le agradecería que hablara del sitio en las redes sociales.
¡Hola queridos amigos! Continuamos considerando tareas relacionadas con el estudio de funciones. Recomiendo que necesite resolver problemas para encontrar el valor máximo (mínimo) de una función y para encontrar los puntos máximos (mínimos) de una función.
Tareas con logaritmos para hallar el mayor (menor) valor de la función we. En este artículo, consideraremos tres problemas en los que se trata de encontrar los puntos máximos (mínimos) de funciones, en cuyo caso el logaritmo natural está presente en la función dada.
Momento teórico:
Por definición del logaritmo, la expresión bajo el signo del logaritmo debe ser mayor que cero. *Esto hay que tenerlo en cuenta no solo en estos problemas, sino también a la hora de resolver ecuaciones y desigualdades que contengan un logaritmo.
El algoritmo para encontrar los puntos máximos (mínimos) de la función:
1. Calculamos la derivada de la función.
2. Igualarlo a cero, resolver la ecuación.
3. Marcamos las raíces obtenidas en la recta numérica.*También marcamos en él los puntos donde no existe la derivada. Obtengamos los intervalos en los que la función crece o decrece.
4. Determine los signos de la derivada en estos intervalos (sustituyendo valores arbitrarios de ellos en la derivada).
5. Sacamos una conclusión.
Encuentre el punto máximo de la función y \u003d ln (x - 11) - 5x + 2
Inmediatamente escribimos que x–11>0 (por la definición del logaritmo), es decir, x > 11.
Consideraremos la función en el intervalo (11;∞).
Encontremos los ceros de la derivada:
El punto x = 11 no está incluido en el dominio de la función y la derivada no existe en él. Marcamos en el eje numérico dos puntos 11 y 11.2. Determinamos los signos de la derivada de la función sustituyendo valores arbitrarios de los intervalos (11;11,2) y (11,2;+∞) en la derivada encontrada, y representamos el comportamiento de la función en la figura :
Por lo tanto, en el punto x \u003d 11.2, la derivada de la función cambia de signo de positivo a negativo, lo que significa que este es el punto máximo deseado.
Respuesta: 11.2
Decide por ti mismo:
Encuentre el punto máximo de la función y \u003d ln (x + 5) - 2x + 9.
Encuentre el punto mínimo de la función y \u003d 4x - ln (x + 5) + 8
Inmediatamente escribimos que x + 5> 0 (por la propiedad del logaritmo), es decir, x> -5.
Consideraremos la función en el intervalo (– 5;+∞).
Encuentre la derivada de la función dada:
Encontremos los ceros de la derivada:
Punto x = -5 no está incluida en el alcance de la función y la derivada no existe en ella. Marca dos puntos en la recta numérica-5 y -4,75. Determinemos los signos de la derivada de la función sustituyendo valores arbitrarios de los intervalos (–5;–4.75) y (–4.75; +∞) en la derivada encontrada, y representemos el comportamiento de la función en la figura :
Así, en el punto x = -4,75, la derivada de la función cambia de signo de negativo a positivo, lo que significa que ese es el punto mínimo buscado.
Respuesta: - 4.75
Decide por ti mismo:
Encuentra el punto mínimo de la función y=2x–ln (x+3)+7.
Encuentre el punto máximo de la función y \u003d x 2 -34x + 140lnx -10
Por la propiedad del logaritmo, la expresión bajo su signo es mayor que cero, es decir, x\u003e 0.
Consideraremos la función en el intervalo (0; +∞).
Encuentre la derivada de la función dada:
Encontremos los ceros de la derivada:
Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos: D \u003d 9 x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 7.
Punto x = 0 no está incluida en el alcance de la función y la derivada no existe en ella. Marcamos tres puntos en el eje numérico 0, 7 y 10 .
El eje x se divide en intervalos: (0;7), (7;10), (10; +∞).
Determinamos los signos de la derivada de la función sustituyendo valores arbitrarios de los intervalos obtenidos en la derivada encontrada, y representamos el comportamiento de la función en la figura:
Eso es todo. ¡Te deseo éxito!
Atentamente, Alexander Krutitskikh
P.D: Le agradecería que hablara del sitio en las redes sociales.